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2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 5Titolo: Vincoli

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 5 Vincoli

Nucleotematico

Lez.

Contenuto

3 5Definizione dei vincoli per sistemi di travi piani,vincoli esterni ed interni.

Nella meccanica delle strutture si studiano le configurazioni diequilibrio dei sistemi strutturali soggetti alle azioni esterne; in questocorso ci si riferisce particolarmente ai sistemi di travi. Questi sonocostituiti da travi tra loro in qualche modo connesse ed in qualche

modo connesse al suolo o ad altri sistemi ritenuti fissi.Le connessioni tra una struttura ed il suolo, tra una struttura ed unaltro sistema o tra diverse parti di una struttura sono dettigenericamente vincoli. I vincoli limitano la possibilit di spostamentodei sistemi attraverso lapplicazione a questi di forze che, per essereesercitate dai vincoli, sono dette reazioni vincolari.

VINCOLI

Prima di trattare i vincoli comunemente utilizzati nellameccanica delle strutture opportuno richiamare alcune definizioni.

DefinizioneSi chiama vincoloper un sistema ogni oggetto o meccanismo

che impedisce al sistema di compiere alcuni spostamenti o dioccupare alcune posizioni.

Definizione

Si chiama reazione vincolare la forza subita da un puntovincolato per effetto del vincolo.

Definizione

Si chiamano vincoli esterniper un sistema i vincoli dovuti alla

presenza di altri corpi o sistemi; si chiamano vincoli internii vincoli suuna parte di un sistema dovuti alla presenza di altre parti del sistemastesso.

Definizione

Si dice che un sistema ha n gradi di libert se la suaconfigurazione univocamente definita da n parametri indipendenti.

In questo corso si fa particolare riferimento ad i sistemi piani. Pertanto opportuno ricordare che un corpo rigido nel piano ha 3 gradi dilibert nel senso che per definire la sua posizione nel piano

(configurazione) sono necessari e sufficienti tre parametriindipendenti. Ad esempio, assunto un sistema di riferimento (xOy) laposizione dellelemento difigura 5.1 univocamente determinata una
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

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volta assegnate le coordinate di un suo punto (ad esempio le

coordinate (xA,yA) del suo estremo A) e la sua inclinazione 0rispettoad uno degli assi del sistema di riferimento (ad esempio lasse x).

Figura 5.1.

Analogamente, considerata una configurazione iniziale per lelemento(ad esempio quella di figura 5.1, una sua nuova configurazione,raggiunta dopo certi spostamenti pu essere definita a partire dallaconfigurazione iniziale sempre da tre parametri indipendenti. Adesempio, nel caso difigura 5.2 la nuova configurazione dellelemento

pu essere identificata per mezzo dello spostamento A del punto A

e della rotazione che la variazione della sua inclinazione rispetto aquella della configurazione iniziale. La nuova configurazione pu

quindi essere definita dai tre parametri Ax, Ay (componenti del

vettore spostamento A nel riferimento considerato) e .

Figura 5.2.Definizione

Si chiama molteplicitdi un vincolo il numero di gradi di libertche la presenza del vicolo sopprime al sistema cui applicato.

Definizione

Un sistema costituito da elementi rigidi soggetto a certe forzeed a certi vincoli si dice staticamente determinato se possibiledeterminare univocamente tutte le reazioni vincolari esercitate sulsistema dai vincoli cui soggetto.

Per contro, un sistema costituito da elementi rigidi soggetto acerte forze ed a certi vincoli si dice staticamente indeterminato se

x

A

y

yA

xA

0

A

1

= 1- 0

A

Ax

Ay

x

A

y

yA

xA

0

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non possibile determinare univocamente tutte le reazioni vincolari

esercitate sul sistema dai vincoli cui soggetto.

Ricordando le definizioni viste nel corso di MeccanicaRazionale, nel seguito (salvo quando diversamente specificato) siconsiderano vincoli olonomi (sia per le posizioni che per glispostamenti), scleronomi (indipendenti dal tempo), bilaterali(analiticamente descritti da uguaglianze), ideali (le cui reazionivincolari compiono lavoro virtuale positivo o nullo).

Vincoli frequenti nella meccanica delle strutture

Sono descritti nel seguito i vincoli pi frequentemente utilizzatinella meccanica delle strutture.

Vincoli esterni

I vincoli esterni rappresentano limitazioni agli spostamenti delsistema derivanti da entit esterne al sistema stesso. Gli spostamentiimpediti e quelli consentiti dai vincoli esterni sono pensati assoluti,cio valutati rispetto ad un sistema di riferimento supposto fisso edindipendente dalle posizioni dei punti del sistema considerato. Allostesso modo, le reazioni vincolari fornite da questi vincoli sonoreazioni esterne applicate al sistema, cio forze che i punti vincolatisubiscono per effetto di entit esterne al sistema stesso.

Carrello o pendolo

Un carrello che vincola il punto A di un elemento consente alpunto A solo spostamenti lungo una retta r e le rotazioni dellelemento,impedendo spostamenti di A in ogni altra direzione. I carrelli sirappresentano come schematizzato infigura 5.3.a.

Figura 5.3.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza del carrello nel punto A si descriveanaliticamente mediante lequazione:

= tanAA xy (5.1)

o equivalentemente

0sinAcosA xy = (5.2)

r

A x

x

r

A

(a)r

AA

A

Ax

Ay

x

(b)

r

A x

RRx

RyR

(c)

r

A x

RRx

Ry

R

Aycos Axsin= 0

Rxcos+ Rysin= 0M = 0

x

y

Oz

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essendo langolo che identifica lunica direzione lungo la quale

consentito lo spostamento di A (figura 5.3). La (5.1) e la (5.2)stabiliscono il legame tra le componenti Axe Aydello spostamento

A del punto A rispetto al riferimento assunto: il punto A vincolato con

il carrello non pu subire tutti gli spostamenti nel piano, ma solo quelliche soddisfano la (5.1) o, equivalentemente, la (5.2) (figura 5.3b).

Il carrello non in grado di esercitare sul punto A dellelementoalcuna reazione vincolare (forza) nella direzione consentita per lospostamento, pertanto la direzione della reazione vincolare esercitatasul punto A una forza avente direzione ortogonale ad r che puavere modulo e verso qualsiasi (figura 5.2c). Inoltre il carrello non

impedisce la rotazione delelemento, pertanto nullo il momentodella reazione vincolare rispetto al punto A, il che equivale ad

affermare che la retta di azione della reazione vincolare R del carrello

passa per il punto A vincolato. Nel riferimento assunto la reazionevincolare del carrello quindi caratterizzata da:

0M

tanRR yx

=

= (5.3)

o equivalentemente:

0M

0sinRcosR yx

=

=+

(5.4)

essendo Rx ed Ry le componenti di R ed M il modulo del momento

della reazione R del carrello rispetto al punto A.

Un elemento rigido del quale un punto A vincolato con uncarrello ha, nel piano, due gradi di libert. Infatti la sua genericaconfigurazione pu essere identificata ad esempio dallascissa xAdel

punto A e dalla sua inclinazione rispetto allasse x (due parametriindipendenti) essendo lordinata yA del punto A definitadallappartenenza di A alla retta r (figura 5.4).

x

r

A

y

yA

xA

y0

yA= y0+ xAtan

Figura 5.4.

Ricordando che in assenza di vicoli un elemento rigido ha tre gradi dilibert nel piano, si conclude che un carrello riduce di uno il numero di

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gradi di libert di corpo rigido dellelemento. Pertanto il carrello un

vincolo di molteplicit m pari ad 1.

Come casi particolari la retta r pu avere la direzione dellassex o dellasse y (figura 5.5). Nel primo caso (figura 5.5a) le(5.2) e(5.4)diventano:

0Ay = 0M

0Rx

=

= (5.5)

mentre nel secondo caso (figura 5.5b) le(5.2) e(5.4) diventano:

0Ax =

0M

0Ry

=

= (5.6)

Figura 5.5.

CernieraUna cerniera che vincola il punto A di un elemento non

consente spostamenti al punto A, consentendo solo le rotazionidellelemento. Le cerniere si rappresentano come schematizzato infigura 5.6a.

Figura 5.6.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza della cerniera nel punto A si descriveanaliticamente mediante le equazioni:

0A

0A

y

x

=

= (5.7)

essendo Ax e Ay le componenti dello spostamento A nelle

direzioni degli assi x ed y del riferimento assunto Le(5.7) stabilisconoche il punto A non pu spostarsi in nessuna direzione (figura 5.6b).

rA

(a)

A

=Ax

r R=

Ry

rA= 0

r

A

A

A

r

Ax0

Ay= 0

0

R = Rxr

A

= /2

(b)

Rx= 0

Ry0M = 0

Ax= 0

Ay0

0

Rx0Ry= 0M = 0

A = Ay

x

y

Oz

A (a)

Rx

RyR

(c)A

Ax= 0

Ay= 0

M = 0

R

A(b)

x

y

Oz

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La reazione vincolare esercitata dalla cerniera sul punto A

dellelemento una forza R che pu avere direzione e verso qualsiasi(figura 5.6c). Inoltre la cerniera non impedisce la rotazionedellelemento, pertanto nullo il momento della reazione vincolarerispetto al punto A, il che equivale ad affermare che la retta di azione

della reazione R passa per il punto A vincolato. La reazione vincolare

quindi caratterizzata da:

0M = (5.8)

essendo M il modulo del momento della reazione R della cerniera

rispetto al punto A.

Un elemento rigido del quale un punto A vincolato con unacerniera ha, nel piano, un grado di libert. Infatti la sua genericaconfigurazione pu essere identificata unicamente dalla sua

inclinazione rispetto allasse x (un solo parametro indipendente),figura 5.7.

Figura 5.7.

Ricordando che in assenza di vicoli un elemento rigido ha tre gradi dilibert nel piano, si conclude che una cerniera riduce di due il numerodi gradi di libert di corpo rigido dellelemento. Pertanto la cerniera un vincolo di molteplicit m pari ad 2.

Doppio pendolo o incastro scorrevole

Un doppio pendolo che vincola il punto A di un elementoconsente al punto A solo spostamenti lungo una retta r, impedendo glispostamenti di A in ogni altra direzione e le rotazioni dellelemento. Idoppi pendoli si rappresentano come schematizzato infigura 5.8a.

Figura 5.8.

x

A

y

yA

xA

r

A x

(a)

A

Ax

Ay

r

A x

R

Rx

RyR

(c)

r

A x

r

AA

x

(b)d

r

A x

R

M = Rd

Aycos Axsin= 0

= 0

Rxcos+ Rysin= 0

x

y

Oz

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Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vista

cinematico la presenza del doppio pendolo nel punto A si descriveanaliticamente mediante le equazioni:

0

tanAA xy

=

= (5.9)

o, equivalentemente

0

0sinAcosA xy

=

= (5.10)


consentito lo spostamento di A (figura 5.8b) e la rotazionedellelemento vincolato. La(5.9) e la(5.10) stabiliscono il legame tra le

componenti Axe Aydello spostamento A del punto A rispetto al

riferimento assunto e che la rotazione impedita: il punto Avincolato con il doppio pendolo non pu subire tutti gli spostamenti nelpiano, ma solo quelli che soddisfano la (5.9) o, equivalentemente, la(5.10), dovendo contemporaneamente essere nulla la rotazionedellelemento vincolato (figura 5.8b).

Il doppio pendolo non in grado di esercitare sul punto Adellelemento alcuna reazione vincolare (forza) nella direzione

consentita per lo spostamento, pertanto la direzione della reazioneesercitata sul punto A una forza avente direzione ortogonale ad rche pu avere modulo e verso qualsiasi (figura 5.8c). Inoltre il doppiopendolo impedisce la rotazione dellelemento, pertanto non nullo ilmomento della reazione vincolare rispetto al punto A, il che equivale

ad affermare che la retta di azione della reazione vincolare R non

passa per il punto A vincolato. Nel riferimento assunto la reazionevincolare del doppio pendolo quindi caratterizzata da:

= tanRR yx (5.11)

o equivalentemente:

0sinRcosR yx =+ (5.12)

essendo Rxed Ryle componenti di R .

Un elemento rigido del quale un punto A vincolato con undoppio pendolo ha nel piano un grado di libert. Infatti la sua genericaconfigurazione pu essere identificata ad esempio dallascissa xAdelpunto A (un solo parametro indipendente), essendo la sua ordinatadefinita dallappartenenza di A alla retta r (figura 5.9)ed essendo fissala sua inclinazione.

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Figura 5.9.

Ricordando che in assenza di vicoli un elemento rigido ha tre gradi dilibert nel piano, si conclude che un doppio pendolo riduce di due il

numero di gradi di libert di corpo rigido dellelemento. Pertanto ildoppio pendolo un vincolo di molteplicit m pari ad 2.

Come casi particolari la retta r pu avere la direzione dellassex o dellasse y (figura 5.10). Nel primo caso (figura 5.10a) le(5.10) e(5.12) diventano:

0

0A y

=

= 0Rx = (5.13)


0

0Ax

=

=

0Ry = (5.14)

Figura 5.10.

Incastro

Una incastro che vincola il punto A di un elemento nonconsente spostamenti al punto A n rotazioni allelemento. Gli incastrisi rappresentano come schematizzato infigura 5.11a.

Figura 5.11.

x

r

A

y

yA

xA

y0

yA= y0+ xAtan

rA

(a)

A

=Ax

r

R=

Ry

rA

= 0r

A

A

A

r

Ax0

Ay= 0

= 0

R = Rx

r

A

= /2

(b)

Rx= 0

Ry0

M 0

Ax= 0

Ay0

= 0

Rx0Ry= 0

M 0

A = Ay

M

M

x

y

Oz

A (a)

Rx

RyR

(c)A

Ax= 0

Ay= 0

= 0

Rx0

Ry0

M 0A(b)

R d

A

R

M = Rd

x

y

Oz

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Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza del vincolo nel punto A si descriveanaliticamente mediante le equazioni:

0

0A

0A

y

x

=

=

=

(5.15)

essendo Ax e Ay le componenti dello spostamento A nelle

direzioni degli assi x ed y del riferimento assunto e la rotazionedellelemento vincolato. Le(5.15) stabiliscono che il punto A non puspostarsi in nessuna direzione (figura 5.11b) e che deve essere nullala rotazione dellelemento vincolato.

La reazione vincolare esercitata dallincastro sul punto A unaforza che pu avere direzione, modulo e verso qualsiasi (figura 5.11c).Inoltre lincastro impedisce la rotazione dellelemento, pertanto non

nullo il momento della reazione vincolare R rispetto al punto A, il che

equivale ad affermare che la retta di azione della reazione vincolare R

non passa per il punto A vincolato.

Un elemento rigido del quale un punto A vincolato con un

incastro non ha, nel piano, gradi di libert. Infatti la sua genericaconfigurazione resta identificata dalla posizione dellincastro (figura5.12).

Figura 5.12.

Ricordando che in assenza di vicoli un elemento rigido ha tre gradi dilibert nel piano, si conclude che la presenza di un incastro riduce ditre il numero di gradi di libert di corpo rigido dellelemento. Pertantolincastro un vincolo di molteplicit m pari ad 3.

x

A

y

yA

xA

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LEZIONE 5 Sessione di studio 1

Vincoli interni

Vincoli analoghi a quelli visti possono sussistere tra i diversielementi di un sistema di travi, impedendone alcuni spostamentirelativi. Per i vincoli interni valgono considerazioni del tutto simili aquelle viste per i vincoli esterni, con lunica differenza che glispostamenti impediti e quelli consentiti dai vincoli interni sono relativi,cio valutati rispetto ad un sistema di riferimento solidale con unodegli elementi collegati dal vincolo. In altre parole, considerato unsistema di travi del quale fanno parte due elementi I e II e consideratoun punto A dellelemento I ed un punto B dellelemento II, restano

definiti lo spostamento relativo BA tra i punti A e B (figura 5.13)

ABBA = (5.16)

essendo A e B gli spostamenti assoluti dei punti A e B e la

rotazione relativa tra gli elementi I e II (figura 5.13):

12 = (5.17)

essendo 1 e 2 gli le rotazioni assolute dei degli elementi cuiappartengono i punti A e B.Un vincolo interno tra i punti A e B impone restrizioni allo spostamento

relativo(5.16) ed alla rotazione relativa (5.17) o ad una sola di questegrandezze.

Allo stesso modo, le reazioni vincolari fornite dai vincoli internisono reazioni interne, cio forze che i punti di una parte del sistemasubiscono per effetto dellaltra, essendo le due parti collegate dalvincolo.

Assunto un un riferimento assoluto (xOy), le componenti BAx

e BAydello spostamento relativo (5.16) sono:

yyy

xxx

ABBA

ABBA

=

= (5.18)

In figura 5.13 sono rappresentate le quantit appena definite; inquesta la posizione degli elementi prima degli spostamenti rappresentata con linea rossa sottile mentre la posizione di questidopo gli spostamenti rappresentata con linea rossa di maggiorespessore. In particolare, infigura 5.13a sono rappresentate le quantitappena definite, con riferimento a due elementi rigidi e denominati I eII ed a due punti A e B ad essi appartenenti. In figura 5.13b le stessequantit sono rappresentate nel caso in cui i punti A e B dei dueelementi siano inizialmente (cio prima degli spostamenti) coincidenti;

in questultimo caso le componenti dello spostamento relativo possonoessere determinate semplicemente come

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ABy

ABx

yyBA

xxBA

=

= (5.19)

essendo (xA, yA) e (xB, yB) le coordinate dei punti A e B dopo lospostamento.

Figura 5.13.

Nelle seguenti considerazioni i punti A e B tra i quali posto unvincolo interno sono sempre considerati inizialmente coincidenti anchese nelle figure sono talvolta disegnati separati solo per necessit dirappresentazione grafica.

Si osserva infine se tra i punti A e B di due elementi di una

struttura posto un vincolo interno, la risultante ABR delle reazioni

vincolari esercitate dal vincolo sul punto A e la risultante BAR delle

reazioni vincolari esercitate dal vincolo sul punto B hanno stessa rettadazione, stesso modulo e verso opposto per il III principio della

Meccanica. Tenendo conto di questo, nel seguito le reazioni dei vincoliinterni sono identificate semplicemente con R , senza indicazione del

punto sul quale la reazione esercitata.

Pendolo interno

Un pendolo interno che vincola i punti A e B di due elementi I eII consente ai punti A e B solo spostamenti relativi in direzione di unaretta r e la rotazione relativa tra gli elementi, impedendo glispostamenti relativi tra A e B in ogni altra direzione. I pendoli interni sirappresentano come schematizzato infigura 5.14a.

A

A

I

I

BB

II

II

1

2

A

Ax

Ay

B

Bx

By

A

B

BA

Ax

Bx

BAx

Ay

By

BAy

A

I

I

1

A BB

II

II

2

BA

(a)

(b)

x

y

Oz

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Figura 5.14.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza del pendolo interno tra i punti A e B si descriveanaliticamente mediante lequazione:

= tanBABA xy (5.20)

o equivalentemente

0sinBAcosBA xy = (5.21)

La (5.20) e la (5.21) stabiliscono il legame tra le componenti BAxe

BAydello spostamento relativo BA : il punto B vincolato al punto A

con il pendolo interno non pu spostarsi rispetto al punto A se nonsoddisfacendo la(5.20) o, equivalentemente, la(5.21) (figura 5.14b).

Il pendolo interno non in grado di esercitare sul punto A Balcuna reazione vincolare nella direzione consentita per lospostamento relativo, pertanto la direzione della reazione vincolareesercitata una forza in direzione ortogonale ad r che pu averemodulo e verso qualsiasi (figura 5.14c). Inoltre il pendolo interno nonimpedisce la rotazione relativa tra i due elementi, pertanto nullo il

momento della reazione vincolare rispetto ai punti A B, il che

equivale ad affermare che la retta di azione della reazione R del

pendolo interno passa per i punti A B vincolati. Nel riferimentoassunto la reazione vincolare del pendolo interno quindicaratterizzata da:

0M

tanRR yx

=

= (5.22)

o equivalentemente:

0M

0sinRcosR yx

=

=+ (5.23)

essendo Rx ed Ry le componenti di R ed M il modulo del momento

della reazione R del carrello rispetto ai punti A e B.

Un sistema costituito da due elementi rigidi dei quali i punti A eB sono vincolati da un pendolo interno ha, nel piano, cinque gradi dilibert. Infatti, una volta fissata la configurazione del primo elemento,

AA

B

r

x B

r

BA

BAxBAy

x21

Rx

RyR

Br

xA

I

II

I

II

I

II

(a) (b) (c)RAB

RAB

RBA

RBABAycos BAxsin= 0 Rxcos+ Rysin= 0

M = 0

x

y

Oz

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per la quale sono necessari tre parametri indipendenti, la generica

configurazione del secondo pu essere identificata ad esempiodallascissa xBdel punto B e dalla sua inclinazione rispetto allassex. Una volta fissate la posizione del punto A e lascissa del punto B,lordinata di questultimo resta definita dallappartenenza di B alla rettar (figura 5.15).

Figura 5.15.

Ricordando che in assenza di vicoli un sistema costituito da dueelementi rigidi non connessi tra loro ha sei gradi di libert nel piano(tre per ogni elemento) si conclude che la presenza di un pendolointerno riduce di uno il numero di gradi di libert del sistema. Pertantoil pendolo interno un vincolo di molteplicit m pari ad 1.Un vincolo interno pu essere anche considerato come unasconnessione tra gli elementi da esso collegati pensati inizialmente

come un unico corpo rigido. Il sistema costituito dai due elementiconsiderati come un unico corpo rigido ha tre gradi di libert ed inquesto caso i punti A e B non potrebbero subire spostamenti relativi,n gli elementi potrebbero avere rotazioni relative. Lintroduzione di unpendolo interno tra i punti A e B introduce una sconnessione nelsistema nel senso che consente ai punti A e B spostamenti lungo laretta r e rotazioni relative degli elementi (figura 5.16). In questo sensosi dice che il pendolo interno costituisce una sconnessione dimolteplicit s pari a 2.

Figura 5.16.

Come casi particolari la retta r pu avere la direzione dellasse

x o dellasse y del riferimento assunto (figura 5.17). Nel primo caso(figura 5.17a) le(5.21) e(5.23) diventano:

x

y

yB

xB

y0

yB= y0+ xBtan

B

r

I

A

II

AA

B

r

x B

r

BA

BAxBAy x

12I

II I II

Rigido:

BAx= 0

BAy= 0

= 2 1= 0

Sconnessione:

BAycos- BAxsin= 0

= 2 10

x

y

Oz

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0BAy= 0R

x

=

(5.24)mentre nel secondo caso (figura 5.17b) le(5.21) e(5.23) diventano:

0BAx = 0Ry = (5.25)

Figura 5.17.

Cerniera interna

Una cerniera interna che vincola i punti A e B di due elementi diuna struttura non consente spostamenti relativi tra i due punti,

consentendo solo le rotazioni relative tra i due elementi. Le cerniereinterne si rappresentano come schematizzato infigura 5.18a.

Figura 5.18.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza della cerniera interna tra i punti A e B sidescrive analiticamente mediante le equazioni:

0BA

0BA

y

x

=

= (5.26)

essendo BAx e BAy le componenti dello spostamento BA nelle

direzioni degli assi x ed y del riferimento assunto. Le (5.26)stabiliscono che lo spostamento relativo tra i punti A e B nullo in

qualunque direzione (figura 5.18b).

= 0

BAx0

BAy= 0

0

= /2

Rx= 0

Ry0M = 0

Ax= 0

Ay0

0

Rx0

Ry= 0M = 0

A

B

rA

B

r

R=

Ry R

=Ry

B

A

R=

Ry

R=

Ry

A

B

r

A

A

B

Br

R = Rx

R = Rx

R = Rx

R = Rx

A

B

r

BA = BAx

1

2 A

B

r

1 2

BA = BAy

(a) (b)

x

y

Oz

AA B B

12

I

II

I

II Rx

RyR

BAI

II

(a)

BAx= 0

BAy= 0

M = 0

(b) (c)

x

y

Oz

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La reazione vincolare interna esercitata dal pendolo interno

una forza R che pu avere direzione e verso qualsiasi (figura 5.18c).Inoltre la cerniera interna non impedisce la rotazione relativa tra i dueelementi, pertanto nullo il momento della reazione vincolare rispetto

ai punti A B, il che equivale ad affermare che la retta di azione della

reazione vincolare R della cerniera interna passa per i punti A B

vincolati. La reazione vincolare della cerniera interna quindicaratterizzata da:

0M = (5.27)

essendo M il modulo del momento della reazione R della cerniera

rispetto al punto A.Un sistema costituito da due elementi rigidi dei quali i punti A e

B sono vincolati da una cerniera interna ha, nel piano, quattro gradi dilibert. Infatti, una volta fissata la configurazione del primo elemento,per la quale sono necessari tre parametri indipendenti, la genericaconfigurazione del secondo pu essere identificata ad esempio dalla

sua inclinazione rispetto allasse x (figura 5.19).

Figura 5.19.

Ricordando che in assenza di vicoli un sistema costituito da dueelementi rigidi non connessi tra loro ha sei gradi di libert nel piano(tre per ogni elemento), si conclude che la presenza di un pendolointerno riduce di due il numero di gradi di libert del sistema. Pertantoil pendolo interno un vincolo di molteplicit m pari ad 2.

Un vincolo interno pu essere anche considerato come unasconnessione tra gli elementi da esso collegati inizialmente pensaticome un unico corpo rigido. Il sistema costituito dai due elementiconsiderati come un unico corpo rigido ha tre gradi di libert ed inquesto caso i punti A e B non potrebbero subire spostamenti relativi,n gli elementi I e II potrebbero avere rotazioni relative. Lintroduzionedi una cerniera interna tra i punti A e B introduce una sconnessionenel sistema, nel senso che consente ai due elementi rotazioni relative(figura 5.20). In questo senso si dice che la cerniera interna costituisceuna sconnessione di molteplicit s pari a 1.

x

y

BI

A

II

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Figura 5.20.

Doppio pendolo interno

Un doppio pendolo interno che vincola i punti A e B di dueelementi I e II di una struttura consente ai punti A e B solospostamenti relativi in direzione di una retta r, impedendo glispostamenti relativi tra A e B in ogni altra direzione e le rotazionirelative tra gli elementi. I doppi pendoli interni si rappresentano comeschematizzato infigura 5.21a.

Figura 5.21.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza del doppio pendolo interno tra i punti A e B sidescrive analiticamente mediante le equazioni:

0

tanBABA xy

=

= (5.28)

o equivalentemente

0

0sinBAcosBA xy

=

= (5.29)


consentito lo spostamento relativo tra A e B (figura 5.21b) e la

rotazione relativa tra gli elementi vincolati. La (5.28) e la (5.29)stabiliscono il legame tra le componenti BAx e BAy dello

spostamento relativo BA tra i punti A e B rispetto al riferimento

AA

B

B

12

I

II I

II

Rigido:

BAx= 0

BAy= 0

= 2 1= 0

Sconnessione:

BAx= 0

BAy= 0

= 2 10

x

y

Oz

A

B

r

xI

II

BA

BAxBAy

A

B

r

xI

II

(a)

(b) RAB

B

r x

A

I

II

RBA

RBA

RAB

MAB

MBA

MAB

MBA

Rx

RyR

RAB

Br x

A

I

II

d

d

RBA

RBA

RAB

d

(c)

BAycos BAxsin= 0

= 0

Rxcos+ Rysin= 0

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assunto e che la rotazione relativa impedita: il punto B vincolato

al punto A con il doppio pendolo interno non pu spostarsi rispetto alpunto A se non soddisfacendo la(5.28) o, equivalentemente, la(5.29),dovendo inoltre essere nulla la rotazione relativa tra i due elementi(figura 5.21b).

Il doppio pendolo interno non in grado di esercitare sul punto

A B alcuna reazione vincolare (forza) nella direzione consentita perlo spostamento relativo, pertanto la direzione della reazione vincolareesercitata dal doppio pendolo interno una forza in direzioneortogonale ad r e che pu avere modulo e verso qualsiasi (figura5.21c). Inoltre il doppio pendolo interno impedisce la rotazione relativa

tra i due elementi, pertanto non nullo il momento della reazionevincolare rispetto ai punti A B, il che equivale ad affermare che la

retta di azione della reazione vincolare R del doppio pendolo interno

non passa per i punti A B vincolati. Nel riferimento assunto lareazione vincolare del doppio pendolo interno quindi caratterizzatada:

= tanRR yx (5.30)

o equivalentemente:

0sinRcosR yx =+ (5.31)

essendo Rxed Ryle componenti di R .

Un sistema costituito da due elementi rigidi dei quali i punti A eB sono vincolati da un doppio pendolo interno ha, nel piano, quattrogradi di libert. Infatti, una volta fissata la configurazione del primoelemento, per la quale sono necessari tre parametri indipendenti, lagenerica configurazione del secondo pu essere identificatadallascissa xBdel punto B, essendo nulla per effetto del vincolo la suarotazione rispetto al primo elemento. Si osserva che, una volta fissatela posizione del punto A e lascissa del punto B, lordinata di

questultimo punto resta definita dallappartenenza di B alla retta r(figura 5.22).

Figura 5.22.

Ricordando che in assenza di vicoli un sistema costituito da dueelementi rigidi non connessi tra loro ha sei gradi di libert nel piano(tre per ogni elemento), si conclude che la presenza di un doppio

x

y

yB

xB

y0

yB= y0+ xBtan

A

B

r

I

II

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pendolo interno riduce di due il numero di gradi di libert del sistema.

Pertanto il doppio pendolo interno un vincolo di molteplicit m pariad 2.Un vincolo interno pu essere anche considerato come unasconnessione tra gli elementi da esso collegati inizialmente pensaticome un unico corpo rigido. Il sistema costituito dai due elementiconsiderati come un unico corpo rigido ha tre gradi di libert ed inquesto caso i punti A e B non potrebbero subire spostamenti relativi,n gli elementi potrebbero avere rotazioni relative. Lintroduzione di undoppio pendolo interno tra i punti A e B introduce una sconnessionenel sistema nel senso che consente ai punti A e B spostamenti lungola retta r (figura 5.23). In questo senso si dice che il doppio pendolo

interno costituisce una sconnessionedi molteplicit s pari a 2.

Figura 5.23.

Come casi particolari la retta r pu avere la direzione dellassex o dellasse y. Nel primo caso (figura 5.24a) le (5.29) e (5.31)diventano:

0

0BA y

=

= 0R

x = (5.32)


0

0BA x

=

= 0Ry = (5.33)

Figura 5.24.

Rigido:

BAx= 0

BAy= 0

= 2 1= 0

Sconnessione:

BAycos- BAxsin= 0

= 2 1= 0

A

B

r

xI

II

BA

BAxBAy

A

B

r

xI

II

x

y

Oz

= 0

BAx0

BAy= 0

= 0

= /2

Rx= 0

Ry0

M 0

BAx= 0

BAy0

0

Rx0Ry= 0

M 0

(a)

A

B

r

I

III

BA = BAx

A

B

r

II

R=

Ry

R=

Ry

A

B

R=

Ry

R=

Ry

M

M

A B

r

I

II

BA

=BAy

A

B

rI

II

A

B

M

M

MM

R = Rx

R = Rx R = Rx

R = RxI

II

x

y

Oz

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Incastro interno

Un incastro interno che vincola i punti A e B di due elementi diuna struttura non consente spostamenti relativi tra i due punti nrotazioni relative tra i due elementi. Gli incastri interni si indicanosemplicemente rappresentano la continuit tra gli elementi adiacenti,come schematizzato infigura 5.25a.

Figura 5.25.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, dal punto di vistacinematico la presenza dellincastro interno tra i punti A e B si descriveanaliticamente mediante le equazioni:

0

0BA0BA

y

x

=

=

=

(5.34)

essendo BAx BAy le componenti dello spostamento A nelle

direzioni degli assi x ed y del riferimento assunto e la rotazionerelativa tra i due elementi vincolati. Le (5.34) stabiliscono che lospostamento relativo tra i punti A e B nullo in qualunque direzione(figura 5.25b) e che la rotazione relativa tra i due elementi nulla.

La reazione vincolare esercitata dallincastro interno unaforza che pu avere direzione, modulo e verso qualsiasi (figura 5.25c).Inoltre lincastro interno impedisce la rotazione relativa tra i dueelementi collegati, pertanto non nullo il momento della reazione

vincolare R rispetto ai punti A B, il che equivale ad affermare che la

retta di azione della reazione vincolare R non passa per i punti A B

vincolati.

Un sistema costituito da due elementi rigidi dei quali i punti A eB sono vincolati da un incastro interno ha, nel piano, tre gradi dilibert. Infatti, una volta fissata la configurazione del primo elemento,per la quale sono necessari tre parametri indipendenti, la genericaconfigurazione del secondo resta identificata senza bisogno dispecificare ulteriori parametri (figura 5.26).

A B

I

II

Rx

RyR

(a)

BAx= 0

BAy= 0

= 2- 1= 0

Rx0

Ry0

M 0

(c)

RAB

A

I

d

B

II

d

RBA

d

RBA

RAB AB

RAB

A

I

MABB II

RBA

MBA

RBA

RAB

AB

MAB

MBA

A B

I

II

(b)

x

y

Oz

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Ricordando che in assenza di vicoli un sistema costituito da due

elementi rigidi non connessi tra loro ha sei gradi di libert nel piano(tre per ogni elemento), si conclude che la presenza di un incastrointerno riduce di tre il numero di gradi di libert del sistema. Pertantolincastro interno un vincolo di molteplicit m pari ad 3.

Figura 5.26.

Un vincolo interno pu essere anche pensato come unasconnessione tra gli elementi da esso collegati considerati come ununico corpo rigido. Nel caso dellincastro interno non viene introdottaalcuna sconnessione tra i due elementi, essendo bloccati tutti glispostamenti relativi (figura 5.27), pertanto lincastro interno costituisceuna sconnessionedi molteplicit s pari a 0.

Figura 5.27.

x

y

B

I

A

II

A

B

I

II

Rigido:

BAx= 0

BAy= 0

= 2 1= 0

Sconnessione:

BAx= 0

BAy= 0

= 2 1= 0

A

B

I

II

x

y

Oz

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Sono proposte nel seguito alcune osservazioni relative ai vincolidefiniti.

Osservazione 1

Una cerniera che vincola il punto A equivale a due pendoli nonparalleli che vincolano il nel punto A (figura 5.28a); un doppio pendoloche vincola il punto A equivale a due pendoli con assi paralleli chevincolano il punto A (figura 5.28b); un incastro che vincola il punto Aequivale a tre pendoli, due dei quali con assi paralleli che vincolano il

punto A (figura 5.28c).

Figura 5.28.

Considerazioni analoghe valgono per i corrispondenti vincoli interni.

Osservazione 2

I vincoli sono qualificati dalle componenti di spostamento cheimpediscono ai punti vincolati o equivalentemente dalle reazionivincolari che sono in grado di esercitare ai punti vincolati. Questegrandezze (spostamenti e reazioni vincolari) sono caratterizzate dalfatto che, per ogni tipo di vincolo, nullo il lavoro compiuto dallereazioni vincolari per gli spostamenti consentiti. Ad esempio lareazione di un pendolo ortogonale alla direzione dello spostamento

consentito al punto vincolato, sicch il lavoro computo dalla reazionerelativamente allo spostamento consentito dal vincolo nullo; lareazione di un doppio pendolo costituita da una forza aventedirezione ortogonale alla direzione dello spostamento consentito e dauna coppia sicch il lavoro compiuto dalla forza relativamente allospostamento consentito al punto vincolato nullo come nullo illavoro della coppia relativamente alla rotazione dellelementovincolato, essendo questultima nulla.

Osservazione 3

La molteplicit dei vincoli pari al numero di equazioniindipendenti necessario a caratterizzarli cinematicamente. Ad esempioil carrello caratterizzato cinematicamente dalla (5.2) ed hamolteplicit unitaria; la cerniera caratterizzata cinematicamente dalle

A

Ax= 0

Ay= 0

0

Rx0

Ry0M = 0

(a)

A

r

A x

(b)r

A x

Aycos Axsin= 0

= 0

A

(c)

A

Ax= 0

Ay= 0

= 0

Rx0

Ry0

M 0Rxcos+ Rxsin= 0

M 0

x

y

Oz

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due equazioni (5.7) ed ha molteplicit pari a 2; il doppio pendolo

caratterizzato cinematicamente dalle due equazioni (5.10) ed hamolteplicit pari a 2; lincastro caratterizzato cinematicamente dalletre equazioni (5.15) ed ha molteplicit pari a 3.

Osservazione 4

Lidentificazione di un vincolo e della relativa reazione vincolarecome esternao internadipende dal sistema di riferimento assunto edai confinistabiliti a priori per il sistema. I vincoli interni rappresentatinelle figure precedenti possono essere visti come esterni qualora siconsideri il sistema costituito ad esempio dallelemento II e si adotti un

sistema di riferimento solidale con lelemento I. Analogamente lereazioni di questi vincoli sono esterneo internedipendentemente dalladefinizione che si data al sistema.

Osservazione 5

Sia per i vincoli interni che per i vincoli esterni, il numero dicomponenti di reazione vincolare indipendenti che il vincolo puesercitare pari alla molteplicit del vincolo.

Figura 5.29.

Ad esempio, un carrello esterno che impedisce lo spostamentoverticale pu esercitare solo una reazione verticale e sono nulle lareazione orizzontale ed il momento della reazione vincolare rispetto alpunto vincolato; una cerniera che impedisce sia la componenteverticale che la componente orizzontale dello spostamento puesercitare entrambe le componenti di reazione vincolare ed nullo il

A Ax

Ay= 0

Ry0

Ry

Ax= 0

Ay= 0

Rx0

Ry0

A

Ry

Rx A Ax

Ry

Ay= 0

= 0

Ry0

M 0M

A

Ry

Rx

M

Ay= 0

Ay= 0

= 0

Rx0

Ry0

M 0

A

BBAx

1

2

BAy= 0

Ry0

A

Ry

B

Ry

A B

12

A

Ry

Rx B Rx

Ry

BAx= 0

BAy= 0

Rx0

Ry0

BAx

A

B

A

Ry

M

B

Ry

M

BAy= 0

= 0

Ry0

M 0

A B

Ry

Rx M

Ry

M

Rx

BAx= 0

BAy= 0

= 0

Rx0

Ry0

M 0

x

y

Oz

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momento della reazione vincolare rispetto al punto vincolato; un

incastro scorrevole che impedisce lo spostamento verticale puesercitare solo una reazione verticale ed un momento della reazionerispetto al punto vincolato ed nulla la reazione orizzontale, ecc. Lafigura 5.29 riassume queste considerazioni per i vincoli visti, siaesterni che interni.

Osservazione 6

Un vincolo interno pu sempre essere considerato come unasconnessione relativamente al sistema precedentemente consideratorigido. La molteplicit m del vincolo (numero di spostamenti relativi

indipendenti impediti) e la molteplicit s della sconnessione (numero dispostamenti relativi consentiti) soddisfano ovviamente:

m3s = (5.35)

Osservazione 7

I vincoli descritti sono rappresentazioni ideali degli effettivicollegamenti tra le strutture ed il suolo, tra diverse strutture e tradiversi elementi di una struttura. I vincoli reali si differenziano da quellidescritti principalmente per quanto segue.

-

Gli spostamenti che nei vincoli ideali sono impediti, nei vincolireali sono fortemente limitati, ma in genere non totalmenteimpediti; si pensi ad esempio ad un pilastro consideratoincastrato al livello della fondazione. Lincastro prevederebberotazione nulla della sezione di base del pilastro ma in effettiquesta sezione pu subire piccole rotazioni dovute allerotazioni della trave di fondazione, del plinto di fondazione o delterreno sottostante.

- Agli spostamenti che nei vincoli ideali sono consentiti noncorrispondono reazioni vincolari (vincoli lisci). Nei vincoli realiquesti spostamenti non sono in effetti completamente liberi in

assenza di reazioni vincolari. Si pensi ad esempio ad una traveorizzontale appoggiata su una muratura verticale; questaconnessione si schematizza spesso con un carrello cheprevederebbe spostamenti orizzontali e rotazioni ed unareazione vincolare solo verticale. In effetti gli spostamentiorizzontali non sono totalmente liberi, ma sono limitatidallattrito sul piano di appoggio e conseguentemente lareazione vincolare pu avere anche una componenteorizzontale data dallattrito; la rotazione della sezione diappoggio non totalmente impedita, ma limitata dal peso dellamuratura sovrastante e conseguentemente la reazionevincolare pu essere costituita anche da una coppia. Inoltre lospostamento verticale, pur rimanendo molto piccolo, pu non

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essere nullo per effetto delle deformazioni locali sulla muratura

nella zona di appoggio della trave.

- Non detto che nel caso dei vincoli reali i punti che subisconole limitazioni agli spostamenti siano in effetti i baricentri dellesezioni vincolate. Si pensi ancora al caso della trave orizzontaleappoggiata ad una muratura verticale. Il punto effettivamentevincolato non il baricentro della sezione ma situato sullafaccia inferiore della trave, a contatto con la muratura; ilbaricentro della sezione si sposta orizzontalmente almeno pereffetto della rotazione della sezione di appoggio.

- Nel caso di vincoli interni tra gli estremi di due aste, i punti A e

B tra i quali presente il vincolo non sono, in generale,coincidenti, essendo necessario un certo spazio per disporrelapparecchio di vincolo. Le reazioni vincolari non sono quindiapplicate agli estremi delle aste, ma ad una certa distanza daquesti.

Osservazione 8

La definizione di sistema staticamente determinato ostaticamente indeterminato data allinizio della lezione formulata conriferimento ai sistemi rigidi o costituiti da elementi rigidi tra loro

vincolati. Verranno esplicitate nelle prossime lezioni le condizioni sottole quali questi tipi di sistemi sono staticamente determinati. Se ilsistema invece deformabile sempre possibile determinare lereazioni vincolari cui soggetto. Tuttavia per i sistemi staticamenteindeterminati necessario introdurre considerazioni relative alledeformazioni degli elementi costituenti il sistema. Lipotesi diindeformabilit fa s che ai sistemi costituiti da elementi indeformabiliquesto tipo di considerazioni non possano essere applicate, sicch gliunici strumenti per la determinazione delle reazioni vincolari sono leEquazioni Cardinali della Statica ed il Principio dei Lavori Virtuali nelquale non coinvolto il lavoro interno che, per lipotesi di

indeformabilit, nullo.

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Per una pi completa comprensione delle questioni esposte, in questasessione di studio si suggerisce al lettore di rivedere alcuni concettiesposti nel corso di Meccanica Razionale. In particolare:

- Classificazione dei vincoli (lezione 18 del corso del prof. Turzi).

- Gradi di libert (lezione 18 del corso del prof. Turzi).

- Terzo principio della Meccanica (lezione 25 del corso del prof.Turzi).

- Riduzione di sistemi di forze (lezione 34 del corso del prof. Turzi).

Date post:	26-Feb-2018
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