7 - Metodo Omega

5/9/2018 7 - Metodo Omega

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>-'VWo


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15 Lastabilita deU'equilibrio elastico

Figura 15.6

15.32

(15.14) v ( O ) = 0, v(l) = 0,che forniscono rispettivamente

(15.15) C1 sen cd= o .La seconda delle (15.15) e soddisfatta se C1rettilinea oppure sesen ol = 0, cioe se 0, cioe se la trave rimane

(15.16) cxl=n7T con nE {1 ,2 , ... ,N } .Dalla (15.16), tenendo conto della posizione fatta, risulta

n2 1 1 ' 2 E 1Ncr

da cui siosserva che esistono infiniti valori del carico critico.In pratica, pero, interessa il pili piccolo (n = 1) di tali valori:

1 1 ' 2 E 1(15.17) Ncr

cui si associa la deformata

n = 1

Ncr A ~BN cr--+~ +-1 /2 1 /2

n=2

N cr A B Ncr--+ z : : : : = : : > z : : : : = : : > +- n=3 9 1 T 2 E INu= -1-2-1/3 1/3/3

Figura 15.7

15 Lastabilita deU'equilibrio elastico

~NI=o

--..-10 =1

~s::::----~10 =IY2

+--N10 = 1/ 2

N. , ._ _ _ _ _--//

__/-

10 = 21

1 T 2 E I 1 T 2 E IN =--=--

c r I~ 41 2

1 T 2 E I 21T2 EIN =-_= __cr I~ 12

1 T 2 E I 4 1 T 2 E IN =--=--cr I~ 12

1 T 2 E i 1 T 2 E IN =--= __cr I~ 12

1T2 E I 1 T 2 E lN =--=--cr I~ 41 2

15.33


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15 Lastabilita dell'equilibrio elastico

1TZV =C1 sen az =C1 sen - ,1

sinusoide di lunghezza pari ad 1 . In fig. 15.6 sono riportate le deformateflessionali anche per n = 2 en = 3.Altre condizioni di vincolo.Per le travi a sezione costante comunque vincolate, il carico critico puo

essere espresso da una formula analoga alla (15.17), dettaformula di Eulero,1T2E I

(15.18) NCT

dove 1 0, che e una lunghezza fittizia detta lunghezza libera di inflessione,rappresenta la distanza tra due punti di flesso successivi della deformataflessionale, che e sempre una sinusoide, a meno di una costante 0diuna fun-zione lineare in z.Infat ti, se la trave e comunque vincolata agli estremi, l'espressione del

momenta esterno non e piii fornita dalla (15.8), rna i contributi che le even-tuali reazioni esterne aggiungono possono essere al piu lineari, per cui l'mte-grale generale dell'equazione differenziale che esprirne il bilancio tra azionistabilizzanti e instabilizzanti e ancora tina sinusoide.Di conseguenza, anziche eseguire l'integrazione dell'equazione differen-ziale per le varie condizioni di vincolo, conviene stabilire la possibile defer-mata secondaria flessionale e confrontarla con quella fondamentale della tra-ve appoggiata agli estremi. Nella fig. 15.7 sono riassunti i casi pin comuni.Anche nel caso di portali con traversi infinitamente rigidi, illustrati in fig.

15.8, [e deformate dei rit ti sono delle sinusoidi le cui lunghezze l ibere diinflessione risultano pari alla luce della trave (telaio con ritti incastrati) 0al suo doppio (telaio con ritti incernierati alla base).Controventatura.Consideriamo ancora il portale semplice i cui ritti, collegati in sornmita

da un traverso infinitamente rigido, siano incernierati alla base. Ebbene,vogliamo determinare il carico cri tico nel l' ipotesi che i l t raverso su cuiagisce la forza F sia vincoiato a non subire traslazioni orizzontali (fig. 15.9).La forza F siripartisce ugualmente sui due ritti, la cui deformata flessiona-

le, essendo impedito 10 sbandamento laterale del traverso e dovendo resta-re verticale la tangente alla linea elastica dei ritti nei punti di attacco A eBal t raverso, corrisponde a quella di una trave incastrata e appoggiata. La

15.34


Figura 15.8

10 = 2h

h

h

2 rr 2 E Iqc,=~

Figura 15.9

A

h

lunghezza libera di inflessione risulta pertanto pari a

dove h, conformemente alle notazioni illustrate in fig. 15.9, rappresenta15.35


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l 'altezza della trave. Per la formula diEulero siha1I '2EI

2

da cui segueF cr

Confrontando tale risultato con quello relativo allo schema senza il carrelloin B, illustrato in fig. 15.8, si deduce facilmente che, impedendo 10 sbanda-mento del traverso, il carico cri tico aumenta di 8 volte rispetto alcaso disbandamento consentito. E' tale circostanza dunque, che porta a centro-ventare i telai con un traverso infinitamente rigido.Osservazione.Se la struttura puo inflettersi soltanto in un piano, il momenta diinerziaIche compare nella formula di Eulero (15.18) e quello relativo a tale piano.

Se la trave puo inflettersi secondo un piano qualsiasi, invece, ilcarico criticoe quello corrispondente al piano di minima rigidita flessionale e, di conse-guenza, il momenta di inerzia da introdurre nella (15.18) e quello relativoal suddetto piano. Pertanto la formula di Eulero, in forma pili completa,S1 scnve

(15.19) 7r2 EI .mmN =cr 12o

Per meglio chiarire quanto esposto sopra, consideriamo, ad esempio, latrave a mensola soggetta ad uno sforzo assiale di compressione (fig. lS.10.a).Nel caso che la sezione sia a doppio T, sela trave puo inflettersi secondoqualsiasi piano (fig. lS.10.b), il momenta di inerzia da introdurre nella for-mula di Eulero e quello minimo, cioe

I. =Imm ySe invece la mensola puo assumere la sua configurazione variata soltanto nelpiano yz (fig. lS.10.c), risulta

I. =1min xNel caso della sezione quadrat a e circolare, illustrate nelle figg. lS.10.d, e,il momenta di inerzia minimo coincide con il momenta diinerzia rispetto a

15.36

Figura 15.10


a)

~l-y--------:;Z-7

1 . x GyImn = Ix Imn = 1)( = Iy Ip2d) e)) c)

qualsiasi assebaricentrico.Da quanto detto consegue che, per avere i l migl iore sfrut tamento del

materiale e quindi realizzare la massima economia, la sezione delle astesottili compressedeve avere come ellisse di inerzia un cerchio.Limit i d i val id itd del la formula di Eulero.La formula di Eulero (15.18) viene ricavata dall'uguaglianza tra momentainstabilizzante e momenta stabilizzante e l'espressione di quest'ultimo si

ottiene dall'equazione della linea elasticaM

dz 2 EIvalida nella trattazione alla De Saint-Venant. Pertanto, detta a0 la tensionenorrnale allimite di proporzionalitd del materiale e

Ncracr Ala tensione normale critica, cioe la tensione corrispondente al carico criticoN nell'asta, la formula di Eulero e valida se risultacr

ovvero7r2 EI .mm(15.20) Ncra =-- =----cr A A12o

Definendo come snellezza dell'asta il rapporto15.37


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15 La stabilita dell'equilibrio elastico

(15.21) 1 1 . =

fra la l unghe zz a l ibe ra d i in tl es si one e ilminimo ragg io d i i nerzia del la se-z ione , per [e (15.20) e (15.21) si puo scrivere

7r2Ea =--~aocr 1 1 . 2(15.22)Definendo snellezza limite 1 1 . 0 i l v alo re di Aper cui s i h a

dal la (15 .22) consegue che

(15.23) Ao = 7 r , F .V ~La formula di Eulero, quindi, e valida solo per

A;; ; ' 11 .0 'Come e f ac ile d edur re dal la (15 .23 ), l a snel le zz a l imi te dipende solo ' da ll e. caratteristiche E, a o del materia le costi tuente la t rave e non dal la geometr iadeHa s'tessa.

La re1azione tra 11. 2 e a forni ta dal la formula di Eulerocr(15.24 )

e un' ipcrbole cquilatera (de tta iperbole d i Eulero) aven te per as in tot i g li

Figura 15.11 Travi lozze Travi snelle

15.38

15 La stabilita dell' equilibrio elastico

assi a e 11 .2 , come e mostrato in fig . 15.11 .crSe A > 11 .0 ' c io e per t rav i snel le , l a t en sione c ri tic a d i Eul ero puo essereconsidera ta come la tensione di col lasso.Se invece A < 1 1 .0 ' c io e per t ra vi t oz ze, l a formu la d i Eul ero non e pill va-l id a. Per t al e mot ivo ilr amo d i i perbol e a s in is tr a d iH e disegnato a tratti;

esso e costi tu ito da un insieme di punti le cui coordinate (a cr' 11 .2 ) soddisfanol 'equaz ione (15.24) rna , essendo 1 1 .< 1 1 .0

' l 'ipe rbole di Eulero fornisce per essivalori d i a ,e' quindi di N ,in eccesso rispetto al vero (infatti a non puocr, cr crmai superare il valore del la te ns ione d i c ri si a c ompressi one) . In t al ca so,qualora a0 coincida con l a t ens ione di sne rvamento a s' l a a0 stessa puo esse-r e cons ide rat a come ten sione d i c ol la sso, qu indi l a l in ea l imi te per l e a nel. crcampo 1 1 . < 1 1 . 0 e l 'or iz zont ale cont inua per H. Se inve ce a s> a o' la li nea l i-mite deve part ire da as per A = 0 e rac co rda rs i a ll 'i perbo le di Eule ro inH(con la stessa tangente, per continuita),Osservazioni.a) Per un acc ia io da costruz ione risul ta

E = 2,1 . 106 kg/cm2, ao = 2000 kg/cm2 , 1 1 .0 ~ 100.b) Usando la formula di Eulero per A < 1 1 .0 ' la t rave cedrebbe per schiac-

ciamento prima che per infless ione laterale. Per una trave tozza, cioe, 1 0sbandamento f le ss iona le, secondo l a (15 .24) , s i av rebbe pe r una t en sionesuperiore a quella di snervamento e rottura del materiale soggetto a sem-pl ice compressione. Pe r A > 11 .0 ' quindi, la verifica si fa con la formula diEulero; per A < 1 1 .0 la verifica si fa a compres sione s emplice e, volendoef fe ttu are ve rif ic he a l c ar ic o cr it ico pe r I e t rav i t ozz e, s i po ssono usare for -mu le emp ir iche (Rank ine , Tetmaye r) . E ' conven ien te pero u sare un metodogenerale di verifies come ilmetodo omega, di cui si t ra ttera fra breve .c ) Poiche il t ;af ico cr it ic; o fomito dal la (15 .18 ) d~ l' ende dal modulo d i

el~S14.reil:i.!ifo"n.- ~ -no d~nslOne Hi r@t u ra del Il!.~i:ie, non e~ Iconven ien te, d al punto d i v is ta economico , u sare ac ci ai a d a lt a r es is tenzache, praticamente, hanno 10 stesso modulo E degli acciai comuni.Metodo omega.

I I me todo omega, v al ido solo per tr av i a sezione co st an te, e un procedi-mento gene ral e d i v er if ica per un' as ta compressa appl ic ab il e per qua ls ias ivalore del la sne llezza A (6) . Infat ti t al e metodo t i~ne au tomat icament e con -

(6) Le norme vigenti l imitano i valori massimi della snellezza a 200 per le membratureprincipali e a 250 per quelle secondarie.

15.39

,


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' 1 - - 1 < . O "w + r-L..~~ U . t _ fZ Y CA ,+ C-> AS l' NC d . . o cJl. ~\9-- CJ IlAU \.u. S O-.a- ~


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facendo uso della formula valida per 1acompressione semplice (rna adottan-do una tensione a minore di quella ammissibi1e) si determina ilraggio di iner-zia minimo Pmin' la snellezza A e quindi ilcoefficiente w. Si esegue poi laverifica con 1a(15 .25) . I1procedimento viene iterato fino ad ottenere risulta-ti soddisfacenti.

15.4. LA TRAVE CARICATA NEI NODI.Si consideri la trave rettilinea AB (fig. 15.12), di sezione costante, ap-

poggiata agli estremi e soggetta ad una forza Ndi compressione e ad unacoppia At nell'estrerno B. Pereffetto della coppia At esterna, la trave sidefor-rna secondo la curva v = v (z) . Per effetto di tale inflessione, sigenera in ognisezione un momenta interno (effetto stabilizzante)(15.26) M. =-Elv",e un momento esterno (effetto instabilizzante)

(15.27) AtM =Nv+ -z,e 1che tende a far progredire l' inflessione del la trave. Dalla condizione diequilibrio Mj = Me consegue, per le (15.26) e (15.27),(15.28) -Elv" = Nv + At z.1La (15.28), con la solita posizione (XZ = NIEI, si puo scrivere(15.29) "Z Atv + (X v =- - z.EllL'integra1e genera1edella (15.29) e

.v = C1 sen (X Z + Cz cos (X Z - --- z,(XZ Ell

Figura 15.12

15.42


o anche

(15.30) Atv = C1 sen ccz+ Cz cos ( XZ - --z.NIDalle condizioni ai limiti

v( z = 0), v( z = 1)consegue rispettivamente

AtC sen (Xl - - = 01 Novvero

(15.31) Nsen alSi ha percio, per la (15.30) e 1e (15.31),

At At (sen (xz _ IZ )v=---- senoa- --z =N sen (Xl N l N sen (X l15.32)Come sideduce ovviamente dalla (15.32), e v = 00per(15.33) al = rtttDalla (15.33), tenendo conto della posizione fatta, consegue ilvalore del ca-rico critico assiale:

(15.34) N =cr11valore del carico critico assiale, fornito dalla (15.34), sebbene coin-

cida con quel lo relativo al le aste caricate di punta, ha un significato bendiverse.Infatti, per le aste caricate dipunta, doe solo con forza assia1eN, ilcarico

crit ico e quel part ico1are valore del carico al di sot to del quale (N< Ncr)l 'asta si mantiene nella configurazione rettilinea indeformata; per valorisuperiori (N >Ncr) ' poi, l 'equilibrio diviene instabile con cedimento im-provviso dell'asta per inflessione laterale.Per 1e aste caricate, olt re che daUo sforzo assiale N, anche da carichi

normali all'asse 0da coppie, perN< Nc r la trave non e rettilinea rna infles-sa, doe scostata dalla configurazione rettilinea, indipendentemente dalvalore

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