8 Estensione - CERN Document Server · Standard e sup ersimmetria L'insieme dei test di precisione...

Capitolo 1

Estensione supersimmetrica del

Modello Standard

In questo capitolo introduttivo, dopo aver discusso l'interesse ed il ruolo della

supersimmetria nella �sica delle particelle elementari, viene descritto nei suoi

elementi principali il Modello Standard Supersimmetrico Minimale (MSSM),

che rappresenta la pi�u semplice realizzazione di una supersimmetria di bassa

energia che estenda il Modello Standard di Glashow, Weinberg e Salam.

Chiude il capitolo una rassegna dei risultati sperimentali odierni sulla

ricerca delle particelle supersimmetriche predette dal MSSM.

1.1 Modello Standard e supersimmetria

L'insieme dei test di precisione eseguiti al LEP, a SLC e al TEVATRON,

hanno evidenziato in maniera forte la validit�a del Modello Standard [1] co-

me teoria in grado di descrivere coerentemente tutti i fenomeni osservati

riguardanti le interazioni elettrodeboli e forti.

Dopo l'entrata in funzione di LEP, nel 1989, e �no alla �ne del 1995,

termine della prima fase di funzionamento del LEP ad energie intorno al

polo del bosone Z, sono stati analizzati dai quattro esperimenti ALEPH,

DELPHI, L3 ed OPAL, complessivamente circa 16 milioni di decadimenti

dello Z, che hanno permesso di misurare la massa del bosone Z con una

precisione di 2 �10�5, e gli altri parametri elettrodeboli: la larghezza totale di

decadimento del bosone Z, le larghezze parziali di decadimento in leptoni ed

adroni, le asimmetrie e il numero di famiglie di neutrini leggeri, con precisioni

di poche unit�a su mille.

7

8 Estensione supersimmetrica del Modello Standard

I risultati1 pi�u recenti [2] di tali misure sono riportati in tabella 1.1 insieme

al valore delle predizioni per tali osservabili del MSM.

Quantit�a: Dati: MSM

MZ (GeV ) 91.1863(20) 91.1861

�Z (GeV ) 2.4946(27) 2.4960

�h (nb) 41.508(56) 41.465

Rh 20.788(29) 20.757

Rb 0.2178(11) 0.2158

Rc 0.1715(56) 0.1723

AlFB 0.0174(10) 0.0159

A� 0.1401(67) 0.1458

Ae 0.1382(76) 0.1458

AbFB 0.0979(23) 0.1022

AcFB 0.0733(48) 0.0730

Ab 0.889(21) 0.935

Ac 0.660(39) 0.667

sin2 #eff (LEP) 0.23200(27) 0.23167

ALR ! sin2 #eff 0.23061(47) 0.23167

mW (GeV ) 80.356(125) 80.353

Tabella 1.1: Confronto tra le misure elettrodeboli e le predizioni del Modello

Standard (i valori tra parentesi forniscono l'inceretezza ad una deviazione

standard sulle ultime cifre signi�cative).

A tali misure di precisione va aggiunta la scoperta da parte del TEVA-

TRON del quark top [3], e la misura della sua massa: mt = 175(6) GeV=c2,

in ottimo accordo con la misura indiretta ottenuta in precedenza al LEP

dallo studio delle correzioni radiative del Modello Standard.

La misura diretta di tale particella insieme alla determinazione precisa

del numero di specie di neutrini ottenuta al LEP (N� = 2:989(12)), completa

l'osservazione sperimentale di tutte le particelle del settore fermionico e di

gauge del Modello Standard (del neutrino � anche se non ancora osserva-

to direttamente esistono forti indicazioni indirette), rimanendo ancora non

osservato invece il bosone di Higgs, necessario per spiegare la rottura del-

1Nel testo massa ed impulso delle particelle vengono indi�erentemente espressi in GeV

o in GeV=c2 e GeV=c, assumendo o meno, a seconda della convenienza, la convenzione

c = 1.

1.1. Modello Standard e supersimmetria 9

la simmetria elettrodebole (le ricerche e�ettuate al LEP hanno premesso di

�ssare un limite inferiore alla sua massa di 65 GeV=c2 al 95% C.L.).

Nonostante le spettacolari conferme del modello teorico, �e per�o opinione

comune nella comunit�a scienti�ca che esistano forti indicazioni concettuali

per la presenza di nuova �sica oltre il Modello Standard, �sica che dovrebbe

manifestarsi nel dominio di energia del TeV (vedi ad esempio [4]).

Tali indicazioni derivano dalla constatazione della impossibilit�a del Mo-

dello Standard di risultare \naturalmente" valido a scale di energia molto

grandi (O(1011 � 1016 GeV ) (vicino alla scala di Plank (O(1019 GeV ))), alle

quali si ipotizza l'uni�cazione delle interazioni fondamentali.

La struttura concettuale del Modello Standard infatti non �e in grado

di spiegare naturalmente la scala di massa dei bosoni intermedi, �ssata dal

meccanismo di Higgs alla scala di Fermi: m � 1=pGF � 300 GeV , che

risulta circa 1017 volte pi�u piccola della scala di Plank.

Tale problema del Modello Standard, noto con il nome di problema del-

la gerarchia �e direttamente connesso al problema della naturalezza, che si

veri�ca in tutte quelle teorie quantistiche di campo con scalari elementari

(il bosone di Higgs nel MSM) non protetti da una qualche simmetria, che

prevenga le masse di tali particelle dall'acquistare correzioni radiative qua-

draticamente divergenti nel parametro di cut-o� � con cui si regolarizza la

teoria.�E importante sottolineare che la presenza di tali divergenze non costitui-

sce un problema tecnico, data la rinormalizzabilit�a della teoria, che permette

sempre di riassorbire le divergenze quadratiche tramite una opportuna ride-

�nizione delle masse e degli accoppiamenti.

Il problema risiede invece nel fatto che per ottenere la cancellazione voluta, �e

necessario eseguire un aggiustamento dei parametri molto �ne (�ne tuning),

di una parte su 1017, al �ne di mantenere valida la gerarchia m�MP lank.

Tale caratteristica fa si che il Modello Standard debba essere visto come

una teoria di campo e�ettiva, valida unicamente �no ad una certa scala di

energia (la scala di naturalezza), de�nita dal valore del cut-o� �, oltre la quale

deve essere rimpiazzato da una teoria pi�u generale. Da quanto osservato in

precedenza la scala di naturalezza del Modello Standard �e la scala di Fermi,

ed �e quindi di conseguenza plausibile ipotizzare il manifestarsi di nuova �sica

intorno a tale scala.

Per risolvere il problema della naturalezza del Modello Standard, gli sforzi

teorici odierni si sono sviluppati lungo due direttrici principali:

Modelli compositi [5]. In tali teorie, nella descrizione della rottura del-

la simmetria elettrodebole l'Higgs elementare viene rimpiazzato da un

condensato di fermioni elementari, indotto da una nuova interazione


forte intorno alla scala di Fermi.

Il problema pi�u serio dei modelli appartenenti a questa categorie di teo-

rie (technicolor, technicolor \esteso", \walking" e \non commutante"),

�e legato alle di�colt�a tecniche nel realizzare un modello realistico e

calcolabile, legate alla di�cile trattazione di fenomeni che sono intrin-

secamente non perturbativi. Inoltre la maggior parte di tali modelli

teorici sono stati esclusi dalle misure di precisione di LEP1, mentre

le predizioni di modelli pi�u esotici sono fuori dal dominio di energie

esplorabile a LEP2.

Supersimmetria [6]. Una diversa possibilit�a di spiegare il problema del-

la naturalezza del Modello Standard viene dalla supersimmetria, ed in

particolare dai modelli di supersimmetria di bassa energia [7], in cui la

rottura della simmetria avviene in modo e�ettivo intorno alla scala di

Fermi.

In tali modelli si ipotizza l'esistenza di scalari elementari, ma la teoria

risulta stabilizzata dalla introduzione di una simmetria aggiuntiva, che

mette in relazione i campi scalari con i campi fermionici, riducendo le

divergenze quadratiche a livello di divergenze logaritmiche, al pari di

quanto accade nel Modello Standard per i fermioni a causa della sim-

metria chirale.

Assumendo, in accordo con le osservazioni sperimentali che non evi-

denziano la presenza di particelle scalari, che la supersimmetria debba

essere rotta ad una data scala di energia, il cut-o� � viene ad essere so-

stituito, come vedremo pi�u precisamente nel paragrafo seguente, dalla

di�erenza di massa tra le particelle ordinarie ed i loro corrispettivi par-

tner supersimmetrici. Di conseguenza la richiesta che la teoria spieghi

la gerarchia di massa dei bosoni deboli intermedi, impone che le masse

delle particelle supersimmetriche debbano essere dell'ordine della sca-

la di Fermi, e quindi in un dominio di massa pienamente studiabile a

LEP2 e a LHC.

Una delle caratteristiche pi�u attraenti dei modelli di supersimmetria di

bassa energia, deriva dal fatto che le predizioni di tali modelli, rappre-

sentando questi una estensione diretta del Modello Standard elettro-

debole, presentano un accordo con le misure sperimentali di precisione

allo Z, dello stesso livello del MSM, grazie alle propriet�a di disaccop-

piamento degli e�etti virtuali del settore supersimmetrico, per masse

delle nuove particelle supersimmetriche sopra la soglia di MZ=2.

Nei paragra� che seguono verranno descritte in dettaglio le motivazioni

teoriche per la realizzazione di una supersimmetria di bassa energia, e gli


elementi costitutivi del Modello Supersimmetrico Standard Minimale, che

rappresenta la pi�u semplice estensione supersimmetrica del MSM.

1.1.1 Motivazioni per una teoria supersimmetrica di

bassa energia

La supersimmetria, ed in particolare la sua versione locale la supergravit�a,

possiede molte e rimarchevoli propriet�a, che rendono plausibile l'idea che tali

teorie possano giocare un ruolo rilevante nella costruzione del modello teorico

fondamentale delle interazioni tra particelle elementari.

Alcune di queste propriet�a sono di natura squisitamente teorica ed in

relazione con il fatto che la supersimmetria �e la pi�u generale simmetria per

la matrice S consistente con una teoria quanto-relativistica di campo [9].

Inoltre la supersimmetria migliora il comportamento ultravioletto delle teorie

di campo, in particolare eliminando le divergenze quadratiche presenti nel

Modello Standard elettrodebole.

Poich�e due trasformazioni di supersimmetria successive coinvolgono una

traslazione nello spazio-tempo, le versioni locali della supersimmetria neces-

sariamente includono la gravitazione, costituendo quindi un ingrediente indi-

spensabile nella costruzione della pi�u recenti teorie di uni�cazione consistente

della gravit�a con le altre interazioni: le cosiddette teorie di superstringa [10].

Le osservazioni sperimentali mostrano che la supersimmetria non pu�o

essere realizzata esattamente, ma deve essere rotta ad una certa scala di

energia, sul valore della quale nessuna delle motivazioni precedentemente

esposte fornisce indicazioni.

L'unica motivazione per una realizzazione di bassa energia della supersim-

metria, cio�e di una teoria di supersimmetria e�ettivamente rotta alla scala

elettrodebole, deriva, come abbiamo precedentemente detto, dalla necessit�a

di spiegare il problema della naturalezza del Modello Standard [11], che ora

descriveremo schematicamente.

Il problema della naturalezza del MSM deriva dalla instabilit�a delle masse

delle particelle scalari sotto correzioni radiative.

Per esempio, considerando le correzioni radiative ad un loop per la massa del

bosone di Higgs nel Modello Standard, tali correzioni divergono quadratica-

mente, fornendo una correzione del tipo:

�m2 = O(�

�)�2; (1.1)

in cui � �e il parametro di cut-o� introdotto per regolarizzare la teoria e

che ne rappresenta la scala, e � = e2=hc.


Il parametro � potr�a essere la scala di grande uni�cazione O(1015 GeV ),

oppure la scala di Plank O(1019 GeV ), se si ipotizza l'assenza di qualunque

nuova �sica �no alla scala associata alla gravit�a quantistica.

L'equazione 1.1 implica che la scala naturale di massa per il bosone di

Higgs nel MSM sia dell'ordine del cut-o� �. Tuttavia a�nch�e il Modello

Standard risulti consistente, cio�e possa essere trattato perturbativamente, la

massa del bosone di Higgs deve essere dell'ordine della massa del bosone W :

m2 � O(m2W=�) � 1 TeV=c2:

Si viene quindi a creare una inconsistenza concettuale tra il valore della

massa reale del bosone di Higgs richiesta per la consistenza della teoria (�250� 300 GeV=c2) ed il suo valore naturale pari alla scala GUT o di Plank.

La supersimmetria di bassa energia �e in grado di risolvere tale ambiguit�a

attraverso la cancellazione delle divergenze quadratiche.

Tale cancellazione pu�o essere intuitivamente compresa, osservando come

le masse dei fermioni nel Modello Standard siano \protette" dal ricevere

grandi correzioni radiative, dalla simmetria chirale.

Infatti calcolando le analoghe correzioni ad un loop per un fermione si ottiene

la relazione:

�mf = O(�

�)mf ln

�

mf

:

dalla quale deriva automaticamente la propriet�a dei fermioni a massa

nulla di non acquistare massa per e�etto delle correzioni radiative. Tale

propriet�a �e una diretta manifestazione della cosiddetta simmetria chirale.

Il problema della naturalezza nel Modello Standard compare perch�e non

vi �e una simmetria che protegge gli scalari dal acquisire massa sotto corre-

zioni radiative al pari dei fermioni.

La supersimmetria invece mettendo in relazione le particelle scalari con i

rispettivi partner fermionici, automaticamente introduce una nuova simme-

tria in grado di giocare per gli scalari lo stesso ruolo giocato dalla simmetria

chirale per i fermioni.

In pratica nelle correzioni radiative ad un loop per gli scalari entreranno

a far parte non solo i loop bosonici ma anche i loop dei partner fermionici

(ma con un segno meno), fornendo per gli scalari la correzione:

�m2 ' O(�

�)�2 �O(

�

�)�2: (1.2)


Per una esatta cancellazione i bosoni e i partner fermionici devono com-

parire con gli stessi numeri quantici (e ci�o �e garantito dalla supersimmetria,

che �ssa gli stessi accoppiamenti a meno dei coe�cienti di Clebsh-Gordan

per i bosoni ed i relativi fermioni), e con eguale massa (�e ci�o �e vero per una

supersimmetria non rotta).

La rottura della simmetria di SUSY, come per ogni altra simmetria, mantie-

ne valide le relazioni tra gli accoppiamenti ma rompe le relazioni di massa.

In questo caso la relazione 1.2 diviene:

�m2 ' O(�

�)jm2

B �m2F j: (1.3)

Da quest'ultima relazione si evince automaticamente che a�nch�e la super-

simmetria sia in grado di risolvere il problema della naturalezza del Modello

Standard, deve risultare:

jm2B �m2

F j � O(1 TeV=c2);

in cui mB(mF ) rappresenta la massa del bosone (fermione).

Da tale relazione si evince come la supersimmetria di bassa energia preveda

automaticamente l'esistenza di nuove particelle (i partner scalari dei quark

e dei leptoni) con masse inferiori ad 1 TeV , e quindi in regioni esplorabili

agli acceleratori presenti (LEP, TEVATRON) e futuri (LHC, e futuri collider

lineari).

A tali motivazioni teoriche per una realizzazione di bassa energia della

supersimmetria, �e possibile aggiungere due recenti osservazioni di natura spe-

rimentale, che, pur non fornendo una reale indicazione a favore dell'esistenza

di particelle supersimmetriche, rendono tuttavia il dominio di energie esplo-

rabile particolarmente interessante dal punto di vista della ricerca di tali

particelle.

La prima di tali indicazioni deriva dall'impatto della scoperta del quark

top con grande massa sulle predizioni del Modello Supersimmetrico Standard

Minimale (MSSM).

In particolare poich�e la massa del quark top �e un parametro importante

nella descrizione del meccanismo di rottura radiativa della simmetria elet-

trodebole, �e possibile studiare le predizioni del modello teorico sul valore del

accoppiamento di Yukawa del quark top, �ssato al suo valore massimo com-

patibile con la richiesta che l'accoppiamento rimanga perturbativo �no alla

scala GUT (tale valore viene normalmente indicato come punto �sso quasi

infrarosso), in funzione della massa del top stesso intorno al valore misurato

sperimentalmente.


Ci�o che si osserva �e che per il valore misurato sperimentalmente della massa

del quark top, nel MSSM il neutralino pi�u leggero risulta fortemente domi-

nato dalla sua componente di gaugino, e di conseguenza le annichilazioni del

neutralino avvengono in modo dominante attraverso diagrammi di Feynman

mediati da uno scambio di sleptoni. Associando poi a tale osservazione la

richiesta che l'abbondanza primordiale cosmologica dovuta ai neutralini sod-

dis� la condizione < 1, ed osservando che risulta inversamente propor-

zionale alla sezione d'urto di annichilazione dei neutralini stessi, si possono

ottenere dei limiti superiori stringenti sui valori delle masse dei neutralini e

degli sleptoni.

In particolare il limite sul neutralino pi�u leggero risulta pi�u forte del limite

assoluto teorico O(1 TeV=c2) �ssato dalla richieste di naturalezza della teo-

ria, limite che pu�o inoltre essere traslato in un limite superiore sui parametri

liberi del modello MSSM e di conseguenza sulla massa del chargino pi�u leg-

gero, che viene ad essere predetta in un intervallo di massa compreso tra 50 e

300 GeV=c2, quindi in un dominio di massa in parte esplorabile a LEP2 [12].

La seconda indicazione sperimentale deriva dai risultati sperimentali sulla

misura del rapporto Rb: il rapporto tra la larghezza di decadimento del

bosone Z in una coppia di quark b e la larghezza totale di decadimento dello

Z.

Durante il 1995 si �e infatti sviluppato un notevole interesse nei riguardi

dei risultati della misura di Rb, l'unica osservabile alle energie di LEP1 la

cui determinazione sperimentale risultava in signi�cativo disaccordo con le

predizioni del Modello Standard (si osservava una discrepanza di circa 3:7

deviazioni standard) [13]).

L'interesse teorico suscitato dal risultato sperimentale �e legato alla pos-

sibilit�a da parte della supersimmetria di giocare un ruolo importante nella

spiegazione della discrepanza. �E stato infatti osservato [14] come le correzioni

radiative di supersimmetria ad Rb possano essere importanti, e potenzialmen-

te in grado di spiegare la discrepanza osservata, sia nel caso in cui sia presente

un chargino (o uno squark stop) leggero, sia nel caso in cui sia presente un

higgs pseudoscalare con massa anche essa leggera. In particolare, un interesse

considerevole �e stato espresso intorno al primo caso, che o�riva la possibilit�a

di rimuovere l'apparente discrepanza su Rb per masse del chargino e dello

squark stop su�cientemente leggere da essere osservate a LEP1.5 o LEP2.

La situazione �e cambiata signi�cativamente durante il 1996, con la pre-

sentazione di quattro nuove misure di Rb [15], nessuna delle quali si di�e-

renzia sostanzialmente dalle predizioni del Modello Standard. Combinando

tali nuovi risultati con le precedenti misure, la nuova media mondiale di Rb

e la predizione del MSM di�eriscono ora di meno di 2 deviazioni standard,

rendendo molto plausibile l'ipotesi che la discrepanza possa essere dovuta

1.2. Modello Supersimmetrico Standard Minimale 15

ad errori sistematici sperimentali o ad una uttuazione statistica sempre

possibile.

In ogni caso la ricerca di chargini e squark stop, alle energie di LEP2,

pu�o contribuire sostanzialmente a restringere la possibilit�a di spiegare la di-

screpanza residua su Rb come dovuta ad un contributo supersimmetrico. I

risultati di tali ricerche insieme alla analisi delle implicazioni su Rb sono

riportati nel capitolo 7 di questo lavoro di tesi.

1.2 Modello Supersimmetrico Standard Mi-

nimale

La realizzazione pi�u semplice di una teoria supersimmetrica di bassa energia,

in grado di risolvere il problema della naturalezza del Modello Standard,

�e la cosiddetta estensione supersimmetrica minimale del Modello Standard

(MSSM) (per una rassegna e per le referenze originali vedi la referenza [7]).

Il modello �e basato sul seguente insieme di assunzioni minimali:

Gruppo minimale di gauge. Nel MSSM si assume come gruppo di sim-

metria di gauge lo stesso gruppo del MSM:

G = SU(3)c � SU(2)L � U(1)Y .

Il MSSM quindi implica che i bosoni di gauge a spin 1 e i rispettivi par-

tner supersimmetrici di spin 1=2 (i gaugini), appartengano allo stesso

supermultipletto vettoriale.

Contenuto minimale di particelle. L'MSSM contiene unicamente tre ge-

nerazioni di quark e leptoni con spin 1=2, come nel MSM, ma tali campi

sono contenuti in supermultipletti chirali insieme ai rispettivi partner

scalari supersimmetrici (gli squark e gli sleptoni).

Inoltre, per fornire una massa non nulla a tutti i fermioni carichi e al

�ne di evitare anomalie nella teoria, �e necessario introdurre nel modello

due supercampi chirali aggiuntivi, contenenti due doppietti complessi

di scalari di Higgs ed i corrispettivi partner supersimmetrici con spin

1=2 (gli higgsini).

Simmetria di R-parit�a esattamente conservata. De�niti il gruppo di

gauge ed il contenuto di particelle della teoria, per determinare la la-

grangiana globalmente supersimmetrica di supersimmetria, LSUSY , �enecessario speci�care una funzione analitica dei supercampi, il cosiddet-

to superpotenziale. Per garantire la conservazione del numero leptonico

e del numero barionico nella scrittura generale del superpotenziale, nel


MSSM si impone una simmetria discreta di tipo moltiplicativo detta di

R-parit�a, de�nita come:

R = (�1)2S+3B+L;

dove S indica il numero quantico di spin, e B ed L indicano rispettiva-

mente il numero barionico e leptonico.

In pratica, l'R-parit�a assume valore R = +1 per tutte le particelle or-

dinarie (quark, leptoni, bosoni di gauge e Higgs), mentre assume valore

R = �1 per i rispettivi partner supersimmetrici (squark, sleptoni, gau-

gini ed higgsini).

Osserviamo che la richiesta della conservazione della R-parit�a ha forti

implicazioni di tipo fenomenologico:

1. Le particelle supersimmetriche sono sempre prodotte in coppie.

2. Le particelle supersimmetriche decadono in particelle supersim-

metriche.

3. La particella supersimmetrica pi�u leggera (LSP) risulta assoluta-

mente stabile.

Tali conseguenze portano alla caratteristica segnatura sperimentale del-

le particelle supersimmetriche data dalla presenza di grande massa

mancante ed impulso mancante, dovuti agli LSP che sfuggono inos-

servati alla identi�cazione per la loro caratteristica di particelle debol-

mente interagenti.�E importante osservare che l'assunzione di conservazione della R-parit�a

�e di importanza cruciale, poich�e il rilascio di tale assunzione modi�ca

drasticamente le segnature fenomenologiche della supersimmetria.

Se non si impone la conservazione della R-parit�a, la forma pi�u generale

del superpotenziale viene a contenere dei termini espliciti di violazio-

ne della conservazione del numero leptonico e del numero barionico.

La presenza simultanea di tali termini risulta inaccetabile dal punto di

vista fenomenologico poich�e implica per esempio un decadimento del

protone troppo veloce rispetto ai limiti sperimentali odierni.

Tuttavia �e possibile imporre simmetrie discrete pi�u deboli della R-

parit�a, che eliminano alcuni dei termini del superpotenziale, con ri-

sultati fenomenologicamente accettabili.

La fenomenolgia delle ricerche di particelle supersimmetriche in questi

modelli viene ad essere modi�cata in due aspetti fondamentali [13]:


1. L'LSP pu�o decadere all'interno del rivelatore, con topologie �nali

di decadimento delle particelle supersimmetriche complicate e a

pi�u corpi.

2. A LEP2 pu�o veri�carsi una produzione risonante di sneutrini tra-

mite il processo:

e+e� ! ~��2;3 ! (� ~��1); (e� ~��1 );

in cui il neutralino di stato �nale decadr�a principalmente in e+e��,

con un segnale risultante costituito da due leptoni carichi tipica-

mente nello stesso emisfero pi�u impulso trasverso mancante. Il

chargino invece potr�a decadere in un neutralino o con un deca-

dimento diretto tramite termini di violazione esplicita della R-

parit�a, con stati �nali pi�u complicati.

Lo studio della supersimmetria con violazione della R-parit�a costituisce

quindi un campo di analisi di notevole interesse ma distinto da quello

della supersimmetria con R-parit�a conservata.

Nel seguito della trattazione, assumeremo l'R-parit�a sempre conserva-

ta, con le conseguenze fenomenologiche che ne derivano.

Rottura so�ce della supersimmetria. Le osservazioni sperimentali im-

pongono che la supersimmetria debba essere rotta alla scala elettro-

debole. In generale tutti i tentativi sviluppati per rompere spontane-

amente la simmetria sono falliti a causa di problemi fenomenologici.

Di conseguenza nella lagrangiana globale di supersimmetria debbono

essere aggiunti dei termini espliciti di rottura della simmetria di tipo

so�ce al �ne di preservare le propriet�a ultraviolette della supersimme-

tria e quindi la soluzione del problema della naturalezza.

Si deve osservare come il problema concettuale insito nel dover introdur-

re dei termini espliciti di rottura della supersimmetria nella lagrangia-

na, possa essere superato attraverso la reinterpretazione di tali termini

come dovuti ad e�etti di una rottura spontanea della supersimmetria

nella teoria di supergravit�a. In altre parole, se la supersimmetria vie-

ne rotta spontaneamente da particolari campi che interagiscono con le

particelle che conosciamo unicamente attraverso le interazioni gravita-

zionali, e quindi in un settore non osservabile (nascosto) alle energie

oggi osservabili, l'e�etto di tale rottura spontanea ci appare nel mondo

osservabile (la scala di Fermi) come se la supersimmetria fosse esplici-

tamente rotta.


In tale maniera inoltre, la supersimmetria viene a contenere automati-

camente la gravit�a.

Assunzioni di uni�cazione (GUT). Nella scrittura generale dei termini

di rottura so�ce della lagrangiana di supersimmetria, �e possibile in-

contrare problemi di natura fenomenologica, quali: correnti neutre con

cambiamento di sapore (FCNC), nuove sorgenti di violazione della sim-

metria CP ed in�ne valori di aspettazione sul vuoto diversi da zero per

la carica elettrica e di colore [16].

Tali problemi fenomenologici possono essere simultaneamente risolti as-

sumendo che i parametri liberi del MSSM, de�niti a livello one-loop ed

in uno schema di rinormalizzazione indipendente dalle masse, obbedi-

scano ad un certo numero di condizioni al contorno alla scala di energia

di grande uni�cazione (MGUT ), dove si ipotizza l'uni�cazione delle in-

terazioni elettrodeboli e forte.

Vedremo nei paragra� seguenti quali sono le condizioni al contorno

nel MSSM-GUT, e le loro conseguenze sul valore e sulle relazioni dei

parametri liberi del modello alla scala elettrodebole.

1.2.1 Spettri di particelle

Poich�e la supersimmetria trasforma uno stato bosonico in uno stato fermioni-

co e viceversa, e poich�e le particelle note �no ad questo momento non possono

formare nessun supermultipletto, �e necesario introdurre una nuova particella

(partner supersimmetrico) per ognuna delle particelle del Modello Standard.

Il numero totale di particelle in supersimmetria quindi deve essere almeno

doppio rispetto al Modello Standard.

Come abbiamo osservato nel paragrafo precedente nel MSSM il contenuto

di particelle �e assunto essere quello minimale, quindi doppio rispetto al MSM

pi�u due doppietti di Higgs.

La lista delle particelle presenti nel MSSM �e riportata nelle tabelle 1.2

(autostati di interazione debole) e 1.3 (austostati di massa).

Descriviamo ora le caratteristiche delle nuove particelle del MSSM.

Scalari: squark e sleptoni

Nelle teorie supersimmetriche, il settore bosonico ed il settore fermionico

devono possedere lo stesso numero di gradi di libert�a. Di conseguenza poich�e

un fermione del MSM ha due gradi di libert�a di spin, ad esso devono essere

associati due partner supersimmetrici scalari.


Spin-0 Spin-12

Spin-1 Colore T T3 Y B L

~Q =

~uL~dL

!qL =

uLdL

!3 1

2

+12

�12

16

13

0

�~UC

(uC)L 3 0 0 �23�1

30

�~DC

(dC)L 3 0 0 +13�1

30

~L =

~�

~eL

!lL =

�LeL

!1 1

2

+12

�12

�12

0 +1

�~EC

(eC)L 1 0 0 +1 0 �1~g g 8 0 0 0 0 00

B@~W+

~W 0

~W�

1CA

0B@W+

W 0

W�

1CA 1 1

+1

0

�10 0 0

~B B 1 0 0 0 0 0

H1 =

H0

1

H�

1

!~H1L =

~H01L

~H�

1L

!1 1

2

+12

�12

�12

0 0

H2 =

H+

2

H02

!~H2L =

~H+2L

~H02L

!1 1

2

+12

�12

+12

0 0

Tabella 1.2: Contenuto di particelle del MSSM: autostati di interazione. (Per

i supermultipletti chirali sono mostrati solo gli stati sinistrorsi, mentre non

sono incluse la seconda e terza generazione di fermioni.)


Ad esempio l'elettrone avr�a due partner supersimmetrici, uno (~eL) per l'elet-

trone sinistrorso, ed uno (~eR) per l'elettrone destrorso.

Fanno eccezione i neutrini, che esistendo nel Modello Standard unicamen-

te come stati sinistrorsi, possiedono nel MSSM un unico partner: lo sneutrino

(~�). Quindi per i quark e gli sleptoni devono esistere due partner scalari (spin

0) per ogni specie, chiamati squark e sleptoni o pi�u genericamente sfermioni.

Nel MSSM vi sono in tutto 12 stati distinti di squark e 9 stati distinti di

sleptone, avendo incluso i tre sneutrini.

Prima della rottura della simmetria SU(2)�U(1), gli sfermioni sinistrorsi

e destrorsi non si mescolano poich�e possiedono di�erenti numeri quantici di

isospin ed ipercarica. Tuttavia dopo la rottura della simmetria, essi possono

mescolarsi l'uno con l'altro. L'e�etto di tale mescolamento risulta signi�cati-

vo unicamente per gli sfermioni appartenenti alla terza generazione (~� ; ~b; ~t),

mentre pu�o essere trascurato per le prime due generazioni.

Fermioni: gaugini ed higgsini

I nuovi fermioni presenti nel MSSM possono essere sia i superpartner dei

bosoni di gauge di spin-1 (gaugini), sia i partner supersimmetrici dei bosoni

scalari (higgsini).

I gaugini e gli higgsini si mescolano quando la simmetria SU(2) � U(1)

viene rotta spontaneamente, allo stesso modo in cui i bosoni vettoriali a

massa nulla ed i bosoni scalari a massa nulla (goldstoni) si combinano per

diventare bosoni vettoriali massivi nel MSM.

I termini di rottura so�ce nella lagrangiana di supersimmetria complica-

no ulteriormente la situazione, e alla �ne gli autostati di massa risultano una

miscela complicata di gaugini ed higgsini, ad eccezione dei partner supersim-

metrici dei gluoni (gluini), che essendo l'unico ottetto colorato di fermioni,

non partecipano al mescolamento.

Descriviamo i di�erenti autostati di massa fermionici:

Gluini (~g). Sono i superpartner dei gluoni (g). Sono fermioni di Majorana

con spin 12, e formano un ottetto di colore.

La caratteristica di essere fermioni di Majorana fa si che gluini ed

antigluini siano la stessa particella.

Chargini (~��j ; j = 1; 2). Sono una miscela del wino carico, e degli higgsini

carichi, con carica elettrica �1.Nel MSSM esistono due stati di chargino: ~��1 e ~��2 .

Il wino �e un fermione carico di Dirac, superpartner del bosone W . I

tre gaugini di SU(2) ( ~W a) possono essere combinati per formare gli

autostati di carica:


~W� =1p2( ~W 1 + i ~W 2)

~W 0 = ~W 3

in cui il campo carico ~W� �e un fermione di Dirac mentre il campo neu-

tro ~W 0 �e un fermione di Majorana. Risulta infatti: ~W+ = ( ~W�)C =

1=p2( ~W 1�i ~W 2), mentre l'antiparticella del wino neutro �e il ~W 0 stesso.

Gli higgsini carichi sono invece fermioni di Weyl e sono i partner super-

simmetrici dei bosoni di Higgs carichi. A causa della chiralit�a, i campi

relativi agli higgsini sinistrorsi sono ~H�

1L e ~H+2L.

Poich�e il wino �e un isotripletto mentre gli higgsini sono isodoppietti,

wino e higgsino non si mescolano se la simmetria SU(2)� U(1) non �e

rotta. La rottura elettrodebole produce invece il mescolamento dei due

campi, pi�u esattamente tra i campi ~W�

L e ~H�

1L e tra ~W�

R e ~H�

2R, in cui il

campo destrorso a carica negativa del higgsino �e ottenuto tramite una

trasformazione di coniugazione di carica del campo ~H2: ( ~H+2L)

C = ~H�

2R

( C �e de�nita come: C = C T ).

Neutralini (~��j ; j = 1; 4). Un neutralino �e una miscela del bino (il gaugino

associato al gruppo U(1)), del wino neutro (il gaugino di SU(2)) e dei

due higgsini neutri.

Nel MSSM vi sono 4 stati di neutralino, ognuno dei quali �e un fermione

di Majorana.

IL bino ~B ed il wino neutro ~W 0 sono i partner supersimmetrici di B� e

W 0� .

~B �e un isosingoletto debole mentre ~W 0 fa parte di un isotripletto

debole con T3 = 0.

I due stati di higgsino neutro ~H01 e ~H0

2 sono i partner supersimmetrici

dei campi neutri di Higgs, e sono isodoppietti deboli con T3 = +1=2 e

= �1=2 rispettivamente.

Settore di Higgs. Nel Modello Standard �e su�ciente introdurre un unico

doppietto di Higgs per ottenere la rottura spontanea della simmetria

SU(2)� U(1).

Al contrario in supersimmetria �e necessario introdurre allo stesso scopo

almeno due doppietti di Higgs. Vi sono due ragioni importanti per

spiegare ci�o, ambedue legate al fatto che in supersimmetria il campo

di Higgs appartiene ad un supercampo chirale insieme ad un partner

fermionico e ad una carica chirale:

1. Masse dei fermioni: il campo di Higgs che pu�o fornire massa ai

quark di tipo \up" non pu�o essere lo stesso campo che fornisce


massa ai quark di tipo \down". Questo perch�e l'accoppiamento

di Yukawa deriva dalla forma del superpotenziale, nella quale, per

questioni di simmetria, possono comparire unicamente supercampi

chirali e non supercampi anti-chirali.

2. Anomalie chirali: il superpartner del bosone di Higgs contribuisce

alle anomalie triangolari di SU(2) � U(1). Per cancellare quindi

le anomalie �e necessario avere almeno due supermultipletti con

ipercarica opposta.

Avremo quindi nel MSSM due campi di Higgs con ipercarica opposta:

H1 con Y = �1=2 ed H2 con Y = +1=2:

H1 =

H0

1

H1�

!; H2 =

H+

2

H20

!:

H1 fornisce massa ai leptoni carichi ed ai quark di tipo \down", mentre

H2 fornisce massa ai quark \up". Ci�o garantisce la conservazione del

sapore nelle interazioni di corrente neutra.

Uno studio approfondito degli autostati di massa dei chargini e dei neutra-

lini e delle caratteristiche del mescolamento tra gaugini ed higgsini �e riportato

nel capitolo 2.

Spin-0 Spin-12

Spin-1 Colore Q B L

~u1; ~u2 u 3 +23

13

0~d1; ~d2 d 3 �1

313

0

~� � 1 0 0 1

~e1; ~e2 e 1 �1 0 1

~g g 8 0 0 0

H� ~��1 ; ~��2 W� 1 �1 0 0

h; H; A ~�01; ~�02; ~�03; ~�04 Z0; 1 0 0 0

Tabella 1.3: Contenuto di particelle del MSSM: autostati di massa. (Non

sono incluse la seconda e terza generazione di fermioni e gli autostati di

antiparticella.)


1.2.2 Interazioni delle particelle supersimmetriche

Nel Modello Standard Minimale esistono tre tipi di interazione tra i campi

costituenti. La prima �e la cosiddetta interazione di gauge, l'unica interazione

�no ad oggi osservata sperimentalmente, la cui struttura risulta �ssata una

volta scelto il gruppo di gauge della teoria.

Le restanti due interazioni sono le interazioni scalari del bosone di Higgs

(auto accoppiamento del bosone di Higgs), e l'interazione di Yukawa (ac-

coppiamento dell'Higgs ai fermioni). Gli accoppiamenti di tali interazioni

possono in generale essere scelti in modo arbitrario, purch�e la forma della

lagrangiana risultante sia conforme alle simmetrie della teoria.

In una generale teoria di campo relativistica, queste tre interazioni sono le

uniche e�ettivamente permesse dalle richieste di invarianza della lagrangiana.

Il Modello Supersimmetrico Standard Minimale, per costruzione, non es-

sendo altro che un Modello Standard con nuovi fermioni e scalari aggiuntivi,

avr�a interazioni appartenenti ai tre tipi appena discussi, con dei vincoli ag-

giuntivi, legati alla supersimmetria, che limitano strettamente la forma di

tali interazioni.�E conveniente classi�care i termini di interazione nel MSSM come segue:

Interazioni di gauge. Rappresentano le interazioni dei bosoni di gauge con

qualunque altra particella (bosoni di gauge, scalari e fermioni), e sono

governate dal principio di gauge.

Interazioni di Yukawa. Sono interazioni di tipo fermione-fermione-scala-

re e possono essere suddivise in due sottoinsiemi distinti:

1. Interazioni di tipo gauge: che rappresentano le interazioni del tipo

gaugino-fermione di materia-scalare.

2. Interazioni vere di tipo Yukawa: che sono determinate dalla forma

del superpotenziale della teoria, e forniscono il meccanismo con cui

i quark ed i leptoni acquistano una massa non nulla.

Interazioni scalari. Possono essere suddivise in tre tipologie distinte:

1. Interazioni di tipo D-term: sono interazioni quartiche derivanti

dalle interazioni di gauge della supersimmetria. Dopo che gli Hig-

gs acquistano un valore di aspettazione sul vuoto non nullo, tali

interazioni quartiche possono generare termini quadratici e cubici

nella lagrangiana di interazione.


2. Interazioni di tipo F-term: possono essere di tipo quartico o cubico

(termini quadratici di massa), e sono in relazione con le interazioni

di tipo Yukawa.

3. Interazioni di rottura so�ce: sono le interazioni cubiche (termini

quadratici di massa), che rompono in modo so�ce la supersimme-

tria.

Per scrivere la forma generale della lagrangiana di supersimmetria bisogna

innanzitutto scrivere il superpotenziale, una funzione dei supercampi chirali

della teoria, con potenza massima di tipo cubico. Potenze maggiori di 3 sono

proibite dalla rinormalizzabilit�a della teoria. Inoltre il superpotenziale deve

risultare invariante sotto la simmetria di gauge e le simmetrie discrete globali

della teoria.

La forma pi�u generale del superpotenziale del MSSM, compatibile con le

richieste di simmetria precedentemente descritte e con la conservazione della

R-parit�a, �e data dalla relazione:

W = �H1 �H2 + feH1ECL + fdH1D

CQ+ fuH2UCQ;

dove Q;UC ; DC; L; EC sono i supercampi chirali contenenti le componenti

sinistrorse dei quark e leptoni ordinari, e in cui compaiono esplicitamente

alcuni dei parametri liberi del modello: il parametro � e gli accoppiamenti

di Yukawa fi, che verranno descritti in dettaglio nel paragrafo successivo.

Tale forma del superpotenziale permette di determinare la parte super-

simmetrica della lagrangiana di interazione dei campi di materia.

La lagrangiana di supersimmetria globale �e quindi scrivibile come la som-

ma di diversi termini, descriventi le interazioni del gruppo di gauge, le in-

terazioni dei supermultipletti chirali con i campi di gauge, le interazioni di

tipo D ed F , ed un termine di rottura so�ce per la descrizione della rottura

della supersimmetria:

LSUSY = �1

4F ��F

�� +1

2��i 6 D��

+ � Li 6 D L + jD��j2

+ Lgaugino�materia + LY ukawa + LD�term + LF�term� Lsoft:

(1.4)

in cui si sono indicati con �� i campi di gaugino appartenenti al super-

multipletto di gauge, e con L i fermioni di Weyl sinistrorsi appartenenti

insieme agli scalari � al supermultipletto chirale.


I termini della lagrangiana di interazione tra gaugini e campi di materia,

di Yukawa, di D-term ed F -term, sono dati dalle espressioni:

Lgaugino�materia = ip2g(��i

��RT�ij Lj +

� Li��RT

�ij�j);

LY ukawa = �1

2

Xi;j

@2W

@�i�j Li Lj + h:c:

VF = �Xi

��@W@�i��2

= �2(jH1j2 + jH2j2);

VD = �1

2

Xa

(g�Xi;j

�y

iT�ij�j)

2;

mentre la lagrangiana di rottura so�ce �e data dalla espressione:

Lsoft =1

2

3X�=1

M�� +

Xi

~m2i j�ij2

+ (fuAuQUCH2 + fdAdQD

CH1 + feAeLECH1 +B�H1H2 + h:c:):

dove ga; a = 1; 2; 3 sono le costanti di accoppiamento di gauge.

Dalla lagrangiana 1.4 �e possibile calcolare tutte le interazioni di super-

simmetria tra le particelle presenti nella teoria.

1.2.3 Parametri liberi del modello

Il Modello Standard possiede 18 parametri liberi fondamentali che devono

essere determinati sperimentalmente. Il modello supersimmetrico standard

minimale possiede in principio un gran numero di parametri aggiuntivi, che

per�o, come vedremo in questo paragrafo, pu�o essere notevolmente ridotto

introducendo la gravit�a nel modello.

I parametri liberi del MSSM che compaiono nella forma della lagran-

giana di supersimmetria descritta nel paragrafo precedente, possono esse-

re classi�cati in tre gruppi distinti: accoppiamenti di gauge, parametri del

superpotenziale e parametri di rottura so�ce, come elencato nella tabella

1.4.


Origine: Parametri: Commenti:

Gauge g1; g2; g3 Come nel MSM

Super fe; fd; fu Acc. di Yukawa

potenziale � Massa higgsino

M1; M2; M3 Masse dei gaugini

Rottura ~m2�i

Masse degli scalari

so�ce Ae; Ad; Au Termini trilineari

B Mixing masse Higgs

Tabella 1.4: Parametri liberi nel MSSM (�i = Q;UC ; DC ; L; EC ; H1; H2).

Descriviamo ora in dettaglio i singoli parametri:

Accoppiamenti di gauge. Sono le tre costanti di accoppiamento corri-

spondenti ai tre gruppi di gauge SU(3); SU(2) e U(1), e sono le me-

desime costanti del MSM. Il valore delle tre costanti governa tutte le

interazioni di gauge.

Accoppiamenti di Yukawa. Gli accoppiamenti di Yukawa determinano le

interazioni dell'Higgs con i fermioni, e forniscono massa a questi ultimi

quando la simmetria SU(2) � U(1) viene rotta. Determinano inoltre

alcune delle auto-interazioni degli scalari.

Il numero di accoppiamenti di Yukawa nel MSSM �e lo stesso del Modello

Standard, ma il loro valore risulta tipicamente pi�u grande di un fattore:

1= cos� (per i leptoni e i quark d) e 1= sin� (per i quark u) (tan�

�e un parametro libero del modello dato dal rapporto tra i valori di

aspettazione sul vuoto dei due campi di Higgs neutri).

Il termine di massa � per l'higgsino. �E un parametro addizionale del

superpotenziale che rappresenta il coe�ciente del termine quadratico

H1 �H2 e che contribuisce ai termini di massa degli higgsini e dei bosoni

di Higgs.

Masse dei gaugini. Vi sono tre di�erenti termini di massa per i gaugi-

ni associati ai tre gruppi di simmetria di gauge che compaiono nella

lagrangiana del MSSM:

L = �1

2

3Xi=1

(Mi�(i)L �

(i)L + h:c:):


I parametri di massaMi che sono in generale numeri complessi, possono

per�o essere assunti reali previo una ride�nizione dei campi di gaugino.

Il valore di tali parametri determina il valore delle masse dei gaugini

della teoria.

Masse degli scalari. La forma pi�u generale del termine di rottura so�ce

per le masse degli scalari (sfermioni e higgs carichi) �e:

L = �Xi;j

~m2ij�

�

i�j:

Vedremo in seguito come le relazioni di grande uni�cazione �ssino al

medesimo valore le masse di tutti gli scalari alla scala GUT, mentre

gli e�etti di rinormalizzazione alla scala elettrodebole rimuovano tale

degenerazione.

Termini trilineari A. I parametri Ai contribuiscono al mescolamento tra

gli sfermioni sinistrorsi e destrorsi. Poich�e il termine di mescolamento

�e dato dal prodotto del termine trilineare A per l'accoppiamento di

Yukawa, il mescolamento risulter�a importante unicamente per i partner

supersimmetrici dei quark ed dei leptoni pesanti.

Termine di mescolamento dell'Higgs B. Il parametro B contribuisce al

termine H1 �H2 del superpotenziale.

Per B = 0, unicamente uno dei campi di Higgs pu�o acquistare un valore

di aspettazione sul vuoto non nullo, e di conseguenza o i quark di tipo

\up" o i quark di tipo \down" rimangono a massa nulla.

Il grande numero di parametri liberi nel MSSM risulta correlato quando

si introduce la gravit�a nel modello, �ssando delle condizioni al contorno tra

i parametri liberi alla scala di grande uni�cazione.

Tali assunzioni sono dettate, oltre che dalla richiesta di grande uni�ca-

zione alla scala GUT, dal voler evitare problemi fenomenologici legati alla

presenza di correnti neutre con cambiamento di sapore (FCNC), violazioni

di CP e non conservazione delle cariche elettriche e di colore, presenti nella

forma generale della lagrangiana di supersimmetria.

Date un certo numero di condizioni al contorno alla scala GUT, il valore

e le relazioni tra i parametri alla scala elettrodebole possono essere ottenuti

unicamente dopo aver considerato gli e�etti di rinormalizzazione: quindi

risolvendo le equazioni del gruppo di rinormalizzazione dalla scala di Plank

alla scala elettrodebole dello Z.


L'assunzione generalmente utilizzata consiste nel �ssare delle condizioni

al contorno per i parametri liberi del modello ad una certa scala di grande

uni�cazione MGUT = 2� 1016 GeV , assumendo che nessuna nuova particelle

possa apparire al di sotto di tale scala (ipotesi del grande deserto), lasciando

invece arbitrariamente aperta la dinamica al di sopra di tale scala, che risulta

al momento incerta.

Alla scala GUT le condizioni al contorno generalmente assunte sui pa-

rametri del modello, e de�nite a livello di one-loop e in uno schema di

rinormalizzazione indipendente dalle masse, sono:

1. Grande uni�cazione delle costanti di accoppiamento di gauge:

g3(MGUT ) = g2(MGUT ) = g1(MGUT ) � g1.

2. Massa universale dei gaugini:

M3(MGUT ) =M2(MGUT ) =M1(MGUT ) � m1=2.

3. Massa universale per gli scalari:

~m2H1(MGUT ) = ~m2

H2(MGUT ) = ~m2

Q(MGUT ) = � � � = ~m2EC (MGUT ) � m2

0.

4. Accoppiamento trilineare uiversale:

Au(MGUT ) = Ad(MGUT ) = Ae(MGUT ) � A.

Quindi alla scala GUT vi sono 4 parametri indipendenti: g1; m1=2; m0 e

A, ai quali devono essere aggiunti gli accoppiamenti di Yukawa, ed i parametri

liberi � e B presenti nel superpotenziale.

Questi ultimi due parametri possono essere riespressi, richiedendo che la

rottura spontanea della simmetria elettrodebole avvenga correttamente, in

termini della massa del quark top, nota sperimentalmente, e di un nuovo

parametro libero: tan �, il rapporto tra i valori di aspettazione sul vuoto

dei due campi di Higgs neutri, che permette di ride�nire al suo interno il

parametro B ed il valore assoluto del parametro �.

Poich�e inoltre la supersimmetria �e rotta, �e possibile riesprimere i parame-

tri g1; g2 e g3 in termini della massa del bosone Z, del accoppiamento di Fermi

GF , della costante di struttura �ne �em e di �s, tutte misurate con grande

precisione. In�ne �e possibile sostituire alle costanti di accoppiamento di

Yukawa il valore delle masse dei fermioni, tutte misurate sperimentalmente.

In de�nitiva nel modello MSSM-GUT �e quindi possibile calcolare tutte le

masse delle particelle supersimmetriche ed i loro accoppiamenti, tramite un

numero ridotto di parametri liberi, in particolare trascurando quei parametri

che sono gi�a presenti nel Modello Standard, avremo unicamente 5 parametri:

m0; m1=2; A; tan�; segno(�);


con una conseguente alta predittivit�a del modello stesso.

L'evoluzione di tali parametri �no alla scala elettrodebole, ottenuta ri-

solvendo le equazioni del gruppo di rinormalizzazione, fornisce la segeuente

evoluzione per le masse dei gaugini:

Mi(MZ) =g2ig1

m1=2:

da cui si ottengono le relazioni:

M3 =�s sin

2 #W

�emM2;

M1 =5

3tan2 #WM2;

che permettono di riesprimere tutte le masse dei gaugini alla scala elet-

trodebole, in termini di una sola di esse, usualmente M2.

Le masse degli sfermioni pesanti alla scala elettrodebole possono esse-

re calcolate con metodi numerici, mentre per i fermioni delle prime due

generazioni �e possibile calcolare la soluzione esplicita:

~m2~f= m2

0 +m21=2� ~f ;

in cui � ~f �e una funzione complicata di sin2 #W , che assume valori tipici di

(5� 8) per gli squark, 0:5 per i leptoni e 0:15 per gli sneutrini.

Dalla relazione si osserva come le masse degli sfermioni alla scala elettro-

debole possano esere calcolate in funzione degli unici due parametri liberim0

ed m1=2.

In�ne �e interessante studiare quali sono gli intervalli teorici di variazione

dei di�erenti parametri liberi del MSSM-GUT.

Per quanto riguarda i parametri di massa dei gaugini e il parametro di

massa degli scalari m0, la condizione per cui le masse delle particelle su-

persimmetriche debbano essere dell'ordine � O(1 TeV=c2) per risolvere il

problema della naturalezza del MSM, �ssa allo stesso ordine di grandezza il

valore massimo per tali parametri.

Allo stesso modo, considerazioni sulla assenza di �ne-tuning costringono � a

rimanere al di sotto della scala di Fermi.

Per quanto riguarda invece il parametro tan �, assumendo l'ipotesi del

grande deserto, ed applicando le equazioni del gruppo di rinormalizzazione


all'accoppiamento di Yukawa per i quark pesanti, e richiedendo che tale ac-

coppiamento rimanga �nito �no alla scala di grande uni�cazione, si ottengono

i seguenti limiti inferiore e superiore per tan�:

1 � tan � � mt

mb

� 50;

ottenuti utilizzando la media del Particle Data Group per il valore misu-

rato di mt [21].

1.3 Limiti attuali sulle particelle supersim-

metriche

Limiti inferiori sulle masse delle particelle supersimmetriche sono stati otte-

nuti prima della fase di funzionamento ad alta energia di LEP, da ricerche

dirette dei decadmenti delle particelle supersimetriche a LEP1 e al TEVA-

TRON, ed indirette, tramite la misura della larghezza totale di decadimento

del bosone Z, a LEP1. Esistono inoltre limiti astro�sici e cosmolgici basati

sulle misure della densit�a di materia nell'universo (dark matter) e sullo stu-

dio della densit�a cosmologica necessaria per spiegare l'espansione osservata

dell'universo.

Tutti i limiti di massa ottenuti sono validi nel modello teorico MSSM-

GUT, assumendo che la particella supersimmetrica pi�u leggera (LSP) sia il

neutralino ~��1, e che l'R-parit�a sia conservata.

Sleptoni. I limiti attuali sulle masse degli sleptoni sono stati ottenuti al

LEP, ad energie nel centro di massa intorno al polo del bosone Z.

La misura precisa della larghezza invisibile di decadimento dello Z: ��,

ha permesso di escludere la produzione di sneutrini con massa inferiore

a 41:8 GeV=c2 [17]. Per quanto riguarda invece gli sleptoni carichi, la

ricerca diretta di coppie di leptoni acoplanari in presenza di energia

mancante, ha permesso di escludere al 95% C.L. la maggior parte del

dominio cinematico accessibile nel piano (m~l; m~��1), con i segeuenti li-

miti inferiori di massa: m~l > 45 GeV=c2 per masse del neutralino pi�u

leggero minori di 41 GeV=c2 (~l = ~e; ~�) e minori di 38 GeV=c2 (~l = ~� )

[18].

Squark e gluini. Le ricerche che hanno permesso di �ssare i limiti pi�u strin-

genti per tali particelle, sono state e�ettuate al TEVATRON, un colli-

der p�p con 1:8 TeV di energia nel centro di massa.

1.3. Limiti attuali sulle particelle supersimmetriche 31

Gli squark ed i gluini possono essere prodotti attraverso i processi:

p�p ! ~q�~qX; ~q~gX; ~g~gX, con decadimenti: ~q ! q~g ! q�q + LSP o

~g ! q~q ! q�q + LSP .

Gli stati �nali sono caratterizzati dalla presenza di almeno tre jet adro-

nici e di energia mancante dovuta agli LSP.

La tabella 1.5 mostra i limiti inferiori al 95% C.L. sulle masse degli

squark e del gluino, per di�erenti assunzioni teoriche ed assumendo

inoltre sempre possibile il decadimento in cascata [19].

Limite: Assunzioni:

m~q > 176 GeV m~g < 300 GeV

m~q > 224 GeV m~g < m~q

m~g > 212 GeV m~q � m~g

m~g > 154 GeV m~q > m~g

m~g > 144 GeV Qualunque m~q

Tabella 1.5: Limiti sulle masse degli squark e dei gluini ottenute al

TEVATRON.

Neutralini e chargini. I risultati principali riguardanti il settore dei gau-

gini sono stati ottenuti a LEP1.

L'accoppiamento del chargino allo Z risulta infatti dominante per ener-

gie nel centro di massa intorno al polo dello Z, e di conseguenza la

misura di precisione della larghezza totale di decadimento dello Z: �Z ,

ha permesso di escludere la presenza di chargini con massa inferiore a

MZ=2, in modo indipendente dai parametri del modello supersimme-

trico.

Al contrario l'accoppiamento dei neutralini allo Z ha una forte dipen-

denza dai parametri del MSSM. Per tale ragione non �e stato possibile

a LEP1 escludere la presenza di un neutralino con massa nulla in tutto

lo spazio accessibile dei parametri di supersimmetria.

Il limite inferiore pi�u recente sulla massa del neutralino pi�u leggero,

valido unicamente per tan� > 3 �e: m~��1> 23 GeV=c2 [20].

Limiti indipendenti sulla massa del neutralino pi�u leggero sono stati

anche ottenuti da osservazioni astro�siche e cosmologiche.

Si possono distinguere in questo caso due tipologie distinte di limiti:

i limiti ottenuti dalle ricerche di materia oscura, ottenuti assumendo

il neutralino essere la sorgente primaria di materia oscura e basandosi

sulla mancanza di segnali osservati nei rivelatori sotteranei per neu-


trini; e i limiti cosmologici basati sulla esclusione di zone dello spazio

dei parametri di supersimmetria richiedendo che il contributo del neu-

tralino pi�u leggero alla densit�a cosmologica totale sia al di sotto di un

limite massimo �ssato dalla richiesta di assenza di collasso gravitazio-

nale nell'universo.

I limiti dovuti alla ricerca di materia oscura hanno premesso di esclu-

dere la presenza di neutralini con massa nell'intervallo 4� 15 GeV=c2,

mentre i limiti cosmologici hanno escluso neutralini nell'intervallo da

100 eV=c2 a 15 GeV=c2 [21]. �E comunque da osservare una certa

dipendenza dai parametri del modello di supersimmetria per tali limiti.

Bosoni di Higgs. Come abbiamo visto nel MSSM il settore di Higgs con-

tiene tre bosoni: h;H (scalari) e il bosone pseudoscalare A. Inoltre il

modello prevede che l'h sia pi�u leggero del H e, all'ordine perturbativo

pi�u basso: mh � MZ (ma le correzioni radiative possono modi�care

notevolmente tale relazione).

I risultati pi�u recenti per la ricerca di bosoni di Higgs supersimmetrici

sono stati presentati dalle collaborazioni DELPHI ed OPAL di LEP.

I processi di produzione studiati sono: e+e� ! hZ ! hf �f e e+e� !hA; AA in cui i bosoni h e A decadono successivamente in coppie f �f .

Poich�e la larghezza di disintegrazione degli Higgs in una coppia di fer-

mioni �e proporzionale al quadrato della massa del fermione di decadi-

mento, i canali di decadimento interessanti per tali analisi sono quelli

in una coppia di quark b e di leptoni � .

Le analisi dei due esperimenti hanno permesso di escludere al 95% C.L.

la produzione di Higgs h con massa minore di 44 GeV=c2 [22], e di un

Higgs pseudoscalare A con massa minore di 24:3 GeV=c2 (tan � > 1)

[23].

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