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Università degli Studi “La Sapienza” di RomaFacoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei TrasportiEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati

Compito A

1. Nella partita di stasera tra Germania e Repubblica Ceca, si definiscano i seguenti eventi :E1 = “la Germania vince”, Ex = “le due squadre pareggiano”, E2 = “la Repubblica Ceca vince”.Si supponga che un book-maker abbia stabilito le seguenti scommesse : E1 1.8 :1 (ossia versando una somma αin caso di vittoria della Germania si riceve 1.8α e si guadagna 0.8α), EX 3.6 :1, E2 6 :1. Stabilire se si tratta discommesse coerenti (cerchiare la risposta giusta) .

COERENTI ? SÌ© NO

2. Un numero aleatorio avente distribuzione normale è tale che P (X > 5) =12

, e IP(X2) = 34. Calcolare P (X > 2).

P (X > 2) = Φ(1)

3. Su un tavolo si trovano le seguenti carte (3 scoperte e 2 coperte) di un mazzo di carte francesi di 32 carte (dal 7all’Asso) .

¨ 10 ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ 10 ¨

« 9 «

« « «

« «

« 9 «

A A

«A A

Scoprendo le due carte, calcolare la probabilità α di ottenere un tris, e la probabilità β di ottenere due coppie.

α =9

406β =

27406

1





Compito B

1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = 2, 3, 5, 6 e distribuzione pX =

512

,16,14,16

. Ricavare la funzione

di ripartizione del numero aleatorio X , e calcolare P (3 ≤ X < 6).

F (x) =

0 x < 2512 2 ≤ x < 3712 3 ≤ x < 556 5 ≤ x < 61 x ≥ 6

P (3 ≤ X < 6) =512

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme su C = [1, 3] × [1, 2]. Calcolare la probabilità p dell’eventocondizionato E|H , con E = (X < 2Y ), H = (Y > 3/2), stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la rispostagiusta) e determinare la retta rY X di regressione di Y su X .

p = 1 X e Y indipendenti ? SÌ© NO rY X : y =32

3. Cinque dadi vengono lanciati uno alla volta. I primi tre mostrano le seguenti facce :

l

l

l

l l

l l

l

l

Dado 1 Dado 2 Dado 3

Calcolare la probabilità α che, lanciando gli altri due, almeno due mostrino la stessa faccia, e la probabilità β diottenere cinque numeri consecutivi.

α =56

β =19

2





Compito C

1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∪ B = Ω e A ∩ B 6= ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) =27, P (B) =

35

è coerente (cerchiare la risposta giusta) .

COERENTE ? SÌ NO©2. Un’urna contiene venti palline di cui alcune bianche e le altre nere. Da essa si estraggono con restituzione palline

fino ad ottenere per la prima volta pallina nera. Sapendo che la probabilità di fare almeno 4 estrazioni è pari a2764

,determinare il numero b di palline bianche presenti nell’urna.

b = 15

3. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Si facciano 10 estrazioni con restituzione. Calcolare la probabilità α diottenere 4 palline bianche e la probabilità β di ottenere la seguente sequenza

l m l l m l m l m l

α =(

104

)(25

)4(35

)6

β =(

25

)4(35

)6

3





Compito D

1. Si abbiano tre urne come mostrato in figura :

m

m l m

l m l

m m

l m l

m l m

U1 U2 U3

Le tre urne sono poste dietro una tenda ; un uomo nascosto alla nostra vista sceglie a caso un’urna da cui estrae inblocco due palline ottenendole entrambe bianche. Quale è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?

p =12

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che IP(3X2) = 90. Calcolare P (X ≥ 1).

P (X ≥ 1) = 1− e−5

3. Un’urna contiene 20 palline bianche e 30 nere. Da essa vengono estratte senza restituzione le palline fino a svuota-mento completo. Sia Ei =“pallina bianca alla i-esima estrazione”, calcolare P (E27 ∩ Ec

32|E32 ∪ Ec39).

P (E27 ∩ Ec32|E32 ∪ Ec

39) =29148

4





Compito E

1. Dati gli eventi A,B,C, tali che Ac ⊂ Bc ⊂ Cc, e tali che P (A) è doppia della probabilità di B, che a sua volta è tripladi quella di C, determinare l’insieme E dei valori coerenti p di P (C) e calcolare (in funzione di p) la previsione delnumero aleatorio X = |A ∩B|+ |B ∩ C|+ |C ∩A|.

E = p : 0 ≤ p ≤ 1/6 IP(X) = 5p

2. Un numero aleatorio continuo X(> 0) è tale che ∀t, s > 0 si ha P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s). Sapendoche P (X > 3) = e−3, calcolare IP(X2)

IP(X2) = 2

3. Un’urna contiene quattro palline numerate bianche e nere come mostrato in figura :

¬

¸ ¹Da essa vengono estratte una alla volta e senza restituzione tre palline. Definiti gli eventi Bi =“si ottiene pal-lina bianca alla i-esima estrazione”, Di =“si ottiene pallina dispari alla i-esima estrazione”, i = 1, 2, 3, calcolareα = P (Bc

1 ∩ D2 ∩ D3|D1 ∪ Bc2 ∪ Bc

3) e stabilire se gli eventi Bi e Di sono stocasticamente indipendenti peri = 1, 2, 3 (cerchiare la risposta giusta) .

α =111

Bi e Di indipendenti ? SÌ© NO

5





Compito F

1. Un’urna contiene 25 palline bianche, 15 nere e 10 rosse. Da essa vengono estratte con restituzione le palline fino aquando si ottiene un colore diverso dal bianco. Calcolare la probabilità p che le estrazioni terminino con l’estrazionedi una pallina rossa.

p =25

2. Mario ha giocato sulla ruota del lotto di Venezia i seguenti numeri : 10,37,55,71. Egli assiste in diretta alla estrazionedei cinque numeri, e i primi tre numeri usciti sono i seguenti

· ¿ ¼Calcolare la probabilità α che egli realizzi un terno e β che realizzi un ambo.

α =1

1247β =

841247

3. Ad un pub un gruppo di cinque persone si siede (a caso) attorno ad un tavolo rotondo. Sapendo che il gruppo ècomposto da due coppie di fidanzati e un single, calcolare la probabilità q che nessun fidanzato si trovi vicino alproprio partner.

q =13

6


Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei TrasportiEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004



Compito A

1. In una scuola il 70% degli alunni ha il computer a casa. La probabilità che uno di essi si appassioni a usare il computerin classe è pari a 9/10 se ha il computer a casa, altrimenti è pari a 1/4. Sapendo che uno studente ha usato il computer,determinare la probabilità p che egli abbia il computer a casa.

p =4247

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione

f(x, y) =

xy (x, y) ∈ [1,√

3]× [1,√

3]0 altrove

Calcolare IP(

1XY

), stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X

di regressione di Y su X .

IP(

1XY

)= 2(2−

√3)

X e Y indipendenti ? SÌ© NO rY X : y =√

3− 13

3. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Da essa vengono estratte le palline nel seguente modo, se è bianca vienereinserita nell’urna, altrimenti no. Calcolare la probabilità α di ottenere di ottenere la seguente sequenza

l m l l m

α =8

189

7





Compito B

1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = −6,−3, x3, 6 e distribuzione pX =

p1,13, p3,

16

. Sapendo che

IP(X) = 0, var(X) = 18, determinare i valori x3, p1, p3.

x3 = 3 p1 =16

p3 =13

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard. Calcolare IP(X3).

IP(X3) = 0

3. Su un tavolo si trovano le seguenti carte (3 scoperte e 2 coperte) di un mazzo di carte francesi di 32 carte (dal 7all’Asso) .

¨ 10 ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ 10 ¨

« 8 «

« «

« «

« 8 «

¨ 8 ¨

¨ ¨

¨ ¨

¨ 8 ¨

Scoprendo le due carte, calcolare la probabilità α di ottenere un full (un tris più una coppia), e la probabilità β diottenere un poker.

α =9

406β =

1406

8





Compito C

1. Siano A,B, C tre eventi tali che B ⊆ A ∩ Cc. L’assegnazione P (B) = 0.6, P (C) = 0.5 è coerente (cerchiare larisposta giusta) ?

COERENTE ? SÌ NO©2. Due persone hanno un mazzo di carte per ciascuno da cui estraggono contemporaneamente, indipendentemente e con

restituzione una carta alla volta fino a quando ottengono due carte con lo stesso seme. Determinare il numero medioN di estrazioni che ognuna di esse fa.

N = 4

3. Un’urna contiene sei palline numerate bianche e nere come mostrato in figura :

¬ ®

¹ º »Da essa vengono estratte in blocco tre palline. Definiti gli eventi

E = “la pallina più piccola è maggiore di 1”,F = “la pallina più grande è minore di 6”,G = “sono state estratte più palline bianche che nere”,

stabilire se gli eventi E,F, G sono stocasticamente indipendenti e logicamente indipendenti (cerchiare la rispostagiusta) .

E,F, G stocasticamente indipendenti ? SÌ NO©E,F, G logicamente indipendenti ? SÌ© NO

9





Compito D

1. Un vettore aleatorio ha distribuzione uniforme sul quadrato di vertici (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0,−1). DeterminarefX(x), calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono indipendenti.

fX(x) =

1 + x −1 ≤ x ≤ 01− x 0 < x ≤ 10 altrove

cov(X, Y ) = 0 X e Y indipendenti ? SÌ NO©2. Siano dati i tre numeri 4, 10, 25 ; di essi calcolare la media aritmetica x, la media armonica α e la media geometrica

γ.

x = 13 α =10013

γ = 10

3. Cinque dadi vengono lanciati uno alla volta. I primi tre mostrano le seguenti facce :

l

l

l

l l

l l

l

l

l

Dado 1 Dado 2 Dado 3

Calcolare la probabilità α che, lanciando gli altri due, quattro mostrino la stessa faccia, e la probabilità β di ottenereuna coppia più un tris.

α =136

β =112

10





Compito E

1. Siano dati gli eventi A,B,C, tali che Cc ⊂ Ac ∩ Bc, e il numero aleatorio X = 3|A| − 2|B|+ |C|. Esprimere X inuna opportuna forma canonica, e calcolarne la previsione supponendo tutti i costituenti equiprobabili.

X = 2|C1|+ 4|C2| − |C3|+ |C4| IP(X) =65

avendo postoC1 = A ∩B ∩ C,C2 = A ∩Bc ∩ C,C3 = Ac ∩B ∩ C,C4 = Ac ∩Bc ∩ C.

2. Ad un esame sono presenti 50 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) con valor medio 20 e scartoquadratico 5. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che la media aritmetica ditutti gli studenti sia superiore a 21.

α = 1− Φ(√

2)

3. Si abbiano tre urne come mostrato in figura :

m

m l m

l m l

m m

l m l

m l m

U1 U2 U3

Dalla prima viene estratta una pallina che viene inserita nella seconda ; dalla seconda viene estratta una pallina cheviene inserita nella terza ; dalla terza viene estratta una pallina che viene inserita nella prima. Quale è la probabilità pche al termine delle operazioni le tre urne mantengano la stessa composizione iniziale ?

p =514

11





Compito F

1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità

f(x) =

kx2 x ∈ [−1, 1]0 altrove

Determinare k e la densità g(y) di Y = 2−X .

k =32

g(y) =

32(2− y)2 y ∈ [1, 3]

0 altrove

2. Siano dati i seguenti valori numerici 12, 32, 43, 2, 22, 32, 4 ; determinare la moda x∗, la mediana m e la media arit-metica x.

x∗ = 32 m = 22 x = 21

3. Un pulmann per gite scolastiche ha 15 posti a sedere. In esso sono presenti 10 studenti di cui 3 ragazze. Dopo una sostaad un autogrill, tutti gli studenti risalgono sul pulmann occupando a caso i posti a sedere. Determinare la probabilitàp che almeno una ragazza occupi un posto su cui sedeva (prima della sosta) un ragazzo.

p =5765

12


Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei TrasportiEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004



Compito A

1. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (0, 0), (1, 2), (−2, 3), (−2,−1), (3,−1).Determinare la funzione di ripartizione F (z) del numero aleatorio Z = cos(πXY ).

F (z) =

0 z < −115−1 ≤ z < 1

1 z ≥ 1

2. Si abbiano n numeri aleatori X1, X2, ..., Xn, con lo stesso scarto standard σ =√

10 e tali che ρ(Xi, Xj) = − 110

per

qualunque coppia di indici i, j. Qual è il valore massimo (S) che può assumere var(X1 + X2 + ... + Xn) ?

S = 30

3. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti, e il numero aleatorio X = 3|Ac| − 2|B|. Esprimere X3 infunzione di |A| e di |B|.

X3 = 27− 27|A| − 26|B|+ 18|A| · |B|

Il seguente testo è stato dato per errore Si considerino n numeri aleatori X1, X2, ..., Xn, con lo stesso scarto standard σ

e tali che ρ(Xi, Xj) = ρ ≤ − 110

per qualunque coppia di indici i, j. Qual è il valore massimo che può assumere n ?

nmax = 11

13





Compito B

1. Riempire la seguente tabella con i giusti valori, sapendo che X e Y sono stocasticamente indipendenti, e che var(Y ) =3.

X -1 0 1 pY

Y ↓

0 p11 =14

p21 =14

p31 =14

p′′1 =

34

y2 =4 p12 =112

p22 =112

p32 =112

14

pX →13

13

p′3 =

13

2. La probabilità che un cacciatore colpisca un uccello in volo è pari a1

100. Calcolare la probabilità p che su 200 tentativi

colpisca almeno due uccelli, prima in modo esatto (α), e poi con una opportuna approssimazione (β).

α = 1− 2.99(

99100

)199

β = 1− 3e−2 α ' β ' 0.59

3. In un’ urna ci sono tre dadi : uno normale, uno con tutte e sei le facce che mostrano ‘2’, e uno con tutte e sei le facceche mostrano ‘5’. Da essa ne vengono estratti due a caso e vengono lanciati senza guardarli. Sapendo che la sommadelle facce mostrate è 7, calcolare la probabilità p che il dado normale sia rimasto nell’urna.

p =34

14





Compito C

1. Un numero aleatorio X è equidistribuito sul codominio CX = −4,−2, 2, 4. Determinare previsione e varianza del

numero aleatorio Y = log2

(1|X|

).

IP(Y ) = −32

var(Y ) =14

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con scarto quadratico (σ) doppio del valor medio (m).Calcolare α = P (−σ ≤ X < m| −m < X < σ).

α =Φ(1)− 1

2

Φ(1)− 1 + Φ(

12

)3. Una persona ha davanti a sé due mazzi di carte italiane, ad uno dei quali tutte le figure sono state sostituite con assi.

Egli ne sceglie uno a caso e compie estrazioni con restituzione fino ad ottenere per la prima volta un asso. Avendocompiuto 4 estrazioni, quale è la probabilità p che abbia scelto il mazzo non modificato ?

p =2759

15





Compito D

1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione

f(x, y) =

ke2x−3y (x, y) ∈ (−∞, 0]× [0,+∞)0 altrove

Determinare k, stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X diregressione di X su Y .

k = 6 X e Y indipendenti ? SÌ© NO rXY : x = −12

2. La conoscenza del peso θ (espresso in grammi) di un bullone è rappresentata dalla densità β(θ) = N10,2(θ). Permigliorare la conoscenza il bullone viene pesato 8 volte con una bilancia che commette un errore attorno al va-lore effettivo (θ) avente distribuzione normale con scarto quadratico pari a 1. Sapendo che le misure sono state(8, 10, 11, 10, 12, 10, 9, 10), determinare la distribuzione finale.

β(θ|x) = N10, 2√33

(θ)

3. Un signore decide di puntare sempre sul numero ‘43’ sulla ruota del lotto di Roma. Quante estrazioni (N ) deveattendere mediamente prima che esso venga estratto ?

N = 18

16





Compito E

1. Due dadi vengono lanciati contemporaneamente. Determinare codominio e distribuzione di Z =‘massimo numerouscito’.

CZ = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pZ =

136

,336

,536

,736

,936

,1136

2. Siano X , Y due numeri aleatori, con Y = arctan(2+kX). Esistono valori di k tali che il coefficiente di correlazioneρ(X, Y ) valga 1 (cerchiare la risposta giusta) ?

SÌ NO©3. In un’urna le palline bianche sono il doppio di quelle nere. Da essa si estraggono senza restituzione le palline fino a

dimezzarne il contenuto, e sia X =‘numero di palline bianche estratte’. Sapendo che var(X) =811

quante palline(n) sono state estratte ?

n = 6

17





Compito F


f(x) =

kx2 x ∈ [−1, 1]0 altrove

Determinare k e la densità g(y) di Y = 1−X2.

k =32

g(y) =

32

√1− y y ∈ [0, 1]

0 altrove

2. In una classe di 40 studenti si sta svolgendo il tema di italiano. Il numero (aleatorio) di errori di ortografia che ognuno

di essi commette ha valor medio pari a120

. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa)α che in tutta l’aula si abbiano almeno 2 errori.

α =12

3. Siano dati due eventi A e B. È coerente l’assegnazione P [(A ∩B)c] < P (Ac ∩Bc) (cerchiare la risposta giusta) ?

COERENTE ? SÌ NO©

18


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004



Compito A

1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∪ B = Ω e A ∩ B 6= ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) =27, P (B) =

1121

è coerente (cerchiare la risposta giusta) .

coerente SÌ NO©2. Quattro studenti riempiono a caso la matrice numerica 2× 2 mostrata in figura con i rispettivi numeri di matricola.[

. . . . . .

. . . . . .

]Calcolare la previsione di X =‘determinante della matrice’.

IP(X) = 0

3. Un numero aleatorio continuo X > 0 è tale che P (X > t)P (X > s) = P (X > t + s) ∀t, s > 0 ; sapendo cheP (X > 4) = 0.7, determinarne il valore medio M .

M =4

ln 10− ln 7

4. La quantità di sodio (misurata in mg/litro) presente in un tipo di acqua è un numero aleatorio (θ) avente distribuzioneuniforme tra 3 e 4. Per avere una stima più precisa si effettua una nuova misura con uno strumento che è soggettoad un errore avente distribuzione normale centrata sul valore effettivo e scarto quadratico medio pari a 1. Avendoottenuto il valore 3.5, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.

α(x|θ) = N3.5,1(θ) β(θ|x) =

N3.5,1(θ)

2Φ(0.5)− 1θ ∈ [3, 4]

0 altrove.

19





Compito B

1. La probabilità che uno studente che si è prenotato si presenti ad un esame è positiva ; la probabilità che egli consegni

l’elaborato sapendo che si è presentato è pari a57

; la probabilità che egli superi la prova sapendo che ha consegnato

l’elaborato è pari a710

. Determinare la probabilità p che uno studente che si è presentato all’esame sia promosso.

p =12

2. Un’urna contenente una pallina bianca e nove nere viene ripartita in parti uguali in due urne U1 e U2. Quale è laprobabilità α che la pallina bianca si trovi in U1 ? Successivamente da U2 si estraggono a caso tre palline in bloccorivelandosi tutte nere. Quale è la probabilità β che la pallina bianca si trovi in U2 ?

α =12

β =27

3. Un numero aleatorio X ha densità

f(x) =

kx3(1− x)8 0 < x < 10 altrove.

Determinare k e calcolare IP(X).

k =12!3!8!

IP(X) =413

4. Un secchio S1 di 10 litri contiene una quantità aleatoria (X) di litri d’acqua avente distribuzione uniforme su [0, 10]. Ilsuo contenuto viene riversato in un secondo secchio S2 della capacità di 5 litri. Determinare la funzione di ripartizioneY = ‘contenuto in litri di S2 dopo il travaso’.

FY (y) =

0 y < 0y10 0 ≤ y < 51 y ≥ 5

20





Compito C

1. Un docente propone ai ragazzi la scelta (come voto finale) tra la media geometrica γ e la media armonica α dei votipresi alla prova scritta e alla prova orale. Quale scelta conviene ai ragazzi (cerchiare la risposta giusta) ?

γ© α

2. Un’urna contiene palline bianche e nere. Sapendo che in 5 estrazioni con restituzione si sono ottenute 3 bianche e 2nere, calcolare la probabilità α che si sia avuta la seguente sequenza :

m l m l m

α =110


f(x) =

kx3e−2x x > 00 x ≤ 0


k =83

IP(X) = 2

4. Una fabbrica produce cilindri con diametro (misurato in millimetri) avente distribuzione normale N20,1. Una dittaacquirente ritiene accettabili solo i cilindri che abbiano il diametro compreso tra 19 e 21 mm. Applicando il teoremacentrale si determini il numero minimo min di cilindri che deve produrre la fabbrica affinché la probabilità di averealmeno 100 cilindri accettabili sia maggiore del 50% ?

min =[

1002Φ(1)− 1

]= 147

21





Compito D

1. Cinque calciatori di una squadra di calcio di serie A, durante l’ultimo campionato hanno disputato rispettivamente(Xi) 3, 11, 15, 13, 8 incontri, realizzando rispettivamente (Yi) 3, 4, 9, 3, 1 reti. Determinare la covarianza di X e Y .

cov(X, Y ) = 7

2. Per vincere un premio si hanno a disposizione 10 tiri per colpire un bersaglio. Sapendo che Marco ha probabilità 25%di colpire e che ha vinto il premio, quale è la probabilità α che egli abbia colpito il bersaglio all’ultimo colpo ?

α =pq9

1− q10= [con p = 1/4, q = 3/4] =

39

410 − 310

3. Un numero aleatorio X ha densità N3,2(x). Determinare la densità di probabilità di Y =∣∣∣∣X − 3

2

∣∣∣∣.

fY (y) =

2√2π

e−12y2

y ≥ 0

0 y < 0

4. Durante un giorno in un supermercato vanno a fare la spesa 100 clienti. Ognuno di essi spende una somma (aleatoria,misurata in euro) avente varianza pari a 25 e valor medio m. Sapendo che la probabilità che l’incasso dell’interagiornata sia inferiore a 2100 euro è pari a Φ(2), determinare il valore medio speso da ogni cliente.

m = 20

22

Università degli Studi “La Sapienza” di RomaFacoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - TelecomunicazioniEsame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004



Compito A

1. Un pendolare è solito prendere sempre lo stesso treno. In base a passate osservazioni è noto che quando egli arrivain stazione prima dell’orario di partenza il treno parte in ritardo con probabilità 0.9. Quando invece arriva in ritardoin stazione il treno parte in orario con probabilità 0.8. Determinare il valore minimo (min) e quello massimo (max)della probabilità che il pendolare parta in orario.

min = 0 max = 0.1

2. Due amici escono a caccia. Il primo ha probabilità 7/10 di colpire un uccello in volo, mentre il secondo ha probabilità9/10. Essi terminano la caccia quando ognuno di loro ha catturato un uccello. Quanti colpi complessivi (N ) dovrannosparare mediamente i due amici ?

N =16063

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha la seguente densità

f(x, y) =

k

y

x(x, y) ∈ [1, 2]× [1, 2]

0 altrove.

Determinare k e il punto P di intersezione tra la retta rY X (di regressione di Y su X) e la retta rXY (di regressionedi X su Y ).

k =2

3 ln 2P ≡

(1

ln 2,149

)

4. In una cittadina, il numero di feriti a causa dei mortaretti nella notte di capodanno segue la distribuzione di Poissoncon parametro θ incognito avente densità

β(θ) =

6θ7

θ > 1

0 altrove.

Sapendo che nella notte di capodanno 2005 ci sono stati 7 feriti, determinare la distribuzione finale di θ.

β(θ|x) =

e1−θ θ > 10 altrove.

23





Compito B

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale. Sapendo che la previsione è pari a 5 volte la varianza e che

P (X = 0) =1

125, determinare il valore massimo (max) che può assumere X .

max = 3

2. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 50% proviene da una fabbrica A, il 30% da una fabbrica B e il 20%da C. Le percentuali di dispositivi difettosi prodotti da A,B,C sono rispettivamente il 3%, il 5% e il 10%. Calcolare laprobabilità p che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da B.

p =310

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con m = 1, σ = 2. Calcolare P (X < 3|X > 1). Determinare la

densità di probabilità di Y =X − 1

2.

P (X < 3|X > 1) = 2Φ(1)− 1 fY (y) = N(y)

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (2, 2); (4, 4); (4, 0). Determi-nare la funzione di ripartizione di X .

FX(x) =

0 x < 2(

x2 − 1

)2 2 ≤ x ≤ 41 x > 4

24





Compito C

1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = −2,−1, 1, 2 e distribuzione pX =

13,16,16,13

. Determinare

var(|X|).

var(|X|) =29

2. In una carrozza di un treno per pendolari ci sono 12 posti a sedere divisi a gruppi di 4. Durante il viaggio essi sonotutti occupati ; alla fermata successiva scendono 6 persone. Calcolare la probabilità p che un gruppo di 4 posti a sederesi sia svuotato.

p =111

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme in

C =−1 < x < 10 ≤ y ≤ x2

Determinare la funzione di ripartizione di Y e calcolare IP(Y ).

FY (y) =

0 y < 0y(3− 2

√y) 0 ≤ y ≤ 1

1 y > 1IP(Y ) =

310

4. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (−1,−1), (−1, 1), (0, 0), (1,−1), (1, 1).Stabilire se X, Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta di regressione di X su Y .

X e Y indipendenti ? SÌ NO© rXY : x = 0

25





Compito D

1. In un sacchetto ci sono 12 palline numerate (da 1 a 12). Nell’estrazione di due palline con restituzione, si definiscanoi seguenti eventi :

A =“almeno una è multiplo di 2”,B =“almeno una è multiplo di 3”,C =“almeno una è multiplo di 4”.

Stabilire quali coppie di eventi sono indipendenti logicamente e stocasticamente.

coppie logicamente indipendenti → (A,B), (B,C)coppie stocasticamente indipendenti → (A,B), (B,C)

2. In una classe ci sono 20 alunni che seguono la lezione e 10 che disturbano. La probabilità che un alunno che seguela lezione sia promosso è del 70%, mentre quella di un alunno che disturba la lezione è del 90%. Calcolare il valoremedio M degli alunni promossi a fine anno.

M = 23

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme in

C =−∞ < x < +∞0 ≤ y ≤ e−x2/2

Stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e calcolare IP(Y ).

X e Y indipendenti ? SÌ NO© IP(Y ) =1

2√

2

4. Sia X un numero aleatorio qualunque. Quali sono i valori di k tale che il coefficiente di correlazione tra X e Y = kX3

sia pari a 1 ? Sia ora X un numero aleatorio tale che CX = −1, 0, 1, quali sono i valori di h tali il coefficiente dicorrelazione tra X e Y = hX3 sia pari a 1 ?

k nessuno ; h > 0

26





Compito E

1. Un numero aleatorio X ha distribuzone di Poisson ed è tale che IP(X2) = 4IP(X). Calcolare α = P [X = IP(X)].

α =92e−3

2. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Carlo ne estrae un certo numero senza restituzione ottenendo 4 pallinebianche. Quale è la probabilità p che Carlo abbia estratto 5 palline sapendo che il numero di palline da estrarre lo hadeciso in base al lancio di un dado ?

p =521

3. Una ditta imbottigliatrice confeziona bottiglie da un litro ciascuna. Ad ogni bottiglia toglie una quantità aleatoria(espressa in litri) avente distribuzione esponenziale con parametro λ = 1000. Applicando il teorema centrale calcolarela probabilità β che dopo 1000 bottiglie manomesse riesca a risparmiare almeno un litro.

β =12

4. Un numero aleatorio X ha la seguente densità

f(x) =

xe−x x > 00 x ≤ 0

Determinare la funzione di rischio.

h(x) =

x

x + 1x > 0

0 x ≤ 0

27





Compito F

1. Ad un concorso (per graduatoria) i test sono strutturati in quiz dove bisogna barrare una risposta tra cinque presenti.In caso di risposta giusta si guadagna 1 punto, in caso di risposta sbagliata si riceve una penalità di 0.2 punti, in casodi risposta assente non si riceve alcun punto. In caso di completa impreparazione del candidato, conviene barrare unarisposta a caso oppure non barrare niente (cerchiare la risposta giusta) ?

Conviene barrare ? SÌ© NO

2. In una griglia di 2 righe e 3 colonne debbono essere inserite a caso 4 palline (al massimo una per casella) comemostrato in figura.

I colonna II colonna III colonna↓ ↓ ↓

I riga→II riga→ ⇐= l l l l

Sia X =‘numero di palline nella terza colonna’ e Y =‘numero di palline nella seconda riga’, calcolare cov(X, Y ).

cov(X, Y ) = 0

3. Un numero aleatorio X > 0 ha funzione di rischio

h(x) =

x x > 00 x ≤ 0

Determinare la densità.

f(x) =

xe−

x2

2 x > 00 x ≤ 0

4. Calcolare la probabilità p che sull’intero tabellone delle 10 ruote del lotto, alla prossima estrazione non vi sia nem-meno un ‘37’.

p =(

1718

)10

' 0.565

28





Compito G

1. Siano dati n eventi E1, E2, . . . , En stocasticamente indipendenti ed equiprobabili (P (Ei) = p). Sapendo che la

probabilità che se ne verifichi almeno uno è pari a1516

, mentre quella che si verifichino tutti è pari a116

, determinarep e n.

p =12

n = 4

2. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

F (x) =

0 x < −118 −1 ≤ x < 014 0 ≤ x < 258 2 ≤ x < 51 x ≥ 5

Determinare il codominio e calcolare P (2 ≤ X < 5).

CX = −1, 0, 2, 5 P (2 ≤ X < 5) =38


f(x) =

kx2e−2x x > 00 x ≤ 0


k = 4 IP(X) =32

4. Un’urna contiene 6 palline azzurre, 6 gialle e 6 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione lepalline, e siano definiti i seguenti eventi :

Ai = “pallina azzurra alla i-esima estrazione”,Gi = “pallina gialla alla i-esima estrazione”,Vi = “pallina viola alla i-esima estrazione”.

Calcolare la probabilità α = P (A3 ∪G7 ∪ V13).

α =4768

29





Compito H

1. Siano dati 3 eventi A,B, C tali che A e C siano disgiunti e il numero aleatorio X = |Bc| − |Ac ∩ Cc|. Esprimere Xe X2 in una opportuna forma canonica e calcolare var(X) supponendo tutti i costituenti equiprobabili.

X = |H1| − |H3|+ |H5| , X2 = |H1|+ |H3|+ |H5| avendo postoH1 = A ∩Bc ∩ Cc,H2 = A ∩B ∩ Cc,H3 = Ac ∩B ∩ Cc,H4 = Ac ∩B ∩ C,H5 = Ac ∩Bc ∩ C,H6 = Ac ∩Bc ∩ Cc.

var(X) =1736

2. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha la seguente distribuzione

f(x, y) =

k1

x2y2(x, y) ∈ [2, 4]× [2, 4]

0 altrove

Determinare k e calcolare IP(X2Y 2

).

k = 16 IP(X2Y 2

)= 64

3. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

f(x) =

k x ∈ [2, 4]2k x ∈ [5, 6]0 altrove

Determinare k e la funzione di ripartizione.

k =14

F (x) =

0 x < 2x−2

4 2 ≤ x ≤ 412 4 < x < 5x−4

2 5 ≤ x ≤ 61 x > 6

4. Un signore va a pesca con una canna. Il tempo d’attesa fino alla cattura del primo pesce ha distribuzione esponenzialecon valore medio pari a 10 minuti ; quanto tempo (M ) dovrebbe attendere mediamente se pescasse con due canne ?(N.B. Si supponga che le due canne non si influenzino a vicenda)

M = 5

30


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 gennaio 2005



Compito A


f(x) =

kx9e−5x x > 00 x ≤ 0


k =510

9!IP(X) = 2

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Calcolare la previsione di Y = sin(π

2X)

.

IP(Y ) =p

1 + q2


12√

πexp

[−(

x− 32

)2]

per −∞ < x < +∞.

Calcolare P (X ≤ 3 +√

2).

P (X ≤ 3 +√

2) = Φ(1)

4. In un’urna ci sono 5 palline (bianche e/o nere). Il numero aleatorio

Q =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’

ha distribuzione (iniziale) uniforme. Nell’estrazione di 3 palline con restituzione si è ottenuta la seguente sequenza :

m l m

Determinare la distribuzione finale di Q.

P (Q = i|E) =150

i2(5− i) i = 0, 1, 2, 3, 4, 5→ pQ|E =

0,225

,625

,925

,825

, 0

31





Compito B


f(x) =

kx7(1− x)15 0 < x < 10 altrove.


k =23!

7!15!IP(X) =

13

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ. Calcolare la previsione di Y = cos(π

2X)

.

IP(Y ) =cos λ

eλ

3. Ad un esame venti studenti hanno preso i seguenti voti :

13 8 21 8 23 25 8 8 15 12 24 30 16 19 25 25 21 30 23 26

Determinare media x, moda x∗ e mediana m.

x = 19 x∗ = 8 m = 21

4. Un’urna contiene 99 palline nere e una che può essere con uguale probabilità bianca o nera. Da essa vengono fatteuna serie di estrazioni (con restituzione) di 10 palline in blocco. Dopo quante estrazioni (N ) in blocco che presentanosempre 10 palline nere si può affermare che la probabilità che nell’urna ci siano solo palline nere è maggiore di99/100 ?

N = 44

32


Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - TelecomunicazioniEsame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005



Compito A

1. Un numero aleatorio continuo X è distribuito uniformemente sull’intervallo (0, 4) ; si determini la funzione di rischioin tale intervallo.

h(x) =1

4− xper 0 < x < 4

2. Quattro eventi A,B, C, D sono tali che A ⊂ C, B ⊂ D, B ∩ C = ∅, A ∩D = ∅ ; inoltre si ha P (A) = P (B) = 0,P (C) = P (D) = 1. Elencare tutti i costituenti che si formano ed esprimerli in funzione di A,B, C, D.

costituenti↓

C1 = Ac ∩Bc ∩ Cc ∩Dc C2 = Ac ∩Bc ∩ Cc ∩D C3 = Ac ∩Bc ∩ C ∩Dc

C4 = Ac ∩Bc ∩ C ∩D C5 = Ac ∩B ∩ Cc ∩D C6 = A ∩Bc ∩ C ∩Dc

3. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità

X 0 1 3

Y

116

13

19

329

118

19

Determinare la distribuzione condizionata p′h|2 = P (X = xh|Y = y2) e calcolare IP(X|Y = 3).

p′h|2 =

47,17,27

IP(X|Y = 3) = 1

4. Una vetrata è costituita da un telaio di larghezza 2 (metri) e altezza 1 su cui possono scorrere liberamente due vetridi misura (1 x 1) ; si suppongano nulle le misure delle cornici. I due vetri vengono posizionati completamente a caso.Determinare la densità di probabilità di Z =‘superficie dell’ apertura’.

fZ(z) =

2z 0 ≤ z ≤ 10 altrove.

33





Compito B

1. Siano dati 3 eventi A,B, C tali che A ∪ B ∪ C = Ω e A ∩ B ∩ C = ∅. Determinare il codominio e la varianza di

X =√|A ∩ Cc|(4− 3|B|) sapendo che P (A ∩Bc ∩ Cc) = P (A ∩B ∩ Cc) =

13

.

CX = 0, 1, 2 var(X) =23

2. Un’urna contiene 4 palline bianche e 4 nere ; da essa si estraggono senza restituzione 5 palline. Calcolare la probabilitàp di ottenere un numero pari di palline bianche.

p =12

3. Un numero aleatorio discreto X ha CX = −2, 0, 2. Dato il numero aleatorio Y = arctanX , calcolare ρ.

ρ = 1

4. Franco e Simone hanno una scatola per ciascuno da riempire con palline bianche e nere. Franco riempie la sua scatolaseguendo il seguente criterio : lancia 3 volte una moneta, se esce testa inserisce una pallina bianca, altrimenti unapallina nera. Simone invece lancia 2 volte un dado, se esce il ‘4’ inserisce una pallina bianca, altrimenti una pallinanera. Successivamente il contenuto delle due scatole viene riversato in un’urna U da cui viene in seguito estratta unapallina ; calcolare la probabilità α di ottenere una pallina bianca.

α =1130

34





Compito C

1. Un numero aleatorio ha distribuzione di Poisson con valore medio pari a 3. Calcolare P (X ≥ 1).

P (X ≥ 1) = 1− e−3

2. Siano dati 3 eventi A,B, C tali che P (C) > 0. Calcolare p = P [(A ∪B) ∩ Cc|(Ac ∩Bc) ∪ C].

p = 0

3. Una fabbrica produce componenti la cui durata (espressa in anni) ha distribuzione esponenziale con parametro θincognito avente la seguente densità di probabilità

β(θ) =

c

θ2θ > 1

0 altrove.

Sapendo che gli ultimi componenti hanno funzionato rispettivamente per 3 e 5 anni, determinare la funzione diverosimiglianza e la distribuzione finale di θ.

α(x|θ) = θ2e−8θ β(θ|x) =

8e8(1−θ) θ > 10 altrove.

4. Un’urna contiene 8 palline azzurre, 8 gialle e 8 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione lepalline ; siano definiti i seguenti eventi :

Ai = “pallina azzurra alla i-esima estrazione”,Gi = “pallina gialla alla i-esima estrazione”,Vi = “pallina viola alla i-esima estrazione”.

Calcolare la probabilità α = P (Ac20 ∩Gc

4 ∩ V c11).

α =232759

35





Compito D

1. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti con P (A) = 0.3, P (B) = 0.4 e P (A ∩ B) = 0.1. Esprimereil numero aleatorio X = 2|A| − |B| in forma canonica, e il numero aleatorio X2 in funzione degli eventi A e B.Calcolare var(X).

X = −|C1|+ 2|C4|+ |C3| avendo posto C1 = Ac ∩B,C2 = Ac ∩Bc, C3 = A ∩B,C4 = A ∩Bc

X2 = 4|A| − 4|A||B|+ |B| var(X) = 1.16

2. Ciccio ha davanti a sé una scatola al cui interno si trovano delle letterine come mostrato in figura.

C C CI I O

Egli estrae una alla volta le letterine. Calcolare la probabilità che egli riesca a formare il proprio nome in caso diestrazioni senza restituzione (α), e con restituzione (β).

α =160

β =1

432

3. Due amici si trovano nel deserto a distanza L (misurata in chilometri) l’uno dall’altro. Ognuno di essi ha una quantitàdi carburante (aleatoria e indipendente l’una dall’altra) che permette di coprire una distanza avente distribuzioneesponenziale di valore medio pari a L/2. Qual è la probabilità p che essi riescano ad incontrarsi ?

p = 3e−2

4. In una grande città esistono 100 locali in cui c’è il divieto di fumare. In ognuno di essi la probabilità che il gestore

permetta di fumare è pari a15

. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità γ che durante un controlloeffettuato su tutta la città ci siano al massimo 30 locali che trasgrediscono la legge.

γ = Φ(

52

)

36





Compito E

1. Un banco organizza scommesse sugli esiti di estrazioni da un’urna contenente palline di due soli colori (bianche enere) in proporzioni incognite. Sono definiti i seguenti eventi nell’estrazione di una pallina :

A =“si ottiene una pallina bianca”,B =“si ottiene una pallina nera”.

Il banco paga 1.5 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 1.5α esi guadagna 0.5α), e 2.5 : 1 le scommesse sull’evento B. Stabilire se si tratta di scommesse coerenti (cerchiare larisposta giusta) .

COERENTI ? SÌ NO©2. Un numero aleatorio continuo ha distribuzione uniforme, ed è tale che IP(X) = 0 e var(X) =

112

. Calcolare var(X2).

var(X2) =1

180

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X < 14) = Φ(2), e σ = 3m. Stabilire la densità diX .

f(x) = N2,6(x)

4. In una griglia di 2 righe e 2 colonne debbono essere inserite a caso 4 palline numerate (una per casella) come mostratoin figura.

I colonna II colonna↓ ↓

I riga→II riga→ ⇐= ¬ ® ¯

Sia X =‘somma dei numeri nella seconda colonna’ e Y =‘somma dei numeri nella prima riga’, calcolare cov(X, Y ).

cov(X, Y ) = 0

37





Compito F

1. Un numero aleatorio ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 5. Calcolare P (X < 5).

P (X < 5) = 1− e−1


X 1 2 4

Y

1124

16

18

214

112

13

Determinare codominio, distribuzione e varianza di Z = log2

(Y

X

).

CZ = −2,−1, 0, 1 pZ =

18,12,18,14

var(Z) = 1

3. Un dispositivo è composto da 3 componenti posti in parallelo. Il primo ha probabilità 1/2 di funzionare, il secondo1/3, il terzo 1/6. Sapendo che il dispositivo funziona e che i componenti sono tra loro indipendenti, quale è laprobabilità γ che il secondo componente sia guasto ?

γ =713

4. Nel gioco della morra cinese la forbice (F) batte carta (C) ; carta batte sasso (S) che a sua volta batte forbice.Due amici, Massimo e Patrizio giocano alla morra cinese. È noto che Massimo ad ogni giocata mostra F, C, S

con probabilità rispettivamente12,13,16

, mentre Patrizio mostra F, C, S con probabilità rispettivamente715

,13,15

.Calcolare la probabilità che in una singola giocata vinca Massimo (α), e la probabilità che vinca Patrizio (β). In unapartita in cui vince chi arriva per primo a 1, quale è la probabilità p che vinca Massimo ?

α =1445

β =1445

p =12

38





Compito G

1. Un vettore aleatorio ha distribuzione uniforme sul rettangolo [0, 2]× [0, 1]. Calcolare P (E|H) con E =(

Y >12

),

H = (X > 1).

P (E|H) =12

2. In un cassetto ci sono 6 bottoni verdi, 6 bianchi e 6 gialli. Una sarta li estrae a caso senza restituzione uno alla voltafino ad ottenerne 2 di uno stesso colore. Quante estrazioni (M ) deve compiere mediamente ?

M =10134

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (−1, 1). Determinare la densità di proba-bilità di Y = 1−X2.

fY (y) =

1

2√

1− y0 < y < 1

0 altrove.

4. Due amici tirano alternativamente un colpo per ciascuno fino a far scoppiare un palloncino. Andrea comincia per

primo e ha probabilità27

di avere un successo ; mentre Ugo ha probabilità35

. Calcolare la probabilità p che vincaUgo.

p =35

39





Compito H

1. Un numero aleatorio discreto X ha CX = 3, 5, 7 e pX =

315

,515

,715

. Determinare la funzione di ripartizione.

F (x) =

0 x < 315 3 ≤ x < 5815 5 ≤ x < 71 x ≥ 7

2. Sei amici (Aldo, Bruno, Carlo, Danilo, Enzo e Fabrizio) devono andare da Roma a Milano e devono dividersi nelseguente modo : 3 in macchina, 2 in aereo e 1 in treno. In quanti modi (N1) è possibile la suddivisione ? Supponendoche solo Aldo abbia la patente, Bruno e Carlo soffrano il mal d’auto, e Danilo ed Enzo abbiano paura dell’aereo, inquanti modi (N2) è possibile la suddivisione ?

N1 = 60 N2 = 5

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che ρ2 = 1. Stabilire l’ampiezza dell’angolo ϕ formato dalle due rette di regres-sione.

ϕ = 0

4. In un’urna ci sono 10 palline che possono essere di due soli colori (bianche e nere). Il numero aleatorio discreto

Q =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’

ha distribuzione (iniziale) uniforme. Sapendo che estraendo due palline in blocco si sono ottenute una bianca e unanera, determinare la distribuzione finale di Q.

PF (Q = k) =k(10− k)

165k = 0, . . . , 10→ pQ|E =

0,

355

,16165

,755

,855

,533

,855

,755

,16165

,355

, 0

40


Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei TrasportiEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 22 febbraio 2005



Compito A

1. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti e tali che i costituenti da essi formati siano equiprobabili.Esprimere in forma canonica il numero aleatorio X = 22|A|+|B| e calcolarne la previsione e la varianza.

X = 8|C1|+ 4|C2|+ 2|C3|+ 1|C4|avendo posto C1 = A ∩B, C2 = A ∩Bc, C3 = Ac ∩B, C4 = Ac ∩Bc

IP(X) =154

var(X) =11516

2. Un circuito elettrico è composto di due interruttori in serie tra loro indipendenti. Il primo è chiuso (permette ilpassaggio di corrente) con probabilità 1/3, mentre il secondo è chiuso con probabilità 2/3. Sapendo che ai capi delcircuito non c’è passaggio di corrente, qual è la probabilità p che siano entrambi aperti ?

p =27

3. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria ed è tale che P (X > 2|X < 4) =1

1 + e. Determinare il valore

medio (M ) di X .

M = 2

41


Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei TrasportiEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 22 febbraio 2005



Compito B

1. Un’urna contiene 10 palline bianche e 10 nere. Un ragazzo estrae ripetutamente e con restituzione 2 palline in bloccofino ad ottenere due palline di colore diverso. Quante estrazioni dovrà compiere mediamente ?

M =1910

2. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è distribuito uniformemente all’interno della circonferenza di centro l’originedegli assi e raggio 1 (C). Determinare fY (y|x).

fY (y|x) =

1

2√

1− x2(x, y) ∈ C

non definita (x ≤ −1) ∪ (x ≥ 1)0 altrove

3. Nella battitura di una tesi si commettono mediamente 5 errori di battitura a pagina, mentre lo scarto quadratico medioè pari a 2. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità che in una tesi di 100 pagine si commettano almeno480 errori.

p = Φ(1)

42


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 15 aprile 2005



1. Dieci ragazzi hanno le seguenti età : 10 13 11 9 10 13 12 8 13 11Determinare media x, moda x∗ e mediana m.

x = 11 x∗ = 13 m = 11

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ < 1. Calcolare IP(X!).

IP (X!) =e−λ

1− λ

3. Un recipiente avente la capacità di un litro contiene acqua e vino, quest’ultimo con percentuale (aleatoria) X aventedistribuzione fX(x) = B2,1(x). Un secondo recipiente (uguale al primo) contiene anch’esso acqua mista a vinoavente percentuale (aleatoria) Y con distribuzione fY (y) = B1,2(y). I due contenuti vengono mescolati insieme inun terzo recipiente. Determinare la densità di Z =‘percentuale di vino nel terzo recipiente’.

fZ(z) =

16z2 − 32

3 z3 0 ≤ z < 1/2163 − 16z2 + 32

3 z3 1/2 ≤ z < 10 altrove

4. Per misurare la temperatura (θ) alla sorgente di una certa acqua si usano 5 termometri simili. Ognuno di essi commetteun errore che ha distribuzione uniforme centrata sul valore effettivo (θ) e ampiezza dell’intervallo pari a 2, ossia è deltipo :

f(xi|θ) =

1/2 per θ − 1 ≤ xi ≤ θ + 10 altrove

dove Xi =‘lettura dell’i-esimo termometro’. Sapendo che la distribuzione iniziale della temperatura dell’acqua èβ(θ) = N10,5(θ), e che i 5 termometri hanno dato rispettivamente le seguenti misure (10, 10.5, 9.5, 9, 10), determi-nare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale.

α(x|θ) =

1/32 per 9.5 ≤ θ ≤ 100 altrove .

β(θ|x) =

N10,5(θ)

Φ (0.1)− 1/2per 9.5 ≤ θ ≤ 10

0 altrove .

43


Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - TelecomunicazioniEsame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 aprile 2005



Compito A

1. Siano dati tre eventi A, B e C, con A ∩ C = ∅, e tali che P (A) = P (C) = 0.3, P (B) = 0.4. Si ponga P (A ∩Bc ∩Cc) = ε, e P (Ac ∩Bc ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. coere

Q =

0 ≤ ε, λ ≤ 0.3ε + λ ≥ 0.2

2. Un’urna contiene un ugual numero di palline bianche e nere. Si effettuano un numero dispari di estrazioni senzarestituzione. Definiti gli eventiE =“si ottengono un numero dispari di palline bianche”H =“si ottengono un numero pari di palline nere”.Stabilire se E ed H sono stocasticamente indipendenti.indi

Indipendenti ? SÌ NO©3. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di rischio pari a 1 + 3x. Calcolare f(x).risk

f(x) =

(1 + 3x) exp[−x− 3/2x2

]x > 0

0 x ≤ 0


X -1 0 1

Y

016

13

19

129

118

19

Determinare codominio e distribuzione del numero aleatorio Z = sin(

πX + Y

2

).vettdis

CZ = −1, 0, 1 pZ =

16,23,16

44





Compito B

1. Un banco organizza scommesse sugli esiti di estrazioni da un’urna contenente palline di tre soli colori (bianche, neree rosse) in proporzioni incognite. Sono definiti i seguenti eventi nell’estrazione di una pallina :

A =“si ottiene una pallina bianca”,B =“si ottiene una pallina nera”,C =“si ottiene una pallina rossa”.

Il banco paga 3 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 3α esi guadagna 2α), 6 : 1 le scommesse sull’evento B, 12 : 1 le scommesse sull’evento C. Stabilire se si tratta discommesse coerenti (cerchiare la risposta giusta) scom

COERENTI ? SÌ NO©2. Sia dato il numero aleatorio X = |A|+ |B| con A e B indipendenti ed aventi entrambi probabilità pari a p . Calcolare

IP(X10

).binlog

IP(X10

)= 2pq + 210p2

3. Sia dato il numero aleatorio discreto X avente codominio CX = 0, 1, 3, 7 e distribuzione pX =

512

,13,16,

112

.

Determinare previsione e varianza di Y = log2(X + 1).funnum

IP(Y ) =1112

var(Y ) =131144

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (−1, 0); (0, 1); (1,−1).Determinare le densità marginali di X e di Y .marg

fX(x) =

1 + x −1 ≤ x ≤ 01− x 0 < x ≤ 10 altrove.

fY (y) =

1 + y −1 ≤ y ≤ 01− y 0 < y ≤ 10 altrove.

45





Compito C

1. Un’urna contiene un numero indefinito di palline bianche e nere numerate con numeri qualsiasi. Un banco effettua leseguenti scommesse aventi le relative quoteA = “viene estratta una pallina bianca”B = “viene estratta una pallina pari”C = “viene estratta una pallina nera e dispari”

Il banco paga 6 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 6α e siguadagna 5α), 2, 5 : 1 le scommesse sull’evento B, 3 : 1 le scommesse sull’evento C.Esiste una combinazione di tre versamenti da fare (VA, VB, VC) in modo da vincere sicuramente ?scommi

Esiste ? SÌ© NO

2. Dieci palline numerate da 1 a 10 debbono essere poste in 4 scatole : 4 nella prima, 3 nella seconda, 1 nella terzae 2 nella quarta. In quanti modi (N1) è possibile sistemare le palline ? Supponendo che nelle scatole di ordine paripossano andare soltanto palline pari e che nelle scatole di ordine dispari possano andare soltanto palline dispari, inquanti modi (N2) è possibile la sistemazione ?multi

N1 = 12600 N2 = 50

3. Sia X un numero aleatorio con funzione di ripartizione

F (x) =

0, x < 11/5, 1 ≤ x < 33/5, 3 ≤ x < 44/5, 4 ≤ x < 61, x ≥ 6

Determinare il suo codominio CX , la probabilità dell’evento condizionato (3 ≤ X < 4|X < 6).rip

CX = 1, 3, 4, 6 P (3 ≤ X < 4|X < 6) =12

4. Tre numeri aleatori X, Y, Z aventi uguale varianza (σ2 = 2) sono tali che ρXY =12

, ρXZ =13

, ρY Z = −12

.

Calcolare α = cov(2X + 3Y, Z − 2Y + X).cov

α = −323

46





Compito D

1. Siano E,F, G tre eventi tali che E ∨Gc ⊆ F . L’assegnazione P (F ) = 0.2, P (G) = 0.7 è coerente ? koere

coerente ? SÌ NO©2. Si abbia un’urna con due palline bianche e una nera come mostrato in figura

¬

¸Da essa vengono estratte senza restituzione due palline. Si faccia l’elenco (A) di tutte le disposizioni e quello (B)di tutte le combinazioni. Quale elenco conviene utilizzare per calcolare la probabilità dell’evento E =“alla secondaestrazione si ottiene pallina bianca” (cerchiare la risposta giusta) ? Calcolare P (E).comdis

Elenco A⇓

¬

¬

¬ ¸

¸ ¬

¸

¸

Elenco B⇓

¬

¬ ¸

¸

Conviene utilizzare l’elenco A© B

P (E) =23

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme con valor medio pari a 4 e varianza pari a43

. Calcolare IP(X3).unif

IP(X3) = 80

4. Un uomo deve percorrere una distanza di 100 metri. È noto che ogni suo passo copre una lunghezza (aleatoria) avente

distribuzione approssimativamente normale con valore medio97225

e scarto quadratico σ =110

(entrambi espressiin metri). Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità p che con 225 passi egli riesca a coprire l’interadistanza.centr

p = 1− Φ(2)

47


Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - TelecomunicazioniEsame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 luglio 2005



1. Due eventi A e B non impossibili sono tali che P (A) = P (B) = 0 e A ⊂ B. Determinare P (B|A).zero

P (B|A) = 1

2. Sia dato il seguente canale di trasmissione

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

A

B

A

B

>

>

4/5

9/10

in cui il simbolo A ha probabilità 3/4 di essere trasmesso. Sapendo che è stato ricevuto il simbolo B qual è laprobabilità α che esso sia stato effettivamente trasmesso ?bayes

α =35

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione ipergeometrica con parametri N = 18, b = 12, n = 9. Determinare il valoreminimo (min) e massimo (max) di X e la sua varianza.iper

min = 3 max = 9 var(X) =1817


f(x) =

x 0 < x ≤ 12− x 1 < x ≤ 20 altrove

Determinare la funzione di ripartizione del numero aleatorio Y = eX .funz

FY (y) =

0 y ≤ 1(ln y)2

2 1 < y ≤ e1− 1

2(2− ln y)2 e < y ≤ e2

1 y > e2

48


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 2 agosto 2005



1. Cinque calciatori di una squadra di calcio di serie A, durante l’ultimo campionato hanno disputato rispettivamente(Xi) 5, 13, 11, 11, 9 incontri, realizzando rispettivamente (Yi) 7, 8, 10, 7, 3 reti. Determinare la covarianza di X e Y .

cov(X, Y ) = 2

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 10 e p =13

. Calcolare IP(4X).

IP(4X)

= 1024

3. Per illuminare una stanza sono disponibili due lampadine, aventi entrambe durata esponenziale di parametro λ = 3 eindipendenti tra loro. Appena si fulmina la prima, viene sostituita dalla seconda. Determinare la densità di probabilitàdi T =‘istante in cui cessa l’illuminazione nella stanza’ ; di quale distribuzione si tratta ?

fT (t) =

9te−3t t > 00 t ≤ 0

distribuzione gamma→ Gc,λ =

λc

Γ(c) tc−1e−λt t > 0 λ = 3

0 t ≤ 0 c = 2

4. Da un’urna con frazione p =13

di palline bianche si estraggono con restituzione una pallina alla volta fino ad ottenereper la prima volta pallina bianca (sia X questo numero). Successivamente si compiono X estrazioni con restituzioneottenendo 0 palline bianche. Determinare la distribuzione iniziale (P0) e finale (P1) di X .

P0(X = k) = pqk−1 k = 1, 2, . . . P1(X = k) = (1 + q)pq2(k−1)

49


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 24 settembre 2005



1. Cinque giocatori della nazionale di calcio hanno realizzato rispettivamente (Xi) 1, 1, 2, 3, 3, gol disputando 2, 4, 3,5, 6 partite (Yi). Determinare la covarianza cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione ρ(X, Y ).

cov(X, Y ) = 1 ρ(X, Y ) =1√1.6

2. Un’urna contiene 5 palline bianche e 6 nere. Si effettuano 2 estrazioni senza restituzione.Definiti gli eventiE =“la prima pallina estratta è bianca”H =“almeno una pallina estratta è bianca”,stabilire quale relazione logica che intercorre tra essi e calcolarne le probabilità.

E ⇒H P (E) =511

P (H) =811

3. Un ascensore di un grattacielo ha la portata massima di 1000 Kg. Ad un certo istante salgono 16 persone ognunadelle quali ha un peso (aleatorio) di valore medio m = 70 e scarto σ = 30 (entrambi espressi in Kg). Applicando ilteorema centrale calcolare la probabilità p che venga superata la portata massima.

p = Φ(1)

4. Per misurare il peso (θ, espresso in grammi) di un oggetto si usano 10 bilance. Ognuna di esse dà una misura che hadistribuzione uniforme centrata sul valore effettivo (θ) e ampiezza dell’intervallo pari a 4, ossia è del tipo :

f(xi|θ) =

1/4 per θ − 2 ≤ xi ≤ θ + 20 altrove

dove Xi =‘lettura dell’i-esima bilancia’. Sapendo che le 10 bilance hanno dato rispettivamente le seguenti misure(8, 12, 8, 8, 8, 8.5, 11, 8.5, 9, 9), stabilire quale è il valore più plausibile tra i seguenti (cerchiare la risposta giusta)motivando la scelta.

8 9 10©

50


Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - TelecomunicazioniEsame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 29 settembre 2005



1. Noto che P (E ∪ F |H) =13

, calcolare P [(Ec ∩ F c)|H].condi

P (Ec ∩ F c|H) =23

2. Dall’urna mostrata in figura

¬ ® ¯ °

¶ · ¸ ¹ ºvengono estratte una alla volta due palline. Se sono dello stesso colore si riceve (se sono bianche) o si paga(se sono nere) un importo pari al loro prodotto. Se sono di colore diverso si riceve un importo pari alla loro sommaalgebrica (le palline nere vanno considerate negative). Definiti gli eventiEk =“la prima pallina estratta è numerata con k”, Fj =“la seconda pallina estratta è numerata con j”,B =“la prima pallina estratta è bianca”, H =“la seconda pallina estratta è bianca”,esprimere i numeri aleatori X =‘primo numero estratto’, Y =‘secondo numero estratto’, in funzione degli eventi Ek,Fj , e il numero aleatorio S =‘importo ricevuto’ in funzione di X , Y , |B| e |H|.num

X =5∑

k=1

k|Ek| Y =5∑

j=1

j|Fj | S = (Y −X)(|H| − |B|) + XY (|B|+ |H| − 1)

3. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria e ha varianza pari a 2. Calcolare P (3 ≤ X < 4|X > 1).espo

P (3 ≤ X < 4|X > 1) = e−√

2 − e− 3√

2

4. Un vettore aleatorio ha le seguenti rette di regressione

rY X : y = 2− xrXY : x = 1− y/2

Determinare IP(X) e IP(Y ).regr

IP(X) = 0 IP(Y ) = 2

51


Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni

Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 dicembre 2005



Compito A

1. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di sopravvivenza

S(x) =

e−5x x > 01 x ≤ 0

Calcolare la probabilità P (X < 2|X > 1).sopra 6→ 3.14, ∆ = −2.90

P (X < 2|X > 1) = 1− e−5

2. Nel circuito elettrico della figura gli eventiEi =“l’interruttore i è chiuso (permette il passaggio di corrente)” i = 1, 2, 3, 4, 5,

@@

@@

@@

@@A B

1

3

2

4

5

sono equiprobabili (P (Ei) = p) e stocasticamente indipendenti tra loro. Calcolare la probabilità α che tra i due puntiA e B ci sia passaggio di corrente.wheat 4.5→ 2.60, ∆ = −1.90

α = 2p2 + 2p3 − 5p4 + 2p5


f(x) =

12 −

x8 0 ≤ x ≤ 4

0 altrove

Determinare la densità di probabilità di Y =√

X .func 3.5→ 4.10, ∆ = 0.60

g(y) =

y(4− y2)4

0 ≤ y < 2

0 altrove

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (0, 0); (1, 1); (2, 0).Determinare le funzioni di ripartizione di X e di Y . marg 3.5→ 1.80, ∆ = −1.70

F1(x) =

0 x < 0x2/2 0 ≤ x ≤ 12x− 1− x2/2 1 < x ≤ 21 x > 2

F2(y) =

0 y < 0y(2− y) 0 ≤ y ≤ 11 y > 1

52






Compito B


¬ ¸ ¹

º » ² ³viene estratta una pallina. Stabilire se gli eventi :A =“viene estratta una pallina bianca”,B =“viene estratta una pallina pari”,C =“viene estratta una pallina minore o uguale a 4”sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .inditre 7.5→ 5.55, ∆ = −2.00

Indipendenti ? SÌ© NO

2. Tre eventi A,B, C formano i seguenti costituenti :

C1 = Ac ∧B ∧ C C2 = A ∧Bc ∧ C C3 = A ∧B ∧ Cc C4 = Ac ∧Bc ∧ C C5 = Ac ∧B ∧ Cc

Stabilire se le probabilità P (A) = 1/3, P (B) = 1/4, P (Ac ∧ C) = 1/2 sono coerenti (cerchiare la risposta giusta)e calcolare la probabilità di C5.costi 4.5→ 5.35, ∆ = 0.85

coerenti ? SÌ© NO P (C5) =16

3. Stabilire se la funzione h(x) =1x3

x > 0 ha i requisiti per essere una funzione di rischio spiegando il per-ché.risk 4.5→ 3.70, ∆ = −0.80

h(x) è funzione di rischio ? SÌ NO© Perché→ ∀k > 0 si ha∫ k

0h(x)dx = +∞

4. Ad una festa di compleanno sono state invitate 100 persone ; ognuna di esse beve una quantità aleatoria di spumanteavente distribuzione esponenziale con valore medio pari a 1/4 di litro. Applicando il teorema centrale, calcolare laprobabilità p che per soddisfare tutti gli invitati siano sufficienti 30 litri. Qual è il numero minimo (min) di litri affinchéla probabilità di soddisfare tutti gli invitati sia maggiore del 88% ? (Φ(1.22) = 0.88)festa 2→ 3.20, ∆ = 1.20

p = Φ(2) min = 29

53






Compito C

1. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = −3,−1, 1, 3 e distribuzione pX =

16,13,16,13

. Determi-

nare codominio, distribuzione e varianza di Y = |X|. numd 7→ 6.33, ∆ = −0.70

CY = 1, 3 pY =

12,12

var(Y ) = 1


f(x) =

x/2 0 < x ≤ 11/2 2 < x ≤ 3(5− x)/2 4 < x ≤ 50 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione.dens 5→ 3.44, ∆ = −1.56

F (x) =

0 x ≤ 0x2/4 0 < x ≤ 11/4 1 < x ≤ 2x/2− 3/4 2 < x ≤ 33/4 3 < x ≤ 41− [(5− x)/2]2 4 < x ≤ 51 x > 5

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del cerchio di raggio 1 e centro nell’ori-gine. Calcolare P (E|H), con E = (X < Y ), H = (Y > 0), e determinare la retta rY X di regressione di Y suX .regri 4→ 2.78, ∆ = −1.22

P (E|H) =34

rY X : y = 0

4. Al sorteggio dei quarti di finale di Champions League, tra le otto squadre che debbono essere accoppiate, sono presentianche tre squadre italiane ; calcolare la probabilità p che non ci sia nessun scontro tra esse.champ 2.5→ 2.61, ∆ =0.11

p =47

54






Compito D

1. Un tizio estrae a caso e con restituzione una carta alla volta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere una figura.Calcolare la probabilità α che egli compia almeno 7 estrazioni.carte 5→ 6.75, ∆ = 1.80

α =(

710

)6

2. Due numeri aleatori continui X e Y sono stocasticamente indipendenti ed hanno entrambi distribuzione uniforme tra0 e 1. Determinare la funzione caratteristica di Z = X + Y . carat 5→ 1.00, ∆ = −4.00

ϕZ(t) = −(eit − 1)2

t2

3. Stabilire se un vettore aleatorio (X, Y ) può avere le seguenti rette di regressione (cerchiare la risposta giusta) espiegare il perché. In caso affermativo calcolare IP(X).

rY X : y = 2x + 1 rXY : x = y/2 + 1repos 5→ 6.88, ∆ = 1.88

Rette possibili ? SÌ NO© Perché→ sono parallele IP(X) = non esiste

4. Siano dati tre eventi A, B e C, con Bc ∩ Cc = ∅, e tali che P (A) =34

, P (B) =45

, P (C) =25

,. Si ponga

P (A ∩ Bc ∩ C) = ε, e P (A ∩ B ∩ Cc) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. coere3.5→ 3.25, ∆ = −0.25

Q =

0 ≤ ε ≤ 0.20.35 ≤ λ ≤ 0.60.55 ≤ ε + λ ≤ 0.75

55






Compito E


X 0 1 2

Y

016

16

16

w k16

112

Determinare k e w sapendo che cov(X, Y ) = −16

. vetdis 6→ 6.63, ∆ = 0.60

k =14

w = 2

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 10, p =25

. Calcolare IP(X2).bin 5.5 →5.75, ∆ = 0.25

IP(X2) =925

3. Per entrare a casa Enrico deve aprire prima il portoncino e poi la porta di casa. Avendo nel suo mazzo 4 chiavi, e nonsapendo distinguerle, è costretto a procedere per tentativi. Quanti tentativi (M ) dovrà fare mediamente prima di poterentrare a casa ? Ovviamente per aprire il portoncino ogni chiave viene provata al massimo una volta, lo stesso dicasiper la porta di casa. chiavi 3.5→ 4.00, ∆ = 0.50

M =92

4. Un numero aleatorio continuo X ha densità f(x) = e−πx2x ∈ IR.

Calcolare α = P(− 1√

2π≤ X < 1√

2π

).norm 3.5→ 2.63, ∆ = −0.88

α = 2Φ(1)− 1

56






Compito F

1. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di rischio h(x) = 3 + 2x per x > 0. Determinare la densità diprobabilità. risj 7.5→ 6.31, ∆ = −1.20

f(x) =

(3 + 2x)e−3x−x2x > 0

0 altrove

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione di Poisson è tale che P (X ≥ 1) =12

. Determinare IP(X) pois 5 →5.75, ∆ = 0.75

IP(X) = ln 2

3. Siano dati 4 eventi E1, E2, E3, E4 tali che P (Ei) =13∀i, P (Ei ∩ Ej) =

14∀i, j(i 6= j),

P (Ei ∩ Ej ∩ Ek) =15∀i, j, k(i 6= j, i 6= k, j 6= k), P (E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4) =

16.

Calcolare P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4).eventi 5.5→ 5.19, ∆ = −0.31

P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4) =715

4. Un’urna inizialmente vuota viene riempita con sei palline (bianche e/o nere) : il numero di palline bianche è parial numero uscito nel lancio di un dado, e le restanti nere. Successivamente vengono estratte tre palline in bloccoottenendone due bianche e una nera. In base a questa osservazione determinare codominio e distribuzione diY =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’.dado 1.5→ 2.88, ∆ = 1.38

CY = 2, 3, 4, 5 pY =

435

,935

,1235

,1035

57






Compito G

1. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che Φm,σ(−2) = 0.5. Sapendo che IP(X2) = 8, determi-nare il valore medio e lo scarto quadratico. normo 6→ 6.33, ∆ = 0.30

m = −2 σ = 2

2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità ripart 5→ 3.42, ∆ = −1.58

f(x) =

k 1 ≤ |x| ≤ 20 altrove

Determinare la funzione di ripartizione.

F (x) =

0 x < −2x+2

2 −2 ≤ x < −112 −1 < x ≤ 1x2 1 < x ≤ 21 x > 2

3. Una scatola contiene delle lettere come mostrato in figura. nomi 4→ 4.67, ∆ = 0.67

A A AI A ID L D

Tre amiche (Ada, Ida e Lia) estraggono a turno e senza restituzione tre lettere per ciascuna in blocco. Calcolare leprobabilità α, β e γ che Ada, Ida e Lia (rispettivamente) riescano a formare il proprio nome.

α =17

β =421

γ =221

4. Una ditta vende componenti elettronici il cui 30% proviene da una fabbrica A, e il restante 70% da una fabbrica B. Icomponenti hanno durata esponenziale, quelli prodotti da A con valore medio pari a 10 (mesi), mentre quelli prodottida B con valore medio pari a 5 (mesi). Sapendo che dopo 10 mesi un componente è ancora in funzione, calcolare laprobabilità p che provenga da A. ditta 3.5→ 2.75, ∆ = −0.75

p =3e

3e + 7

58






Compito H

1. Siano dati due numeri aleatori tali che Y = 1 − 3X . Determinare la retta di regressione di Y su X . retta 6.5 →1.00, ∆ = −5.50

rY X : y = 1− 3x

2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità di probabilità

f(x) =

0 x ≤ 0ln 33x

x > 0

Calcolare la previsione.expe 5→ 5.00, ∆ = 0

IP(X) =1

ln 3


¬ ® ¯ ° → 1 pallina 2 pallina 3 pallina

vengono estratte una alla volta e senza restituzione tre palline e vengono poste in ordine nella griglia a fianco (comemostrato in figura) formando un numero (N ) a tre cifre. Introdotti gli eventi

A =“N è multiplo di 2”,B =“N è multiplo di 3”,C =“N è multiplo di 6”.

calcolare P (A), P (B), P (C), e stabilire se A e B sono stocasticamente indipendenti.multip 4.5 → 1.00, ∆ =−3.50

P (A) =25

P (B) =25

P (C) =215

A e B indipendenti ? SÌ NO©

4. In un gioco simile a quello dell’oca, bisogna arrivare all’ultima casella (n. 100) lanciando ripetutamente un dado epercorrere un numero di caselle pari all’uscita del dado. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (p) diriuscire a raggiungere (o superare) l’ultima casella con 30 lanci. oca 2.5→ 0, ∆ = −2.50

p = 1− Φ(√

27

)

59



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006



Compito A

1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità

f(x, y) =

k |y| ≥ |x|+ 1, |y| ≤ 20 altrove.

Determinare il valore di k, F1(x) e f2(y).arce

k = 1/2 F1(x) =

0 x < −1(1 + x)2

2−1 ≤ x < 0

1− (1− x)2

20 ≤ x < 1

1 x > 1

f2(y) =

−1− y −2 ≤ y ≤ −1y − 1 1 ≤ y ≤ 20 altrove.

2. Un’urna contiene due palline bianche e ventotto nere. Tre amici estraggono ripetutamente e senza restituzione unapallina per ciascuno (prima Alberto, poi Bonifacio, poi Cesare, poi di nuovo Alberto e così via) fino a quando vieneestratta per la prima volta una pallina bianca. Calcolare la probabilità p che il primo ad estrarre una pallina bianca siaCesare.amici

p =929

3. Siano dati tre eventi A, B e C, con Cc ∩ A = ∅, e tali che P (A) =35

, P (B) =23

, P (C) =25

. Si ponga

P (Ac ∩Bc ∩ C) = ε, e P (A ∩Bc ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. cora

Q = ∅

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Si determini la funzione caratteristica, e utiliz-zando quest’ultima la varianza.cargo

ϕX(t) =peit

1− qeitvar(X) =

q

p2

60






Compito B


f(x) =

1/x 1 ≤ x ≤ e0 altrove.

Determinare la densità di probabilità di Y = ln X .finca

g(y) =

1 0 ≤ y ≤ 10 altrove.

2. Un cassetto contiene due bottoni rossi, due verdi e due blu. Una sarta estrae a caso dal cassetto un bottone alla voltefino ad ottenerne uno di ogni colore. Calcolare il numero medio (M ) di estrazioni compiute.bottoni

M =195

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è distribuito uniformemente sul rettangolo di vertici (2, 1); (1, 2); (−2,−1); (−1,−2).Determinare le funzioni di ripartizione F1(x) e F2(y).roide

F1(x) =

0 x < −2(x + 2)2/6 −2 ≤ x < −1(2x + 3)/6 −1 ≤ x < 11− (x− 2)2/6 1 ≤ x < 21 x ≥ 2.

F2(y) =

0 y < −2(y + 2)2/6 −2 ≤ y < −1(2y + 3)/6 −1 ≤ y < 11− (y − 2)2/6 1 ≤ y < 21 y ≥ 2.

4. In una classe (di 30 studenti) ogni ragazzo lancia 4 volte un dado. Calcolare la probabilità α che in tutta la classe siauscita esattamente 60 volte la faccia 1 .dadi

α =(

12060

)560

6120

61






Compito C


f(x, y) =

k |y| ≤ 1, |x| ≤ |y|+ 10 altrove.

Determinare il valore di k, f1(x) e F2(y).arci

k = 1/6 f1(x) =

x + 23

−2 ≤ x < −113

−1 ≤ x < 12− x

31 ≤ x ≤ 2

0 altrove

F2(y) =

0 y < −112

+y

3− y2

6−1 ≤ y < 0

12

+y

3+

y2

60 ≤ y < 1

1 y > 1

2. Un dispositivo è composto da due componenti posti in serie che devono essere sostituiti. Avendo a disposizione 4componenti, ne debbo scegliere due tra essi da porli nel dispositivo. Sapendo che uno è guasto, calcolare la probabilitàα di far funzionare il dispostivo.comp

α =12


, P (B) =25

, P (C) =25

. Si ponga

P (A ∩B ∩ C) = ε, e P (Ac ∩Bc ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. core

Q =

0 ≤ ε ≤ 1/30 ≤ λ ≤ 1/15

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione ph = P (X = h) = ph con h = 1, 2, . . .. Determinare p e IP(X).geo

p =12

IP(X) = 2

62






Compito D


f(x) =

1√x

1 ≤ x ≤ 9/4

0 altrove.

Determinare la densità di probabilità di Y =√

X .fince

g(y) =

2 1 ≤ y ≤ 3/20 altrove.

2. Un’urna contiene trenta palline numerate da 1 a 30. Se ne estraggono due in blocco, calcolare la probabilità p che lapiù piccola sia multiplo di 3.palli

p =929


f(x, y) =

hx2 + ky 0 ≤ x, y ≤ 10 altrove.

Determinare i valori di h e k sapendo che IP (XY ) =13

.rombo

h = 0 k = 2

4. Siano dati 1000 eventi indipendenti ed equiprobabili E1, E2, . . . E1000

(con P (Ei) =

1500

)e il numero aleatorio

X = |E1|+ |E2|+ . . . + |E1000|. Calcolare con una opportuna approssimazione P (X = 100).poiso

P (X = 100) =2100

100!e−2

63






Compito E


f(x, y) =

k |x| ≤ 1, |y| ≤ |x|+ 10 altrove.

Determinare il valore di k, F1(x) e f2(y).arco

k = 1/6 F1(x) =

0 x < −112

+x

3− x2

6−1 ≤ x < 0

12

+x

3+

x2

60 ≤ x < 1

1 x > 1

f2(y) =

y + 23

−2 ≤ y < −113

−1 ≤ y < 12− y

31 ≤ y ≤ 2

0 altrove

2. Sei amici devono decidere chi dovrà lavare i piatti. A tale scopo decidono di estrarre uno alla volta e senza restituzioneuna carta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere un qualunque asso. Sapendo che il turno delle estrazionicomincia con Angelo, e segue con Bruno, Claudio, Davide, Erasmo e Federico, determinare la probabilità p cheAngelo lavi i piatti .piatti

p =19399139


, P (B) =23

, P (C) =25

. Si ponga

P (Ac ∩Bc ∩ Cc) = ε, e P (Ac ∩B ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. cori

Q =

λ− 1/15 ≤ ε ≤ λ + 11/600 ≤ λ ≤ 3/20ε ≥ 0


f(x) =

k ln(x) 1 ≤ x ≤ e0 altrove.

Determinare k e la previsione di X .loga

k = 1 IP(X) =e2 + 1

4

64






Compito F


f(x) =

1/x2 1/2 ≤ x ≤ 10 altrove.

Determinare la densità di probabilità di Y =1X

.finci

g(y) =

1 1 ≤ y ≤ 20 altrove.

2. Sei amici hanno vinto insieme un solo biglietto per andare allo stadio. Per decidere a chi assegnare il biglietto deci-dono di estrarre uno alla volta e senza restituzione una carta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere l’asso didenari. Sapendo che il turno delle estrazioni comincia con Aldo, e segue con Benito, Cesare, Dario, Ezio e Franco,(per poi eventualmente ricominciare da Aldo) determinare la probabilità di vincita di ognuno di essi .stadio

pA =740

pB =740

pC =740

pD =740

pE =640

pF =640

3. Un ente pubblico è solito elargire contratti di collaborazione la cui stipula avviene dopo un tempo aleatorio X (es-presso in anni) che il contraente ha ultimato la prestazione. Il compenso viene ricevuto dopo un tempo aleatorio Y(espresso in anni) dalla stipula del contratto. Sapendo che il vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità

f(x, y) =

e−x−y x, y > 00 altrove.

calcolare la probabilità p che egli venga pagato entro 5 anni dalla fine del lavoro e il tempo medio (M ) di attesa.ente

p = 1− 6e−5 M = 2

4. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria ed è tale che P (X > ln(3/2)) = 2P (X < ln(3/2). Determinareil valore medio m di X .expo

m = 1

65






Compito G


f(x, y) =

k |x| ≥ |y|+ 1, |x| ≤ 20 altrove.

Determinare il valore di k, f1(x) e F2(y).arcu

k = 1/2 f1(x) =

−1− x −2 ≤ x ≤ −1x− 1 1 ≤ x ≤ 20 altrove.

F2(y) =

0 y < −1(1 + y)2

2−1 ≤ y < 0

1− (1− y)2

20 ≤ y < 1

1 y ≥ 1

2. La composizione di un’urna è mostrata in figura :

¬ ¸

¹ º »Da essa vengono estratte con restituzione cinque palline ottenendo tre palline bianche. Calcolare la probabilità p chela pallina sia sempre rimasta nell’urna.urna

p =18

3. Siano dati tre eventi A, B e C, con B ∩ Ac = ∅, e tali che P (A) =23

, P (B) =12

, P (C) =25

. Si ponga

P (A ∩B ∩ Cc) = ε, e P (Ac ∩Bc ∩ Cc) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. coro

Q =

13/30− ε ≤ λ ≤ 3/5− ε0 ≤ λ ≤ 1/31/3 ≤ ε ≤ 1/2

4. In un’urna il numero di palline bianche è doppio di quelle nere. Da essa si estraggono senza restituzione la metà delle

palline ottenendone X (aleatorio). Sapendo che X è tale che var(X) =317

IP(X), determinare il numero totale N dipalline presenti all’inizio nell’urna.iperg

N = 18

66






Compito H


f(x) =

ex 0 ≤ x ≤ ln 20 altrove.

Determinare la densità di probabilità di Y = eX .finco

g(y) =

1 1 ≤ y ≤ 20 altrove.

2. Un dipendente pubblico è solito assentarsi durante il suo turno di lavoro (di 8 ore) per un periodo aleatorio aventevalore medio pari a 75 minuti e scarto quadratico pari a 30 minuti. Applicando il teorema centrale, calcolare laprobabilità p che in 100 giornate lavorative si sia assentato per almeno il 15% dell’intero periodo.dipe

p = Φ(1)

3. Si abbia la seguente distribuzione del vettore aleatorio (X, Y )

X -1 0 1 p′′k

Y ↓

0 1/12 1/4 0 1/3

1 1/6 1/4 1/4 2/3

p′h → 1/4 1/2 1/4

Determinare le distribuzioni marginali p′h e p

′′k (scrivere i valori nelle rispettive caselle) e il coefficiente di correla-

zione.vett

ρ =14

4. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale ha il valore medio uguale alla varianza ed è tale cheP (X < σ) = 1− Φ(1). Determinare i valori di m e σ.norma

m = 4 σ = 2

67


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 25 marzo 2006



Compito A

1. In un dispositivo (si veda figura) tutti i componenti devono essere rimpiazzati. Per la sostituzione vengono scelti acaso tre componenti da un lotto che ne contiene tre buoni e quattro difettosi . Calcolare la probabilità α che dopo lasostituzione il dispositivo funzioni.dispo

1 2

3

α =1935

2. Sia data la distribuzione congiunta di probabilità mostrata in figura. Determinare codominio, distribuzione, previsionee varianza di Z =‘massimo comune divisore tra X e Y ’.MCD

X 1 2 4

Y

213

112

14

418

16

124

CZ = 1, 2, 4 IP(Z) =138

pZ =

1124

,12,

124

var(Z) =

3164

3. Un’urna contiene un numero imprecisato di palline bianche e nere. Da essa vengono estratte 10 palline. Sia X =‘numerodi palline bianche estratte’, e Y =‘numero di palline nere estratte’ ; calcolare var(X + Y ).urna

var(X + Y ) = 0

4. In una grande stazione ferroviaria il numero di treni (in un giorno) che partono con almeno venti minuti di ritardosegue la distribuzione di Poisson con valore medio θ avente distribuzione (iniziale) gamma G30,2(θ). Sapendo che ne-gli ultimi 5 giorni sono partiti (con almeno venti minuti di ritardo) rispettivamente 10, 30, 15, 25, 40 treni, determinarela funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.staz

α(x|θ) =

θ120

10!30!15!25!40!e−5θ per θ > 0

0 altrove .β(θ|x) = G150,7(θ) =

7150

149!θ149e−7θ per θ > 0

0 altrove .

68





Compito B

1. Franco ha giocato i due numeri ‘25’ e ‘54’ sulla ruota del lotto di Genova. Qual è la probabilità p1 che realizzil’ambo ? Mentre torna a casa per conoscere l’esito delle estrazioni incontra Luigi che gli riferisce che il numero piùalto uscito a Genova è il ‘71’ ; qual è a questo punto la probabilità p2 che egli abbia realizzato l’ambo ? Dopo qualcheminuto incontra Marcello che lo informa che il numero più basso uscito a Genova è il ‘19’ ; qual è ora la probabilitàp3 che egli abbia realizzato l’ambo ?lotto

p1 =2

801p2 =

2805

p3 =1

425

2. Sia data la distribuzione congiunta di probabilità mostrata in figura. Determinare codominio, distribuzione, previsionee varianza di Z =‘minimo comune multiplo tra X e Y ’.mcm

X 1 2 4

Y

1124

16

18

214

112

13

CZ = 1, 2, 4 IP(Z) =238

pZ =

124

,12,1124

var(Z) =

7164

3. Un’urna contiene un numero imprecisato di palline bianche e nere. Da essa vengono estratte un numero di palline pariall’esito del lancio di un dado. Sia X =‘numero di palline bianche estratte’, e Y =‘numero di palline nere estratte’ ;calcolare IP(X + Y ).urno

IP(X + Y ) =72

4. In una moderna stazione ferroviaria la percentuale (θ) di treni che arrivano con almeno dieci minuti di ritardo hadistribuzione (iniziale) beta B5,20(θ). Sapendo che tra gli ultimi 15 treni 8 sono arrivati con almeno dieci minuti diritardo, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.tren

α(x|θ) =

(

158

)θ8(1− θ)7 per 0 < θ < 1

0 altrove .β(θ|x) = B13,27(θ) =

39!12!26!

θ12(1− θ)26 per 0 < θ < 1

0 altrove .

69





Compito A

1. Sei amici sono riusciti a superare un esame dopo (rispettivamente) 3, 1, 5, 2, 3, 4 tentativi ; determinare la moda x∗, lamediana m e la media aritmetica x dei suddetti dati.sei

x∗ = 3 m = 3 x = 3

2. Un’urna contiene in egual numero palline bianche, rosse e verdi. Da essa se ne estraggono in blocco 10. Sia

X = ‘numero di palline bianche estratte’,Y = ‘numero di palline rosse estratte’,Z = ‘numero di palline verdi estratte’.

Determinare i coefficienti di correlazione tra X e Y , tra X e Z e tra Y e Z.cof

ρXY = −12

ρXZ = −12

ρY Z = −12

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G5,10(x). Calcolare la previsione di Y =e5X

X.gam

IP(Y ) = 40

4. Ad una festa sono invitate 48 persone, ognuna di esse ha probabilità34

di andarvi. Supposto che tra ognuno deipartecipanti ci sia una stretta di mano, esprimere il numero (aleatorio) T =‘numero totale di strette di mano’ infunzione del numero (aleatorio) S =‘numero di partecipanti alla festa’. Applicando il teorema centrale calcolare laprobabilità α che ci siano almeno 528 strette di mano. (N.B. Si trascurino i saluti dei padroni di casa)mano

T =(

S

2

)=

S(S − 1)2

α = Φ(1)

70





Compito B

1. Sei amici sono andati a pescare per (rispettivamente) 4, 3, 2, 3, 8, 4 ore (X), pescando (rispettivamente) 8, 10, 7, 2, 5, 4pesci (Y ). Calcolare la covarianza dei due suddetti elenchi di dati.pesc

cov(X, Y ) = −1

2. Calcolare il coefficiente di correlazione tra T = 2X − Y + 3Z e S = 2Y − 6Z + 5− 4X .covr

ρT,S = −1

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta B5,16(x). Calcolare la previsione di Y =(

X

1−X

)10

.bet

IP(Y ) =13

4. Da un’urna contenente una frazione913

di palline bianche si estraggono con restituzione n palline. Calcolare laprobabilità di ottenere al massimo 700 palline bianche (in funzione di n con n > 700), prima in modo esatto (α) epoi in modo approssimato applicando il teorema centrale (β). Determinare poi il massimo valore di n (nmax) per cuitale probabilità (β) è maggiore di 0.691462 (' Φ(0.5)).extr

α =(

413

)n 700∑k=0

(n

k

)(94

)k

β = Φ(

9100− 9n

6√

n

)nmax = 1000

71



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 28 aprile 2006



Compito A

1. Ognuno dei cinque eventi mostrati in figura ha probabilità pari a p, ognuna delle quattro intersezioni ha probabilitàpari a p/4. Determinare i valori coerenti per p.olym

p ∈

[0,

14

]

2. Su ognuna delle quattro facce di un tetraedro è stata stampata a caso una vocale (ogni vocale potendo comparire piùvolte sul tetraedro). Calcolare la probabilità α che non sia stata stampata né la ‘E’ né la ‘I’. In seguito, senza essereguardato, il tetraedro viene lanciato e le facce scoperte mostrano le vocali ‘A’, ‘O’, ‘U’ ; qual è ora la probabilità βche sulle sue facce non sia stata stampata né la ‘E’ né la ‘I’ ? Successivamente il tetraedro viene lanciato una secondavolta (senza guardare la vocale stampata sulla faccia coperta) e le facce scoperte mostrano nuovamente le vocali ‘A’,‘O’, ‘U’ ; qual è a questo punto la probabilità γ che sulle sue facce non sia stata stampata né la ‘E’ né la ‘I’ ?tetra

α =(

35

)4

β =35

γ =34

3. Due numeri aleatori X e Y hanno entrambi distribuzione uniforme tra 0 e 1. Determinare la funzione di ripartizionedi Z = X + Y . qqad

FZ(z) =

0 z < 0z2

2 0 ≤ z ≤ 12z − 1− z2

2 1 < z ≤ 21 z > 2


f(x) =

4x2e−2x x > 00 x ≤ 0

Determinare la funzione di rischio.rsc

h(x) =

4x2

1 + 2x + 2x2x > 0

0 x ≤ 0

72






Compito B

1. Alberto ha giocato i due numeri ‘14’ e ‘87’ sulla ruota del lotto di Milano. Qual è la probabilità p che abbia realizzatol’ambo sapendo che sono usciti due numeri pari e tre dispari ?lobo

p =2

675

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con valor medio pari a 1. Calcolare la probabilità α = P (1.5 <X ≤ 3.2|1.6 < X < 4.1).psn

α =1617

3. Un numero aleatorio X ha codominio CX = 0, 3, 5, 7 e distribuzione pX = 0.2, 0.5, 0.1, 0.2. Determinare lafunzione di ripartizione. fpr

F (x) =

0 x < 00.2 0 ≤ x < 30.7 3 ≤ x < 50.8 5 ≤ x < 71 x ≥ 7

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità

f(x, y) =

k(4− x2 − y2) (x, y) ∈ C0 altrove

dove C è il cerchio di raggio di raggio 2 con centro in (0, 0). Determinare il valore di k e la densità di probabilità diZ =

√X2 + Y 2. cork

k =18π

fZ(z) =

z(4−z2)

4 0 ≤ z ≤ 20 altrove

73






Compito C

1. Calcolare la probabilità p che nel lancio di due dadi il numero più grande uscito sia maggiore del più piccolo. dad

p =56


0 x < 10.2 1 ≤ x < 30.3 3 ≤ x < 40.4 4 ≤ x < 70.6 7 ≤ x < 80.8 8 ≤ x < 91 x ≥ 9

Calcolare le probabilità α = P (1 < X < 4), β = P (3 < X ≤ 7), γ = P (4 ≤ X < 8) e δ = P (7 ≤ X ≤ 9).rpt

α = 0.1 β = 0.3 γ = 0.3 δ = 0.6

3. Un vettore aleatorio ha la seguente densità di probabilità

f(x, y) =

kxy (x, y) ∈ T0 altrove.

dove T è il triangolo di vertici (−1,−1), (−2,−1), (−1,−2). Determinare k e IP(

1XY

). vitt

k =87

IP(

1XY

)=

47

4. Ad un esame sono presenti 100 studenti. Ognuno di essi raggiunge una votazione avente distribuzione normale con va-lore medio pari a 18. Applicando il teorema centrale, calcolare la probabilità α che ci siano al massimo 55 respinti.bct

α = Φ(1)

74






Compito D

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (1 < X < 4) = P (6 < X < 9). Calcolare laα = P (5 < X < 5 + σ|5− σ < X < 5 + σ), essendo σ lo scarto quadratico.normsim

α =12

2. Un’urna contiene 3 palline bianche e 2 nere. Da essa vengono estratte senza restituzione 3 palline. Definiti gli eventiE = “si ottengono esattamente 2 palline bianche”F = “si ottengono almeno 2 palline bianche”H = “si ottiene esattamente 1 pallina nera”

calcolare le probabilità P (H|E) e P (H|F ). wrn

P (H|E) = 1 P (H|F ) =67

3. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità

f(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 10 altrove

Determinare la densità di probabilità di Y = ln(X + 1). lgn

g(y) =

2ey(ey − 1) 0 ≤ y ≤ ln 20 altrove


X 1 2 4

Y

2 0.2 0.1 0.1

4 0.3 0.2 0.1

Determinare codominio, distribuzione e previsione del numero aleatorio Z = logY X .lgyx

CZ =

0,12, 1, 2

pZ = 0.5, 0.2, 0.2, 0.1 IP(Z) = 0.5

75






Compito E

1. Un numero aleatorio X avente distribuzione geometrica è tale che per qualunque valore k si ha P (X > k) = P (X =k). Determinare il valore medio. gmt

IP(X) = 2

2. Presso un benzinaio si presentano consecutivamente tre macchine a benzina e due a gasolio. Sapendo che il ben-zinaio si trova inizialmente presso la pompa di benzina e che alla fine vi ritorna, e che tutte le possibili sequenzedelle macchine sono equiprobabili, determinare la distribuzione di X =‘numero di cambi di pompa effettuati dalbenzinaio’.benz

CX = 2, 4 pX =

25,35


f(x, y) =

k(1− x2 − y2) (x, y) ∈ C0 altrove

dove C è il cerchio di raggio unitario con centro in (0, 0). Determinare il valore di k e la densità di probabilità di Y .cerk

k =2π

fY (y) =

83π

(1− y2

) 32 −1 ≤ y ≤ 1

0 altrove

4. In un’aula univeristaria sono presenti 300 studenti. Ognuno di essi ha un certo numero di matite avente distribuzionedi Poisson con valore medio pari a 1. Calcolare la probabilità p che in tutta la classe ci siano esattamente 500 matite.(Suggerimento : si ricavi prima la funzione caratteristica della distribuzione di Poisson).matite

p =(300)500

500!e−300

76






Compito F

1. Siano A,B, C tre eventi tali che Cc ⊂ A ∧ B. Stabilire se la assegnazione di probabilità P (A) = 0.4, P (B) =0.6, P (C) = 0.5 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .kor

Coerente ? SÌ NO©2. Un’urna contiene 16 palline (bianche e/o nere). Sia X il numero di palline bianche ottenute in una serie di estrazioni

con restituzione. Sapendo che IP(X) =83

var(X) determinare il numero b di palline bianche presenti nell’urna. urn

b = 10

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [−3, 3]. Dato un secondo numero aleatorio Y chedipende dal primo secondo la funzione rappresentata in figura

6

- x

y

@@

@@

1 2-1-2

1

-1

calcolare le probabilità α = P

(Y ≤ −1

2

)e β = P

(Y ≤ 2

3

). Determinare inoltre la densità di probabilità di

Y .fuz

α =14

β =56

f2(y) =

12 −1 ≤ y ≤ 10 altrove

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel triangolo T di vertici (0, 2), (1, 2), (1, 0). Determinare ledensità marginali di X e di Y . trg

fX(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 10 altrove

fY (y) =

y

20 ≤ y ≤ 2

0 altrove

77






Compito G

1. Due dadi vengono lanciati contemporaneamente. Definiti gli eventi

A = “la somma è pari”B = “esce almeno una faccia pari”C = “esce almeno una faccia dispari”

determinare quali coppie sono stocasticamente indipendenti a due a due e se lo sono a tre a tre (cerchiare la rispostagiusta) .trv

A e B indipendenti ? SÌ NO© A e C indipendenti ? SÌ NO©B e C indipendenti ? SÌ NO© A, B e C indipendenti (a tre a tre) ? SÌ NO©

2. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [−1, 1]. Determinare la sua funzione ca-ratteristica, e in base ad essa la previsione. car

ϕX(t) =sin(t)

tIP(X) =

ϕ′X(0)i

= 0

3. Nel dispositivo di figura entrambi i componenti devono essere rimpiazzati. Per la sostituzione vengono scelti a casodue componenti da un lotto che ne contiene due buoni e tre difettosi . Sapendo che dopo la sostituzione il dispositivofunziona, calcolare la probabilità α che entrambi i nuovi componenti siano buoni.dsp

1

2

α =17


f(x, y) =

3xy (x, y) ∈ T0 altrove.

dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 2), (1, 1). Determinare f1(x) e F2(y). mrg

f1(x) =

6x(1− x) 0 ≤ x ≤ 10 altrove.

F2(y) =

0 y < 038y4 0 ≤ y < 1

−1 + 3y2 − 2y3 +38y4 1 ≤ y < 2

1 y ≥ 2

78






Compito H

1. Siano dati tre eventi A, B e C con A ⊂ B e B ∧C = ∅, e tali che P (A) = 0.2, P (B) = 0.5, P (C) = 0.3. Calcolarecov(X, Y ) dove X = 2|A| − |B|+ 3|C| e Y = |A|+ 2|B| − |C|. evr

cov(X, Y ) = −1.62

2. Un indiano va a caccia con 20 frecce per catturare una preda. Sapendo che ad ogni tiro ha probabilità q di fallire iltiro, e che torna con una preda, calcolare la probabilità α che abbia lanciato almeno 11 frecce.indn

α =q10

1 + q10

3. Un numero aleatorio continuo X è tale che P (X < t + s|X > s) = P (X < t) ∀t, s > 0. Sapendo che laprevisione è pari al doppio della varianza, calcolare p = P (var(X) < X < IP(X)).esp

p =1√e− 1

e

4. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione

X 0 1 2

Y

0 1/6 1/3 0

1 1/6 0 1/3

Calcolare la varianza di Z = XY .funvet

var(Z) =89

79



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 11 luglio 2006



Compito A

1. Un’urna contiene quattro palline bianche e sei nere. Da essa vengono estratte senza restituzione tre palline. Rappre-sentare su un diagramma di Venn i seguenti eventi :A = “vengono estratte esattamente due palline bianche”, B = “vengono estratte almeno due palline bianche”,C = “le prime due palline estratte sono bianche”, D = “vengono estratte esattamente tre palline bianche”.

Calcolare inoltre P (A|C) e P (D|C).wnt

nnB

A

C

D

P (A|C) =34

P (D|C) =14

← diagramma di VennB = A ∨ C ; D = C ∧Ac

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione geometrica è tale che P (X > 8) =19

. Calcolare α = P (X ≥ 7.5|X > 3).gmt

α =13

3. Data la seguente distribuzione congiunta di probabilità, determinare codominio, distribuzione e previsione del numeroaleatorio X|(Y = 2).vettd

X 1 2 4

Y

2 0.2 0.1 0.1

4 0.3 0.2 0.1

CX|(Y =2) = 1, 2, 4 pX|(Y =2) =

12,14,14

IP(X|(Y = 2)) = 2

4. Nella trascrizione di codici, un impiegato ha probabilità p =110

di commettere un errore su un singolo carattere.Applicando il teorema centrale, calcolare la probabilità β che su 10000 codici (di 4 caratteri ciascuno) almeno 3439siano errati.cdc

β =12

80






Compito B

1. Siano dati tre eventi A, B e C con A e B indipendenti ed equiprobabili (P (A) = P (B) = p). Si abbia inoltreP ((A ∪B)c|C) = P (Ac ∩Bc). Determinare i valori possibili di coerenza per p sapendo che C ⊂ (A ∩B).ewnt

p = 1

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ = 10.Calcolare α = P (2.3 < X < 4.7|3.8 ≤ X ≤ 5).pssn

α =13


f(x, y) =

k (x, y) ∈ D0 altrove

dove D =

1 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ x2

Determinare k, fX(x) e fX(x|y).funa

k =37

fX(x) =

(3/7)x2 1 ≤ x ≤ 20 altrove

fX(x|y) =

1 (0 ≤ y ≤ 1) ∧ (1 ≤ x ≤ 2)1

2−√y(1 ≤ y ≤ 4) ∧ (

√y ≤ x ≤ 2)

0 altrove

4. Dietro una tenda si trovano sei urne come mostrato in figura :

l m m

m m m

l l m

m m m

l l l

m m m

l l l

l m m

l l l

l l m

l l l

l l l

U1 U2 U3 U4 U5 U6

Un uomo nascosto alla nostra vista deve scegliere un’urna da cui estrarre due palline in blocco ; a tale scopo lanciaun dado e sceglie l’urna corrispondente. Sapendo che sono state ottenute due palline bianche calcolare le probabilitàpi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) che abbia estratto dalla i-esima urna.

p1 =12

p2 =310

p3 =320

p4 =120

p5 = 0 p6 = 0

81





1. Un numero aleatorio X ha la densità mostrata in figura.ripar

6

- x

f(x)

@@

1.5-1.5 1-1

k

Calcolare k, determinare la densità di probabilità f(x) e la funzione di ripartizione F (x).ripar

k =25

f(x) =

k(3 + 2x) −1.5 ≤ x < −1k −1 ≤ x < 1k(3− 2x) 1 ≤ x < 1.50 altrove

F (x) =

0 x < −1.5k(x2 + 3x + 2.25) −1.5 ≤ x < −1k(x + 1.25) −1 ≤ x < 1k(−x2 + 3x + 0.25) 1 ≤ x < 1.51 x ≥ 1.5

2. In un torneo di calcio, due squadre dopo la prima serie di 5 calci di rigore sono ancora in parità. Per decidere lavincente si prosegue con i rigori ad oltranza, in cui la prima squadra che va in vantaggio vince la partita. Sapendo cheognuna di esse ha probabilità p di segnare, calcolare la probabilità γ che dopo 3 calci di rigore il punteggio sia ancoradi parità. wrd

γ = (p2 + q2)3 con q = 1− p

3. Un numero aleatorio X ha densità gma

f(x) =

kx24e−50x x > 00 x ≤ 0


k =5025

24!IP(X) =

12

4. In una azienda pubblica di trasporti la percentuale θ di autisti che fumano durante la guida ha distribuzione inizialeβ(θ) = B2,3(θ). Sapendo che tra gli ultimi 10 autisti osservati 3 di essi sono stati sorpresi a fumare, determinare ladistribuzione finale di θ. fmv

β(θ|x) = B5,10(θ) =

14!4!9!

θ4(1− θ)9 0 < θ < 1

0 altrove

82



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 29 settembre 2006



Compito A

1. Siano dati tre eventi A, B e C tali che C ⊆ A ∩Bc, con P (A) = P (B) = 2P (C) =13

, e con A e B

stocasticamente indipendenti. Dati i due numeri aleatori X = |A| + |B| − |C| e Y = |A| − |B| + |C| deteminarecodominio e distribuzione del numero aleatorio Z = X2 · Y .indA

CZ = −1, 0, 1 pZ =

29,1318

,118

2. In un vettore aleatorio (X, Y ) le due rette di regressione si intersecano nel punto (2, 3). Determinare la previsione diX e di Y .regr

IP(X) = 2 IP(Y ) = 3

3. Un numero aleatorio continuo X ha la proprietà di non memoria e valor medio pari a 2.Calcolare α = P (4 < X < 6|X > 2).essp

α = e−1 − e−2


f(x, y) =


dove D =

1 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 1/x

Determinare k, fX(x) e fX(x|y).func

k =1

ln 2fX(x) =

1x ln 2

1 ≤ x ≤ 2

0 altrovefX(x|y) =

1 (0 ≤ y ≤ 1/2) ∧ (1 ≤ x ≤ 2)y

1− y(1/2 ≤ y ≤ 1) ∧ (1 ≤ x ≤ 1/y)

0 altrove

83






Compito B

1. Siano dati tre eventi A, B e C tali che C ⊆ A ∩Bc, con P (A) = P (B) = 3P (C) =23

, e con A e B

stocasticamente indipendenti. Dati i due numeri aleatori X = |A| + |B| + |C| e Y = |A| − |B| − |C| deteminarecodominio e distribuzione del numero aleatorio Z = X · Y 2.indB

CZ = 0, 1 pZ =

79,29

2. Siano dati due numeri aleatori X e Y tali che 2Y + 3X = 4. Calcolare il coefficiente di correlazione ρXY .corr

ρXY = −1

3. Un numero aleatorio continuo X avente distribuzione uniforme ha il valor medio pari alla varianza ed è tale cheIP(X2) = 12. Calcolare α = P (X < 2).unnf

α =13


f(x, y) =


dove D =

1 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤

√x

Determinare k, fX(x) e fX(x|y).funb

k =3

2[2√

2− 1] fX(x) =

3√

x

2[2√

2− 1] 1 ≤ x ≤ 2

0 altrovefX(x|y) =

1 (0 ≤ y ≤ 1) ∧ (1 ≤ x ≤ 2)1

2− y2(1 ≤ y ≤

√2) ∧ (y2 ≤ x ≤ 2)

0 altrove

84


Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione




Compito A

1. Nel circuito di figura tutti gli interruttori sono inizialmente aperti. Ad un certo istante quattro di essi scelti a casovengono chiusi. Calcolare la probabilità α che ai capi del circuito ci sia passaggio di corrente.dixp

α =1

165


f(x) =

k 2 ≤ |x| ≤ 50 altrove.

Calcolare la probabilità α = P (9 < X2 < 16) e la funzione di ripartizione di X . mdd

α =13

F (x) =

0 x < −516(x + 5) −5 ≤ x < −212 −2 ≤ x < 212 + 1

6(x− 2) 2 ≤ x < 51 x ≥ 5

3. Sei dadi vengono lanciati simultaneamente. Calcolare la probabilità p che essi mostrino tutti facce diverse. Calcolarepoi (con un’opportuna approssimazione) la probabilità α che in 240 lanci multipli (ossia tutti e sei i dadi insieme)almeno una volta si presentino tutte facce diverse. pns

p =5

324α = 1− e−

10027

4. Un vettore aleatorio continuo è distribuito uniformemente all’interno del rombo di vertici (0, 1), (2, 0), (0,−1),(−2, 0). Determinare la densità marginale di Y e la densità condizionata fX|Y (x). rmb

fY (y) =

1 + y −1 ≤ y ≤ 01− y 0 ≤ y ≤ 10 altrove

fX|Y (x) =

1

4(1+y) (−1 ≤ y ≤ 0) ∧ (−2 + 2y ≤ x ≤ 2 + 2y)1

4(1−y) (0 ≤ y ≤ 1) ∧ (2y − 2 ≤ x ≤ 2− 2y)0 altrove

85






Compito B

1. Marco e Andrea puntano rispettivamente sull’uscita del “25” e del “75” nell’estrazione della ruota del lotto di Roma.Calcolare la probabilità p che almeno uno dei due vinca. lot

p =29267


6

- x

f(x)

@@

@@

k 2k-k-2k-3k 3k

k

2k

calcolare il valore di k, la varianza e la probabilità α = P (|X| > k).starr

k =1√6

var(X) =72

63α =

12

3. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = −2,−1, 0, 1, 2 e distribuzione pX = 0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1.Determinare la sua funzione caratteristica, e in base ad essa la previsione di Xm con m dispari. crst

ϕX(t) = 0.4 + 0.2 cos(2t) + 0.4 cos(t) IP(Xm) = 0

4. Su ognuna delle due facce di una medaglia è stato stampato a caso uno tra i seguenti simboli (ogni simbolo potendocomparire più volte sulla medaglia) : luna $, sole Y, stella P. Ritenendo equiprobabili ognuna delle nove pos-sibilità, calcolare la probabilità α che non sia stato stampato il sole. In seguito, senza essere guardata, la medagliaviene lanciata e mostra il simbolo stella ; qual è ora la probabilità β che sulle sue facce non sia stato stampato ilsole ? La medaglia viene lanciata una seconda volta (senza guardare il simbolo stampato sulla faccia coperta) e mos-tra nuovamente il simbolo stella ; qual è a questo punto la probabilità γ che sulle sue facce non sia stato stampato ilsole ?mdg

α =49

β =23

γ =34

86






Compito C

1. Un’urna contiene quattro palline bianche, quattro nere e quattro rosse. Si fanno tre estrazioni triple (ossia costituitedall’estrazione in blocco di tre palline) senza restituzione. Calcolare la probabilità α di ottenere almeno una volta trepalline dello stesso colore. urnx

α =41275

2. Un numero aleatorio X ha la densità di probabilità mostrata in figura

6

- x

f(x)

@@

h 2

1

stabilire se esistono valori di h tali che il valore della varianza e della previsione coincidano .hmp

non esistono valori di h

3. Un vettore aleatorio ha densità di probabilità

f(x, y) =

k(x + y) (x, y) ∈ T0 altrove.

dove T è il triangolo di vertici (2, 1), (1, 2), (2, 2). Determinare k e le densità marginali f1(x) e f2(y). trg

k =35

f1(x) =

65x− 3

2+

310

x2 1 ≤ x ≤ 2

0 altrove.f2(y) =

65y − 3

2+

310

y2 1 ≤ y ≤ 2

0 altrove.

4. Una ditta vende lampadine che per il 30% provengono da una fabbrica A, e per il 70% da una fabbrica B. Sapendo chela loro durata ha distribuzione esponenziale con valore medio (rispettivamente) di 100 ore e 200 ore, e sapendo cheuna data lampadina ha funzionato per (esattamente) 400 ore, calcolare la probabilità α che essa sia stata fabbricata daA. lmpd

α =6

6 + 7e2

87






Compito D

1. Ad una catena composta da sei anelli vengono tolti due anelli a caso, dividendola in una o più parti. Sia X =‘numerodi parti in cui risulta divisa la catena’, determinarne codominio e distribuzione.ctn

CX = 1, 2, 3 pX =

15,35,15


F (x) =

0 x < −10.2 −1 ≤ x < 00.5 0 ≤ x < 10.7 1 ≤ x < 31 x ≥ 3

Calcolare le probabilità α = P [(−1 < X ≤ 1)|(0 ≤ X < 3)] e β = P [(0 ≤ X < 3)|(−1 < X ≤ 1)].frp

α = 1 β = 1

3. Un dispositivo è composto da tre componenti in serie, ognuno dei quali ha distribuzione esponenziale con valoremedio pari a 0.25 (anni). Determinare la funzione di ripartizione del numero aleatorio T =‘durata del dispositivo’(espresso in anni) sapendo che i tre componenti sono indipendenti.dsps

FT (t) =

1− e−12t t > 00 t ≤ 0

4. Siano dati due eventi A e B equiprobabili e due numeri aleatori X = |A| − 2|B|, Y = |B| − 2|A|. Calcolarecov(X + Y, X − Y ). cva

cov(X + Y, X − Y ) = 0

88






Compito E

1. Tre colleghi insegnano nella stessa scuola. Nella compilazione dell’orario scolastico il giorno libero della settimanaviene assegnato a caso. Detto X =‘numero di giorni in cui tutti e tre i colleghi si incontrano a scuola’, determinarnecodominio e distribuzione.scl

CX = 3, 4, 5 pX =

2036

,1536

,136

2. Un numero aleatorio X ha codominio CX = −2, 0, 3, 7 e distribuzione pX =

724

,18,

524

, p

. Ricavare il valore

di p, la funzione di ripartizione del numero aleatorio X , e calcolare P (−2 ≤ X < 3).rpt

p =38

F (x) =

0 x < −2724 −2 ≤ x < 0512 0 ≤ x < 358 3 ≤ x < 71 x ≥ 7

P (−2 ≤ X < 3) =512

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (−1, 0); (0, 1); (1, 0).Determinare le densità marginali di X e di Y , calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indi-pendenti (cerchiare la risposta giusta) .tgrg

fX(x) =

1 + x −1 ≤ x ≤ 01− x 0 < x ≤ 10 altrove.

fY (y) =

2(1− y) 0 ≤ y ≤ 10 altrove.

cov(X, Y ) = 0

X e Y indipendenti ? SÌ NO©4. Un dispositivo è composto da tre componenti in parallelo, ognuno dei quali ha distribuzione esponenziale con valore

medio pari a 0.5 (anni). Determinare la funzione di sopravvivenza del numero aleatorio T =‘durata del dispositivo’(espresso in anni) sapendo che i tre componenti sono indipendenti.dspp

ST (t) =

1− (1− e−2t)3 t > 01 t ≤ 0

89






Compito F

1. Sia dato il seguente diagramma di Venn, con A e B equiprobabili (P (A) = P (B) = p) ed indipendenti.

h

A

B

C

Sapendo che P (Ac ∧Bc) ≤ P (C) ≤ P (B ∧Ac), e ponendo λ = P (A∧B ∧Cc), stabilire le condizioni che devonoessere verificate da p e λ affinché le assegnazioni di probabilità siano coerenti.dwn

p(2p− 1) ≤ λ ≤ (2p− 1)

2. Un’urna contiene quattro palline bianche, quattro nere e quattro rosse. Si fanno due estrazioni triple (ossia costituitedall’estrazione in blocco di tre palline) con restituzione (ogni volta le tre palline vengono reinserite). Calcolare laprobabilità α di ottenere almeno una volta tre palline dello stesso colore. urnu

α =3213025

3. Un numero aleatorio X ha densità f(x) = ke−|x| per −∞ < x < +∞. Determinare k, P (|X| < 1) e var(X). expp

k =12

P (|X| < 1) = 1− e−1 var(X) = 2

4. In un paesino ognuna delle 225 famiglie che vi abitano ha preparato per la notte di capodanno un numero aleatorio dibottiglie di spumante avente distribuzione di Poisson con parametro λ = 9. Applicando il teorema centrale calcolarela probabilità α che il numero medio di bottiglie stappate sia minore di 9.4. btg

α = Φ(2)

90






Compito G

1. Un’urna contiene sei palline, tre bianche e tre nere. Si fanno cinque estrazioni doppie (ossia costituite dall’estrazionein blocco di due palline) con restituzione (ogni volta le due palline vengono reinserite). Calcolare la probabilità α diottenere esattamente tre volte una coppia di palline dello stesso colore. urnt

α =144625

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che P (X ≤ 4) = Φ(1) e P (X > 1) = Φ(2). Determinarevalore medio m e scarto quadratico σ.nnmr

m = 3 σ = 1


X -1 0 1

Y

0 1/5 2/5 1/5

1 0 1/5 0

Determinare la retta di regressione di X su Y .vetdiscr

rXY : x = 0

4. Determinare la funzione di rischio del numero aleatorio continuo X avente densità rch

f(x) =

x2

2e−x x > 0

0 x ≤ 0

h(x) =

x2

2 + 2x + x2x > 0

0 x ≤ 0

91






Compito H

1. Siano A,B, C tre eventi tali che B ⊆ A ∧ Cc. Stabilire se l’assegnazione P (B) = 0.7, P (C) = 0.4 è coerente(cerchiare la risposta giusta) . crn

coerenti ? SÌ NO©2. Un’urna contiene dieci palline, cinque bianche e cinque nere. Si fanno tre estrazioni doppie (ossia costituite dall’es-

trazione in blocco di due palline) senza restituzione. Calcolare la probabilità α che in almeno un’estrazione doppia siottengano due palline di colore diverso. urns

α =1921

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme per x ∈ (0, 3). Determinare la densità di probabilità diY = (X − 2)2.fzn

g(y) =

1

3√

y 0 < y ≤ 11

6√

y 1 < y < 40 altrove

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del dominio S rappresentato in figura.

6

- x

y

AAAA

H

HHH

AA

AA

HHHH 1-1-3 3

-1

1

3

-3

calcolare le probabilità α = P (|X|+ |Y | ≤ 1), β = P [(|X| < 1) ∨ (|Y | < 1)], γ = P (X2 + Y 2 ≤ 1),δ = P [(|X| > 1) ∧ (|Y | > 1)].stel

α =16

β = 1 γ =π

12δ = 0

92






X -1 0 1

Y

0 0.2 0.1 0

2 0.4 0.1 0.2

Determinare la retta di regressione di Y su X (rY X ) e quella di X su Y (rXY ). Stabilire inoltre il loro punto diintersezione. vetdiscr

rY X : y = 1.5 + 0.25x rXY : x = −23

+421

y P ≡ (−0.4, 1.4)

2. Tre dadi vengono lanciati insieme più volte fino a quando almeno due di essi mostrano la stessa faccia. Determinareil numero medio M di lanci da fare, e calcolare la probabilità α di fare almeno cinque lanci. ddd

M =94

α =(

59

)4


f(x) =

kx20(1− x)35 0 < x < 10 altrove.

Determinare k e calcolare IP(X).btt

k =56!

20!35!IP(X) =

719

4. In una città il numero di biciclette rubate in un giorno segue la distribuzione di Poisson con valore medio θ aventedistribuzione (iniziale) gamma G10,5(θ). Sapendo che negli ultimi sette giorni sono state rubate 5, 7, 9, 6, 3, 0, 2 bici-clette, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.bct

α(x|θ) =

θ32

5!7!9!6!3!0!2!e−7θ per θ > 0

0 altrove .β(θ|x) = G42,12(θ) =

1242

41!θ41e−12θ per θ > 0

0 altrove .

93






Compito A

1. Siano dati tre eventi A, B e C e tre numeri aleatori X , Y e Z con X = 6|A|+5|B|−8|C|, Y = −3|A|+10|B|+4|C|,Z = 3|A| − 5|B|+ 12|C|. Sapendo che IP(X) = 2, IP(Y ) = 4, IP(Z) = 2, calcolare le probabilità di A, B e C. ppp

P (A) =13

P (B) =25

P (C) =14

2. Sia data un’urna con 15 palline bianche 35 palline nere, e si facciano 30 estrazioni senza restituzione. CalcolareIP(X2) avendosi X =‘ numero di palline bianche ottenute’.ngp

IP(X2) =5857


16,13,13,16

. Determinare la

funzione caratteristica. ctc

ϕX(t) =13

[2 cos(t) + cos(3t)]

4. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilitàf(x)

x

6

-1 2 3 4-1-2-3-4

@@

@

AA

AA

AA

a

2a

calcolare il valore di a e determinare la funzione di ripartizione.trp

a =13

F (x) =

0 x < −4−2x− 8

3 −13x2 −4 ≤ x < −3

13 −3 ≤ x < −21 + 2

3x + 16x2 −2 ≤ x < −1

12 −1 ≤ x < 123x− 1

6x2 1 ≤ x < 223 2 ≤ x < 3113 − 2x + 1

3x2 3 ≤ x < 41 x ≥ 4

94






Compito B

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme su Q = [0, 4] × [0, 4]. Determinare le seguentiprobabilità : α = P (Y > X), β = P (2Y − X < 4), γ = P (X + Y < 2), δ = P [(Y > X) ∨ (2Y −X < 4)],ε = P [(2Y −X < 4)|(X + Y < 2)], λ = P [(X > Y ) ∧ (2Y − 4 > X)].qdd

α =12

β =34

γ =18

δ = 1 ε = 1 λ = 0

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ = 2. Calcolare IP(X2) e la probabilità α =P (|X| > 0|

√X < 2). pssn

IP(X2) = 6 α =1619

3. Nel circuito elettrico mostrato in figura gli interruttori sono indipendenti tra loro e hanno tutti probabilità23

di esserechiusi.

@@

@@

@@

@@1 2

A

C

B

D

E

Sapendo che tra i due punti 1 e 2 c’è passaggio di corrente, calcolare la probabilità α che l’interruttore E sia chiuso.wht

α =1623

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme su Q = [0, 1] × [0, 1]. Determinare la densità diprobabilità di Z = min(X, Y ).mxi

f(z) =

2(1− z) 0 ≤ z ≤ 10 altrove

95






Compito C

1. Nel circuito di figura tutti gli interruttori sono inizialmente chiusi. Ad un certo istante tre di essi scelti a caso vengonoaperti. Calcolare la probabilità α che ai capi del circuito ci sia passaggio di corrente.doxp

α =1928

2. Siano dati n eventi E1, E2, . . . , E40 tali che P (Ei) =12∀i e P (Ei∧Ej) =

13∀i, j i 6= j. Calcolare la varianza

di X = |E1|+ |E2|+ . . . + |E40|.ipg

var(X) = 140

3. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità :

f(x) =

1− x 0 ≤ x < 11 + x −1 < x < 00 altrove

Determinare la funzione caratteristica. crts

ϕX(t) = 21− cos(t)

t2

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (0, 2), (3,−1), (−3,−1).Determinare le due funzioni di ripartizione. trn

F1(x) =

0 x ≤ −3(3 + x)2

18−3 < x ≤ 0

1− (3− x)2

180 < x < 3

1 x ≥ 3

F2(y) =

0 y ≤ −1

1− (2− y)2

9−1 < y ≤ 2

1 y ≥ 2

96






Compito D

1. Siano A,B, C tre eventi tali che A∨B∨C = Ω, con probabilità rispettivamente P (A) =512

, P (B) =13

, P (C) =16

.Stabilire se l’assegnazione di probabilità è coerente. (cerchiare la risposta giusta) ncn

coerenti ? SÌ NO©2. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 90 e p =

13

. Calcolare IP(X2). bnm

IP(X2) = 920

3. Per formare un numero (aleatorio) Z a due cifre, si preleva a caso una pallina dall’urna U1 per formare la cifra delledecine, e una pallina a caso dall’urna U2 per formare la cifra delle unità (come mostrato in figura).

® ¯ ° ± ² → decina unità ← ¶ ¸ º ¼ ¾

U1 U2

Determinare previsione (m) e varianza (σ2) di Z.nmn

m = 55 σ2 = 208

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0),(0, 1). Determinare la densità di probabilità di Z = Y −X .rtn

f(z) =

12(z + 1) −1 ≤ z ≤ 1

0 altrove

97






Compito E

1. Siano dati due eventi A e B stocasticamente indipendenti e aventi entrambi probabilità pari a23

. Sia dato inoltre un

terzo evento C, avendosi P (C|B) =13

, P [C|(A ∧B)] =34

. Stabilire se le assegnazioni di probabilità sono coerenti(cerchiare la risposta giusta) .ctt

coerenti ? SÌ NO©2. Si abbiano tre numeri aleatori X, Y, Z aventi uguale varianza (var(X) = var(Y ) = var(Z) = 1), e stessi coefficienti

di correlazione(

ρXY = ρXZ = ρY Z =12

). Calcolare cov(S, T ) con S = 2X − 3Y + Z e T = X + 2Y − 4Z.cvr

cov(S, T ) = −4


X -1 0 1Y

0 0.1 0.1 0.3

2 0 0.3 0.2

Determinare la retta di regressione di Y su X (rY X ) e quella di X su Y (rXY ). Stabilire inoltre il loro punto diintersezione. vtd

rY X : y = 1 rXY : x = 0.4 P ≡ (0.4, 1)

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme su Q = [0, 1] × [0, 1]. Determinare la densità diprobabilità di Z = max(X, Y ).mxa

f(z) =

2z 0 ≤ z ≤ 10 altrove

98






Compito F


X -2 0 2Y

-1 38

018

1 14

14

0

Calcolare cov(X, Y ) e la probabilità condizionata p = P (max(X, Y ) > 0|min(X, Y ) < 0). Stabilire se X e Ysono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .mxm

cov(X, Y ) = 0 p =12

X e Y sono indipendenti ? SÌ NO©2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con valor medio pari a 1. Determinare la distribuzione di Y =

(X|E) dove E = (X ≤ 2).ppn

CY = 0, 1, 2 pY =

25,25,15

3. Un’urna contiene una moneta nomale e una truccata con due teste. Viene estratta una moneta a caso, e senza essereguardata viene lanciata più volte. Qual è il minimo numero di volte (min) che deve uscire testa affinché si possaaffermare che la probabilità che la moneta sia truccata sia maggiore del 99% ? unx

min = 7

4. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [1, 5]. Determinare la densità di probabilitàdi Y = 2− |X − 2|.fmd

g(y) =

1/4 −1 ≤ y ≤ 11/2 1 < y ≤ 20 altrove

99


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame straordinario di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 febbraio 2007



1. Siano dati i seguenti valori numerici 14, 6, 8, 9, 2, 12, 14, 9, 9, 7 ; determinare la moda x∗, la mediana m e la mediaaritmetica x.

x∗ = 9 m = 9 x = 9

2. Un vettore aleatorio continuo ha distribuzione uniforme all’interno del quadrato di vertici (0, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 0).Determinare le densità marginali di X e di Y . qdt

f1(x) =

x 0 ≤ x ≤ 12− x 1 < x ≤ 20 altrove

f2(y) =

y 0 ≤ y ≤ 12− y 1 < y ≤ 20 altrove

3. Ad un esame sono presenti 125 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) avente distribuzione bino-

miale con parametri n = 30 e p =35

. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α chela media aritmetica dei voti sia maggiore di 17.76.prm

α = Φ(1)

4. Un’urna contiene palline bianche e nere ; la frazione di palline bianche (θ) ha distribuzione iniziale β(θ) = B20,10(θ).Estraendo (con restituzione) cinque palline si è ottenuta la sequenza :

l m l m l

determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.pbn

α(x|θ) =

θ2(1− θ)3 per 0 ≤ θ ≤ 10 altrove .

β(θ|x) = B22,13(θ) =

34!21!12!

θ21(1− θ)12 per 0 < θ < 1

0 altrove .

100





1. Dati i tre numeri 1, 8, 27 calcolarne la media aritmetica x, la media armonica α e la media geometrica γ.

x = 12 α =648251

γ = 6

2. Tre dadi vengono lanciati contemporaneamente. Calcolare la probabilità γ che il massimo e il minimo siano uguali.ddd

γ =136

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma Gc,λ(x). Determinare i valori di c e λ sapendo che la previsione èpari a 10 volte la varianza che a sua volta è uguale allo scarto quadratico.gmm

c = 100 λ = 10

4. Una ruota si trova inizialmente nella posizione mostrata in figura. Ad un certo istante essa riceve una spinta che lafa ruotare (in senso antiorario) di un angolo (aleatorio) avente distribuzione esponenziale con valore medio pari a 4giri. Calcolare la probabilità α che al momento dell’arresto il settore della stella (H) si trovi in corrispondenza dellafreccia (è).rrt

&%'$

sC

H

Yv

m+

èα =

1− e−1/24

1− e−1/4' 0.18

101





1. Data la seguente lista di numeri 11, 4, 5, 7, 4, 7, 13, 4, 15, 0 calcolarne la media aritmetica x, la moda x∗ e la medianam. amt

x = 7 x∗ = 4 m = 6

2. Nella piattaforma mostrata in figura vengono poste tre palline a caso ; calcolare la probabilità α che esse non sianoadiacenti.exg ttttt tt ddddd dd α =

235

3. Tre dadi vengono lanciati contemporaneamente. Calcolare la probabilità α che il massimo sia maggiore o uguale a 4e la probabilità β che il minimo sia minore di 3.drt

α =78

β =1927

4. Un dispositivo è formato da due componenti (indipendenti tra loro) posti in parallelo, ognuno dei quali ha duratadi funzionamento aleatoria con distribuzione esponenziale di parametro λ. Determinare la densità di probabilità diT =‘intervallo di tempo in cui il dispositivo funziona con un solo componente’. frc

fT (t) =

λe−λt t > 00 t ≤ 0

102






Compito A

1. Dato il seguente diagramma ad albero, determinare i valori di α, β e γ.dgr

@@

@

fff

ffffγ>

α

>

β>

α

>

α

>

β> @

@@

γ> fα = 1 β = 0 γ = 0

2. Un numero aleatorio X ha la seguente distribuzione di probabilità

-x3-3 0

ss s

1/2

1/4 1/4

Determinare la funzione caratteristica di X .ppp

ϕX(t) =12

+12

cos(3t)

3. Per far funzionare un dispositivo elettronico si utilizza una pila avente durata aleatoria con valor medio pari a 50ore e scarto quadratico medio pari a 20 ore. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità che il dispositivofunzioni per almeno 4500 ore avendo a disposizione 100 pile.pls

p = Φ(2.5)

4. In un sacchetto dei numeri per la tombola è stato aggiunto per errore il “14”. Qual è il minimo numero (min) di

estrazioni (senza restituzione) da fare affinché la probabilità di scoprire l’errore sia maggiore di18

? tmb

min = 33

103






Compito B

1. Un numero aleatorio X ha la funzione di ripartizione mostrata in figura

6

- x

F (x)

4-2

1

Calcolare la varianza di X .ufr

var(X) = 3

2. Il numero aleatorio X = 2|A|+ 3|B| è tale che IP(X) = 2, var(X) = 4 e P (X = 0) =512

. Calcolare P (A), P (B)

e P (A ∧B).dgv

P (A) =12

P (B) =13

P (A ∧B) =14

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con m = 3, σ = 5. Calcolare la probabilità α = P (X > 1|X < 6).

α =Φ (0.6) + Φ (0.4)− 1

Φ (0.6)

4. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione :

F (x) =

0 x < 13k−2k

3k k ≤ x < k + 1

con k ∈ IN. Calcolare il valore medio di X . rgm

IP(X) = 3

104






Compito C


112

,18,38,

512

. Deter-

minare la distribuzione di Y = log10 |X|. fdr

CY = 1, 2 pY =

12,12

2. Due monete vengono lanciate insieme per due volte. Sapendo che in totale sono state osservate due T (testa) e due C(croce), calcolare la probabilità β che sia uscita esattamente una volta la coppia TT . mnt

β =13

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità di probabilità :ke−3x−4y x, y > 00 altrove

Determinare il valore di k e calcolare la probabilità γ = P (X ≤ Y ≤ 2X). evs

k = 12 γ =1277

4. Da un’urna contenente palline bianche e nere si compiono 8 estrazioni con restituzione. Sapendo che la probabilità di

ottenere 4 palline bianche è pari a35128

, calcolare la probabilità α di ottenerne 6. etr

α =764

105






Compito D

1. Siano A,B, C tre eventi tali che A∨B ∨C = Ω, con probabilità rispettivamente P (A) =15

, P (B) =16

,P (C) =13

.Stabilire se l’assegnazione di probabilità è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ocd

COERENTE ? SÌ NO©2. In un processo di produzione di componenti elettronici, la probabilità che un singolo componente sia difettoso è pari

a 1/1000. Con un’opportuna approssimazione calcolare la probabilità α che su 7000 pezzi prodotti, esattamente 10siano difettosi. fbr

α =710

10!e−7 ' 0.07


f(x) =

4x2e−2x x > 00 x ≤ 0

Determinare la funzione di rischio.rsk

h(x) =

4x2

1 + 2x + 2x2x > 0

0 x ≤ 0


X -2 0 2

Y

-1 0.1 0.1 0.1

1 0.2 0.3 0.2

Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. Determinare inoltre le due rette diregressione (di Y su X (rY X ) e quella di X su Y (rXY ) e calcolare il loro punto di intersezione. vdr

cov(X, Y ) = 0 X e Y sono indipendenti ? SÌ NO©

rY X : y = 0.4 rXY : x = 0 P ≡ (0, 0.4)

106


Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Esame straordinario di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 19 giugno 2007



1. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f(x) = 3x4e−35x5

per x > 0 e 0 altrove. Determinare la funzione dirischio.rsk

h(x) =

3x4 x > 0

0 x ≤ 0

2. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f(x, y) = ke−2x−3y x > 0, y > 0. Determinare k

e calcolare la probabilità p dell’evento(

X >14, Y >

16

).scn

k = 6 p =1e

3. Carlo ha davanti a sé due urne U1 e U2 ; nella prima sono presenti tre palline bianche e due nere, nella seconda sonopresenti due palline bianche e tre nere. Per decidere da quale urna estrarre tre palline in blocco egli osserva il primonumero estratto dalla ruota del lotto di Roma ; se viene estratto un multiplo di 5 egli sceglie U1, altrimenti sceglie U2.Sapendo che ha ottenuto due palline bianche e una nera, calcolare la probabilità α che sia uscito un multiplo di 5.bys

α =13

4. Siano dati due numeri aleatori indipendenti X e Y aventi entrambi distribuzione binomiale, il primo con parametri

pX =13

e nX = 5, il secondo con parametri pY =13

e nY = 7. Utilizzando la funzione caratteristica determinare la

distribuzione di Z = X + Y , e calcolare la probabilità P (Z > 0).qrt

P (Z = z) =(

12z

)(13

)z (23

)12−z

z = 0, . . . , 12 P (Z > 0) = 1−(

23

)12

107


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 28 giugno 2007



1. La frazione di palline bianche di un’urna che ne contiene un numero enorme ha distribuzione (iniziale) beta B10,15(θ).Sapendo che in 100 estrazioni sono state ottenute 35 bianche e 65 nere, determinare la funzione di verosimiglianza ela distribuzione finale di θ.frz

α(x|θ) =

(

10035

)θ35(1− θ)65 0 < θ < 1

0 altrove .β(θ|x) = B45,80(θ) =

124!44!79!

θ44(1− θ)79 0 < θ < 1

0 altrove .

2. Un’ urna contiene palline bianche e nere in percentuali p e q (p + q = 1). Da essa si estraggono una alla volta e conrestituzione le palline fino ad ottenere almeno una volta una pallina bianca e una nera. Determinare il numero medio(M ) di estrazioni effettuate .pll

M =1− pq

pq

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G15,25(x). Calcolare la previsione di Y = 10X .gmm

IP(Y ) =(

2525− ln 10

)15

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (−π, π). Determinare la densità di probabilità diY = cos X .fnz

fY (y) =

1π

1√1− y2

−1 < y < 1

0 altrove

108



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 28 giugno 2007



1. In una città il 20% degli studenti di sesso maschile frequenta l’istituto tecnico industriale (unico presente nella zona),mentre la percentuale di studenti maschi presenti nell’istituto è pari al 90%. Determinare l’intervallo di coerenzadi λ = P (A) (supposto positivo), dove A è l’evento “uno studente scelto a caso nella città è di sesso maschile efrequenta l’istituto tecnico industriale”.shl

0 <λ ≤ 946

2. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =√

2π

e4x−2x2−2 ∀x ∈ IR. Calcolare P (0 < X < 1).nmr

P (0 < X < 1) = Φ(2)− 12

3. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f(x, y) =

kxy2 (x, y) ∈ T0 altrove

dove T è il triangolo

di vertici (0, 0), (−1, 0), (0, 2). Determinare k e le due densità marginali.dst

k = −152

f1(x) =−20x(1 + x)3 −1 ≤ x ≤ 00 altrove

f2(y) =

1516

[y(y − 2)]2 0 ≤ y ≤ 2

0 altrove

4. Davide ha davanti a sé due urne : U1 che contiene una pallina bianca e due nere, e U2 che contiene quattro pallinebianche e due palline nere. Da una di esse egli estrae con restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere per laprima volta pallina bianca. Sapendo che sono state necessarie 5 estrazioni, e che l’urna è stata scelta in base all’esitodel lancio di un dado (U1 se è uscita la faccia 1 , U2 altrimenti) calcolare la probabilità p che sia uscita la faccia1 .bsy

p =813

109



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 16 luglio 2007




X -1 0 1Y

-2 0.25 0 0.25

2 0.2 0.1 0.2

Calcolare cov(X, Y ) e la probabilità condizionata p = P (max(X, Y ) > 0|min(X, Y ) < 0). Stabilire se X e Ysono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .mxm

cov(X, Y ) = 0 p =914

X e Y sono indipendenti ? SÌ NO©2. Un numero aleatorio X ha densità

f(x) =

ke−x 0 ≤ x ≤ 1kx2 1 < x ≤ 20 altrove.

Determinare k e la funzione di ripartizione.fzn

k =3e

10e− 3F (x) =

0 x < 0k (1− e−x) 0 ≤ x ≤ 1k

3

[x3 + 2− 3

e

]1 < x ≤ 2

1 x > 2

3. Siano E,F eventi incompatibili, e sia H ⊂ F , con

P (E) = 0.1, P (H) = 0.5, P (F ) = 0.6.

Calcolare la previsione e la varianza di X = 3|E| − |H|+ 2|F |.

IP(X) = 1 var(X) = 0.8

4. Da un lotto contenente 6 pezzi buoni e 2 difettosi si estraggono senza restituzione 4 pezzi. Sia Y il numero aleatorio dipezzi buoni estratti. Sia inoltre Ei l’evento “l’i-mo pezzo estratto è buono”. Calcolare la varianza di Y e la probabilitàα dell’evento condizionato (E2 ∧ E3)|(E1 ∨ E2 ∨ E3).

var(Y ) =37

α =1528

110






1. Siano dati due eventi E ed H tali che P (E) + P (H) = 1 e P (E) · P (H) =29

.

Calcolare α = cov(5|E|+ 4|H|, 5|E| − 4|H|).ech

α = 2

2. Marco estrae con restituzione una pallina alla volta da un’urna fino a quando ottiene per la prima volta una pallinaverde. Sapendo che mediamente sono necessarie 10 estrazioni, calcolare la probabilità β che siano necessarie più di10 estrazioni.gmtc

β =(

910

)10

' 0.35

3. Un atleta lancia il martello ad una distanza (aleatoria) avente distribuzione normale con paranmetri m = 60 e σ = 5(entrambi espressi in metri), determinare la probabilità p che il prossimo lancio sia superiore a 50 metri.quc

p = Φ (2)

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nella regione D =(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ π/4, 0 ≤ y ≤ tanx

.

Determinare le due densità marginali.tgt

f1(x) =

2

ln 2tanx 0 ≤ x ≤ π/4

0 altrove

f2(y) =

2

ln 2[π/4− arctan y] 0 ≤ y ≤ 1

0 altrove

111



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 settembre 2007



1. La densità di probabilità di un numero aleatorio X è data da f(x) = k(x − 1) per 1 ≤ x ≤ 4, e f(x) = 0 altrove.Determinare la costante k e la densità di probabilità g(y) del numero aleatorio Y =

√X .

k =29

g(y) =

49y(y2 − 1) 1 ≤ y ≤ 2

0 altrove

2. Siano X , Y due numeri aleatori, con Y = cos(kX). Esistono valori di k tali che il coefficiente di correlazioneρ(X, Y ) vale 1 ? crz

SÌ , k = NO©3. Data la funzione di ripartizione del numero aleatorio Z

F (z) =

0 z < −30.3 −3 ≤ z < −10.6 −1 ≤ z < 20.8 2 ≤ z < 41 z ≥ 4

determinare il codominio di Z e la probabilità p dell’evento −1 ≤ Z < 3, confrontando quest’ultima con F (3) −F (−1).rpz

CZ = −3,−1, 2, 4 p = 0.5 F (3)− F (−1) = 0.2

4. Sia hX(x) = (x − 3)2 per x > 0 la funzione di rischio di un numero aleatorio X . Determinare la corrispondentedensità di probabilità.

f(x) =

(x− 3)2 exp[x

(3x− 9− 1

3x2

)]x > 0

0 altroveIl fenomeno è senza usura ? SÌ NO©

112





Compito A

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta B30,50(x). Determinare la previsione di Y = (1−X)10.bbt

IP(Y ) =59!79!49!89!

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che P (X = 9) = P (X = 7). Calcolare il valoremedio.psp

IP(X) = 6√

2

3. Una ditta imbottigliatrice confeziona bottiglie da un litro ciascuna. Ad ogni bottiglia toglie una quantità aleatoria(espressa in litri) avente distribuzione esponenziale con parametro λ = 1000. Qual è il numero minimo (N ) dibottiglie che deve manomettere affinché la probabilità di risparmiare almeno un litro sia maggiore o uguale al 50% ?btg

N = 1000

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nella regione D =(x, y) ∈ IR2 : x > 0, y > 0, x2 + y2 ≤ 1

.

Sapendo che X e Y rappresentano i due cateti di un triangolo rettangolo T , determinare la densità di probabilità diZ = ‘ipotenusa del triangolo T ’.trg

fZ(z) =

2z 0 < z ≤ 10 altrove

113





Compito B

1. Data la seguente lista di numeri −1, 14, 5, 8,−1 calcolarne la media aritmetica x, la moda x∗ e la mediana m. atm

x = 5 x∗ = −1 m = 5


F (x) =

0 x < 20.4 2 ≤ x < 30.6 3 ≤ x < 40.9 4 ≤ x < 71 x ≥ 7

Calcolare previsione e varianza di X2.frp

IP(X2) = 13.1 var(X2) = 167.89

3. In una prestigiosa università italiana il ritardo (espresso in anni) con cui il singolo docente riceve il compenso pergli insegnamenti svolti segue la distribuzione esponenziale con parametro θ aleatorio avente distribuzione inizialeG3,4(θ). Sapendo che cinque docenti hanno dovuto aspettare rispettivamente 3, 2, 1, 2, 2 anni determinare la distribu-zione finale di θ. dnt

β(θ|x) = G8,14(θ) =

148

7!θ7e−14θ θ > 0

0 altrove

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0); (0, 1); (1, 0). Determi-nare la densità di probabilità di Z = min(X, Y ).xmi

f(z) =

4(1− 2z) 0 ≤ z ≤ 1/20 altrove

114



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 5 ottobre 2007



Compito A

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che 3P (X ≤ 2) = 5P (X ≤ 1). Calcolare la varianza.psp

var(X) = 2

2. Daniele ha giocato i tre numeri ‘7’, ‘15’ e ‘21’ sulla ruota del lotto di Torino. Qual è la probabilità p che realizzi unambo ?trb

p =85

11748' 0.0072


f(x) =

k(x2 − 1) 1 ≤ |x| ≤ 20 altrove.

Determinare k e la funzione di ripartizione.fzn

k =38

F (x) =

0 x < −2x3

8 −38x + 1

4 −2 ≤ x ≤ −112 −1 < x ≤ 1x3

8 −38x + 3

4 1 < x ≤ 21 x > 2

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (−1, 0); (−1, 1); (0, 1). De-terminare la funzione di ripartizione di X .frx

FX(x) =

0 x < −11− x2 −1 ≤ x ≤ 01 x > 0

115



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 5 ottobre 2007



Compito B

1. Da un mazzo di carte italiane si compiono estrazioni con restituzione fino ad ottenere una figura o una carta di spade.Calcolare il numero medio M di estrazioni che si dovranno compiere e la probabilità β di estrarre almeno tre carte.crt

M =4019

β =(

2140

)2

' 0.276

2. Da un’urna contenente tre palline bianche e due nere vengono estratte dieci palline con restituzione. Calcolare laprobabilità α che nelle prime sei estrazioni si siano ottenute quattro palline bianche e due nere.pll

α =9723125

' 0.311


f(x) =

lnx 1 ≤ x ≤ k0 altrove.

calcolare il valore di k, la previsione e la probabilità P (X = 2).starr

k = e IP(X) =e2 + 1

4P (X = 2) = 0

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (1, 0); (1,−1); (0,−1). De-terminare la funzione di ripartizione di Y .fry

FY (y) =

0 y < −11− y2 −1 ≤ y ≤ 01 y > 0

116



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 dicembre 2007



1. Calcolare la probabilità α che nel lancio simultaneo di tre dadi (lancio triplo) si presenti la sequenza 6 6 6 . Sapendoche in una partita di Risiko sono stati effettuati 648 lanci tripli, calcolare la probabilità che si sia presentata esattamentecinque volte la sequenza 6 6 6 , prima in modo esatto (β) e poi con una opportuna approssimazione (γ). ddd

α =1

216β =

(6485

)(1

216

)5(215216

)643

' 0.1008962721 γ =35

5!e−3 ' 0.1008188134

2. La distribuzione di probabilità di un numero aleatorio continuo X soddisfa la relazione

P (X > s + t|X > s) = P (X > t)

per ogni s > 0, t > 0, ed è noto che var(X) = 4. Calcolare la previsione di Y = (2X − 5)2.xpx

IP(Y ) = 17

3. In occasione delle vacanze di Natale una cittadina ha abbellito le proprie strade con 500 alberi di Natale, ognuno deiquali ha un numero (aleatorio) di palle luminose avente valor medio pari a 100 e varianza pari a 20. Applicando ilteorema centrale calcolare la probabilità p che in totale ci siano più di 49900 palle luminose.slp

p = Φ(1)

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0); (1, 0); (0, 1). Determi-nare previsione e varianza del numero aleatorio Z = XY .frz

IP(Z) =112

var(Z) =1

240

117





Compito A

1. Quattro amici si ritrovano tutte le sere a bere del whisky al “ROXY BAR”. Sapendo che occupano sempre lo stessotavolo da quattro posti, e che scelgono i posti a caso, calcolare la probabilità α che stasera nessuno di essi occupi lostesso posto di ieri sera.rxy

α =38

2. Dieci studenti di una scuola superiore hanno riportato in matematica i seguenti voti 3, 7, 6, 9, 4, 5, 5, 3, 3, 5 (X),mentre in fisica hanno riportato 4, 6, 6, 8, 4, 3, 5, 4, 5, 5(Y ). Calcolare la covarianza dei due voti.std

cov(X, Y ) = 2

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X ≤ 4) = Φ(2) e P (X > −1) = Φ(3).Calcolare la previsione e la varianza di X .msp

IP(X) = 2 var(X) = 1

4. Su una circonferenza vengono scelti due punti a caso A e B che insieme al suo centro O formano un angolo convessoΘ (si osservi la figura). Determinare la densità di probabilità dell’angolo Θ.crc~

&%'$

&%'$

@@ pO

A

BΘ

>

>

fΘ(θ) =

1π

0 < θ ≤ π

0 altrove

118





Compito B

1. Quante parole (N ) è possibile formare con la parola ABRACADABRA ? nrg

N = 83160

2. Sei studenti di una scuola superiore hanno riportato in geografia i seguenti voti 5, 7, 8, 4, 5, 7. Calcolare la mediaaritmetica e la varianza del voto X .grg

M(X) = 6 S2 = 2

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale ed è tale che P (3 < X < 6) =14

.Calcolare la previsione e la varianza di X .xpx

IP(X) =3

ln 2var(X) =

9(ln 2)2

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul quadrato di vertici (1, 0); (0, 1); (−1, 0); (0,−1). PostoT = max(X, Y ) e Z = min(X, Y ), determinare la densità di probabilità di S = T − Z.qdr

@@

@@

@@

@@

@@

6

-x

y

1

-1

-1

1

fS(s) =

1 0 ≤ s ≤ 10 altrove

119



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 febbraio 2008



1. Marco sceglie a caso un’urna tra quelle mostrate in figura, e da essa estrae due palline in blocco ottenendo la sommapari a 5. Qual è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?nru

U1→¬

® ¯

® ®←U2

p =13

2. Siano dati tre eventi A, B e C, con A ∨C = Ω, e tali che P (A) = P (C) = 0.7, P (B) = 0.6. Si ponga P (A ∩Bc ∩Cc) = ε, e P (Ac ∩Bc ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. ctt

Q =

0 ≤ ε, λ ≤ 0.30 ≤ ε + λ ≤ 0.4

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (0, 2). Determinare la densità di probabilità di

Y =X − 1X + 1

.krt

g(y) =

1

(y − 1)2−1 < y < 1

3

0 altrove

4. Sia data la seguente densità congiunta del vettore aleatorio (X, Y ) ;

f(x, y) =

1√2π

e−12(x2+2y) (−∞ < x < +∞) ∧ (y > 0)

0 altrove

Determinare i valori medi e le varianze di X e di Y , e la loro covarianza.ech

IP(X) = 0 IP(Y ) = 1 var(X) = 1 var(Y ) = 1 cov(X, Y ) = 0

120


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 19 febbraio 2008



Compito A

1. Ettore ha davanti a sé una serie di urne come mostrato in figura :

m m m

l m m

m m

l m m

m

l m m l m m l m l

U1 U2 U3 U4 U5 U6

Egli deve estrarre una pallina da ogni urna (cominciando da U1 e poi eventualmente passare a U2, e così via) fino adottenere pallina nera. Detto X = ‘numero di estrazioni effettuate’, determinarne codominio e distribuzione.sru

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6 pX =

16,16,16,16,16,16


rY X : 8y = 2− xrXY : 3x = 4− 4y

Determinare IP(X) e IP(Y ).rgr

IP(X) = 1.2 IP(Y ) = 0.1

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard.Determinare la funzione di ripartizione di Y = |X2 − 1|.nms

G(y) =

2Φ(√

1 + y)− 1 y ≥ 1

2[Φ(√

1 + y)− Φ

(√1− y

)]0 ≤ y < 1

0 y < 0

4. Il numero di errori arbitrali che si verificano durante una partita di calcio di serie A segue la distribuzione di Poissoncon parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale G3,4(θ). Sapendo che nell’ultima giornata di calcio ci sonostati nelle dieci partite (rispettivamente) 2, 3, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 3 errori, determinare la funzione di verosimiglianza ela distribuzione finale di θ. brt

α(x|θ) =

θ22

2!3!1!2!2!4!3!1!1!3e−10θ θ > 0

0 altrove

β(θ|x) = G25,14(θ) =

1425

24!θ24e−14θ θ > 0

0 altrove

121


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 19 febbraio 2008



Compito B

1. Egidio ha davanti a sé l’urna mostrata in figura :

m m m

l m mEgli estrae senza restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere pallina nera. Detto X = ‘numero di estrazionieffettuate’, determinarne codominio e distribuzione.trt

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6 pX =

16,16,16,16,16,16


rY X : 18y = 36− 5xrXY : 5x = 20− 2y

Determinare il coefficiente di correlazione ρXY .grg

ρXY = −13

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1.Determinare la funzione di ripartizione di Y = |

√X − 1|.xpe

G(y) =

1− e−(1+y)2 y ≥ 1

e−(1−y)2 − e−(1+y)2 0 ≤ y < 1

0 y < 0

4. In una partita di calcio di serie A l’intervalllo di tempo (misurato in minuti) che intercorre tra un fischio dell’arbitro eil successivo segue la distribuzione esponenziale con parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale G3,4(θ). Sa-pendo che gli ultimi dieci intervalli hanno avuto durata (rispettivamente ) 2, 3, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 3 minuti, determinarela funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ. fsh

α(x|θ) =

θ10e−22θ θ > 0

0 altroveβ(θ|x) = G13,26(θ) =

2613

12!θ12e−26θ θ > 0

0 altrove

122



Esame di “Calcolo delle Probabilità e Statistica” - 10 aprile 2008



1. Quattro eventi A, B, C e D sono tali che D ⊆ (A ∩ B) e (A ∪ B) ⊆ C. Stabilire se le assegnazioni di probabilitàP (Ac ∪Bc ∪D) = 0.4 e P (Cc ∪D) = 0.7 sono coerenti oppure no (cerchiare la risposta giusta) . crz

coerenti ? SÌ NO©2. Da un sacchetto contenente tutti i numeri da 1 a 90 si compiono estrazioni con restituzione fino ad ottenere un multiplo

di 6 o un multiplo di 9. Calcolare il numero medio M di estrazioni che si dovranno compiere e la probabilità β diestrarre al massimo quattro numeri.tmb

M =92

β = 1−(

79

)4

' 0.634


f(x) =|x| − 1 1 ≤ |x| ≤ 20 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione.fnz

F (x) =

0 x < −2

12 −

(x+1)2

2 −2 ≤ x ≤ −1

12 −1 < x ≤ 1

12 + (x−1)2

2 1 < x ≤ 2

1 x > 2

4. Un’urna contiene un numero enorme di palline bianche e nere. La frazione di palline bianche (θ) ha distribuzioneiniziale B20,5(θ). Sapendo che in 7 estrazioni è stata ottenuta la sequenza

l l m l m l l

determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.fzs

α(x|θ) =

θ2(1− θ)5 0 < θ < 10 altrove .

β(θ|x) = B22,10(θ) =

31!21!9!

θ21(1− θ)9 0 < θ < 1

0 altrove .

123






Compito A

1. Ivo ha davanti a sé una scatola in cui sono presenti sei lettere come mostrato in figura.

I V O

V O

V

Egli ne estrae tre in blocco sperando di riuscire a formare il proprio nome ; qual è la probabilità α che ciò avvenga ?vvv

α =310

2. Quando Buffalo Bill va a caccia di bisonti spara il 75% delle volte stando a cavallo, altrimenti spara da fermo. Sapendo

che ha probabilità13

di colpire il bersaglio stando a cavallo, e23

da fermo, e che su cinque tiri ha colpito due volte ilbersaglio, calcolare la probabilità p che sia stato a cavallo.bfl

p =67

3. Il preside di un istituto d’istruzione superiore ha emanato la direttiva che ai prossimi scrutini la percentuale degli

alunni respinti non debba superare il 10%. Sapendo che ogni alunno ha probabilità p =429

di essere respinto, e chenell’istituto sono presenti 400 studenti, applicando il teorema centrale calcolare la probabilità β che la direttiva delpreside venga rispettata.prd

β = 1− Φ (2.2) ' 1.39%

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [−3, 3]. Determinare la densità di probabilità diY = |1− |X||.mdm

g(y) =

23 0 ≤ y < 1

13 1 ≤ y ≤ 2

0 altrove

124






Compito B

1. Quattro eventi A, B, C e D formano sei costituenti (si osservi la figura) tali che P (C1) = P (C3) = P (C4) =P (C5) = q (positivo). Dati i due numeri aleatori X = |C| − |A|+ |D| e Y = |C| − |B|+ |D|, determinare per qualevalore di q la loro covarianza è nulla. qve

&%'$

&%'$n

&%'$

~A ~B~C

DC1

C2

C5

C3 C4

C6

q =29

2. Quando Cavallo Pazzo va a caccia porta con sé l’arco con le frecce il 70% delle volte, altrimenti porta il fucile.Sapendo che ha probabilità 60% di colpire la preda se usa l’arco e 80% se usa il fucile, e che su cinque tiri ha colpitodue volte la preda, calcolare la probabilità p che abbia usato l’arco.cpz

p =2123

3. Al sorteggio dei quarti di finale di Champions League sono presenti (tra le otto) quattro squadre inglesi. Calcolare laprobabilità α che non ci sia nessun scontro tra esse, la probabilità β che ci sia un doppio scontro, e la probabilità γche ci sia un solo scontro.chl

α =835

β =335

γ =2435

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità f(x, y) = ke−|x|−|y| per (x, y) ∈ IR2. Determinare k,le due densità marginali e il coefficiente di correlazione.dxe

k =14

f1(x) =12e−|x| per x ∈ IR f2(y) =

12e−|y| per y ∈ IR ρ = 0

125



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 3 maggio 2008



Compito A

1. Un’urna contiene cinque palline numerate come mostrato in figura.

k45

k75

k50k18

k 20Da essa vengono estratte tre palline in blocco ; determinare codominio e distribuzione del numero aleatorioX =‘massimo comune divisore delle tre palline estratte’.dmc

CX = 1, 2, 3, 5 pX =

25,

110

,110

,25

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione pX = 0.5, 0.3, 0.2 può assumere solo valori interi. Sapendo cheF (1) = 0, F (5) = 1, F (2) + F (3) = 1, determinare il codominio di X .dfp

CX = 2, 4, 5

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Calcolare IP(Y ) con Y = eX(2−X)

2 .nxe

IP(Y ) =√

π

2

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (2, 2). Determinare ledensità di probabilità di X e di T = max(X, Y ).axm

fX(x) =

x

20 ≤ x ≤ 2

0 altrove

fT (t) =

t

20 ≤ t ≤ 2

0 altrove

126



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 3 maggio 2008



Compito B

1. Un’urna contiene cinque palline numerate come mostrato in figura.

k4k9

k6k2 k 3Da essa vengono estratte tre palline in blocco ; determinare codominio e distribuzione del numero aleatorioX =‘minimo comune multiplo delle tre palline estratte’.mmc

CX = 6, 12, 18, 36 pX =

110

,310

,310

,310

2. Un numero aleatorio X avente codominio CX = 1, 3, 5, 7 è tale che F (4) = 3F (2), F (6) = 2F (4), F (2)+F (4) =0.4. Determinare la distribuzione di X .cfp

pX = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Calcolare IP(Y ) con Y =1

X!.gmg

IP(Y ) =p

q(eq − 1) (q = 1− p)

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (2, 2). Determinare ledensità di probabilità di Y e di Z = min(X, Y ).inm

fY (y) =

2− y

20 ≤ y ≤ 2

0 altrove

fZ(z) =

2− z

20 ≤ z ≤ 2

0 altrove

127


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 4 giugno 2008



1. Su un tratto di strada accidentato, la probabilità di forare (almeno) una ruota di bicicletta è pari a 0.2 per chilometropercorso. Qual è la probabilità α di forare su un percorso di due chilometri ? (N.B. Si supponga che da un chilometroall’altro non ci sia dipendenza.)frr

α = 0.36

2. Cinque amici beoni vanno ad un pub a bere vino e birra. Il numero di bottiglie di vino bevute (X) dei cinque amici èrispettivamente 3,4,4,5,4, mentre quello di bottiglie di birra è (Y ) 1,2,3,6,1 . Calcolare la covarianza di X e Y .

cov(X, Y ) =M [(X − x)(Y − y)] = 1

3. Caterina deve superare una prova di concorso che consiste nel rispondere esattamente ad almeno uno dei tre quesitiestratti a caso da un’urna che ne contiene cento. Sapendo che è preparata su 35 quesiti, qual è la probabilità α disuperare la prova ? Qual è il numero minimo di quesiti (min) da preparare affinché la probabilità di superarlo sia

maggiore o uguale a2933

?cnc

α =281385' 73% min = 50

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione B11,13(x). Determinare la densità di probabilità di Y = ln X .fnz

fY (y) = B11,13(ey)ey =

23!10!12!

e11y (1− ey)12 y < 0

0 y ≥ 0

128


Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria MeccanicaEsame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 luglio 2008



1. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione0 x < 20.3 2 ≤ x < 40.5 4 ≤ x < 60.7 6 ≤ x < 81 x ≥ 8

Calcolare le probabilità α = P (X < 3|X ≥ 1), β = P (X > 5|X ≤ 7).rpt

α = 0.3 β =27

2. Ad un esame sono presenti 144 studenti. Ognuno di essi raggiunge una votazione avente distribuzione normale convalore medio pari a 16 e varianza pari a 4. Applicando il teorema centrale, calcolare la probabilità α che ci siano almassimo 120 respinti.bct

α = Φ

(10− 12Φ(1)√

Φ(1)Φ(−1)

)' 0.4

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità

f(x, y) =

k|xy| (x, y) ∈ Q0 altrove.

dove Q è il quadrato di vertici (1, 0); (0, 1); (−1, 0); (0,−1). Determinare k e la densità marginale di X .fzn

k = 6 f1(x) =

−6x(x + 1)2 −1 ≤ x ≤ 06x(x− 1)2 0 < x ≤ 10 altrove

4. Da un’urna contenente una pallina bianca e nove nere viene fatta una serie di sei estrazioni (con restituzione) di cinquepalline in blocco. Calcolare la probabilità α che la pallina bianca resti sempre nell’urna.pll

α =164

129






1. Tre amici (Marco, Davide e Ivano) si sfidano in una corsa di 100 metri. La probabilità che Marco arrivi prima diIvano è 3/5 ; inoltre è noto che se Ivano arriva ultimo la probabilità che Marco batta Davide è 1/4, mentre se Marcoarriva primo la probabilità che Davide batta Ivano è 1/3. Determinare la probabilità α che l’ordine di arrivo sia Marco-Davide-Ivano.(Si supponga impossibile l’arrivo simultaneo di due o più gareggianti.)nru

α = 0.1

2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = 2kX . Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente dicorrelazione ρ vale 1. ctt

non esistono valori di k

3. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f(x) = 1− |x| per −1 < x < 1, e 0 altrove. Determinare la densitàdi probabilità di Y = |X|.krt

g(y) =

2(1− y) 0 ≤ y < 1

0 altrove

4. Un numero aleatorio X > 0 ha densità di probabilità f(x) = 9xe−3x. Determinare la funzione di rischio.ech

h(x) =9x

1 + 3x

130





1. Un’urna contiene quattro palline numerate come mostrato in figura.k 66 k68k86 k 6Da essa vengono estratte due palline in blocco ; calcolare la probabilità α di estrarre almeno un multiplo di 3.dmc

α =56

2. Due numeri aleatori X e Y hanno sia la previsione che la varianza pari a 1. Determinare il valore minimo (min) equello massimo (max) che può assumere la previsione del loro prodotto.iax

min = 0 max = 2

3. Un numero aleatorio X avente distribuzione esponenziale è tale che P (X < 6|X > 4) =12

.

Calcolare P (X < 12|X > 10).pxp

P (X < 12|X > 10) =12

4. Tre litri d’acqua vengono ripartiti in tre secchi, uno rosso uno giallo e uno blu. Sapendo che la quantità presente nelsecchio giallo è doppia di quella presente nel secchio rosso (X), e che quest’ultimo contiene una quantità (aleatoria)avente densità B2,5(x), determinare la densità di probabilità della quantità d’acqua contenuta nel secchio blu (Y ).lrt

fY (y) = 13B2,5

(1− y

3

)=

1035

(3− y) y4 0 < y < 3

0 altrove

131






1. Cinque fratelli frequentano la stessa sezione di un istituto di istruzione superiore. Il primo frequenta il quinto anno,

il secondo il quarto anno e così via. Sapendo che ognuno di essi ha probabilità23

di essere promosso, calcolare laprobabilità α che il prossimo anno almeno due fratelli si ritrovino nella stessa classe. cfr

α =2027

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme tra −1 e 1.Determinare la funzione di ripartizione di Y = e−X2

.ngs

G(y) =

0 y < e−1

1−√− ln y e−1 ≤ y ≤ 1

1 y > 1

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Calcolare il valore medio di cos X . pcz

IP(cos X) =12

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione (le caselle vuote indicano 0).Determinare il valore di a e il coefficiente di correlazione ρ.

X -1 0 1Y

-1 a

0 a a a

1 a

ddd

a =15

ρ = 0

132



Esame Straordinario di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 15 gennaio 2009



1. Siano dati due eventi E ed H tali che P (E|H) = 0.1 e P (H|E) = 0.9. Determinare l’intervallo di coerenza perp = P (E ∧H).N.B. Si supponga P (E) > 0, P (H) > 0. dve

p ∈[0,

991

]

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : x − 3y + 6 = 0, rY X : 2x − y − 6 = 0 .Determinare il valore medio di X e di Y . rtg

IP(X) = 4.8 IP(Y ) = 3.6

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità di probabilità f(x, y) (riportata di seguito) dove C è la corona circolaremostrata in figura. Determinare k e la densità di probabilità di Z =

√X2 + Y 2.ccr

f(x, y) =

k ln(x2 + y2) (x, y) ∈ C

0 altrove~

&%'$

~&%'$

-x

6y

1

e

C

k =1

π(e2 + 1)g(z) =

4z ln z

e2 + 11 ≤ z < e

0 altrove

4. Un’urna contiene palline bianche e palline nere. Da essa vengono estratte dieci palline con restituzione ; sapendo chesono state ottenute tre palline bianche e sette nere, calcolare la probabilità α che si sia ottenuta pallina bianca allaterza, alla quinta e alla nona estrazione. dpl

α =1(103

)

133






1. Siano dati due eventi E ed H tali che P (E ∧H) = 0.2 e P (E ∨H) = 0.8. Determinare l’intervallo di coerenza perp = P (E|H).dve

p ∈[14, 1]

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : x + 4y − 12 = 0, rXY : 3x + y − 15 = 0.Determinare il coefficiente di correlazione. rtg

ρ = − 12√

3

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla corona circolare C mostrata in figura. Determi-nare la densità di probabilità di X .ccr~

&%'$

~&%'$

-x

6y

1

3

C f1(x) =

√9− x2 −

√1− x2

4π|x| ≤ 1

√9− x2

4π1 < |x| ≤ 3

0 altrove

4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono senza restituzione due palline.

¬ ®

· ¸ ¹Stabilire se gli eventi A =“le due palline sono dello stesso colore” e B =“la somma delle due palline è pari a cinque”sono stocasticamente indipendenti.dpl

A e B indipendenti ? SÌ© NO

134


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 30 gennaio 2009



Compito A

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di X .jpn~

&%'$

-x

6y

1

1

CC

CC

fX(x) =

2π − 2

[√1− x2 − 1− x

]−1 ≤ x ≤ 0

2π − 2

[√1− x2 − 1 + x

]0 < x ≤ 1

0 altrove

2. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere la pallina ¬.Sapendo che sono state necessarie cinque estrazioni, calcolare la probabilità α che la pallina ¹ sia rimasta semprenell’urna.kuk

¬ ± ²

½ ¾ ¹α =

(45

)4

3. Un numero aleatorio X ha densità f(x) = kx2

√ex

per x > 0, e 0 altrove. Determinare k e IP(X).gxg

k =116

IP(X) = 6

4. Due eventi E ed H sono tali che Ec ∧Hc = ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (E) =38

e P (H) =512

è coerente (cerchiare la risposta giusta) . crh

coerente ? SÌ NO©

135





Compito B

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di X .qrn

-x

6y

2

2

1

1C fX(x) =

2− |x|3

1 ≤ |x| ≤ 2

13

|x| < 1

0 altrove

2. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione quattro palline.Calcolare la probabilità α di ottenere almeno due palline uguali che non sia la ¬.uzz

¬

® ¯α =

183256

3. Un numero aleatorio X ha densità f(x) = k(x2 − x3)10 per 0 < x < 1, e 0 altrove. Determinare k e IP(X).bxb

k =Γ(32)

Γ(21)Γ(11)IP(X) =

2132

4. Ad un esame si sono prenotati 192 studenti. Sapendo che ognuno di essi si presenterà con probabilità 75%, calcolare(applicando il teorema centrale) la probabilità p che si presentino almeno 132 studenti.kct

p = Φ(2)

136





Compito C

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di X .qqn

-x

6y

2

2

1

1C

fX(x) =

16

|x| < 1

13

1 ≤ |x| ≤ 2

0 altrove

2. Un’urna contiene palline bianche e palline nere. Da essa vengono estratte dieci palline senza restituzione ; sapendoche sono state ottenute tre palline bianche e sette nere, calcolare la probabilità α che si sia ottenuta pallina bianca soloalla terza, alla quinta e alla nona estrazione. rsp

α =1

120

3. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =k√ex2

per −∞ < x < +∞. Determinare k e IP(X).xnn

k =1√2π

IP(X) = 0

4. Nel canale di trasmissione mostrato in figura, la probabilità di trasmettere A© è doppia di quella di trasmettere B©.Sapendo che in ricezione è stato ricevuto il simbolo A©, quale è la probabilità β che esso sia stato effettivamentetrasmesso ? trc

-

-A©

B©

A©

B©-

-

90100

80100

β =1617

137





Compito D

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di X .kpm~

&%'$

-x

6y

2

2C

C

C

C

fX(x) =

2− |x|4− π

√2 ≤ |x| ≤ 2

2− |x| −√

2− x2

4− π|x| <

√2

0 altrove

2. Un’urna contiene palline bianche e palline nere in uguale quantità. Da essa vengono estratte cinque palline conrestituzione ; sapendo che alla prima e alla quarta estrazione è stata ottenuta pallina bianca, calcolare la probabilità αche si siano ottenute tre palline bianche. nru

α =38

3. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =k

3√

exper x > 0, e 0 altrove. Determinare k e IP(X).xxe

k =13

IP(X) = 3

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : y−x−4 = 0, rXY : 9x− y−4 = 0. Sapendoche var(X) + var(Y ) = 10, calcolare IP(XY ). rtg

IP(XY ) = 6

138


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 febbraio 2009



Compito A

1. Mentre Carlo si trova a Montecarlo, entra al Casinò per tentare la fortuna alla roulette. Volendo guadagnare a tutti icosti 1 euro, adotta la strategia di puntare inizialmente 1 euro sul NERO e raddoppiare ogni volta la puntata fino avederlo uscire. Sapendo che in tasca ha 1023 euro, calcolare la probabilità α che la sua strategia funzioni. Indicatoinoltre con G il guadagno (aleatorio) determinarne codominio, distribuzione e previsione .rlt

α = 1− q10 ' 0.9987 CG = −1023, 1 pG =q10, 1− q10

IP(G) = 1− (2q)10 ' −0.305 q =

1937

2. Da un’urna contenente palline bianche e palline nere (con frazioni p e q rispettivamente) vengono estratte dieci pallinecon restituzione. Determinare (in funzione di i) le probabilità degli eventi Ei =“è stata ottenuta pallina bianca per laprima volta alla i-esima estrazione” (i = 1, 2, . . . , 10). Esprimere l’evento A =“è stata ottenuta almeno una pallinabianca” in funzione degli eventi Ei, e calcolarne la probabilità. rvt

P (Ei) = pqi−1 A = E1 ∨ E2 ∨ . . . ∨ E10 P (A) = 1− q10

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar-tizione di Y = 23−X2

.mdm

G(y) =

0 y < 1/2

2k − k√

3− lg2 y 1/2 ≤ y < 4

3k − 2k√

3− lg2 y 4 ≤ y ≤ 8

1 y > 8

k =13

4. Il numero di volte osservate in un giorno in cui gli automobilisti omettono di segnalare il cambio di direzione presso unincrocio stradale segue la distribuzione di Poisson con parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale G40,2(θ).Sapendo che negli ultimi due giorni ci sono state (rispettivamente) 20, 30 omissioni, determinare la distribuzionefinale di θ. fzr

β(θ|x) = G90,4(θ) =

kθ89e−4θ θ > 0

0 altrovek =

490

89!

139





Compito B

1. Per la partita di stasera tra “Scapoli” e “Ammogliati” un book-maker ha stabilito le seguenti quote : 2 :1 sulla vittoriadegli “Scapoli”(ossia versando una somma α in caso di vittoria degli “Scapoli” si riceve 2α e si guadagna α), 2.5 :1sulla vittoria degli “Ammogliati”, e 4 :1 sul pareggio . Stabilire se si tratta di quote coerenti (cerchiare la rispostagiusta) . qtq

coerenti ? SÌ NO©2. Ad un corso di PC hanno partecipato 200 allievi. È noto che la probabilità che un allievo si prenoti all’esame è 0.8, la

probabilità che un allievo prenotato si presenti all’esame è 0.7, mentre la probabilità che un allievo non prenotato sipresenti all’esame è 0.2. Determinare il numero medio (M ) di alunni che si presentano all’esame.pcp

M = 120

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar-

tizione di Y =1

X2 + 1.frc

G(y) =

0 y < 1/5

2k − k

√1− y

y1/5 ≤ y < 1/2

3k − 2k

√1− y

y1/2 ≤ y ≤ 1

1 y > 1

k =13

4. Marco vuole verificare la sua bravura nel tiro con il fucile facendo scoppiare cinque palloncini posizionati (uno allavolta) ad una certa distanza. Sapendo che la probabilità (θ) di colpire ha distribuzione iniziale uniforme tra 0 e 1, eche per farli scoppiare sono stati necessari rispettivamente 3, 1, 7, 8, 5 colpi, determinare la distribuzione finale di θ.trp

β(θ|x) = B6,20(θ) =

kθ5 (1− θ)19 0 ≤ θ ≤ 1

0 altrovek =

25!5!19!

140





Compito C

1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola ANANAS ? nsn

N = 60

2. Quando guida il camion Guido guarda il piccolo televisore il 30% delle volte, usa il telefonino il 20% delle volte,mangia il 10% delle volte, mentre il restante 40% delle volte guida correttamente. È noto inoltre che la probabilità difare un incidente è 0.3 se guarda il televisore, è 0.2 se usa il telefonino, è 0.1 se mangia, è 0.05 se guida correttamente.Sapendo che ha fatto l’incidente, calcolare la probabilità p che stesse mangiando.cmt

p =116

= 0.0625

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar-tizione di Y = log2(5−X2).lgt

G(y) =

0 y < 0

2k − k√

5− 2y 0 ≤ y < 2

3k − 2k√

5− 2y 2 ≤ y ≤ log2 5

1 y > log2 5

k =13

4. Per un difetto di fabbricazione un dado (deformato) mostra le facce pari con probabilità(

16

+ θ

), e le facce dispari

con probabilità(

16− θ

)con θ aleatorio avente distribuzione iniziale uniforme tra 0 e

110

. Sapendo che in quattro

lanci sono uscite le facce 2 , 1 , 5 , 4 , determinare la distribuzione finale di θ. dxd

β(θ|x) =

k

(136− θ2

)2

0 ≤ θ ≤ 1/10

0 altrove

k =5062500

307

141





Compito D

1. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione0 x < 10.3 1 ≤ x < e0.7 e ≤ x < π1 x ≥ π

Calcolare le probabilità α = P (X < 3|X ≥ 2), β = P (X > 1|X ≤ 2).frt

α =47

β = 0

2. In una grande città la statura (espressa in cm) della popolazione adulta (sia maschile che femminile) segue la distribu-zione normale ; quella maschile con valore medio pari a 165 e scarto standard pari a 15, mentre quella femminile convalore medio pari a 160 e scarto standard pari a 10. Calcolare la probabilità α che un individuo scelto a caso abbia lastatura inferiore a 180 (cm), sapendo che il 55% della popolazione adulta è di sesso femminile.dnr

α =120

[9Φ(1) + 11Φ(2)]

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar-tizione di Y =

√5−X2.rtq

G(y) =

0 y < 1

2−√

5− y2

31 ≤ y < 2

3− 2√

5− y2

32 ≤ y ≤

√5

1 y >√

5

k =13

4. Nella trascrizione di testi un impiegato ha probabilità θ di sbagliare un singolo carattere. Noto che θ ha distribuzioneiniziale B4,16(θ), e che nella trascrizione di 100 codici fiscali (di 16 caratteri ciascuno) l’impiegato non ne ha sbagliatonessuno, determinare la distribuzione finale di θ. fxc

β(θ|x) = B4,1616 =

kθ3(1− θ)1615 0 < θ < 1

0 altrovek =

1619!3!1615!

142


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 giugno 2009



1. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che P (X = 23) = P (X = 25).Calcolare la varianza di X .spn

var(X) = 10√

6

2. Un vettore aleatorio discreto ha la seguente distribuzione

X -2 0Y

0 a c

4 b b

Noto che IP(Y ) = 2 e var(X) = 1, determinare i valori di a, b e c. tcg

a = 0.25 b = 0.25 c = 0.25

3. Tre amici devono stabilire chi potrà andare allo stadio con il biglietto che hanno vinto insieme ad una lotteria. Perfare ciò decidono di lanciare simultaneamente un dado per ciascuno, stabilendo che vincerà il dado più alto. Qual è laprobabilità α che escano tre facce diverse ? Qual è la probabilità β che escano tre facce uguali ? Qual è la probabilitàγ che escano esattamente due facce uguali ? Qual è la probabilità δ che si riesca a stabilire il vincitore con un sololancio ? trd

α =59

β =136

γ =512

δ =5572

4. Un tale arriva alla fermata dell’autobus con 10 minuti di ritardo rispetto al normale orario di passaggio del mezzo.Sapendo che anche l’autobus presenta un ritardo (aleatorio) avente distribuzione esponenziale con valore medio paria 10 minuti, calcolare la probabilità α che il tale abbia perso l’autobus. Dopo 20 minuti di attesa l’autobus non èancora passato, qual è adesso la probabilità β che il tale abbia perso l’autobus ? Dopo quanti altri minuti di attesa (N )la probabilità di aver perso l’autobus è maggiore del 99% ? atb

α = 1− e−1 ' 0.63 β =1− e−1

1− e−1 + e−3' 0.93 N = −10 ln

[1− e−1

99

]− 30 ' 20.53

143


Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione

Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 giugno 2009



Compito A

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata H mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di Y .Hqn

- x

6y

21−2−1

3

4

7

H

fY (y) =

2k 0 ≤ y < 3

4k 3 ≤ y ≤ 4

2k 4 < y ≤ 7

0 altrove

k =116

2. Un numero aleatorio X ha funzione di ripartizione

F (x) =

0 x < a

x− a

8− aa ≤ x ≤ 8

1 x > 8.

Sapendo che X ha valore medio pari a 5, calcolarne la varianza.ufr

var(X) = 3

3. Tre eventi A, B e C sono tali che A ⊆ B, Cc ⊆ Bc, e (Ac ∪Bc) ⊆ (Bc ∩Cc). Sapendo che P (A) =13

determinarela probabilità di B e quella di C.enx

P (B) =13

P (C) =13

4. Un pasticciere pasticcione deve preparare 120 ciambelle. Consapevole del fatto che “non tutte le ciambelle esconocon il buco” decide di prepararne qualcuna in più. Sapendo che ha probabilità 95% di preparare una ciambella cheesca con il buco, applicando il teorema centrale determinare il numero minimo di ciambelle che deve preparare (min)affinché la probabilità che ne escano almeno 120 buone sia maggiore di 0.9772(' Φ(2)).pst

min = 132

144






Compito B

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata E mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di X .Eqn

- x

6y

21−2−1

1

3

4

6

7

E

fX(x) =

7k −2 ≤ x ≤ −1

3k −1 < x ≤ 1

2k 1 < x ≤ 2

0 altrove

k =115

2. Un numero aleatorio X ha funzione di sopravvivenza

S(x) =

e−2√

x x > 01 x ≤ 0.

Determinare la funzione di rischio h(x).rty

h(x) =

1√x

x > 0

0 x ≤ 0.

3. Un numero aleatorio X avente distribuzione di Poisson è tale che P (20.4 < X < 24.1|22.6 < X < 25.7) =12

.Calcolare il valore medio di X .lxy

IP(X) = 40

4. Un’urna contiene 20 palline di cui 2 bianche e le restanti nere. Da essa si estraggono tre palline in blocco alla volta(e senza resttuzione). Dopo quante estrazioni triple (y) in cui si ottengono sempre palline nere la probabilità di averealmeno una pallina bianca è maggiore o uguale al 90% ?wrn

y = 5

145






Compito C

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata T mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di Y .Tqn

- x

6y

20.5−1.5

5.567

T

fY (y) =

k 0 ≤ y < 5.5

2k 5.5 ≤ y < 6

4k 6 ≤ y ≤ 7

0 altrove

k =221

2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f(x) = ke−|x| per x ∈ IR. Determinare k, IP(X) e var(X).etx

k =12

IP(X) = 0 var(X) = 2

3. Un numero aleatorio X è tale che S(1)− S(2) =112

e S(2)− S(3) =14

.

Calcolare la probabilità p = P (2 < X < 4|1 < X ≤ 3).pkn

p =34

4. Danilo e Stefano fanno la gara a chi ottiene il punteggio più alto. Danilo utilizza un dodecaedro (poliedro regolare conle 12 facce numerate da 1 a 12), mentre Stefano utilizza due dadi (valutando la somma delle facce uscite). Calcolarela probabilità α che vinca Danilo e la probabilità β che vinca Stefano.ycs

α =12

β =512

146






Compito D

1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata F mostrata in figura. Determinarela densità di marginale di X .Fqn

- x

6y

21−2−1

3

4

6

7

F

fX(x) =

7k −2 ≤ x ≤ −1

2k −1 < x ≤ 1

k 1 < x ≤ 2

0 altrove

k =112


f(x) =

ke−

x2

2 x > 00 x ≤ 0.

Determinare k, IP(X) e var(X).nyt

k =√

2π

IP(X) =√

2π

var(X) =π − 2

π

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che σX = 3, σY = 2, ρ = 1. Determinare una possibile relazione lineare che legaX e Y . vtr

relazione→ Y =23X + k k ∈ IR

4. Qui, Quo e Qua fanno la conta per chi dovrà ricevere per primo il bacio della buonanotte da Zia Paperina (ognuno diessi può tirare un numero tra 1 e 4 con uguale probabilità). Sapendo che la conta comincia da Qui e finisce a Qua,verificare che quest’ultimo è favorito e calcolarne la probabilità α di vittoria. Consapevoli di ciò Qui e Quo decidono(all’insaputa l’uno dell’altro) di tirare (rispettivamente) il 2 e il 3 in modo da aumentare la propria probabilità divincere che ora diventa (per entrambi) pari a β ; calcolarne il valore. In tal modo favoriscono ancor di più Qua chevede aumentare la propria probabilità dal valore (iniziale) α ad un nuovo valore γ ; calcolarne il valore. qqq

α =1132

β =38

γ =12

147


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 luglio 2009



1. Il peso X (espresso in grammi) di dieci sardine risulta essere rispettivamente 14, 25, 22, 20, 20, 16, 30, 23, 25, 25.Calcolare la media aritmetica (x) e la varianza (S2) del peso.srd

x = 22 S2 = 20

2. Nella griglia di figura vengono inserite a caso tre palline (al massimo una per casella).

l l l⇒

Calcolare la probabilità p che le tre palline si trovino allineate (su una riga, su una colonna o su una diagonale).

p =221

3. In un grande contenitore sono presenti componenti elettronici di tipo A e di tipo B in percentuali (rispettivamente)80% e 20%. Entrambi i tipi di componente hanno durata aleatoria esponenziale (X e Y rispettivamente e indipendentitra loro) con parametri λX = 20 e λY = 10. Determinare la densità di probabilità di T =‘durata di funzionamento diun componente estratto a caso’ e di Z = 0.8X + 0.2Y . lmp

fT (t) =

16e−20t + 2e−10t t > 00 t ≤ 0

fZ(z) =

50(e−25z − e−50z

)z > 0

0 z ≤ 0

4. Lo STOP di un incrocio stradale viene rispettato dal 20% degli autisti residenti e dal 90% degli autisti non residenti.È noto che lo stesso STOP è transitato per il 60% delle volte da autisti residenti (e quindi il 40% delle volte da autistinon residenti). Sapendo che tra le ultime due automobili soltanto una ha rispettato lo STOP, determinare codominio edistribuzione di X =‘numero di automobili (tra le ultime due) guidate da autisti residenti’.srd

CX = 0, 1, 2 pX =

352

,3752

,1252

148






1. Siano A,B, C tre eventi tali che A ⊂ (C ∩Bc). Stabilire se la assegnazione di probabilità P (A) = 0.7, P (C) = 0.2è coerente (cerchiare la risposta giusta) .krn

Coerente ? SÌ NO©2. Enzo e Franco giocano dei numeri sulla ruota del lotto di Torino. Enzo gioca i numeri •22 •59 •9 ;

Franco gioca i numeri •9 •20 . Calcolare la probabilità p che almeno uno di loro realizzi l’ambo.ltt

p =3259

340692

3. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =|x| −1 ≤ x ≤ 10 altrove.

Determinare la densità di probabilità di Y =1

X2.mdn

g(y) =

1y2

y ≥ 1

0 y < 1

4. Dall’urna mostrata in figura vengono estratte due palline con restituzione. Sapendo che è stata ottenuta una pallinabianca e una nera, determinare codominio e distribuzione di X =‘numero di A estratte’.srd

•A •B •B •B •B©A ©A ©B ©B ©B

CX = 0, 1, 2 pX =

1225

,1125

,225

149






Compito A

1. Un vettore aleatorio discreto ha la seguente distribuzione. Ricavare la retta di regressione di Y su X . rtc

X 0 1Y

0 16

14

2 13

14

rY X : y =43− 1

3x

2. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =

2− |x| 1 ≤ |x| ≤ 20 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione di X .rpp

F (x) =

0 x ≤ −22x + x2

2 + 2 −2 ≤ x < −112 −1 ≤ x < 12x− x2

2 − 1 1 ≤ x < 21 x ≥ 2

3. La durata del funzionamento (X , espresso in mesi) di un componente elettronico ha funzione di sopravvivvenza

S(x) =

1 x ≤ 0e−3x(1 + 3x) x > 0

Calcolare la probabilità (α) che si guasti entro il prossimo mese sapendo che ha già funzionato per 2 mesi.ctl

α = 1− 107

e−3

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =A

k!con k che appartiene all’insieme dei numeri naturali dispari

D = 1, 3, 5, . . .. Determinare A e IP(X).xpp

A =2e

e2 − 1IP(X) =

e2 + 1e2 − 1

150






Compito B

1. Un vettore aleatorio discreto ha la seguente distribuzione. Ricavare la retta di regressione di X su Y . rtd

X 0 2Y

0 13

29

1 13

19

rXY : x =45− 3

10y

2. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =|x| − 1 1 ≤ |x| ≤ 20 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione di X .rpq

F (x) =

0 x ≤ −2−x− x2

2 −2 ≤ x < −112 −1 ≤ x < 1−x + x2

2 + 1 1 ≤ x < 21 x ≥ 2

3. La durata del funzionamento (X , espresso in mesi) di un componente elettronico ha funzione di sopravvivvenza

S(x) =

1 x ≤ 0e−2x(1 + 2x) x > 0

Calcolare la probabilità (α) che si guasti entro i successivi due mesi sapendo che ha già funzionato per un mese.dtl

α = 1− 73e−4

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = Aqk con k che appartiene all’insieme dei numeri naturali pariP = 0, 2, 4, . . .. Determinare A e IP(X).gxp

A = 1− q2 IP(X) =2q2

1− q2

151


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 25 settembre 2009



1. Michele e Gabriele scommettono sull’esito della nazionale italiana ai prossimi campionati mondiali di calcio, rite-nendo pari al 20% la probabilità di vittoria. Sapendo che Michele dovrà dare a Gabriele 30 C in caso di sconfittadell’Italia, quale sarà la somma Q che Gabriele dovrà dare a Michele in caso di vittoria ? mds

Q = 120 C

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri m = 0 e σ = 2, calcolare α = P (|X| < 4|||X| > 2).nnk

α =Φ(2)− Φ(1)

1− Φ(1)

3. Nella misurazione del raggio (R, espresso in mm) di un disco si commette un errore avente distribuzione uniformecon valore medio nullo e scarto σR pari a 2 (mm). Qual è lo scarto σS relativo alla misurazione dell’area del disco ?dsq

σS = 4π

√5R2 + 4

5(mm2

)4. Nella trascrizione di un testo di 8788 caratteri, una dattilografa ha probabilità p di commettere errore su un singolo

carattere. Determinare il valore massimo per p affinché la probabilità che ci siano al massimo 676 errori sia maggioreo uguale a Φ(−2).cnc

pmax =13157

152


Esame Straordinario - 10 novembre 2009Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”



1. Dai dati dell’AVIS è noto che in Italia la suddivisione dei gruppi sanguigni è la seguente :

0 A B AB40% 36% 17% 7%

Si supponga inoltre che la corrispondenza tra donatori e riceventi sia quella semplificata mostrata in tabella (peresempio 0 può donare sangue a B, ma non viceversa). Nella prima riga sono riportati i donatori, nella prima colonnasono riportati i riceventi.

↓R D→ 0 A B AB0 XA X XB X XAB X X X X

Calcolare la probabilità p che un individuo Y scelto a caso possa donare sangue ad un altro individuo Z anch’egliscelto a caso. N.B. Si supponga un numero enorme di individui. avs

α =12012000

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : x − y + 1 = 0, rXY : y − 4x + 2 = 0.Determinare il coefficiente di correlazione, il valore medio di X e quello di Y . rgr

ρ =12

IP(X) = 1 IP(Y ) = 2

3. Nella griglia di figura vengono inserite a caso le nove lettere mostrate a sinistra (una per casella). Calcolare la proba-bilità p che su ogni riga e su ogni colonna ci siano tutte lettere diverse. tgr

AAABBBCCC⇒ p =1

140

4. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =

32x2 −1 ≤ x ≤ 1

0 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione di Y =1X

.ucs

G(y) =

− 1

2y3y ≤ −1

12

−1 < y < 1

1− 12y3

y ≥ 1

153





1. Di quattro numeri x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 sono noti la media aritmetica x = 4, la mediana m = 3 e la moda (unica)x∗ = 2. Determinare i quattro numeri.

x1 = 2 x2 = 2 x3 = 4 x4 = 8

2. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3), (4, 2). Determi-nare la funzione di ripartizione F (z) del numero aleatorio Z = logY X .

F (z) =

0 z < 025 0 ≤ z < 145 1 ≤ z < 21 z ≥ 2

3. Nel misurare il volume di una sfera (in cm3) si commette un errore avente (approssimativamente) distribuzionenormale con valore medio nullo e scarto standard pari a 2. Avendo ottenuto una misura pari a 20 cm3, determinare ladensità di probabilità di V =‘volume della sfera’ e di R =‘raggio della sfera’.

fV (v) = N20,2(v) fR(r) =√

2πr2 exp[−2(π

3r3 − 5

)2]

−∞ < r < +∞

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G1,12(x). Calcolare la previsione di Y = cos X .

IP(Y ) =144145

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Esame - 3 febbraio 2010Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”


Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegatiAttenzione ! ! !

Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto !

1. Dall’urna mostrata in figura vengono estratte una alla volta tutte le palline.k 66k68k 86Calcolare la probabilità α che esse vengano estratte in ordine crescente.

α =16

2. Un numero aleatorio discreto X positivo è tale che P (X > n + k) = P (X > n)P (X > k) ∀n, k ∈ IN.Sapendo che P (X ≥ 5) = 0.4096 calcolarne il valore medio.

IP(X) = 5

3. Un orologio che mostra solo le ore e i minuti presenta un ritardo aleatorio rispetto all’orario effettivo (osservabile suun orologio a lancette) avente distribuzione uniforme tra 60 e 180 secondi. Sapendo che alle ore 13.34.27 mostrava leore 13.36 , calcolare la probabilità p che alle ore 13.51.45 mostri le ore 13.53 .

p =710

4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità di probabilità

f(x, y) =

34|y − x| (x, y) ∈ T

0 altrove

dove T è il triangolo di vertici (0, 0); (0, 2); (2, 0). Determinare la densità marginale di X .

f1(x) =

38(5x2 + 4− 8x) 0 ≤ x < 1

38(8x− 4− 3x2) 1 ≤ x ≤ 2

0 altrove

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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 24 marzo 2010



Compito A

1. Tre eventi E,F, H formano i seguenti costituenti :

C1 = Ec ∧ F ∧H C2 = E ∧ F c ∧H C3 = E ∧ F ∧Hc C4 = Ec ∧ F c ∧H C5 = Ec ∧ F ∧Hc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (E) = 1/4, P (F ) = 1/3, P (Ec ∧ H) = 2/3 è coerente (cerchiare larisposta giusta) .

coerente ? SÌ© NO

2. La durata di funzionamento X (espresso in anni) di un componente elettronico ha funzione di rischio

h(x) =

0 x < 0x x ≥ 0

Sapendo che ha già funzionato per un anno, calcolare la probabilità p che si guasti entro i prossimi due anni.

p = 1− e−4

3. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che IP(X) = 3 e IP(X2)

= 10. Calcolare la probabilitàP (2 < X < 4).

P (2 < X < 4) = 2Φ(1)− 1


X 0 1 2

Y

0 0.2 0.3 0.1

1 0.2 0.1 0.1

Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .

cov(X, Y ) = −0.02 X e Y sono indipendenti ? SÌ NO©

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Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 24 marzo 2010



Compito B

1. In cinque partite di calcio sono state segnate (rispettivamente) 1, 1, 2, 5, 1 reti ; determinare la moda x∗, la medianam e la media aritmetica x dei suddetti dati.grt

x∗ = 1 m = 1 x = 2


rY X : y = 2 + 3xrXY : 4x = −4 + y

Determinare IP(X) e IP(Y ).

IP(X) = −2 IP(Y ) = −4

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G2,4(x). Calcolare la previsione di Y =X3

e2X.

IP(Y ) =481

4. Sulla griglia di figura vengono presi (senza ripetizione) tre punti a caso (sui punti di incrocio tra riga e colonna).Calcolare la probabilità p che il triangolo da essi formato abbia area nulla.

p =11140

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Esame - 28 aprile 2010Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”



Attenzione!!!Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!

Compito A

1. Per la partita di stasera tra Barcellona ed Inter un bookmaker ha stabilito le seguenti quote : 1.4 :1 sulla qualificazionedel Barcellona (ossia versando una somma α in caso di qualificazione del Barcellona si riceve 1.4α e si guadagna0.4α), 3.5 :1 sulla qualificazione dell’Inter. Stabilire se si tratta di quote coerenti (cerchiare la risposta giusta) . qxt

coerenti ? SÌ© NO

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X < 3) = Φ(1), e σ = 2m. Stabilire la densità diprobabilità di X .nrm

f(x) = N1,2(x)


rY X : y = 3− 2xrXY : x = 5− y/3

Determinare IP(X) e IP(Y ).rtg

IP(X) = 12 IP(Y ) = −21

4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di undado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio edistribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu

CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

158






Compito B

1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola PIPPO ? bkj

N = 20

2. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di sopravvivenza

S(x) =

e−3x x > 01 x ≤ 0

Calcolare la probabilità P (X < 3|X > 2).spv

P (X < 3|X > 2) = 1− e−3


f(x) =

x + 1 −1 < x ≤ 01− x 0 < x ≤ 10 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione.dst

F (x) =

0 x ≤ −11 + 2x + x2

2−1 < x ≤ 0

1 + 2x− x2

20 < x ≤ 1

1 x > 1


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

159






Compito C

1. Due eventi A e B incompatibili ed equiprobabili sono tali che P (Ac ∧ Bc) = 1/3. Calcolare la probabilità di A equella di B.hnx

P (A) =13

P (B) =13


F (x) =

0, x < 31/5, 3 ≤ x < 53/5, 5 ≤ x < 81, x ≥ 8

Determinare il codominio CX e la probabilità dell’evento (5 ≤ X < 8).rzn

CX = 3, 5, 8 P (5 ≤ X < 8) =25

3. Ad un esame sono presenti 100 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) avente valore medio paria 20 e scarto quadratico pari a 5. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che lasomma di tutti i voti sia maggiore di 2100.thc

α = 1− Φ(2)


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

160






Compito D

1. Un numero aleatorio ha distribuzione di Poisson con valore medio pari a 2. Calcolare P

(X ≥ 1

2

).psn

P

(X ≥ 1

2

)= 1− e−2

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione ipergeometrica con parametri N = 16, b = 12, n = 8. Determinare il valoreminimo (min) e massimo (max) di X e la sua varianza.jpg

min = 4 max = 8 var(X) =45


X 1 3 9

Y

3 0.2 0.1 0.1

9 0.3 0.2 0.1

Determinare codominio, distribuzione e previsione del numero aleatorio Z = logY X .lgh

CZ =

0,12, 1, 2

pZ = 0.5, 0.2, 0.2, 0.1 IP(Z) = 0.5


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

161






Compito E

1. Un numero aleatorio ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 3. Calcolare P (X > 6).xpn

P (X > 6) = e−2

2. Un numero aleatorio discreto X ha CX = 2, 4, 6 e pX =

512

,13,14

. Determinare la funzione di ripartizione.rpz

F (x) =

0 x < 2

512 2 ≤ x < 4

34 4 ≤ x < 6

1 x ≥ 6

3. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = sin kX . Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente dicorrelazione ρ vale 1. xrg

non esistono valori di k


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

162






Compito F

1. Un numero aleatorio continuo ha distribuzione uniforme, ed è tale che IP(X) = 1 e var(X) = 3.Calcolare P (X < 3).nfr

P (X < 3) =56

2. Un tizio estrae a caso e con restituzione una carta alla volta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere un asso.Calcolare la probabilità α che egli compia almeno 4 estrazioni.gmr

α =(

910

)3

= 0.729


f(x, y) =

kxy (x, y) ∈ T0 altrove.

dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Determinare k e IP(

1XY

). vtt

k = 24 IP(

1XY

)= 12


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

163






Compito G

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 8, p =14

. Calcolare IP(X2).bnm

IP(X2) =112


f(x) =

kx3(1− x)5 0 < x < 10 altrove.

Determinare k e calcolare IP(X).bht

k =9!

3!5!= 504 IP(X) =

25

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel triangolo T di vertici (0, 0), (1, 1), (2, 0). Determinare ledensità marginali di X e di Y . tkg

fX(x) =

x 0 ≤ x ≤ 12− x 1 < x ≤ 20 altrove

fY (y) =

2(1− y) 0 ≤ y ≤ 10 altrove


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

164






Compito H

1. Siano dati due numeri aleatori X e Y tali che 3X − 4Y = 5. Calcolare il coefficiente di correlazione ρXY .crh

ρXY = 1

2. Un numero aleatorio X ha densità k

x21 ≤ x ≤ 4

0 altrove.

Determinare k e calcolare IP(X2).xrt

k =43

IP(X2)

= 4

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme tra 1 e 5.Determinare la densità di probabilità di Y = X2.fxz

g(y) =

1

8√

y1 ≤ y ≤ 25

0 altrove


CS = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pS =1361, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

CX = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pX =118

223140

,341140

,2509840

,2131630

,204175544

,181074620

CY = 1, 2, 3, 4, 5, 6

pY =118

617140

,499140

,2531840

,1649630

,128475544

,96134620

165


Esame - 15 giugno 2010Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”




Compito A

1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che si verifi-

chino tutti è pari a164

calcolare la probabilità α che se ne verifichi almeno uno. bny

α =3764


f(x) =

2e−2(x−1) x ≥ 10 x < 1

Calcolare il valore medio di X . dtz

IP(X) =32

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità

f(x, y) =

kxy (x, y) ∈ T0 altrove

dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1). Determinare k e F1(x).trz

k = 8 F1(x) =

0 x < 0x4 0 ≤ x ≤ 11 x > 1

4. Su una sperduta strada di montagna si trova un lampione la cui lampada viene controllata ogni mese ; in caso diguasto essa viene sostituita (all’atto del controllo) con una nuova lampada. Sapendo che la durata di funzionamento

T (espresso in mesi) di una lampada nuova ha funzione di sopravvivenza S(t) =

1 t < 0e−t t ≥ 0

determinare codominio e distribuzione di X =‘numero di lampade sostituite in due controlli’.lmd

CX = 0, 1, 2 pX =e−2, 2e−1(1− e−1), (1− e−1)2

166






Compito B

1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che se ne

verifichi almeno uno è pari a1927

calcolare la probabilità α che si verifichino tutti. bnx

α =127

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =13

(23

)k

per k = 0, 1, 2, . . .. Calcolare il valore medio di X .

dtx

IP(X) = 2


f(x, y) =


dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1). Determinare k e F2(y).trw

k = 8 F2(y) =

0 y < 0y4 0 ≤ y ≤ 11 y > 1

4. Un dispositivo è composto da due componenti in serie tra loro indipendenti e aventi entrambi durata con distribu-zione esponenziale di valore medio (espresso in mesi) rispettivamente pari a 2 e 3. Sapendo che all’istante t = 6 ildispositivo è guasto, calcolare la probabilità α che il primo componente sia guasto. dps

α =1− e−3

1− e−5

167






Compito C

1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che non si

verifichi nessun evento è pari a127

calcolare la probabilità α che se ne verifichino al massimo due. bnz

α =1927

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =2k−1

(k − 1)!e−2 per k = 1, 2, 3, . . .. Calcolare il valore medio di

X . dty

IP(X) = 3


f(x, y) =


dove T è il triangolo di vertici (1, 0), (0, 1), (1, 1). Determinare k e F1(x).trx

k =245

F1(x) =

0 x < 0x3

5(8− 3x) 0 ≤ x ≤ 1

1 x > 1

4. Per illuminare una stanza Davide ha a disposizione due lampadine, entrambe di durata esponenziale con valore mediopari a 3 (misurato in mesi) ed indipendenti tra loro. Appena la prima lampadina si fulmina viene sostituita dallaseconda. Determinare la densità di probabilità g(t) di T =‘istante in cui cessa l’illuminazione nella stanza’. dvz

g(t) =

λ2te−λt t > 00 t ≤ 0

λ = 1/3

168






Compito D

1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che se ne

verifichino al massimo due è pari a3764

calcolare la probabilità α che non se ne verifichi nessuno. bnw

α =164


f(x) =

2N(x) x ≥ 00 x < 0

Calcolare il valore medio di X . dtw

IP(X) =√

2π


f(x, y) =


dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0). Determinare k e F2(y).try

k = 24 F2(y) =

0 y < 06y2 − 8y3 + 3y4 0 ≤ y ≤ 11 y > 1

4. Un dispositivo è composto da due componenti in parallelo tra loro indipendenti e aventi entrambi durata con distri-buzione esponenziale di valore medio (espresso in mesi) rispettivamente pari a 1 e 3. Sapendo che all’istante t = 3 ildispositivo è in funzione, calcolare la probabilità α che il primo componente sia guasto. dpp

α =e3 − 1

e + e3 − 1

169


Esame - 9 luglio 2010Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”




Compito A

1. Due eventi A e B formano i seguenti costituenti :

C1 = A ∧Bc C2 = Ac ∧B C3 = Ac ∧Bc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 3/4, P (B) = 1/3 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .kta

coerente ? SÌ NO©2. Danilo ha giocato i numeri 11 e 75 sulla ruota del lotto di Genova. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che non

ha realizzato l’ambo. Calcolare la probabilità α che sia uscito il numero 11.jta

α =594

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [1, 9]. Determinare la funzione di riparti-zione di Y = 6− |X − 3|.mda

G(y) =

0 y ≤ 0

y

80 < y ≤ 4

y

4− 1

24 < y < 6

1 y ≥ 6

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta Br,s(x). Sapendo che IP(X) =38

e IP(X3) =112

determinare i valoridi r e s.bta

r = 3 s = 5

170






Compito B


C1 = A ∧B C2 = Ac ∧B C3 = Ac ∧Bc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 1/3, P (B) = 1/4 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ktb

coerente ? SÌ NO©2. Simone ha giocato i numeri 13 e 81 sulla ruota del lotto di Torino. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che è

uscito il 13. Calcolare la probabilità β che non abbia realizzato l’ambo.jtb

β =8589

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [2, 10]. Determinare la funzione di riparti-zione di Y = 6− |X − 4|.mdb

G(y) =

0 y ≤ 0

y

80 < y ≤ 4

y

4− 1

24 < y < 6

1 y ≥ 6

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma Gc,λ(x). Sapendo che IP(X) =25

e IP(X3) =24125

determinare ivalori di c e λ.gmb

c = 2 λ = 5

171






Compito C


C1 = A ∧Bc C2 = Ac ∧B C3 = Ac ∧Bc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 2/5, P (B) = 1/4 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ktc

coerente ? SÌ© NO

2. Mauro ha giocato i numeri 21 e 55 sulla ruota del lotto di Milano. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che èuscito almeno uno dei due numeri giocati. Calcolare la probabilità γ che abbia realizzato l’ambo.jtc

γ =85174

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [3, 11]. Determinare la funzione di riparti-zione di Y = 6− |X − 5|.mdc

G(y) =

0 y ≤ 0

y

80 < y ≤ 4

y

4− 1

24 < y < 6

1 y ≥ 6

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta Br,s(x). Sapendo che IP(X) =25

e IP(X3) =435

determinare i valoridi r e s.btc

r = 2 s = 3

172






Compito D


C1 = A ∧B C2 = Ac ∧B C3 = Ac ∧Bc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 1/5, P (B) = 1/3 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ktd

coerente ? SÌ© NO

2. Paolo ha giocato i numeri 35 e 67 sulla ruota del lotto di Palermo. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che nonha realizzato l’ambo. Calcolare la probabilità δ che non sia uscito nessuno dei due numeri giocati.jtd

δ =4247

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [5, 13]. Determinare la funzione di riparti-zione di Y = 6− |X − 7|.mdd

G(y) =

0 y ≤ 0

y

80 < y ≤ 4

y

4− 1

24 < y < 6

1 y ≥ 6

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma Gc,λ(x). Sapendo che IP(X) =34

e IP(X3) =1516

determinare ivalori di c e λ.gmd

c = 3 λ = 4

173


Esame - 22 settembre 2010Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”




1. Due eventi A e B sono tali che Bc ⊆ Ac. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (Ac ∧ B) =12

, P (B) =23

è

coerente (cerchiare la risposta giusta) e calcolare la varianza di X = |B| − |Ac|.

coerenti ? SÌ© NO var(X) =1736

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che σX = 1, σY = 3, ρ = 1/3. Determinare il valore minimo (min) di var(Y +tX)e per quali valori di t si ha var(Y + tX) = 9. wtr

min = 8 t = 0, −2

3. Siano dati due numeri aleatori X (avente distribuzione normale standard) e Y =

0 X ≤ 0X X > 0

.

Calcolare le probabilità α = P (Y = 0), β = P (Y < 0) e determinare la funzione di ripartizione di Y .

α =12

β = 0 G(y) =

0 y < 0

Φ(y) y ≥ 0

4. Per illuminare un locale si usa una lampadina la cui durata ha distribuzione esponenziale con parametro λ.Determinare la funzione di ripartizione dell’istante in cui cessa l’illuminazione nei due casi :a) sapendo che all’istante t = 10 la lampadina è spenta (X) ;b) sapendo che all’istante t = 10, qualora la lampadina sia ancora accesa, viene spenta manualmente (Y ).

FX(t) =

0 t ≤ 01− e−λt

1− e−10λ0 < t < 10

1 t ≥ 10.

FY (t) =

0 t ≤ 01− e−λt 0 < t < 101 t ≥ 10.

174


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 13 novembre 2010



Compito A

1. Dieci studenti hanno preso i seguenti voti all’interrogazione di geografia : 3 5 7 5 7 3 6 5 4 5 .Determinare media x, moda x∗ e mediana m.

x = 5 x∗ = 5 m = 5

2. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = 1, a, 7, distribuzione pX =

15,13, b

e funzione di riparti-

zione

F (x) =

0 x < c

15

c ≤ x < 4

d 4 ≤ x < 7

1 x ≥ 7

Determinare i valori di a, b, c e d.

a = 4 b =715

c = 1 d =815

3. Due dadi (uno blu e uno rosso) vengono lanciati insieme. È noto che al dado blu le facce 5 e 6 sono state entrambesostituite con il 4 . Sapendo che il dado rosso mostra una faccia minore di 5, calcolare la probabilità α che il dadoblu mostri una faccia minore di quello rosso.

α =14

4. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con valore medio m e scarto quadratico medio σ. Determinare ladensità di probabilità di Y = eX . Calcolare inoltre il valore medio e la varianza di Y .

g(y) =

1

σy√

2πexp

[−1

2

(ln y −m

σ

)2]

y > 0

0 y ≤ 0

IP (Y ) = exp(

m +σ2

2

)

var(Y ) = e2m+σ2(eσ2 − 1

)

175



Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 13 novembre 2010



Compito B

1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola COCCODÈ ?

N = 420

2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = kX + 7. Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente dicorrelazione ρ vale 1.

k > 0

3. Ivano ha davanti a sé un’urna U con due palline bianche e una nera. Volendo indovinare cosa succederà in tre estrazionicon restituzione, predice che escano prima due palline bianche e poi una nera : m m l.Detto X =‘numero di volte in cui Ivano indovina’, determinarne codominio e distribuzione.

CX = 0, 1, 2, 3 pX =

227

,927

,1227

,427


S(x) =

e−x2x > 0

1 x ≤ 0.

Determinare la funzione di rischio h(x).

h(x) =

2x x > 0

0 x ≤ 0.

176





1. Due eventi A e B sono tali che A ⊆ B. Determinare il valore di p = P (Ac|Bc) e stabilire se l’assegnazione di

probabilità p =12

è coerente oppure no (cerchiare la risposta giusta) .

p = 1 coerente ? SÌ NO©2. Sull’isola di Greenpeace, dove vive la tribù dei WWF (Wild Without Future), l’unica sorgente presente risulta di

difficile accesso. Per tale motivo la distribuzione dell’acqua è stata affidata a Mafia, una strega che vive nei pressidella stessa. Stanco di dover pagare la strega, Mani Tese (il capo del villaggio) indice un referendum per far deciderealla sua tribù se togliere la gestione dell’acqua a Mafia (votando SÌ) oppure no (votando NO).Acqua Tagliata (il figlio di Mani Tese), essendo indeciso, intende interrogare il dio dell’acqua adottando il seguentecriterio (a) : con una canna da pesca va allo stagno nei pressi della sorgente, se il primo pesce pescato è blu non va avotare, se invece è rosso pesca un secondo pesce, se è rosso vota SÌ altrimenti vota NO.La strega Mafia (che conosce il pensiero di tutti) sa che manca solo il voto di Acqua Tagliata a raggiungere il quorum,e che in ogni caso il numero dei SÌ sarà maggiore del numero dei NO. Per tale motivo fa di tutto per non mandarlo alvoto e un attimo prima che Acqua Tagliata si accinga a pescare gli suggerisce il seguente criterio alternativo (b) : sepesca due pesci blu li rigetta nello stagno e ripete l’esperimento, se invece almeno uno è rosso lo getta nello stagno e,se quello che rimane è rosso va a votare SÌ, altrimenti non va a votare.Calcolare la probabilità che venga tolta la gestione a Mafia nel caso a (α) e nel caso b (β).(Si supponga che ad ogni tentativo la probabilità di pescare un pesce blu o un pesce rosso siano entrambe pari a 1/2.)

α =12

β =13

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che IP (X) = 2, e IP(X2)

= 5. Calcolare la probabilitàP (X2 < X).pnr

P (X2 < X) = Φ(2)− Φ(1)

4. Su una circonferenza vengono scelti (indipendentemente tra loro) tre punti a caso A, B e C. Determinare la probabilitàγ che il centro O si trovi all’interno del triangolo da essi formato.

&%'$p

O

A

B

C

ppp γ =

14

177


Esame - 3 marzo 2011Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”



1. Siano dati due eventi A e B equiprobabili P (A) = P (B) = p e stocasticamente indipendenti, e i due numeri aleatoriX = |A ∨B| e Y = |A ∧B|. Calcolare α = cov(X, Y ).

α = [p(1− p)]2

2. Walter sceglie a caso un’urna tra quelle mostrate in figura, e da essa estrae due palline in blocco ottenendo il prodottopari a 6. Qual è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?

U1→¬

® ®

¬

®←U2

p =12

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità

f(x, y) =

k√

xy + 1 (x, y) ∈ S0 altrove

dove S è la regione (1 ≤ x ≤ 4) ∧(

0 ≤ y ≤ 3x

). Determinare il valore di k e la varianza di X .

k =3

28 ln 2var(X) =

15 ln 2− 94(ln 2)2

4. La banchina di attesa di una stazione ferroviaria è lunga 200 metri. Su di essa si trovano in attesa 150 viaggiatoriche si dispongono indipendentemente l’uno dall’altro e con distanza (contata a partire dall’inizio della banchina)avente distribuzione normale con valor medio pari a 100 metri e scarto quadratico pari a 40 metri. Il treno in arrivoè composto di 10 carrozze di lunghezza pari a 20 metri ciascuna, e ognuna con una sola porta disposta al centro.Supposto che ogni viaggiatore salga alla porta più vicina, calcolare la probabilità β che sulla prima e ultima carrozzanon salga nemmeno una persona.

β = [2Φ(2)− 1]150

178





Compito A

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = α

(14

)k−1

per k = 1, 2, . . .. Determinare α e il valore medio

di X .

α =34

IP(X) =43


f(x) =|x− 2| 1 ≤ x ≤ 30 altrove.


F (x) =

0 x < 112(4x− x2 − 3

)1 ≤ x ≤ 2

12

+12

(x− 2)2 2 < x ≤ 3

1 x > 3


f(x, y) =

316

(x− y) (x, y) ∈ T

0 altrove

dove T è il triangolo di vertici (1, 1), (3, 3), (5, 1). Determinare le due densità marginali.

f1(x) =

332 (x− 1)2 1 ≤ x ≤ 3

332(x− 5)(7− 3x) 3 < x ≤ 5

0 altrove

f2(y) =

38 (y − 3)2 1 ≤ y ≤ 3

0 altrove

4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione 800 palline. Sapendo che sono state ottenute un egualnumero di palline bianche e nere, calcolare la probabilità p che la somma ottenuta sia minore di 2820.(Si applichi il teorema centrale)

¬ ®

¹ º º »p = Φ(1)

179





Compito B

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = β3k

k!per k = 0, 1, 2, 3, . . .. Determinare β e il valore medio di

X .

β = e−3 IP(X) = 3


f(x) =|x− 3| 2 ≤ x ≤ 40 altrove.


F (x) =

0 x < 212(6x− x2 − 8

)2 ≤ x ≤ 3

12

+12

(x− 3)2 3 < x ≤ 4

1 x > 4


f(x, y) =

316

(y − x) (x, y) ∈ T

0 altrove


f1(x) =

38 (x− 3)2 1 ≤ x ≤ 30 altrove

f2(y) =

332(y − 1)2 1 ≤ y ≤ 3332(y − 5)(7− 3y) 3 < y ≤ 50 altrove


¬ ®

¹ º º »p = Φ(1)

180





Compito C


f(x) =

γe−3x x ≥ 00 x < 0

Determinare γ e il valore medio di X .

γ = 3 IP(X) =13


f(x) =|x− 4| 3 ≤ x ≤ 50 altrove.


F (x) =

0 x < 312(8x− x2 − 15

)3 ≤ x ≤ 4

12

+12

(x− 4)2 4 < x ≤ 5

1 x > 5


f(x, y) =

316

(x− y) (x, y) ∈ T

0 altrove


f1(x) =

38 (x− 3)2 3 ≤ x ≤ 50 altrove

f2(y) =

332(y − 1)(11− 3y) 1 ≤ y ≤ 3332(y − 5)2 3 < y ≤ 50 altrove


¬ ®

¹ º º »p = Φ(1)

181





Compito D

1. Un numero aleatorio X ha densità f(x) = δ exp

[−1

2

(x− 3

2

)2]

per x ∈ IR. Determinare δ e il valore medio di X .

δ =1

2√

2πIP(X) = 3


f(x) =|x− 5| 4 ≤ x ≤ 60 altrove.


F (x) =

0 x < 412(10x− x2 − 24

)4 ≤ x ≤ 5

12

+12

(x− 5)2 5 < x ≤ 6

1 x > 6


f(x, y) =

316

(y − x) (x, y) ∈ T

0 altrove


f1(x) =

332(x− 1)(11− 3x) 1 ≤ x ≤ 3332(x− 5)2 3 < x ≤ 50 altrove

f2(y) =

38(y − 3)2 3 ≤ y ≤ 50 altrove


¬ ®

¹ º º »p = Φ(1)

182

Università degli Studi “La Sapienza” di RomaFacoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011




Compito A

1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola CHICCHIRICCHI ?

N = 360360

2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = ln(kX). Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente dicorrelazione ρ vale 1. hrc

non esiste nessun valore

3. Il tempo di vita di un componente elettronico ha distribuzione esponenziale con valore medio (espresso in anni) paria 5. Sapendo che ha già funzionato per 3 anni determinare mediamente quanti altri anni (M) funzionerà.

M = 5

4. Dall’urna mostrata in figura vengono estratte due palline con restituzione. Determinare la distribuzione congiunta delvettore (X, Y ) dove X =‘numero di H estratte’ e Y =‘numero di palline nere estratte’ .

•H •Z •Z •Z •Z©H ©H ©Z ©Z ©Z

X 0 1 2Y

0 9/100 12/100 4/100

1 24/100 22/100 4/100

2 16/100 8/100 1/100

183


Esame - 14 giugno 2011Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



Compito B

1. Determinare media x, moda x∗ e mediana m della seguente sequenza di valori : 1 4 7 2 4 0 2 4 .

x = 3 x∗ = 4 m = 3

2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = kX + π. Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente dicorrelazione ρ vale −1.

k < 0


f(x, y) =

k|xy| (x, y) ∈ P

0 altrove

dove P = (−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (0 ≤ y ≤ 1− x2). Determinare k e la densità marginale f2(y).

k = 6 f2(y) =

6y(1− y) 0 ≤ y ≤ 10 altrove

4. Ad un referendum popolare hanno diritto di voto 50 milioni di cittadini, ognuno dei quali ha probabilità 50% diandare a votare. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità α che l’affluenza finale al voto sia compresatra il 49,99% e il 50,01%.

α = 2Φ(√

2)− 1

184


Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 luglio 2011Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)



Compito A

1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilitàp = 1/3 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e Cin modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α chedopo lo scambio entrambi i dispositivi S2 e P2 siano funzionanti. (N.B. i componenti A, B, C e D sono indipendentitra loro.) psA

A B

C

D

S1

P1

figura 1

α =120

A C

B

D

S2

P2

figura 2

2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f(x) =

105x2(1− x)4 0 < x < 1

0 altrove, determinare il suo valore

medio.btc

IP (X) =38

3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 0), (1, 0), (0, 1). Determinare il punto di interse-zione P tra le due rette di regressione.dgA

P =(

13,13

)

4. Da un’urna contenente dieci palline numerate da ¬ a É vengono fatte sette estrazioni con restituzione. Calcolare laprobabilità p che il numero più alto ottenuto sia ¯.uzx

p =47 − 37

107=

1419710000000

185





Compito B

1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilitàp = 1/4 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e Cin modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α chedopo lo scambio entrambi i dispositivi S2 e P2 siano non funzionanti. (N.B. i componenti A, B, C e D sono indipen-denti tra loro.) psB

A B

C

D

S1

P1

figura 1

α =935

A C

B

D

S2

P2

figura 2


1252

x2e−5x x > 0

0 x ≤ 0

, determinare il suo valore me-

dio.gmx

IP (X) =35

3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 0), (1, 0), (1, 1). Determinare il punto di interse-zione P tra le due rette di regressione.dgB

P =(

23,13

)

4. Da un sacchetto contenente i numeri della tombola (da 1 a 90) vengono estratti in blocco trenta numeri e inseriti(senza essere guardati) in un’urna U. Successivamente da U vengono compiute successive estrazioni con restituzione.Dopo quante estrazioni (N ) in cui non si ottiene mai il 90 si può affermare che la probabilità che il 90 non si trovi inU sia maggiore del 90% ?snr

N = 45

186





Compito C

1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilitàp = 1/5 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e Cin modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α chedopo lo scambio la situazione resti invariata (ossia S2 non funzionante e P2 funzionante. (N.B. i componenti A, B, Ce D sono indipendenti tra loro.) psC

A B

C

D

S1

P1

figura 1

α =1118

A C

B

D

S2

P2

figura 2


4e−4x x > 0

0 x ≤ 0, determinare la varianza.exy

var(X) =116

3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 1), (1, 0), (1, 1). Determinare il punto di interse-zione P tra le due rette di regressione.dgC

P =(

23,23

)

4. Da un sacchetto contenente i numeri della tombola (da 1 a 90) vengono estratti in blocco sessanta numeri e inseriti(senza essere guardati) in un’urna U. Successivamente da U vengono compiute successive estrazioni con restituzione.Dopo quante estrazioni (N ) in cui non si ottiene mai il 50 si può affermare che la probabilità che il 50 non si trovi inU sia maggiore del 60% ?snz

N = 66

187





Compito D

1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilitàp = 2/3 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e Cin modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α chedopo lo scambio si ottenga una situazione rovesciata, e cioè S2 sia funzionante e P2 invece no. (N.B. i componenti A,B, C e D sono indipendenti tra loro.) psD

A B

C

D

S1

P1

figura 1

α =110

A C

B

D

S2

P2

figura 2

2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f(x) =1

5√

2πexp

[−1

2

(x− 3

5

)2]

per −∞ < x < +∞,

determinare la sua varianza.nsx

var(X) = 25

3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 0), (0, 1), (1, 1). Determinare il punto di interse-zione P tra le due rette di regressione.dgD

P =(

13,23

)

4. Da un’urna contenente otto palline numerate da ¬ a Ç vengono fatte cinque estrazioni con restituzione. Calcolare laprobabilità p che il numero più alto ottenuto sia ±.uzy

p =65 − 55

85=

465132768

188


Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina)Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 luglio 2011



1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∨B = Ω . Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) =38, P (B) =

14

ècoerente (cerchiare la risposta giusta) .

coerente SÌ NO©2. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX =

√3, ln 10, e3

e pX =

413

,713

,213

. Determinare la

funzione di ripartizione.xzp

F (x) =

0 x <√

3

413

√3 ≤ x < ln 10

1113 ln 10 ≤ x < e3

1 x ≥ e3


f(x, y) =

k (x, y) ∈ T

0 altrove

dove T è il triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0), (0,−1). Ricavare k e determinare le due densità marginali.twr

k = 1 f1(x) =

1 + x −1 ≤ x ≤ 01− x 0 < x ≤ 10 altrove

f2(y) =

2y + 2 −1 ≤ y ≤ 0

0 altrove

4. Un numero aleatorio X ha funzione di rischio

h(x) =

x√

x x > 00 x ≤ 0.

Calcolare la probabilità P (X > 4|X > 1).yrt

P (X > 4|X > 1) = e−625

189





Compito A

1. Tre eventi A, B e C formano i seguenti costituenti :

C1 = A ∧B ∧ C C2 = Ac ∧B ∧ C C3 = Ac ∧Bc ∧ C C4 = Ac ∧Bc ∧ Cc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 0.7, P (C) = 0.3 è coerente o no (cerchiare la risposta giusta) .ktr

coerente ? SÌ NO©2. Un filo di lenza del peso di 1 kg ha una lunghezza aleatoria avente scarto quadratico medio pari a 3 (metri). Determi-

nare lo scarto quadratico medio (σ) di un filo del peso di 2 kg.(Si suppongano indipendenti le lunghezze relative a quantità diverse.) lnz

σ = 3√

2

3. Due numeri aleatori X e Y hanno entrambi previsione e varianza pari a 1. Sapendo che il coefficiente di correlazione

è pari a12

, determinare la previsione del loro prodotto.kjh

IP (XY ) =32

4. Tizio e Caio sono i due addetti alla manutenzione dei sei computer presenti nell’aula di informatica, ognuno deiquali ha probabilità p = 55% di essere guasto. Un giorno entra prima Tizio e controlla solo quattro PC scelti acaso ; trovandone guasti tre ne aggiusta solo due. Subito dopo entra Caio che, indipendentemente da Tizio, controllasolo due PC scelti a caso ; trovandone guasto uno si allontana velocemente senza aggiustarlo. Determinare il numeromedio (M ) di PC guasti dopo che è uscito Caio. tcs

M =209

190





Compito B

1. Tre eventi A, B e C formano i seguenti costituenti :

C1 = A ∧Bc ∧ Cc C2 = Ac ∧B ∧ Cc C3 = Ac ∧Bc ∧ C C4 = Ac ∧Bc ∧ Cc

Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 0.5, P (B) = 0.6 è coerente o no (cerchiare la risposta giusta) .kts

coerente ? SÌ NO©2. Un filo di lenza del peso di 2 kg ha una lunghezza aleatoria avente scarto quadratico medio pari a 5 (metri). Determi-

nare lo scarto quadratico medio (σ) di un filo del peso di 4 kg.(Si suppongano indipendenti le lunghezze relative a quantità diverse.) lnw

σ = 5√

2

3. Due numeri aleatori X e Y hanno entrambi previsione e varianza pari a 2. Sapendo che la previsione del loro prodottoè pari a 3, calcolare il coefficiente di correlazione.kjt

ρ = −12

4. Tizio e Caio sono i due addetti alla manutenzione dei sei computer presenti nell’aula di informatica, ognuno dei qualiha probabilità p = 70% di essere guasto. Un giorno entra prima Tizio e controlla solo quattro PC scelti a caso ;trovandone guasti due ne aggiusta solo uno. Subito dopo entra Caio che, indipendentemente da Tizio, controlla solotre PC scelti a caso ; trovandone due guasti si allontana velocemente senza aggiustarli. Determinare il numero medio(M ) di PC guasti dopo che è uscito Caio. tcr

M =7929

191


Esame - 19 novembre 2011Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”



1. Siano dati tre eventi A, B e C tali che A ⊆ B ⊆ C, e con P (A) =16

, P (B) =13

, P (C) =12

. Determinare la

previsione e la varianza di X = |A|+ |B|+ |C|.etx

IP (X) = 1 var(X) =43


f(x) =

k − x2 −1 ≤ x ≤ 1

0 altrove,

determinare l’insieme S dei valori ammissibili per k.fpx

S = ∅

3. In un vettore aleatorio le due componenti X e Y hanno valore medio pari a 2 e varianza pari a 3. Determinare il valoreminimo (min) e il valore massimo (max) che può assumere la previsione del loro prodotto.mmx

min = 1 max = 7

4. Pierino si presenta ripetutamente ad un esame fino a superarlo. La prima volta ha probabilità12

di essere promosso, la

seconda ha probabilità23

, e così via la probabilità aumenta di volta in volta (in virtù di una maggiore preparazione),

in modo che la k-esima volta la probabilità risulta essere pari ak

k + 1con k = 1, 2, 3, . . ..

Determinare quanti tentativi dovrà fare mediamente (m) Pierino per superare l’esame.sxk

m = e− 1

192


Esame - 30 gennaio 2012Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”



1. Un banco organizza delle scommesse sulle partite di calcio con le seguenti quote :

Milan-Juventus1 → 2.4 : 1 X → 3 : 1 2 → 4 : 1

Siena-Napoli1 → 3 : 1 X → 6 : 1 2 → 2 : 1

Qual è la giusta quota da assegnare all’evento H =“tra le due partite si verifica almeno un pareggio” ?bcn

q = 2.25

2. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme tra 0 e 1. Calcolare il valore medio di e−X2.rfr

IP(e−X2

)=√

π

[Φ(√

2)− 1

2

]


X 0 1 2Y

0 014

0

114

14

14

Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .tbx

cov(X, Y ) = 0 X e Y sono indipendenti ? SÌ NO©4. Ciccio vuole misurare il suo peso con una bilancia affetta da un errore che si distribuisce (approssimativamente)

secondo la funzione f(xi|θ) = e−2|xi−θ| −∞ < xi < +∞. Sapendo che la conoscenza iniziale del suo peso (θ)

è rappresentata dalla distribuzione β(θ) =

110

85 < θ < 95

0 altrovee che è stato letto il peso di 90 kg, determinare la

funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.pxc

α(x|θ) = e−2|90−θ| β(θ|x) =

e−2|90−θ|

1− e−1085 < θ < 95

0 altrove .

193





1. Tre eventi A, B e C stocasticamente indipendenti ed equiprobabili sono tali che P (A ∨ B ∨ C) =91216

; calcolare

P (A ∨B).

P (A ∨B) =1136


F (x) =

0, x < 11/2, 1 ≤ x < 42/3, 4 ≤ x < 71, x ≥ 7

Determinare il codominio CX e la probabilità dell’evento (4 ≤ X < 7).

CX = 1, 4, 7 P (4 ≤ X < 7) =16

3. Un numero aleatorio continuo X avente distribuzione uniforme ha varianza pari a274

ed è tale che P (X ≤ 4) =13

.Determinare il valore medio di X .

IP (X) = 5.5

4. Una ruota composta da una parte colorata (di ampiezza α) e da una parte bianca si trova inizialmente nella posizionemostrata in figura. Ad un certo istante essa riceve una spinta che la fa ruotare (in senso orario) di un angolo (aleatorio)avente distribuzione esponenziale con valore medio pari ad un giro. Determinare l’ampiezza α (espressa in frazionedi giro) affinché la parte colorata e quella bianca abbiano la stessa probabilità di arrestarsi in corrispondenza dellafreccia (⇐). ~

&%'$

&%'$

@@ pO

α

>

>

⇐

+

α = ln(

2e

e + 1

)' 0.379885493

194


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 aprile 2012



Compito A

1. Determinare media x, moda x∗ e mediana m della seguente sequenza di valori : 1 5 9 3 5 2 2 5 3 5 .

x = 4 x∗ = 5 m = 4

2. Un’urna contiene due palline bianche e due nere ; da essa si estraggono successivamente e con restituzione due pallinein blocco. Determinare mediamente quante estrazioni doppie sono necessarie (m) per avere una pallina bianca e unanera, e la probabilità α di compiere almeno 5 estrazioni affinché ciò avvenga.

m =32

α =181


f(x) =

11!7!3!

x7(1− x)3 0 < x < 1

0 altrove

determinare la previsione di X3(1−X)5.

IP[X3(1−X)5

]=

11!10!8!7!3!19!

=20

12597

4. In un concorso la prova è strutturata con n quesiti con 4 risposte multiple (delle quali solo una è giusta). Determinareil valore minimo di n (min) affinché la probabilità che un candidato impreparato che risponde a caso sia promosso(ossia risponda ad almeno la metà dei quesiti) sia minore del 5 % (si applichi il teorema centrale e si ricordi che0.95 ' Φ(1.645)).

min = 9

195


Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 aprile 2012



Compito B


x = 6 x∗ = 5 m = 6

2. Un’urna contiene tre palline bianche e tre nere ; si compiono quattro estrazioni doppie (due palline in blocco) conrestituzione. Determinare mediamente quante estrazioni doppie (m) presentano una pallina bianca e una nera, e laprobabilità β che almeno una volta si verifichi ciò.

m =125

β =609625


f(x) =

36

5!x5e−3x x > 0

0 x ≤ 0

determinare la previsione di X7e−5X .

IP[X7e−5X

]=

36

5!12!813

4. In un concorso la prova è strutturata con 7 quesiti con k risposte multiple (delle quali solo una è giusta). Determinareil valore minimo di k (min) affinché la probabilità che un candidato impreparato che risponde a caso sia promosso(ossia risponda esattamente ad almeno 4 quesiti) sia minore del 2.275 % (si applichi il teorema centrale e si ricordiche 0.97725 ' Φ(2)).

min = 5

196


Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina)Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 aprile 2012



Compito C

1. Quattro eventi A, B, C e D sono tali che D ⊆ (A ∩ B) e (A ∪ B) ⊆ C. Stabilire se le assegnazioni di probabilitàP (Ac ∪Bc ∪D) = 0.3 e P (Cc ∪D) = 0.5 sono coerenti oppure no (cerchiare la risposta giusta) . cht

coerenti ? SÌ NO©2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che P (X = 10) = P (X = 7). Calcolare il valore

medio.phs

IP(X) = 2 3√

90

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel triangolo T di vertici (−3, 1), (−3, 5), (−1, 5). Determi-nare le densità marginali di X e di Y . thx

fX(x) =

−x + 1

2−3 < x < −1

0 altrovefY (y) =

y − 18

1 < y < 5

0 altrove


S(x) =

e−√

x x > 01 x ≤ 0.

Determinare la funzione di rischio h(x).rhx

h(x) =

1

2√

xx > 0

0 x ≤ 0.

197





Compito A

1. Due eventi equiprobabili A e B sono tali che Ac ∧ Bc = ∅. Calcolare la previsione di X =|A| − |B|

|A|+ |A ∧B|+ |B|.

idv

IP (X) = 0

2. Un numero aleatorio X ha densità f(x) =1√

18πe(x−53 )2

per −∞ < x < +∞. Determinare il valore medio e la

varianza di X .nmt

IP (X) = 5 var(X) = 9


f(x, y) =

6e−2x−3y x > 0, y > 00 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione di X .vtt

F1(x) =

1− e−2x x > 00 x ≤ 0

4. Un dado rosso e uno blu vengono lanciati sul tavolo. Dopo aver scartato il dado che mostra il numero più piccolo,viene lanciato un dado verde, e in seguito viene scartato quello con il numero più grande (in entrambi i casi a parità dinumero mostrato viene scartato, se presente, quello rosso). Calcolare la probabilità α che sul tavolo rimanga il dadorosso, e determinare in tal caso codominio e distribuzione del numero mostrato.dda

α =554

C = 2, 3, 4, 5 p =

15,

310

,310

,15

198





Compito B

1. Due eventi A e B equiprobabili (P (A) = P (B) = 1/2) sono tali che Ac ∧ Bc = ∅. Calcolare la previsione di

Y =|A|+ |B|

|A| − |A ∧B|+ |B|. idw

IP (Y ) = 1

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =8

32kper k = 1, 2, . . .. Determinare il valore medio e la

probabilità P

(X >

52

).ghm

IP (X) =98

P

(X >

52

)=

181


f(x, y) =

20e−4x−5y x > 0, y > 00 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione di Y .wtt

F2(y) =

1− e−5y y > 00 y ≤ 0

4. Un dado giallo e uno viola vengono lanciati sul tavolo. Dopo aver scartato il dado che mostra il numero più grande,viene lanciato un dado bianco, e in seguito viene scartato quello con il numero più piccolo (in entrambi i casi a paritàdi numero mostrato viene scartato, se presente, quello giallo). Calcolare la probabilità α che sul tavolo rimanga ildado giallo, e determinare in tal caso codominio e distribuzione del numero mostrato.ddb

α =554

C = 2, 3, 4, 5 p =

15,

310

,310

,15

199


Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina)Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 13 giugno 2012



Compito C

1. Siano E ed H due eventi tali che P (E) = 3/4 e P (E ∧H) = 5/8. Determinare i valori di probabilità coerenti p perP (H) e individuare tra essi eventuali valori (p∗) che rendano E ed H stocasticamente indipendenti.dve

p ∈[58,78

]p∗ =

56

2. Da un mazzo di carte italiane vengono estratte tre carte in blocco. Sapendo che una di esse è di bastoni, calcolare laprobabilità α che ci sia esattamente un asso. ctt

α =36145


f(x) =

x 0 ≤ x ≤ 12− x 1 < x ≤ 20 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione.zrt

F (x) =

0 x < 0x2

20 ≤ x ≤ 1

2x− x2

2− 1 1 < x ≤ 2

1 x > 2

4. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) ha la distribuzione mostrata in tabella. Ricavare la retta di regressione di Y suX . dwa

X 0 1Y

0 235

17

1 835

47

rY X : y =45

200





Compito A

1. Data la parola VITERBO, quante parole (N1) è possibile formare ? Quante parole (N2) è possibile formare sapendoche le vocali possono occupare solo le posizioni di indice pari ?pxa

N1 = 5040 N2 = 144

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che P (X > 3) = Φ(2), e P (X < 9) = Φ(1). Determi-nare il valore medio e la varianza di X . dxa

m = 7 var(X) = 4

3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + bX2. Determinare per quali valori di a e b il coefficiente dicorrelazione ρ vale 1. kra

a > 0 b = 0

4. Per raffigurare ognuna delle dieci cifre, un display utilizza sette led (indipendenti tra loro) come mostrato in figura 1.

figura 1 ⇒¬

®¯° ±

²Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) conprobabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostrail carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessaprobabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 3.dya

figura 2 α =p2

p + 2

201





Compito B

1. Data la parola PERUGIA, quante parole (N1) è possibile formare ? Quante parole (N2) è possibile formare sapendoche le vocali possono occupare solo le posizioni di indice dispari ?pxb

N1 = 5040 N2 = 144

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione esponenziale è tale che IP(e−2X

)=

35

. Determinare la varianza di X .dxb

var(X) =19

3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + b√

X . Determinare per quali valori di a e b il coefficiente dicorrelazione ρ vale 1. krb

a > 0 b = 0


figura 1 ⇒¬

®¯° ±

²Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) conprobabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostrail carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessaprobabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 5.dyb

figura 2 α =pq2

p2 + 1

202





Compito C

1. Data la parola PALERMO, quante parole (N1) è possibile formare ? Quante parole (N2) è possibile formare sapendoche le vocali possono occupare solo le posizioni di indice pari ?pxc

N1 = 5040 N2 = 144

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione binomiale ha il valore medio pari a 2 e la varianza pari a 1. Calcolare laprobabilità P (X = 3) dxc

P (X = 3) =14

3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + b lnX . Determinare per quali valori di a e b il coefficiente dicorrelazione ρ vale −1. krc

a < 0 b = 0


figura 1 ⇒¬

®¯° ±

²Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) conprobabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostrail carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessaprobabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 7.dyc

figura 2 α =p2

3p + 1

203





Compito D

1. Data la parola POMEZIA, quante parole (N1) è possibile formare ? Quante parole (N2) è possibile formare sapendoche le vocali possono occupare solo le posizioni di indice dispari ?pxd

N1 = 5040 N2 = 144

2. Un numero aleatorio X avente distribuzione geometrica è tale che P (X2 > 10) =827

; determinare il suo valoremedio. dxd

IP (X) = 3

3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + beX . Determinare per quali valori di a e b il coefficiente dicorrelazione ρ vale −1. krd

a < 0 b = 0


figura 1 ⇒¬

®¯° ±

²Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) conprobabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostrail carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessaprobabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 9.dyd

figura 2 α =p3q

3q(1 + p2) + 2p2

204

Università degli Studi “La Sapienza” di RomaFacoltà di Ingegneria - a.a. 2011 - 2012




Compito A

1. Nel canale di trasmissione mostrato in figura, la probabilità di trasmettere 0© è pari ad α (0 < α < 1), mentre quelladi trasmettere 1© è pari a β = 1− α. Sapendo che in ricezione è stato ricevuto il simbolo 1©, quale è la probabilitàγ che esso sia stato effettivamente trasmesso ?

-

-0©

1©

0©

1©-

-

p

p

q

q

0 < p < 1 γ =pβ

qα + pβ

2. Dati i quattro eventi equiprobabili (p) ed indipendenti A, B, C e D, determinare il valore medio diX = |(A ∨B) ∧ (C ∨D)|.

IP (X) = [p(2− p)]2 =(1− q2

)2 (q = 1− p)


f(x, y) =

24xy (x, y) ∈ T0 altrove.

dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Determinare la densità marginale f1(x) di X .

f1(x) =

12x(1− x)2 0 ≤ x ≤ 10 altrove

4. Alce Nero va a caccia contando di utilizzare le 10 frecce che ha nella faretra fino alla cattura della prima preda.Sapendo che ad ogni tiro ha probabilità p di fare centro (e quindi q = 1 − p di sbagliare, con 0 < p < 1) e che hacatturato una preda, determinare il numero medio (m) di frecce utilizzate.xrt

m =10q11 − 11q10 + 1(1− q10)(1− q)

(q = 1− p)

205





Compito B

1. Nel dispositivo di figura ogni componente ha probabilità p (0 < p < 1) di funzionare. Sapendo che i componentisono indipendenti tra loro e che il dispositivo è guasto, calcolare la probabilità β che il componente C sia in funzione.

A B

C

β = 0

2. Dati i quattro eventi equiprobabili (p) ed indipendenti E, F , G e H , determinare il valore medio diY = |(E ∧ F ) ∨ (G ∧H)|.

IP (Y ) = p2(2− p2)


f(x) =|x| − 2 2 ≤ |x| ≤ 30 altrove.

Determinare la funzione di ripartizione di X .

F (x) =

0 x < −3

−x2 + 4x + 32

−3 ≤ x ≤ −212

−2 < x < 2x2 − 4x + 5

22 ≤ x ≤ 3

1 x > 3

4. La durata di una lampadina ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 2 (espresso in ore). Sapendo cheall’istante 4 era spenta, calcolare la probabilità α che fosse spenta già all’istante 2 e determinare mediamente perquanto tempo (m) ha funzionato.

α =e

e + 1m =

2(e2 − 3)e2 − 1

206


Esame - 17 novembre 2012Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



Compito A

1. Dei tre valori a, b e c è noto che la media aritmetica x è pari a 7 e la moda (unica) x∗ è pari a 4. Scrivere i tre valoria, b e c in ordine non decrescente.

a = 4 b = 4 c = 13

2. In una scuola pubblica durante i mesi invernali viene attivato l’impianto di riscaldamento. La probabilità che i termo-sifoni vengano accesi quando la temperatura esterna è minore di 15 gradi è pari al 30%, mentre quando è maggiore ouguale a 15 gradi è pari all’ 80% ; è noto inoltre che la probabilità che la temperatura esterna sia minore di 15 gradi èpari al 40%. Sapendo che i termosifoni sono accesi determinare la probabilità che la temperatura esterna sia minoredi 15 gradi.

p =15

3. Un sistema di comunicazione è organizzato in 6 livelli, ognuno dei quali riceve in ingresso un simbolo binario (0 e 1)

dal livello precedente e lo trasmette al livello successivo. La probabilità di errore da un livello all’altro è pari a p =34

.Sapendo che all’ingresso del sistema è stato trasmesso 1, calcolare la probabilità α che all’uscita venga ricevuto ilsimbolo 1.

α =65128

4. Ad un parlamento regionale bisogna decidere se destinare 50 milioni di euro al ripristino di letti nei vari ospedali dellaregione o al vitalizio di assessori non eletti. Sapendo che dei 70 parlamentari 35 hanno almeno un parente all’ospedale(per cui votano a favore del ripristino di letti con probabilità α = 70%), e gli altri 35 sono amici degli assessori (percui votano a favore del vitalizio con probabilità β = 90%) calcolare la probabilità p che i 50 milioni di euro sianodestinati al vitalizio.N.B. Si applichi il teorema centrale, si supponga che per vincere bisogna totalizzare più di 35 voti e che non ci sianessun astenuto. prg

p = Φ

(√143

)' Φ(2.16) ' 0.98461

207


Esame - 17 novembre 2012Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



Compito B

1. Dei tre valori a, b e c è noto che la media aritmetica x è pari a 9 e la moda (unica) x∗ è pari a 5. Scrivere i tre valoria, b e c in ordine non decrescente.kry

a = 5 b = 5 c = 17

2. Siano dati due eventi indipendenti ed equiprobabili A e B (P (A) = P (B) = p),determinare la varianza di X = ||A| − |B||.mdx

var(X) = 2pq(p2 + q2) con q = 1− p

3. Da un’urna contenente 18 palline di cui 10 bianche ne vengono estratte in blocco 12. Detto X il numero di pallinebianche ottenuto determinare il valore minimo (min) e massimo (max) di X , e la sua varianza.bnp

min = 4 max = 10 var(X) =160153

4. In un paese per essere eletti al parlamento bisogna aver maturato almeno 2 anni di carcere effettivo. Sapendo che inquel paese ogni cittadino ha maturato un numero aleatorio di anni avente distribuzione esponenziale con valore mediopari a 1, calcolare la probabilità α che in una seduta parlamentare (a cui partecipano 625 deputati), il numero mediodi anni di carcere maturati sia maggiore di 3 anni e un mese. N.B. Si applichi il teorema centrale.

α = 1− Φ(

2512

)' 0.0186

208


Esame - 28 gennaio 2013Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



Compito A

1. Siano dati due eventi A e B tali che Ac ⊂ B ; calcolare la probabilità P (A ∨B).

P (A ∨B) = 1

2. Per finanziare una banca il governo decide di operare un taglio complessivo di sette miliardi di euro alla scuola e allasanità. Per decidere in quale misura i due enti devono contribuire il presidente del consiglio lancia un dado, il numeroche esce equivale al taglio (in miliardi di euro) che dovrà subire la scuola (X), la rimanente parte verrà tagliata allasanità (Y ). Si determini la covarianza di X e Y .

cov(X, Y ) = −3512

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 1 ; determinare la previsione di X3.

IP (X3) = 6

4. Determinare il numero (N ) di anagrammi della parola TARTARUGA sapendo che le vocali occupano solo posizionidi indice dispari, e che due lettere uguali non possono stare vicino.

N = 408

209


Esame - 28 gennaio 2013Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



Compito B

1. Siano dati due eventi E ed H tali che Ec ∨H = Ω con E 6= ∅ ; calcolare la probabilità P (H|E).

P (H|E) = 1

2. Per finanziare la costruzione di aerei militari il governo decide di operare un taglio complessivo di undici miliardi dieuro alla scuola e alla sanità. Per decidere in quale misura i due enti devono contribuire il presidente del consiglioestrae a caso una carta da un mazzo di carte italiane, il numero che esce equivale al taglio (in miliardi di euro) chedovrà subire la scuola (X), la rimanente parte verrà tagliata alla sanità (Y ). Si determini la covarianza di X e Y .

cov(X, Y ) = −334

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard ; determinare la previsione di X3.

IP (X3) = 0

4. Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono dieci sedie poste su una stessa parete. Quattro pazienti entranocontemporaneamente nella sala (inizialmente vuota) ed occupano quattro sedie a caso. Determinare il numero medio(M ) di sedie vuote comprese tra il paziente più a sinistra e quello più a destra.

M =185

= 3.6

210


Esame - 15 febbraio 2013Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”




x = 5 x∗ = 5 m = 5

2. Un candidato alle prossime elezioni vorrebbe ricevere la sponsorizzazione dell’associazione LIBERA in cui bisognapubblicare in maniera trasparente la propria figura. Per accedervi deve sottostare alle seguenti cinque condizioni(eventi) :A =“promettere di continuare il rafforzamento della legge anticorruzione”,B =“pubblicare il proprio Curriculum Vitae”,C =“dichiarare la propria situazione giudiziaria ”,D =“pubblicare la propria condizione patrimoniale e reddituale”,E =“dichiarare potenziali conflitti di interesse personali e mediati”.

Sapendo che tali eventi sono stocasticamente indipendenti e che ognuno di essi ha probabilità pari a12

, calcolare laprobabilità α che il candidato riesca a ricevere la sponsorizzazone.

α =132

3. Per realizzare un numero Z (aleatorio) a due cifre si lanciano due dadi ; il primo (rosso) va a determinare la cifra delledecine, il secondo (blu) quella delle unità. Determinare previsione e varianza di Z.

IP (Z) =772

var(Z) =353512

4. Un numero aleatorio X (espresso in radianti) ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Determinare lafunzione di ripartizione di Y = sinX .

G(y) =

0 y < −1eα−π − e−α−2π

1− e−2π−1 ≤ y < 0

1− e−α − eα−π

1− e−2π0 ≤ y ≤ 1

0 y > 1α = arcsin y

211


Esame - 8 aprile 2013Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



1. Per demolire il sistema scolastico il governo vuole sottoporre all’approvazione del parlamento il seguente pacchettodi provvedimenti (eventi) :A =“aumentare a trentacinque il numero di studenti per classe”,B =“diminuire da cinque a quattro anni la durata delle scuole superiori”,C =“aumentare da diciotto a ventiquattro ore settimanali le lezioni frontali dei docenti”,D =“diminuire ad un mese la durata delle vacanze estive”,E =“diminuire a venticinque il numero di ore settimanali”.

Sapendo che ognuno dei provvedimenti ha probabilità pari a23

di essere approvato, e che ognuno di essi vieneapprovato indipendentemente dagli altri, calcolare la probabilità α che il pacchetto di provvedimenti venga approvatoin blocco.dmsS

α =32243

2. In un vettore aleatorio (X, Y ) si ha σX = 2, σY = 8, e ρ = 1. Determinare una possibile relazione di dipendenza diY da X .rzlS

Y = 4X + b b ∈ IR

3. Un’urna contiene sei palline, ognuna delle quali riporta la lettera iniziale di sei amici. Ognuno deve estrarre a caso(con restituzione) una pallina alla volta fino a quando trova la pallina con la propria lettera (che una volta trovata nonviene più rimessa nell’urna). Determinare il numero medio (M ) di estrazioni effettuate globalmente dai sei amici.psw

A© B© C© D© E© F©

M = 21

4. In una popolazione adulta maschile la statura (X , espresso in centimetri) segue la distribuzione normale. Noto chela statura di un individuo scelto a caso si discosta dal valore medio al massimo di 9 centimetri con probabilità 50%,determinare lo scarto quadratico medio di X . (Si ricordi che Φ(0.675) ' 0.75).axdS

σ =403

= 13.3

212


Esame - 6 giugno 2013Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



1. Nel circuito di figura la probabilità che l’interruttore A sia chiuso è doppia della probabilità di essere aperto ; inoltreè noto che quando l’interruttore B è aperto, anche l’interruttore C è aperto. Assumendo A e C stocasticamenteindipendenti (avendosi A =“l’interruttore A è chiuso”, C =“l’interruttore C è chiuso”), calcolare la probabilità α chel’interruttore A sia chiuso, supposto che tra il punto 1 e il punto 2 ci sia passaggio di corrente,.(N.B. Si assuma positiva la probabilità che tra 1 e 2 ci sia passaggio di corrente.)

¬

A

B

Cα =

23

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G4,3(x). Calcolare la previsione di Y =2e2X

27X3.hgm

IP(Y ) = 1

3. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = arcsin(kX). Determinare l’insieme S dei valori (se esistono) di k per iquali il coefficiente di correlazione ρ vale 1. hrs

S = ∅

4. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul parallelogramma individuato dalle rette y = 0, y = 1,y = x, y = x − 2. Calcolare la densità marginale fX di X e la funzione di ripartizione FY di Y . Determinare laprobabilità condizionata P (X < 2Y |X < 1).

fX(x) =

12x, 0 ≤ x ≤ 112 , 1 < x ≤ 212(3− x), 2 < x ≤ 3

0, altrove

FY (y) =

0, y < 0y, 0 ≤ y < 11, y ≥ 1

P (X < 2Y |X < 1) =12

213


Esame - 11 luglio 2013Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”



1. Due eventi A e B creano tre costituenti equiprobabili : C1 = A ∧ B, C2 = Ac ∧ B, C3 = A ∧ Bc. Determinare

previsione e varianza di X =|A ∧B||A ∨B|

. dvc

IP (X) =13

var(X) =29

2. Un tratto di spiaggia è delimitato da due scogliere, su di esso ci sono quattro tratti di arenile, due liberi e due occupatida due stabilimenti balneari, “Il Pirata” e “Lo Squalo” (si veda figura).

YY

YY

YY

YY

≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈

arenile libero Il Pirata Lo Squalo arenile libero

YY

YY

YY

YY

Ogni anno Il Pirata chiede una concessione permanente (oltre a quella già posseduta) per poter usufruire del tratto diarenile libero posto alla sua sinistra. Allo stesso modo ogni anno Lo Squalo chiede una concessione permanente perpoter usufruire del tratto di arenile libero posto alla sua destra.

È noto che il Comune accontenta Il Pirata con probabilità pX =67

ogni sua richiesta, e Lo Squalo con probabilità

pY =911

. Calcolare la probabilità α che Il Pirata riesca prima dello Squalo ad accaparrarsi il rispettivo arenile liberoconfinante, e la probabilità β che tra tre anni sul quel tratto di spiaggia non ci sia più arenile libero.slh

α =425

β =92349317


X -1 1Y

-116

13

112

0

Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .vhy

cov(X, Y ) = −23

X e Y sono indipendenti ? SÌ NO©4. Il sindaco di una grande città deve organizzare un costosissimo pranzo di ricevimento. Per trovare i fondi decide di

mettere una tassa del 10% sull’elemosina raccolta dai mendicanti di tutta la città.Sapendo che ogni mendicante in un giorno riesce ad accumulare una quantità aleatoria di euro con valore mediopari a 10, e varianza pari a 2.5, e che in tutta la città ci sono 1000 mendicanti, calcolare (mediante un’opportunaapprossimazione) la probabilità che il sindaco riesca ad incassare in un giorno almeno 1010 euro. exm

α = 1− Φ(2)

214

Date post:	10-Aug-2020
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