Prof. Ing. Serio Francesco Docente di Costruzioni Istituto Giovanni XXIII Ribera Anno scolastico 2009-2010 1 CARATTERISTICHE E COMPORTAMENTO DEL MATERIALE ACCIAIO 2 DIAGRAMMA DI CALCOLO DELL’ACCIAIO 4 RESISTENZA DI CALCOLO 5 COMPORTAMENTO ELASTICO E PLASTICO 5 CALCOLO ELASTICO E CALCOLO PLASTICO 8 CLASSIFICAZIONE DELLE SEZIONI 9 TEORIA 9 ESEMPIO 12 FORMULE PER LA VERIFICA 13 TRAZIONE 13 ESEMPIO DI VERIFICA A TRAZIONE 14 COMPRESSIONE 15 FLESSIONE SEMPLICE 15 TAGLIO 17 TAGLIO E FLESSIONE 17 CALCOLO PLASTICO 17 CALCOLO ELASTICO 18 ESEMPIO DI PROGETTO A FLESSIONE E TAGLIO (CALCOLO PLASTICO) 18 ESEMPIO DI PROGETTO A FLESSIONE E TAGLIO (CALCOLO ELASTICO) 22
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CARATTERISTICHE E COMPORTAMENTO DEL MATERIALE ACCIAIO 2
DIAGRAMMA DI CALCOLO DELL’ACCIAIO 4 RESISTENZA DI CALCOLO 5 COMPORTAMENTO ELASTICO E PLASTICO 5 CALCOLO ELASTICO E CALCOLO PLASTICO 8 CLASSIFICAZIONE DELLE SEZIONI 9 TEORIA 9 ESEMPIO 12
FORMULE PER LA VERIFICA 13
TRAZIONE 13 ESEMPIO DI VERIFICA A TRAZIONE 14 COMPRESSIONE 15 FLESSIONE SEMPLICE 15 TAGLIO 17 TAGLIO E FLESSIONE 17 CALCOLO PLASTICO 17 CALCOLO ELASTICO 18 ESEMPIO DI PROGETTO A FLESSIONE E TAGLIO (CALCOLO PLASTICO) 18 ESEMPIO DI PROGETTO A FLESSIONE E TAGLIO (CALCOLO ELASTICO) 22
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Caratteristiche e comportamento del materiale acciaio
Di seguito sono riportati alcuni stralci del 2008 con le caratteristiche meccaniche degli acciai usati
per il confezionamento del c.a. e per la realizzazione dei profilati.
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Acciai per profilati
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Diagramma di calcolo dell’acciaio
y k h u t
f y k
f y
f t
f u
f y d
y d
a
b
c
a) diagramma reale semplificato, b) diagramma ideale, c) diagramma di calcolo.
Il diagramma tensioni-deformazioni dell’acciaio ha una prima fase lineare elastica sino al
raggiungimento del valore fy si ha poi un tratto plastico seguito da un tratto crescente e poi
decrescente (si dice che l’acciaio incrudisce in questo tratto e l’incrudimento produce un aumento
della resistenza da fy e fu).
L’acciaio, nella schematizzazione semplificata della normativa, presenta un comportamento
elastico-perfettamente plastico, ossia, c’è una prima fase in cui le tensioni e le deformazioni sono
direttamente proporzionali sino al raggiungere il valore delle deformazione di snervamento yd e
della conseguente tensione fyd seguita da una seconda fase in cui le deformazioni continuano ad
aumentare sino a rottura ud, ma la tensione non aumenta più rimanendo fissa al valore fyd.
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Dal confronto tra i tre diagrammi si può notare come la normativa considera un valore di
snervamento fyd più piccolo di fyk ed inoltre ipotizza un comportamento perfettamente plastico
nella seconda fase (il diagramma diventa orizzontale) questo serve sia a semplificare i calcoli e sia
per essere a vantaggio di sicurezza, infatti noi immaginiamo che il massimo valore di tensione
sopportabile dall’acciaio sia fyd mentre nella realtà è un valore più alto, ossia fyk o addirittura fu se
teniamo conto dell’incrudimento.
Resistenza di calcolo
La resistenza di calcolo (“design”) fyd è ricavata a partire da quella “caratteristica” fyk dividendo
per un coefficiente di sicurezza, come indicato nella seguente tabella.
Dove Rk è il valore caratteristico della resistenza – trazione, compressione, flessione, taglio e
torsione – della membratura, determinata dai valori caratteristici delle resistenza dei materiali fyk e
dalle caratteristiche geometriche degli elementi strutturali
Comportamento elastico e plastico
Come già detto l’acciaio, secondo il diagramma semplificato della normativa, ha un comportamento
elastico-perfettamente plastico.
Immaginiamo adesso di sottoporre una trave ad una sollecitazione di flessione semplice.
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M M
Come sappiamo la trave subisce delle deformazioni sia di allungamento che di accorciamento, nel
caso specifico, le fibre di sotto si allungano e quelle di sopra si accorciano.
Adesso consideriamo un pezzettino piccolo di trave ed osserviamo la sua deformazione nella figura
seguente:
All’inizio il pezzo di trave ha una forma rettangolare, ma poi si trasforma in un trapezio, perché
sopra si accorcia il tratto AC è diventato A’C’ e sotto si allunga DB diventa D’B’.
La linea centrale non subisce allungamenti o accorciamenti, mentre le altre fibre si accorciano
(sopra) o si allungano (sotto), le deformazioni sono maggiori tanto più ci si allontana dal centro.
Se la deformazione non supera il valore di yd l’acciaio si comporta in maniera lineare, quindi in
ogni punto si avrà una tensione proporzionale alla deformazione ed inoltre la tensione, così come la
deformazione varierà in maniera lineare a partire dal centro, dove assume valore zero, sino a
raggiungere i valori massimi nei punti più lontani.
Nella figura seguente è rappresentata la sezione della trave e a desta i digrammi delle deformazioni
e delle tensioni.
Sino a quando la deformazione non supera il valore dello snervamento il diagramma delle tensioni
ha forma “a farfalla” cioè due triangoli.
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Nel momento in cui la deformazione supera il valore di yd l’acciaio entra nella fase plastica e
anche se le deformazioni aumentano il valore massimo della tensione rimane fisso a fyd. Il diagramma delle tensioni assume, dunque, la forma sotto rappresentata.
Come sappiamo, le deformazioni crescono man mano che ci si allontana dall’asse neutro, ci sarà
quindi una prima parte centrale della sezione in cui la deformazione non avrà raggiunto il valore di
snervamento yd ed in cui dunque il materiale è ancora in fase lineare elastica, quando si raggiunge
la deformazione di snervamento invece il materiale è in fase plastica ed il diagramma delle tensioni
diventa costante assumendo il valore fyd. Se immaginiamo di esagerare questa cosa, ossia aumentiamo in maniera “grande” le deformazioni
in tutti i punti supereremo la deformazione di snervamento e quindi in tutti i punti la tensione varrà
fyd.
SezioneDiagramma delle tensioni
f yd
f yd
Quando il materiale si trova tutto in fase lineare elastica, siamo cioè nel caso di diagramma a doppio
triangolo il valore massimo della tensione è legato al valore del momento esterno agente dalla
formula: maxel
M
w .
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Questa formula la conosciamo già, ma adesso ho specificato che il w è caratteristico della fase
elastica.
Se l’acciaio si trova, invece, nella condizione completamente plastica (come nella figura
precedente) la formula diventa: pl
M
w .
(Sul sagomario dell’acciaio sono presenti entrambi i W)
Da notare che wp è maggiore di we, quindi se consideriamo che l’acciaio possa raggiungere la
completa plasticizzazione si ha un incremento del momento massimo sopportabile.
Il momento massimo sopportabile da una sezione in acciaio viene indicato con la sigla Mr,d dove r
sta ad indicare “resistente” ossia il massimo che la sezione può sopportare ed il pedice d sta ad
indicare “design” che, come abbiamo già visto nello studio del legno, significa di calcolo o di
progetto.
Utilizzando, quindi ,la formula della flessione, ma esprimendo rispetto al momento si ottiene:
,r d elM w oppure se consideriamo la sezione tutta elasticizzata: ,r d plM w il secondo
Mr,d sarà maggiore poiché, come già detto, il Wpl è maggiore del Wel.
Calcolo elastico e calcolo plastico
Ma allora viene da chiedersi: Se l’acciaio risulta più resistente quando consideriamo .la
plasticizzazione, perché non calcoliamo sempre considerandolo in fase plastica?
Ebbene come si è potuto intuire sopra per la plasticizzazione dell’acciaio è necessario che la sezione
subisca delle forti deformazioni, ossia che in tutti i punti si superi la deformazione di snervamento
yd, ma per ottenere questo è necessario che la sezione sia in grado di ruotare “molto” ma questo
non è sempre possibile.
La possibilità che una sezione di acciaio possa elasticizzare completamente è dunque legata alla
possibilità che essa ha di compiere una certa deformazione ossia rotazione e per fare questo è
necessario che la sezione abbia delle precise caratteristiche, ossia che non soffra di problemi di
instabilità.
In pratica quando una sezione, a causa di un certo momento flettente, inizia a ruotare, in tutti i punti
crescono le deformazioni e se essa riesce ad avere delle deformazioni abbastanza gradi si raggiunge
la situazione di completa plasticizzazione oltre la quale non si può più andare e quindi si considera
come rottura.
Può però accadere che la sezione della trave, ancor prima di aver raggiunto una sufficiente rotazione
in grado di creare la completa plasticizzazione, vada in crisi per problemi di instabilità, e anche
questo viene considerato come rottura.
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Quindi se la sezione non soffre si problemi di instabilità, la rottura si raggiunge per completa
plasticizzazione, mentre se soffre di problemi di instabilità, la plasticizzazione non si raggiunge
perché la rottura avviene prima per instabilità.
Nel caso di sezioni che sono in grado di ruotare a sufficienza senza incorrere in problemi di
instabilità, si può dunque utilizzare un calcolo plastico, ossia che tiene conto della plasticizzazione
della sezione, altrimenti in caso di sezione che soffra di problemi di instabilità non si potrà
raggiungere la plasticizzazione, ed allora andrà fatto un calcolo elastico che non considera la
plasticizzazione.
N.B. il calcolo elastico è comunque sempre utilizzabile, anche per sezioni di classe 1 e 2, solo
che si sottostima la resistenza del materiale e quindi talvolta può capitare di “esagerare” con
la sezione.
Classificazione delle sezioni
Teoria
La normativa fornisce allora un criterio per capire se la sezione è in grado o meno di raggiungere la
plasticizzazione e quindi per sapere se è possibile utilizzare il calcolo plastico.
Le classi sono 1,2,3,4 se la classe è 1 oppure 2 posso effettuare un calcolo plastico, se la classe è 3
devo effettuare un calcolo elastico, infine se la classe è 4 devo sempre effettuare un calcolo elastico
ed inoltre bisogna considerare una sezione più piccola di quella reale detta sezione efficace.
Di seguito viene riportata una tabella estratta dalla normativa, attraverso la quale è possibile
effettuare una classificazione delle sezioni.
La classificazione va fatta, sia con riferimento all’ala che con riferimento all’anima e la classe della
sezione sarà data dal numero più alto tra classe dell’anima e classe dell’ala.
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Tabella per la classificazione dell’anima
c rappresenta l’altezza della parte rettilinea dell’anima e t lo spessore della stessa
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N.B. Il valore di dipende dal tipo di acciaio utilizzato
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Classificazione dell’ala
Chiamando con c la sporgenza della parte rettilinea dell’ala e con t il suo spessore si ha:
Classe 1 c/t< 9
Classe 2 c/t< 10
Classe 3 c/t< 14
Esempio
Assegnare la classe al profilo HEA 140 realizzato in acciaio S355 sollecitato a flessione.
I dati geometrici del profilo HEA 140 sono:
t f
t w
b
h
r
Modello h b tw tf r HE 140 A 133 140 5,5 8,5 12
Classe dell’anima:
La lunghezza del tratto rettilineo vale: c = h - 2tf - 2r = 133 - 2x8,5 -2x12 = 92
Il rapporto c/t come indicato nella tabella per la classificazione dell’anima vale dunque: 92/5,5=
16,73.
Essendo in presenza di acciaio S355 dobbiamo anche calcolare il valore di 355
235 0,814
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Il limite per appartenere alla classe 1 è 72 che nel nostro caso vale 72x0,814 = 58,608 il nostro
valore 16,73 è decisamente inferiore, quindi l’anima è di classe 1.
Classe dell’ala:
La sporgenza rettilinea dell’ala vale 25,551275,27022
rtb w
Il rapporto c/t vale dunque 55,25/8,5 = 6,5
Il limite affinché l’ala appartenga alla classe 1 è 9= 9x0,814=7,326
Sia l’ala che l’anima sono in classe 1 e dunque il profilo HEA 140 in acciaio S355 appartiene alla
classe 1.
Formule per la verifica
Trazione
Gli elementi sottoposti a trazione semplice possono essere le catene delle capriate o degli archi, o
gli elementi delle travature reticolari, che possono essere compressi o tesi.
La verifica a trazione va fatta confrontando il valore della trazione agente con quella massima che
può essere sopportata dal materiale (vedi paragrafo resistenza di calcolo).
Per quanto riguarda la trazione semplice non è presente il fenomeno dell’instabilità e, dunque,
qualunque sia la classe della sezione essa raggiungerà sempre la plasticizzazione.
Sapendo che in caso di sforzo normale la tensione è costante su tutta la superficie e imponendo la
plasticizzazione la sezione è soddisfatta se:
Ntd < ,t RdN
NSd è il valore di progetto della trazione che sollecita il profilo mentre Nt,Rd è la resistenza a trazione
di calcolo, ossia il massimo valore di trazione che la sezione può sopportare.
Il valore di Nt,Rd
Per sezione integra: , ,0
ykt Rd pl Rd
M
AfN N
Per sezione forata: , ,2
0,9 tkt Rd u Rd
M
Anet fN N
A indica l’area del profilo integro,
Anet indica l’area del profilo esclusi i fori ed è quindi più piccola.
La resistenza di un’asta tesa forata (imbullonata) è allora data dal più piccolo tra Npl,Rd e Nu,Rd.
Se la sezione ed il collegamento sono ben progettati l’asta si rompe per plasticizzazione ed non per
rottura nella zona bullonata, ossia si ha: , ,u Rd pl RdN N .
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Dal momento che siamo abituati a lavorare con le tensioni trasformiamo le due formule sopra
esprimendole in termini di tensioni:
Per sezione integra la verifica si svolge controllando che sia:
t yd
Tf
A in cui T è la forza di trazione che agisce ed A la sezione del profilato ed
0
ykyd
M
ff
si può notare come la formula sia più semplice di quella del legno, poiché non
compare il termine che dipende dalla durata del carico (Kmod) ed inoltre non c’è una tensione
caratteristica1 diversa per la compressione piuttosto che per la trazione o flessione
Per la sezione forata dobbiamo, invece calcolare l’area netta e dunque la verifica sarà fatta
controllando che sia
2
0,9 tkt
net M
fT
A
Stavolta la massima tensione sopportabile dall’acciaio è un po’ più
complessa da calcolare e si ci riferisce non più alla fyk, ma alla ftk.
In caso di progetto è sufficiente esprimere le formule in termini di A.
Sezione integra: yd
TA
f ; sezione forata:
2
0,9nettk
M
TA
f
.
Esempio di verifica a trazione
Consideriamo un’asta costituita dall’accoppiamento di due angolari 80x120x12 realizzata in acciaio
S275, caratterizzata da una fyk=275 N/mm2 ed una ftk=430 N/mm2.
L’asta è collegata mediante 4 fori di diametro 15 mm.
Calcoliamo il massimo sforzo di trazione che l’asta può sopportare.
12
0
80
12
12
1 Le tensioni caratteristiche sono quelle indicate con il pedice K e nel caso dell’acciaio ce n’è una
sola.
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Dal prontuario ricavo l’area di un angolare 80x120x12 che risulta pari a 22,7 cm2 e poiché l’asta è
composta da due profilati accoppiati l’area totale sarà il doppio, ossia: 45,4 cm2.
L’area netta è invece data dall’area totale, meno l’area dei buchi (in bianco nel disegno sopra)
Anet = 45,4-4x1,5x1,2 = 38,2 cm2
In questa formula 1,5 è il diametro del foro e 1,2 lo spessore del profilo entrambi espressi in cm.
Calcoliamo adesso i due valori della resistenza:
Sezione integra
,0
4540 2751189048
1,05yk
pl RdM
AfN N
(N.B. ho trasformato 45,4 cm2 in 4540 mm2)
Sezione forata:
,2
3820 4300,9 0,9
1,25tk
u RdM
Anet fN
=1182672 N
La resistenza dell’asta è il più piccolo dei due valori, quindi l’asta può sopportare al massimo una
trazione pari a 1182672 N ossia circa 1183 KN.
P.S. i coefficienti M0 e M2 si trovano a pagina 4, mentre le caratteristiche dell’acciaio sono a
pagina 2.
Compressione
La verifica a compressione va fatta confrontando il valore della compressione agente con quella
massima che può essere sopportata dal materiale, ossia la verifica è soddisfatta se:
, ,c d c RdN N .
,0
per sezioni di classe 1,2,3ykc Rd
M
AfN
,0
per sezioni di classe 4eff ykc Rd
M
A fN
Aeff non è stata spiegata perché i profili di classe 4 sono davvero pochissimi.
Come si è già ampiamente discusso a lezione, in presenza di forza di compressione nasce il
problema dell’instabilità, per cui le formule sopra riportate sono valide solamente nel caso in cui
non ci sia instabilità, ossia l’asta non risulti snella.
Flessione semplice
La verifica a flessione va fatta confrontando il valore della compressione agente con quella massima
che può essere sopportata dal materiale, ossia la verifica è soddisfatta se:
d RdM M .
Bisogna distinguere tra sezioni di classe 1,2, sezioni di classe 3 e sezioni di classe 4.
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n n
n n
=M/wmax
=M/wmin
Sezione simmetrica Fase elastica Fase plastica
Sezione non simmetrica Fase elastica Fase plastica
Le prime possono raggiungere la plasticizzazione e quindi avranno un diagramma di momento
flettente di tipo doppio rettangolo, mentre quelle di classe 3 saranno in campo lineare con
diagramma di tipo doppio triangolo.
0
per sezioni di classe 1,2pl ykRd
M
w fM
.min
0
per sezioni di classe 3el ykRd
M
w fM
2
,min
0
per sezioni di classe 4eff ykRd
M
w fM
Esprimendo le formule in termini di tensione ottengo:
2 In caso di sezione non simmetrica per cui si hanno due valori di w, il prontuario riporta sempre il
valore di wmin che è quello che serve per la formula del MRd.
N.B. L’asse neutro elastico passa dal baricentro, mentre l’asse neutro plastico divide la sezione
in due parti di uguale area, infatti essendo la tensione uguale in tutti i punti, affinché si verifichi
che la risultante delle tensioni di compressione sia uguale alla risultante delle tensioni di
trazioni l’area compressa e l’area tesa devono esser uguali. Naturalmente se la sezione è
simmetrica l’asse neutro elastico la divide anche in due parti uguali.
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max0
per sezioni di classe 1,2yk
pl M
fM
w
max,min 0
per sezioni di classe 3yk
el M
fM
w
Se invece vogliamo progettare la trave a flessione devo esprimere la formula in termini di w:
, per sezioni di classe 1,2pl teoryd
Mw
f
, per sezioni di classe 3el teoryd
Mw
f
La trave scelta dovrà avere un w immediatamente superiore a quello teorico dato dalle formule
sopra riportate.
Taglio
La verifica a taglio va fatta confrontando il valore della compressione agente con quella massima
che può essere sopportata dal materiale, ossia la verifica è soddisfatta se:
d RdV V .
La resistenza di calcolo a taglio si valuta con la formula:
03v yk
Rd
M
A fV
Dove fyk e e M0 sono già stati introdotti, mentre Av è l’area resistente a taglio e si può assumere:
Per profilati a I e ad H caricati nel piano dell’anima: 2 ( 2 )v f w fA A bt t r t
Per profilati a C e ad U caricati nel piano dell’anima: 2 ( )v f w fA A bt t r t
Per profilati a T caricati nel piano dell’anima: 0,9( )v fA A bt
Per sezioni saldata ad I, H a cassone: v wA dt
Nelle precedenti formule tf è lo spessore dell’ala tw è lo spessore dell’anima d è l’altezza
dell’anima e r il raggio di raccordo.
Taglio e flessione
Calcolo plastico
In caso di contemporanea presenza di flessione e taglio se si verifica: 0,5d RdV V bisogna ridurre la
resistenza a flessione poiché il taglio ha un effetto negativo sulla resistenza a flessione.
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Si deve in questo caso calcolare: 2
21d
Rd
V
V
E la resistenza a flessione si determina assumendo per l’area resistente a taglio Av la tensione di snervamento ridotta (1 - ) fyk.
Per le sezione ad I e ad H di classe 1 e 2 doppiamente simmetriche si può usare la formula seguente
per la quale la resistenza a flessione in presenza di taglio vale: 2
,0
4V
pl ykw
Rd VM
Aw f
tM
Quindi in caso di presenza contemporanea di taglio e flessione si deve effettuare la verifica a taglio,
come visto al precedente paragrafo, e la verifica a flessione considerando però come resistenza a
flessione MRd,V anziché MRd.
Calcolo elastico
Da premettere che il calcolo plastico può sempre essere effettuato, anche in presenza di sezioni di
classe 1 e 2, in questo caso non si sfrutta al massimo il materiale, si sottovaluta la resistenza della
sezione e “spendo” talvolta di più. Siamo in ogni caso a vantaggio di sicurezza.
La verifica in campo elastico va fatta con la formula di Von Mises: la sezione risulta verificata se: 2 2 23 id ydf
Attraverso questa formula viene calcolata una tensione ideale, che tiene conto sia della tensione
normale che di quella di taglio e questa viene confrontata, al solito, con fyd che è la massima
tensione che può essere sopportata dall’acciaio.
XXXX>>
Esempio di progetto a flessione e taglio (calcolo plastico)
Progettare la seguente trave IPE in acciaio S235 nei due casi:
1) Q= 12,2 KN ; l= 2m
2) Q= 103 KN ;l= 0,5 m (Q è un carico di tipo variabile)
Q
l
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Iniziamo con la condizione 1)
Per prima cosa va risolta la struttura:
E’ chiaro che l’incastro reagisce con una forza verso l’alto pari a Q e con un momento pari a Ql.
Sia il massimo momento che il massimo taglio si trovano in corrispondenza dell’incastro e valgono
rispettivamente:
Attenzione: i carichi variabili vanno moltiplicati per 1,5 Tmax=Qx1,5=18,3 KN; Mmax=Qxlx1,5=36,6 KNxm.
Valutiamo le tensioni massime che il materiale può sopportate in termini di tensione normale e
tensione di taglio:
20
235223,81 ;
1.05yk
ydM
f Nf
mm , 2
0
129,21 ;3
ykV yd
M
f Nf
mm
Ipotizzo che la sezione sia in grado di raggiungere la completa plasticità e attraverso la formula
inversa del momento ottengo il wpl che deve avere la sezione:
3 3maxmax .
36.600.000 163531,57mm 163,53
223,81yd pl pl teoryd
Mf W M W cm
f
Dal sagomario si ricava che basterebbe una IPE180, ma per sicurezza viene scelta una IPE 200
(vedi la colonna del wpl,y).
Modello G h B tw tf r A Iy Wel.y Wpl.y iy Avz Iz Wel.z Wpl.z iz
Kg/m mm mm mm mm mm cm2 cm4 cm3 cm3 cm cm2 cm4 cm3 cm3 cm
![[Strutture - Acciaio] Cosro Di Costruzioni in Acciaio - Amadio](https://static.documenti.site/doc/80x56/5486b0e7b4af9fa7168b4757/strutture-acciaio-cosro-di-costruzioni-in-acciaio-amadio.jpg)
