Date post: | 21-Oct-2015 |
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Indice
Formazione della mente
logico-matematica
I° piano psicoaritmetica
Il numero nel tempo (storia della numerazione)
1° piano della psicoaritmetica (1-10)
o Conoscenza delle quantità:
Aste numeriche
Cifre smerigliate
Fuselli
Gettoni
o Giochi per la conoscenza delle quantità entro il 10:
bastoncini di perle colorate, gioco dello zero, gioco dei
cubetti
o Conoscenza dei simboli entro il 10
o Serpente positivo di primo livello
o Serpente dell’addizione di secondo livello
II° piano psicoaritmetica
2° piano della psicoaritmetica (1-1000)
o Prima presentazione del sistema decimale
o Quantità perle dorate
o I simboli → cartellini da 1 a 9000 (1-9 verde; 10-90
blu; 100-900 rossi; 1000-9000 verdi)
o Appaiamento simboli quantità
o Formazione dei grandi numeri del sistema decimale
o Esercizi paralleli al sistema decimale
o Prima tavola del Seguin: lavoro con l’alfabetario
o Seconda tavola del Seguin
o Catena del 100
o Catena del 1000
o Gioco del cambio
o La morte del mille
o Materiale per la numerazione (tavole asticine)
o Operazioni: addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni,
divisioni e relative tavole di confronto
o Operazioni statiche -senza cambio- (addizione,
moltiplicazione, sottrazione, divisione)
o Operazioni dinamiche (addizione, moltiplicazione,
sottrazione, divisione)
o Materiale delle frazioni-I livello
Il numero nel tempo
(storia della numerazione)
Il titolo di questa relazione è un invito a compiere un viaggio nel
passato, in un passato lontanissimo in cui gli uomini si unirono in
comunità, crearono villaggi…città.
Cominciarono a calcolare i loro beni e l’arte del contare sorse
come necessità della convivenza quotidiana.
Il Dottor Mario Montessori diceva in proposito che per molto
tempo gli uomini primitivi contarono e barattarono i loro oggetti
fino a 2 o a 3, indicando le maggiori quantità con l’aggettivo
“molti”. I simboli di queste numerazioni erano tacche fatte su
assicelle, nodi su corde, sassolini o conchiglie (sistema ancora
usato dai Boscimani), segni sulle rocce. Poi con il progredire
della società si passò al conteggio delle dita della mano (sistema
quinario e sistema decadico) e a contare per venti (dita delle mani
e dei piedi).
Passarono millenni prima che la numerazione parlata fosse
rappresentata con segni.
Ora dobbiamo avvicinarci ai vari tentativi compiuti dalle
generazioni passate per conquistare “lo spirito matematico”.
“Lo spirito matematico è essenziale – scrive Maria Montessori-
senza di esso non è possibile concepire il progresso, in cui tanta
parte ha l’intelligenza matematica”.
Ma innanzitutto dobbiamo domandarci perché la storia delle
numerazioni. Forse è necessario conoscerla. Perché?
E’ intanto preparazione tecnica, preparazione che ci rende
coscienti della delicatezza del nostro lavoro, che non è affidato
all’improvvisazione, ma alla cura giornaliera di ogni dettaglio.
E’ la preparazione che ci permette di vedere i bambini, di capire
ciò che li interessa, ciò di cui hanno bisogno.
Inoltre noi vogliamo sapere e godere del sapere.
Per questo dobbiamo sapere che il sistema, sul quale oggi ci
basiamo per ordinare le quantità numeriche, costituisce, è il punto
attuale di arrivo di un percorso laborioso e affascinante in cui
convergono le esperienze e le fatiche di tante generazioni passate e
una premessa per le possibili realizzazioni matematiche del futuro.
In tali considerazioni si trova rispetto per la dignità umana e ci si
prepara a dare nel senso più alto.
“La ricchezza dell’uomo è la sua intelligenza e l’equilibrio della
personalità. Ciò che occorre è quindi una educazione che orienti
la personalità verso la grandezza dell’uomo”.
(“Educazione e pace”, pag. 150)
D’altra parte, e qui mi rivolgo alle insegnanti della scuola
elementare in particolare, Maria Montessori ci ricorda che
dobbiamo offrire ai bambini le più grandi idee, allora essi si
animano, si entusiasmano e partecipano in prima persona,
dimostrando costanza e impegno crescenti in un lavoro privo di
stanchezza (perché vissuto e non mortificato).
Ogni antico sistema di numerazione va riferito, paragonato al
presente, ma va soprattutto inserito nel quadro della vita del
popolo che lo ha espresso.
L’ambiente geografico e storico, gli aspetti naturali dei luoghi, i
costumi, il lavoro quotidiano: tutto questo è capire e vivere con
l’aiuto dell’immaginazione un’esperienza matematica che in una
forma o nell’altra è giunta fino a noi.
E questa è scuola di apprendimento, dove in seguito alle
indicazioni iniziali, al racconto dell’insegnante, i bambini
muovono, da veri esploratori, alla scoperta di mondi ora
sconosciuti, ora dimenticati, ma che costituiscono il nostro ieri e a
cui dobbiamo il nostro essere di oggi.
I geroglifici egiziani
Il sistema usato dagli egiziani per contare si basa sul dieci.
Il simbolo di 1 è un dito- diverrà in seguito un segno (tacca).
Il simbolo di 10 è un pugno (o anche l’orma di un calcagno o di
ferro di cavallo- impronta lasciata sul terreno).
100 è un rotolo di corda (o un bioccolo di lana, un papiro
arrotolato...).
1000 sono i fiori del Nilo, le ninfee, sono le comete nel cielo.
10.000 i bastoni di pastori- scettri di re.
100.000 i girini che guizzano nelle acque limacciose del fiume.
1.000.000 meraviglia e stupore di fronte a un numero così
eccezionale in quei tempi.
E’ l’inizio di un lavoro: di matematica
di storia e geografia
di umanità (immaginazione e cultura
insieme), è schiudere la porta
dell’immaginazione su un mondo lontano
e suggestivo.
Scrivere e far di conto
La più antica scrittura rinvenuta è incisa su una lastra di pietra
calcarea rinvenuta tra i ruderi della città sumera Kish, in
Mesopotamia, oggi Iraq, terra tra due fiumi, si tratta forse di un
rendiconto fiscale, rappresenta il contorno di un piede, di una mano,
con altri segni che stanno a significare numeri.
Sembra proprio che costituisse, come altre tavolette, ugualmente
incise, il promemoria degli esattori dei tributi.
Risale a circa 5.500 anni fa, quando i sumeri vivevano nelle prime
città della storia.
I sumeri
Possiamo considerarli come i primi inventori di un sistema di
numerazione, che per la forma di cuneo dei simboli usati per
rappresentare i numeri è detto cuneiforme.
Un triangolo (cuneo) con l’apice in basso rappresentava 1; un cuneo
simile alla punta di una freccia rivolta a sinistra rappresentava 10.
Il sistema era additivo: fino al 9 una serie di triangoli, 10, 20,…
fino a 50 una serie di cunei e i simboli, posti l’uno accanto all’altro
si sommavano fino a 59.
Dal 60 in poi la rappresentazione dei numeri era di tipo
posizionale in base 60 e o stesso simbolo assumeva valore diverso
secondo la posizione occupata.
es: = (60 x 2)÷(10 x 2)+2 = 120+20+2 = 142
= (60 x 60)±(60 x 3)+ 11=
3600+180+11 = 3791
I cunei da 1 a 9 indicavano le dita della mano.
Per le due mani, poi, la freccia.
I Babilonesi e l’astronomia
Noi accettiamo per convenzione che l’ora si divida in 60 minuti e
il minuto in 60 secondi, senza chiedercene il perché. Né ci
domandiamo perché l’angolo giro sia di 360° e ogni grado si
divida in 60 primi.
La scelta del numero 60 spetta forse ad un antico sacerdote come
conseguenza di alcuni dati astronomici ricavati dall’osservazione
del cielo.
E’ forse invece nata in base al conteggio di due rivoluzioni lunari.
Anche oggi tale sistema sessagesimale viene usato come è evidente
dal paragone:
3600 60 1 1h
1’ 1”
I babilonesi non avevano segni per lo zero, se non in certi numeri,
ad esempio 600 = come per noi 1’ 1”in cui la posizione
indica il valore (sist. posiz.).
Dobbiamo ricordare che i Babilonesi si servivano, per eseguire i
loro calcoli, dell’abaco, ogni fila dell’abaco conteneva 9 palline
che avevano valore diverso secondo la fila occupata.
Il numero 1 2 era considerato sacro perché dividevano l’anno in
12 mesi di 30 giorni e il giorno in 12 ore.
Il numero 3 indicava la triade dei loro dei.
Il rinvenimento di tavolette di argilla dimostra che i loro
mercanti utilizzavano per i conti anche una tavola di
moltiplicazione che fa pensare alla tavola pitagorica.
Civiltà Maya
La civiltà Maya, sviluppatasi nell’America Centrale e nel
Messico, indicava con una linea retta una mano, con due linee
entrambe le mani, con tre linee le due mani ed un piede.
Erano utilizzate venti cifre diverse: 1, un punto; 2, due punti; 3,
tre punti; 4, quattro punti; 5, una linea (la mano); 6, una linea e
un punto, disegnato sopra la linea..; 9, una linea e quattro punti;
10, due linee (le due mani)... 13, due linee e tre punti; 15, tre
linee...; 19, tre linee e quattro punti. E fin qui giungevano le
unità del loro sistema di numerazione. L’ultima cifra - la loro
decina possiamo dire - era il 20 indicato dal simbolo divino del
Sole, dio supremo della civiltà Maya.
I Maya dunque usavano un sistema di numerazione vigesimale, e
uguale sistema usarono pure gli Aztechi, pur rappresentandolo con
simboli diversi.
Si trovano tracce délla numerazione vigesimale in Europa: il
numero ottanta è detto in francese Quatre-vingts; gli inglesi
vendono le uova in ventine.
Il sistema vigesimale Maya era posizionale così ad esempio,
premettendo tre linee a 1 linea con 2 punti indicavano il numero
307. Infatti:
3 linee = 15 x 20 (che costituiva la loro decina) =300
1 linea con 2 punti =5+2= 7
300+7=307
(5+5+5)x20+5+2=307
Nota: Maya popolo che abitava la parte sud-orientale del Messico
(Yucatan) dal 3° sec.A.C. si distinsero nella matematica e
nell’astronomia.
Iscrizioni greche
Nelle iscrizioni greche i numeri sono indicati o col sistema “do
decadico” o col sistema alfabetico.
Nel primo i simboli sono verticali (come quelli romani). Il
sistema ricorda in parte i segni cuneiformi: fino al 4 le linee che
indicavano le dita, cambia il 5, il 10 è un triangolo con l’apice in
alto. Il simbolo delle decine è uguale fino alla quarta.
Il 50 è rappresentato come il 5 e con un piccolo triangolo
all’interno. .
100 è simile a una “H”; 500 è H; 1000è X; 10.000 è M.
Il sistema alfabetico era di due tipi: il primo formato da 24
lettere derivate dall’alfabeto fenicio, il secondo, più perfetto, di 27
segni: 9 per le unità, 9 per le decine, 9 per le centinaia. Le
migliaia si indicavano con le prime lettere, 9 lettere dell’alfabeto
con l’apice in basso a sinistra Si tratta di numerazione o meglio di
scrittura su base quinaria (segni verticali) e decadica.
Numerazione romana
I Romani usavano una numerazione basata sulle dita della mano
come molti altri popoli.
Era detta”indigitatio” .
Dall’1 al 5 la mano si apriva: un dito, due dita, tre, quattro (IIII)
e la mano aperta. Il dieci erano due mani aperte staccate o
opposte: V V-X.
Col tempo questa scrittura cambiò, così da rispettare le seguenti
regole:
* due simboli uguali si sommano;
* i simboli uguali non si ripetono più di tre volte;
* un simbolo minore a sinistra di un simbolo maggiore si sottrae;
* a destra si somma;
* una lineetta sopra una lettera indica un valore numerico mille
volte superiore.
Il sistema è additivo e ancora oggi è usato su targhe e lapidi
commemorative.
Noi usiamo le cifri arabe ma le parole : uno, due, tre.
quattro… derivano dal latino il che suggerisce con i bambini più
grandi un lavoro di paragone fra le parole latine e le
corrispondenti italiane.
Entravano nel contare mani, piedi e nella lettura di numeri,
anche piccoli, sottrazioni e somme.
Sistema di numerazione Indiano
Gli Indiani conoscevano già nei VII secolo dopo Cristo il modo di
rappresentare i numeri, piccoli e grandi, con dieci segni e le regole
delle operazioni.
Non dobbiamo però pensare che lo “zero” fosse già presente fin
dagli inizi quando impiegavano segni particolari dall’1al 9. Per
indicare una fila vuota lasciavano un piccolo spazio fra due cifre.
Per scrivere ad esempio 306, scrivevano 3 6. Ciò generava
confusione e lo spazio fu riempito con un punto, che si trasformò
infine nello zero.
Essi furono dunque gli inventori dello zero. Trasmisero agli
Arabi il loro sistema posizionale e questi nelle guerre di conquista
dall’Africa, alla Spagna, all’Italia lo diffusero in Occidente.
L’ordine delle nostre cifre
Il grande storico della matematica Malè scrive:
“La nostra numerazione scritta ci sembra così evidente che è quasi
impossibile renderci conto della sua importanza.
Chiunque, tuttavia, riflettesse sulla gloria della scrittura dei
numeri non può non, restare colpito dalla sua ingegnosità, perché
il concetto dl zero e il valore posizionale di ogni cifra è da
ritenersi una «scoperta» scientifica che ha contribuito alla
evoluzione culturale dei popoli”.
Il principio posizionale e l’uso dello zero furono acquistati
dall’Occidente quando dotti e commercianti si resero conto dei
vantaggi che ne derivavano. Ma il passaggio dai sistemi usati fino
allora al sistema di numerazione indiano, richiese un tempo assai
lungo, in cui anche i metodi di calcolo e la grafia delle cifre
vennero adottati e adattati ai luoghi in cui si diffusero.
Agli Arabi spetta il merito di aver fuso il rigore scientifico dei
matematici greci, con l’aspetto pratico della scienza Indiana.
Cosi favorirono la rinascita delle scienze europee nel Medioevo.
Nel 1100 fu tradotto in latino il testo di un grande matenatico
arabo, fu un fatto decisivo.
Leonardo da Pisa, dettò il Fibonacci, giunto ad Algeri alla fine
del secolo si interessò ai metodi di calcolo usati dagli Arabi e ai
principi più elevati della loro matematica. Nel, suo “Liber
Abaci” chiamò zephirum lo zero, definendolo «la decima figura
che di per sé non vale nulla, ma occupando un ordine, fa valere
quelle che vengono dopo di lei.»
L’uso delle, così dette, cifre arabe si stabilisce definitivamente e se
ne generalizza l’uso fra il XIV e il XV secolo (in Italia nel XIII).
Gli Arabi aggiungono come elemento nuovo l’angolo.
I sistemi di numerazione oggi
La numerazione comunemente usata oggi è quella decimale. Il
10 non è però la sola possibile base per un sistema di numerazione.
Molti popoli antichi, ad esempio, numeravano per cinque
contando le dita di una mano.
Oggi invece, con l’impiego dei calcolatori elettronici, si è molto
diffusa la numerazione in base 2 o sistema binario. Tutti i numeri
di questo sistema vengono composti con le due sole cifre: 0 e 1.
La precedenza del sistema decimale è stata a volte discussa nelle
scuole e si è provato a presentare ai bambini contemporaneamente
al Sistema decimale, sistemi in altre basi o far precedere l’uso
della base 2.
Dobbiamo ricordare che l’uso della numerazione su base 10 si è
diffuso nell’antichità per una ragione biologica: abbiamo 10 dita e
che il Sistema Decimale è in uso nella vita pratica.
I bambini assorbono i nomi delle cifre, i numeri, nella vita
familiare, e molte altre ragioni troviamo per mantenere questa
priorità.
(vedi Il sistema decimale- Chiara Presciuttini -Vita dell’infanzia
n° 4 gennaio 1980)
Molte ragioni: praticità (l’uomo rivela un fondamentale bisogno
di ordine), dunque semplicità, importanza di questo sistema
che segna una tappa fondamentale della nostra civiltà.
“Questo sistema rappresenta l’ultimo progresso per noi; ce ne
potranno essere degli altri, è vero, ma noi dobbiamo trasmettere il
nostro sistema presente che è venuto dopo altre maniere di contare
più complicate, meno chiare, meno rapide, venute come premesse.”
Sulla linea montessoriana i sistemi di numerazione binaria, ecc.
vengono proposti nella scuola elementare ai bambini fra gli otto -
nove anni di età, come ha ricordato Guidi, come ha scritto
Grazzini (venuti alla coscienza).
Lo studio dei sistemi di numerazione è soprattutto una via per
sentire l’unità di questa nostra umanità attraverso il tempo e lo
spazio.
(Congresso di Sanremo)
Vogliamo ispirare nei bambini sentimenti di riconoscenza e di
amore per il lavoro compiuto nel passato e che ovunque si compie
oggi ancora, lavoro spesso umile e silenzioso che poi lascia una
traccia indelebile nella storia, ma anche nella vita. Ma prima dei
bambini noi dobbiamo provare questi sentimenti, saper cogliere la
bellezza e la grandezza dell’uomo per donarla.
Primo piano della numerazione
È come una cellula germinativa, sulla quale sono racchiuse tutte le
difficoltà che in seguito verranno svolgendosi.
Sviluppo
Aste della numerazione;
Fuselli;
Gettoni (Marchette).
Aste della numerazione
1 quantità;
2 simboli;
3 appaiamento.
Quantità
“I bambini di quest’età, nell’ambito della famiglia, hanno contato
o sentito numerare: dicono a caso grandi numeri, cento o mille che
sia, senza, però, che nella mente abbiano un’idea chiara delle
corrispondenti quantità. In cambio essi percepiscono chiaramente la
corrispondenza per i numeri piccoli, perché sanno di avere un naso,
due mani, cinque dita per ciascuna mano, ecc. molte volte avranno
chiesto tre caramelle invece di due, dando così prova di conoscere
perfettamente il valore dei due numeri.
Con le aste numeriche che raggiungono il limite massimo del dieci
non si pretende di rivelare qualcosa, ma soltanto di ordinare e
precisare concetti vaghi e acquisiti empiricamente. Basta introdurvi
il bambino, con semplicità, perché egli rapidamente si interessi al
nostro sistema di numerazione.”
(M. Montessori Psicoaritmetica p. 6)
A questo punto il bambino ancora non conosce il numero, che è una
convenzione sociale. È necessario procedere lentamente e per gradi
in tre passaggi:
- la conoscenza della quantità;
- la conoscenza dei simboli;
- l’appaiamento di simboli e quantità.
Descrizione : le aste numeriche differiscono da
quelle di lunghezza per il colore rosso
e blu alternati sulla lunghezza
dell’asta più corta. Il numero è
presentato come unità: un unico pezzo
per l’1, un unico pezzo per il due, un
unico pezzo per il tre, ecc. La forma è
quella di prismi retti con la sezione
quadrata di cm 2,5. Le dimensioni
sono le stesse e vanno dall’asta più
corta (1) da dm1, a quella successiva
(2) dm 2, fino a quella più lunga
(10) dm 10.
Lezione di presentazione :
Le aste della numerazione, nella classe hanno un posto fisso
nell’angolo dell’aritmetica vicino al materiale sensoriale. L’uno
deve stare sempre a sinistra.
Con le aste della numerazione il bambino i avvicina al sistema
decimale. È abituato a distinguere a prima vista le differenti
lunghezze delle aste, poste una sotto l’altra. Concretamente conosce
le quantità, i numeri ordinali e quelli cardinali.
La maestra e il bambino stendono un tappeto in terra. La maestra
porta il bambino davanti alle aste della numerazione, dice il loro
nome al bambino e lo prega di portarle sul tappeto come faceva con
le aste della lunghezza.
Il bambino ne porta una alla volta seguendo tutti i movimenti che
faceva con le altre aste (messe parallele, in ordine sparso, mai due
sulla stessa riga, un po’ distanziate).
La maestra prega il bambino di riordinarle (l’uno a sinistra di chi
guarda).
Poi si inginocchiano sul tappeto.
Lezione dei tre tempi:
Associazione - la maestra tira avanti a sé e al bambino le prime tre
aste. Spinge le altre, senza scomporle in alto. Mette il tre da un
lato; prende in mano la prima asta tenendola agli estremi, la mostra
bene al bambino e dice:”uno”,” uno”, “uno”, per varie volte. La
poggia sul tappeto davanti al bambino e la tocca da sinistra a destra,
da un estremo all’altro, toccando i due bordi corti e quando la mano
si ferma dice:”uno”. Lo ripete alcune volte, poi passa l’asta al
bambino perché la tocchi. Guida con dolcezza e leggerezza la
manina facendo sentire i bordi corti, ossia leggermente salendo con
la mano a sinistra e discendendo a destra. Quando la manina è
ferma, dice insieme al bambino:”uno”. Questo per varie volte.
Prende in mano la 2 asta, tenendola agli estremi, la mostra bene al
bambino e dice:”due”, “due”, “due”, ecc. la poggia sul tappeto in
direzione del bambino e la tocca da sinistra a destra con l’indice e il
medio. Percorre tutto il primo tratto, si ferma sulla riga che divide i
due colori e dice:”uno”. Prosegue fino all’estremo dell’asta, si ferma
e dice:”due”. Questo per varie volte. Poi invita il bambino a
toccarlo guidando un po’ la mano, facendolo fermare con estrema
precisione dove i due colori si incontrano (bisogna insistere perché il
movimento sia fatto bene, tutto il segreto è lì). Quando la mano è
ferma dice:”uno”, poi prosegue fino in fondo e dice:”due”. Tutto
questo è il 1 tempo.
Riconoscimento - la maestra mescola i due oggetti, poi chiede, per
esempio:”qual è due?”. Il bambino lo prende.“Vediamo se è vero”,
dice la maestra. “Toccalo”. Poi “qual è l’uno?”,
“Toccalo”.Chiedigli se è vero, senti cosa dice, ecc, sono tutte frasi da
usare per allungare il permanere nel 2 tempo.
Memoria - il terzo tempo è rapido. “Come si chiama questo?”;
“due”, “toccalo”. “E questo?”, “uno”. Ripetere una o due volte.
Quando il bambino ha ben lavorato con le prime due aste, la
maestra può presentare l’asta del tre, chiedendo sempre al bambino
se è disposto a conoscere il numero successivo. Si procede con la
lezione dei tre tempi.
1° Tempo (Associazione) : la maestra mostra l’asta con solennità:
“tre”, “tre”, “tre”. La mette sul tappeto, la tocca da sinistra a destra
fermando la mano con precisione a ogni linea divisoria: “uno”,
“due”, “ tre”, per alcune volte. Poi la passa al bambino e sorveglia
che la tocchi bene e che si fermi nei punti giusti.
2° Tempo (Riconoscimento) : ora la maestra prende l’asta di “uno”,
lo tocca e dice:”uno” e la mette vicino al tre. Prende il due, lo tocca
e lo mette vicino alle altre due. Prende il tre di nuovo, lo tocca e
dice :”tre”. Poi cominciano le domande del 2 tempo: “qual è tre?”;
“qual è uno?”; “toccalo”; “qual è due?”. “Vediamo se è vero”; tutto
questo molte volte.
3° Tempo (Memoria) : “come si chiama questo?”; “e questo?”; “e
questo?”.
La maestra chiede al bambino:”ne vuoi conoscere un’altra?”. Il
bambino dice sì. Allora la maestra mette un po’ lontano le altre tre
e prende in mano il “quattro”. Fa il 1 tempo presentando e facendo
toccare a lungo il quattro. Poi, e questo vale per tutte le volte che
un’altra asta verrà presentata. La maestra esegue il 2 tempo e il 3
tempo con le aste già date al bambino, le tocca una per una
dicendone il nome tocca l’ultima; poi comincia le domande come ha
fatto quando ha presentato il tre. Questo vale anche se la maestra
riprende la presentazione in un altro giorno.
Il bambino alle volte non conosce ancora bene la successione e
salta senza volerlo un numero; per esempio il 7. Quando arriva al 7
la maestra non lo deve lasciar sbagliare e poi correggere ma deve
essere pronta a suggerirgli il numero.
Quando la maestra ha presentato tutte e dieci le aste, può
organizzare il 2 e il 3 tempo sotto forma di un gioco anche per un
piccolo gruppo di bambini.
Mescola tutte le aste e le dispone parallelamente, un po’ distanti fra
loro e dice al bambino: ”Vediamo se indovini l’asta 5?”.
Il bambino prende e verifica perché l’asta dice il suo nome. Se ha
sbagliato la rimette a posto e ne prende un’altra.
La maestra mescola di nuovo e chiede un’altra asta e così via per
vario tempo perché il gioco diverte molto il bambino.
Si può fare alla fine un terzo tempo.
Gioco:
La maestra prepara due tappeti. Mette su uno le aste in ordine
sparso. Prende un’asta qualunque e la porta sopra un altro tappeto.
Poi chiede al bambino un’asta subito più lunga di quella che è sul
tappeto. Si verifica. Poi ne chiede una subito più corta.
Si può dire al bambino: “Porta l’asta cinque”. Il bambino la porta
e la verifica. “qual è quella subito più lunga di cinque?” Forse il
bambino dirà sei. La porta e fa la verifica.
Se ha sbagliato cambia asta finché non trova quella giusta; così il
gioco può continuare a lungo e la maestra deve farlo molto spesso
con i bambini.
Prima di riportare le aste al loro posto il bambino deve riordinarle
sul tappeto.
Legge di Gauss applicata alle aste
numeriche
La legge di Gauss per conoscere la somma di una serie naturale di
numeri
(a + aⁿ) x 10
2
a indica la dimensione minore aⁿ
indica la dimensione maggiore 10
indica il numero dei componenti della
serie che viene diviso per due perché
deve essere fatta la media
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55
(10+1) x 10
2
= 11 x 10
2
=
55
Per le aste numeriche la legge di Gauss può sintetizzarsi anche con
la formula:
Semisomma del (quadrato della base + la base)
Ovvero
(base x base) x base
2
= (10 x 10) + 10
2
=
55
Simboli
Cifre smerigliate
“Per fissare bene questo quadro di fondamentale importanza,
dobbiamo unire al suo insegnamento la conoscenza dei simboli
numerici, C’è, per questo, un materiale analogo a quello usato per
insegnare le lettere dell’alfabeto: consiste di dieci piccoli cartelli
lisci su ciascuno dei quali c’è incollata una delle seguenti cifre:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 in carta smerigliata. Esse si fanno ripetutamente
toccare nel senso della scrittura, mentre se ne dice il nome: uno, due,
tre, ecc.”
(M.Montessori, Psicoarit metica, p.7)
Descrizione del materiale: sono 10 cartoncini o tavolette su cui
sono incollate 10 cifre, da 0 a 9 in
carta vetrata. Il materiale deve essere
bello; possibilmente la cifra deve
essere spostata a destra, per lasciare
alla mano sinistra il posto per tenere
ferma la tavoletta. Lo 0 viene dopo il
9.
Lezione di presentazione:
E’ una lezione individuale. Il lavoro si fa sul tavolino. Parallelo
ed indipendente dal precedente esercizio con le aste. La maestra si
siede alla destra del bambino. Porta con sé il contenitore delle cifre
smerigliate e le mette sul tavolo o su un banchettino alla sua destra,
lontano dal bambino.
Associazione - tira fuori le prime tre cifre- 1-2-3. Mette il 3 un po’
appartato alla sua destra. Mette 1 quasi davanti al bambino e dice
che quello è “uno”, lo tocca a lungo nel senso di scrittura, ripetendo
insistentemente e con una dizione chiara: “uno, uno, uno”, ecc. poi
lo da’ al bambino perché lo tocchi, fermandosi in tutti i punti in cui
le dita che toccano sentono il liscio. Lo stesso lavoro fa con il due.
Il tocco fatto bene ha un’importanza fondamentale.
Riconoscimento - (quello che ha più importanza per
l’apprendimento): la maestra chiede molte e molte volte al bambino
con vivacità, quasi facessero un bel gioco: “Qual è uno?”; “Qual è
due?”; “Tocca due”; “Dammi uno”; ecc, in modo che, in questo
secondo tempo, l’idea invada la coscienza del bambino.
Memoria - “Come si chiama questo?”; “E questo?”; e se il bambino
ha capito ripeterà: “Questo è uno”; “Questo è due”. Poi la maestra
presenta il tre. Scosta prima un po’ da una parte l’uno e il due.
Prende il tre, lo presenta al bambino, lo tocca con molto impegno
nel senso della scrittura e lo fa toccare lungamente al bambino. Poi
riprende uno, lo tocca e dice il nome. Riprende due, lo tocca e dice
il nome. Riprende tre, lo tocca e dice il nome. Poi fa il 2 e il 3
tempo della lezione, cominciando dal tre. Le altre cifre si
presentano via via una per volta ed ogni volta la maestra esegue il
secondo e il terzo tempo insieme a tutte le altre che già il bambino
conosce. Così si insegnano al bambino tutte le cifre ma non in un
giorno solo.
La conoscenza viene con la pratica.
Età : 3 anni – 3 anni e mezzo.
Appaiamento
“Unitamente alle cifre smerigliate, nello stesso schedarietto, ci sono
– a corredo delle aste numeriche – dieci cartelli coi numeri: 1; 2; 3;
4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Il fatto che a ciascuno di questi simboli
numerici si possa far corrispondere la quantità totale che esso
rappresenta sotto forma di un unico oggetto (come il numero ne è
l’unico segno), rende chiara e facile l’associazione fra simbolo
numerico e quantità.”
(M. Montessori, Psicoaritmetica, p.8)
Descrizione del materiale: aste della numerazione, due tappeti,
cartoncini numerati da 1 a 10. Essi
sono bianchi con i numeri rossi. Il
numero dieci è il doppio degli altri,
perché composto da due cifre.
Lezione di presentazione :
E’ individuale. Si esegue su due tappeti. La maestra porta su un
tappeto il vassoietto con i cartoncini dei numeri da uno a dieci. Il
cartoncino del 10 ha una lunghezza doppia degli altri. Lascia nel
vassoietto il cartello del 10 capovolto, affinché il bambino non
legga il numero prima che la maestra glielo presenti. La maestra
mette a uno a uno i numeri sul tappeto e il bambino ne dice il nome.
Li riprende, li mescola bene, li mette capovolti sul tappeto, ne
scopre uno alla volta. Ne chiede il nome (3 tempo). Fa ancora un 2
e un 3 tempo della lezione mentre i numeri sono in ordine sparso sul
tappeto e si rende conto che il bambino li conosce senza esitazione.
Se il bambino avesse qualche esitazione non farebbe l’appaiamento
dei numeri della quantità. Ricordiamo che prima di fare
l’appaiamento la maestra deve essere sicura che il bambino ormai
riconosca le aste sensorialmente solo guardandole. La maestra
raccoglie nuovamente i bigliettini. Li mescola bene, ne fa un
mazzetto e lo mette rivoltato sul tappeto. Il cartellino del 10 non si
tocca mai. Resta rivoltato o nel vassoietto. La maestra e il bambino
stendono un altro tappeto il più distante possibile dal primo. Su
questo tappeto si portano le aste in ordine sparso. Si torna al primo
tappeto. La maestra volta un biglietto: “Cinque” dice il bambino,
“Vai a prendere cinque” dice la maestra indicando l’altro tappeto.
Il bambino torna con l’asta cinque: “Che cosa dice il biglietto?”
chiede la maestra; “Cinque”, risponde il bambino. “Vediamo se è
vero?”. Il bambino conta (se per caso si è sbagliato asta la riporta
indietro e prende quella giusta. La maestra precisa che 5 è proprio
l’estremo limite dell’asta e lì si appoggia il biglietto 5.
Così si fa per tutte le altre aste che restano alla fine sul tappeto in
ordine sparso appaiate al biglietto che ne determina il numero. Sul
tappeto non ci sono altri biglietti da appaiare, ma sull’altro tappeto
è rimasta l’asta dieci. La maestra finge di essersene ricordata e con
grande solennità la presenta al bambino dicendo: “Questo è dieci”.
È la prima volta che il bambino vede il simbolo. Così anche l’asta
10 ha il suo simbolo e sta con le altre aste sul tappeto. La maestra
può, se vuole, togliere due o tre volte tutti i biglietti e farli appaiare
nuovamente alle aste che sono in ordine sparso. Infine si raccolgono
i biglietti e si fa ricostruire la scala. Ora la maestra prende tutto il
mazzetto dei biglietti, lo mescola e lo mette capovolto sul tappeto.
Ne prende uno alla volta. “È 4”. Il bambino parte da 1 e sale
contando le aste verticalmente dalla parte sinistra fino all’asta 4;
(numeri ordinativi) che è la quarta asta della serie. Poi conta
toccando come ha sempre fatto, le quattro unità dell’asta e al limite
estremo mette il biglietto. Così fa per tutte le altre aste. Alla fine
hanno tutte le aste in progressione e tutti i numeri in progressione.
La maestra e il bambino leggono la progressione a salire e a
scendere per varie volte. Con la giusta cantilena attira l’attenzione
degli altri bambini, che si uniscono al coro e spesso tutta la classe
partecipa con gioiosa allegria.
Combinazione delle aste – binomi di 10
“Dalla serie di aste, disposte in ordine, possono derivare attività di
composizione, scomposizione, confronto, ecc. È possibile effettuare
esercizi di spostamento e comparazione, sia con l’intera serie o
soltanto con una sua parte, sia con le aste lunghe sia con le aste
corte. Occorre però fare attenzione ad una sola cosa: che tutte le
combinazioni avvengano nel limite della decina, cioè di non
superare l’asta maggiore, poiché questo fatto porterebbe con sé
complicazioni anziché progresso… Tra questi primi esercizi che si
eseguono con l’intera serie, uno dei più chiari consiste nel formare
tutte le composizioni che danno dieci, collocando l’1 vicino al 9, il
2 vicino all’8, e così via,…”
(M. Montessori, Psicoaritmetica, p. 8)
Materiale : aste della numerazione e buste
colorate, dello stesso colore delle
perle, dei binomi del due, del tre, del
quattro, del cinque, del sei, del sette,
dell’otto, del nove e del dieci; tappeto,
lavagnetta, cancellino, gesso bianco,
gesso rosso, cartoncini usati per
l’appaiamento, scatolina con i
biglietti dei binomi del 10.
Lezione di presentazione :
Si portano le aste in ordine sparso sul tappeto e si riordinano. Tiro
verso di me tutte le aste. Faccio una piccola verifica per assicurarmi
che il bambino le conosce a vista. Distacco dalla serie il 10 e il 9 e
li metto vicini. Dico: “Guarda queste aste; che cosa potremmo
mettere vicino al 9 per farlo diventare come 10?”. “Mettiamo 1”.
“Ecco”, dico, “Ora sono uguali”. Il bambino unisce in modo
preciso le due aste. Allarga le braccia per rendersi conto che gli
estremi combaciano. Sovrappongono l’asta intera del 10 sull’altra.
Sono proprio uguali. Ora ho due 10. Uno è intero, l’altro 10 si può
chiamare anche 9 + 1. Spingo l’asta 9 + 1 in alto e porto il 10 in
modo da potere avvicinare l’asta di 8. Spingo 8 contro l’asta 10.
Ecco ora devo mettere 2; così avrò 3 dieci; ossia: 10 – 9+1 – 8+2.
Continuo con il sette seguendo tutti i movimenti fatti in precedenza e
lo stesso faccio con l’asta sei. Ora abbiamo cinque 10: 10 – 9+1 –
8+2 – 7+3 – 6+4 e anche se sono tutti uguali possiamo sempre
riconoscere quello di cui stiamo parlando. Rimane l’asta del 5. La
capovolgo; così abbiamo un inizio di moltiplicazione: 5 per due
volte ci da’ anche lui 10.
Ora si possono, volendo, appaiare i biglietti che ci sono serviti per le
aste della numerazione. Se il bambino sa già scrivere i numeri,
prendiamo una lavagnetta e un gesso bianco e scriviamo:
10
9 1 10
8 2 10
7 3 10
6 4 10
5 2 10
All’inizio scriviamo senza mettere i segni. Il bambino non li ha mai
adoperati, quindi la presentazione deve essere solenne e colpire la
sua attenzione. Infatti la maestra comincia a leggere quello che ha
scritto e dice: “9 più 1”, ma si ferma e dice: “Ma guarda, mi sono
dimenticata di scrivere +”. “Ora ti insegno come si fa”. E facendo la
crocetta dell’addizione fra il 9 e l’uno dice: “Questo si legge più”.
Ricomincia da capo la lettura e si accorge che questa volta non ha
scritto “uguale”. Allora la maestra fa le due linee e dice: “Uguale si
scrive così =”. Ora la maestra può leggere mettendo tutti i segni che
mancano e avrà:
10
9 + 1 = 10
8 + 2 = 10
7 + 3 = 10
6 + 4 = 10
5 X 2 = 10
Se il bambino vuole, può copiare tutto sul foglietto. 5 X 2=10, ha
scritto il 2 in rosso. Perché? Perché non indica la quantità ma le
volte che ho preso quella quantità. Allora è molto diverso all’altro
2 e allora lo scriviamo in rosso. Se vuole il bambino può copiare i
binomi di 10 sopra un foglietto.
Dimostrazione: il nome binomio si da’ al bambino
dopo che per la prima volta abbia
formato tutti i 10;
l’origine delle cifre viene dagli arabi,
si riferiscono agli angoli; lo 0 non ha
angoli;
il bambino, per molto tempo, nel
comporre il 10 deve mettere i biglietti
dell’appaiamento, ma non scriverli.
Poi la maestra scriverà sulla
lavagnetta e gli insegnerà i segni. Poi
potrà scrivere.
Binomi
1+1=
1+2= 2+1= 3+1= 1+3= 2+2=
4+1= 1+4= 3+2= 2+3= 3+3=
2+4= 4+2= 1+5= 5+1= 3+4=
4+3= 6+1= 1+6= 5+2= 2+5=
4+4= 7+1= 1+7= 6+2= 2+6=
3+5= 5+3= 5+4= 4+5= 6+3=
3+6= 8+1= 1+8= 7+2= 2+7=
5+5= 1+9= 9+1= 2+8= 8+2=
3+7= 7+3= 6+4= 4+6=
Binomio di 10
Binomio di 9
Binomio di 8
Binomio di 7
Binomio di 6
Binomio di 5
Binomio di 4
Binomio di 3
Sottrazione
Dopo un po’ di tempo, rimettendo a posto le aste, comincerà il
lavoro della sottrazione. Si fa oralmente nella “Casa dei Bambini”.
La maestra tira giù dal gruppo l’asta del 5. Stacca un poco l’asta
6+4. Ci mette sopra l’asta 10 e nuovamente si convince che è
uguale. Ora leva l’asta del 10 intera. Poi dice al bambino facendo
scorrere la mano lungo l’asta 6+4: “Questa è 10”. Poi porta via il
4 e dice: “10-4=?”. “Sei”, dice il bambino. La maestra rimette a
posto il 4 e toglie il 6 e dice: “10-6=?”, “4” dice il bambino. La
maestra mette il 4 sotto al 5 e il 6 sopra. Porta avanti l’asta 7+3.
Ci mette sopra l’asta 10 per convincersi che è uguale. Mette via
l’asta intera. Toglie 3 e dice: “10-3=?”, “7”. Rimette il 3 e toglie
il 7. Dice: “10-7=?”; “3”. Mette il 3 sotto il 4 e il 7 sopra il 6 e
così via.
Annotazioni : entro il 10 abbiamo visto le 10 quantità e i 9 segni
che precedono i primi 9 gruppi. Il segno che distingue il 10 inizia
da una nuova numerazione; abbiamo imparato i nomi, abbiamo
conosciuto lo zero, abbiamo fatto addizioni, sottrazioni e inizio
moltiplicazioni. Ora i bambini possono passare ai binomi del 9,
dell’8, del 7, del 6, del 5, del 4, del 3 e del 2 secondo le stesse
modalità viste finora. La maestra parte dal binomio del 9, togliendo
l’asta del dieci. Dopo averli formati tutti con le aste, la maestra
prende i biglietti corrispondenti e li appaia. Quando farà lo stesso
lavoro il bambino porterà i biglietti sul suo tavolo per copiarli.
Con la stessa metodologia la maestra presenterà gli altri binomi.
La maggior parte del materiale Montessori è polivalente, può essere
considerato a più livelli e a diverse età Con le aste della
numerazione per esempio un adulto, anche privo di conoscenze
metodologiche può arrivare a dedurre il principio di Gauss. Si può
osservare infatti che le aste uguali sono 5, cioè la metà del 10 e in
più c’è l’asta del 5. La forma che esprime quanto detto è la seguente:
10 5 + 5 = 55
Questo procedimento facilita il calcolo della somma delle unità
contenute nella serie. Basterà quindi moltiplicare il numero
maggiore per la sua metà e aggiungervi la stessa metà. Potremo così
chiamare n, un numero qualunque, la somma delle unità contenute
nei numeri compresi fra 1 e n sarà:
n X n
2
+ n
2
= n
2
2
+ n
2
= n
2
+ n
2
Possiamo dire che la somma della serie naturale dei numeri interi è
uguale alla semisomma fra il quadrato dell’ultimo numero e
l’ultimo numero. E la formula algebrica sarà:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + n =
n
2
(n+1)
In altre parole tale somma è uguale al prodotto della metà
dell’ultimo numero per l’ultimo numero aumentato di uno.
Quando abbiamo una serie di numeri in ordine crescente di uno in
uno, si possono comporre gruppi, la cui somma è uguale al
maggiore, sommando l’uno al penultimo, il due al terz’ultimo, il tre
al terz’ultimo, ecc.
Le aste contengono altri principi, che potranno servire in un altro
momento.
Scopo diretto : presentazione del sistema decimale.
Scopo indiretto : - educazione della mano, strumento
dell’intelligenza;
- sviluppo della capacità attentiva,
della volontà;
- sviluppo della memoria muscolare;
- aiuti alla formazione della mente
logico- matematica;
- intuizione del sistema metrico –
decimale;
- introduzione al concetto di
addizione, sottrazione e
moltiplicazione.
Controllo dell’errore : visivo con le aste a canna d’organo,
tramite l’asta del corto cioè dell’1.
Scatola delle addizioni
È una scatola dove ci sono i bigliettini di tutti i binomi entro il dieci
e tutti i rispettivi risultati. Il bambino si prepara il suo tavolino con
in cartellino, una penna ed un foglietto poi prende le aste e le porrà
sul tappeto. Le riordina.
Dalla scatola delle addizioni prende per prima cosa i risultati e sul
tappeto li mette tutti in ordine uno sull’altro quelli uguali, in modo
da averli pronti, un gruppo sotto l’altro.
Dopo aver riordinato le aste, sceglie un biglietto ad esempio :
5 + 3
prende l’asta del 5 e del 3 e le avvicina, conta toccando, poi prende
l’asta dell’8 e controlla che sia uguale.
Mette il bigliettino con il risultato. Va al posto e scrive l’operazione
sul foglietto. Poi prende un altro bigliettino e continua (li scriverà
sul foglietto uno sotto l’altro) un biglietto già scritto resta sul tavolo
in modo che non possa pescare ed eseguire sempre gli stessi
calcoli già fatti.
Teorema :
Per mezzo delle aste si può arrivare al teorema che permette di
calcolare la somma di una successione di numeri che parta da uno.
Es. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
Se ordiniamo le aste secondo i binomi di dieci ci accorgiamo subito
che il risultato è 55
Algebricamente: 10 x 5 + 5 =
10 x 10
2 +
10
2
=
102
2 +
10
2 =
102
+ 10
2
Formula algebrica :
n2
+ n
2
I fuselli
Descrizione del materiale: due casellari di legno divisi ciascuno
in cinque scomparti, ecc.
In un cestino o in un contenitore 45
fuselli, ecc.. in ogni reparto,
all’infuori di quello dello 0, un
nastro abbastanza lungo di nylon.
Età : 4 anni.
Annotazioni: il lavoro consiste nel mettere dentro a
ciascun reparto tanti fuselli, quanti ne
richiede la cifra del reparto in
questione. I fuselli, prima di essere
messi nel reparto vengono contati uno
a uno lentamente e poi legati. Qui
l’esercizio consiste nel raggruppare le
quantità, mentre nelle aste della
numerazione erano già unite nella
struttura stessa del materiale.
Lezione di presentazione:
Tavolo sgombro. La maestra (o il bambino) portano sul tavolo
vuoto un casellario alla volta, poi portano i fuselli. La maestra si
siede alla destra del bambino. Sistema i casellari davanti al
bambino un po’ in alto, in modo che resti fra lui e il casellario lo
spazio per mettere il nastro. Si toccano col dito uno per volta i
numeri della successione (in successione) e si chiede ogni volta : “Lo
conosci?”. Poi si fa un secondo tempo della lezione dei tre tempi
chiedendo: “Qual è otto?”; “Qual è sei?”; “Qual è due?”; ecc ; ma a
salti. E soprattutto, per due o tre volte: “Qual è zero?”. Poi un
breve terzo tempo. Ora la maestra prende il nastro dalla casella
“uno”. Lo stende con molta cura e toccando “uno” chiede: “Quanti
ne vuole?”; “Uno” dice i bambino. Ne prende uno, lo mette dritto in
mezzo al nastrino.
“Sai fare il fiocco?” chiede la maestra. “No” dice il bambino.
Allora fai semplicemente un nodo e metti il fusello nella casella
“1”. L’uno è anch’esso legato, perché è un insieme a sé. Toccando il
“due”, la maestra domanda: “Che cosa ti chiede?”; “Due fuselli”
dice il bambino. Prende il nastrino dal reparto “due”, lo stende bene
davanti a sé, la maestra l’aiuta ad eseguire quest’azione con
precisione; il bambino mette due fuselli nel mezzo del nastrino e fa
il nodo. Poi dispone i due fuselli legati nel reparto “2”. Così si
prosegue fino a “9”. Se il bambino ha contato bene ogni gruppo di
fuselli, a distribuzione ultimata, non dovrebbe restare nessun fusello
nel cestino. Se avanza qualche fusello, o se manca, è segno che il
calcolo è sbagliato e il bambino serenamente si rimetterà a cercare
l’errore. Rimane vuota la casella dello zero. Qui non possiamo
mettere nessun fusello, perché “zero” significa “nulla” – è l’insieme
vuoto – il bambino non ha finora astratto il concetto. La lezione
dello zero si fa con i fuselli. A lavoro ultimato il bambino scioglie
ad uno ad uno i gruppi di fuselli. Mette i fuselli nel loro contenitore
e il nastro nel reparto da cui ha tolto il gruppo.
Scopo diretto : unire alla successione numerica
inamovibile, la quantità relativa
entro la serie del dieci.
Scopo indiretto : fissare bene e sotto tutti gli aspetti il
concetto di numero, per una più
profonda formazione della mente
matematica, che acquista una sempre
maggiore capacità di addentrarsi nel
mondo dei numeri.
Controllo dell’errore: è nel numero “45” dei fuselli. Se vi è
stato qualche errore il bambino avrà
maggiore o minore numero di fuselli
nella casella del nove.
I gettoni
(Le marchette)
Pari e dispari
Età : 4 anni
Descrizione del materiale: scatole contenenti 55 piccoli
oggetti separati (gettoni colorati,
marchette dello stesso colore,
macchinine, palline, ecc.) e una
serie di cartoncini bianchi con
sopra i numeri in rosso da 1 a
10.
Annotazioni: Questo materiale corrisponde al terzo
momento, cioè quello della memoria.
La maestra verifica se il bambino
riconosce i numeri nella loro
successione e le quantità da essi
rappresentate.
Presentazione:
Tavolo sgombro. Maestra seduta alla destra del bambino. Si
mettono sul tavolo i cartellini in ordine sparso. Come sempre si fa
precedere la presentazione dell’esercizio da una chiara visione del
materiale che sta adoperando. I cartellini sono nella parte bassa del
tavolo verso il bambino. La maestra prende “1” e lo mette
nell’angolo alto a sinistra, dopo averlo fatto leggere al bambino.
“Che cosa viene dopo 1?” chiede la maestra. Certo, ormai il
bambino lo conosce e dice “2”. Cerca il cartellino di 2 e lo mette
alla destra di 2. La maestra gli fa vedere che deve stare distacco
dall’altro (almeno cm 1). Poi mettendo il dito per indicare sotto
ogni cartellino dice “uno”, “due”, poi ferma il dito alla destra di
due, nello spazio vuoto dove dovrà venire 3 e chiede: “E qui?”. Il
bambino dice “tre”, lo cerca e lo mette al seguito dei primi due. La
maestra comincia da capo: “Uno, due, tre e qui?” indicando il posto
vuoto vicino a “tre”. “Quattro” dice il bambino. Cerca il cartellino
e lo mette a posto. Questa volta la maestra prende per un momento
la manina del bambino e lo invita a contare con lei. Piano piano,
dritti vanno al loro posto. (è bene ricominciare a contare ogni volta
i numeri già messi perché il bambino impara la successione
Messa la serie dei numeri si prendono le marchette. Insieme al
bambino, ne mettiamo una sotto a 1; 2 sotto al numero due, però
prima si preparano sul tavolo in basso, poi, mettendo i due indici,
uno per marchetta; si spinge la coppia in alto. Si parte, con il
movimento precedente la prima coppia. Ma la seconda non c’è
perché c’è invece una marchetta sola che aspetta di essere messa a
posto. La si colloca sotto la coppia nel centro. Per procedere si
ricomincia sempre a contare da 1 e si appaiano le relative coppie.
Questa disposizione ci permette di distinguere alcuni numeri da altri,
cioè quelli formati da coppie esatte; si distinguono benissimo da
quelli che non hanno le coppie complete. I primi si fanno notare al
bambino e si dice: “Sono numeri pari”; “Gli altri, che hanno nel
fondo una marchetta isolata, sono dispari”.
Si fa una lezione dei tre tempi. “Fammi vedere un numero pari”;
“Fammi vedere un numero dispari”; “Nomina un numero pari”;
“Nomina tutti i numeri pari”; “Nomina tutti i numeri dispari”;
“Copri tutti i numeri pari”; “Scopri i numeri pari e copri tutti i
dispari”.
Terzo tempo : “Com’è questo numero?”; “e 5?”; “e 3?”; “e 6?”; (il
bambino risponde pari o dispari). Poi si fa notare al bambino che il
dito indice passa senza trovare arresti, ne numeri pari, ma viene
arrestato dalla marchetta isolata nei numeri dispari.
L’insegnante può utilizzare questo materiale, purché sia stato
utilizzato per molto tempo dal bambino, per fargli vedere la metà di
ogni numero. Oppure, contando le coppie, quante ce ne vogliono per
formare per esempio l’8 o il 4 o il 10 o il 2 e dare all’inconscio del
bambino anche una prima visione della divisione.
Scopo diretto : rafforzare la conoscenza della
successione dei numeri appaiati alle
relative quantità (da 1 a 10) l’intima
costruzione di questi primi 10 numeri
che si da’ con l’esercizio del pari e
dispari.
Scopo indiretto : mettere basi sempre più solide per la
costruzione della mente matematica.
Aiutare il passaggio all’astrazione con
una profonda conoscenza dell’intima
struttura della decina.
Controllo dell’errore : è nella disposizione del materiale e
nel materiale stesso.
Annotazione :
Questi tre esercizi ,che svolgono tutto il primo piano della
numerazione, si susseguono, si potrebbe dire, quasi come una grande
lezione dei tre tempi. Nel primo tempo (la presentazione) il
bambino viene a conoscere le quantità e i relativi segni che le
rappresentano; aste della numerazione. Il secondo tempo è dato dai
fuselli, si legge il numero e il bambino riconosce le quantità
(riconoscimento). Il terzo tempo ha il ricordo esatto dell’argomento
e lo riproduce (riproduzione). Così generalmente procede il lavoro
mentale del bambino.
La lezione dello zero
«Occorre far sentire cosa è il nulla. Per questo usiamo degli esercizi
che divertono immensamente i bambini. Io mi metto in mezzo a
loro, che stanno seduti sulle loro seggioline, mi rivolgo ad uno che
ha già fatto l’esercizio dei numeri e gli dico: “Vieni, caro, vieni da
me zero volte”. Il bambino quasi sempre corre da me e poi torna al
posto. “Ma, figlio mio, tu sei venuto una volta e io ti avevo detto
zero volte”. Comincia la meraviglia: “Ma allora cosa dovevo
fare?”. “Nulla; zero è nulla”. “Ma come si fa a fare nulla?”.
“Nulla; nulla, non si fa. Tu dovevi star fermo; non dovevi
muoverti, non dovevi venire nessuna volta; zero volte, niente
volte…»
(M. Montessori, La scoperta del bambino, pag.293)
Per evidenziare che la quantità zero è nulla, niente, è necessario
proporre al bambino dei giochi del tipo: “Dammi due bacetti”,
“Dammi zero carezze”, “Mi dai tre matite?”, “Mi dai zero matite?”
Nota: per rendere meglio comprensibile che
lo zero è niente bisogna partire sempre
da esercizi con la quantità.
I giochi entro il dieci
Primo gioco: il gioco dello zero
Materiale: in un cestino sono riposti dieci
bigliettini piegati con cura dove, sulla
facciata interna, è scritta una cifra da
0 a 9.
In un altro cestino ci sono
quarantacinque piccoli oggetti tutti
uguali.
Presentazione:
La maestra invita a giocare 10 bambini, ognuno dei quali prende un
bigliettino piegato che andrà ad aprire ritornato al proprio posto.
Letto attentamente con il pensiero il numero che vi è scritto, senza
rivelarlo ai compagni, il bambino ripiega il biglietto e lo conserva.
Distribuiti tutti i bigliettini la maestra dice che qualcuno ha preso il
bigliettino dello zero, ma nessuno può parlare per confermare o
negare.
Allora, uno alla volta, i bambini sono invitati dall’insegnante a
prendere da un cestino un numero di oggetti pari al numero scritto
sul loro bigliettino, a tornare al proprio posto e a disporre sul tavolo
tutti gli oggetti che hanno prelevato, in maniera analoga a come
collocano i gettoni.
Alla fine se nessuno si è sbagliato nel prelevare gli oggetti, non ne
dovrebbero né mancare né avanzare.
A questo punto l’insegnante va da ogni bambino e verifica se la
quantità degli oggetti presi da ogni bambino corrisponde al numero
che è scritto su ciascun biglietto. Infatti il bambino con il biglietto
dello zero dovrebbe non aver prelevato nulla.
Scopo diretto: Verificare se il bambino ha compreso
il significato dello “zero” e se è capace
di appaiare la quantità al simbolo
entro il “dieci”.
Controllo dell’errore: è nel materiale.
“E’ interessantissimo studiare l’espressione del viso dei possessori
dello zero: le differenze individuali che ne risultano, sono quasi una
rivelazione del carattere di ciascuno. Alcuni restano impassibili, con
un fare orgoglioso…, altri manifestano con gesti momentanei
l’impressione del disappunto, alcuni non possono nascondere il
sorriso che nasce dal sentimento di una situazione singolare, la quale
desterà negli altri curiosità; alcuni poi seguono tutti i movimenti dei
compagni, fino alla fine dell’esercizio, con evidente espressione
mimica di desiderio, quasi d’invidia; altri infine manifestano una
subita rassegnazione. […]
Bisogna però dare delle lezioni sul contegno: “Badate, è difficile
tenere il segreto dello zero; lo zero sfugge dal naso: fate i disinvolti,
non lasciate capire che non avete nulla”. Infatti dopo qualche
tempo, l’orgoglio della dignità ha il sopravvento e i piccini si
abituano a ricevere lo zero e i numeri piccoli, con disinvoltura,
contenti di non manifestare più i piccoli sentimenti dei quali prima
erano schiavi”.
(M. Montessori, La scoperta del bambino, pag. 295)
Secondo gioco: il gioco dei cubetti
Materiale: una scatola contenente dieci bigliettini
piegati in due, contenenti ciascuno un
numero da 0 a 9;
Quarantacinque cubetti di legno;
Presentazione: per svolgere questa attività
l’insegnante invita dieci bambini a
lavorare con lei e dispone nel tavolo
avanti a sé sia i cubetti che la scatola
con i dieci biglietti.
Ogni bambino va a prendere un
biglietto piegato in due parti. Una
volta preso torna la suo posto e lo
legge in gran segreto e a bassa voce e
senza far vedere la cifra scritta agli
altri compagni.
Dato tempo a tutti di leggere i
bigliettini, l’insegnante invita un
bambino alla volta ad andare a
prendere la quantità di cubetti
corrispondenti alla cifra indicata nel
biglietto e di tornare al proprio posto
con i cubetti. Questi andranno disposti
dal bambino allineandoli al due a due
davanti al biglietto.
Quando tutti avranno preso i cubetti,
l’insegnante passerà a controllare se
hanno preso giusto e si scoprirà chi
avevo il biglietto con scritto 0.
Scopo diretto: sviluppo della memoria,
dell’attenzione e della volontà,
Corrispondenza fra simbolo e
quantità.
Scopo indiretto: sviluppo della socializzazione.
Terzo gioco: il gioco con i bastoncini delle
perle colorate
Materiale: nove aste di perle colorate: ogni
gruppo di perle ha un colore diverso
dagli altri gruppi,
Cartelline con le cifre che
corrispondono alle quantità da 1 a 9,
Un tappetino.
Presentazione: l’insegnate prepara l’attività mettendo
su un tavolo un tappeto, i bastoncini e
i cartellini con le cifre da 1 a 9.
Invita nove bambini a lavorare con
lei. Essi dovranno prendere un
cartoncino con indicate le cifre, e
andare a prendere nel tavolo
dell’insegnate i bastoncini di perle
corrispondenti al numero riportato
nel cartoncini.
Questi bastoncini dovranno essere
contati dal bambino contando una
perla alla volta con le dita e ad ogni
tocco dire la quantità corrispondente.
Questo gioco può essere svolto anche
individualmente e diventa un esercizio
di riconoscimento delle quantità,
mentre quando è di gruppo è un
esercizio di memoria.
Scopo diretto: - sviluppo della memoria,
dell’attenzione e della volontà,
- Corrispondenza fra simbolo e
quantità.
Scopo indiretto: sviluppo della socializzazione.
Il primo serpente positivo di primo
livello
Eta’: Quattro anni e mezzo, comunque
quando il bambino sa contare entro il
dieci e conosce il bastoncino delle
decine (le perle del sistema decimale)
e la scatola delle perle colorate
(esercizi paralleli al sistema decimale,
passaggio da dieci a diciannove).
Materiale: un tappeto,
una scatola di legno divisa in nove
scomparti in ognuna dai quali sono
raccolte delle perle colorate da uno a
nove,
una scatolina con dei bastoncini di
dieci.
Nella scatolina delle perle colorate si
trova un cartoncino a forma di ponte,
che servirà per contare le perle.
Presentazione:
Il bambino dovrebbe conoscere già le perle colorate e sapere a che
quantità corrispondono; per sicurezza l’insegnante potrebbe eseguire
il secondo e il terzo momento della lezione dei tre tempi: «Prendimi
quattro», «Come si chiama questo?».
Ora la maestra propone al bambino di costruire un serpente colorato
iniziando ad estrarre una perlina rossa (equivalente ad uno) e a
posizionarla in alto a sinistra sul tappeto. Acconto vi pone il
bastoncino del nove (in blu turchino). Prosegue aggiungendo il
bastoncino del due (verde), poi dell’otto (celeste), del tre (rosa), del
sette (bianco), del quattro (giallo), del sei (marrone) fino a porre
per ultimi due bastoncini del cinque (azzurro).
A questo punto la maestra propone di costruire un altro serpente con
i bastoncini di perle dorate che sia uguale in lunghezza al primo.
Apre la scatolina dei bastoncini di perle dorate, lasciando il
coperchio accanto alla scatola, prende il cartoncino a forma di
ponte e inizia a contare una ad una le perline del serpente colorato,
iniziando da sinistra verso destra. Quando arriva a dieci, ovvero
arriva a contare l’ultima perlina del bastoncino del nove, si ferma e
pone al di sotto del primo serpente un bastoncino dorato dicendo
appunto «Dieci», facendo in modo che il bambino veda
l’equivalenza tra il bastoncino dorato e i due bastoncini colorati
(quello dell’uno accanto a quello del nove).
Continua nello stesso modo contando le perline del bastoncino del
due e dell’otto, arrivata a dieci, prende un altro bastoncino dorato e
lo pone affianco al primo.
Prosegue contando la coppia di bastoncini del tre e del sette, del
quattro e del sei e dei due cinque, aggiungendo ogni volta che arriva
al numero dieci un bastoncino di perle dorate al secondo serpente.
Alla fine si otterranno due serpenti l’uno parallelo all’altro di
lunghezza equivalente: uno composto da cinque coppie di bastoncini,
l’altro da cinque bastoncini dorati.
Per verificare se la sostituzione è stata eseguita in modo esatto,
l’insegnante dispone il serpente dorato in senso verticale e accosta ad
ogni decina la coppia di bastoncini che compongono insieme il
numero dieci (uno e nove, due e otto, tre e sette, quattro e sei, due
cinque).
Per riordinare si parte dall’alto a sinistra.
Il serpente positivo di secondo livello
Presentazione: individuale.
Prima di iniziare la presentazione del “Serpente Positivo” la
maestra presenta al bambino i 5 bastoncini neri e i quattro neri e
bianchi e lo invita a disporli in successione partendo dall’1 nero
messo in alto:
- Si estrae un bastoncino alla volta dalla scatola dei resti e si
invita il bambino, dopo averli messi in ordine sparso, a
denominarli e a ordinarli in successione sul tappeto;
- Si prende e si apre la scatola grande dei bastoncini di perle
colorate e si estrae, a caso, una quantità più o meno grande di
bastoncini mettendoli in fila, in modo da formare un serpente
colorato.
Quando il bambino, su invito della maestra, ha composto il serpente,
si chiude la scatola delle unità ponendola poi sul tappeto che si
trova alla destra del bambino, per evitare che si mettano in essa i
bastoncini addizionali e anche per concentrare l’attenzione del
bambino sull’esercizio che eseguirà.
Aperta la scatola delle decine, si dispone il suo coperchio a lato di
questa, per raccogliere via via i bastoncini colorati del serpente che
vengono sostituiti dalle decine dorate.
Il bambino conta bene una perlina alla volta fino a 10, aiutato dal
ponticello, che viene lasciato dopo la decima perlina come segno e se
del bastoncino colorato che sta contando c’è una parte che resta dopo
aver formato il 10 (perle sostituite con una decina dorata), la indica
con un bastoncino nero o nero o bianco (il resto); tolti i bastoncini
colorati già contati, il bambino ricomincia il conteggio dal
bastoncino del resto (cioè dalla decina dorata in poi) e a 10 si ferma
di nuovo, conta al di là del ponticello quante unità mancano per
finir il bastoncino colorato, le indica e sostituisce con un equipotente
bastoncino nero o nero e bianco, sostituisce i bastoncini colorati con
un dieci e raccoglie via via i bastoncini di perle colorate
nell’apposito coperchio; il bambino prosegue nel suo esercizio
contando di 10 in 10 finché il serpente diventa dorato (ha cambiato
pelle).
Si invita il bambino a contare le decine e il resto rappresentato dai
bastoncini neri o neri e bianchi se c’è per valutare il serpente.
“Le decine che si accumulano si contano a parte con piacere perché
rappresentano il lavoro facile dopo quello difficile e la
soddisfazione di riscontrare le proprie ricchezze, dopo la fatica di
averle ammassate”.
(Da “Psicoaritmetica”, M. Montessori, pag. 44)
La verifica dell’operazione eseguita si effettua raccogliendo tutti i
bastoncini via via usciti dal gioco, disponendoli in gradazione
numerica, invita il bambino a mettere a fianco di ogni decina dorata
una formata dai bastoncini di perle colorate.
Nota: il lavoro risulta facile per il bambino
che ha lavorato con le aste numeriche
(i binomi di 10). Se c’è un bastoncino
dei resti, questo sarà posto a fianco
delle decine dorate a cui corrisponderà
un bastoncino di perle colorate.
Se tra il serpente dorato (con o senza
la codina nera o nera e bianca) e
quello colorato c’è perfetta
corrispondenza, il serpente positivo è
stato contato bene e il gioco è ben
riuscito.
Nota: si può operare il cambio per formare
il 10 con 2 bastoncini di perle
colorate.
“L’esercizio del serpente fissa l’attenzione del bambino sulla
difficoltà del contare attraverso il dieci. Tale difficoltà, ripetendosi
costantemente, abilita il bambino per procedere in modo esatto, dal
momento che non lo preoccupa la tranquilla e uniforme serie delle
decine, che via via si lascia indietro.
In tal modo viene messo in rilievo il meccanismo del conteggiare
gruppi di unità nel sistema decimale”.
“Gli esercizi con il serpente, ripetuti per lungo tempo, finiscono per
rendere meccanico il lavoro della mente intorno al dieci: a poco a
poco sparisce la lenta attività di ragionamento, sostituendosi con un
meccanismo mentale. Infatti, le leggi che regolano le attività
razionali portano queste ultime a mettere in serbo quel lavoro,
affidando al deposito della memoria le conoscenze acquisite, per
potersi così finalmente dedicare a lavori successivi.
Tale deposito rappresenta dunque un ammasso di ricchezze, un
autentico ammasso, un avanzamento”.
(Da “Psicoaritmetica”, M. Montessori, pag.43)
Il serpente positivo: sequenza….
Il serpente è stato costruito
In alto si osservano le decine dorate pronte per cambiare pelle al
serpente e i bastoncini bianchi e neri a “canne d’organo”.
Un serpente positivo per la
ricerca del 10
Un esercizio che si può intraprendere parallelamente ad altri già
descritti e che ha lo scopo di far eseguire quasi meccanicamente
piccole addizioni di unità, introducendo così i bambini al calcolo
mentale, si realizza mediante un materiale di perle che rappresenta i
gruppi numerici inferiori alle decine (i bastoncini di perle colorate).
Età: dai 4 anni e mezzo ai 5, quando il
bambino sa contare entro il 10 e
conosce il materiale di perle del
sistema decimale.
Descrizione: una scatola di legno divisa in 9
scomparti, contenenti ognuna 9
bastoncini diversamente colorati a
seconda della quantità che il colore
esprime in modo che il bambino operi
senza contare ogni singolo bastoncino
(dal colore del bastoncino si
riconoscono le quantità come si
riconoscerebbero le cifre).
Nota: ogni scomparto contiene 9 bastoncini
della stessa quantità: 9 “uno” rossi, 9
“due” verdi, 9 “tre” rosa….
Annessi alla prima, ci sono due
scatole più piccole, l’una con le
decine dorate, l’ altra con i bastoncini
per i “resti”, da 1 a 5 formati da
perline nere, dal 6 viene aggiunta
progressivamente una perlina bianca,
per ottenere i numeri successivi fino al
9. Ad esempio il bastoncino del 7 sarà
formato da 5 perline nere e 2 bianche.
Corredano il materiale un tappeto e
un ponticello (per contare le unità).
Materiale per il serpente positivo
Gioco del serpente con numeri positivi e
negativi (risultato positivo)
Età: sei anni circa.
Materiale: lo stesso usato per il gioco del
serpente positivo ed in più una
scatola divisa in scomparti
contenenti: una serie di
bastoncini grigi da 1 a 9 (6,7,8,9
hanno dopo le prime cinque
perle un doppio anello che
permette il rapido
riconoscimento del numero).
Disposizione: si dispone come il gioco del
serpente positivo però si
introducono ogni tanto anche i
bastoncini grigi di valore
negativo, che dovranno essere
sottratti.
Esecuzione: quando si incontrano i bastoncini
positivi si procede nel modo noto
(addizionando) quando si
incontra un bastoncini si conta a
ritroso, ossia si sottrae. Se per
esempio dopo una decina
incontriamo un due positivo e
subito dopo un cinque negativo
non potendo sottrarre cinque da
due, si dovrà considerare anche
la precedente decina, ossia dodici
ed a questo numero si dovrà
sottrarre cinque.
Per il controllo si prendono i
bastoncini negativi che erano nel
serpente prima che questo fosse
tradotto in decine. Vengono
annullati ponendo accanto a
questi bastoncini positivi
equivalenti, sempre appartenenti
al serpente. Con i bastoncini
rimasti si esegue la prima prova
del serpente positivo (porre
accanto alle decine i bastoncini
colorati e vedere se questi si
equivalgono).
Scopo diretto: memorizzazione della
sottrazione.
Secondo piano della numerazione
Il sistema decimale
Le unità si organizzano in base 10
Introduzione
La legge fondamentale del sistema decimale fa pensare che si tratti
di un sistema di nove anziché di dieci.
Il sistema decimale è, invece, un sistema che organizza le unità
secondo la base 10.
È questa la ragione per cui nel primo piano della numerazione non
abbiamo mai superato il 10; infatti rimanendo dentro quel limite,
stiamo dentro la chiave del sistema decimale, il quale altro non è
che un susseguirsi di decine: decina di unità semplice, decina di
decine, decina di centinaia, decina di unità di migliaia, decina di
milioni, ecc, all’infinito.
Il sistema decimale si basa su nove segni più lo zero. Ai nove segni
corrispondono nove gruppi di unità legate dal fatto che ogni gruppo
ha un’unità in più del gruppo precedente. Quindi fino al nove le
unità possono restare sciolte perché hanno un loro nome e un segno
che le rappresenta. Quando a nove unità se ne aggiunge un’altra e si
arriva a dieci che cosa succede? Abbiamo le 10 quantità e anche il
nome “dieci” di questo gruppo di quantità. Quello che manca è il
segno. Allora si arresta tutta la numerazione. Dobbiamo dare un
segno a questo gruppo di quantità di oggetti.
A questo punto arriva l’ingegnosa chiave che risolve tutto.
Le 10 unità si uniscono indissolubilmente in un gruppo unico. Nasce
un nuovo oggetto che si può chiamare “uno”. È un “uno” però che
ha dentro di sé 10 unità. A questo “uno” diverso da quell’uno che
indicava l’unità semplice, per distinguerlo, si aggiunge uno zero così:
10.
Dieci di queste nuove unità non hanno più segni che le
rappresentino, allora si uniscono in modo indissolubile e formano
una nuova unità, un nuovo “uno”; un nuovo oggetto diverso dagli
altri due, ma strettamente legato a loro per precisi rapporti
matematici. Questo sarà un “uno” con due zeri: così 100 e si
chiamerà cento. Così via all’infinito.
C’è dunque una rapida legge che governa questo sistema decimale,
questo popolo di unità che si è voluto organizzare secondo il sistema
decimale.
Ecco la legge: fino a “nove” le unità possono stare sciolte, ed hanno
un loro segno, un simbolo che le rappresenta. Quando arrivano a
“dieci” perdono la loro libertà e si trasformano in un’unità nuova,
diversa dalla prima, ma legata alla prima per rapporti matematici e
a quest’ultima superiore.
Il segno che le rappresenta è “1” seguito da uno, due, tre, ecc, così :
1 – 10 – 100 – 1000 – 10000 – ecc.
Per il 2 piano della numerazione il materiale è triplice in quanto
risulta costituito da: oggetti, numeri, parole.
Le perle dorate del sistema decimale
Quantità
Età: dopo che il bambino si è esercitato con il
materiale del 1 livello; dai 4 anni in poi.
Materiale: consiste in scatole di diversa dimensione:
una contiene perline sciolte, le unità; una
più grande le decine; una più alta le
centinaia e una il mille. Altre più capienti
custodiscono il cosiddetto deposito ricco di
materiale numerico (unità, decine, ecc.).
Corredano il materiale alcuni vassoi da
prelevare per il trasporto dello stesso e un
tappetino su cui adagiare le perle quando si
lavora sul tavolo.
Presentazione:
Prelevato il vassoio che contiene 1 perla, 1 dieci, 1 cento, 1 mille, a
maestra lo trasporta sul tavolo dove stende un tappetino:
- Vi posa la perla e toccandola dice “1”;
- Il bambino tocca la perla e ripete “1”;
- La maestra mostra il bastoncino del 10 e dice “10”;
- Il bambino ripete;
- Toccando le perle con il pollice e l’indice la maestra le conta
ad una ad una: 1….2….3…..10;
- Il bambino toccandole denomina le quantità: 1…2…3…10;
- La maestra mostra 100 e dice cento;
- Il bambino ripete;
- La maestra conta in ordine progressivo;
- Verifica e fa verificare dal bambino.
Lezione dei 3 tempi:
Associazione: nella presentazione del materiale;
Riconoscimento: toccami 10….1….100 oppure qual è
100….1….10?
Memoria: questo come si chiama? Oppure: quanto è questo?
Nota: si può far ripetere il 3 tempo ad occhi
chiusi. Se il bambino è interessato gli si
può presentare anche il 1000 altrimenti si
rinvia la presentazione. Quando la maestra
mostra il mille dicendo al bambino:
“Mille, questo è mille” e glielo da’, lo
invita a toccarlo anche a soppesarlo e dice:
“Questo è mille, qui ci sono dieci cento”.
Il bambino tocca il mille con movimento
avvolgente e dice mille. La maestra passa a
mostrargli che il 1000 contiene 10 volte il
cento e sovrapponendo il quadrato del 100
ad ogni 100 contenuto nel 1000 dice:
1cento…2cento….9cento…mille.
Se necessario si ripete la lezione dei 3
tempi:
2 tempo: dammi mille…;
3 tempo: questo, quant’è?.
Esercizi: la maestra invita il bambino a prelevare
dal deposito, con un vassoio che ne
contiene uno più piccolo, una quantità ad
esempio 1cento, ma prima di lasciarlo
andare gli indica qual è il 100 (nel vassoio
della presentazione). Il bambino risponde
alla consegna e la maestra prima di
verificare il contenuto del vassoio chiede al
bambino qual era il materiale richiesto. Se
il bambino lo desidera, la maestra lo invita
a prendere altre quantità (una sola
gerarchia alla volta); per esempio: 9uno
oppure 5dieci, ecc.
Scopo diretto: conoscenza delle quantità da 1 a 1000
presentate nelle loro gerarchie;
Scopo indiretto: presentazione delle gerarchie in forma
geometrica.
Simboli
Età: dopo la presentazione delle perle dorate
del sistema decimale.
Materiale: consiste in una scatola contenente una serie
di cartelli le cui dimensioni sono
proporzionali alle gerarchie dei numeri e i
cui colori sono i seguenti: verde per la serie
da 1 a 9 e da 1000 a 9000; blu per la serie
da 10 a 90 ed infine rosso per la serie da
100 a 900.
I cartellini per le nove unità sono fra loro
uguali e simili a quelli usati per la prima
numerazione (relativa alle aste
numeriche); i cartellini per le nove decine
sono di grandezza doppia perché
necessitano di spazio per contenere lo zero;
quelli delle centinaia hanno una
lunghezza tripla di quelli delle unità per
lasciar spazio per due zeri ed, infine, quelli
delle migliaia, poiché abbisognano di uno
spazio per tre zeri; hanno una lunghezza
quadrupla di quelli delle unità.
1°presentazione: si presentano prima i cartellini di 1-10-
100-1000 sottolineando il numero degli
zeri: 10 (uno con uno zero); 100 (uno con
due zeri); 1000 (uno con tre zeri).
Parallelamente a quanto avvenuto per le
quantità, si presentano i simboli con la
lezione dei 3 tempi.
2°presentazione: steso il tappeto sul tavolo, la maestra
trasporta la scatola dei cartellini
gerarchici, da cui estrae quelli delle unità
che dispone in ordine sparso; una volta
sicura che i bambini conoscono i numeri da
1 a 9, estrae il 10 chiedendo al bambino se
sa denominarlo; ripete più volte che i dieci
hanno 1 zero e quindi in successione dice:
1-dieci, 2-dieci;…; 9-dieci, tutta la
famiglia della decina.
Se si crede necessaria si può effettuare la
lezione dei tre tempi.
Con la medesima procedura presenta il
cartello del 100 facendo notare che il 100
ha due zeri e che il 1000 ne ha 3. La
maestra fa prima la lezione dei 3 tempi con
1-10-100 poi la ripete con 1-10-100-
1000 richiamando alla memoria il numero
degli zeri propri di ciascun ordine e
numerando poi a voce da 1 a 9, da 10 a 90,
da 100 a 900, da 1000 a 9000.
Il bambino ripete 1-10/2-10/3-10…ecc.
Nota: al bambino piccolo si possono presentare
solo 1-10-100-1000 unendo subito i
simboli alle quantità reali; nella lezione
dei 3 tempi si parte dalla quantità e si
invita ad appaiarla al cartellino
corrispondente. I colori aiutano il
bambino (sensorialmente) a distinguere le
gerarchie.
Appaiamento dei simboli alle quantità
Materiale: perle e cartelli del sistema decimale.
Presentazione:
Si appaia una sola gerarchia alla volta. La maestra estrae i cartelli
gerarchici dalla scatola e li dispone dall’alto in basso ricordando
che le unità vanno messe a destra.
Preleva un cartello e dopo aver chiesto al bambino di denominarlo,
lo invita a recarsi al “deposito” per prendere la quantità di perle
corrispondente a quella espressa nel numero;
Prima di procedere alla verifica, la maestra, al ritorno, fa ricordare
al bambino che cosa gli ha chiesto il numero (cioè il suo valore) e se
le risposte sono giuste (simbolo – quantità corrispondente), lo
incoraggia ad esercitarsi in altre attività di appaiamento di
gerarchie.
“Ordinare e riconoscere le quantità è altrettanto facile sia che si
tratti di perle sciolte, sia di bastoncini e quadrati. Così come quando
si sa contare da uno a nove, è altrettanto facile ordinare i cartelli e
riconoscere i numeri, sia che essi abbiano o non lo stesso numero di
zeri.”
(M. Montessori da Psicoaritemetica p. 19)
Formazione e lettura dei grandi numeri
Materiale: consiste in 4 scatole che contengono
rispettivamente 9 unità; 9 decine; 1 mille;
tutto di perle dorate più una scatola con i
cartelli delle gerarchie.
“Un secondo esercizio consiste nella composizione dei grandi numeri.
Base per l’attività sono quantità e simboli. Non si tratta di “contare”
utilizzando un sistema qualsiasi, ma si intende portare l’attenzione
sul concetto che, per ogni gerarchia, esistono unicamente nove cifre
(significative) le quali non possono essere rappresentate
semplicemente dai numeri 1-2-3-4-5-6-7-8-9; dal momento che
essi indicano soltanto le unità semplici.”
(M. Montessori da Psicoaritmetica p. 20)
Presentazione:
Avviene:
- su due tavoli posti vicini;
- su un unico tavolo grande;
- su un tappeto di stoffa.
Si preparano su un vassoio 9 unità, 9 decine, 9 centinaia e 1 mille:
- la maestra (può essere aiutata dal bambino) estrae una perla
alla volta e la dispone una sotto l’altra su un tappeto
collocandola prima in alto a destra (distanziata le une dalle
altre);
- estrae i nove dieci uno alla volta e li affianca alle unità e così
fa con i 9 cento che colloca rispettivamente a fianco dei dieci e
infine il mille a fianco del 1° cento;
- dopo aver aperto la scatola, estrae i cartelli e li dispone
distanziandoli parallelamente alle quantità come dallo schema
sull’altro tavolo;
- la maestra procede invitando il bambino ad associare simboli e
quantità (la maestra può invitare a lavorare più bambini).
La maestra quando il bambino ha familiarizzato con categorie
separate, gli può consegnare contemporaneamente due o più cartelli
di differenti gerarchie, per esempio 6000; 300; 90; 3, chiedendogli
di portare la quantità corrispondente a ciascun cartello.
Invita il bambino a prelevare un vassoio per disporvi le quantità. A
consegna eseguita la maestra fa ricordare il numero e contare le
quantità rispettivamente corrispondenti ai cartelli, verificandone
l’esattezza.
Nota: nella verifica è bene far corrispondere al
cubo il 1000 ai 3 quadrati 300, ai 2
bastoncini di perle 20 ed infine alle 4 perle
sciolte il 4.
Esercizi: in un unico “viaggio” si possono assumere
cartelli e rispettive quantità; gerarchie (il
tutto in un vassoio). Si prelevano le
gerarchie, la maestra verifica e si prendono
in seguito i cartelli corrispondenti o
viceversa. Il bambino prosegue gli esercizi
finché lo desidera.
Nota: la maestra invita il bambino a sovrapporre
i cartelli dopo avergli fatto ripetere i
numeri velocemente in modo che il 3 di
300 venga a trovarsi sopra l’uno; il 2 di 20
sul 3 di 300 e sul 2 di 20; il 4 delle perle
sciolte. Operando una piccola magia la
maestra fa scivolare verso destra i cartellini
del centinaio, delle decine e delle unità in
modo da leggere 1324 (un grande
numero); che si scompone:
1324 = 1000
300
20
4
“Via via che il bambino diventa più esperto la maestra chiederà
prove più complesse; ecco dunque come, in modo evidente si
riconoscono composizioni e scomposizioni di grandi numeri, tanto in
riferimento alle quantità effettive raggruppate secondo il sistema
decimale, quanto riguardo ai simboli numerici da esse rappresentati.
I numeri si scompongono, separando le migliaia, le centinaia, le
decine e le unità. Tra queste risulta il fatto che ogni grande numero
è una somma di gruppi, ciascuno dei quali è rappresentato dalle cifre
che stanno una accanto all’altra. Si può subito giungere ai grandi
numeri o meglio cominciare da essi, il che desta un grande interesse.
Il fatto di poter scomporre e analizzare muovendo oggetti, stimola
la ripetizione di questo esercizio tanto attraente”.
Nota per l’insegnante
Il materiale ha una triplice valenza:
Unità
Decina
a) Aritmetica
Centinaia
Migliaia
Punto
Linea
b) Geometrica
Quadrato (superficie)
Cubo (solido)
10⁰ = 1
10¹
= 10
c) Algebrica
10²
= 100
10³
= 1000
si muove nello spazio
punto
e forma………. linea a valore 10
Uno è un punto ( )
si muove nello spazio
e scorrendo forma
Linea superficie a valore 100
sale nello spazio
e arriva a formare solido a valore 1000
Se il “solido si proiettasse verso l’infinito tornerebbe ad essere il
punto dell’unità da cui inizierebbe di nuovo un altro gruppo.
Esercizi paralleli al sistema decimale
Introduzione:
“Si chiamano esercizi paralleli quelli che, sviluppandosi
contemporaneamente, si riferiscono a dettagli di una stessa
conoscenza fondamentale o ai suoi differenti aspetti ai quali dettagli
stessi possono venir attribuiti.
L’esercizio deve avere in sé uno scopo determinato e interessante, in
quanto deve approfondire le conoscenze e soprattutto renderle più
chiare in modo che i dettagli appresi completino la visione
dell’insieme.”
(M. Montessori da Psicoaritmetica p. 24)
Prima tavola del Seguin
(passaggio da una decina all’altra)
Età: dopo la presentazione globale del sistema
decimale, 4 anni e mezzo circa.
Descrizione: consiste in una scatola grigia contenente
due tavole rettangolari divise entrambe in
(due) 5 scomparti contrassegnate, la prima,
da 5 dieci e 4 l’altra più uno spazio vuoto.
Corredano questo materiale nove tavole
grigie di legno da inserire negli scomparti
contraddistinti da numeri da 1 a 9.
In una scatola ci sono nove bastoncini di
perle colorate, e nove decine dorate.
Annessi sono anche due tappetini.
Presentazione: la maestra presenta prima le quantità poi i
simboli, infine unisce le quantità al
simbolo.
Quantità: stende il tappetino su cui si dispongono in
ordine sparso i bastoncini e invita poi il
bambino a porli a canne d’organo.
Lezione dei tre tempi:
Associazione: la maestra dispone la prima decina al centro del
tappetino e accanto il bastoncino dell’1 (rosso) dicendo:”Undici,
dieci e uno…undici”.
Sotto la precedente decina adagia un altro bastoncino di perle
dorate e a fianco il bastoncino del 2 (rosso) (verde),
dicendo:”Dodici, dieci e due,…dodici”.
Dopo aver presentato tredici, dieci e tre, la maestra fa la lezione dei
tre tempi, presentando 11 – 12 – 13.
Riconoscimento: “Toccami dodici, qual è dodici? Ecc. …”. Il
bambino lo indica e la maestra lo invita a contare. Il bambino
ripete più volte. Dodici, dieci e due, dodici.
Memoria: “Questo quant’è?” Il bambino risponde.
Si procede con la lezione dei 3 tempi a presentare 14, 15 e così via
fino a 19.
Quando la maestra è sicura che il bambino conosce bene le quantità
fino a 19, passa a presentare la prima tavola del Seguin e le
tavolette con le cifre.
Simboli: estrae i cartellini uno alla volta,
pronuncia il nome ad alta voce. Fa
riconoscere al bambino i 10 sulla tavola,
prende poi la tavoletta dell’1, e,
infilandola nella guida del primo dieci in
alto sullo zero della decina, dice:”Undici”,
e sposta un poco l’uno perché sotto si veda
il dieci, e dice:”Dieci e uno, undici”.
Al 13 o 14 passa alla lezione dei tre tempi.
Chiede: come l’ho formato il 14?
Scostando il 4 dal 10 perché si veda bene.
Dieci e quattro risponde il bambino.
Dopo il 19 il bambino chiede il perché
dello scomparto vuoto e la maestra dice: si
forma un’altra decina.
Nota: le tavolette si raccolgono sovrapponendole
dal 9 in poi in regressione numerica.
Unione delle quantità al simbolo:
La maestra poggia sulla destra del tavolo le 2 tavole del Seguin,
prende dalla scatola delle decine due bastoncini (all’inizio uno) e lo
pone in orizzontale, a fianco del primo dieci della tavola, affianca a
questo il bastoncino dell’uno che preleva dalla disposizione dei
bastoncini a canne d’organo, precedentemente realizzata.
Invita il bambino a dire: undici, chiedendogli:”Questo è?”
“Undici”.
Infila la tavoletta dell’uno nel primo dieci e legge il numero
formato “Undici”.
Invita il bambino a dire la composizione:”Dieci e uno…undici” e si
prosegue così a completare le tavole.
Prima tavola del Seguin:
lavoro con l’alfabetario
Esercizio: il bambino ripete più volte l’esercizio
secondo la presentazione.
Può disegnare i bastoncini delle perle
dorate con l’aggiunta delle unità.
Può comporre la nomenclatura con
l’alfabetario mobile.
Nota: il materiale con cui si dà la nomenclatura
scritta consiste in due alfabetari (uno rosso
e uno azzurro), che hanno le lettere mobili
stampate in:
un dici
do dici
tre dici
quattor dici
quin dici
se dici
dici a s sette
dici otto
dici a n nove
Si compone con le lettere dello stesso
colore (rosse, blu) la parte fissa dici, della
nomenclatura data con le tavole del
Seguin e con quelle dell’altro colore la
parte varia.
Ultimato l’esercizio la maestra invita il
bambino a raccogliere le lettere utilizzate e
a sovrapporre quelle uguali prima di
metterle nel contenitore.
Se il bambino vuole, può scrivere su un
foglio a quadretti con due colori la
terminologia e nell’altra metà, in
corrispondenza, disegnare quantità e
simboli. (può avere una prima intuizione di
suffissi e prefissi).
Scopo diretto: conoscenza delle quantità e dei simboli
della seconda decina (da 11 a 19).
Scopo indiretto: numerazione progressiva da 11 a 99.
Seconda tavola del Seguin
Età: si presenta dopo la prima;
Descrizione: consiste in una scatola grigia
contenente due tavole rettangolari
divise in scomparti (5 ciascuna). Su
una tavola, negli scomparti, ci sono
scritti i numeri da 10 a 50, nell’altra
da 60 a 90, l’ultimo scomparto non
ha scritte.
Corredano il materiale 9 tavolette
contrassegnate dai simboli numerici
(da 1 a 9).
In una scatolina grigia ci sono 10
perline sciolte e in una scatola bassa
nove bastoncini delle decine. Annessi
ci sono due tappetini.
Presentazione:
Quantità:
La maestra posa sul tappeto la prima decina in verticale, prende poi
una perla sciolta alla volta e la mette a fianco di quelle del
bastoncino del 10 contando rispettivamente undici, dodici, ecc…fino
a 19, poi mette la decima unità sciolta e si ottengono due decine,
cioè 20. Dice: “Ma queste unità sciolte non possono stare”. Dicono:
“Legaci…legaci…” e la maestra, con mossa rapida sostituisce le
perle sciolte con un bastoncino del 10 e lascia le due decine
affiancate, 20; seguita contando “21 - -22” ecc…quando aggiunge
l’unità e si procede così fino a 90.
Simboli: si fanno conoscere sulle tavole del
Seguin. Nel caso che il bambino, nel
leggere il numero, ad esempio legga 3
anziché 30 e sbagli, la maestra lo
aiuta ribadendo: 3 dieci, trenta,
rinforzando la conoscenza.
Unione quantità – simboli: disposte a sinistra le perle dorate, al
centro la tavola e alla sua destra le
tavolette, la maestra comincia col
prendere il primo bastoncino del dieci,
che dispone a fianco del primo
scomparto della tavola; sotto, in
corrispondenza della prima perlina a
sinistra del bastoncino, colloca una
perla e dice: “Dieci e uno, undici!
Prende la tavoletta dell’uno, l’infila
nella guida del 10 e ripete: dieci e
uno…undici! All’undici aggiunge
una perla e dice: dieci e due…dodici.
Sfila la tavoletta dell’uno che pone a
fianco capovolta e prende quella
successiva; infila l due dicendo: 10 e
2…12. Prosegue così fino a 19.
Quando aggiunge le decima perlina
sciolta, e forma 20 la maestra
sostituisce le 10 perline sciolte con un
bastoncino e dice: 20 e sposta le due
decine a fianco della casella del 20 e
ripete: 20. Prosegue così fino a 99.
Giunti a 99 la maestra mostra che
aggiungendo una perlina si forma 100
e che non essendo più decine per
sostituire le perline sciolte e neppure
più tavolette non possiamo continuare
il lavoro, che l’indomani si farà un
gioco che gli piacerà: la catena del
100.
Si può far scrivere al bambino, dopo
aver ripetuto esercizi come la
presentazione, su fogli grandi:
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22
3 13 23
4 14 24
5 15 25
6 16 26
7 17 27
8 18 28
9 19 29
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Il bambino ritroverà così tutte le
decine.
Scopo diretto: conoscenza delle quantità e numeri da
1 a 99.
Scopo indiretto: sviluppo dell’abilità numerica.
Scomposizione lineare del quadrato:
la catena del 100
«Se invece di tenere le decine unite in forma di quadrato, le
leghiamo, mantenendole unite soltanto per le estremità,
otterremo una catena di cento perle raggruppate in decine,
ossia in bastoncini che si susseguono…. Essa rappresenta il
cammino delle unità che, attraverso le decine, vanno a
formare il centinaio.»
(M. Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 33-34)
Età: dopo la presentazione delle tavole del
Seguin; 5 anni circa.
Descrizione: è una decina formata da 10 decine di
perle dorate, unite con un anellino, in
modo che piegandole si possa formare
il quadrato, cioè il 100.
Corredano il materiale 4 bustine: una
verde contenente 9 freccette verdi
contrassegnate da numeri da 1 a 9;
una azzurra con 9 freccette azzurre un
po’ più grandi delle prime con scritte
le decine da 10 a 90; uno bustina
rossa contenente un’unica freccia
ancora più grandi delle precedenti,
contrassegnate dal numero 100; tutte
le buste sono inserite in una più
grande di colore rosso, con scritto:
“catena del 100”, compresa quella
bianca che contiene freccette bianche
dello stesso formato delle frecce delle
decine, che la maestra utilizzerà per
scrivere i numeri intermedi.
Annesso a questo materiale c’è un
tappeto, occorrono un quadrato di
perle, cioè il 100 e un bastoncino del
10.
Presentazione:
Preparato il tappeto vi si adagia raccolta la catena del 100, in modo
da formare il quadrato, cioè il 100.
La maestra porta sul tappeto un quadrato, il 100 e un bastoncino
del 10 (si potrebbe portare per la verifica anche 10 bastoncini del
10).
Sovrappone il quadrato 100 a quello raccolto e chiede al bambino
quanti sono i 10 nel quadrato e contrassegnandogli il bastoncino del
10, lo invita a verificare contando (un dieci, due dieci…dieci dieci,
100).
(Nel quadrato, cioè nel 100 si sono 10 bastoncini del 10 legati
ripete la maestra (ribadisce 100 – 1 e due zeri), e facendo
riferimento alla seconda tavola del Seguin può spiegare al bambino
il perché dello scomparso senza scritte.
Ora, aiutata dal bambino, snoda la catena, (raccolta a quadrato)
lentamente e fa notare che la lunga catena è sempre cento.
Verifica e fa verificare con il bastoncino di perle dorate che la
catena ora è lunga come 10 bastoncini del 10 messi in linea.
La maestra comincia a contare le perle ad una ad una e fa
proseguire il bambino. Alla fine di questo lavoro estrae tutte le
freccette dalle relative buste, invita il bambino a raggrupparle per
colore e, iniziando dalle verdi, a disporle a fianco di ogni perla: la
freccetta verde contraddistinta dal numero 1 è collocata a fianco
della prima perla (iniziando a contare da sinistra), le altre otto via
via il bambino le dispone in progressione e al 10 colloca la prima
freccetta azzurra del 10, al 20 quella corrispondente del 20 e così
seguita a contare mettendo a lato di ogni decina (tralasciando le
unità) la freccia azzurra relativa.
Conta 96…97…98…99 e al 100 colloca la freccetta rossa e
vicino il quadrato, cioè il 100.
Nota: la maestra deve essere presente e vigile
per evitare che il bambino sbagli.
Esercizi:
Il bambino ripete gli esercizi secondo la presentazione. Si può fare
l’esercizio che ripete la lezione dei 3 tempi.
Primo tempo: si sistemano tutte le freccette delle unità, delle decine
e quella del centinaio in corrispondenza delle relative quantità.
Secondo tempo: si raccolgono le frecce, si mescolano e la maestra
invita il bambino a mettere a passo a posto 2…26…ecc.
Terzo tempo: si indica una perla che completa una decina e il
bambino la deve denominare.
La maestra spiega prima al bambino o ad un piccolo gruppo che
ogni perla ha il suo nome perché tutte le perle assumono un nome,
anzi un nome proprio a seconda dell’ordine occupato da ciascuna
nella progressione ed invita ogni bambino a scegliere una perla, a
indicarla e a dire: “Mi chiamo 32… I miei vicini con cui sono
sempre a contatto sono…31…33.
Scrive su una freccetta bianca nella busta relativa un numero e
invita il bambino ad “andare a trovare” il 27 ecc….In una busta
bianca si mettono 100 freccette indicanti ciascuna uno dei numeri in
progressione, il bambino ne pensa una e la colloca a fianco della
perla corrispondente. Il bimbo può disegnare 10 bastoncini del 10.
Scopo diretto: rinforzo conoscenza dei numeri da 1 a
100.
Scopo indiretto: intuizione delle potenze dei numeri.
Nota: la catena si può contare anche
regressivamente (a decine).
La scomposizione lineare del cubo
La catena del 1000
«La reazione sorprendente dei bambini di fronte a questo
materiale è la costanza del contare esattamente la catena del
1000, unità dopo unità. Poiché questa è un’operazione
troppo lunga per poter essere eseguita in una sola volta, i
bambini la interrompono, ma non l’abbandonano. Nel
medesimo giorno, o nel seguente, riprendono l’operazione là
dove l’avevano interrotta e proseguono nel conteggio fino a
concluderlo… Contano e contano senza stancarsi: uno, due,
tre, …quarantacinque, quarantasei, …trecentoquindici,
trecentosedici, … fino a novecentonovantanove e mille,
facendo scorrere fra le dita perla dopo perla, come si sgrana
un rosario.»
Età: dopo aver lavorato con le tavole del
Seguin e la catena del 100.
Descrizione: il materiale consiste in una catena
formata da 1000 perle frazionate con
appositi legamenti in 100 decine, a
loro volta raggruppate in 10
centinaia. In pratica è la
scomposizione lineare del cubo in 10
quadrati e ciascuno di essi in 10
bastoncini, ognuno di 10 perle.
Corredano il materiale un cubo, cioè
il mille; un quadrato, cioè il 100; e
un bastoncino di perle dorate
utilizzati per le relative verifiche.
Ci sono 5 bustine inserite in una più
grande di colore verde: nella prima
bustina verde ci sono 9 freccette verdi
per le unità, in quella azzurra 9
freccette azzurre per contrassegnare le
decine, nella rossa le 9 freccette rosse
per le centinaia e nella seconda
bustina verde la freccia indicante
l’unità di migliaia.
Il lavoro si fa sul tappeto posto in
terra.
Presentazione: il rituale di presentazione è il
medesimo di quello relativo alla
catena del 100, come quello
concretamente svolto dai bambini
presenti al corso.
Note: ad ogni passaggio di un cento si
collocano a fianco delle perline la
rispettiva freccia rossa e un quadrato
(cioè il cento) prelevato dal deposito;
al mille, contrassegnato dalla freccia
verde, si chiude con un cubo.
Particolari e ulteriori sviluppi sono
stati esaminati nella presentazione. È
utile ricordare che i giochi proposti
per la catena del 100 possono essere
ripetuti per la catena del mille.
Dovendo interrompere l’attività, essa
sarà ripresa a partire dalla quantità
opportunamente ricordata in un
appunto scritto dallo steso bambino o
dalla maestra.
Scopo diretto: acquisto di sicurezza nella
numerazione da 1 a 1000.
Controllo dell’errore: è nel materiale: se i bambini pongono
le freccette in modo errato, queste
avanzano.
Cambio diretto: gioco del cambio
Età: subito dopo l’addizione statica.
Descrizione del materiale: materiale del sistema decimale: una
buona quantità di perle dorate, serie
dei cartellini da 1 a 9000. Vassoi del
sistema decimale.
Presentazione:
- la maestra invita un bambino a portare tante unità, decine;
invita un altro bambino a portarle tante centinaia e migliaia
- La maestra dice, dopo che i bambini le hanno consegnato le
quantità:”Oggi sono ricca! Aiutatemi a contare, ma siccome
sono distratta ad ogni dieci dovete dirmi stop!”
- Si invita a contare dalle unità, si contano fino a 10, si danno
al bambino le perle sciolte chiedendo di cambiarle con una
decina del bastoncino.
- Il secondo conteggio delle unità, per esempio, arriva ad 8, in
quanto non ci sono più perle sciolte da aggiungere, allora si
pone sopra le unità il cartellino grande con la cifra 8.
- Si passa al conteggio delle decine. Arrivati a contare dieci
bastoncini, si chiede al bambino di cambiare le dieci decine con
un “100”;
- Si contano i bastoncini restanti e sopra di questi si pone il
cartellino del 9 – 10 cioè 90 (ad esempio).
- Si passa con lo stesso sistema del cambio a contare i cento, ad
esempio, se si hanno solo 5 – 100, non avviene il cambio e si
pone sopra la quantità solo il cartellino “500”.
- Si contano i mille, 4 – 1000, 4000 e si mette sul mucchio
ordinato il relativo cartello.
- Ora la maestra prende i cartellini di ogni quantità, li
sovrappone e poi compie la “magia” ottenendo così il totale
delle quantità portate.
- Si chiede ai bambini, indicando la quantità del materiale sul
tavolo: “Secondo voi è la stessa quantità di prima?”
- I bambini risponderanno probabilmente che la quantità è
minore, perché sensorialmente vedono un minor volume di
“perle”.
- Si dà in tal modo il concetto di equivalenza.
Gioco del cambio inverso
“La morte del mille”
Descrizione del materiale: tappetino, perle dorate del sistema
decimale, vassoi del sistema decimale,
cartellini grandi.
Presentazione:
- La maestra prepara sul tavolo del cassiere un tappeto rosso; vi
pone il “1000” delle perle dorate e il cartellino del 1000
grande;
- la maestra chiama un bambino, questo prende un vassoio;
- la maestra gli dice:”Io ti vorrei dare uno, ma non possa farlo,
come posso fare?”
- vogliamo cambiare? Con che cosa? Con 10 – 100 – e la
maestra aggiunge di seguito:”Facciamo morire il “1000”,
portami10 – 100;
- il bambino va alla cassa e cambia il “1000”;
- il piccolo ritorna con il vassoietto e le perle dorate dalla
maestra che dice:”Il “1000” è morto, ed ora contiamo!”
- si conta mettendo un “100” sopra l’altro riformando il cubo
1000;
- la maestra ora dice:”Il mille dice <sono vivo>, non sono
morto, ma io voglio darti “1”, come facciamo me lo vuoi
cambiare?
- il bambino prende un “100” e riporta 10 - “10”, un bastoncino
di perle dorate;
- la maestra conta 10 – “10”:”Ma allora il 1000 non è morto!
Ma io voglio darti “1”, cambiamo ancora?!
- il bambino prende un bastoncino da “10” e ritorna con dieci
perle sciolte (unità);
- la maestra conta 10 – 1:”Ma allora il 1000 è vivo! Io però
voglio darti “1”. Si dà l’unità al bambino e si aggiunge:
“Allora 1000 è veramente morto!”;
- si invita, a questo punto, il bambino a ricontare;
- si procede iniziando il conteggio dalle unità:
o 9 perline dorate (unità);
o 9 bastoncini dorati (decine);
o 9 quadrati dorati (centinaia);
- ora il “1000” è morto perché ha “999”;
- ad ogni conteggio, per gerarchia, si invita il bambino a
prendere un cartellino grande da sovrapporre alla quantità;
- approvato dal conteggio che il mille è morto si capovolge il
cartellino grande del mille;
- il cambio avviene sulla gerarchia significativa, gli zeri sono
posizionali nel cambio.
Nota: con i bambini più grandi non si parla
di “1000 che muore”ma di cambio (si
vuole cambiare “1”) per cui non si
racconta la storia.
Scopo diretto: preparazione alla sottrazione e
divisione dinamica.
Tavola delle asticine dell’addizione
Età: dai cinque anni in poi, dopo aver
lavorato con le prime tavole del
Seguin e dopo il gioco del serpente.
Descrizione: una tavola con scritti in alto i numeri
da 1 a 18, ai quali corrispondono
sotto dieci file di diciotto quadretti
l’una.
I numeri da 1 a 10 sono scritti in
rosso, da 11 a 18 in nero. Una
marcata linea rossa verticale, situata
fra il 10 e l’11, divide in due parti la
tavola e rappresenta la ricerca della
decina.
Ne risulta una scacchiera rettangolare
di 18 quadretti vuoti di base e 10 di
altezza.
Nota: 18 sono i quadretti perché il bambino
deve memorizzare fino a 9+9=18,
cioè 18 è il risultato della relazione.
2(b-1) in cui b indica la base del
sistema preso in esame, il sistema
decimale nel nostro caso. È come dire
che le caselle orizzontali sono il
doppio della “base del sistema
diminuita di 1”. Il numero delle
caselle verticali è 10 in quanto, nel
sistema a base 10, tale è il numero
massimo delle combinazioni possibili.
La tavola è completata da due serie di
asticine di legno: nove azzurre e nove
rosa, entrambe della stessa altezza dei
quadretti e di lunghezza variabile da
1 a 9 quadretti. Le nove asticine rosa
si differenziano da quelle azzurre, che
hanno scritto il numero da 1 a 9 sul
lato destro, perché sono divise in tanti
quadretti corrispondenti alle unità che
rappresentano e sono queste che si
aggiungono, numerando, al primo
addendo. Anche questa serie porta
scritto a destra il simbolo relativo alla
quantità rappresentata.
Presentazione: individuale.
Si presenta al bambino il tavoliere, invitandolo a leggere i numeri
riportati in alto. Si prende la scatola rosa delle asticine, estratte
quelle azzurre e disposte in ordine sparso sul tappeto, si invita il
bambino a riordinarle a “canna d’organo” e a leggere i relativi
numeri in successione. Le asticine rosa vengono ordinate come le
precedenti e il bambino legge in progressione i numeri riportati.
Come prima somma si scelgono due asticine che superino il 10, per
esempio 7+5=12.
Si prende l’asticina azzurra del 7 e la si pone, partendo dall’1, sulla
prima fila orizzontale di quadretti; di seguito all’asticina azzurra
viene posta quella rosa del 5. Il bambino legge il risultato
dell’addizione, in alto del tavoliere, 12. Poi la maestra lo invita a
leggere il valore dell’asticina azzurra (es.7) e a proseguire a contare
7/8-9-10/11-12 sino quindi alla fine del secondo addendo. Il
bambino legge 7/8-9-10/1-2…10 e 2=12; il secondo addendo,
cioè 5 nel nostro caso, risulta scomposto in 3+2 per formare il 10,
cioè (7+3)+2.
Scopo di questa tavola è di mostrare chiaramente il passaggio
attraverso il 10.
Esercizi:
Formare tutte le combinazioni del 10. Con questo lavoro il
bambino intuitivamente assorbe la proprietà commutativa
dell’addizione. Con lo stesso procedimento si possono formare tutte
le combinazioni del 9, 8, 7, …fino a 1+1=2.
La maestra, per rendere interessante e più costruttivo l’esercizio,
invita il bambino, mettendolo in situazioni problematiche, a scoprire
da solo le possibili combinazioni, per esempio mette sul tavoliere
l’asticina dell’8 e lo invita a formare 15, quindi 8+7 rosa.
L’ambito numerico è ristretto per favorire la memorizzazione
necessaria e sufficiente nel calcolo di base.
Per facilitare il passaggio all’astrazione sono necessarie due
condizioni:
Conoscere le quantità concrete e saper operare con esse;
Avere l’aiuto valido della memoria.
La memoria è un processo di ordine psicologico molto complesso,
conseguenza di un apprendimento spontaneo e organizzato, che
permette di ricordare e utilizzare nel tempo le esperienze acquisite.
M. Montesori parla di “mneme”, o memoria inconscia. Attraverso la
ripetizione degli esercizi, le operazioni sono memorizzate e
diventano apprendimenti attraverso cui il bambino ricorrerà con la
memoria consapevole, rifacendosi a dati avuti con la memoria
operativa.
È necessario perciò operare per memorizzare. Manipolando il
materiale il bambino ha esercitato la memoria: 1- motoria; 2-
visiva; 3- uditiva; costruendo ed arricchendo il suo archivio dati e le
sue conoscenze.
Da questa ricchezza potrà attingere richiamando, per associazione e
collegamento, un’infinità di dati precisi e indispensabili per
apprendimenti sempre più complessi.
Per memorizzare l’addizione basta calcolare tutte le possibili
combinazioni entro il 18, che non è altro che il doppio delle unità
che possono rimanere sciolte nel sistema a base 10.
2 (b-1)= 2(10-1)=18
2X9=18
Materiale per i vari esercizi: - Serpente positivo;
- Tavola delle asticine – moduli;
- Combinazioni separate in un
cestino;
- Una tavola di confronto;
- Quattro tavole operative per
esercizi paralleli;
- Tombola con relativi tombolini;
- Bastoncini di perle colorate:
- Scatola con i segni +, =
Scopo indiretto: intuizione delle proprietà
dell’addizione; formazione della
mente logico matematica.
Controllo dell’errore: nella prima tavola di confronto.
8+6=14 6+9=15
7+5=12 8+8=16
9+9=18 4+7=11
9+8=17 5+8=13
Il bambino può scoprire il doppio dei numeri ponendo sulla tavola
le asticine dello stesso valore.
Il bambino può formare i binomi di 11, 12, 13, …fino a 18 che ha
una sola combinazione, cioè 9+9=18.
Quando il bambino mostra interesse a scrivere ciò che fa, la maestra
gli presenta un blocchetto con 9 moduli rosa: il modulo dell’1, del
2, del 3, ecc. In ciascun modulo ci sono 9 combinazioni. Il
bambino esegue l’esercizio, e per verificare se le operazioni sono
esatte, si serve della prima tavola di confronto dell’addizione.
Dopo gli esercizi con i moduli, la maestra prepara un cestino con 81
bigliettini corrispondenti a tutte le possibili combinazioni contenute
nei moduli e nella prima tavola di confronto. Il bambino pesca un
bigliettino e, servendosi delle asticine, compone sul tavolo
l’operazione suggerita. A lavoro finito, trascrive in un apposito
foglio sia l’operazione, sia il risultato. Naturalmente il lavoro si
protrarrà nel tempo e il bambino, per evitare di ripeterle, legherà
con un elastico le combinazioni estratte e, conteggiate.
Nota: questo materiale per gli esercizi scritti
conduce il bambino ad impadronirsi di
tutte le possibili combinazioni intorno
al 10, necessarie e sufficienti da
memorizzare.
Scopo diretto: memorizzazione di tutte le addizioni
entro il 18.
1+4= 2+3= 3+2= 3+3= 1+1=
1+2= 2+1= 4+2= 2+4= 1+3=
3+1= 2+2= 5+1= 1+5= 4+1=
6+1= 5+2= 2+5= 3+4= 1+6=
2+6= 5+3= 3+5= 4+4= 4+3=
5+5= 6+4= 1+7= 7+1= 6+2=
4+6= 8+1= 1+8= 2+7= 7+2=
6+3= 3+6= 5+4= 4+5= 1+9=
7+3= 3+7= 8+2= 2+8= 9+1=
5+6= 6+5= 7+4= 4+7= 8+3=
3+8= 9+2= 2+9= 6+6= 8+4=
4+8= 9+3= 3+9= 7+5= 5+7=
6+7= 7+6= 8+5= 5+8= 9+4=
4+9= 7+7= 8+6= 6+8= 9+5=
5+9= 8+7= 7+8= 9+6= 6+9=
8+8= 9+7= 7+9= 9+8= 8+9=
9+9=
ADDIZIONE
1
1+1= ……….
1+2= ……….
1+3= ……….
1+4= ……….
1+5= ……….
1+6= ……….
1+7= ……….
1+8= ……….
1+9= ……….
ADDIZIONE
3
3+1= ……….
3+2= ……….
3+3= ……….
3+4= ……….
3+5= ……….
3+6= ……….
3+7= ……….
3+8= ……….
3+9= ……….
ADDIZIONE
5
5+1= ……….
5+2= ……….
5+3= ……….
5+4= ……….
5+5= ……….
5+6= ……….
5+7= ……….
5+8= ……….
5+9= ……….
ADDIZIONE
7
7+1= ……….
7+2= ……….
7+3= ……….
7+4= ……….
7+5= ……….
7+6= ……….
7+7= ……….
7+8= ……….
7+9= ……….
ADDIZIONE
2
2+1= ……….
2+2= ……….
2+3= ……….
2+4= ……….
2+5= ……….
2+6= ……….
2+7= ……….
2+8= ……….
2+9= ……….
ADDIZIONE
4
4+1= ……….
4+2= ……….
4+3= ……….
4+4= ……….
4+5= ……….
4+6= ……….
4+7= ……….
4+8= ……….
4+9= ……….
ADDIZIONE
6
6+1= ……….
6+2= ……….
6+3= ……….
6+4= ……….
6+5= ……….
6+6= ……….
6+7= ……….
6+8= ……….
6+9= ……….
ADDIZIONE
8
8+1= ……….
8+2= ……….
8+3= ……….
8+4= ……….
8+5= ……….
8+6= ……….
8+7= ……….
8+8= ……….
8+9= ……….
ADDIZIONE
9
9+1= ……….
9+2= ……….
9+3= ……….
9+4= ……….
9+5= ……….
9+6= ……….
9+7= ……….
9+8= ……….
9+9= ……….
Seconda tavola di confronto
In questa tavola sono state tolte le combinazioni inverse dei binomi,
per l’applicazione della proprietà commutativa.
….”questo –duplicato inverso- può essere eliminato in una tavola
semplificata, nella quale siano presenti tutte le possibili
combinazioni, dove il necessario è ciò che è sufficiente”….
(“Psiaritmetica” pag. 49)
La prima colonna della tavola di confronto è completa, le
successive vanno diminuendo, per il principio sopra indicato (tutte le
doppie somme sono tolte).
Per far si che le combinazioni del 10 risultino sulla stessa linea
orizzontale , dalla prima in poi, tutte le colonne sono state spostate
in basso di un posto; di conseguenza in ogni linea orizzontale
vengono a trovarsi risultati uguali, ottenuti con combinazioni che
crescono di numero fino a quelle del 10, poi vanno decrescendo fino
a quella unica del 18.
La seconda tavola oltre a servire da confronto, invita il bambino
alla “riflessione”; lo guida a scoprire l’armonia dei numeri,
soprattutto quando può notare come sulla diagonale esterna i
risultati sono il “doppio dei numeri” da 1 a 9.
Terza tavola operativa o di confronto
E’ questa la tavola “montessoriana” dell’addizione, parallela alla
tavola Pitagorica.
In alto, orizzontalmente, porta scritti i numeri in successione da 0 a
9 su fondo azzurro; a sinistra , verticalmente su fondo rosa, i numeri
da 0 a 9. Lo zero viene a trovarsi sul quadrato dell’incrocio nel
quale i due colori sembrano sovrapporsi.
Negli 81 quadretti interni sono riportati solo i totali delle
combinazioni della prima tavola, perciò per controllare le
operazioni il bambino mette un dito sul numero su fondo azzurro,
per il primo addendo, su quello su fondo rosa per il secondo: li fa
scorrere e legge il risultato sul “quadretto di incrocio”.
Con questa “tavola operativa” il bambino può lavorare utilizzando
i biglietti con le combinazioni, senza il materiale con la tavola delle
asticine.
Pesca una combinazione; trascrive sul foglio l’indicazione; trova il
risultato sulla tavola e lo trascrive sul foglio.
In tal modo egli compie un primo passaggio all’astrazione, in
quanto opera solo con i simboli, non con il materiale concreto, e la
sua mente si affina ed acquista abilità nel calcolo.
La maestra guida il bambino ad osservare attentamente la tavola in
modo da scoprire le leggi matematiche che la rendono uno strumento
vivo: i numeri su fondo rosa si ripetono, ad uno ad uno in diagonale
verso l’alto; quelli su fondo azzurro, per “simmetria”, si ripetono in
diagonale verso il basso. Sulla diagonale massima da 0 a 18 si legge
il doppio dei numeri. Infine sempre per simmetria, i numeri delle
linee verticali corrispondono a quelli delle linee orizzontali, per la
proprietà commutativa.
Quarta tavola operativa o di confronto
Questa tavola è simile alla terza, ma sono stati eliminati i risultati
uguali, perciò sulla diagonale esterna si legge il doppio dei numeri e
i due addendi sono rappresentati da un’unica fila verticale, a sinistra
su fondo rosa.
Anche su questa tavola il bambino può eseguire operazioni senza
materiale.
La ricerca del risultato implica una complessa operazione mentale,
in un primo tempo basata sull’intuizione.
Cerca i due addendi sull’unica linea.
Parte da questi con le due dita e le sposta verso i relativi doppi
sulla diagonale, facendo in ogni caso precedere l’addendo più
piccolo.
Dal suo doppio si scende fino al punto d’incontro con l’altro
dito che si muove in senso orizzontale, come già spiegato.
Quinta tavola operativa o di confronto
E’ la semplificazione della quarta tavola; fu ideata da un bambino
olandese di sette anni, il quale volle eliminare tutti i numeri uguali
lasciandone solo una serie in successione da “2” a “18”, disposti in
due diagonali.
Da questa tavola, ridotta all’essenziale, risulta evidente il concetto
di limitarsi alla presentazione del necessario e sufficiente, anche al
di là del semplice caso aritmetico; concetto che rappresenta uno dei
cardini della psicodidattica montessoriana, secondo la quale il vero
protagonista è il bambino che apprende e si costruisce “facendo”.
Per eseguire una somma il bambino segna i due addendi, sulla
striscia colorata rosa, con le due dita, cerca il doppio di ciascuno
sulla diagonale, quindi le fa scorrere su questa fino ad incontrarsi.
Se il risultato è un numero pari, le dita si incontrano sulla
diagonale esterna, se è dispari su quella interna.
Il bambino, dopo aver lavorato a lungo con questa tavola
operativa, può arrivare a prendere coscienza che la somma di due
numeri pari è sempre pari; la somma di due numeri dispari è sempre
pari; la somma di un numero pari e uno dispari è sempre dispari.
Tombola dell’addizione
Questa tavola operativa rappresenta, possiamo dire, il 3° tempo
della lezione dei tre tempi: consiste in una vera e propria auto
“interrogazione” che permette al bambino di rendersi cosciente del
grado di memorizzazione raggiunto, senza l’intervento esterno
dell’insegnante che interroga.
Descrizione del materiale: e’ una tavola quadrata divisa in
cento quadretti, dei quali i primi
10 orizzontali portano scritte le
cifre da 0 a 9, su fondo azzurro, i
primi 10 quadretti verticali su
fondo rosa, le cifre da 0, in
comune con i soprannominati, a
9.
A completamento della tombola
c’è una scatola rosa con “81”
tombolini dello stesso colore; su
ognuno è scritto il numero, da un
lato, il segno di addizione
dall’altro.
La maestra prepara un sacchetto
rosa con i bigliettini delle 81
combinazioni, da unire al
materiale.
Presentazione:
- La maestra estrae dalla scatola i tombolini in ordine sparso.
Si invita il bambino a fare ordine mettendoli, prima, in senso
orizzontale secondo la successione numerica da 2 a 18, poi,
incolonnando sotto ciascuno quelli uguali, si forma così una
“piramide rovesciata”.
Il bambino prende dal sacchetto un bigliettino: legge
l’indicazione.
Il bambino calcola mentalmente la somma del binomio e
cerca il tombolino con il numero corrispondente.
A questo punto opera come nella tavola montessoriana:
muovendo contemporaneamente le dita in senso orizzontale e
verticale, dispone il tombolino sul quadratino d’incrocio dei
due addendi.
Si prosegue l’esercizio fino a riempire la tombola con tutti i
tombolini.
Si controlla il lavoro svolto con la terza tavola montessoriana.
Nota: quando viene letta la somma
proposta dal bigliettino, si deve
porre attenzione a cercare il
primo addendo sulla colonna
verticale rosa e il secondo
sull’azzurra. Un’errata ricerca
degli addendi sulla tavola, o uno
scambio tra il primo e il secondo
addendo nella lettura, porterà ad
un errato incrocio con la
disposizione di un tombolino su
di una casella che non è la
propria (anche se la somma è
giusta). Quando poi sarà estratto
il bigliettino con quella
combinazione, il bambino
troverà la casella occupata dal
tombolino posto per l’inversione
degli addendi.
Esercizi:
Quando il bambino ha lavorato a lungo, come nella presentazione,
può passare ad altri esercizi, alcuni suggeriti dalla maestra, altri
scoperti personalmente.
1. Il bambino può prendere un tombolino a caso, per esempio -
13-, pensare ai due addendi di cui può essere la somma e
metterlo sulla tombola, sul loro quadretto dell’incrocio: 13
può essere il risultato del binomio 6+7=
L’esercizio si conclude quando sono esauriti i tombolini.
2. Il bambino può prendere in considerazione una colonna di
tombolini alla volta, e scoprire così le possibili combinazioni di
ciascuna somma: con quanti binomi si ottiene -12-, oppure -8-
o -10-, fino alla sola combinazione per il -2- e per il -18-.
Con questo esercizio il bambino ritorna sulle operazioni mentali
compiute con altri materiali e rafforza la memorizzazione delle
combinazioni entro il 18, acquistando abilità nel calcolo rapido.
Nota: scopo della tombola è dare la
possibilità al bambino di auto-
correggersi.
Esercizi con i bastoncini di perle colorate
Con i “bastoncini di perle colorate” si possono eseguire esercizi di
memorizzazione che si riferiscono all’analisi dell’addizione.
……..“L’avanzamento della conoscenza si realizza ora sui dettagli,
mediante l’analisi di quanto già acquisito e su cui occorre richiamare
l’attenzione.
Il dettaglio assume un’importanza in quanto ci permette di
penetrare nell’insieme, finora considerato nel suo aspetto esteriore e
generale.
Lo studio analitico assume frequentemente l’apparenza di un
procedere in direzione opposta rispetto al cammino già percorso, in
quanto si procede dal “tutto” alla “parte”, dal “generale al
particolare”, dal “composto al semplice”.
(“Psicoaritmetica” pag. 89)
Gli esercizi coni bastoncini di perle colorate suscitano l’attività del
bambino, riescono a fissare l’attenzione per lungo tempo e lo
mettono in situazione problematica, la soluzione della quale porta
all’intuizione di alcune fondamentali proprietà aritmetiche;
intuizioni che acquistano in lui il valore della “scoperta personale”
e gli danno la gioia di “autoeducarsi”.
Le proprietà dell’addizione
Età: 5 anni, 5 anni e mezzo,
parallelamente alla tavola delle
asticine.
Descrizione del materiale: a) una scatola di legno, divisa in
nove scomparti, contenente i
bastoncini da 1 a 9, in numero di
per colore;
b) una scatola di legno, dello
stesso colore della prima con
molte decine dorate;
c) un tappetino di panno;
d) una scatolina con vari divisori
per i segni necessari preparati
dalla maestra: + - ( );
e) tre bustine contenenti tre serie
di biglietti con le indicazioni dei
binomi, trinomi, quadrinomi e
polinomi, con scritto all’esterno:
-proprietà commutativa-
-proprietà associativa-
-proprietà dissociativa-
Presentazione: - La maestra presenta l’esercizio
individualmente;
- Si invita il bambino a mettere
sul tappetino, precedentemente
disteso, due bastoncini colorati e
ad indicare l’addizione con i
relativi segni, quindi a contare le
perline del secondo addendo,
aggiungendole al primo.
- Il risultato deve essere indicato
con decine ed unità, se supera il
10, per esempio:
8+5= 13 (10 e 3)
Esercizi: - Il bambino per un certo tempo
calcola le addizioni indicate dai
bigliettini delle combinazioni.
- Il bambino può scriverle sul suo
foglietto oppure le può
rappresentare disegnando i
bastoncini di perle colorate,
sempre rappresentando la somma
con i bastoncini dorati e quelli
colorati per le unità, quando sia
necessario.
Proprietà commutativa
a) Quando il bambino ha lavorato a lungo con i bastoncini
di perle colorate, la maestra con un movimento brillante
sposta gli addendi di un binomio già calcolato e gli
dimostra che il risultato resta invariato.
b) Invita il piccolo ad indicare prima, per esempio:
7+6= 13
poi a disporre accanto i bastoncini dello stesso binomio,
combinandone l’ordine e calcolando la loro somma in
modo da verificare che resta invariato, cioè:
7+6= 13 6+7= 13
c) Il bambino prende la busta con su scritto “proprietà
commutativa” e prosegue l’esercizio con i biglietti in essa
contenuti, tra i quali trova anche l’indicazione dei
trinomi.
d) Può scoprire così che con tre addendi si possono ottenere
più combinazioni, precisamente “sei”;
e) In seguito, con quattro addendi “ventiquattro”, con cinque
“centoventi” e così via secondo la formula algebrica:
n (n-1) (n-2) (n-3)……
n= numero addendi
1,2,3…= numero combinazioni
Proprietà associativa
a) Lavorando con i bastoncini colorati, il bambino può tornare
sulla formazione del -10- data con il serpente, ed ancor
prima con le aste, perché alla base dei calcoli c’è sempre il
sistema decimale.
b) La maestra invita il bambino a disporre sul tappeto i
bastoncini colorati corrispondenti ad un polinomio, da lei
scritto in precedenza, per esempio:
6+2+4+5+8=
c) Il piccolo conta ed indica il risultato
“25” con due decine e il bastoncino del cinque.
d) A questo punto la maestra suggerisce
di applicare la proprietà commutativa, già nota, per associare
i bastoncini che possono formare -10-, mettendoli tra
parentesi.
e) Il calcolo risulta più facile e rapido,
dopo la sostituzione dei binomi con le decine, cioè:
(6+4)+ (8+2)+5=
10 + 10 +5=25
f) Il bambino con questo esercizio,
scopre la proprietà associativa dell’addizione, impara in
modo chiaro l’uso delle parentesi, rinforza la
memorizzazione della formazione del dieci, con la
conseguente acquisizione di rapidità nel calcolo mentale.
Memorizzazione
Introduzione
Nel “primo livello” per la formazione della mente logico-
matematica, il bambino ha lavorato a lungo entro il 10 ed è entrato
nel mondo dei numeri; nel “secondo livello” ha avuto la visione
globale del sistema a base dieci ed un’intuizione abbastanza
completa dei concetti di:
addizione
processi che
portano ad
accumulo di quantità
moltiplicazione
sottrazione
processi che
portano a
diminuzione di quantità
divisione
Con il materiale delle perle dorate il bambino ha potuto spaziare in
un grande ambito nel mondo dei numeri: da “1” a “1000”; da “1” a
“9000”.
Per la memorizzazione si da un materiale esatto che ha lo scopo di
aiutare il bambino a passare dal concreto all’astrazione. L’ambito
numerico è ristretto per favorire la memorizzazione di base
“necessaria e sufficiente” costituita dai calcoli.
Dall’-1- al -18 per addizione e sottrazione
Dall’-1- al -100- per moltiplicazione e divisione
Per favorire il passaggio all’astrazione sono necessari due fattori:
a) Conoscere le quantità concrete e operare con esse
b) Avere l’aiuto della memoria.
Prima tavola della moltiplicazione
E’ una tavola di controllo.
Dopo che i bambini hanno riempito, per molte volte, intere serie di
moduli, aiutandosi con il materiale, si offre loro una tavola per il
controllo, affinché possano verificare se hanno commesso qualche
errore nel calcolo delle moltiplicazioni. Tabellina dopo tabellina,
numero dopo numero, essi verificano se ogni prodotto corrisponde a
quello presente in una delle dieci colonne della tavola. Eseguito con
la massima attenzione questo controllo, i bambini sono in possesso
di serie, sicuramente prive di errori. Su un foglio copiano poi dai
moduli le tabelline, una accanto all’altra e nella loro successione.
( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 104)
La tavola pitagorica
E’ una tavola quadrata divisa in cento quadretti, dei quali i primi 10
orizzontali portano scritte le cifre da 1 a 10, su fondo azzurro, i
primi 10 quadretti verticali su fondo rosa, le cifre da 1 a 9.
A completamento della tombola c’è una scatola gialla con “81”
tombolini dello stesso colore; su ognuno è scritto il numero.
Come risultato delle molte attività al riguardo, il bambino è oramai
padrone della Tavola Pitagorica; sarà perciò molto facile
insegnargli a leggerla nel suo aspetto di tavola dei prodotti, che già
conosce a memoria. Potrà allora riempire a mente con i prodotti gli
spazi vuoti. L’unica difficoltà che gli rimane da superare risiede nel
riconoscere in quale casella, corrispondente al medesimo tempo tanto
al moltiplicando quanto al moltiplicatore, dovrà inserire il
prodotto.
( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 105)
Seconda tavola della moltiplicazione
Stabilito che l’ordine dei fattori non altera il prodotto e che, ai fini
della memorizzazione, è il prodotto ciò che conta, si può
semplificare la tavola della moltiplicazione, escludendovi le
moltiplicazioni inverse. Le moltiplicazioni risultano in posizione tra
loro simmetrica: si trovano l’una al di sopra e l’altra al di sotto di
quelle altre (coi fattori uguali) che si allineano lungo la diagonale
che va dal prodotto 1 al 100. Sulla diagonale nominata troviamo i
prodotti di ciascun numero moltiplicato per se stesso, ossia i quadrati
perfetti di 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Eliminando le
moltiplicazioni ripetute e perciò in posizione simmetrica, ne risulta
una nuova tavola. In essa, per ogni numero, si hanno le successive
combinazioni con la serie naturale dei numeri, ma partendo dal
quadrato del numero considerato. Sulla medesima linea,
incontreremo orizzontalmente:
1X1=1
1X2= 2; 2X2= 4 e sotto
1X3= 3; 2X3= 6; 3X3= 9 e così via.
In altre parole: sono allineate tutte le moltiplicazioni con lo stesso
moltiplicatore; esse si interrompono dopo la moltiplicazione avente i
fattori uguali. Proseguendo nella compilazione, si sviluppano tutte
le possibili combinazioni necessarie al calcolo. Se si sorpassa,
infatti, il quadrato di un numero (quello di 3, per esempio) la
combinazione successiva 4X3 non è altro che l’ inverso della
combinazione che fa il 3 col moltiplicatore 4. Per tale ragione 4X3
risulta potenzialmente inclusa nella tabellina del 3 come simmetrica
della tavola dimezzata. Tale parte ha in se tutte le indicazioni
necessarie, per trovare le combinazioni di ogni numero, che
precedono verticalmente il suo quadrato perfetto. Le combinazioni
eliminate sono ugualmente reperibili se scorriamo la tavola in senso
inverso andando cioè da destra a sinistra e leggendo al posto di 3X4
e 3 X 5;ecc. 4 X 3 e 5 X 3; ecc.
Le combinazioni che occorre memorizzare sono 45.
( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 70)
Terza tavola della moltiplicazione
Questa tavola, in alto, orizzontalmente, porta scritti i numeri in
successione da 1 a 10 su fondo azzurro; a sinistra , verticalmente su
fondo rosa, i numeri da 1 a 10. L’uno viene a trovarsi sul quadrato
dell’incrocio nel quale i due colori sembrano sovrapporsi.
Negli 81 quadretti interni sono riportati i prodotti delle
combinazioni, perciò per controllare le operazioni il bambino mette
un dito sul numero su fondo azzurro, su quello su fondo rosa per il
secondo: li fa scorrere e legge il risultato sul “quadretto di incrocio”.
“ Nel materiale si hanno dieci moduli in bianco da completare, per
ottenere altrettante tavole pitagoriche. Non appena il bambino ha
l’abilità di dedicarsi a questi esercizi come e quando vuole, e li
esegue tutti, può dirsi che ha imparato la tavola della
moltiplicazione”.
( Maria Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 105)
Quarta tavola della moltiplicazione
Questa tavola della moltiplicazione è orientata alla memorizzazione
di tutti i prodotti delle moltiplicazioni. Si costituisce di una
colonna verticale rosa riportante i numeri da 1 a 10 e, a fianco di
questi, i prodotti fini al quadrato del numero.
Le tavole della divisione
Per permettere al bambino di lavorare a quelle divisioni, i cui
dividendi danno almeno una volta quozienti con lo zero, si dispone
di due tavole. Entrambe le tavole sono quadrettate e contengono 36
dividendi (da 81 a 1):8
risultano allineati lungo la parte superiore.
Gli ultimi cinque dividendi della serie (7; 5; 3; 2; 1) risultano
contrassegnanti diversamente, in quanto numeri primi. I divisori (da
1 a 9) risultano disposti sulla parte sinistra delle tavole. Mentre
nella quadrettatura interna della prima Tavola si riconoscono,
opportunamente collocati, gli 81 quoti, la seconda Tavola ne è
priva. I quoti, scritti su tasselli quadrati, risultano raccolti in una
scatola per l’esercizio. Per gli esercizi, correda il materiale un
cestino contenente le 81 divisioni “esatte o complete” (81:9; 72:9;
72:8; 64:8;…;2:2; 2:1; 1:1) scritte su striscioline di cartoncino.
Il bambino prende un’operazione dal cestino e, trascrittala sul
quaderno, individua sulla Tavola I i termini della divisione,
ricercandone il risultato. In un secondo tempo, potrà calcolare
mentalmente il risultato, che sceglierà tra gli 81 tombolini.
Individuati i termini della divisione sulla Tavola II, il bambino vi
colloca appropriatamente il tombolino-quoto, controllandone la
posizione con la Tavola I. Dobbiamo richiamare l’attenzione del
bambino su quei dividendi differentemente contrassegnati, con lo
scopo di dar loro una prima intuizione di numero primo. Si passa,
così, dal concetto di divisore di un numero, ai numeri primi,
preparando indirettamente la ricerca del massimo comun divisore e
minimo comune multiplo. Gli esercizi di entrambe le tavole,
proposte ai bambini intorno ai 6 anni di età, concludono il capitolo
sulla numerazione delle combinazioni fondamentali.
( M. Montessori, da Psicoaritmetica, pag. 153)
Le quattro operazioni con il sistema
decimale
“ Il bambino ha il primo concetto di operazioni aritmetiche con le
aste numeriche.
Per dargli però il concetto di operazione reale, quella che avviene
quotidianamente nella vita, si usa il materiale delle perle dorate…
Ogni numero maggiore di uno rappresenta in se stesso una somma di
unità, e poiché esistono tanti raggruppamenti di unità, un numero
può essere considerato somma dei gruppi che lo compongono
(gerarchie).
Il raggruppamento di quantità è realmente un fatto semplice:
consiste nel riunire cose separate e questo lo possiamo realizzare con
oggetti qualsiasi. Se si raggruppano però quantità numeriche,
organizzate secondo il sistema decimale, allora esse obbediscono alla
proprietà della netta distinzione delle gerarchie e al fatto che
soltanto 9 unità, qualunque si l’ordine a cui appartengono, possono
venire in esso raggruppate.
Se un’altra viene aggiunta, interviene una sintesi grazie alla quale si
forma una nuova unità di ordine immediatamente superiore.
Le quantità numeriche hanno in sé una specie di fermento vitale,
una forza che le obbliga ad organizzarsi entrando così nelle forme
del sistema.
Le operazioni consistono nel raggruppare cose uguali o diseguali,
nel separare da un insieme una delle sue parti, nel distribuirlo in
parti uguali.
Ecco cosa sono le operazioni!
Quello che accede nell’intimità dei numeri riguarda il sistema
decimale non le operazioni.
Ma che cosa succede nel sistema decimale?
Semplicemente questo: essendo proibiti gli assembramenti superiori a
nove cittadini, quando sopraggiunge il decimo, sorge un nuovo
passaggio: è il passaggio dal nove al dieci.
(M. Montessori, da “Psicoaritmetica” pag. 57 – 58)
Concetto di addizione
Addizione statica
Nome: perle dorate del sistema decimale.
Età: dai quattro anni e mezzo, ai cinque in
poi. Dopo la presentazione globale
del sistema decimale e gli esercizi
paralleli.
Descrizione: il materiale consiste nelle quantità del
sistema decimale, biglietti dei numeri:
una serie grande da 1 a 9000 – 3 serie
piccola da 1 a 3000 – 3 vassoi con un
piccolo contenitore per le unità, 1
tappeto grande e morbido da mettere
sul tavolo.
Presentazione (addizione statica – senza riporti):
Si potrebbe fare con un qualunque numero di bambini. Noi ne
scegliamo tre perché il materiale disponibile ci limita. Infatti
abbiamo tre sole serie di piccoli numeri e di vassoi (potremmo
chiamare solo due bambini ma il lavoro risulterebbe meno
divertente). I tre bambini rappresenteranno i tre addendi. Un quarto
bambino si siede vicino la maestra per il cassiere.
La maestra e il bambino preparano un tavolo apposito con un
tappeto morbido e pieghevole che prenda tutto il tavolo.
Il bambino cassiere, o su un tavolo vuoto o su un tappeto in terra,
dispone i numeri grandi del sistema decimale (da 1 a 9000), facendo
bene attenzione a mettere le unità a destra. Ci sono altri tre tavolini
liberi, sarebbe bene che fossero vicini tra loro e anche vicini al
tavolo del cassiere, affinché i bambini si vedano tra loro lavorare e
l’attenzione non venga distolta da inutili passeggiate. La maestra da
a ognuno dei tre bambini una serie piccola di numeri e ognuno di
loro distende sul proprio tavolino.
Ognuno dei tre bambini prende un vassoio e viene al tavolo del
cassiere. (nell’addizione statica deve essere sempre la maestra quella
che dà i numeri ai bambini perché non deve esserci il riporto).
Siano i numeri 1243 – 1312 – 1423.
La maestra dice al primo bambino:”Portami mille-duecento-
quaranta-tre”. “Che cosa ti ha chiesto?”
Risposta della maestra:”Ti ricordi bene qual è mille?”; Risposta del
bambino. Il bambino va a prendere le quantità richieste.
Lo stesso dialogo fa con gli altri due bambini.
I tre bambini tornano uno alla volta al tavolo del cassiere ed
hanno sul vassoio le quantità richieste.
“Che cosa ti avevo chiesto?” dice sempre la maestra. Il bambino
ripete il numero. La maestra controlla poi manda il bambino a
prendere i relativi biglietti. La stessa cosa la maestra fa con gli altri
due bambini.
Quando su ogni vassoio c’è la quantità e il numero, la maestra, dopo
aver chiesto ancora una volta ad ogni bambino la quantità
corrispondente al proprio numero, mette ordinatamente la quantità
sul tappeto (le unità a destra, alla sinistra delle unità le decine, alla
sinistra delle decine le centinaia, alla sinistra delle centinaia le unità
di migliaia) e il biglietto col numero sul tavolino fuori dal tappeto,
prendendo tutto dal vassoio del proprio bambino. Lo stesso fa con le
quantità e il numero del secondo bambino sistemando tutto al disotto
del primo. Lo stesso fa col terzo bambino.
Ora i vassoi sono vuoti. Le quantità sono tutte ancora ben distinte
sul tappeto e i tre numeri uno sotto l’altro, ordinatamente sul
tavolino. I tre bambini hanno portato via il vassoio, stanno davanti
la maestra. Il momento è solenne.
La maestra dice:”Ora facciamo l’addizione”.
Ognuno di voi guardi bene la quantità che ha messo e la ricordi
bene. Tu la ricordi? Tu la ricordi? Tu la ricordi?.
Ogni bambino ripete la sua quantità.
Il bambino ricopia i numeri dal tavolino, dove sono i biglietti con
il numero di ogni addendo. Prima che i bambini vadano a scrivere
sulla lavagna, la maestra ha dato solennemente il segno
dell’addizione, più, e il segno dell’uguale.
Nota. gli addendi grandi vengono dati sotto
il “3000”, perché le tre serie arrivano
a tremila e perché altrimenti se si
superasse “9000” nel totale, non si
avrebbero cartellini grandi.
Concetto di moltiplicazione
Moltiplicazione statica
Descrizione: il materiale è lo stesso che è servito
per l’addizione (perle dorate,
cartellini grandi, 3 serie di cartellini
piccoli, vassoi del Sistema Decimale).
Di diverso abbiamo nella scatola dei
segni, il segno della moltiplicazione
X, per.
Presentazione:
Benché i bambini abbiano già avuto il gioco del “cambio”, la prima
volta per la presentazione, la maestra sceglie le quantità in modo
che la moltiplicazione risulti statica e questo, per isolare il concetto
nella sua essenza.
La moltiplicazione è l’addizione di “n” addendi uguali.
La presentazione si svolge con un gruppetto di tre bambini.
La maestra sceglie un numero uguale per tutti e tre i bambini,
ad esempio “1213”.
Si invita ogni bambino a portare la quantità “1213” e i
relativi simboli.
Si ordinano le quantità portate dai bambini.
Il materiale viene contato dalla maestra e sopra vi pone il
simbolo.
Si raccolgono i cartellini delle quantità di ciascuna famiglia e
si danno al bambino.
Si prosegue nello stesso modo con gli altri due bambini.
La disposizione delle quantità sul piano è per far notare
visivamente che tutti e tre i bambini hanno portato al cassiere
la stessa quantità.
Visione di quantità uguali. Unione al simbolo e
incolonnamento dei tre cartellini che riportano le stesse cifre,
come nell’addizione.
Si raggruppano le quantità, poi, secondo la gerarchia per
contare le quantità portate e il relativo risultato.
Si inizia il conteggio dalle unità.
Si prende il cartellino grande da portare sotto le quantità
contate.
Si prosegue così per ogni gerarchia.
Si raccolgono i cartellini grandi sovrapponendoli.
Si richiedono ai bambini le ricevute.
Si incolonnano le ricevute come per l’addizione, poi si dice:
“Ma sono tutti uguali!”
Si capovolgono due cartellini e si lascia scoperta solo una
ricevuta.
La maestra dice: “Prendiamo solo questo cartellino e poi ci
mettiamo questo segno “X” che significa che avete portato
questa quantità tre volte”.
Si scrive “3” su un cartoncino e lo si dispone sotto il segno del
“X”, si pone il segno dell’uguale e compiuta la “magia” si ha il
risultato, cioè il prodotto.
Nota: i bambini possono scrivere su di un
quaderno o sui fogli preparati dalla
maestra i passaggi dell’esercizio.
Scopo diretto: concetto dell’addizione.
Concetto di sottrazione
Sottrazione statica
Età: da cinque anni in poi, dopo
l’addizione e la moltiplicazione.
Descrizione del materiale: perle dorate del sistema decimale,
serie di cartellini grandi, due serie di
cartellini piccoli, vassoio del sistema
decimale, un tappeto grande.
Presentazione: la presentazione è di gruppo.
Chi opera è il cassiere e uno dei bambini, gli altri bambini assistono
alla presentazione; pur non essendo protagonisti nello svolgimento
dell’esercizio, in un secondo momento, possono partecipare alla
formulazione del problema.
Uno dei bambini, se l’angolo dell’aritmetica è vicino alla lavagna,
può scrivere l’operazione calcolata.
Si preparano su di un tavolo doppio, distesi in senso verticale due
serie di cartellini piccoli.
Il cassiere prepara una bella quantità e sopra ogni gerarchia
oppone il cartellino grande delle perle dorate prese (4867 ad
esempio)
Si fa leggere al bambino il totale della quantità sovrapponendo i
cartellini grandi.
Si fa leggere la quantità espressa in simboli anche agli altri
bambini. Si fa notare al bambino che nel suo vassoio non ha
niente, quindi la maestra dice che vuole dargli una parte della sua
ricchezza ( per esempio 3452”)
Si manda il bambino a prendere i cartellini piccoli relativi al
quantitativo che il cassiere vuole regalargli. Il piccolo ritorna. Il
bambino inizia dalle unità: prende il cartellino di questa gerarchia
lo isola sul vassoio e sopra vi pone il quantitativo di perle relativo.
Si procede in tal modo per le altre gerarchie.
A questo punto si girano i cartellini grandi che esprimevano la
somma totale, del tesoro iniziale, (si gira perché è poco felice), ci si
fa lasciare la ricevuta dal bambino, il quale poi con il vassoio
ripone la quantità “relativa” nella cassa.
Successivamente si chiama un altro bambino e gli si chiede di
contare quanto è rimasto al cassiere prendendo per ogni quantità –
gerarchia- rimasta, il relativo cartellino.
Alla fine del conteggio si dice, mostrando i cartellini rimasti sul
tavolo:
cassiere: io avevo 4867
il primo bambino mi ha portato via 3452
mi è rimasto 1415
Si prendono i simboli (-, =) della sottrazione, ritagliati con il
cartoncino, e si pongono vicino alle cifre dicendo: Questa è proprio
una sottrazione!!!
Come gioco:
se io rimettessi insieme quello che mi è rimasto con quello che ha
preso il primo bambino, avrò la quantità che possedevo all’inizio.
Si modifica l’operazione con i cartellini si lascia fermo il resto, si
spostano i cartellini grandi della somma iniziale ponendoli in basso
per ultimi e si mette sul segno “-“ , un altro segno uguale ma
disposto a formare la croce dell’addizione.
Si invita, infine, i bambini a raccontare quello che è avvenuto :
“impostazione del problema”.
Divisione statica
Età: dopo l’addizione, la moltiplicazione e
la sottrazione dinamica.
Descrizione del materiale: un tappeto grande rosso, materiale del
sistema decimale: perle dorate, la serie
dei cartellini grandi, le tre serie dei
cartellini piccoli, vassoi del sistema
decimale.
Presentazione: a gruppetti di bambini.
La maestra prepara, per la prima volta, una grande quantità di
perle, che sia divisibile per tre, perche tre sono le serie dei
bigliettini distesi sul tavolo doppio.
Si invitano tre bambini.
Su ogni quantità ordinata va posto il cartellino grande della
relativa gerarchia e quantità.
La maestra dice: “Voglio dare la stessa quantità a tutti e “3”.”
Questa volta si inizia la distribuzione dalla quantità maggiore
(unica operazione).
Si da un “1000” al primo bambino ponendolo sul suo vassoio,
il bambino si sposta girando attorno al tavolo e al suo posto si
presenta il secondo bambino e poi il terzo.
Il primo bambino dopo aver girato si ritrova in coda dopo il
terzo e così dopo di lui sarà pronto a ricevere un altro “1000”.
Il cassiere distribuisce le migliaia fino ad esaurimento di
queste.
Appena ultimata la distribuzione di una gerarchia la maestra
dà uno stop al bambino. Il bambino nota la pausa che divide i
giri al passaggio alla gerarchia successiva. (Nota: questo “stop”
tra una gerarchia e l’altra graficamente nell’operazione scritta
è indicato da questo simbolo 892)
Si passa poi alla distribuzione delle centinaia, seguendo il
sistema precedente, così pure per le decine e le unità.
Si invita, a totale quantità distribuita, a prendere ognuno dalla
propria serie di cartellini, quelli relativi ad ogni quantità per
famiglia e a porli su ognuna.
Il cassiere a questo punto chiede ad ogni bambino: “Quanto ti
ho dato” “2213”
La maestra si fa dare i cartellini e li pone in fila, sul tavolo,
uno sotto l’altro e al centro a sinistra pone quelli grandi.
A questo punto il cassiere effettua un piccolo riassunto della
situazione: “Io avevo 6639 e l’ho diviso in parti uguali tra voi
tre.
2213 rappresentazione
6639 2213 razionale
2213 della divisione
Si continua dicendo: “invece di fare così (riferito al
posizionamento dei cartellini grandi e piccoli come su foto)
possiamo voltare il primo e il secondo dei cartellini della
quantità distribuita.
La maestra continua prendendo i simboli (: =) per la
divisione, sempre ritagliati su cartoncino bianco, e ponendoli
come in una divisione in riga
(dividendo : divisore = quoziente)
Anche per la divisione l’operazione compiuta può essere scritta
alla lavagna con i colori gerarchici e il bambino può
riprodurla con le matite (colorate secondo la gerarchia e non)
quanto è avvenuto.
I bambini raccontano quanto avvenuto (impostazione del
problema)
Nota: la divisione è una serie di sottrazioni
con lo stesso sottraendo, si sottraggono
le stesse quantità.
Addizione dinamica
Età: dopo l’addizione statica e il gioco del
cambio.
Descrizione del materiale: materiale del sistema decimale: perle
dorate, cartellini grandi, 3 serie
cartellini piccoli, vassoi del sistema
decimale.
Presentazione:
il materiale è disposto come per la presentazione dell’addizione
statica, la cassa del tesoro dove si trovano le perle dorate è
molto ricca;
la maestra, per la presentazione, svolge il ruolo di cassiere;
il gioco si svolge con un gruppetto di 4 bambini;
il cassiere chiede ad un bambino:”Portami 2481 (ad esempio);
il bambino va a prendere la quantità e i relativi cartellini
(unione quantità – simbolo);
ogni bambino prende i cartellini da posare sul suo vassoio dalla
sua serie numerica, distesa sul tavolo in senso verticale;
il cassiere dice al secondo bambino: “Vai a prendere 1324.” E
al terzo: “Vai a prendere 3117”;
ogni bambino che ha eseguito il comando torna dal cassiere e
attende con ordine il suo turno per il conteggio;
la maestra conta la quantità di ogni bambino, la ordina e
appone sopra ogni quantità il relativo simbolo.
Sottrazione dinamica
Età: dopo la sottrazione statica.
Descrizione del materiale: materiale del sistema decimale:
perle dorate, la serie di cartellini
grandi, 2 serie di cartellini
piccoli, vassoi del sistema
decimale, un tappeto per il
tavolo.
Presentazione:
il “capitale” viene preparato dal cassiere.
La presentazione è di gruppo: 3/4 bambini.
I bambini possono richiedere una quantità a piacere che deve
essere minore del capitale.
Il cassiere mette in ordine la quantità richiesta, avvicina i
bambini al suo tavolo e dice: “Quanto abbiamo?”
Si prendono i cartellini grandi posti su ogni quantità e si
compone la cifra, per esempio “5635”.
Al bambino con il vassoio vuoto la maestra da l’indicazione di
prendere meno della quantità posseduta dal cassiere.
Il bambino va a prendere i cartellini piccoli da una serie stesa,
per esempio “3457”.
Porta la cifra al cassiere e questo inizia a dare le quantità, ma
si accorge che le unità non bastano, quindi , manda un bambino
al cambio a “sciogliere” una fila del bastoncino delle decine.
Il bambino torna con le perle sciolte -10 unità-.
Al primo cambio si gira la cifra composta dai cartellini grandi
perché questa già non esiste più.
Si cambia ora un “100” per dare la quantità successiva.
Il bambino con il vassoio dà la ricevuta della quantità presa.
Il cassiere conta quanto gli è rimasto iniziando dalle unità.
Il bambino del cambio ad ogni gerarchia contata porta i
cartellini piccoli, presi dalla seconda serie stesa, disporli sopra
le quantità rimaste.
Si compone il numero di quanto è rimasto.
il cassiere racconta quanto è successo:
Io avevo 5637
Il 1° bambino
ha preso 3457
Al cassiere
è rimasto 2178
La maestra invita i bambini alla formulazione del problema
sotto forma di racconto.
La maestra propone il problema inverso come gioco: “Se Luca
(bambino esempio) mi dà quanto ha preso e lo metto insieme a
quanto mi è rimasto, riavrò, allora, il capitale iniziale”.
Moltiplicazione dinamica
Quando la maestra ha dato chiaramente il concetto di
moltiplicazione, si può procedere anche alla moltiplicazione
dinamica per la quale i bambini sono liberi di scegliere il
moltiplicando
(moltiplicando x moltiplicatore = prodotto)
L’insegnante deve dare solo questa indicazione: “Prima di prendere
la quantità dovete mettervi d’accordo, di scegliere tutti la stessa.”
Presentazione:
I bambini si accordano, momento di partecipazione e di
autocorrezione.
Il cassiere conta e ordina le tre quantità uguali portate e
rilascia le ricevute.
Si mettono insieme tutte le quantità contate, si eseguono i
cambi necessari per ciascuna gerarchia e si pone i cartellini
grandi sotto ogni famiglia.
Si ritirano le ricevute, si incolonnano, se ne girano due, si pone
accanto a quella non rovesciata il segno della moltiplicazione,
si scrive su di un piccolo cartoncino il moltiplicatore, si appone
l’uguale ed infine con i cartoncino grandi, dopo la “magia”, il
prodotto.
Esercizi:
1. Il bambino ripete tante volte come la presentazione.
2. Il bambino può sempre raccontare oralmente ciò che è
avvenuto, preparandosi in tal modo per la formulazione del
problema.
3. Il bambino può ricopiare per la prima volta e poi svolgere da
solo l’operazione della moltiplicazione che ha fatto.
4. La maestra scrive alla lavagna con gessetti colorati relativi al
colore gerarchico dei componenti, la moltiplicazione,
l’operazione.
5. Il bambino quando ricopia mantiene il colore gerarchico per
il moltiplicando, con la matita scrive il moltiplicatore (gesso
bianco alla lavagna), perché non ha valore gerarchico, e con il
colore il prodotto, in seguito può scriverlo semplicemente a
matita.
Scopo diretto: dare il concetto di moltiplicazione
con il sistema decimale.
Divisione dinamica
La divisione dinamica è identica a quella statica, solo che la
quantità può essere scelta a caso e si effettuano i cambi dovuti.
Nella divisione dinamica c’è la possibilità per il cassiere di scegliere
una quantità a piacere. E’ il cassiere che agisce cioè che esegue
l’operazione, in quanto distribuisce.
Il concetto non è di contenenza, ma di ripartizione.
La divisione di contenenza è un calcolo astratto.
La divisione di contenenza non è una vera divisione, quante volte ho
potuto prendere dentro il “6639”? -2213-.
Ad esempio: ho 18 fiori ne voglio mettere 6 in ogni vasetto quanti
ne devo preparare? Compio un calcolo astratto 18:6 = 3 vasetti
(dovrò utilizzare 3 vasetti).
La vera divisione- distribuzione- l’attuerò in un secondo momento,
quando in ogni vasetto distribuirò sei fiori.
La vera divisione è un’azione reale nel dividere un intero secondo
quello che mi serve.
Avendo all’inizio 18 fiori e 3 vasetti avviene una ripartizione della
quantità, in quanto mi domando: quanti fiori devo distribuire per
ogni vasetto?
Scopo diretto: concetti di divisione statica e
dinamica.
Nota: annesso al materiale delle perle
dorate c’è una scatolina
preparata dalla maestra, divisa
in scomparti, contenente i segni
delle 4 operazioni, cartellini
scritti con 2 e 3, ed uno
scomparto lungo con 4 bustine
che contengono, cartellini con
scritta la nomenclatura dei
termini delle 4 operazioni.
All’esterno di ogni busta c’è
scritto il nome dell’operazione.
moltiplicazione moltiplicando moltiplicatore prodotto
addizione
addendo
addendo
addendo
totale
sottrazione minuendo sottraendo resto
divisione
dividendo
divisore
quoziente
resto