Alessandro Gambini 17 agosto 2017 Concetti di base e insiemi numerici 1.1 Insiemi, relazioni e...

Appunti di matematica generale CTF

Alessandro Gambini

17 agosto 2017

Indice

1 Concetti di base e insiemi numerici 1

1.1 Insiemi, relazioni e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Insiemi numerici fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Definizione di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Densita di Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5√

2 e irrazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Sottoinsiemi della retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Estremanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Il piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Fattoriale e coefficiente binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Le successioni numeriche 11

2.1 Cos’e una successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Limite di una successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

La progressione aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

La progressione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Algebra delle successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Successioni infinitesime e comportamento asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Criterio del rapporto per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Il numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Teorema di Stoltz-Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Le serie numeriche 21

3.1 La serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i

ii Indice

3.2 Serie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Criterio del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Criterio del confronto asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Criterio del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Criterio della radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Criterio di Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Criterio di condensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Criterio di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Calcolo combinatorio 29

4.1 Permutazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Permutazioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Disposizioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Combinazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6 Cenni di calcolo delle probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Le funzioni continue 37

5.1 Topologia della retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Trasformazioni del piano e composizione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Traslazioni verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Dilatazioni (o contrazioni) verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Riflessioni verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Traslazioni orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Dilatazioni (o contrazioni) orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Riflessioni orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Riflessioni di una parte del grafico: | f (x)| e f (|x|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Il grafico dell’inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.6 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.7 Teoremi sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Il calcolo differenziale 51

6.1 Rapporto incrementale e derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Calcolo della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Indice iii

Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4 Derivata e monotonıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.5 Applicazioni del calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Calcolo di limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Massimi e minimi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Intervalli di concavita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.6 Polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 L’integrale di Riemann 63

7.1 Calcolo dell’area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Somme di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Calcolo di un’area con le somme di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Integrabilita secondo Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.4 Proprieta dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Linearita dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Additivita dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Disuguaglianza triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Positivita dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Monotonia dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.5 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.6 Tecniche di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Primitive immediate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Primitive non elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.7 Integrali Impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Criterio dell’integrale per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Equazioni differenziali ordinarie 75

8.1 Problemi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Codominio, dominio e di prolungabilita della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.3 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.4 Equazioni riconducibile alle variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

iv Indice

8.5 Studio qualitativo di un’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.6 Equazione lineare del II ordine a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9 Funzioni di due variabili reali 83

Limiti e continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1 Massimi e minimi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Matrice Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2 Analisi delle curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Numeri complessi 89

10.1 Rappresentazione cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.2 Rappresentazione polare o trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Le operazioni in forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.3 Le radici n-esime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Appendice 96

Tavola degli sviluppi di Maclaurin delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1 Concetti di base e insiemi numerici

1.1 Insiemi, relazioni e funzioni

Ricordiamo alcuni concetti e simbolismi fondamentali della teoria degli insiemi senza soffermarci troppo

sui casi generali allo scopo di arrivare velocemente agli insiemi numerici.

Un insieme viene generalmente indicato con una lettera maiuscola: A = {1,3,5,7} e un insieme con

un numero finito di elementi mentre l’insieme dei numeri dispari D = {1,3,5,7, . . .} e un insieme con un

numero infinito di elementi.

La cardinalita di un insieme A e il numero degli elementi dell’insieme e si indica con card(A) o #A. Se

il numero di elementi e infinito diciamo semplicemente che la cardinalita e infinita senza addentrarci nei

diversi tipi di infinito. Nel caso precedente card(A) = 4. In calcolo combinatorio useremo solo insiemi

con un numero finito di elementi mentre gli insiemi numerici fondamentali hanno un numero infinito di

elementi. (*)

Simbologia

• a ∈ A significa che l’elemento a appartiene all’insieme A.

• B⊆ A significa che B e un sottoinsieme di A

• Unione di due insiemi: se A,B⊆M allora A∪B = {m ∈M : m ∈ A∨m ∈ B}.

• Intersezione di due insiemi: se A,B⊆M allora A∩B = {m ∈M : m ∈ A∧m ∈ B}.

• L’insieme complementare : se A⊆M si dice che AC e il complementare di A su M se AC = {m ∈M :

m /∈ A}. Di conseguenza A∪AC = M e A∩AC =∅ (insieme vuoto) .

• Il prodotto cartesiano tra due insiemi si indica A×B = {(a,b) : a ∈ Aeb ∈ B}. Il numero di elementi

di A×B e il prodotto del numero degli elementi dei due insiemi.

Ad esempio se A = {1,3,5,7} e B = {1,2,4} allora A×B = {(1,1),(1,2),(1,4),(3,1),(3,2), . . . con

12 elementi totali.

1


Relazioni

Una relazione tra gli insiemi A e B si indica con ARB ed e un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B.

Le due relazioni fondamentali che useremo durante il corso sono la relazione di equivalenza e la relazione

d’ordine.

Supponiamo che ∼ sia una relazione tra l’insieme A e se stesso: A ∼ A; una relazione di equivalenza

deve soddisfare le seguenti proprieta:

1. x∼ x ∀x ∈ A (proprieta riflessiva)

2. se x∼ y ⇒ y∼ x ∀x,y ∈ A (proprieta simmetrica)

3. se x∼ y e y∼ z ⇒ x∼ z ∀x,y,z ∈ A (proprieta transitiva).

Il simbolo = rappresenta una relazione di equivalenza.

Supponiamo che ≤ sia una relazione tra l’insieme A e se stesso: A ≤ A; una relazione d’ordine deve

soddisfare le seguenti proprieta:

1. x≤ x ∀x ∈ A (proprieta riflessiva)

2. se x≤ y e y≤ x ⇒ x = y ∀x,y ∈ A (proprieta antisimmetrica)

3. se x≤ y e y≤ z ⇒ x≤ z ∀x,y,z ∈ A (proprieta transitiva).

Il simbolo ≤ rappresenta una relazione d’ordine.

una relazione d’ordine si dice totale se ogni elemento dell’insieme A e confrontabile con tutti gli altri

elementi. (*)

Funzioni

Una funzione e una relazione tra un insieme A ed un insieme B che associa ad ogni elemento di A un solo

elemento di B cioe ∀a ∈ A ∃ !b ∈ B | f (a) = b.

Generalmente si indica una funzione nel modo seguente:

f : A→ B

dove A rappresenta il dominio della funzione e B il codominio .

L’insieme G= {(a,b) : b = f (a)} e il grafico della funzione.

In generale non e detto che tutti gli elementi di A abbiano una corrispondenza in B, al massimo si puo

asserire che f (A)⊆ B dove f (A) = {b ∈ B : b = f (a), a ∈ A}. Tale insieme e l’immagine della funzione f .

Una funzione f di dice suriettiva (su) se l’immagine copre tutto il codominio:

f (A) = B.

Una funzione f si dice iniettiva (1-1) se

∀a1,a2 ∈ A, a1 = a2 ⇔ f (a1) = f (a2).

1.2. Insiemi numerici fondamentali 3

Una funzione iniettiva e suriettiva si dice biunivoca .

La controimmagine di un insieme C ⊆ B si indica

f−1(C) = {a ∈ A : f (a) ∈C}.

1.2 Insiemi numerici fondamentali

L’insieme dei numeri naturali si indica con

N= {0,1,2,3, . . .}

ed e l’insieme che si utilizza per contare. E’ possibile costruire un algoritmo in grado di generare tutti i

numeri naturali partendo da 0: anche se non possiamo elencarli tutti perche sono infiniti esiste un modo

per contarne gli elementi. Questa precisazione e importante perche esistono insiemi di cui non e possibile

nemmeno definire un ordine per contarne gli elementi.

I sottoinsiemi finiti di N si utilizzano nel calcolo combinatorio, mentre N e il dominio delle funzioni

che chiameremo successioni o sequenze numeriche.

I numeri primi sono un sottoinsieme di N con un numero infinito di elementi e costituiscono i mattoni

fondamentali dell’aritmetica, infatti ogni numero si puo scomporre come prodotto di primi. (*)

Se si considera l’operazione di somma sull’insieme dei numeri naturali dati n, p ∈ N posso dire che

n+ p ∈ N e che esiste l’elemento neutro per la somma, lo zero, infatti n+ 0 = 0+ n = n, per ogni n ∈

N. Cio che non e possibile trovare in N e l’elemento inverso rispetto alla somma, cioe l’opposto: dato

n ∈ N \ {0} @p ∈ N : p+ n = 0. Questa proprieta consentirebbe a N di essere un gruppo algebrico. Se si

aggiungono gli interi negativi all’insieme dei naturali si ottiene l’insieme dei numeri interi

Z= {0,±1,±2,±3, . . .}

Z con l’operazione di somma, (Z,+), e un gruppo algebrico:

• ∃ l’elemento neutro: 0+n = n+0 = n per ogni n ∈ Z.

• ∃ l’opposto: ∀n ∈ Z ∃ p : p+n = 0.

• ∀n, p,q ∈ Z vale la proprieta associativa: (n+ p)+q = n+(p+q)

Se si aggiunge la proprieta commutativa, cioe che ∀n, p ∈ Z, n+ p = p+ n si ha che (Z,+) e un

gruppo commutativo o abeliano.

Z pero non e un gruppo se consideriamo come operazione la moltiplicazione: se escludiamo 1 e -1 non

esiste l’inverso (il reciproco) di nessun elemento rispetto alla moltiplicazione.

N ⊂ Z cioe N e un sottoinsieme stretto di Z perche esistono elementi di Z che non appartengono

a N ma entrambi sono insiemi con un numero infinito di elementi. E’ vero che Z ha piu elementi di

Z? Lo stesso si potrebbe dire dei numeri pari P = {n ∈ N : n = 2p, p ∈ N} o quello dei numeri dispari

D= {n ∈ N : n = 2p+1, p ∈ N} rispetto ad N.


Se costruiamo una applicazione che associa ad ogni numero naturale il suo doppio:

0→ 0 1→ 2 2→ 4 3→ 6

4→ 8 5→ 10 · · · n→ 2n(1.1)

otteniamo una corrispondenza biunivoca tra i naturali e i numeri pari (nessun numero rimane senza cor-

rispondenza): cio significa che siamo di fronte a due infiniti dello stesso ordine1! La stessa cosa si po-

trebbe fare con naturali ed interi; esistono varie forme di infinito, l’infinito e un oggetto poco intuitivo ed

estremamente difficile da trattare. (*)

Si dice che N,Z o l’insieme dei numeri pari sono numerabili, cioe in modo informale possiamo dire

che esiste un modo per contare i loro elementi, e tutti gli insiemi numerabili hanno lo stesso numero di

elementi.

Rimane il problema della moltiplicazione: per ottenere un gruppo algebrico con l’operazione di molti-

plicazione occorre avere il reciproco di ogni intero. L’insieme dei numeri razionali

Q=

{np, n ∈ Z, p ∈ N\{0}

}e l’insieme di tutti i numeri che si possono scrivere come frazione. Comprende anche i numeri interi e

contiene il reciproco di ogni suo elemento tranne lo 0. Possiamo pertanto definire un gruppo commutativo

con la moltiplicazione solo se escludiamo l’elemento 0 che non ha inverso e si chiama anche elemento

assorbente della moltiplicazione poiche ∀a ∈Q, a ·0 = 0 ·a = 0.

(Q\{0}, ·) e un gruppo abeliano2:

1. ∃ l’elemento neutro: 1 ·a = a ·1 = a per ogni a ∈Q.

2. ∃ l’inverso della moltiplicazione (il reciproco): ∀a ∈Q∗ ∃b : a ·b = 1.

3. ∀a,b,c ∈Q vale la proprieta associativa: (a ·b) · c = a · (b · c)

4. vale la proprieta commutativa: ∀a,b ∈Q, a ·b = b ·a

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile se numeratore e denominatore sono primi

tra loro. Se non lo sono la frazione puo essere ridotta dividendo entrambi per il loro MCD.

Ogni numero decimale finito o periodico si puo scrivere come frazione, ad esempio, 14 = 0.25 4

3 =

1.3 ma e vero anche il viceversa, tutte le frazioni danno luogo a numeri decimali finiti o periodici. Il periodo

potrebbe essere molto lungo e guardando un numero in forma decimale non e facile stabilire se tale numero

e stato generato da una frazione o no, prendiamo il seguente esempio:

5194

= 0.5 4255319148936170212765957446808510638297872340

42553191489361702127659574468085106382978723404255319 . . .

Non e quindi facile capire se un numero scritto in forma decimale e periodico o no, ci sono voluti secoli

per dimostrare che π non puo essere scritto come frazione perche, per quante cifre decimali si possano1E’ chiaro che se tolgo i numeri pari dall’insieme dei naturali rimangono comunque infiniti elementi pero la corrispondenza

biunivoca ci assicura che siamo di fronte allo stesso tipo di infinito2Un insieme numerico come Q in cui viene tolto lo 0 si puo indicare anche con Q∗

1.2. Insiemi numerici fondamentali 5

trovare empiricamente dopo la virgola anche con l’utilizzo di un calcolatore, l’unico modo per dimostrare

che π non e razionale e una dimostrazione matematica.

Definizione di campo

L’insieme Q con le operazioni di somma e moltiplicazione e una struttura algebrica chiamata campo, cioe:

1. (Q,+) e un gruppo commutativo

2. (Q∗, ·) e un gruppo commutativo

3. Vale la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma: ∀a,b,c ∈Q a(b+ c) = ab+

ac.

si indica con (Q,+, ·).

Densita di Q

Se consideriamo due interi a e b e contiamo gli elementi interi compresi tra l’uno e l’altro otterremo sempre

un insieme finito di elementi per quanto distanti siano i numeri a e b. Se invece consideriamo due numeri

razionali a e b, per quanto vicini possano essere, troveremo sempre un’infinita di razionali compresi tra

l’uno e l’altro. Questa proprieta detta a parole e la proprieta di densita di Q.

Q e un insieme denso perche ∀a,b∈Q,a < b, ∃c∈Q : a < c < b. Ad esempio c =a+b

2e sicuramente

razionale ed e compreso tra a e b.

Z e N non sono insiemi densi, ci sono dei salti per passare da un intero al suo successivo o al prece-

dente, mentre in Q non ha senso parlare di successivo o precedente di un numero. Questa proprieta non e

sufficiente a dire che l’insieme Q sia privo di buchi.

Senza addentrarsi in considerazioni topologiche, la cosa importante da non travisare e la seguente: gli

elementi di Z rappresentano punti isolati, tra un punto e l’altro non c’e nulla, c’e un salto. Questo non

avviene in Q ma cio non significa che Q rappresenti un insieme continuo di valori.

Se pensiamo all’insieme del denaro contante, esso rappresenta un insieme discreto di valori in quanto

esiste una unita fondamentale che e il centesimo di Euro e che non si puo suddividere. Viceversa se pen-

siamo alla temperatura di un’aula, per passare da 20◦C a 21◦C occorre riscaldare l’aula e la temperatura

aumentera da 20◦C a 21◦C toccando tutti i valori intermedi in modo continuo; il mercurio del termome-

tro non si dilata a scatti! Questa e la prima differenza tra il concetto di discreto e di continuo, il denaro

si conta, la temperatura si misura. L’insieme Q vive in una via di mezzo tra discreto e continuo perche

contiene un numero infinito di buchi sulla retta reale; si dice che Q non e completo.

√2 e irrazionale

E’ semplice dimostrare che il numero√

2 non si puo scrivere come frazione e che quindi non appartiene a

Q. Esistono infiniti numeri irrazionali che a loro volta costituiscono un insieme denso, questo spiega anche

che Q non puo rappresentare un insieme continuo di valori.


Theorem 1.1.√

2 e irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che√

2 sia razionale: in questo caso possiamo scriverlo come

una frazione irriducibile:√

2 = np .

Elevando entrambi i membri al quadrato si ottiene

2 =n2

p2 ⇔ 2p2 = n2 (1.2)

da cui si deduce che, essendo n, p ∈ Z, n deve essere pari (e uguale a 2p2 che e necessariamente pari),

quindi n si puo scrivere come 2q con q ∈ Z:

2p2 = n2 ⇔ 2p2 = (2q)2 ⇔ 2p2 = 4q2 ⇔ p2 = 2q2 (1.3)

ma dall’ultima uguaglianza si evince che anche p dovrebbe essere pari! Cio e assurdo perche avevamo

posto np come frazione irriducibile!

I numeri reali

I numeri non razionali o irrazionali sono stati scoperti dai greci quali grandezze incommensurabili. Si

pensa che furono Pitagora e i pitagorici a fornire una argomentazione della irrazionalita di√

2 anche se essi

stessi stentavano a riconoscere l’esistenza di tali numeri3. Ovviamente il simbolo√

2 non esisteva, cosı

come non esisteva nessun simbolo per quello che probabilmente e il numero irrazionale piu famoso, cioe pi

greco. Il simbolo π fu introdotto e divenne di uso comune solo a partire dal diciottesimo secolo.

Questo numero compare ovunque in natura, non solo nello studio della circonferenza. Il fatto che π

sia un numero irrazionale, non e facile da dimostrare. Prima dell’arrivo dei calcolatori elettronici che oggi

hanno scoperto milioni di cifre dopo la virgola, era difficile calcolare le cifre decimali di pi greco poiche

non hanno un periodo e ne regolarita alcuna. L’impossibilita della quadratura del cerchio, antico problema

matematico deriva dal fatto che pi greco e irrazionale, anzi addirittura trascendente, sottoinsieme degli

irrazionali sul quale non ci dilunghiamo. (*)

L’insieme dei numeri reali comprende tutti i razionali e gli irrazionali e si indica con la lettera R.

Questa non e una definizione rigorosa: la definizione rigorosa di numero reale va al di la dello scopo di

questo corso, basti sapere che ci sono voluti secoli per definire i numeri reali.

Un’altro concetto importante su cui non ci addentreremo ma che non bisogna assolutamente sottovalu-

tare e che i numeri irrazionali rappresentano la quasi totalita dei numeri reali. Puo sembrare assurdo ma

una delle differenze fondamentali tra Q ed R e che anche Q come Z e un insieme numerabile (si puo trovare

un algoritmo per contarne gli elementi) mentre R rappresenta un insieme non numerabile, un infinito di

ordine superiore, in cui non e possibile trovare alcun criterio per contarne gli elementi. La dimostrazione

per assurdo di questo fatto e possibile con il cosiddetto procedimento diagonale di Cantor, che di per se

non e difficile ma va al di la dei nostri obiettivi. (*)3Secondo una leggenda Ippaso da Metaponto fu condannato all’annegamento per non essere stato in grado di confutare la loro

esistenza

1.3. Sottoinsiemi della retta reale 7

L’insieme R con le operazioni di somma e prodotto e un campo totalmente ordinato; sono sottoinsiemi

di R tutti gli intervalli della retta reale. A differenza di Q, R e un insieme senza buchi, continuo.

1.3 Sottoinsiemi della retta reale

Estremanti

Un sottoinsieme I di R si dice superiormente limitato se esiste x ∈ R tale che x≥ y ∀y ∈ I. Si dice che x

e un maggiorante dell’insieme I.

Allo stesso modo un sottoinsieme I di R si dice inferiormente limitato se esiste x ∈ R tale che x ≤

y ∀y ∈ I. Si dice che x e un minorante dell’insieme A.

Il piu piccolo dei maggioranti di un sottoinsieme A si chiama estremo superiore e si indica con sup(I),

il piu grande dei minoranti si chiama estremo inferiore e si indica con inf(I). Se l’estremo superiore appar-

tiene all’insieme I allora e il massimo; se l’estremo inferiore appartiene all’insieme I allora e il minimo.

In caso contrario non esistono massimo o minimo.

Assioma di completezza: ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette estremo

superiore in R. Lo stesso si puo dire per l’estremo inferiore.

In realta esistono diverse formulazioni dell’assioma di completezza che comunque vanno al di la dei

nostri scopi.

Se un sottoinsieme I di R non e superiormente limitato si dice che sup(I) = +∞ mentre se non e

inferiormente limitato si dice che inf(I) =−∞.

Ad esempio

• Se I = {x ∈ Q : x2 < 2}, allora 32 , 2, 10 sono maggioranti di I ma l’estremo superiore e un numero

irrazionale:√

2.

• Se I = {x ∈ Z : x2 < 2}, allora l’estremo superiore e 1, il piu piccolo intero minore di√

2 e in questo

caso e anche il massimo. L’estremo inferiore analogamente e −1 che rappresenta anche il minimo.

• Se I = {x ∈ R : x3 ≤ 2}, allora l’estremo superiore e 3√2, e in questo caso e anche il massimo perche3√2 ∈ R. L’estremo inferiore invece e −∞ quindi non esiste il minimo.

1.4 Intervalli

Gli intervalli della retta reale si indicano con le parentesi quadre o tonde:

• l’intervallo [a,b] indica l’insieme {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} in cui anche gli estremi appartengono all’in-

tervallo. Si tratta di un intervallo in cui sup([a,b]) = max([a,b]) = b e inf([a,b]) = min([a,b]) = a.

L’intervallo si dice topologicamente chiuso perche contiene la sua frontiera (che sarebbero i due

estremi).


• l’intervallo ]a,b[ o (a,b) indica l’insieme {x ∈ R : a < x < b} in cui gli estremi non apparten-

gono all’intervallo. Si tratta di un intervallo in cui max([a,b]) e min([a,b]) non esistono mentre

sup([a,b]) = b e inf([a,b]) = a. L’intervallo si dice topologicamente aperto4.

• alcuni intervalli non sono ne aperti ne chiusi come ad esempio [a,b[ o ]b,a] o l’unione di intervalli di

questo tipo in cui alcuni estremi appartengono all’intervallo e altri no.

Ogni intervallo aperto e limitato piccolo a piacere si puo mettere in corrispondenza biunivoca con la

retta reale (illimitata), cioe il segmento e la retta contengono lo stesso ordine di infinito di punti!!!

Non dimostreremo questo fatto ma geometricamente e molto facile mettere in corrispondenza biunivoca

un oggetto limitato come una semicirconferenza e un oggetto illimitato come una retta. Osservano la figura

si vede come ogni punto della retta puo essere messo in corrispondenza biunivoca con ogni punto della

circonferenza: cio significa che nei due insiemi i punti sono infiniti ma hanno lo stesso ordine di infinito!

1.5 Il piano cartesiano

Il piano cartesiano bidimensionale e un sistema di riferimento formato, da 2 rette rette reali tra loro perpen-

dicolari che si intersecano in un punto chiamato origine. Il piano cartesiano e caratterizzato dalla cosiddetta

metrica euclidea (*) e tutte le funzioni che disegneremo saranno delle curve o un insieme di punti sul piano

cartesiano.

E’ interessante vedere quali curve rappresentano il grafico di una funzione e quindi analizzare il grafico

di alcune funzioni elementari.

- grafici di funzioni

- valore assoluto, parte intera, parte frazionaria, disuguaglianze

1.6 Principio di induzione

Una volta definito R si potrebbe andare a ritroso e definire tutti gli altri insiemi numerici. In matematica N

si puo infatti definire anche come insieme induttivo5 di R.

Tralasciamo pero le definizioni formali e assumiamo che ogni sottoinsieme di N∗ ammetta minimo

(assioma del buon ordinamento), cio e anche abbastanza intuitivo. Con questa assunzione possiamo

enunciare il seguente teorema:

Theorem 1.2. Se I ⊆ N∗ e valgono:

• 1 ∈ I

• n ∈ I ⇒ n+1 ∈ I

4Un insieme si dice aperto se dato un punto dell’insieme esiste sempre un intorno di quel punto sufficientemente piccolo in cui

tutti gli elementi appartengono all’insieme stesso5Abbiamo definito N con lo 0, di solito quando si parla di N come insieme induttivo di R si parte da 1, chiamiamo questo insieme

N∗

1.6. Principio di induzione 9

allora I = N

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un elemento di N∗ che non appartiene ad I:

Theorem 1.3 (Principio di induzione). Se P(n) e una proposizione per n ∈ N e valgono:

• P(1) e vera

• P(n) ⇒ P(n+1)

allora P(n) e vera pero ogni n ∈ N.

Vediamo come il principio di induzione ci permette ad esempio di dimostrare che la somma dei primi n

interi consecutivi vale6:

n

∑k=0

k =n(n+1)

2(1.4)

dove anziche scrivere 1+2+3+ · · ·+(n−1)+n abbiamo usato il simbolo di sommatoria (e necessario

imparare a giocare con le sommatorie...).

Dimostrazione. La prima cosa da fare e verificare se l’uguaglianza vale per n = 1:

1

∑k=0

k =1(1+1)

2⇒ 1 = 1

La parte meno intuitiva dell’applicazione del principio di induzione viene ora: supponiamo che l’ugua-

glianza 1.4 sia vera (e la tesi che vogliamo dimostrare...ora la utilizziamo come ipotesi) e vediamo che cio

ci permette di dimostrare l’uguaglianza per n+1. Sostanzialmente la nostra tesi ora diventa:

n+1

∑k=0

k =(n+1)(n+2)

2(1.5)

Partiamo quindi dal membro a sinistra e spezziamo la somma7:

n+1

∑k=0

k =n

∑k=0

k+(n+1) (1.6)

Lo scopo di questa suddivisione della sommatoria ci permette di evidenziare la sommatoria fino a n di

cui, per ipotesi induttiva, conosciamo l’espressione equivalente. Infatti ora utilizziamo l’ipotesi induttiva

1.4:

n

∑k=0

k+(n+1) =n(n+1)

2+(n+1) = · · ·= (n+1)(n+2)

2(1.7)

6Questa formula puo essere dimostrata anche in tanti altri modi che non richiedono il principio di induzione7Se ancora non sapete maneggiare bene le sommatorie cio che abbiamo fatto e la seguente suddivisione:1+2+3+ · · ·+n+(n+

1) = (1+2+3+ ·+n)+(n+1)


1.7 Fattoriale e coefficiente binomiale

Rimanendo nell’insieme dei numeri naturali definiamo due importanti applicazioni:

Definition 1.4 (Fattoriale).

n! = 1 ·2 ·3 · · ·(n−1) ·n

0! = 1 (1.8)

n! e il prodotto di tutti i naturali da 1 a n e si puo scrivere anche con il simbolo di produttoria: n! =

∏nk=1 k. Poiche 0! non avrebbe senso con tale definizione si conviene che 0! = 1. Il fattoriale si puo definire

anche in modo ricorsivo:

0! = 1

n! = n · (n−1)!(1.9)

Definition 1.5 (Coefficiente binomiale). (nk

)=

n!k!(n− k)!

(1.10)

...

2 Le successioni numeriche

2.1 Cos’e una successione

Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio e l’insieme dei numeri reali, R) il cui domi-

nio e l’insieme dei numeri naturali, N. Ogni successione associa quindi uno o piu numeri naturali ad un

valore reale; dato che gli elementi dell’immagine sono una sequenza di numeri il cui pedice rappresenta

l’elemento del dominio, spesso le successioni sono rappresentate come sequenza di numeri. Solitamente

queste funzioni si descrivono con la seguente notazione: (an)n∈N in cui il pedice n si riferisce al numero

naturale a cui an e associato.

(an)n∈N : N→ R

n→ an

Le successioni possono essere definite:

• mediante rappresentazione analitica: quando e possibile determinare l’espressione che permette di

determinare l’n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine e determinato dal valore

della funzione f nell’n-esimo punto; possiamo scrivere an = f (n).

• per elencazione: vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza (solitamente

i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura): a0 a1 a3 a4 . . .

• per ricorrenza: una successione si puo definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni ini-

ziali, ogni termine si puo calcolare come funzione di uno o alcuni suoi termini precedenti.

Ad esempio, si puo definire una successione imponendo la condizione iniziale sul primo termine

ed esprimendo la funzione che permette di trovare il valore dell’n+ 1−termine sapendo il valore

dell’n−termine.

(an)n∈N =

a0 = 1;

an+1 = f (an).

Solitamente le successioni le riusciamo a definire mediante una, o al piu due, rappresentazioni.

Guardiamo infatti qualche esempio per vedere come la maggior parte delle successioni si riescano a rappre-

sentare solo mediante una o due definizioni:

11


• La successione di Fibonacci. E una successione di numeri interi positivi in cui ciascun termine, a

partire dal terzo, si ottiene come somma dei due termini precedenti1. Vediamo la sua rappresentazione

per ricorrenza: a1 = 1

a2 = 1

an = an−1 +an−2

(2.1)

Possiamo anche rappresentare questa successione per elencazione:

F = 1,1,3,5,8,13,21,34,55, ...

Ma nessuno, almeno fin’ora, e riuscito a trovare l’espressione analitica dell’n-esimo termine della

successione di Fibonacci, cioe non si e ancora riusciti a trovare un’espressione che permetta di trovare

l’n-esimo termine indipendentemente dal valore dei primi due e dei due antecedenti ad esso.

• L’algoritmo di Erone. Questo metodo e un procedimento di calcolo che permette di calcolare la ra-

dice quadrata di un numero utilizzando solo le operazioni fondamentali dell’aritmetica. Esso si basa

su considerazioni geometriche2 e su il metodo delle approssimazioni successive e proprio per questo,

ogni termine lo riusciamo ad esprimere solo conoscendone il precedente ed ancora nessuno ha sco-

perto l’espressione del termine n-esimo mediante rappresentazione analitica. La sua rappresentazione

per ricorrenza e la seguente (nella quale il numero di cui cerchiamo la radice quadrata lo mettiamo al

posto del parametro k): a1 = 2

an =12

(an−1 +

kan−1

) (2.2)

Una successione si definisce:

• crescente se an+1 ≥ an∀n ∈ N

• decrescente se an+1 ≤ an∀n ∈ N

• strettamente crescente se an+1 > an∀n ∈ N

• strettamente decrescente se an+1 < an∀n ∈ N

Il grafico di una successione e rappresentato da un’insieme discreto di punti. Come abbiamo visto per

le altre funzioni, anche le successioni possono essere:

• limitate inferiormente se

infan = m >−∞ (2.3)1La successione prende il nome dal matematico pisano del XII secolo Leonardo Pisano, detto Fibonacci. Nel 1228 scrisse il

Liber Abaci, opera che, oltre ad avere il grande merito di aver introdotto per la prima volta in Europa le cifre arabe, contiene una

parte dedicata alla ”‘matematica divertente”’ contenente problemi che prendono spunto dalla realta. Fra questi problemi c’e il famoso

problema della riproduzione dei conigli, la cui legge matematica che ne descrive la crescita della popolazione e la successione di

Fibonacci. Essa possiede molte proprieta, una di esse dice che il limite del rapporto per n→ ∞ di due termini successivi tende al

numero irrazionale Φ, chiamato anche sezione aurea.2L’algoritmo di Erone prende il nome dal suo inventore (Erone di Alessandria, I◦ sec. a.C.); si inizia considerando un rettangolo

di misura uguale al numero di cui si deve calcolare la radice quadrata e per approssimazioni successive si arriva ad un quadrato

equivalente al rettangolo iniziale il cui lato e quindi uguale alla radice quadrata cercata.

2.2. Limite di una successione 13

• limitate superiormente se

supan = M <+∞ (2.4)

• limitate se sono limitate sia inferiormente che superiormente.

2.2 Limite di una successione

La cosa piu interessante per una successione e stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, di-

ciamo per n che tende all’infinito. Questo e il primo concetto di limite per successione: una successione

numerica puo comportarsi in vari modi per n→ ∞, puo avvicinarsi sempre di piu a un valore reale, puo

diventare sempre piu grande (in valore assoluto, quindi anche sempre piu piccola negativa) o puo oscillare

sempre tra diversi valori. Distinguiamo questi casi:

Definition 2.1. Una successione an si dice convergente se per n→∞ si avvicina sempre di piu ad un valore

l ∈ R. Si scrive:

limn→∞

an = l (2.5)

che, in termini formali, significa:

∀ε > 0 ∃n ∈ N : ∀n > n, |an− l|< ε. (2.6)

In definitiva significa che, se una successione e convergente allora, comunque io scelga un intorno

di l sull’asse delle ordinate, da un certo valore (n) in poi la successione an rimane sempre limitata a

quell’intorno.

La stessa cosa si puo definire per una successione divergente positivamente o negativamente; definiamo

il limite per le successioni che vanno a +∞, in modo analogo si definiscono quelle che vanno a −∞.

Definition 2.2. Una successione an si dice divergente positivamente se per n→ ∞ la successione va a

+∞; cioe essa non e limitata superiormente. Analogamente si puo definire una successione divergente

negativamente. Si scrive:

limn→∞

an =+∞ (2.7)

che, in termini formali, significa:

∀M > 0 ∃n ∈ N : ∀n > n,an > M (2.8)

In definitiva significa che, se una successione e divergente positivamente allora, comunque io scelga un

un numero M ∈ R sull’asse delle ordinate grande a piacere, da un certo valore (n) in poi la successione an

sara sempre piu grande di M per ogni n ≥ n.

Una successione ne convergente ne divergente si dice irregolare. Ad esempio la successione an =1n e

convergente al valore 0, la successione an = n e divergente a +∞ e la successione an = (−1)n e oscillante

tra −1 e 1 e quindi e irregolare.

Definito il limite per le successioni ci sono alcuni teoremi interessanti che legano la monotonia delle

successioni con il loro carattere. Iniziamo con la permanenza del segno.


Theorem 2.3 (Teorema della permanenza del segno). Sia an una successione convergente a un limite l > 0

allora ∃n : ∀n > n,an > 0

Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge a un valore positivo l

allora, da un certo valore in poi, n, la successione sara sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo

punto in poi la successione sara sempre negativa.

Theorem 2.4. Sia an : N→ R una successione numerica.

• Se an e monotona crescente e superiormente limitata e sempre convergente.

• Se an e monotona crescente e illimitata e sempre divergente a +∞.

• Se an e monotona decrescente e inferiormente limitata e sempre convergente.

• Se an e monotona decrescente e illimitata e sempre divergente a −∞.

Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che e monotona e limitata; que-

sto non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad esempio

l’algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di√

2. Ricordiamo prima l’algoritmo di Erone

definito per ricorsione.

Dimostrazione. a1 = 2

an =12

(an−1 +

2an−1

) (2.9)

Se il limite esistesse, quale sarebbe il suo valore? Se an → l ovviamente anche an+1 → l per n→ ∞;

quindi facendo il limite ad ambo i membri della formula ricorsiva otteniamo la seguente equazione in l:

l =12

(l +

2l

)⇒ ··· ⇒ l =

√2 (2.10)

Rimane pero ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua esistenza dimostrando che la

successione e monotona e limitata. Per prima cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che e limitata

dal basso, in particolare che a2n > 2:

a1 = 2 ⇒ a21 = 4

Ora occorre provare che a2n+1−2 > 0 sfruttando l’ipotesi induttiva (a2

n > 2):

a2n+1−2 =

(12

(an +

2an

))2

−2 = · · ·= (a2n−2)2

4a2n

> 0

non puo essere nullo perche per ipotesi induttiva a2n > 2. La successione e quindi limitata dal basso.

Ora vediamo che la successione e monotona decrescente, cioe ∀n ∈ N, an+1 < an:

an−an+1 = an−12

(an +

2an

)= · · ·> 0

La successione e limitata dal basso e monotona. Quindi il limite esiste e necessariamente e√

2.

2.2. Limite di una successione 15

Theorem 2.5 (Teorema del confronto). Per dimostrare che una successione e convergente puo essere utile

sapere che tale successione e sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso limite. Siano an

e bn due successioni tali che limn→∞

an = limn→∞

bn = l, allora se cn e una terza successione tale che an < cn < bn

per ogni n ∈ N,

limn→∞

cn = l

Un ragionamento analogo puo essere fatto per le successioni divergenti: se an e una successione divergente

a +∞ e cn e una successione tale che cn > an per ogni n ∈ N, allora

limn→∞

cn =+∞

La progressione aritmetica

La progressione aritmetica e una successione definita per ricorrenza ma e possibile definirla anche come

una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante;

se a ∈ R e il valore iniziale della progressione e d ∈ R e quella che si chiama ragione della progressione

aritmetica, essa si definisce nel modo seguente:

a1 = a

an = an−1 +d(2.11)

Se elenchiamo i primi elementi della progressione ci accorgiamo che essa possiede una forma analitica:

a1 = a a2 = a+d a3 = (a+d)+d = a+2d

a4 =(a+2d)+d = a+3d · · · an = a+(n−1)d

E’ chiaramente una successione divergente ma e interessante vedere quanto valen

∑k=1

an, ovvero la somma

dei primi n elementi della successione:

n

∑k=1

ak =n

∑k=1

(a+(k−1)d) =n

∑k=1

a+dn

∑k=1

(k−1) (2.12)

sfruttando la formula 1.4 della somma dei primi n numeri naturali,

n

∑k=1

a+dn

∑k=1

(k−1) = na+dn(n−1)

2= n

(a+d

n−12

)=

n(

2a+(n−1)d2

)=

n2(a+a+nd) =

n2(a1 +an) (2.13)

Abbiamo cosı ottenuto:

n

∑k=1

ak =n2(a1 +an) (2.14)

Con tale formula possiamo mostrare che la somma dei primi numeri dispari e sempre un quadrato.


Infatti, ponendo a = 1 e d = 2 come parametri della progressione aritmetica, otteniamo la sequenza

a1 = 1,a2 = 3,a3 = 5,a4 = 7, . . . cioe la sequenza di tutti i numeri dispari. Calcoliamo la somma dei primi

n termini della progressione (utilizzando la 2.13):

n

∑k=1

ak =n2(a1 +an) =

n2(1+(1+2(n−1))) = n2 (2.15)

La progressione geometrica

La progressione geometrica e una successione definita per ricorrenza in modo tale che il rapporto tra due

termini successivi sia costante. Se a∈R e il valore iniziale della progressione e q∈R e quella che si chiama

ragione della progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente:

a0 = a

an = q ·an−1

(2.16)

Se elenchiamo i primi elementi della progressione ci accorgiamo che essa possiede una forma analitica:

a0 = a a1 = a ·q1 a2 = (a ·q) ·q = a ·q2 a3 = a ·q3 · · · an = a ·qn

A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indi-

pendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si

possono presentare diversi casi:

• se |q|< 1, allora limn→∞

an = 0

• se q = 1, allora limn→∞

an = 1

• se q > 1, allora limn→∞

an =+∞

• se q =−1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1.

• se q <−1, la successione oscilla in modo illimitato tra −∞ e +∞.

E’ interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione geometrica (poniamo a = 1

per semplicita) vale esattamente:

n

∑k=0

qk =1−qn+1

1−q(2.17)

Tale formula ci sara utile quando dovremo stabilire il carattere della cosiddetta serie geometrica. Dimo-

striamola per induzione:

Dimostrazione. Per n = 0 e facilmente verificata: q0 = 1−q1

1−q , abbiamo 1 ad entrambi i membri.

Supponiamo ora che l’affermazione 2.17 sia vera e dimostriamo che

n+1

∑k=0

qk =1−qn+2

1−q(2.18)

Partendo dal primo membro

2.3. Successioni infinitesime e comportamento asintotico 17

n+1

∑k=0

qk =n

∑k=0

qk +qn+1 (2.19)

per ipotesi induttivan

∑k=0

qk +qn+1 =1−qn+1

1−q+qn+1 =

1−qn+2

1−q(2.20)

che e uguale al secondo membro e quindi l’affermazione e provata.

Algebra delle successioni convergenti

Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare limn→∞

an = a ∈ R e limn→∞

bn = b ∈ R. Valgono le

seguenti proprieta (che si possono dedurre facilmente a partire dalla definizione di limite):

• limn→∞

(an +bn) = limn→∞

(an)+ limn→∞

(bn) = a+b

• limn→∞

(an ·bn) = limn→∞

(an) · limn→∞

(bn) = a ·b

• se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, limn→∞

an

bn=

limn→∞ an

limn→∞ bn=

ab

• se c ∈ R, limn→∞

c ·an = c · limn→∞

an = c ·a

• se c ∈ R, limn→∞

(an)c =

(limn→∞

an

)c= ac

Ovviamente questi calcoli non si possono generalizzare alle successioni divergenti.

2.3 Successioni infinitesime e comportamento asintotico

Il calcolo del limite di una successione puo avvenire facilmente attraverso passaggi algebrici che semplifi-

cano le forme indeterminate. Le forme indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono

le seguenti:00

∞

∞0 ·∞ 1∞ 00

∞−∞ ∞0 (2.21)

Tali forme sono indeterminate quando si pensa ad esse come comportamento di una successione cioe

quando sono ottenute come limite della successione: la progressione geometrica an = 1n e una successione

costante sempre uguale a 1, non e una forma indeterminata. Lo sarebbe stata se al posto di 1 avessimo

avuto una successione che tende a 1, come ad esempio(

1+1n

)n

che vedremo nella prossima sezione.

Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o e divergente, e interessante capire come

essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni piu elementari come ad esempio

la successione costituita dalle potenze di n. Questo si puo fare sia per le successioni divergenti, sia per le

successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0:

Definition 2.6. Una successione an si dice infinitesima se limn→∞

an = 0

Esempi:


• limn→∞

1n= 0, quindi an =

1n e una successione infinitesima.

• Dato α > 0 an =1

nα e una successione infinitesima.

Il comportamento asintotico di una successione e il comportamento della successione stessa per valori

di n molto grande, ad esempio:

1. La successione an =

√4n4 +n+1

n−1∼ 2n per n molto grande, cioe si comporta come un polinomio di

primo grado con coefficiente 2 che e divergente e quindi anche an e divergente.

2. La successione an =

√n+2n

∼ 1√n

per n molto grande, cioe si comporta come una potenza di n di

grado − 12 che e infinitesima e quindi convergente a 0.

Criterio del rapporto per le successioni

Theorem 2.7. Se una successione an e a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul

rapporto tra termine an e il suo successivo:

• se limn→∞

an+1

an= l < 1 allora la successione e infinitesima.

• se limn→∞

an+1

an= l > 1 allora la successione e divergente.

Nel caso il limite sia esattamente 1 non si puo stabilire il carattere della successione.

Tale teorema ci permette di stabilire che an =nα

cn con c > 1 e infinitesima cioe una successione espo-

nenziale va piu velocemente all’infinito di qualsiasi polinomio. Lo stesso si puo fare per la successione

an =cn

n!

2.4 Il numero di Nepero

Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica e la seguente:

an =

(1+

1n

)n

(2.22)

Esistono varie dimostrazioni che provano l’esistenza del limite di questa successione, una di queste

dimostrazioni prova che an e limitata superiormente dal valore 3 e che e monotona crescente. Tale dimo-

strazione si puo fare per induzione utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli e la disuguaglianza tra media

geometrica e media aritmetica. Senza pero addentrarci nella dimostrazione formale, e importante notare che

il fatto di sapere che il limite di questa successione esista non ci permette di trovarlo facilmente. L’estremo

superiore di tale successione infatti non e 3 ma il numero di Nepero e che viene definito proprio mediante

questa successione:

limn→∞

(1+

1n

)n

:= e (2.23)

2.5. Teorema di Stoltz-Cesaro 19

e e un numero importantissimo in matematica, sappiamo che e un numero irrazionale e che la sua

espressione decimale per le prime cifre e e = 2,718 . . .. E’ la base dei logaritmi naturali e gioca un ruolo

chiave nel calcolo infinitesimale.

Il limite sopra citato e un limite notevole e si puo scrivere in forma piu generale nel modo seguente:

data una successione an tale che limn→∞

an =+∞ allora vale

limn→∞

(1+

1an

)an

:= e (2.24)

Consideriamo ad esempio la successione bn =

(1+

2n

)n

si puo ricondurre a (2.24) nel modo seguente:

bn =

(1+

2n

)n

=

[(1+

1n2

) n2]2

→ e2 (2.25)

per n→ ∞

Utilizzando il limite notevole (2.24) e il criterio del rapporto per le successioni, si puo provare anche

che la successione an =nn

n!e divergente e che quindi nn va all’infinito molto piu velocemente di n!.

2.5 Teorema di Stoltz-Cesaro

Theorem 2.8. Siano an e bn due successioni di cui bn positiva, monotona crescente e illimitata. Supponia-

mo inoltre esista

lim→∞

an+1−an

bn+1−bn= `.

Allora esiste anche il

limn→∞

an

bn= `.

Example 2.9. Calcolare

limn→∞

∑nk=1

1k

logn

Svolgimento:

limn→∞

∑n+1k=1

1k −∑

nk=1

1k

log(n+1)− logn= lim

n→∞

1n+1

log n+1n

= limn→∞

1(log(1+ 1

n

)n+1) = 1.

Quindi per il Teorema di Stoltz-Cesaro anche il limite della successione di partenza vale 1.


3 Le serie numeriche

Si consideri la successione an : N→ R, e facciamoci alcune domande: ha senso definire la somma di tutti

(gli infiniti) elementi della successione an? Se an e una successione a termini positivi allora la somma di

tutti i suoi elementi e infinita?

La somma di tutti gli infiniti elementi di una successione e una serie numerica e si indica con

∞

∑n=0

an (3.1)

Le serie sono delle somme di infiniti addendi e il termine generale della serie e la successione an.

Chiaramente se sommiamo infiniti termini tutti uguali la somma sara infinita (a meno che questi termini

non siano tutti nulli!), ad esempio

∞

∑n=0

1 = 1+1+1+ · · ·+1 =+∞

ma se il termine generale della serie diventa sempre piu piccolo la somma e sempre infinita?

Da questa domanda nasce il Paradosso di Zenone (Achille e la tartaruga): si tratta di un paradosso

proprio perche si suppone che la somma di infiniti elementi positivi sia necessariamente infinita e invece,

in alcuni casi, non lo e!

Cosı come per le successioni, anche per le serie definiamo una serie convergente quando la somma di

tutti i termini e finita e divergente se la somma di tutti i suoi termini e ±∞. Se la serie oscilla e non e ne

convergente ne divergente diciamo che la serie e irregolare.

3.1 La serie geometrica

Se prendiamo una progressione geometrica an = qn (in cui abbiamo posto per semplicita il termine iniziale

a = 1), e sommiamo gli infiniti termini della successione otteniamo (in alcune situazioni) una somma finita:

questa serie si chiama serie geometrica1

Vediamo in quali casi la serie geometrica e convergente e in quali e divergente utilizzando una for-

mula gia dimostrata per le progressioni geometriche: la somma dei primi n termini di una progressione

geometrica (2.17). Vediamo come si comporta tale somma quando n tende a +∞:

1Una barzelletta sui matematici sulla serie geometrica con ragione q = 12 e la seguente: Un numero infinito di matematici entra in

un bar. Il primo ordina una birra. Il secondo ordina mezza birra. Il terzo ordina un quarto di birra. Il barista dice: ”siete degli idioti”,

e serve due birre.

21

http://it.wikipedia.org/wiki/Paradossi_di_Zenone


∞

∑n=0

qn = limn→∞

1−qn+1

1−q(3.2)

Abbiamo cosı ridotto lo studio della somma della serie geometrica allo studio di un limite di una suc-

cessione numerica che possiamo facilmente confrontare con una successione geometrica di ragione q. Tale

formula esclude il caso q = 1 che puo essere facilmente trattato a parte perche la somma di infiniti ”uno”

e chiaramente infinita. Per tutti gli altri valori di q il limite ottenuto converge ad un valore finito quando

|q|< 1, diverge per q > 1 e oscilla per q≤−1. Riepilogando:

∞

∑n=0

qn =

1

1−q, se |q|< 1;

+∞, se q > 1;

e irregolare, se q≤−1;

(3.3)

in particolare se q =−1 oscilla in modo limitato tra 0 e 1 mentre se q <−1 oscilla in modo illimitato.

Quando una serie geometrica e convergente abbiamo quindi stabilito anche quanto vale la somma della

serie:1

1−q. Questo fatto e non banale perche per la maggior parte delle serie convergenti non e possibile

stabilire la somma ma solamente il carattere della serie; vedremo alcuni casi rari in cui si riesce a trovare la

somma di una serie non geometrica ma ci sono molti casi che necessitano di tecniche molto avanzate per

trovare la somma della serie e altri ancora in cui la somma puo essere trovata solo numericamente.

Alcuni esempi sulle serie geometriche:

∞

∑n=0

(12

)n

=1

1− 12

= 2∞

∑n=0

(−1

2

)n

=23

(3.4)

∞

∑n=0

3n =+∞

∞

∑n=0

(−3)n e irregolare. (3.5)

Poiche per le serie geometriche convergenti e possibile stabilire la somma della serie, un ruolo fonda-

mentale viene giocato dal punto di partenza della serie che abbiamo sempre posto n= 0 (se ci si limita a sta-

bilire il carattere della serie e non la somma quale sia il primo termine della serie diventerebbe irrilevante):

cosa succederebbe se la serie partisse da n = 1 o n = k?

∞

∑n=0

qn = q0 +q1 +q2 +q3 · · ·∞

∑n=1

qn = q1 +q2 +q3 · · · (3.6)

pertanto∞

∑n=1

qn =∞

∑n=0

qn−q0 =1

1−q−1 =

q1−q

(3.7)

Allo stesso modo:

∞

∑n=2

qn =∞

∑n=0

qn− (q0 +q1) =1

1−q− (1+q) =

q2

1−q(3.8)

∞

∑n=3

qn =∞

∑n=0

qn− (q0 +q1 +q2) =1

1−q− (1+q+q2) =

q3

1−q(3.9)

∞

∑n=k

qn =∞

∑n=0

qn− (q0 +q1 +q2 + · · ·+qk−1) (3.10)

3.2. Serie armonica 23

sfruttando ancora una volta la somma parziale di una successione geometrica (2.17) si ottiene la formula:

∞

∑n=k

qn =∞

∑n=0

qn− (q0 + · · ·+qk−1) =∞

∑n=0

qn−

(k−1

∑n=0

qn

)=

11−q

− 1−qn

1−q=

qn

1−q(3.11)

3.2 Serie armonica

Fino a questo momento abbiamo trattato le serie geometriche in cui oltre a trovare il carattere della serie

abbiamo potuto stabilirne la somma. In tutti i casi di serie convergente il termine generale della serie

era una successione infinitesima: il fatto che la successione sia infinitesima e legato in qualche modo alla

convergenza della serie?

Theorem 3.1. Se∞

∑n=0

an e convergente⇒ la successione an e infinitesima.

Dimostrazione. Se la serie e convergente allora poniamo che s∈R sia la somma della serie:∞

∑n=0

an = s. Per

definizione sappiamo che∞

∑n=0

an = limn→∞

n

∑k=0

ak

ma allora anche∞

∑n=0

an = limn→∞

n−1

∑k=0

ak

Poiche an =n

∑k=0

ak−n−1

∑k=0

ak,

limn→∞

an = limn→∞

n

∑k=0

ak− limn→∞

n−1

∑k=0

ak = s− s = 0

E’ vero anche il viceversa? Cioe se an e infinitesima la serie e convergente? NO! Il controesempio e la

cosiddetta serie armonica.

Theorem 3.2. La serie armonica2∞

∑n=1

1n= 1+

12+

13+ · · ·=+∞

Dimostrazione. Ci sono diverse dimostrazioni di questo fatto, quella che propongo parte da lontano, in

particolare dal limite notevole che definisce il numero e, cosa che apparentemente non c’entra nulla.

Ricordiamo che la successione(

1+1n

)n

converge ad e in modo monotono crescente, cioe per ogni

n ∈ N, (1+

1n

)n

< e (3.12)

Si tratta di termini positivi quindi possiamo applicare il logaritmo naturale ad ambo i membri:

ln((

1+1n

)n)< ln(e) ⇔ n ln

(1+

1n

)< 1 ⇔

n ln(

n+1n

)< 1 ⇔ n(ln(n+1)− ln(n))< 1 ⇔

ln(n+1)− ln(n)<1n

2La serie armonica parte da n = 1 in quanto altrimenti si annullerebbe il denominatore. D’altra parte per questo tipo di serie, di cui

determineremo solo il carattere e non la somma, sara irrilevante sapere da dove parte.


Adesso sommiamo gli infiniti termini delle due successioni ad ambo i membri della disuguaglianza e

finalmente otteniamo a destra la serie armonica (se una successione a termini positivi e sempre maggiorata

da un’altra allora anche la somma dei suoi infiniti termini sara maggiorata dalla somma degli infiniti termini

dell’altra):

∞

∑n=1

(ln(n+1)− ln(n))<∞

∑n=1

1n

ma se osserviamo la prima serie ci accorgiamo che i vari termini degli addendi si elidono a due a due:

∞

∑n=1

(ln(n+1)− ln(n)) = limn→∞

((ln(2)−0)+(ln(3)− ln(2))+(ln(4)− ln(3))+ · · ·+(ln(n+1)− ln(n)))

Rimane solo il termine ln(n+1) per n→ ∞ quindi

∞

∑n=1

(ln(n+1)− ln(n)) = limn→∞

ln(n+1) = +∞

Tornando alla disequazione abbiamo ottenuto che

∞

∑n=1

1n>+∞

quindi per il criterio del confronto la serie armonica e divergente.

Si parla di serie armonica genealizzata quando si tratta la serie

∞

∑n=1

1nα

α ∈ R (3.13)

in questo caso (senza dimostrarlo per il momento) la serie e convergente per α > 1.

Il caso α = 1 e stato appena trattato e poiche α deve essere strettamente maggiore di 1 per la conver-

genza, α = 1 diventa un caso limite: per tutti gli α anche leggermente piu grandi di 1 (ricordate che α e

reale e non necessariamente intero) la serie armonica converge.

∞

∑n=1

1n2 < ∞

∞

∑n=1

1

n54< ∞

∞

∑n=1

1

n12= ∞

3.3 Criteri di convergenza

La maggior parte dei criteri di convergenza che vedremo riguardano le serie a termini positivi, anche se in

alcuni essi si possono generalizzare ad altre situazioni. Tutti questi criteri permettono di trovare il carattere

della serie ma non ci permettono di trovare la somma della serie. I criteri del confronto e del confronto

asintotico permettono di caratterizzare una serie confrontandola con le serie di cui sappiamo gia il carattere:

la serie geometrica e la serie armonica.

Criterio del confronto

Siano an e bn due successioni a termini positivi tale che 0 < an < bn per ogni n∈N. Valgono i fatti seguenti:

1. Se∞

∑n=0

bn e convergente allora∞

∑n=0

an e convergente.

3.3. Criteri di convergenza 25

2. Se∞

∑n=0

an e divergente allora∞

∑n=0

bn e divergente.

Ad esempio, la serie∞

∑n=1

sin(n)+1n2 e convergente perche vale la seguente disuguaglianza:

∞

∑n=1

sin(n)+1n2 <

∞

∑n=1

2n2 (3.14)

Dato che la serie armonica con α = 2 e convergente, allora lo e anche la serie di partenza.

Criterio del confronto asintotico

Siano an e bn due successioni a termini positivi tali che limn→∞

an

bn= l 6= 0.

1.∞

∑n=0

an e convergente se e solo se∞

∑n=0

bn e convergente.

2. Se∞

∑n=0

an e divergente se e solo se∞

∑n=0

bn e divergente.

In questo caso abbiamo una doppia implicazione, osserviamo ad esempio il comportamento della co-

siddetta serie di Mengoli:∞

∑n=1

1n(n+1)

.

Il termine generale di questa serie si puo confrontare con quello della serie armonica1

nα, in particolare

si osserva che il limite del rapporto tra i due termini generali delle due serie e un numero reale non nullo

solo se α = 2:

limn→∞

1n(n+1)

1n2

= limn→∞

n2

n(n+1)= 1 (3.15)

Questo e sufficiente a dire che la serie di Mengoli e convergente in quanto sappiamo gia che la serie

armonica con α = 2 e convergente. Se il limite fosse stato 0 o +∞ non avremmo potuto dire nulla riguardo

alla convergenza delle due serie; infatti prendendo la serie di Mengoli che ora sappiamo essere convergente

e la serie armonica∞

∑n=1

1n

che sappiamo essere divergente,

limn→∞

1n(n+1)

1n

= limn→∞

nn(n+1)

= 0 (3.16)

ma le due serie hanno carattere diverso.

Oltre al fatto che la serie di Mengoli e convergente, essa e una delle rare serie non geometriche di cui

e possibile trovare la somma; si tratta di una cosiddetta serie telescopica perche si puo scomporre con

semplici passaggi algebrici in questa forma:

∞

∑n=1

1n(n+1)

=∞

∑n=1

(1n− 1

n+1

)=

∞

∑n=1

(1n− 1

n+1

)=

(1− 1

2

)+

(12− 1

3

)+

(13− 1

4

)+ · · · (3.17)

tutti i termini si elidono a due a due e la serie si riduce a:

∞

∑n=1

(1n− 1

n+1

)= 1− lim

n→∞

1n+1

= 1 (3.18)


Criterio del rapporto

Se dobbiamo analizzare il carattere di una serie che non sia confrontabile ne con una serie geometrica

ne con una serie armonica ci possono essere utili alcuni criteri di convergenza alternativi. Il criterio del

rapporto per le serie e il criterio della radice sono due criteri che permettono di studiare il carattere di una

serie trovare il limite di una certa successione. I due criteri a volte non risultano pero efficaci.

Theorem 3.3. Sia∞

∑n=0

an una serie a termini positivi e supponiamo che esista il limn→∞

an+1

an

1. Se limn→∞

an+1

an= ` < 1 allora la serie converge.

2. Se limn→∞

an+1

an= ` > 1 o e divergente allora la serie diverge.

3. Se limn→∞

an+1

an= 1 il criterio e inefficace.

Ad esempio se si vuole studiare il carattere della serie∞

∑n=0

en

n!, il criterio del rapporto ci puo aiutare3:

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

en+1

(n+1)!en

n!= lim

n→∞

en+1n!(n+1)!en = lim

n→∞

en= 0 < 1 (3.19)

Essendo 0 < 1 per il criterio del rapporto la serie di partenza converge.

Criterio della radice

Il criterio della radice e analogo al criterio del rapporto e arriva alle stesse conclusioni partendo pero dal

calcolo di un altro limite.

Theorem 3.4. Sia∞

∑n=0


n√

an

1. Se limn→∞

n√

an = ` < 1 allora la serie converge.

2. Se limn→∞

n√

an = ` > 1 o e divergente allora la serie diverge.

3. Se limn→∞

n√

an = 1 il criterio e inefficace.

Ad esempio se si vuole studiare il carattere della serie∞

∑n=1

(1− 1

n

)n2

, il criterio della radice ci puo

aiutare4:

limn→∞

n√

an = limn→∞

n

√(1− 1

n

)n2

= limn→∞

(1− 1

n

)n

=1e< 1 (3.20)

Essendo 1e < 1 per il criterio della radice la serie converge.

3Abbiamo visto nelle successioni che il termine generale e infinitesimo perche n! e un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi

esponenziale ma questo non e sufficiente a dire che la serie converge4In questo caso non abbiamo una serie geometrica perche la variabile n compare sia come argomento che come esponente; il

criterio della radice ci permette di studiare il carattere della serie studiando un limite notevole

3.3. Criteri di convergenza 27

Criterio di Raabe

Il criterio della radice e del rapporto possono essere a volte inefficaci. Inoltre se uno dei due e inefficace lo

e sicuramente anche l’altro perche di fatto i due criteri sono del tutto equivalenti. In alcuni casi in cui essi

falliscono pero il criterio di Raabe puo portare a una soluzione.

Theorem 3.5. Sia∞

∑n=0


n(

an

an+1−1)= `

1. Se ` < 1 allora la serie diverge.

2. Se ` > 1 allora la serie converge.

3. Se `= 1 il criterio e inefficace.

Applicando il criterio di Raabe alle serie armoniche (in cui i criteri della radice e del rapporto falliscono)

se ne deduce il comportamento che gia abbiamo descritto.

Criterio di condensazione

Precedentemente abbiamo dimostrato che la serie armonica con 1al pha = 1 e divergente ma abbiamo anche

detto senza dimostrarlo che in generale la serie armonica converge per α > 1 e che quindi e sufficiente una

potenza di n leggermente superiore a 1 affinche la serie converga. E’ lecito domandarsi a questo punto se

la serie∞

∑n=2

1n ln(n)

converga o se, piu in generale, la serie∞

∑n=2

1n lnα(n)

converga. Il ln(n) come sappiamo

e un infinito inferiore a qualsiasi potenza di n ma e sufficiente moltiplicare n per ln(n) al denominatore per

ottenere una serie convergente? Il criterio di condensazione ci puo aiutare a rispondere a tale domanda.

Theorem 3.6. La serie a termini positivi∞

∑n=0

an e convergente se e solo se la serie∞

∑n=0

2n a2n e convergente5.

Applichiamo dunque tale criterio alla serie∞

∑n=2

1n ln(n)

:

∞

∑n=2

2n a2n =∞

∑n=2

2n

2n ln2n =∞

∑n=2

1n ln2

(3.21)

che e, a meno di una costante moltiplicativa, la serie armonica con α = 1 e quindi diverge.

Criterio di Leibniz

L’ultimo criterio di convergenza che vediamo e un criterio relativo alle cosiddette serie a termini alterni,

l’unico tra quelli proposti che quindi non riguarda esclusivamente le serie a termini positivi. In realta

anche il criterio di Leibniz affronta lo studio del carattere di una serie a termini alterni trattando successioni

monotone a termini positivi.

Una serie a termini alterni e una serie del tipo∞

∑n=0

(−1)nan con an successione a termini positivi.

Theorem 3.7. Sia∞

∑n=0

(−1)nan una serie a termini alterni (an > 0). Se an e monotona decrescente e

infinitesima allora la serie e convergente.

5Vale la doppia implicazione quindi se una delle due diverge anche l’altra diverge


Questo teorema ci permette di dimostrare che se trasformiamo la serie armonica (divergente) in una

serie a termini alterni in questo modo,∞

∑n=0

(−1)n 1n

essa diventa convergente. E’ infatti semplice provare che

il termine generale an =1n e monotono decrescente e infinitesimo.

4 Calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio e una branca della matematica che studia i modi per raggruppare, ordinare e combi-

nare un numero finito di elementi di un insieme. La prima domanda da farsi quando si raggruppano oggetti

e se nel problema che stiamo considerando bisogna tenere in considerazione oppure no l’ordine con cui

sono disposti gli elementi. Come vedremo questa e la principale distinzione tra disposizioni (conta l’ordi-

ne) e combinazioni (non conta l’ordine). Prima di affrontare le disposizioni partiamo dalle permutazioni

semplici per poi generalizzare.

4.1 Permutazioni semplici

Una permutazione semplice di n oggetti distinti e uno dei possibili ordinamenti degli n oggetti.

Supponiamo di voler determinare quante sigle di 4 lettere distinte (o equivalentemente quanti ana-

grammi anche senza significato) posso formare con {A,B,C,D}? Si parla in questo caso di permutazioni

semplici.

Dobbiamo disporre le 4 lettere in quattro box tenendo presente che scambiando due lettere

cambia l’ordine e quindi la sigla.

Proviamo a partire da un caso piu semplice: se avessimo solo due lettere avremmo due possibili

permutazioni AB,BA. Aggiungendo la C ci troviamo nella situazione in cui si devono riempire tre box:

.

Con la lettera C come primo elemento abbiamo 2 possibilita perche le permutazioni di 2 elementi sono

2: C . Abbiamo sempre 2 possibilita anche se si mette A o B come primo elemento, quindi in

totale avremo 3 ·2 = 6 permutazioni di 3 elementi che indichiamo con P3 = 6. Esse sono:

ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA

Aggiungiamo l’ultima lettera e l’ultima casella: con lo stesso ragionamento, ponendo D come primo

elemento abbiamo 6 permutazioni degli altri 3 D ma questo si puo fare anche ponendo

A,B, o C all’inizio quindi si hanno P4 = 4 ·3 ·2 = 24 elementi che non stiamo ad elencare.

Il numero di permutazioni di n oggetti e dato dalla formula

Pn = n(n−1)(n−2) · · · · ·3 ·2 ·1 = n! (4.1)

29


4.2 Permutazioni con ripetizione

Determinare il numero di anagrammi anche senza significato di una parola come TEMPO e facile perche le

lettere sono tutte distinte: si tratta di permutazioni di 5 elementi. Ma cosa succede se la parola in questione

e MAMMA? Scambiando le 2 A tra loro si ottiene sempre la stessa parola; lo stesso se scambiamo tra loro le

tre M. Si nota subito che abbiamo molte meno possibilita, ma quante esattamente? Si tratta di permutazioni

con ripetizione, in cui conta l’ordine ma l’insieme di partenza contiene due o piu gruppi di elementi uguali.

Proviamo a contare i possibili anagrammi della parola CARTA e della parola MAMMA. Quanti sono

rispetto a TEMPO? Quale formula ci permette di contare le permutazioni con ripetizione?

Gli anagrammi di TEMPO sono 5! = 120. Passiamo ora a CARTA: le permutazioni ottenute permutando

le due “A” sono 2! = 2 ovunque esse si trovino, dando luogo pertanto alla stessa parola. E’ necessario

dunque dividere il totale delle permutazioni per 2

P(2)5 =

5!2!

=1202

= 60

P(2)5 indica le permutazioni di 5 elementi di cui uno ripetuto 2 volte.

Nella parola MAMMA anche la “M” e ripetuta 3 volte e comunque vengano permutate si ottiene sempre

la stessa parola, ovunque esse si trovino. Le permutazioni di 3 elementi sono 3! = 6 pertanto questa volta e

necessario dividere per 6 il risultato ottenuto con CARTA:

P(2,3)5 =

5!2!3!

=5 ·4 ·3 ·22 · (3 ·2)

=5 ·4

2= 10

P(2,3)5 indica le permutazioni di 5 elementi di cui uno ripetuto 2 volte e uno 3 volte.

Gli anagrammi di CARTA sono la meta di quelli di TEMPO e gli anagrammi di MAMMA sono solo 112 di

quelli di TEMPO, talmente pochi che e facile elencarli:

AAMMM, AMAMM, AMMAM, AMMMA, MAAMM, MAMAM, MAMMA, MMAAM, MMAMA, MMMAA

Generalizziamo:

le permutazioni di n elementi non tutti distinti con p gruppi di elementi che si ripetono (il primo k1

volte, il secondo k2 volte, e cosı via fino all’ultimo che si ripete kp volte) sono:

P(k1,k2,...,kp)n =

n!k1!k2! · · ·kp!

(4.2)

Osserviamo che k1 + k2 + · · ·+ kp ≤ n.

4.3 Disposizioni semplici

Nel caso in cui l’insieme di partenza abbia n elementi ma gli oggetti da disporre sono k ≤ n, si parlera di

disposizioni di n oggetti. Se k = n (si devono cioe disporre tutti gli oggetti dell’insieme) le disposizioni

semplici diventano permutazioni semplici che possono essere viste, a questo punto, come caso particolare.

Anche in questo caso cambiando l’ordine cambia la disposizione.

4.4. Disposizioni con ripetizione 31

Indicheremo le disposizioni di n elementi di classe k con la lettera Dn,k dove n indica il numero degli

elementi dell’insieme e k il numero di quelli da disporre. Per quanto detto sopra

Dn,n = Pn = n! (4.3)

Ripartiamo dall’esempio dell’insime con le prime 4 lettere dell’alfabeto: quante sigle di tre lettere

distinte si possono formare con {A,B,C,D}? Quante di due lettere e quante di una?

Cominciamo dalla fine per semplicita: si hanno 4 lettere e bisogna disporle in una sola casella .

Chiaramente abbiamo solo quattro possibilita.

Se abbiamo due caselle da riempire in quanti modi si puo scegliere l’elemento della prima casella? Abbiamo

4 possibilita. Ora, fissato il primo elemento, x in quanti modi si puo scegliere il secondo? Poiche

non si possono ripetere gli elementi, quello che abbiamo scelto al primo non lo possiamo riutilizzare e

quindi abbiamo solo 3 possibilita. 4 modi per il primo e 3 per il secondo fanno in totale

D4,2 = 4 ·3 = 12 possibili disposizioni.

Con lo stesso ragionamento, con tre caselle da riempire abbiamo 4 possibilita per il primo, 3 per il secondo

e 2 per il terzo e quindi

D4,3 = 4 ·3 ·2 = 24

Generalizzando, Dn,k e il prodotto di tutti i numeri da n a...? Se k = 2 abbiamo 2 fattori, se k = 3 ne

abbiamo 3 e cosı via. L’ultimo fattore e n− k+ 1. Ad esempio D9,3 = 9 · 8 · 7 (3 fattori) e 7, l’ultimo, e

proprio 7 = 9−3+1.

Possiamo scrivere quindi

Dn,k = n(n−1)(n−2) · · ·(n− k+1) =n!

(n− k)!(4.4)

L’ultimo passaggio e una scrittura piu compatta, provate a verificare che e la stessa cosa. Sulle calcola-

trici le disposizioni semplici sono indicate col simbolo nPr o nPk.

4.4 Disposizioni con ripetizione

Il caso delle disposizioni con ripetizione non e del tutto analogo a quello delle permutazioni. Un tipico

esempio e il lancio della moneta T testa, C croce in cui n = 2 sono i possibili elementi dell’insieme e

k e il numero di lanci effettuati. Le disposizioni con ripetizione ci permettono di calcolare le possibili

disposizioni di T o C in k lanci. Notiamo che in questo caso k puo superare n. Indichiamo con Drn,k dove

r indica appunto che si tratta di disposizioni con ripetizione.

In quanti modi possono succedersi le facce di una moneta se la lanciamo 1,2 o 3 volte?

Con un lancio abbiamo solo due possibilita T o C: Dr2,1 = 2.

Con due lanci ne abbiamo quattro, due per la prima posizione e due per la seconda T T,TC,CT,CC: Dr2,2 =

2 ·2 = 22 = 4.


Con tre lanci ne abbiamo otto, due per la prima posizione, due per la seconda, due per la terza T T T , T TC,

TCT , TCC, CT T , CTC, CCT , CCC: Dr2,3 = 2 ·2 ·2 = 23 = 8 e cosı via.

In generale se n e il numero degli elementi dell’insieme e k il numero di caselle da riempire, le possibili

disposizioni con ripetizione sono:

Drn,k = nk (4.5)

4.5 Combinazioni semplici

Fino ad ora l’ordine di estrazione degli oggetti dall’insieme di partenza ha avuto una notevole importanza.

Ci sono pero casi cui l’ordine non e importante come ad esempio nelle estrazioni del lotto in cui non importa

a che punto venga estratto un numero ma solo che venga estratto o meno. Si parla quindi di combinazioni

quando l’ordine non conta. Indicheremo le combinazioni con la lettera Cn,k dove n indica il numero degli

elementi dell’insieme e k il numero di quelli da combinare.

Dato un insieme con 5 elementi {A,B,C,D,E}, in quanti modi se ne possono estrarre 3 senza reimbus-

solamento, cioe se un numero gia estratto non puo venire ri-estratto? Equivalentemente si potrebbe dire:

quante sono le combinazioni semplici di 5 elementi di classe 3?

Se avessimo solo un elemento da estrarre avremmo 5 possibilita: C5,1 = 5 come per le disposizioni D5,1.

Se ne avessimo due le cose cambierebbero perche D5,2 = 20 ma le 20 stringhe con due elementi si ripetono

a due a due visto che ora l’ordine non conta piu: ad esempio AB = BA, AC = CA e cosı via. Pertanto

C5,2 = 10, infatti e necessario dividere per 2 il numero di disposizioni, C5,2 =D5,2

2 . Perche proprio per 2?

Due sono i modi in cui possiamo permutare due elementi a caso AB,BA. Per questo motivo scriveremo le

combinazioni come

C5,2 =D5,2

P2

A questo punto se estraiamo 3 elementi: le D5,3 = 60 stringhe che avremmo come disposizioni si

ripetono a gruppi di 6. Infatti una terna A,B,C puo essere permutare in 3! modi, quindi

C5,3 =D5,3

P3= 10

Allo stesso modo C5,4 = 5 e C5,5 = 1. Perche C5,4 = C5,1? Perche estrarre 4 elementi su 5 identifica

in modo univoco l’elemento che rimane non estratto e quindi e come estrarne solamente 1: gli altri 4 sono

univocamente determinati. Per lo stesso motivo estrarli tutti e come estrarne nessuno, C5,5 = C5,0, e in

generale estrarne k equivale e estrarre i rimanenti n− k.

Generalizzando, dato un insieme con n elementi di cui k ≤ n vengono estratti, possiamo scrivere

Cn,k =Dn,k

Pk=

n!(n− k)!k!

(4.6)

Quest’ultima scrittura puo essere indicata con(nk

)=

n!k!(n− k)!

(4.7)

4.6. Cenni di calcolo delle probabilita 33

cioe il coefficiente binomiale.

Sulle calcolatrici scientifiche le combinazioni semplici sono indicate con il simbolo nCr o nCk.

Anche nel caso delle combinazioni e possibile avere delle ripetizioni come ad esempio nelle estrazioni

con reimbussolamento in cui k (numero di estrazioni) puo superare n (elementi dell’insieme). Il caso e

analogo alle combinazioni semplici, enunciamo qui solo la formula.

Le combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k e uguale a quello delle combinazioni senza

ripetizione di n+ k−1 oggetti di classe k

Crn,k =Cn+k−1,k =

(n+ k−1

k

)Attenzione! Il caso delle combinazioni con ripetizione non lo tratteremo in profondita perche puo dare

luogo a misconcezioni quando si parla di calcolo delle probabilita, proviamo a spiegare questo fatto con

un esempio. Se consideriamo il lancio di una moneta due volte e siamo interessati all’ordine in cui sono

usciti T e C abbiamo 4 possibilita: T T,TC,CT,CC (disposizioni con ripetizione). Se invece l’ordine non

ci interessa abbiamo solo 3 possibilita: T T,CT,CC. Qual e dunque la probabilita che esca una volta testa e

una volta croce? La probabilita come vedremo e definita come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili

quindi, se usiamo le disposizioni avremo12

e se usiamo le combinazioni abbiamo13

. Dov’e l’errore?

La risposta giusta e12

: il problema delle combinazioni con ripetizione e che i modi in cui una combina-

zione puo uscire non sono equiprobabili e questa e una condizione fondamentale per definire la probabilita

come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili!

4.6 Cenni di calcolo delle probabilita

Formalizzare il concetto intuitivo di probabilita di un evento e una cosa tutt’altro che banale.

Esistono diverse definizioni di probabilita ma quella classica dovuta a Laplace afferma che la probabilita

P(E) di un evento E e il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi

possibili, purche questi siano equiprobabili:

P(E) =# casi favorevoli# casi possibili

(4.8)

Definendo la probabilita come sopra e evidente che P(E) e una quantita positiva e non puo superare 1

perche il denominatore (casi possibili) e sempre maggiore del numeratore: 0≤ P(E)≤ 1.

P(E) = 1 e un evento certo, P(E) = 0 e un evento impossibile, 1−P(E) e la probabilita dell’evento

complementare.

Osserviamo che questa definizione, assieme ad altri, presenta il grave inconveniente di essere circolare,

cioe richiede che i casi possibili abbiano la stessa probabilita, che e proprio quello che si vuole definire.

Non ci vogliamo addentrare in questioni del genere e negli esercizi che seguono relativi a estrazioni e dadi

considereremo sempre gli eventi possibili come equiprobabili.

Per tale motivo come dicevamo nella sezione precedente non possiamo usare le combinazioni con

ripetizione perche i modi in cui esse contano gli elementi non sono equiprobabili.


Supponiamo di avere un’urna con 10 palline numerate da 0 a 9. Se ne estraggono 3 senza reimbussola-

mento, qual e la probabilita che si verifichi l’evento

1. E=escono tutti numeri dispari?

2. E=esce esattamente un numero dispari?

3. E=esce almeno un numero dispari?

Se in un secondo momento viene concesso il reimbussolamento, qual e la probabilita che si verifichi l’evento

4. E=esce esattamente un numero dispari?

5. E=escono tutti numeri dispari?

6. E=tutti i numeri usciti sono distinti?

7. E=tutti i numeri usciti sono uguali?

1. Si tratta di combinazioni semplici (in quanto non conta l’ordine e non c’e reimbussolamento): i casi

possibili sono quindi C10,3. I numeri dispari sono solo 5 e se devono uscire 3 dispari i modi possibili

sono C5,3. La probabilita dell’evento e pertanto

P(E) =C5,3

C10,3=

(53

)(103

) = 10120

=112

2. Si tratta ancora di combinazioni semplici, stessa cosa per quanto riguarda i casi possibili. Per i casi

favorevoli sappiamo che l’unico numero dispari lo possiamo scegliere in C5,1 modi mentre i 2 numeri

pari in C5,2 modi.

P(E) =C5,1C5,2

C10,3=

(51

)(52

)(103

) =5 ·10120

=512

quasi il 50%.

3. Il modo migliore di procedere per trovare i casi favorevoli e quello di sottrarre alle possibilita totali

quelle in cui non compare neanche un numero dispari:

P(E) =C10,3−C5,3

C10,3=

(103

)−(5

3

)(103

) =1112

oltre il 90%.

4. Negli ultimi quattro casi si parla di reimbussolamento e quindi ripetizione. L’ordine di estrazione

non conta ma quando si ha a che fare con delle ripetizioni e consigliato ragionare in termini di

disposizioni. Le possibili terne di numeri sono Dr10,3 = 103 = 1000 (casi possibili). Proviamo a

contare i casi favorevoli: se il numero dispari fosse nella prima posizione avrei 5 possibilita; a questo

punto, dei restanti 5 numeri pari 2 vanno disposti nelle altre posizioni Dr5,2; pero queste tre posizioni

posso combinarsi in C3,2 modi. Si hanno in totale

P(E) =5 ·Dr

5,2 ·C3,2

D10,3=

5 ·25 ·31000

=38

una probabilita un po’ piu bassa di quella trovata nel caso senza reimbussolamento.

4.6. Cenni di calcolo delle probabilita 35

5. Se tutti i numeri sono dispari i casi favorevoli sono piu semplici da calcolare: si tratta di disposizioni

con ripetizione di 5 elementi di classe 3, la probabilita sara dunque

P(E) =Dr

5,3

Dr10,3

=53

1000=

18

6. Se tutti i numeri sono distinti i casi favorevoli sono disposizioni semplici di 10 elementi di classe 3,

D10,3 e la probabilita che si verifichi l’evento e:

P(E) =D10,3

Dr10,3

=10 ·9 ·8

1000=

1825

7. Infine abbiamo solo 10 casi favorevoli che si verifichi l’evento che escano numeri tutti uguali, visto

che si possono scegliere da un insieme di 10 numeri,

P(E) =10

1000=

1100


5 Le funzioni continue

5.1 Topologia della retta reale

La topologia in matematica non e altro che lo studio delle figure e delle loro trasformazioni (senza strappi,

incollature o sovrapposizioni). Studiate la topologia della retta reale significa analizzare i sottoinsiemi della

retta reale e formalizzare concetti fondamentali come continuita, convergenza, limiti, ecc.

Definition 5.1. Un intorno di un punto x0 e un intervallo della retta reale centrato del punto x0 di raggio r

del tipo

]x0− r,x0 + r[ (5.1)

Si parla di intorno sinistro se x0 e l’estremo destro dell’intorno, ]x0 − r,x0] e di intorno destro se x0 e

l’estremo sinistro dell’intorno [x0,x0 + r[.

Ad esempio:

• ]1,3[ e un intorno del punto 2 di raggio 1

• [2,3[ e un intorno destro del punto 2

• ]1,2] e un intorno sinistro del punto 2

Definition 5.2. Un intorno di +∞ e un intervallo illimitato superiormente del tipo: ]k,+∞[ con k ∈ R.

Analogamente un intorno di −∞ e un intervallo illimitato inferiormente del tipo: ]−∞,k[, k ∈ R.

Definition 5.3. Un punto x0 si dice interno a un sottoisieme A di R se esiste almeno un intorno di x0 tutto

contenuto in A.

Un punto x0 si dice esterno a un sottoisieme A di R se esiste almeno un intorno di x0 tutto contenuto in

AC (complementare di A).

Un punto x0 si dice di frontiera rispetto ad un insieme A se non e ne interno ne esterno.

Ad esempio se A =]0,1] tutti i punti ]0,1[ sono punti interni, i punti 0 e 1 sono punti di frontiera e

l’insieme ]−∞,0[∪]1,+∞[ e l’insieme dei punti esterni.

Definition 5.4. Un insieme A si dice aperto se ogni elemento di A e interno ad A. Dato AC l’insieme

complementare di A, l’insieme A si dice chiuso se AC e aperto.

Esempi:

37


• L’insieme A = [0,1] e chiuso e AC =]−∞,1[U ]1,+∞[ e aperto (l’insieme unione di insiemi aperti e

aperto).

• L’insieme B =]0,1[ e aperto e ]0,1] non e ne aperto ne chiuso.

• L’insieme N e chiuso e NC e aperto.

Con queste nuove definizioni possiamo definire un intorno completo di un punto x0 come un intervallo

aperto contenente x0. Dalla definizione ne deduciamo che intorni destri e sinistri non sono intorni completi.

Definition 5.5. Sia A un sottoinsieme della retta reale, x0 si dice punto di accumulazione per A se ogni

intorno di x0 contiene almeno un punto di A diverso da x0 stesso. L’insieme dei punti di accumulazione si

chiama derivato di A. Un punto e isolato se non e di accumulazione.

Esempi:

• In ]0,1[ tutti i punti sono punti di accumulazione e lo sono anche 0 e 1 (pur non appartenendo all’in-

tervallo) in quanto qualunque intorno di essi (cioe qualsiasi intervallo della retta reale centrato in 0 o

1) contiene almeno un altro elemento di ]0,1[.

• Dato A =]0,1], il Derivato di A e l’insieme [0,1].

Se invece consideriamo A = {x ∈ R : x =1n,n ∈ N∗} =

{1,

12,

13,

14, · · ·}

possiamo dire che A e fatto

solo di punti isolati, tranne al piu 0 che diventa un punto di accumulazione (sebbene non appartenga ad A)

perche ogni intorno per quanto piccolo di 0 contiene almeno un elemento di A.

Tutte queste nozioni topologiche ci servono per poter definire i limiti di funzione e per comprendere il

comportamento delle funzioni negli estremi dei loro domini (cioe nei punti di frontiera e di accumulazione

del dominio delle funzioni).

5.2 Trasformazioni del piano e composizione di funzioni

Per studiare il comportamento e riuscire a disegnare il grafico di una qualsiasi funzione, occorre innanzitutto

capire il comportamento delle funzioni elementari e successivamente le loro trasformazioni lineari nel piano

cartesiano. Per trasformazioni lineari intendiamo le traslazioni, le dilatazioni (o contrazioni) e le riflessioni

della funzione sia rispetto alla variabile dipendente che rispetto a quella indipendente.

In dettaglio, si parla di trasformazioni nella variabile dipendente se operiamo sulla variabile y = f (x) e

di trasformazioni nella variabile indipendente se operiamo sulla x. Nel primo caso si tratta di trasformazioni

”‘verticali”’ e il dominio della funzione rimane invariato; nel secondo caso, trasformazioni ”‘orizzontali”’,

spesso il dominio cambia (e, nel caso di funzioni periodiche, varia anche il periodo).

Traslazioni verticali

Per traslare una funzione verticalmente si aggiunge una costante k ∈ R alla variabile dipendente: f (x)+ k.

Se k > 0 la traslazione e verso l’alto, se k < 0 la traslazione e verso il basso.

5.2. Trasformazioni del piano e composizione di funzioni 39

Figura 5.1: Traslazioni verticali

Dilatazioni (o contrazioni) verticali

Se moltiplichiamo per k > 0 una funzione, k · f (x) otteniamo una dilatazione verticale se k > 1 e una

contrazione verticale se 0 < k < 1.

Figura 5.2: Dilatazioni verticali

Riflessioni verticali

Se cambiamo il segno a tutta la funzione, − f (x), otteniamo una riflessione verticale (rispetto all’asse x).


Traslazioni orizzontali

Per traslare una funzione orizzontalmente si aggiunge una costante k ∈R alla variabile indipendente: f (x+

k). Se k > 0 la traslazione e verso sinistra, se k < 0 la traslazione e verso destra.

Figura 5.3: Traslazioni orizzontali

Dilatazioni (o contrazioni) orizzontali

Se moltiplichiamo per k > 0 la variabile indipendente di una funzione, f (k · x) otteniamo una dilatazione

orizzontale se 0 < k < 1 e una contrazione orizzontale se k > 1.

Figura 5.4: Dilatazioni orizzontali

5.2. Trasformazioni del piano e composizione di funzioni 41

Riflessioni orizzontali

Se cambiamo il segno alla variabile indipendente, f (−x), otteniamo una riflessione orizzontale (rispetto

all’asse y).

Riflessioni di una parte del grafico: | f (x)| e f (|x|)

Casi di riflessioni sono le trasformazioni che utilizzano il valore assoluto della variabile x o della variabile

y: non sono delle vere e proprie riflessioni in quanto solo una parte del grafico (e non tutto il grafico) viene

riflessa.

| f (x)| e una funzione sempre positiva che lascia invariata la parte positiva di f (x) e riflette rispetto

all’asse x la parte negativa del grafico di f (x).

Figura 5.5: | f (x)|

f (|x|) e una funzione pari che lascia invariata la parte del grafico per x ≥ 0 e riflette specularmente

rispetto all’asse y quella stessa parte di grafico sul secondo e quarto quadrante del piano cartesiano.


Figura 5.6: f (|x|)

Il grafico dell’inversa

Anche il grafico dell’inversa di una funzione puo essere definito tramite una riflessione. In questo caso la

riflessione avviene rispetto alla retta bisettrice del primo e terzo quadrante che ha equazione y = x.

Figura 5.7: Funzione inversa

Funzioni composte

Tutte le trasformazioni del piano sono composizioni di funzioni con funzioni polinomiali di primo grado

(o al piu con la funzione valore assoluto). Ad esempio se f (x) = ex e g(x) = 2x− 1, componendo le due

funzioni, possiamo ottenere:

f (g(x)) = e2x−1 una contrazione e una dilatazione orizzontale;

5.3. Limiti di funzioni 43

g( f (x)) = 2ex−1 una dilatazione e una traslazione verticale.

Si possono evidenziare due fatti importanti: la composizione tra funzioni non e commutativa (se si

cambia l’ordine con il quale componiamo le due funzioni, cambia la composizione) e comporre una qual-

siasi funzione con f (x) = x lascia sempre invariata la funzione di partenza; infatti, la funzione identita

f (x) = x e l’elemento neutro della composizione tra funzioni. In tutti gli altri casi non e semplice graficare

una funzione composta e per farlo abbiamo bisogno di tecniche piu sofisticate di calcolo differenziale. E’

possibile pero definire algebricamente la composizione tra due o piu funzioni. Provate con alcuni esempi:

siano

f (x) = x2 g(x) = sin(x) h(x) = 3

Provate a scrivere analiticamente le seguenti funzioni composte:

f (g(x), g( f (x)), f (h(x)), h( f (x)), g(g(x), f (g( f (x)))

5.3 Limiti di funzioni

Il concetto di limite e fondamentale per descrivere l’andamento di una funzione quando l’argomento si

avvicina a un determinato valore, in generale un punto di frontiera del dominio che puo essere anche ±∞

(come e stato fatto nel caso delle succcessioni numeriche). Il concetto di limite e una delle definizioni

formali piu complesse dell’analisi matematica, ma la sua concezione intuitiva e sempre stata presente nel

pensiero matematico, fin dall’antichita1; i limiti hanno un ruolo cruciale nell’analisi matematica per quanto

riguarda concetti come la continuita, il calcolo differenziale e il calcolo integrale.

Cerchiamo di definire il concetto di limite per x→ x0 di una funzione f (x) con x0 punto di accumula-

zione del dominio di f , partendo da un esempio concreto:

Example 5.6. Sia f (x) =(x−1)2

x−1il cui dominio e tutto R tranne che per x = 1 (formalmente si scrive

che il dominio della funzione e R−1). E’ chiaro che se x 6= 1 possiamo semplificare la frazione e ottenere

f (x) = x−1 pero rimane il fatto che la funzione in 1 non e definita e f (1) non esiste. Ha senso pero vedere

quello che succede avvicinandosi arbitrariamente al punto 1, sia avvicinandosi da sinistra (per valori di x un

po’ piu piccoli di 1) che da destra (per valori di x un po’ piu grandi di 1). Avvicinandoci a 1, sia da destra

che da sinistra, il valore della funzione tende a 0 (cioe man mano che ci avviciniamo, la funzione assume

valori sempre piu prossimi a 0). Questo lo possiamo scrivere in termini di limite nel modo seguente:

1Le prime applicazioni di limite come procedimento infinito sono state per introdurre il calcolo di aree e volume (ad esempio: il

Metodo di esaustione di Eudosso di Cnido, IV sec a.C. ampiamente utilizzato anche da Archimede di Siracusa, ). Per arrivare alla

sua formulazione definitiva dobbiamo aspettare il XVIII sec., con la nascita del calcolo infinitesimale. Nel 1755 Eulero ne da una

definizione abbastanza precisa e sempre nello stesso secolo D’Alambert pone l’attenzione sulla necessita di porre la teoria del limite

alla base del calcolo differenziale, scoperto indipendentemente da Newton e Leibniz alla fine del XVII sec. Si deve a Cauchy e,

soprattutto alla successiva formalizzazione di Weierstrass, la definzione di limite ancora adottata ad oggi nell’analisi infinitesimale.

Cauchy adotto il concetto di limite di D’Alambert e ne formulo la seguente definizione: Quando due valori successivi attribuiti a

una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato cosı che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola

quanto si vuole, questo viene detto il limite di tutti gli altri.


limx→1−

f (x) = 0; limx→1+

f (x) = 0

dove con 1− indichiamo un avvicinamento da sinistra, limite sinistro e con 1+ un avvicinamento da

destra, limite destro2.

In questo caso limite destro e limite sinistro sono uguali. In generale, se limite destro e sinistro sono

equivalenti, possiamo dire che esiste il limite per x→ 1 di f (x), ed e uguale al valore a cui tende la funzione

sia da destra che da sinistra (in questo caso, il limite e = 0).

Example 5.7. Consideriamo un secondo esempio, f (x) =|x|x

in cui il dominio e tutto R tranne il punto 0

(D = R−0). Cerchiamo di capire l’andamento della funzione per valori di x che si avvicinano a 0. Come

osserviamo dal grafico, in questo caso il limite destro e il limite sinistro non coincidono, infatti:

limx→0−

f (x) =−1 limx→0+

f (x) = 1

quindi in questo caso il limite non esiste.

Figura 5.8: Il limite non esiste.

Nel primo caso si parla di discontinuita apparente e nel secondo si parla di discontinuita di salto.

Formalizziamo ora il concetto di limite per x→ x0 quando il valore assunto dalla funzione tende a un valore

reale, l ∈ R, cioe

limx→x0

f (x) = l (5.2)

Formalmente: ∀Iε(l), ∃ Iδ (x0) : ∀x ∈ Iδ (x0), f (x) ∈ ∀Iε(l). Il significato e il seguente: comunque si

prenda un intorno di l di raggio ε piccolo a piacere sulle ordinate, esiste un intorno di x0 di raggio δ sulle2Per avere un’idea considerate 1− come 0.99 e 1+ come 1.01 (non e formale asserire cio ma puo aiutare ad avere l’idea intuitiva

di limite destro e sinistro).

5.4. Funzioni continue 45

ascisse tale che per ogni x appartenente a questo intorno, f (x) appartiene all’intorno di raggio ε sull’asse

delle ordinate.

E’ chiaro che il calcolo del limiti nel primo esempio e stato fatto rispettando questa definizione mentre

nel secondo non ci saremmo potuti attenere a questa definizione: infatti, nel secondo caso, la definizione di

limite varrebbe solo per un intorno destro o un intorno sinistro mentre se il limite esiste, essa deve valere

per un intorno completo.

Example 5.8. Non si discosta molto dalla definizione precedente, il caso in cui il limite per x→ x0 va

all’infinito. Un esempio puo essere la funzione f (x) =1x2 che non e definita per x = 0. Se ci avviciniamo

da sinistra e da destra al valore 0 la funzione diventa sempre piu grande e va verso +∞, in questo caso si

parla di discontinuita di infinito.

In generale

limx→x0

f (x) = +∞ (5.3)

si puo definire formalmente nel modo seguente:

∀IM(+∞), ∃ Iδ (x0) : ∀x ∈ Iδ (x0), f (x) ∈ ∀IM(+∞)

Notiamo che se avessimo scelto nell’esempio la funzione f (x) =1x

avremmo avuto due risultati diffe-

renti per il limite sinistro e destro. Infatti:

limx→0−

1x=−∞ lim

x→0+

1x=+∞

in questo caso il limite non esiste. Non e comunque sbagliato dire che la funzione in valore assoluto in

0 va a ∞.

Possiamo notare che questa definizione riprende la definizione nel caso in cui il limite a cui tende la

funzione e un valore reale; ora, anziche considerare un intorno di un punto sul codominio, consideriamo un

intorno di infinito.

La definizione di limite di funzione per x→±∞ riprende la definizione data per i limiti di successioni;

ora che abbiamo formalizzato il concetto di intorno, la possiamo formulare adottando la nuova terminologia:

limx→+∞

f (x) = l ∈ R (5.4)

che, utilizzando la nozione di intorno di infinito, formalmente significa:

∀Iε(l), ∃ IM(+∞) : ∀x ∈ IM(+∞), f (x) ∈ ∀Iε(l)

Con ragionamenti analoghi si definiscono i limiti di funzione per x→ −∞ oppure per funzioni che

tendono a ±∞.

5.4 Funzioni continue

Fino alle serie abbiamo sempre trattato funzioni definite su un sottoinsieme dei numeri naturali e quindi

funzioni che assumono un insieme discreto di valori. Ora stiamo trattando funzioni definite su un insieme


continuo di valori; occorre quindi definire esattamente cos’e una funzione continua. Consideriamo una

funzione f (x) e domandiamoci se tale funzione e continua in un punto x0 appartenente al proprio dominio.

Il fatto che il limite esista per x→ x0 non e una condizione sufficiente affinche la funzione sia continua. Ad

esempio la funzione f (x) =x2

xnon e continua in x = 0 mentre lo e in tutti gli altri punti del suo dominio.

Per essere continua una funzione in x0 non solo il limite deve esistere, ma deve anche essere uguale al valore

della funzione in quel punto. Formalmente:

limx→x0

f (x) = f (x0) (5.5)

cioe la funzione e continua in x0.

Una funzione si dice continua se lo e in ogni punto del proprio dominio3).

Notiamo che una funzione puo essere continua nel proprio dominio anche se il dominio di definizione

e definito come unione di intervalli sconnessi. Ad esempio la funzione1x

(cosı come tutte le funzioni

elementari che conosciamo) e una funzione continua nel suo dominio di definizione che e (R−0). Quindi,1x

e una funzione continua sull’unione di due intervalli aperti ]−∞;0[ U ]0;+∞[ (infatti lo 0 e un punto

di accumulazione che non appartiene al dominio, e ovviamente, non ha senso parlare di continuita di una

funzione in un punto in cui la funzione non e definita).

Example 5.9. Un esempio di funzione discontinua e la seguente:

f (x) =

|x|x

se x 6= 0

0 se x = 0

che e chiaramente definita su tutto R ma e discontinua in 0.

5.5 Infinitesimi

Abbiamo fino parlato di infinitesimi per una successione quando quest’ultima tende a 0 e abbiamo confron-

tato gli infinitesimi nei termini generali delle serie a termini positivi per capire se una serie e convergente o

divergente mediante il confronto con la serie armonica.

Nel caso delle successioni pero non e necessario specificare che una successione an e infinitesima per

n→+∞ perche per una successione non si puo vedere altro che il limite per n→+∞. Nel caso delle fun-

zioni pero occorre specificare quando una funzione e infinitesima per x→ x0 con x0 punto di accumulazione

per il dominio della funzione stessa. Uno dei casi piu comuni e il caso in cui x→ 0.

La funzione sinx e infinitesima per x→ 0 perche limx→0

sinx = 0; lo stesso vale ad esempio per le funzioni

x2, 1− cosx, ecc... Mentre la funzione√

1− x e infinitesima per x→ 1.

La cosa interessante e pero capire qual e l’ordine di infinitesimo.

3Una definizione informale spesso adottata e: ”‘una funzione e continua se la si puo disegnare senza staccare la penna dal foglio”’.

Questa non e una definizione corretta per vari motivi: anzitutto non la si puo generalizzare in dimensioni superiori, inoltre anche per

le curve in una sola variabile, una funzione definita su un dominio connesso puo essere difficile da disegnare (senza staccare la penna

dal foglio, provate a disegnare xsin( 1

x

)

5.5. Infinitesimi 47

Definition 5.10. Due funzioni f (x) e g(x) si dicono infinitesime dello stesso ordine per x→ x0 (con x0

punto di accumulazione del dominio) se

limx→x0

f (x)g(x)

= l 6= 0 (5.6)

con l ∈ R. Le funzioni sono inoltre infinitesimi equivalenti per x→ x0 se

limx→x0

f (x)g(x)

= 1 (5.7)

La definizione di infinitesimo vale anche per x→±∞ se questo e un punto di accumulazione per il dominio.

La cosa piu naturale da fare e quella di confrontare gli infinitesimi con le funzioni polinomiali che sono

sempre le piu facili da trattare, ad esempio poiche

limx→0

sinxx

= 1

le funzioni sinx e x sono infinitesimi equivalenti (e quindi dello stesso ordine). In tal caso si puo scrivere

che sinx∼ x per x→ 0 cioe che sinx si puo approssimare con x per x→ 0.

Le funzioni 1− cosx e x2 sono dello stesso ordine ma non equivalenti perche per x→ 0,

limx→0

1− cosxx2 =

12

mentre sono equivalenti 1− cosx ex2

2. In questo caso si puo scrivere che 1− cosx∼ x2

2per x→ 0.

Un modo alternativo per scrive questo tipo di approssimazioni e quello di utilizzare i cosiddetti simboli

di Landau:

Definition 5.11. Si definisce un ”o piccolo” di (x− x0)k e si scrive o((x− x0)

k) un infinitesimo di ordine

superiore a k per x→ x0, la classe di tutte le funzioni che tendono a 0 piu velocemente di (x− x0)k per

x→ 0.

Utilizzando il simbolo o piccolo si puo scrivere che

sinx = x+o(x)1− cosx =x2

2+o(x2)

A differenza degli infiniti in cui, quando confrontiamo due polinomi quello che ci interessa e quello

con il grado piu alto (le altre potenze sono trascurabili all’infinito), negli infinitesimi ci interessa quello con

grado piu basso in quanto le potenze piu grandi sono trascurabili: ad esempio se abbiamo un infinitesimo

per x→ 0 della funzione x+ x3, essa si puo approssimare in 0 in questo modo: x+ x3 ∼ x. 4

Se f (x) e g(x) sono due infinitesimi che non hanno lo stesso ordine per x→ x0 o per x→±∞ il loro

rapporto ci dice qual e l’infinitesimo di ordine superiore:

se limx→x0

f (x)g(x)

= 0 f (x) ha ordine superiore (5.8)

se limx→x0

f (x)g(x)

= ∞ g(x) ha ordine superiore (5.9)

4Se x e molto piccolo, vicino a 0, ad esempio x = 0.1 allora x3 = (0.1)3 = 0.001 che e trascurabile rispetto a 0.1.


5.6 Asintoti

Un asintoto non e altro che una retta alla quale si avvicina arbitrariamente una determinata funzione5. In

termini matematici possiamo definire asintoti verticali, orizzontali oppure obliqui.

Definition 5.12. Una funzione f (x) : I→ R possiede un asintoto verticale per x→ x0 di equazione x = x0

se

limx→x0

f (x) =±∞ (5.10)

Una funzione possiede un asintoto orizzontale per x→±∞ di equazione y = l se

limx→±∞

f (x) = l ∈ R (5.11)

Nel caso in cui il limite sia per x→−∞ si parla di asintoto orizzontale sinistro, per x→ +∞ si parla di

asintoto orizzontale destro.

Una funzione puo possedere un numero arbitrario di asintoti verticali, anche un numero infinito di

asintoti verticali come ad esempio la funzione tanx che possiede infiniti asintoti verticali inπ

2+ kπ con

k∈Z. La tangente, come una qualsiasi altra funzione, pero non puo attraversare il proprio asintoto verticale.

Mentre una funzione puo possedere al piu due asintoti orizzontali, uno sinistro ed uno destro ma puo

attraversare in modo continuo un proprio asintoto orizzontale, anche infinite volte come ad esempio la

funzionesinx

x.

Quando si parla di comportamento asintotico all’infinito di una funzione non ci riferiamo necessaria-

mente ad un comportamento asintotico lineare, cioe a una retta. Una funzione puo avvicinarsi per x→ ∞

arbitrariamente ad una qualsiasi curva e possiamo comprendere il suo andamento sostituendo alla variabile

x valori molto grandi (in valore assoluto): ad esempio la funzionex3 +1

xsi comporta all’infinito come x2

cioe il suo grafico si avvicinera sempre di piu al grafico di una parabola e non di una retta. In queste note,

ci soffermiamo comunque ad analizzare casi in cui il comportamento all’infinito e quello di una retta. In

questi casi la retta non deve essere necessariamente orizzontale, un asintoto all’infinito puo anche essere

una retta con pendenza non nulla e in tal caso si parla di asintoto obliquo.

La funzione3x3−4x+1

7x2 +1∼ 3

7x per x→ ∞ si comporta come una retta di pendenza

37

; questo vuol dire

che se la funzione avra asintoto all’infinito, allora questo sara un asintoto obliquo. Notiamo inoltre che

approssimando la funzione all’infinito abbiamo gia trovato la pendenza dell’asintoto che, in caso esistesse,

avra equazione y =37+q con q da determinare.

Attenzione! Il fatto che il comportamento asintotico all’infinito di una funzione e quello di una retta

non implica che tale funzione ammetta un asintoto obliquo. Mentre se osservassimo che il comportamento

asintotico non e quello di una retta, allora potremmo affermare con certezza che la funzione non avra un

asintoto obliquo. Ad esempio, f (x) = x+ ln(x) ∼ x, quindi la funzione potrebbeavere asintoto obliquo.

Ma tale funzione non ammette un asintoto obliquo, infatti dovremmo tenere conto anche dei termini di

grado piu basso (in questo caso ln(x)) che fanno discostare leggermente la funzione f (x) all’infinito dal suo

comportamento lineare. In generale possiamo definire l’asintoto obliquo nel modo seguente:

5In generale, un asintoto puo anche non essere necessariamente una retta ma in questi appunti tratteremo solo asintoti lineari

5.7. Teoremi sulle funzioni continue 49

Definition 5.13. Una funzione f (x) : I→ R possiede un asintoto obliquo per x→±∞ se:

• limx→±∞

f (x) =±∞

• ∃ limx→±∞

f (x)x

= m ∈ R−{0}

• ∃ limx→±∞

( f (x)−mx) = q ∈ R

In tal caso l’asintoto ha equazione y = mx+q.

5.7 Teoremi sulle funzioni continue

Le funzioni continue, quelle che abbiamo definito nella classe C0(A) in cui A e il loro dominio, rappre-

sentano un insieme di funzioni molto interessante su cui si basano importantissimi teoremi matematici.

L’esistenza degli zeri di una funzione, cioe delle radici reali quelle per cui f (x0) = 0, sono assicurati per

una funzione continua se sono soddisfatte certe condizione. Lo stesso vale per i massimi e minimi assoluti.

Vediamo nel dettaglio alcuni dei piu importanti teoremi di analisi matematica.

Theorem 5.14 (Teorema degli zeri o di Bolzano). Sia f : [a,b]→R una funzione continua su un intervallo

chiuso [a,b] per cui i valori agli estremi hanno segno discorde, f (a) f (b)< 0.

Allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] tale che f (c) = 0, cioe esiste almeno uno zero della funzione.

Questo non vieta alla funzione di avere piu di uno zero, il teorema di Bolzano ci assicura solo che

almeno uno zero esiste anche se non ci da informazioni su come determinarlo. Molto spesso in matematica

e molto piu importante determinare l’esistenza di un certo valore che determinarlo, per i calcoli ci sono gia

i computer che li sanno fare molto piu velocemente di noi...

La funzione f (x) = x5−3x+1 e un polinomio di terzo grado non fattorizzabile mediante radici intere o

razionali. Non esiste una formula risolutiva per le equazioni polinomiali di grado superiore al secondo6 ma

per il teorema degli zeri possiamo dire che sicuramente f (x) possiede uno zero in [0,1] perche e continua

(essendo un polinomio) e f (a) f (b) = 1 · (−1) =−1 cioe agli estremi il segno di f (x) e discorde.

Se vogliamo avvicinarci alla radice del polinomio possiamo dimezzare l’intervallo e scegliere tra[0, 1

2

]e[ 1

2 ,1]

quello per cui vale ancora il teorema degli zeri (in questo caso[0, 1

2

]) e continuare questo proce-

dimento iterativo detto mmetodo di bisezione o algoritmo dicotomico per approssimare il piu possibile la

radice del polinomio.

Theorem 5.15 (Teorema dei valori intermedi). Sia f : [a,b]→ R una funzione continua su un intervallo

chiuso [a,b] e siano f (a) 6= f (b) (per semplicita pensiamo a f (a)< f (b) ma il teorema vale anche nel caso

contrario in modo analogo).

Allora, per ogni f (a) < y < f (b), esiste almeno un punto x ∈ [a,b] tale che f (x) = y, cioe la funzione

assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b).

6In realta per il terzo e quarto grado esistono ma sono talmente complicate che servirebbe una pagina solo per scriverle


Il teorema non ci dice che la funzione assumi tutti e soli ma ci assicura che se f e continua ogni elemento

compreso tra f (a) e f (b) possiede almeno una controimmagine in [a,b]. L’intervallo [ f (a), f (b)] sull’asse

delle ordinate e quindi sicuramente contenuto nell’immagine di f .

La funzione f : [0,1]→R, f (x) = x5−3x+1 assume sicuramente tutti i valori compresi tra f (1) =−1

e f (0) = 1 nell’immagine.

Il teorema dei valori intermedi e una generalizzazione del teorema di Bolzano perche ci assicura l’in-

tersezione della funzione, non solo con la retta y = 0 ma anche con la retta y = y0 per ogni f (a) < y0 <

f (b).

Theorem 5.16 (Teorema di Weierstrass). Sia f : [a,b]→ R una funzione continua su un intervallo chiuso

[a,b].

Allora esistono sempre massimo e minimo assoluto sull’intervallo [a,b].

Il teorema di Weierstrass e uno dei teoremi piu importanti di analisi e vale in senso generalizzato anche

per funzioni in piu variabili. Esso non ci consente di trovare massimo e minimo di una funzione, per quello

ci vuole anche un po’ di calcolo differenziale, pero ce ne assicura l’esistenza se l’intervallo di definizione e

chiuso e la funzione e continua.

La funzione f : [0,2]→R, f (x) = ex−x3 e una funzione continua su [0,2] intervallo chiuso. E’ difficile

da studiare come funzione, anche utilizzando il calcolo differenziale, ma il teorema di Weierstrass ci assi-

cura che su [0,2] essa possiede sicuramente massimo e minimo assoluti. Tali valori possono essere assunti

anche negli estremi dell’intervallo (non e questo il caso): se una funzione ad esempio e monotona crescente

o decrescente, massimo e minimo assoluto sono agli estremi dell’intervallo.

6 Il calcolo differenziale

Il concetto di derivata e legato storicamente in matematica al concetto di tangente ad una curva. In realta la

sua portata e molto piu ampia ed e fondamentale in moltissime situazioni. Il calcolo differenziale nasce con

Newton, Leibniz, Cauchy ed altri matematici famosi nello studio del moto in fisica: ad esempio la derivata

dello spazio percorso (assumendo come variabile il tempo) e la velocita istantanea, la derivata della velocita

e l’accelerazione istantanea. In elettrotecnica la derivata di una quantita di carica che attraversa una sezione

di filo e la corrente elettrica, in economia la derivata dell’indice dei prezzi rispetto al tempo e l’inflazione.

E questi sono solo pochi esempi. In matematica la derivata ci permette di stabilire la pendenza di una

determinata curva.

6.1 Rapporto incrementale e derivata

Consideriamo una funzione f : D→ R continua e cerchiamo di vederla come curva del piano cartesiano.

Prendiamo in considerazione un punto P di coordinate (x0, f (x0)), x0 ∈ D in cui vogliamo determinare la

pendenza della curva. Per fare questo una possibile strada e cercare la retta tangente in P al grafico della

curva: l’inclinazione della retta tangente individuera la pendenza. Attenzione! Non disponiamo per il

momento di una buona definizione di retta tangente se non in casi molto particolari (le coniche). Il nostro

primo obiettivo e quindi quello di cercare di capire che cosa debba intendersi per retta tangente al grafico di

una curva. La tangente e infatti un concetto locale, la definizione di retta tangente non e quella di una retta

che interseca la curva in un solo punto globalmente. Infatti, ade esempio, la retta tangente alla funzione

cos(x) in x0 = 0 tocca la curva stessa in infiniti altri punti. Quando parliamo di retta tangente parliamo di

una retta che tocca la curva in un unico punto ma solo riferendoci ad un intorno arbitrariamente piccolo

di quel punto. Le rette tangenti alle coniche del piano cartesiano non possono intersecare le coniche stesse

in altri punti e quindi il discorso fatto puo essere vero globalmente, ma per una generica curva y = f (x)

questo non e vero.

Torniamo quindi alla funzione f (x) e consideriamo un altro punto Q in modo che la differenza nelle

ascisse tra P e Q sia h. Se uniamo P e Q con una retta otteniamo una secante alla curva. Ricordandoci che il

punto P ha coordinate (x0, f (x0)), allora Q avra coordinate Q(x0 +h, f (x0 +h)). La pendenza della secante

sara :

f (x0 +h)− f (x0)

(x0 +h)− x0=

f (x0 +h)− f (x0)

h(6.1)

51


cioe∆y∆x

che e il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo. Questa espressione si chiama rapporto

incrementale e in termini trigonometrici, chiamando α l’angolo compreso tra i due cateti, esso e tanα

(definita proprio come il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacente ad un angolo α in un triangolo

rettangolo).

A livello fisico, se il grafico della funzione f (x) rappresentasse uno spazio percorso in un determinato

tempo, il rapporto incrementale non sarebbe altro che la velocita media percorsa tra il punto di partenza e il

punto di arrivo.

Proviamo ora a tenere fisso il punto P e avvicinare sempre di piu il punto Q al punto P facendo diventare

l’incremento h sempre piu piccolo fino a far quasi coincidere Q con P (cioe facciamo avvicinare sempre di

piu h a 0). Intuitivamente possiamo immaginare che la tangente geometrica al grafico della curva venga a

coincidere con la posizione limite della famiglia di rette secanti. Analiticamente, questo si traduce nel fatto

che la retta tangente, se esiste, ha per coefficiente angolare il limite della famiglia dei coefficienti angolari

delle rette secanti.

Tornando all’esempio relativo alla fisica questo limite non e altro che la velocita istantanea in corrispon-

denza del punto P. Possiamo ora formalizzare.

Definition 6.1 (Derivata). Si dice derivata di una funzione f (x) nel punto x0 e si indica con f ′(x0), se esiste

ed e finito, il seguente limite:

f ′(x0) = limh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h(6.2)

Se chiamiamo x = x0 +h e facciamo tendere x a x0 otteniamo la definizione equivalente:

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0(6.3)

Se una funzione e derivabile per ogni x appartenente al suo dominio di definizione ha senso parlare

genericamente di f ′(x) cioe di una nuova funzione che rappresenta la derivata di f (x) per ogni scelta di x

nel dominio di f .

Per le funzioni di una variabile reale si fa uso molto spesso della notazione f ′(x) o D( f (x)) ma quando

si parla di funzioni in piu variabili occorre specificare la variabile di derivazione e quindi e piu indicata la

seguente notazione:∂ f (x)

∂xin cui nel denominatore viene esplicitata la variabile secondo cui si deriva.

Example 6.2. La derivata della funzione f (x) = x2 in x0 = 1 vale 2 e in generale f ′(x) = 2x per ogni x ∈R:

f ′(1) = limh→0

f (1+h)− f (1)h

= limh→0

h2 +2h+1−1h

== limh→0

h(h+2)h

= 2

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

h2 +2hx+ x2− x2

h= lim

h→0(h+2x) = 2x

6.2 Funzioni derivabili

Data la definizione di derivata e la sua generalizzazione ad ogni punto del dominio della funzione con la

costruzione della funzione derivata, occorre capire ora se una funzione e sempre derivabile e, in particolare,

qual e il legame tra le funzioni continue e le funzioni derivabili in quanto ha poco senso parlare di pendenza

di una curva quando la suddetta curva non e continua in un determinato punto. Questo ragionamento

6.2. Funzioni derivabili 53

induce a escludere i punti di discontinuita di una funzione nel calcolo della derivata e ci limiteremo infatti

a calcolare la derivata nei punti in cui la funzione e continua. Inoltre non e detto che nei punti in cui la

funzione e continua allora potremo sicuramente calcolarne la derivata. Consideriamo alcuni casi particolari.

1. Il grafico della funzione f (x) = |x| e costituito da due semirette che si incontrano nell’origine, la

derivata di f (x) non e altro che la pendenza delle due semirette ed e quindi costante1 uguale a −1

per x < 0 e costante uguale a 1 per x > 0. In x = 0 la funzione e continua. Ma qual e la pendenza in

x = 0? Calcoliamola come limite del rapporto incrementale per h→ 0− e per h→ 0+ (in questo caso

si parla di derivata sinistra e derivata destra):

f ′−(x) = limh→0−

|0+h|− |0|h

= limh→0−

|h|h

=−1

f ′+(x) = limh→0+

|0+h|− |0|h

= limh→0+

|h|h

= 1

I due limiti sono diversi, sostanzialmente il limite del rapporto incrementale cambia se ci avviciniamo

da sinistra o da destra e quindi la derivata non esiste! Graficamente si vede questo fatto notando un

brusco cambio di pendenza quando x si avvicina a 0: se derivata destra e sinistra sono due numeri

reali distinti allora graficamente il punto di non derivabilita si chiama punto angoloso.

2. Studiamo ora il comportamento della funzione f (x) = 3√

x quando x = 0. La funzione e chiaramente

continua in quel punto ma se disegniamo la retta tangente in 0 essa e verticale; non si puo quindi

parlare di pendenza in quanto dovremmo parlare di pendenza infinita. In effetti calcolando la derivata

in 0 e proprio quello che succede, il limite del rapporto incrementale non e finito e quindi la funzione

non e derivabile in 0:

f ′(x) = limh→0

3√

0+h− 3√

0h

= limh→0

13√h2

=+∞

In questo caso si parla di flesso verticale ascendente (discendente se il limite valesse −∞).

3. Un ultimo caso e analogo al precedente (la differenza e nel fatto che in questo caso derivata destra e

sinistra oltre ad essere entrambe infinite, sono infinite con segno discorde), e il caso di f (x) = | 3√

x|

funzione continua su tutto R ma che in x = 0 presenta quella che si chiama una cuspide (x0 e una

cuspide quando i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro in x0 sono infiniti di segno opposto):

f ′−(x) = limh→0−

∣∣ 3√

0+h∣∣− ∣∣ 3√

0∣∣

h= lim

h→0−

∣∣∣ 3√h∣∣∣

h=−∞

f ′+(x) = limh→0+

∣∣ 3√

0+h∣∣− ∣∣ 3√

0∣∣

h= lim

h→0+

∣∣∣ 3√h∣∣∣

h=+∞

I tre casi elencati rappresentano i tipici casi di funzioni continue su tutto il loro dominio (nei casi

specifici il dominio e R) ma con punti di non derivabilita. Il fatto che in punti in cui la funzione e continua

non e derivabile ci dice quindi che la continuita e una condizione non sufficiente per la derivabilita. E’1La derivata di una retta e una funzione costante pari al coefficiente angolare della retta stessa.


vero pero, come avevamo dedotto intuitivamente all’inizio del paragrafo che la continuita e una condizione

necessaria per la derivabilita, e questo lo si puo dimostrare anche analiticamente:

Dimostrazione. Se f (x) e derivabile in x0, esiste ed e finito il limite

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0

e quindi per x→ x0, f (x)∼ f (x0)+ f ′(x0)(x− x0). Se facciamo il limite a entrambi i membri,

limx→x0

f (x) = limx→x0

( f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)) ⇒ limx→x0

f (x) = f (x0)

che non e altro la definizione di funzione continua in x0.

Questo fatto ha effetto anche sul dominio della funzione derivata che in generale e sempre contenuto o

al piu uguale al dominio della funzione di partenza: ad esempio la funzione f (x) = ln(x) come vedremo, ha

derivata prima f ′(x) = 1x . Il dominio della funzione g(x) = 1

x sarebbe piu grande del dominio di f (x) = ln(x)

ma il dominio della derivata non puo essere piu grande del dominio della funzione e quindi saremo costretti

a prendere in considerazione per f ′(x) solo i valori positivi delle x.

Se f : I→ R e continua e derivabile con derivata continua2, diciamo che f ∈C1(I).

6.3 Calcolo della derivata

Prima di passare all’analisi delle funzioni derivabili calcoliamo le derivate delle funzioni elementari e della

somma, prodotto, quoziente e composizione delle stesse. Una volta acquisita un po’ di manualita con

le tecniche di derivazione passeremo ad una analisi piu profonda del comportamento delle varie curve

rappresentate dalle funzioni stesse.

Funzioni elementari

Gia con la sola interpretazione geometrica della derivata abbiamo intuito che la derivata di una funzione

costante e nulla e che la derivata di una funzione lineare e il valore del coefficiente angolare della retta da

essa rappresentata e quindi ha valore costante. Infatti:

Se f (x) = k ∈ R, limh→0

k− kh

= 0.

Se f (x) = mx+q, limh→0

m(x+h)+q− (mx+q)h

= limh→0

mhh

= m

Abbiamo gia visto cosa succede per f (x) = x2, vediamo in generale il comportamento della derivata di

f (x) = xn:

limh→0

(x+h)n− xn

h= lim

h→0

xn +nxn−1h+o(h)− xn

h= nxn−1.

Per calcolare il limite abbiamo usato l’approssimazione (x+h)n ∼ xn +nxn−1h+o(h) per h→ 0 (dal Bino-

mio di Newton) e abbiamo quindi supposto n ∈ N. Senza perdere di generalita e pero possibile definire la

derivata di f (x) = xα per ogni α ∈ R: f ′(x) = αxα−1.2In generale non e detto che una funzione derivabile abbia sempre derivata continua ma non trattiamo questi casi particolari.

6.3. Calcolo della derivata 55

Una funzione molto speciale e f (x) = ex: la sua peculiarita sta nel fatto che la sua derivata e uguale a

se stessa ed e quindi una sorta di elemento neutro per l’operazione di derivazione:

limh→0

ex+h− ex

h= lim

h→0ex eh−1

h= ex.

Per tutte le altre funzioni rimandiamo alla tabella delle derivate delle funzioni elementari che si possono

facilmente trovare anche sul web, ad esempio: tabella derivate funzioni elementari

Derivata della funzione inversa

In alcuni casi per determinare la derivata di alcune funzioni inverse delle funzioni elementari si puo ricorrere

alla formula della derivata della funzione inversa:

Theorem 6.3. Sia f (x) :]a,b[→R strettamente monotona, invertibile e derivabile in x0 ∈]a,b[ con f ′(x0) 6=

0. Allora f−1 e derivabile in y0 = f (x0) e (f−1)′ (y0) =

1f ′(x0)

(6.4)

Dimostrazione. Possiamo ottenere la formula scrivendo la definizione di derivata della funzione inversa

partendo dal limite del rapporto incrementale per f−1(y) e ricordando che x0 = f−1(y0):

limy→y0

f−1(y)− f−1(y0)

y− y0= lim

x→x0

x− x0

f (x)− f (x0)=

1f ′(x0)

Example 6.4. Calcoliamo ad esempio la derivata della funzione x = arctan(y) (inversa della y = tan(x))

sfruttando la 6.4:

(arctan(y))′ =1

1+ tan2(x)=

11+ y2

Allo stesso modo possiamo calcolare le inverse di tutte le funzioni trigonometriche e iperboliche e anche

la derivata del ln(x) come inversa di ex.

Definition 6.5. Se f : I→R e una funzione continua e F : I→R e una funzione continua e derivabile tale

che F ′(x) = f (x) si dice che F(x) e una primitiva di una funzione di f (x).

A differenza della derivata, la primitiva di una funzione non e unica perche se F ′(x) = f (x) anche

(F + k)′(x) = f ′(x) in quanto la derivata di una costante e nulla. Possiamo dire che la primitiva e unica a

meno di una costante additiva. Con tale definizione possiamo dire ad esempio che ln(x) e una primitiva di1x o che ex e una primitiva di ex.

Regole di derivazione

Analizziamo ora le derivate di funzioni che sono la somma, il prodotto, il quoziente, la composizione delle

funzioni elementari3.3Per semplicita di scrittura a volte ometteremo la variabile x all’interno della funzione.

http://math2.org/math/derivatives/tableof.htm


• La derivata di una funzione moltiplicata per una costante k reale e uguale alla costante per la derivata

della funzione:

(k f )′ = k f ′ (6.5)

Dimostrazione.

limh→0

k f (x+h)− k f (x)h

= k limh→0

f (x+h)− f (x)h

= k f ′(x)

La derivata di una somma (o differenza) e la somma (o differenza) delle derivate:

( f ±g)′ = f ′±g′

Dimostrazione.

limh→0

f (x+h)+g(x+h)− ( f (x)+g(x))h

=

limh→0

f (x+h)− f (x)h

+ limh→0

g(x+h)−g(x)h

= f ′(x)+g′(x)

La derivata del prodotto di due funzioni e la somma della derivata della prima per la seconda non

derivata con la derivata della seconda per la prima non derivata:

( f ·g)′ = f ′ ·g+ f ·g′ (6.6)

Dimostrazione.

limh→0

f (x+h)g(x+h)− ( f (x)g(x))h

=

limh→0

f (x+h)g(x+h)− ( f (x)g(x))+ f (x+h)gx)− f (x+h)g(x)h

=

limh→0

f (x+h)g(x+h)−g(x)

h+ lim

h→0g(x)

f (x+h)− f (x)h

=

f (x)g′(x)+ f ′(x)g(x)

La derivata del quoziente di due funzioni e la differenza tra la derivata del numeratore per il denomi-

natore non derivato e la derivata del denominatore per il numeratore non derivato, tutto diviso per il

quadrato del denominatore non derivato:(fg

)′=

f ′ ·g− f ·g′

(g)2 (6.7)

La derivata della composizione tra due (o piu) funzioni e data dalla seguente formula detta chain

rule:

( f (g(x)))′ = ( f ◦g(x))′ =(

f ′ ◦g(x))·g′(x) = f ′(g(x)) ·g′(x) (6.8)

6.4. Derivata e monotonıa 57

6.4 Derivata e monotonıa

Come abbiamo gia accennato, la derivata consente di avere a disposizione uno strumento per analizzare

una funzione in profondita: fornendo informazioni sulla pendenza di una curva in corrispondenza di un

determinato valore, come vedremo la derivata fornisce notevoli informazioni sulla monotonıa della funzione

e sui suoi punti stazionari.

Un punto c ∈ I si dice stazionario o punto critico per f : I → R se f ′(c) = 0 cioe se la sua pendenza e

nulla e quindi la retta tangente in quel punto e una retta orizzontale. Sono punti stazionari i punti di minino

relativo, di massimo relativo e anche i cosiddetti flessi orizzontali. Un punto stazionario infatti non e

necessariamente un massimo o minimo locale; ad esempio se analizziamo la funzione f (x) = x3 in x = 0

notiamo che la tangente e orizzontale ma la funzione non possiede ne massimi ne minimi in quel punto.

Se f e strettamente crescente in un certo intervallo, f ′ ≥ 0 (nota bene che f ′ e crescente ma non

strettamente, infatti essa puo essere anche nulla). Possiamo analizzare ancora una volta f (x) = x3, stret-

tamente crescente in ogni punto, anche in 0 ma con derivata che si annulla in x = 0. Analogamente, se f e

strettamente decrescente in un certo intervallo, f ′ ≤ 0.

Nota bene: la monotonıa di una funzione ha una definizione che non ha nulla a che fare con la derivata!

Una funzione puo essere monotona anche se non e continua ne tanto meno derivabile!

Theorem 6.6 (Teorema di Fermat). Sia f : I → R una funzione derivabile in x0 ∈ I. Se x0 e un punto di

massimo o di minimo locale per la funzione f (x) allora f ′(x0) = 0.

Come abbiamo visto non e vero il viceversa e un controesempio e la funzione f (x) = x3 in x = 0 (punto

in cui la funzione ha un flesso orizzontale).

Tra i teoremi fondamentali per le funzioni derivabili non possiamo non citare i teoremi di Rolle e di

Lagrange: il teorema di Lagrange puo essere visto come una generalizzazione del teorema di Rolle.

Theorem 6.7 (Teorema di Rolle). Data una funzione f continua su [a,b] e derivabile su ]a,b[ con f (a) =

f (b) allora

∃c ∈ ]a,b[ : f ′(c) = 0 (6.9)

In poche parole il teorema ci assicura l’esistenza di almeno un punto con tangente orizzontale per una

funzione derivabile su un intervallo in cui agli estremi la funzione assume lo stesso valore. Chiaramente

questo non e vero per una funzione non derivabile: ad esempio la funzione f (x) = |x| su [−1,1] assume lo

stesso valore agli estremi ma non ha punti con tangente orizzontale (il punto di minimo x = 0 e un punto in

cui la funzione non e derivabile).

Theorem 6.8 (Teorema del valore medio di Lagrange). Data una funzione f continua su [a,b] e derivabile

su ]a,b[ allora

∃c ∈ ]a,b[ : f ′(c) =f (b)− f (a)

b−a(6.10)


In altre parole il teorema ci assicura l’esistenza di almeno un punto in cui la retta tangente alla curva ha

la stessa pendenza della retta che unisce i punti f (a) e f (b).

Se i due punti hanno la stessa ordinata la retta in questione e orizzontale e il teorema di Lagrange si

riconduce al Teorema di Rolle che ne diventa quindi un caso particolare; la dimostrazione del teorema di

Lagrange si effettua utilizzando il teorema di Rolle.

6.5 Applicazioni del calcolo differenziale

Calcolo di limiti

Una delle tante applicazioni del calcolo differenziale e il calcolo di alcuni limiti che presentano forme inde-

terminate. Il teorema di De L’Hospital e gli sviluppi di Taylor (che vedremo successivamente) consentono

infatti di risolvere alcuni casi in cui i limiti presentano forme indeterminate.

Theorem 6.9 (Teorema di De L’Hospital). Ipotesi:

1. siano f e g funzioni derivabili in un intorno I del punto x0,

2. sia g′(x0) 6= 0 su I−{x0},

3. limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) = 0 oppure limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) =±∞

4. ∃ limx→x0

f ′(x)g′(x)

Tesi:

1. ∃ limx→x0

f (x)g(x)

, 2. limx→x0

f (x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g′(x)

In altre parole se il limite del rapporto tra due funzioni e una forma indeterminata 00 o ±∞

±∞ed esiste il limite

del rapporto tra le derivate delle funzioni stesse, allora questo e uguale al limite del rapporto tra le funzioni

di partenza4.

Attenzione a non abusare di questo teorema: puo funzionare soltanto quando si parte da una situazione

in cui siamo in presenza di una forma indeterminata e si puo applicare solo nei casi in cui esiste il limite del

rapporto delle derivate.

Example 6.10. Alcuni casi in cui non si puo utilizzare il teorema:

• limx→0+

ln(x)x

=−∞.

Non siamo di fronte a una forma indeterminata. Se si utilizzasse erroneamente De L’Hospital,

otterremmo limx→0+

11x

=+∞.

4Vale anche per i limiti con x→ ∞.

6.5. Applicazioni del calcolo differenziale 59

• limx→+∞

x+ sin(x)x− cos(x)

da luogo a una forma indeterminata e si risolve facilmente considerando il compor-

tamento asintotico delle funzioni: il risultato e 1. Non possiamo applicare De L’Hospital, in quanto

limx→+∞

1+ cos(x)1+ sin(x)

non esiste: questo non significa che il limite di partenza non esiste ma solo che il

teorema e inefficace.

Derivate di ordine superiore

Per una funzione f : I → R e possibile definire anche le cosiddette derivate di ordine superiore che sono

sostanzialmente l’applicazione dell’operatore derivata piu di una volta. Se lo applichiamo due volte, chia-

ramente oltre ad avere f derivabile e necessario che anche f ′ sia derivabile, cioe f due volte derivabile; si

parla dunque di derivata seconda quando si fa la derivata della derivata e si indica f ′′(x) o∂ 2 f∂x2 .

Equivalentemente si puo parlare di derivata terza, f ′′′(x), quarta e cosı via. In generale la derivata di ordine

n per una funzione n volte derivabile si indica con f (n)(x) o∂ n f∂xn . Una funzione n volte derivabile su un

intervallo I si dice appartenente a Cn(I); se la funzione e infinite volte derivabile si dice che f ∈ C∞(I).

Tutti i polinomi, le funzioni esponenziali e logaritmiche e le funzioni trigonometriche sono infinite volte

derivabili nel loro dominio di definizione.

Le derivate di ordine superiore ci consentono un’analisi piu approfondita dello studio di una funzione e

un ruolo molto importante lo gioca la derivata seconda.

Massimi e minimi locali

Se f : I→ R, f ∈C2(I), sappiamo che essa ha dei punti stazionari x0 ∈ I se f ′(x0) = 0. Questo pero non

e sufficiente per classificare i punti critici; per farlo abbiamo bisogno di ulteriori informazioni. Infatti, per

capire se un punto stazionario e un massimo o un minimo o un flesso orizzontale possiamo utilizzare due

metodi: il test della derivata prima e il test della derivata seconda (che consistono negli studi dei segni delle

derivate, prime e seconde).

Test della derivata prima

Sia f una funzione derivabile e sia x0 un punto critico per f , cioe f ′(x0) = 0, allora:

• se f ′(x) > 0 per x < x0 e f ′(x) < 0 per x > x0 allora x0 e un punto di massimo locale e f (x0) un

massimo locale;

• se f ′(x) < 0 per x < x0 e f ′(x) > 0 per x > x0 allora x0 e un punto di minimo locale e f (x0) un

minimo locale;

• se f ′(x) ha lo stesso segno in tutto un intorno di x0 allora x0 e un punto di flesso orizzontale

(crescente o decrescente a seconda del segno).

Test della derivata seconda

Sia f una funzione derivabile e sia x0 un punto critico per f , cioe f ′(x0) = 0, allora:

• se f ′′(x0)> 0 allora x0 e un punto di minimo locale;


• se f ′′(x0)< 0 allora x0 e un punto di massimo locale.

Se f ′′(x0) = 0 il test e inefficace ed e necessario ricorrere alle derivate di ordine superiore.

Intervalli di concavita

La derivata seconda di una funzione ci permette anche di definire la concavita di una funzione (sempre se

questa e due volte derivabile). D’altra parte la concavita e un concetto che esula abbastanza dal calcolo

differenziale.

In termini informali una funzione f si dice concava verso l’alto o convessa su un intervallo I interno

al dominio di definizione se dati due punti a e b interni a I tali che a < b il segmento che congiunge i due

punti si trova sempre sopra al grafico della funzione. Viceversa una funzione si dice concava verso il basso

o semplicemente concava se dati due punti a e b interni a I tali che a < b. il segmento che congiunge i due

punti si trova sempre sotto al grafico della funzione.

Qualora la funzione sia derivabile, possiamo dire che

• se la funzione e convessa allora la retta tangente in ogni punto interno all’intervallo si trova sempre

sotto al grafico della funzione

• se la funzione e concava allora la retta tangente in ogni punto interno all’intervallo si trova sempre

sopra al grafico della funzione

I punti x0 in cui la funzione cambia concavita sono i punti di flesso della funzione. Se la funzio-

ne e crescente in x0 allora x0 e un flesso ascendente, se essa e decrescentein in x0 allora x0 e un flesso

discendente.

Inoltre, se f : I→R e una funzione due volte derivabile, f ′′(x) ci fornisce importanti informazioni sulla

concavita della funzione stessa e quindi ci permette di individuarne i punti di flesso (per farlo possiamo

utilizzare il test di concavita).

Nota bene: I punti di flesso rappresentano generalmente i punti in cui la funzione ha massima (o

minima) pendenza: essendo punti che annullano la derivata seconda, i flessi sono dei punti stazionari per la

derivata prima e, nel caso questi punti stazionari per la derivata prima rappresentino dei massimi o minimi

locali, essi sono chiaramente punti di massima o minima pendenza della funzione.

Test di concavita

• Se f ′′(x)> 0 la funzione e strettamente convessa.

• Se f ′′(x)< 0 la funzione e strettamente concava.

6.6 Polinomi di Taylor

Poiche i polinomi sono le funzioni piu facili da trattare e analizzare, quando si riesce e molto comodo

approssimare funzioni complicate ad essi. Cerchiamo quindi un metodo per approssimare una qualsiasi

funzione per mezzo di un polinomio in un intorno di un determinato punto. Questo procedimento e gia

6.6. Polinomi di Taylor 61

stato effettuato nello studio della retta tangente a una funzione in un punto interno al dominio della stessa:

abbiamo gia visto infatti che essa rappresenta il polinomio di Taylor di primo grado in quel punto. Per

ottenere una approssimazione migliore della funzione in un punto occorre pero ricorre a polinomi di grado

superiore.

Prendiamo una funzione f ∈C1(I) e un punto x0 ∈ I: la retta tangente

y = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0) (6.11)

e il polinomio di Taylor di primo grado della funzione e si puo indicare T1,x0( f ) cioe polinomio di Taylor

di grado 1 in x0. La funzione puo essere quindi approssimata in un intorno di x0:

f (x) = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)+o(x− x0) (6.12)

dove come sappiamo o(x− x0) rappresenta dei polinomi che tendono a 0 piu velocemente di x− x0 per

x→ x0. Ne risulta che

f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x− x0) = o(x− x0) (6.13)

cioe f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x− x0) e un infinitesimo di grado superiore a 1. Proviamo a vedere se e un

infinitesimo di grado 2, dividiamolo per (x−x0)2 e osserviamo che cosa otteniamo (occorre a questo punto

aggiungere l’ulteriore ipotesi che f (x) sia due volte derivabile, infatti):

limx→x0

f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x− x0)

(x− x0)2 = (H) = limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

2(x− x0)=

12

f ′′(x0) (6.14)

Se f ′′(x0) 6= 0 i due infinitesimi hanno lo stesso ordine e possiamo scrivere una migliore approssima-

zione di f (x) in x0:

f (x) = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)+12

f ′′(x0)(x− x0)2 +o((x− x0)

2) (6.15)

Il polinomio di Taylor di secondo grado e quindi:

T2,x0( f ) = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)+12

f ′′(x0)(x− x0)2 (6.16)

che rappresenta una parabola che approssima la curva f (x) in un intorno di x0.

Se la funzione e n volte derivabile si puo andare avanti iterando il ragionamento e trovando il polinomio

di Taylor di grado n in x0:

Tn,x0( f ) = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)+12

f ′′(x0)(x− x0)2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n (6.17)

=n

∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k (6.18)

dove k indica l’ordine di derivazione ed f (0) rappresenta quindi la funzione stessa.


Example 6.11. Lo sviluppo di Taylor del secondo ordine della funzione f (x) = ex2in x0 = 1 e il seguente:

f (1) = e f ′(x) = 2xex2 ⇒ f ′(1) = 2e

f ′′(x) = 2ex2+4x2ex2 ⇒ f ′′(1) = 6e

T2,1(ex2) = e+2e(x−1)+6e(x−1)2

In generale una funzione si puo scrivere in modo approssimato con il suo sviluppo di Taylor con resto

di Peano:

n

∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +o((x− x0)n) (6.19)

dove o((x− x0)n) e il resto di Peano, un infinitesimo di grado superiore a n.

In particolare, se lo sviluppo vene fatto nel punto x0 = 0 si parla di sviluppo di MacLaurin: gli sviluppi

di MacLaurin sono molto utili anche nella risoluzione delle forme indeterminate dei limiti (essi si trovano

in quasi tutti i libri di analisi gli sviluppi di MacLaurin delle funzioni elementari e in Appendice ne trovate

alcuni). Data una funzione f , il suo sviluppo di Mac Laurin si puo esprimere nel modo seguente:

f (x) =n

∑k=0

f (k)(0)k!

xk +o(xn) (6.20)

Vediamo ad esempio lo sviluppo di ex; essendo tutte le derivate uguali, se le calcoliamo in 0 viene

sempre il valore 1, quindi:

ex =n

∑k=0

xk

k!+o(xn) (6.21)

Ossrviamo ora come possiamo farci aiutare degli sviluppi delle funzioni per risolvere delle forme

indeterminate:

Example 6.12.

limx→0

sinx− xx3 = lim

x→0

x− x3

6 +o(x3)− xx3 = lim

x→0

x3

6 +o(x3)

x3 =16

(6.22)

qui e stato usato lo sviluppo di sinx al terzo ordine.

7 L’integrale di Riemann

7.1 Calcolo dell’area

Sebbene la teoria dell’integrazione si sia sviluppata soprattutto con Riemann1 alla fine del XIX secolo, essa

nasce molti anni prima con gli studi e i lavori di alcuni dei personaggi piu rilevanti della cultura ellenica

come Euclide, Eudosso di Cnide e Archimede. Nel periodo greco infatti, ci si era gia posti il problema di

calcolo di aree e volumi ed e proprio all’epoca che venne introdotto il metodo di esaustione che e alla base

della teoria dell’intregazione.

La geometria euclidea introdotta nella scuola primaria e secondaria ci ha insegnato a calcolare le aree

delle figure elementari come triangoli, rettangoli, poligoni, cerchi. La questione pero si complica nel mo-

mento in cui si deve misurare l’area di una curva chiusa piu generale e non regolare. Il problema, prima

ancora del calcolo vero e proprio, e quello di definire cosa si intende per misura di un’area. Riemann de-

finı con approssimazioni successive il computo dell’area che sottende una funzione sul piano cartesiano.

Successivamente il concetto venne generalizzato a qualunque curva in qualunque dimensione (ad esempio

per il calcolo dei volumi). In questo capitolo cercheremo di ripercorrere la definizione di integrale di Rie-

mann e soprattutto vedremo il legame imprescindibile tra due teorie apparentemente scorrelate: il calcolo

differenziale e il calcolo integrale che, grazie al lavoro dei piu grandi matematici del XVIII e XIX secolo,

diventano due facce della stessa medaglia.

Un primo approccio di calcolo dell’area compresa tra una curva definita da una funzione f : [a,b]→R e

l’asse x e quello di approssimare l’area della figura con tanti rettangoli, con basi via via piu strette, in modo

tale da averne una stima sempre piu precisa.

7.2 Somme di Darboux

Consideriamo con una funzione sempre positiva, limitata (non necessariamente continua) e definita su un

intervallo: f : [a,b]→R e cerchiamo di calcolare l’area dell parte di piano compresa tra la funzione e l’asse

x limitatamente all’intervallo [a,b] suddividendo l’intervallo in n intervallini uguali di estremi xi e xi+1.

Chiamiamo x0 = a, xn = b e via via tutti gli altri xi saranno compresi tra a e b.

1Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) e un matematico e fisico tedesco.I suoi studi in geometria ed analisi complessa

non hanno solo fatto nascere la teoria dell’integrazione, ma hanno rivoluzionato gli approcci ad esse. La sua congettura inerente ai

numeri primi hanno rivoluzionato gli approcci rimane uno dei principali problemi su cui lavorano i matematici dall’epoca ad oggi.

63


Su ogni intervallo [xi,xi+1] la funzione f (x) ammette un estremo inferiore e un estremo superiore, che

chiameremo:

mi = inf[xi,xi+1]

f (x) Mi = sup[xi,xi+1]

f (x) (7.1)

Possiamo approssimare l’area cercata per difetto con la somma dei rettangoli che hanno come base

xi+i− xi e come altezza mi, oppure possiamo approssimarla per eccesso con la somma dei rettangoli che

hanno come base xi+i− xi e come altezza Mi; l’area A cercata sara compresa tra questi due valori trovati:

sn =n

∑i=0

mi(xi+i− xi)≤ A≤n

∑i=0

Mi(xi+i− xi) = Sn (7.2)

Chiamiamo l’approssimazione per difetto somme inferiori (o somme inferiori di Darboux) sn e quella per

eccesso somme superiori (o somme superiori di Darboux) Sn. Tale area puo essere approssimata meglio

se gli intervalli diventano sempre piu piccoli e facendo quindi tendere n all’infinito. Rendendo piu fine la

partizione dell’intervallo le somme inferiori diventano sempre piu grandi e viceversa le somme superiori

diventano sempre piu piccole, tendendo sempre piu entrambe all’area reale.

Chiamiamo P l’insieme di tutte le possibili partizioni p dell’intervallo [a,b]. Fra tutte le p, esistera un

estremo superiore per le somme inferiori e un estremo inferiore per le somme superiori:

s = supp∈P

sn S = supp∈P

Sn (7.3)

L’area cercata sara sempre compresa tra s≤ A≤ S. Se s = S allora anche A = s = S e in questo caso si dice

la funzione e integrabile secondo Riemann e si indica

A =∫ b

af =

∫ b

af (x)dx (7.4)

Nota bene: l’equivalenza tra calcolo dell’area e il calcolo dell’integrale e dovuta al fatto di prendere

in considerazione funzioni sempre positive. Con la definizione che abbiamo dato se la funzione fosse stata

negativa per alcuni tratti avremmo trovato un’area negativa. L’integrale di Riemann misura quindi le aree

in senso algebrico cioe considera negative le aree che stanno sotto l’asse x.

Per determinare l’area vera e propria, cioe sommando (e non sottraendo) anche le aree che si trovano sotto

l’asse x, dovremmo ribaltare tutto cio che sta sotto l’asse con una simmetria rispetto all’asse x. Per farlo

utilizziamo pertanto la funzione valore assoluto e l’applichiamo alla funzione nostra funzione:| f (x)|. L’area

diventera quindi:

A =∫ b

a| f | (7.5)

Calcolo di un’area con le somme di Darboux

Consideriamo la semplice funzione f (x) = x2 e cerchiamo di calcolare l’area sotto la curva nell’intervallo

[0,1].

7.2. Somme di Darboux 65

Figura 7.1: f (x) = x2.

Senza avere a disposizione il Teorema fondamentale del calcolo (sezione 7.5) anche per una funzione

cosı semplice il calcolo diventa lungo. Suddividiamo l’intervallo [0,1] in tanti intervallini di ampiezza 1n ;

alla fine faremo tendere n all’infinito in modo che gli intervalli diventino infinitesimi e l’area sara la somma

di tanti intervallini di ampiezza infinitesima. Consideriamo inoltre i rettangoli che permettono di calcolare

l’area per difetto (per esercizio potremmo anche calcolare l’area in eccesso ma essendo la funzione x2

integrabile come vedremo, non fa differenza calcolarla per eccesso o per difetto).

I rettangoli hanno tutti base 1n mentre l’altezza vale f

( kn

)in cui l’indice k varia tra 0 e n−1, l’area vale

pertanto la somma

n−1

∑k=0

1n

f(

kn

)=

n−1

∑k=0

1n

k2

n2 =n

∑k=0

k2

n3 .

Ora facciamo il limite per n→ ∞:

limn→∞

1n3

∞

∑k=0

k2,

si tratta di una forma indeterminata che puo essere risolta con Cesaro-Stoltz oppure ricordando la somma

dei primi n quadrati dei numeri naturali:n

∑k=1

k2 =n(n+1)(2n+1)

6.

Si ottiene pertanto:

limn→∞

1n3

∞

∑k=0

k2 = limn→∞

1n3

n(n+1)(2n+1)6

=13

che e esattamente l’area in figura.


7.3 Integrabilita secondo Riemann

E’ molto raro trovare una funzione che non sia integrabile secondo Riemann, la maggior parte delle funzioni

con cui abbiamo avuto a che fare sono sempre state funzioni integrabili2. Uno dei pochi esempi noti e il

seguente.

Example 7.1. Condieriamo la funzione di Dirichlet χ(x). Essa e definita da

χ(x) =

1 x ∈Q

−1 x ∈ R−Q(7.6)

E’ una funzione impossibile da rappresentare graficamente. Le somme inferiori sono sempre uguali a −1

e le somme superiori sono sempre uguali a 1 perche per quanto sia fine la suddivisione in intervallini, Q

e denso in R e quindi all’interno dell’intervallino ci sara sempre sia un numero razionale che un numero

irrazionale.

Se consideriamo un intervallo chiuso e una funzione limitata definita su tale intervallo ci accorgiamo

altresı che la continuita e una condizione sufficiente ma non necessaria per l’integrabilita.

Theorem 7.2. Sia f : [a,b]→ R allora

1. se f e limitata e continua tranne al piu per un numero finito di punti allora e integrabile

2. se f e monotona (anche con infinite discontinuita) allora e integrabile.

E’ chiaro che non vale il viceversa, una funzione integrabile non e necessariamente ne continua ne

monotona.

7.4 Proprieta dell’integrale

Consideriamo una funzione integrabile f [a,b] → R sull’intervallo [a,b]. La definizione di integrale di

Riemann per tale funzione si puo estendere con le seguenti convenzioni:∫ a

af = 0

∫ a

bf =−

∫ b

af (7.7)

cioe se integriamo su un insieme di misura nulla otteniamo un’area di misura nulla e se scambiamo gli

estremi di integrazione e andiamo da destra verso sinistra le aree vengono considerate con segno negativo.

Linearita dell’integrale

Se f e g sono funzioni integrabili definite sull’intervallo [a,b] e k,h sono due numeri reali allora k · f +h ·g

e ancora una funzione integrabile e vale la seguente relazione:∫ b

a(k · f +h ·g) = k

∫ b

af +h

∫ b

ag (7.8)

2D’ora in avanti quando useremo la nozione ”‘integrabile”’ sara sottointeso ”‘integrabile secondo Riemann”’.

7.4. Proprieta dell’integrale 67

Additivita dell’integrale

In questo caso si parla di additivita dell’integrale rispetto al dominio di definizione. Sia data f : I → R.

Allora ∀a,b,c ∈ I con a < c < b, vale: ∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf (7.9)

o equivalentemente, ∫ b

af −

∫ c

af =

∫ b

cf (7.10)

Disuguaglianza triangolare

Ricordiamo che l’area che sottende il grafico di una funzione f : [a,b]→R e data da∫ b

a| f |. In generale una

funzione | f | puo essere integrabile anche se f non lo e (si pensi alla funzione di Dirichlet), viceversa, se f e

integrabile lo e anche | f |. Ed e proprio per le precedenti considerazioni che vale la seguente disuguaglianza:∣∣∣∣∫ b

af∣∣∣∣≤ ∫ b

a| f | (7.11)

Positivita dell’integrale

Se f : [a,b]→ R e integrabile su [a,b] e f (x)≥ 0 per ogni x ∈ [a,b] allora∫ b

af ≥ 0.

Se invece f , oltre a essere sempre non negativa, e anche una funzione continua e∫ b

af = 0 allora necessa-

riamente f (x) = 0 ∀x ∈ [a,b].

Monotonia dell’integrale

Siano f ,g : [a,b]→ R due funzioni integrabili tali che f (x)≤ g(x) per ogni x ∈ [a,b] allora vale sempre∫ b

af ≤

∫ b

ag (7.12)

Media integrale

Definition 7.3. Si definisce media integrale di una funzione f integrabile sull’intervallo [a,b] il numero

µ =1

b−a

∫ b

af (x)dx

Tale numero rappresenta l’altezza del rettangolo di base b−a che ha area equivalente all’area compresa

tra la curva e l’asse x per la funzione f .

Theorem 7.4. Si puo dimostrare che se f : [a,b]→ R e continua allora esiste c ∈ [a,b] tale che

1b−a

∫ b

af (x)dx = f (c) (7.13)

Il teorema ci dice che esiste un punto dell’immagine di f , f (c) corrispondente ad un punto c∈ [a,b], per

cui l’area del rettangolo di base b−a e altezza f (c) e uguale all’area sottostante il grafico della funzione.


Dimostrazione. Osserviamo prima di tutto che, per il Teorema di Weierstrass, una funzione continua defi-

nita su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluto. Se m e M sono rispettivamente

minimo e massimo di f , m≤ f (x)≤M. L’area compresa tra la curva e l’asse x sara quindi compresa tra

m(b−a)≤∫ b

af ≤M(b−a) ⇒ m≤ 1

b−a

∫ b

af ≤M (7.14)

Poiche, per il teorema dei valori intermedi per le funzioni continue f (x) assume tutti i valori compresi tra

m e M esistera sicuramente un punto c tale che

f ′(c) =1

b−a

∫ b

af (7.15)

Funzioni integrali

Supponiamo di avere sempre a che fare con una funzione f integrabile su un intervallo [a,b] e di integrare

tale funzione mantenendo fisso l’estremo a e facendo variare il secondo estremo t tra a e b. Otteniamo una

funzione che calcola l’area sotto alla curva y = f (x) al variare di t, se chiamiamo F(t) tale funzione essa

puo essere descritta nel modo seguente3:

F(t) =∫ x

af (x)dx (7.16)

7.5 Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il calcolo integrale non avrebbe avuto forse una importanza cosı rilevante se non fosse strettamente collegato

alle primitive delle funzioni integrande. Il legame tra il calcolo integrale e le primitive delle funzioni e stato

messo in evidenza con il cosiddetto teorema fondamentale del calcolo integrale, suddiviso in due parti, la

prima detta anche di Torricelli-Barrow, la seconda detta anche formula di Newton-Leibniz.

Theorem 7.5 (Teorema fondamentale del calcolo - prima parte). Sia f (t) : [a,b]→R una funzione continua

e sia F(x) =∫ x

af (t)dt. Allora:

F(x) e derivabile e F ′(x) = f (x).

Dimostrazione. Per dimostrare questa prima parte si utilizza la definizione di derivata di F(x) e il teorema

della media integrale:

F ′(x) = limh→0

F(x+h)−F(x)h

= limh→0

∫ x+ha f (t)dt−

∫ xa f (t)dt

h= lim

h→0

∫ x+hx f (t)dt

h(7.17)

Per il teorema della media integrale, essendo f continua, esiste sempre un punto c ∈ [x,x+h] tale che

f (c) =1

x+h− x

∫ x+h

xf (t)dt ⇒

∫ x+h

xf (t)dt = h · f (c) (7.18)

3Non e possibile utilizzare la stessa variabile sia per la funzione integranda che per la funzione integrale, per questo abbiamo fatto

uso di una variabile ausiliaria.

7.6. Tecniche di integrazione 69

Quando h→ 0, essendo c compreso tra x e x+h, c→ x,

limh→0

h · f (c)h

= f (x) (7.19)

Theorem 7.6 (Teorema fondamentale del calcolo - seconda parte). Sia f (t) : [a,b] → R una funzione

continua e sia P(x) una primitiva di f (x). Allora

∫ b

af (x)dx = P(b)−P(a) (7.20)

Dimostrazione. Definiamo la funzione integrale F(x) =∫ x

af (x)dx e definiamo D(x) = P(x)−F(x). Se

deriviamo la funzione D(x), otteniamo la funzione nulla perche la derivata di F(x) per la prima parte del

teorema vale f (x) mentre la derivata di P(x) e uguale a f (x) per sua stessa definizione: D′(x) = 0. Pertanto

D(x) = k costante.

Essendo D(x) una funzione costante, D(a) = D(b) = k.

D(b) = D(a) ⇒ P(b)−F(b) = P(a)−F(a) (7.21)

ma F(a) = 0 per come e stata definita, quindi

P(b)−P(a) = F(b) =∫ b

af (x)dt (7.22)

Una conseguenza di tale formula, combinata con le proprieta dell’integrale definito e la seguente:

Corollary 7.7. Date a(x) e b(x) funzioni derivabili,

Se F(x) =∫ b(x)

a(x)f (t)dt ⇒ F ′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x) (7.23)

Nel calcolo integrale assume quindi importanza rilevante il calcolo delle primitive delle funzioni. Pur-

troppo non esistono regole per trovare le primitive ma solo tecniche che servono a semplificare i calcoli.

Le primitive di alcune funzioni elementari si possono trovare in fondo ad ogni libro di analisi insieme al-

la tabella delle derivate. Per funzioni piu elaborate pero si ricorre ad alcune tecniche di integrazione che

vengono comunque dal calcolo differenziale.

7.6 Tecniche di integrazione

Quando parliamo di tecniche di integrazione in realta ci riferiamo a tecniche per trovare le primitive, o

meglio, si tratta di tecniche volte a semplificare la ricerca delle primitive. A volte si usa il simbolo di

integrale senza estremi di integrazione per indicare che si sta cercando una primitiva. L’uso di tale simbolo

(integrale indefinito) non ha molto senso matematicamente perche un integrale non puo essere definito senza


estremi di integrazione. Molti libri di testo pero lo utilizzano per indicare appunto che stiamo cercando una

primitiva della funzione data.

Se F ′(x) = f (x) ⇒ F(x) =∫

f (x)dx+C (7.24)

con C ∈ R.

Primitive immediate

In alcuni casi, partendo dalla derivata di funzione composte, si possono dedurre le primitive di alcune

funzioni. Quelli che proponiamo sono pochi degli innumerevoli casi di derivazione di funzioni composte.

Partendo ad esempio dalla funzione log( f (x)) e derivando si ottiene:

D(log( f (x))) =f ′(x)f (x)

⇒∫ f ′(x)

f (x)dx = log(| f (x)|)+C (7.25)

Tale formula permette di ricavare le primitive della funzione tan(x):

∫tanxdx =

∫ sinxcosx

dx =−∫ −sinx

cosx=− log(|cosx|)+C (7.26)

Ecco alcuni altri casi che si possono verificare facilmente calcolando la derivata della primitiva:

∫f n(x) f ′(x)dx =

f n+1(x)n+1

+C ∀n 6=−1∫e f (x) f ′(x)dx = e f (x)+C∫cos( f (x)) f ′(x)dx = sin( f (x))+C∫ f ′(x)1+ f 2(x)

= arctan( f (x))+C

· · · (7.27)

Integrazione per parti

Dalla formula per il calcolo della derivata del prodotto tra due funzioni si puo ricavare la formula di inte-

grazione per parti. Sia l’integrazione per parti che quella per sostituzione non risolvono l’integrale ma lo

trasformano (in alcuni casi) in uno piu semplice.

Theorem 7.8. Siano f ,g : [a,b]→ R funzioni derivabili su I, allora vale la seguente relazione:∫ b

af ′(x)g(x)dx = [ f (x)g(x)]ba−

∫ b

af (x)g′(x)dx (7.28)

Dimostrazione. Dalla derivata del prodotto

D( f ·g) = f ′g+ f g′

integrando ambo i membri sull’intervallo [a,b] si ricava:

[ f ·g]ba =∫ b

af ′g+

∫ b

af g′

da cui segue la tesi.

7.6. Tecniche di integrazione 71

La formula di integrazione per parti consente di trovare la primitiva di funzioni come log(x) e arctan(x):

∫log(x)dx =

∫1 · log(x)dx = x log(x)−

∫x · 1

x= x log(x)− x+C (7.29)

Integrazione per sostituzione

La formula di integrazione per sostituzione si ricava dalla derivata delle funzioni composte.

Theorem 7.9. Sia f : [a,b]→ R una funzione integrabile e g(t) una funzione derivabile con gli estremi di

integrazione a e b che appartengono all’immagine di g, allora

∫ b

af (x)dx =

∫ g−1(b)

g−1(a)f (g(t))g′(t)dt (7.30)

La dimostrazione segue direttamente dalla derivata delle funzioni composte.

Un’integrale che richiede una sostituzione molto speciale e il seguente:∫ 1

−1

√1− x2dx (7.31)

Trattandosi di una semicirconferenza di raggio 1 con centro nell’origine il risultato dell’integrale deve

essereπ

2. E’ difficile pero arrivare a tale risultato senza effettuare una sostituzione (si potrebbe integrare

per parti ma sarebbero richiesti molti calcoli). La sostituzione non banale e la seguente: x = g(t) = sin t e

in effetti, come puo venire come risultato π

2 se non ci sono in ballo funzioni trigonometriche?

g(t) = sin t g′(t) = cos t g−1(x) = arcsinx g−1(−1) =−π

2, g−1(1) =

π

2

∫ 1

−1

√1− x2dx =

∫ π2

− π2

√1− sin2 x · cosxdx =

∫ π2

− π2

cos2 xdx = · · ·= π

2

Primitive non elementari

Come dicevamo trovare una primitiva di una funzione non e facile come derivarla: non disponiamo di

formule come quelle per la derivata del prodotto, del quoziente o della composizione di funzioni che ci

consentono, di arrivare in generale a trovare il valore della derivata. Le primitive di molte funzioni non

possono essere nemmeno espresse attraverso funzioni elementari.Un esempio classico e f (x) = e−x2la

funzione gaussiana. Non riusciremo mai a trovarne una primitiva in termini di funzioni elementari a meno

che non usiamo la definizione stessa di primitiva come funzione integrale:

F(x) =∫ x

0e−t2

dt

Tale primitiva e una primitiva della gaussiana che passa per l’origine.

Questo non significa che la gaussiana non e integrabile, essendo una funzione continua lo e. Per

trovare funzioni non integrabili siamo dovuti ricorre a definizioni tipo quella di Dirichlet. Il fatto di non


riuscire a trovare una primitiva non significa che la funzione non sia integrabile, d’altra parte anche molte

funzioni discontinue sono integrabili.

Ogni primitiva puo essere espressa come funzione integrale, ad esempio, la primitiva di f (x) = 2x

passante per l’origine e F(x) = x2. Essa puo anche essere scritta nel modo seguente:

F(x) = x2 =∫ x

02t dt

7.7 Integrali Impropri

Finora abbiamo considerato l’integrazione di funzioni continue o con discontinuita di salto in qualche punto

e abbiamo visto che comunque esse sono integrabili. Ma cosa succede se una funzione tende all’infinito

in un estremo dell’intervallo di definizione? E’ possibile calcolare l’area di una regione illimitata? E se

fosse possibile, l’area e sempre infinita? Si avrebbe lo stesso problema se l’intervallo di integrazione fosse

infinito.

Si parla in questo caso di integrali in senso generalizzato o integrali impropri. Per capire meglio di cosa

si tratta analizziamo la funzione:

1xα

prima nell’intervallo ]0,1[ poi nell’intervallo ]1,+∞[

Primo caso: intervallo finito con una discontinuita di infinito.

∫ 1

0

1xα

dx =[

x1−α

1−α

]1

0=

11−α

− limx→0

x1−α

1−α

L’integrazione ha senso per α 6= 1, se α = 1,∫ 1

0

1x

dx = [logx]10

Se α < 1 l’integrale e convergente, mentre in tutti gli altri casi l’integrale e divergente.

Secondo caso: intervallo infinito.

∫ +∞

1

1xα

dx =[

x1−α

1−α

]+∞

1=

11−α

− limx→+∞

x1−α

1−α

L’integrazione ha senso per α 6= 1, se α = 1,∫ +∞

1

1x

dx = [logx]+∞

1

Se α > 1 l’integrale e convergente, mentre in tutti gli altri casi l’integrale e divergente. Quest’ultimo caso

e analogo al caso della funzione armonica per le serie numeriche.

Per quanto riguarda una qualsiasi funzione f (x) si puo capire la convergenza o la divergenza dell’inte-

grale confrontandola con le funzioni armoniche appena citate. Vediamo un esempio:

7.7. Integrali Impropri 73

Example 7.10.∫ +∞

0

x2√(x2 +1)3

dx

La funzione integranda non ha problemi di discontinuita ne in x = 0 in cui vale 0, ne in nessun altro

punto della retta reale visto che il denominatore non si annulla mai. L’unico problema e la convergenza

dell’integrale a +∞:

x2√(x2 +1)3

∼ x2

x3 =1x

per x→+∞

L’integrale della funzione armonica1x

non converge verso infinito perche α = 1, pertanto l’integrale di

partenza diverge.

Example 7.11.∫ 1

0logx dx

La funzione integranda ha problemi di discontinuita in x = 0 in cui vale −∞, in questo caso possiamo

provare a trovare una primitiva integrando per parti come in (7.29):∫ 1

0logx dx = [x logx− x]10 =−1− lim

x→0(x logx− x) =−1− lim

x→0

logx1/x

(H)= −1− lim

x→0

1/x−1/x2 =−1

utilizzando il teorema di De L’Hospital. Essendo l’integrale pari a -1 significa che esso e convergente.

Criterio dell’integrale per le serie

L’idea fondamentale e quella di confrontare una somma discreta (una serie) con un integrale improprio.

sotto certe condizioni l’integrale improprio e la serie hanno lo stesso comportamento.

Theorem 7.12. Sia f (x) : N→ R positiva e decrescente tale che per ogni intero n > N, f (n) = an.

Allora la serie∞

∑n=N

an

e l’integrale ∫ +∞

Nf (x)dx

hanno lo stesso carattere.

Nota bene: nel caso l’integrale converga e si possa ottenere un limite NON significa che la serie converga

allo stesso valore.

Example 7.13. Ad esempio consideriamo la serie di cui abbiamo dimostrato la divergenza con il criterio

di condensazione in (3.21):∞

∑n=2

1n logn

.

Si tratta di una funzione positiva e decrescente per valori maggiori di 2, quindi possiamo applicare il

criterio dell’integrale: ∫ +∞

2

dxx logx

= [log(logx)]+∞

2 =+∞

e quindi anche l’integrale e divergente.


8 Equazioni differenziali ordinarie

Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni

di una o piu variabili. Le equazioni differenziali possono coinvolgere le derivate di qualsiasi ordine delle

funzioni incognite ma , nel caso di funzioni di una sola variabile indipendente si parla di equazioni dif-

ferenziali ordinarie il cui ordine e il grado della derivata piu alta presente nell’equazione. Per casi di

funzioni di piu variabili indipendenti si parla di equazioni alle derivate parziali che pero non tratteremo in

questi appunti. Le sole equazioni che tratteremo sono solo alcuni tipi di equazioni differenziali del primo

ordine che quindi coinvolgono solo la derivata prima della funzione incognita oltre alla funzione stessa.

Le derivate sono molto importanti per creare dei modelli matematici di fenomeni che ci circondano e

vengono utilizzate in tutti in vari compi: fisica, chimica, biologia, elettrotecnica, economia, ecc...

La notazione che utilizzeremo per le equazioni differenziali e la seguente: di solito indichiamo con

y(x) la funzione incognita, x la sua variabile e y′(x) la sua derivata prima. In generale risolveremo alcune

equazioni differenziali della forma

y′ = f (x,y) (8.1)

in cui e stato omessa la dipendenza della funzione y dalla variabile x: si tratta di una abbreviazione della

equazione y′(x) = f (x,y(x)).

In alcuni casi, soprattutto nei sistemi fisici, molte funzioni dipendono dal tempo, ad esempio y(t) o x(t):

in questo caso le derivate si indicano con uno o piu punto sopra la funzione piuttosto che con un apice ma

il succo non cambia:

x(t) = f (t,x(t)) (8.2)

8.1 Problemi di Cauchy

In generale la soluzione di una equazione differenziale non e unica, si pensi alla semplice equazione y′ =

y. Chiaramente y(x) = ex e soluzione di tale equazione ma se ci pensate anche tutte le funzioni del tipo

y(x) = cex sono soluzioni compresa la soluzione nulla y(x) = 0. Cio e causato chiaramente dal fatto che la

primitiva di una funzione non e unica se non imponiamo delle condizioni iniziali; cos’e che quindi rende

unica la soluzione di una equazione differenziale?

75


Se imponiamo la condizione y(0) = 1 l’unica soluzione dell’equazione precedente e chiaramente y(x) =

ex; se imponiamo che y(0) = 0 l’unica soluzione sara quella nulla. In tal caso si dice che poniamo un

Problema di Cauchy (PC), cioe una equazione differenziale con condizione iniziale.

E’ sufficiente questa condizione per rendere unica la soluzione di una equazione differenziale?

In realta cio non e sufficiente, si prenda ad esempio il problema di Cauchy: y′ = 3y23

y(0) = 0(8.3)

in cui una delle soluzioni e sicuramente y(x) = 0 ma anche la funzione y(x) = x3 e soluzione, provate a

sostituire la funzione nell’equazione differenziale se non ci credete!

Come possiamo quindi rendere unica la soluzione del PC? Il teorema che assicura l’esistenza di una e

una sola soluzione del PC e il Teorema di Cauchy-Lipschitz che non tratteremo ma ne fornire mo solo la

seguente versione ridondante:

Theorem 8.1. Consideriamo il Problema Di Cauchy: y′(x) = f (x,y(x))

y(x0) = y0

Se la funzione (di due variabili) f (x,y) e continua se consideriamo x come variabile e y come costante e

possiede derivata parziale continua rispetto a y, cioe se derivando rispetto a y (considerando x costante)

otteniamo una funzione continua, allora esiste un’unica soluzione del Problema di Cauchy in un intorno

del punto x0,y0 e quindi un’unica soluzione locale.

In effetti nell’esempio che abbiamo riportato con piu di una soluzione 2√|y| non aveva derivata continua

in (0,0) e di fatto la soluzione non era unica. Cio non significa che tutte le equazioni con derivate parziali

non continue abbiano necessariamente infinite soluzione, pero siamo sicuri che se le derivate parziali sono

continue la soluzione e localmente unica.

L’unicita e in ogni caso assicurata in un intorno del PC, perche e difficile stabilire il dominio della

soluzione dell’equazione differenziale e la prolungabilita della stessa.

Codominio, dominio e di prolungabilita della soluzione

Non analizzeremo nel dettaglio il dominio della soluzione di una equazione differenziale ne del prolun-

gamento della stessa l di fuori dell’intorno che contiene il punto del Problema di Cauchy. In ogni caso

cerchiamo di capire con un paio di esempi come si comportano le soluzioni dei PC:

y′(x) = y2

y(0) = 1

non ha problemi di dominio ne per la variabile x, ne per la y pero la soluzione e y(x) =1

1− xche e

non definita in x = 1, il suo dominio sarebbe ]−∞,1[∪]1,+∞[: poiche il punto del PC, (0,1), appartiene al

8.2. Equazioni a variabili separabili 77

primo dei due sottointervalli possiamo prolungare la soluzione solo su tutto il primo dei due sottointervalli

e quindi Dom(y) =]−∞,1[.

Il codominio della soluzione in questo caso si puo evincere dall’equazione differenziale: notiamo che la

soluzione non puo passare per l’asse x (y = 0) perche se passasse per l’asse x esisterebbe un punto per cui

y(x0) = 0. In tale punto la derivata prima sarebbe nulla (dall’equazione differenziale y2 si annulla per y = 0)

e quindi la soluzione dovrebbe essere costante e uguale a 0 (MA y(0) = 1) e cio e una contraddizione!

Questo sarebbe vero solo se il problema di Cauchy fosse y(x0) = 0 ma in questo caso l’unica soluzione

sarebbe quella nulla.

Necessariamente la soluzione non passa per 0 e quindi deve trovarsi sempre sopra o sempre sotto l’asse

x, in questo caso si trova sempre sopra perche y(0) = 1 e un punto in cui sta sopra l’asse x. Questo significa

che il Cod(y) e un sottoinsieme di ]0,+∞[ o e esattamente ]0,+∞[.

Il problema di Cauchy y′ =y−1

xy(0) = 1

non avra una soluzione definita per x = 0 (la funzioney−1

xe discontinua in x = 0 e non verifica le ipotesi

del Teorema 8.1). D’altra parte l’unica soluzione del problema e y(x) = 1− x che sarebbe definita su tutto

R ma se consideriamo che il codominio di y deve essere un sottoinsieme di ]−∞,1[ (dopo aver osservato

che y− 1 si annulla in 1 e che la soluzione deve passare per (0,1)) non e possibile prolungare il dominio

della soluzione oltre x = 0 e quindi il dominio massimale sara ]−∞,0[.

8.2 Equazioni a variabili separabili

Vediamo ora come risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali partendo dai casi piu semplici in cui si

possono separare le variabili, ovvero l’equazione differenziale e della forma:

y′(x) = a(x) ·b(y(x)) (8.4)

in cui, nei valori per cui b(y) 6= 0, si puo scriverey′

b(y)= a(x). Ad esempio l’equazione y′ = x2(y2+1) e

a variabili separabili mentre per l’equazione y′ =y+ xy2− x

non c’e modo di separare le variabili con semplici

passaggi algebrici.

I problemi di Cauchy a variabili separabili si risolvono, dopo aver separato le variabili, integrando ambo

i membri e infine ricavando, se possibile, una espressione esplicita per la y(x):

y′(x) = a(x) ·b(y(x))

y(x0) = y0

⇒∫ y

y0

dtb(t)

=∫ x

x0

a(s)ds (8.5)

Example 8.2. y′(x) = 2x(1+ y2)

y(0) = 0⇒

∫ y

0

dt1+ t2 =

∫ x

02sds

⇒ arctan(y) = x2 ⇒ y = tan(x2)


Non e sempre possibile ricavare esplicitamente una espressione per y(x) ma l’esistenza e l’unicita della

soluzione e assicurata sempre se vengono rispettate le condizioni del Teorema 8.1.

8.3 Equazioni differenziali lineari

Per equazioni differenziali lineari si intendono le equazioni differenziali lineari rispetto alla y(x), cioe y(x)

deve comparire nell’equazione differenziale come polinomio al piu di grado 1, sono cioe della forma:

y′(x) = a(x)y(x)+b(x) (8.6)

y′ = x2y+ log(x) e lineare non a variabili separabili; y′ = yx+ x e sia lineare che a variabili separabili;

y′ = y2ex +1 non e ne lineare ne a variabili separabili.

Le equazioni lineari godono di un indiscutibile vantaggio: se a(x) e b(x) sono funzioni continue su tutto

R anche la soluzione dell’equazione differenziale e definita su tutto R.

La soluzione di un PC lineare e data dalla seguente formula (che non dimostreremo in questi appunti): y′(x) = a(x)y(x)+b(x)

y(x0) = y0

⇒ (8.7)

y(x) = e∫ x

x0a(t)dt

(y0 +

∫ x

x0

b(t)e−∫ t

x0a(s)dsdt

)(8.8)

Example 8.3. y′ = 2x1+x2 y+1

y(0) = 0

Si applica la formula:

y = e∫ x

02t

1+t2dt(

0+∫ x

01 · e−

∫ t0

2s1+s2 dsdt

)= elog(1+x2)

(∫ x

0e− log(1+t2)dt

)=

= (1+ x2)∫ x

0

11+ t2 dt = (1+ x2)arctan(x)

8.4 Equazioni riconducibile alle variabili separabili mediante la so-

stituzione

y(x) = u(x) ·x

y′ =− 1x2 (xy+ y2)

y(−1) = 1

L’equazione non e a variabili separabili ma operando con la sostituzione y(x) = u(x)x ci si puo ricon-

durre a tale forma:

8.5. Studio qualitativo di un’equazione differenziale 79

y′ =− 1x2 (xy+ y2) ⇒ (xu)′ =− 1

x2 (x(xu)+(xu)2) ⇒ u+ xu′ =− 1x2 (x

2u+ x2u2)

⇒ xu′ =−u−u2−u ⇒ u′ =−u2 +2ux

Ora l’equazione e a variabili separabili, il P.C. diventa:

y(−1) = 1 ⇒ (−1) ·u(−1) = 1 ⇒ u(−1) =−1

e u′ =− u2+2ux

u(−1) =−1

Poiche u si annulla in 0 e −2 e il P.C. e u(−1) =−1 la soluzione u ∈]−2,0[.

Risolvendolo:

u′

u2 +2u=−1

x⇒

∫ u

−1

dtt(t +2)

=∫ x

−1−1

sds ⇒

∫ u

−1

(12

1t− 1

21

t +2

)dt =

[log |s|

]x

−1

⇒[

12

log |t|− 12

log |t +2|]u

−1= log |x| ⇒

[12

log|t||t +2|

]u

−1= log |x|

In un intorno del punto (−1,−1): u < 0, u+2 > 0, x < 0. Posso togliere quindi i valori assoluti facendo

attenzione ai segni:

log(−u

u+2

)= 2log(−x) ⇒ −u

u+2= x2 ⇒ u =− 2x2

1+ x2 ⇒ y =− 2x1+ x2

La soluzione trovata verifica il P.C. ed e prolungabile su tutto R.

8.5 Studio qualitativo di un’equazione differenziale

Dato il seguente P.C.

y′ = 4− y2

y(0) = 0

Sapendo che la soluzione e unica, continua e prolungabile su tutto R:

1. Determinare la parte di grafico dove e definita la soluzione

2. Dimostrare che la funzione e dispari

3. Studiare la monotonıa della soluzione

4. Calcolare i limiti per x→±∞


5. Calcolare la derivata seconda in funzione di y

6. Determinare la presenza di flessi e se possibile calcolarli

7. Disegnarne un grafico qualitativo

Soluzione

1. 4−y2 =(2−y)(2+y) quindi le soluzioni stazionarie sono y=±2. Nessuna delle due risolve y(0)= 0

quindi y ∈]−∞,−2[∪ ]−2,2]∪ ]2,+∞[. Poiche y(0) = 0, y ∈ ]−2,2[.

2. La funzione e dispari se y(x) = −y(−x) e quindi se −y(−x) e essa stessa soluzione: y(0) = 0 e

verificato inoltre,

(−y(−x))′ = 4− (−y(−x))2 ⇒ y′(−x) = 4− y2(−x)

poiche risolve lo stesso P.C. e la soluzione e unica, la funzione y(x) e dispari.

3. Poiche y ∈ ]−2,2[, l’espressione 4−y2 e sempre positiva, ed essendo la derivata di y(x) indica che la

funzione y(x) e sempre crescente.

4. La funzione e sempre crescente e limitata quindi i limiti esistono. Essendo dispari basta trovare il

limite a +∞: sapendo che y′ = 4− y2 se limx→+∞ y(x) = l < 2 allora limx→+∞ y′(x) = 4− l2 > 0 e

la funzione crescerebbe all’infinito in modo lineare (avrebbe un asintoto obliquo). Questo non puo

accadere perche y(x) e limitata pertanto la y′ deve tendere a 0. L’unico modo affinche cio accada e

che y(x) tenda a 2, quindi limx→+∞ y(x) = 2 e per simmetria, limx→−∞ y(x) =−2.

5.

y′ = 4− y2 ⇒ y′′ =−2yy′ =−2y(4− y2)

6. Essendo y′′ =−2y(4−y2) e −2 < y < 2, la derivata seconda e positiva solo quando y < 0 e negativa

quando y > 0. La funzione e dispari e y(0) = 0 quindi se y < 0 anche x < 0 e viceversa. La funzione

e pertanto convessa per x < 0 e concava per x > 0. (0,0) e un flesso obliquo (in quel tratto la derivata

prima non si annulla).

7. Grafico

8.6. Equazione lineare del II ordine a coefficienti costanti 81

8.6 Equazione lineare del II ordine a coefficienti costanti

Risolvere il Problema di Cauchy:

y′′−4y′+4y = xe3x

y(0) = 1

y′(0) = 0

Cerchiamo prima la soluzione della omogenea associata, il polinomio caratteristico e

λ2−4λ +4 ⇒ (λ −2)2

le cui soluzioni sono coincidenti λ = 2 e quindi si cerca una soluzione del tipo:

c1xe2x + c2e2x

Ora cerchiamo la soluzione particolare nella forma (ax+b)e3x:

y′′−4y′+4y = ((ax+b)e3x)′′−4((ax+b)e3x)′+4((ax+b)e3x) = · · ·= e3x(ax+2a+b)

Per cui:

e3x(ax+2a+b) = xe3x ⇒ a = 1, b =−2

La soluzione generale del PC sara:

y(x) = c1xe2x + c2e2x + e3x(x−2)

Imponendo le condizioni iniziali del PC, c1 ·0 · e0 + c2e0−2e0 = 1

c1e0 +2c1 ·0 · e0 +2c2e0−6e0 + e0 = 0⇒

c2 = 3

c1 +2c2−5 = 0⇒ c1 =−1,c2 = 3

La soluzione generale e pertanto: −xe2x +3e2x + e3x(x−2).


9 Funzioni di due variabili reali

Le funzioni di due variabili reali sono funzioni in cui le variabili indipendenti sono due anziche una e la

variabile dipendente dipende da entrambe: z = f (x,y). x e y sono le variabili indipendenti mentre z e la

variabile dipendente. Generalizzare alle funzioni in n variabili non e cosı complicato, il passaggio piu

delicato consiste proprio nel passare da una a due variabili.

Le funzioni in piu variabili descrivono tantissimi fenomeni fisici, non solo le equazioni del moto in

tre dimensioni ma anche ad esempio la famosa legge dei gas in cui la pressione dipende da due variabili,

temperatura e volume del gas: P(T,V ) = kTV

.

Anzitutto il dominio della funzione non e piu un sottoinsieme della retta reale bensı un sottoinsieme del

piano cartesiano R2, ad esempio la funzione f (x,y) =√

y− x2 + ln(x− y) ha come dominio tutti i punti

del piano che stanno al di sotto della retta y = x (esclusa la retta stessa) e nella parte della parabola y = x2

che contiene il fuoco: in definitiva Dom( f ) = {(x,y) ∈R2 : y≥ x2∧y < x}. Si tratta pertanto di un insieme

limitato.

Poiche una funzione in due variabili e una superficie definita nello spazio R3 risulta difficile farne un

grafico. Cio che possiamo graficare sul piano cartesiano sono le curve di livello di tale superficie cioe

quelle curve che uniscono tutti i punti alla stessa altezza, cioe tutti i punti che hanno la stessa immagine. Le

curve di livello sono come le isoipse utilizzate in cartografia che uniscono tutti i punti con la stessa quota o

le isobare utilizzate in meteorologia che uniscono tutti i punti con la stessa pressione.

Una curva di livello e descritta sul piano cartesiano dall’equazione f (x,y) = k con k costante reale; tale

curva non e necessariamente il grafico di una funzione in una variabile.

Example 9.1. Le curve di livello della funzione f (x,y) = x2 + y2 sono tutte le curve del tipo x2 + y2 = k

con k ≥ 0 (altrimenti non esisterebbero) cioe tutte le circonferenze con centro l’origine e raggio√

k. Sono

tutte le curve di livello di un paraboloide tridimensionale.

Nel caso di funzioni di due variabili tratteremo sempre funzioni continue e infinite volte derivabili e

di queste ci limiteremo a cercare massimi e minimi locali. Occorre pero precisare cosa significa per una

funzione f (x,y) essere continua e derivabile.

Limiti e continuita

La continuita in un punto (x0,y0) per una funzione f (x,y) si puo definire allo stesso modo che per le

funzioni in una variabili cioe una funzione e continua in (x0,y0) se lim(x,y)→(x0,y0)

f (x,y) = f (x0,y0). La

83


cosa piu difficile e pero stabilire se il limite di tale funzione in quel punto esiste. Mentre per le funzioni

in una variabile potevamo avvicinarci al punto solo in due direzioni possibili, da sinistra o da destra, in

due variabili possiamo avvicinarci da infinite direzioni, non necessariamente lungo linee rette ma anche

lungo altre curve. Se anche una solo di tale direzioni porta ad un limite diverso da tutti gli altri significa

che il limite non esiste. E’ piu facile quindi dimostrare che un limite non esiste piuttosto che dimostrare

che esiste. Non ci soffermeremo troppo su questo punto ma giusto per fare un esempio consideriamo la

funzione f (x,y) =x2

x2 + y2 : se ci avviciniamo al punto di accumulazione (0,0) lungo la direzione dell’asse

x, (retta y=0), il limite e 0 perche la funzione e sempre nulla su tale retta. Se invece ci avviciniamo lungo

la direzione della bisettrice y = x, f (x,y) =x2

x2 + x2 =12

e quindi anche il limite sara12

. I due limiti sono

diversi e quindi non esiste il lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2 .

Soffermiamoci sulle funzioni continue per le quali tra l’altro vale il teorema di Weierstrass generaliz-

zato: se f : D→ R e definita su un insieme D ∈ R2 chiuso e limitato, allora la funzione f (x,y) ammette

sempre massimo e minimo assoluto in D.

9.1 Massimi e minimi locali

La definizione di massimo e minimo locale in due variabili e sostanzialmente analoga alla definizione in

una sola variabile. Se f : A→ R e una funzione continua e derivabile di R2 allora (x0,y0) ∈ A e una punto

di minimo locale se ∀(x,y) ∈ Br(x0,y0) intorno aperto1 di raggio r centrato in (x0,y0), f (x,y)≥ f (x0,y0).

Analogamente un punto e di massimo locale ∀(x,y) ∈ Br(x0,y0) intorno aperto di raggio r centrato in

(x0,y0), f (x,y)≤ f (x0,y0).

Per le funzioni di due o piu variabili si possono pero avere punti che risultano essere dei massimi se

percorriamo la superficie lunga una certa direzione e dei minimi se la percorriamo lungo un altra direzione.

Tali punti si definiscono punti sella ed hanno la seguente caratteristica: (x0,y0) ∈ A e una punto di sella se

∀(x,y) ∈ Br(x0,y0) intorno aperto di raggio r centrato in (x0,y0), f (x,y) e sempre sia maggiore che minore

di f (x0,y0). Il nome di sella viene dalla figura della sella di un cavallo che di fatto non e ne un massimo ne

un minimo.

Abbiamo citato i punti sella perche come i massimi e i minimi locale hanno un piano tangente2

orizzontale.

In tutti i casi, massimi, minimi e punti sella sono considerati punti critici o stazionari per le funzioni di

due variabili. Ma come si individuano e si classificano i punti critici?

Derivate parziali

Come per le funzioni in una variabile i punti critici hanno a che fare con le derivate prime della funzione. In

questo caso bisogna definire cos’e la derivata di una funzione visto che abbiamo due variabili. E’ naturale

1Un intorno di un punto sul piano cartesiano e un disco aperto di raggio r arbitrariamente piccolo centrato nel punto stesso. Se si

parla di un punto in Rn l’intorno sara una sfera piena senza bordo di dimensione n2Per le funzioni di due variabili non ha senso parlare di retta tangente ma di piano tangente.

9.1. Massimi e minimi locali 85

definire le cosiddette derivate parziali, ovvero le derivate rispetto ad una delle due variabili mentre conside-

riamo l’altra una costante. Se f (x,y) e una funzione derivabile in (x0,y0) si definiscono le derivate parziali

rispetto a x e y:

fx(x0,y0) = limh→0

f (x0 +h,y0)− f (x0,y0)

h(9.1)

fy = limh→0

f (x0,y0 +h)− f (x0,y0)

h(9.2)

Si tratta quindi di due derivate parziali e cioe di un vettore di derivate parziali che viene chiamato

gradiente di f e si indica ∇( f ) = ( fx, fy). Come per le funzioni di una variabile i punti stazionari sono

quelli che annullano il gradiente.

Example 9.2. Consideriamo la funzione f (x,y) = x3 + y3−3xy che essendo un polinomio in due variabili

e sicuramente continua e infinite volte derivabile.

∇ f = (3x2−3y,3y2−3x) = (0,0) ⇒

x2− y = 0

y2− x = 0

Dal sistema impostato si ricavano i punti critici che sono (0,0) e (1,1). Ora pero occorre classificarli...

Per la classificazione dei punti critici ci occorre la derivata seconda della funzione, anzi LE derivate

seconde... Prima di vedere le derivate parziali del secondo ordine vediamo qual e l’equazione del piano

tangente in un qualsiasi punto della funzione. Analogamente alla retta tangente per le funzioni di una

variabile, il piano tangente di una funzione f (x,y) in (x0,y0) e dato da

z− f (x0,y0) = fx(x0,y0)(x− x0)+ fy(x0,y0)(y− y0) (9.3)

Matrice Hessiana

Analogamente al caso di una variabile le derivate seconde ci forniscono informazioni utili per la classifica-

zione dei punti critici in due variabili. Le derivate seconde pero sono 4 perche posso derivare le derivate

prima ognuna in due modi, rispetto a x e rispetto a y, quindi avremo: fxx, fxy, fyx, f yy. Se sono verificate

alcune condizioni il calcolo puo essere piu semplice:

Theorem 9.3 (di Schwarz). Se f (x,y) : A→ R e una funzione differenziabile con derivate seconde miste

( fxy e fyx) continue, allora fxy = fyx.

Le derivate seconde possono essere scritte in una tabella quadrata 2×2 detta matrice come mostrato di

seguito:

H f =

fxx fxy

fyx fyy

(9.4)

Tale matrice e detta matrice Hessiana di f . Se vale il teorema di Schwarz gli elementi (1,2) e (2,1) sono

uguali.

Pur non avendo parlato di algebra lineare definiamo in generale cos’e il determinante di una matrice

2×2 perche ci servira per la classificazione dei punti critici.


Definition 9.4. Data una matrice a valori reali A =

a b

c d

si definisce determinante la funzione

det(A) = |A|= ad−bc (9.5)

Nel caso della matrice Hessiana con derivate miste uguali, det(H f ) = fxx fyy− f 2xy.

Theorem 9.5. Sia f : A→ R una funzione di due variabili con derivate seconde continue e sia (x0,y0) un

suo punto stazionario.

• Se det(H f )(x0,y0)< 0 allora (x0,y0) e un punto sella.

• Se det(H f )(x0,y0)> 0 e fxx > 0 allora (x0,y0) e un minimo locale.

• Se det(H f )(x0,y0)> 0 e fxx < 0 allora (x0,y0) e un massimo locale.

In tutti gli altri casi le informazioni non sono sufficienti.

Example 9.6. Sia f (x,y) = 2y3 + x3−3y2−3x. Individuare e classificare i punti critici.

∇ f = (3x2−3,6y2−6y) = (0,0) ⇒

3x2−3 = 0

6y2−6y = 0

Si ottengono 4 punti critici: (−1,0), (−1,1), (1,0), (1,1).

H f =

6x 0

0 12y−6

Se la calcoliamo nei punti critici otteniamo:

det(H f (−1,0)) = det

−6 0

0 −6

= 36 > 0 fxx < 0 ⇒ massimo locale

det(H f (−1,1)) = det

−6 0

0 6

=−36 < 0 ⇒ sella

det(H f (1,0)) = det

6 0

0 −6

=−36 < 0 ⇒ sella

det(H f (1,1)) = det

6 0

0 6

= 36 > 0 fxx > 0 ⇒ minimo locale

9.2 Analisi delle curve di livello

come abbiamo visto in precedenza le curve di livello sono curve del piano cartesiano che rappresentano la

quota della funzione nello spazio tridimensionale. Tali curve possono essere studiate sul piano cartesiano

grazie alle derivate parziali che ci permettono, non solo di capire quali sono i tratti della curva che po-

trebbero essere esplicitati come funzioni ma anche di calcolare la derivata di tale funzione esplicita (senza

nemmeno saperne la sua espressione algebrica!). Ci viene in auto in questo caso il seguente teorema delle

funzioni implicite (rivisitato e reso piu semplice):

9.2. Analisi delle curve di livello 87

Theorem 9.7 (di Dini). Siano f : A→R 2 una funzione C1(A) e (x0,y0)∈A e tale che fy(x0,y0) 6= 0. Allora

esistono un intorno U di x0, un intorno V di y0 e una funzione g(x) : U → V C1(U) tale che l’equazione

implicita f (x,y) = f (x0,y0) si puo esplicitare con y = g(x). Inoltre

g′(x) =− fx(x,yfy(x,y)

(9.6)

tenendo presente che ora y diventa funzione di x.

Il Teorema di Dini ci dice che se la derivata parziale rispetto a y non si annulla nel punto che stiamo

analizzando, la curva di livello si puo esplicitare in un intorno di quel punto e ci fornisce una formula per

il calcolo della derivata senza necessariamente sapere quanto vale tale funzione esplicita. Il discorso fatto

sulla y puo essere fatto sulla x in tal caso troveremmo una funzione x(y). Vediamo un possibile esempio:

Example 9.8. Sia f (x,y) = 3x2 +2xy+ y2. Si consideri la curva di livello 6.

1. Determinare per quali punti del piano xy essa non puo essere espressa come grafico di una funzione.

2. Calcolare gli estremanti della curva di livello e classificarli.

3. Calcolare la retta tangente alla curva nel punto (1,1).

4. Determinare y′(1) e y′′(1) nel punto di tangenza.

1. Il teorema di Dini e valido se ∂ f∂y 6= 0 e quindi se

2x+2y 6= 0 ⇒ y 6=−x

Sostituendo nella curva di livello si ottiene

3x2−2x2 + x2 = 6 ⇒ x =±√

3

quindi i punti in cui la funzione non e esplicitabile sono (√

3,−√

3) e (−√

3,√

3).

2. Nei punti in cui vale Dini si puo esplicitare y e scrivere la sua derivata prima sotto forma di equazione

differenziale:

y′(x) =−∂ f∂x∂ f∂y

=−6x+2y2x+2y

I punti che annullano il numeratore sono gli estremanti relativi

6x+2y = 0 ⇒ y =−3x

Sostituendo nella curva di livello

3x2−6x2 +9x2 = 6 ⇒ x =±1

quindi i punti in cui la funzione non e esplicitabile sono (1,−3) e (−1,3). Calcolando y′′(x) si

possono classificare (ricordare che ora y e funzione di x, y(x)):

y′′(x) =− (6+2y′)(2x+2y)− (2+2y′)(6x+2y)(2x+2y)2


Ricordando che negli estremanti y′(x) = 0, possiamo calcolare

y′′(1) =−6(2+2(−3))−2(6+2(−3))(2+2(−3))2 =

32> 0 ⇒ minimo

y′′(−1) =−6(−2+2(3))−2(−6+2(3))(−2+2(3))2 =−3

2< 0 ⇒ massimo

(Il massimo e il minimo sono anche assoluti perche la curva di livello e un insieme compatto di R2,

la curva e un’ellisse con assi di simmetria obliqui rispetto agli assi cartesiani, provate a disegnarla.)

3. Abbiamo gia calcolate y′(x) con il Teorema di Dini e il punto (1,1) verifica le ipotesi del teorema e

appartiene alla curva di livello. Attenzione! Ci riferiamo al punto (1,1) e non all’estremante (1,−3)

quindi l’espressione di y′(1) non sara la stessa del punto precedente:

y′(x) =−6x+2y2x+2y

⇒ y′(1) =−2

La retta tangente ha coefficiente angolare −2, il termine noto si calcola imponendo il passaggio per

(1,1) e si ottiene y =−2x+3

4. y′(1) =−2 gia calcolato. Per trovare y′′(1) riprendiamo la derivata seconda:

y′′(x) =− (6+2y′)(2x+2y)− (2+2y′)(6x+2y)(2x+2y)2

⇒ y′′(1) =− (6+2(−2))(2+2)− (2+2(−2))(6+2)(2+2)2 =−3

2

10 Numeri complessi

10.1 Rappresentazione cartesiana

Il campo dei numeri complessi C e un’estensione del campo reale in cui ad esempio e possibile risolvere

equazioni del tipo x2 +1 = 0.

Un numero complesso z ∈ C puo essere scritto in forma cartesiana nel modo seguente:

z = a+ ib i unita immaginaria tale che i2 =−1

dove a rappresenta la parte reale e b la parte immaginaria del numero complesso. Si scrive

ℜ(z) = a ℑ(z) = b

La parte reale e immaginaria di un numero z ∈ C sono entrambi numeri reali.

La forma cartesiana dei numeri complessi e molto comoda perche permette di operare con essi (cioe ese-

guire operazioni) utilizzando le usuali proprieta delle operazioni, con l’avvertenza di ricordare che i2 =−1.

L’insieme dei numeri complessi e infatti un campo: in esso cioe sono definite una operazione di addizione

e una di moltiplicazione per le quali valgono proprieta come l’associativita, la commutativita, l’esistenza

dell’elemento neutro... Non si tratta pero di un campo ordinato: non ha senso chiedersi se un numero

complesso e piu grande o piu piccolo di un altro, non ha senso dunque scrivere z1 < z2.

Un numero complesso z = a+ ib puo essere rappresentato su un piano cartesiano in cui sull’asse delle

ascisse poniamo la parte reale a, sulle ordinate la parte immaginaria b come nell’esempio della figura sopra.

Questo piano viene chiamato piano di Argand-Gauss.

Definition 10.1. Il modulo di un numero complesso z = a+ ib e definito come

|z|=√

a2 +b2

e rappresenta la distanza del punto dall’origine calcolata con l’usuale formula di geometria analitica

ricavata dal Teorema di Pitagora.

Proprieta:

• Se z e un numero reale, ad esempio z = a, il suo modulo non e altro che il valore assoluto |z|= |a|.

• Il modulo di un numero complesso e sempre un numero reale positivo, ed e nullo se e solo se z = 0

|z| ∈ R, |z| ≥ 0 ∀z ∈ C e |z|= 0 ⇔ z = 0

89

90 Numeri complessi

• Il modulo del prodotto tra due numeri complessi e il prodotto dei moduli:

|z ·w|= |z| · |w| ∀z,w ∈ C

Definition 10.2. Si chiama complesso coniugato di un numero z = a+ ib ∈ C il numero z = a− ib, cioe il

numero con la stessa parte reale e la parte immaginaria cambiata di segno.

Alcune proprieta interessanti

La somma di un numero col suo coniugato da come risultato 2 volte la parte reale:

z+ z = 2ℜ(z) ∀z ∈ C

La differenza tra un numero e il suo coniugato da come risultato 2 volte la parte immaginaria moltiplicata

per i:

z− z = 2iℑ(z) ∀z ∈ C

Il prodotto tra un numero e il suo coniugato da come risultato il quadrato del modulo:

zz = |z|2 ∀z ∈ C

Il campo C gode anche di unaproprieta che non ha R: ogni polinomio di grado n ammette sempre n

radici complesse eventualmente coincidenti.

Questo fatto e una conseguenza del Teorema fondamentale dell’algebra. Ogni polinomio non costante

a coefficienti complessi ammette sempre una radice complessa. Un’equazione di secondo grado ha quindi

sempre due soluzioni in C.

Si noti che la radice complessa puo avere parte immaginaria nulla ed essere quindi un numero reale.

Vale inoltre il fatto seguente: se un numero complesso e soluzione di un’equazione a coefficienti reali,

allora lo e anche il suo complesso coniugato.

Example 10.3. Risolvere in C l’equazione x2 + x+1 = 0

Si tratta di un’equazione a coefficienti reali, utilizziamo dunque la formula per la risoluzione di un’equa-

zione di secondo grado:

x1,2 =−1±

√1−4

2=−1±

√3 i

2⇒ x1 =−

12− i

√3

2x2 =−

12+ i

√3

2

L’equazione ha due soluzioni complesse coniugate.

La ben nota formula risolutiva delle equazioni di secondo grado che abbiamo utilizzato e valida anche

quando l’equazione e a coefficienti complessi, ma il calcolo effettivo puo essere abbastanza complicato.

10.2 Rappresentazione polare o trigonometrica

Ogni punto sul piano cartesiano puo essere rappresentato con le due coordinate cartesiane x e y che sul

piano di Gauss sono parte reale e parte immaginaria del numero complesso. A volte puo facilitare le cose

l’utilizzo di un altro tipo di coordinate.

10.2. Rappresentazione polare o trigonometrica 91

• la sua distanza dall’origine,

• l’angolo che forma l’asse x con la semiretta uscente dall’origine passante per il punto.

Attenzione si parla di angoli orientati e l’orientamento fissato e quello antiorario. Questo angolo e uni-

vocamente determinato dal punto di vista geometrico, ma la sua misura non e univocamente determinata

perche possiamo sommare (o sottrarre) 2π o un suo multiplo intero. Si parla di diverse determinazioni

dell’argomento.

La distanza dall’origine di un numero z = a+ ib non e altro che il modulo che indichiamo con r (si

chiama anche raggio perche identifica tutti i punti che sono alla stessa distanza dall’origine cioe su una

circonferenza di raggio r) mentre l’argomento e l’angolo α formato dal raggio vettore e definito da

α = argz = arctan ba a > 0

α = argz = arctan ba +π a < 0

α = argz = π

2 a = 0,b > 0

α = argz =−π

2 a = 0,b < 0

La distinzione tra a positivi e negativi e dovuta al fatto che la funzione tangente ha periodo π e quindi, senza

questa distinzione, si otterrebbero due numeri con lo stesso argomento.

Dalla forma polare o trigonometrica e facile tornare a quella cartesiana mediante le formule: x = r cosα

y = r sinα

per cui un numero z = a+ ib si puo scrivere nella forma

r(cosα + isinα)

oppure z = reiα con eiα = cosα + isinα (forma esponenziale).

Example 10.4. Trasformare dalla forma cartesiana a quella polare il numero complesso −7√

33

+73

i

r =

∣∣∣∣∣−7√

33

+73

i

∣∣∣∣∣=√

493

+499

=

√1969

=143

arg

(−7√

33

+73

i

)= arctan

(73

− 7√

33

)+π = arctan

(−√

33

)+π =(∗) −π

6+π =

56

π

⇒ −7√

33

+73

i =143

(cos(

56

π

)+ isin

(56

π

))=

143

ei 56 π

Le operazioni in forma polare

Con numeri complessi in forma trigonometrica e piu facile eseguire le operazioni di moltiplicazione,

divisione ed elevamento a potenza.

Dati due numeri complessi z = reiα e w = seiβ , s 6= 0,

92 Numeri complessi

• il prodotto di due numeri complessi ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la

somma degli argomenti:

z ·w = rsei(α+β )

• il rapporto di due numeri complessi ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la

differenza degli argomenti:

zw

=rs

ei(α−β )

• come conseguenza della formula per il prodotto, l’elevamento all’n-esima potenza e dato da:

zn = rneinα

Example 10.5. Dato z = ei π4 determinare z8

1

z81 =

(1 · ei π

4

)8= 18e2iπ = 1

Da questo esempio si vede che la forma polare e molto pratica quando si deve elevare un numero ad una

potenza alta e che il numero z scelto e una radice ottava di 1 in campo complesso.

10.3 Le radici n-esime

E’ importante saper determinare le radici n-esime di un numero complesso e particolare rilevanza hanno in

C le radici n-esime dell’unita. Le radice n-esime di un numero complesso sono sempre n distinte.

Ad esempio,√

1 = ±1, 4√1 = ±1,±i. In questi casi e facile fare una verifica diretta, ma quali sono, ad

esempio, le soluzioni di 3√1?

Sono i tre numeri complessi: 1, −12+

√3

2i, −1

2−√

32

i.

Provate ad elevare al cubo questi numeri per verificare che il risultato e 1.

Sul piano di Gauss essi sono i vertici di un triangolo equilatero, cosı come le radici quarte dell’unita sono i

vertici di un quadrato. In generale le radici n-esime dell’unita si dispongono come i vertici di un poligono

regolare di n lati inscritto nella circonferenza unitaria. Come si trovano analiticamente?

Example 10.6. Sia z ∈ C un numero tale che z3 = 1, determinare z.

Come sappiamo dal Teorema fondamentale dell’algebra, l’equazione z3 = 1 ha tre soluzioni complesse. Si

tratta quindi di trovare 3 numeri che elevati alla terza potenza danno 1. Per prima cosa scriviamo il numero

in forma polare:

1 = 1 · ei·0

Seguendo il ragionamento inverso dell’elevamento a potenza, dobbiamo trovare quel numero z il cui modulo

elevato alla terza restitusce 1 e il cui argomento moltiplicato per 3 da come risultato 0. Attenzione pero,

ricordiamoci il problema della determinazione dell’argomento. Infatti, r3 = 1

3α = 0+2kπ k ∈ Z⇒

r = 1

α = 2kπ

3 k ∈ Z(10.1)

10.3. Le radici n-esime 93

Tra tutti gli infiniti numeri (misure di angolo) ce ne sono esattamente 3 comprese tra 0 e 2π e sono quelli

che corrispondo a k = 0,1,2. Per k = 3 si ricomincia il giro e si ritrovano diverse determinazioni degli stessi

argomenti.

k 0 1 2

α 0 23 π

43 π

Le radici terze di 1 sono pertanto

z1 = ei·0 = 1

z2 = ei· 23 π =−12+

√3

2i

z3 = ei· 23 π =−12−√

32

i

94 Numeri complessi

Appendice

Tavola degli sviluppi di Maclaurin delle funzioni elementari

ex = 1+ x+ x2

2 + x3

6 + . . .+ xn

n! +o(xn)

ax = 1+ x ln(a)+ x2

2 ln2(a)+ x3

6 ln3(a)+ . . .+ xn

n! lnn(a)+o(xn)

sin(x) = x− x3

6 + x5

5! + . . .+ (−1)n

(2n+1)! x2n+1 +o(x2x+2)

cos(x) = 1− x2

2 + x4

4! + . . .+ (−1)n

(2n)! x2n +o(x2n+1)

tan(x) = x+ x3

3 + 215 x5 + 17

315 x7 + 622835 x9 +o(x10)

cot(x) = 1x −

x3 −

x3

45 −2x5

945 +o(x6)

sec(x) = 1+ x2

2 + 5x4

24 + 61x6

720 +o(x7)

csc(x) = 1x +

x6 +

7x3

360 +31x5

15120 +o(x6)

arcsin(x) = x+ 16 x3 + 3

40 x5 + . . .+ (2n)!4n·(n!)2·(2n+1)x2n+1 +o(x2n+2)

arccos(x) = π

2 − x− 16 x3− 3

40 x5− . . .− (2n)!4n·(n!)2·(2n+1)x2n+1 +o(x2n+2)

arctan(x) = x− x3

3 + x5

5 + . . .+ (−1)n

2n+1 x2n+1 +o(x2n+2)

11−x = 1+ x+ x2 + x3 + . . .+ xn +o(xn)

ln(1+ x) = x− x2

2 + x3

3 + . . .+ (−1)n+1

n xn +o(xn)

(1+ x)α = 1+αx+ α(α−1)2 x2 + α(α−1)(α−2)

6 x3 + . . .+(

α

n

)xn +o(xn)

(10.2)

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