Algebra1

La Spiga

Algebra 1

ISBN978-88-468-2630-5

Questo volume sprovvisto del talloncino a fianco è da considerarsi campione gratuito fuori commercio. AALLGGEEBBRRAA 11

€€ 77,,9900

www.laspigaedizioni.it

Algebra 1

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1Anna Calvi Gabriella Panzera

Algebra

Quaderno operativo

per il recupero e il consolidamento

La nuova collana di quaderni operativi per la Scuola Secondaria

di II grado è stata progettata per il recupero e il consolidamento

delle più importanti discipline scolastiche.

• Tutti i volumi presentano una spiegazione teorica sintetica che precede

l’ampia batteria di esercizi.

• La grafica è brillante e moderna e la trattazione degli argomenti è

corrispondente ai programmi svolti durante l’anno scolastico.

• Si possono quindi usare in aggiunta ai libri di testo o come compiti

per le vacanze estive.

QQUUAADDEERRNNOO OOPPEERRAATTIIVVOOGGEEOOMMEETTRRIIAA 22ISBN 9788846826336

QQUUAADDEERRNNOO OOPPEERRAATTIIVVOOGGEEOOMMEETTRRIIAA 11ISBN 9788846826329

QQUUAADDEERRNNOO OOPPEERRAATTIIVVOOCCHHIIMMIICCAAISBN 9788846828101

QQUUAADDEERRNNOO OOPPEERRAATTIIVVOOAALLGGEEBBRRAA 11ISBN 9788846826305

QQUUAADDEERRNNOO OOPPEERRAATTIIVVOOAALLGGEEBBRRAA 22ISBN 9788846826312

1

2

INDICE

PRESENTAZIONE ................................................................................................................................................................... 3

Sezione 0 • RipassoLezione 1 • Gli insiemi N e Z ................................................................................................................................................ 4

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 13Lezione 2 • L’insieme Q ....................................................................................................................................................... 15

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 27

Sezione 1 • Elementi di logica e algebra astrattaLezione 3 • La logica ............................................................................................................................................................ 28

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 36Lezione 4 • La teoria degli insiemi ..................................................................................................................................... 37

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 48Lezione 5 • Le relazioni e le funzioni ................................................................................................................................ 49

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 64

Sezione 2 • Calcolo letteraleLezione 6 • Dal numero alle lettere ................................................................................................................................... 65

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 73Lezione 7 • Operazioni con i monomi ............................................................................................................................... 74

Autovalutazione ................................................................................................................................................ 82Lezione 8 • Operazioni con i polinomi .............................................................................................................................. 83

Autovalutazione .............................................................................................................................................. 103Lezione 9 • La scomposizione di un polinomio in fattori ............................................................................................. 104

Autovalutazione .............................................................................................................................................. 118Lezione 10 • MCD e mcm nel calcolo letterale ................................................................................................................ 119

Autovalutazione .............................................................................................................................................. 122Lezione 11 • Le frazioni algebriche ................................................................................................................................... 123

Autovalutazione .............................................................................................................................................. 132

Sezione 3 • Equazioni e disequazioniLezione 12 • Le equazioni e i problemi di primo grado .................................................................................................. 133

Autovalutazione 1 ........................................................................................................................................... 147Autovalutazione 2 ........................................................................................................................................... 148

Lezione 13 • Le disequazioni .............................................................................................................................................. 149Autovalutazione .............................................................................................................................................. 156

Sezione 4 • SistemiLezione 14 • I sistemi di equazioni .................................................................................................................................... 157

Autovalutazione .............................................................................................................................................. 171Lezione 15 • I sistemi di disequazioni ............................................................................................................................... 172

Autovalutazione .............................................................................................................................................. 177

SOLUZIONI ........................................................................................................................................................................... 178

Anna CalviGabriella PanzeraQuaderno operativo Algebra 1

Coordinamento editorialeBeatrice Loreti

RedazioneNiccolò Terzi

Art DirectorMarco Mercatali

Responsabile di produzioneFrancesco Capitano

Progetto grafico e impaginazioneCarlo Mella

CopertinaStudio Airone

La casa editrice La Spiga e l’ambienteLa casa editrice La Spiga usa carta certificataFSC per tutte le sue pubblicazioni.È un’importante scelta etica, poiché vogliamoinvestire nel futuro di chi sceglie ed utilizza inostri libri sia con la qualità dei nostri prodottisia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda.Un piccolo gesto che per noi ha un fortesignificato simbolico.Il marchio FSC certifica che la carta usata per larealizzazione dei volumi ha una provenienzacontrollata e che le foreste sono state sottrattealla distruzione e gestite in modo corretto.

Stampato in Italia pressoGrafiche Flaminia – Foligno 10.83.080.0

ISBN 978-88-468-2630-5

Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totaleo parziale così come la suatrasmissione sotto qualsiasiforma o con qualunque mezzosenza previa autorizzazionescritta da parte dell’editore.

© 2010 ELi – La SpigaVia Soperga, 2 – MilanoTel. [email protected]

ELiVia Brecce – Loreto Tel. [email protected]

3

PRESENTAZIONE

Questi quaderni operativi non sono stati pensati come puroeserciziario, ma si propongono di affiancare lo studentecome guida e aiuto nello studio quotidiano e come strumen-to di recupero per quelle nozioni fondamentali di matemati-ca del biennio della Scuola Secondaria di Secondo Gradonelle quali risultasse carente.

I quaderni nascono con due finalità:

• supporto didattico durante l’anno scolastico per glialunni che vogliono integrare le attività proposte daltesto con altri esercizi e per gli alunni che necessitanodi un recupero, grazie ai numerosi problemi ed esercizicompletamente svolti per chiarire eventuali dubbi;

• eserciziario da utilizzare durante le vacanze estive, uti-lizzabile in maniera autonoma rispetto al libro di testograzie alle schede di ripasso della teoria e alla nutritabatteria di esercizi.

La collana si compone di due volumi di algebra, uno di geo-metria piana e uno di geometria solida.

Ciascun testo è articolato in sezioni a loro volta suddivise inlezioni; ciascuna lezione si apre con un promemoria in cuiè possibile trovare una sintesi schematica, ma completa,della teoria relativa all’argomento trattato cui fa seguito laparte operativa che comprende esercizi relativi alle cono-scenze ed esercizi per verificare le abilità.

Sono presenti numerosi esercizi svolti ed esercizi guidatiche esemplificano tutte le tipologie di quesiti e problemi cheil ragazzo si trova a dover affrontare nel corso del bienniosuperiore.

Ogni esercizio proposto è completato dalla relativa soluzione(o alla fine dell’esercizio o nelle pagine finali del volume) perpermettere allo studente un controllo del proprio lavoro.

Ciascuna lezione si chiude con esercizi raccolti in una sche-da di autovalutazione per dar modo allo studente di verifi-care il raggiungimento della preparazione sulla tematicaaffrontata.

4

Gli insiemi �� e ��1 Gli insiemi �� e ��

RipassoSezione 0

1LEZIONE

PROMEMORIA

L’insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, …} è infinito.

I numeri naturali hanno un ordine e si possono rappresentare su una semiretta orientata.

• • • • • • • • •0 1 2 3 4 5 6

L’insieme dei numeri interi preceduti dal segno + o − è l’insieme dei numeri interi relativiZ = {… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} e può essere rappresentato su una retta orientata.

• • • • • • • • • •−3 −2 −1 0 1 2 3 4

Il valore assoluto di un numero intero relativo è il numero stesso privato del segno:

| −3 | = | +3 | = 3

Numeri interi relativi concordi hanno lo stesso segno: +3; +5.Numeri interi relativi discordi hanno segno diverso: +3; −5.Numeri interi relativi opposti hanno stesso modulo e segno diverso: +3; −3.

Operazioni negli insiemi N e Z

invariantiva: a : b = (a . n) : (b . n){ a : b = (a : n) : (b : n)

distributiva: { (a + b) : c = a : c + b : c(a – b) : c = a : c – b : c

Divisione

10 : 2 = 5 Insieme N(+10) : (+2) = +5 Insieme Z(+10) : (−2) = −5 Insieme Z(−10) : (−2) = +5 Insieme Z

commutativa: a . b = b . a

associativa: (a . b) . c = a . (b . c)

distributiva: { (a + b) . c = a . c + b . c(a – b) . c = a . c – b . c

elemento neutro: a . 1 = 1 . a = a

elemento annullatore: a . 0 = b . 0 = 0

Moltiplicazione

3 . 2 = 6 Insieme N(+3) . (+2) = +6 Insieme Z(+3) . (−2) = −6 Insieme Z(−3) . (−2) = +6 Insieme Z

invariantiva:a − b = (a + n) – (b + n){ a − b = (a − n) − (b − n)

Sottrazione

5 − 2 = 3 Insieme N+5 − 9 = −4 Insieme Z

commutativa: a + b = b + a

associativa: (a + b) + c = a + (b + c)elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a

Addizione

3 + 2 = 5 Insieme N+3 + 2 = +5 Insieme Z

PROPRIETÀOPERAZIONE

Lezione 1 Gli insiemi � e �

5

PROMEMORIA

Un’espressione è una sequenza di operazioni da eseguire con le seguenti priorità:

• si eseguono i calcoli contenuti nelle parentesi tonde;

• si eseguono i calcoli contenuti nelle parentesi quadre;

• si eseguono i calcoli contenuti nelle parentesi graffe.

All’interno delle parentesi le priorità sono:

• applicazione delle proprietà delle potenze;

• sviluppo di singole potenze;

• calcolo di moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui si trovano;

• calcolo di addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui si trovano.

Criteri di divisibilità

• Un numero è divisibile per 2 se il numero è pari, ad esempio: 102, 48, 111 178.

• Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3, ad esempio:42 ⇒ 4 + 2 = 6 1347 ⇒ 1 + 3 + 4 + 7 = 15 .

• Un numero è divisibile per 5 se termina per 5 o per 0, ad esempio: 125, 420.

• Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la sommadelle cifre di posto dispari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11. Ad esempio:1210 ⇒ posto pari: 2 + 0 = 2 posto dispari: 1 + 1 = 2 ⇒ 2 – 2 = 03729 ⇒ posto pari: 7 + 9 = 16 posto dispari: 3 + 2 = 5 ⇒ 16 – 5 = 11

• Criterio generale di divisibilità: se un numero è divisibile per due o più numeri primi alloraè divisibile anche per il loro prodotto e viceversa.

Il massimo comun divisore (MCD) di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il prodottodei fattori comuni presi una sola volta con il minimo esponente.Esempio: MCD (45, 150) 45 = 32 . 5 150 = 3 . 52 . 2 MCD = 3 . 5 = 15

Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il prodottodei fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il maggior esponente.Esempio: mcm (45, 150) 45 = 32 . 5 150 = 3 . 52 . 2 mcm = 2 . 32 . 52 = 450

1n = 10n = 0 con n diverso da 0

Potenze particolari a1 = a con a diverso da 0a0 = 1 con a diverso da 000 non ha significato

prodotto di potenze di ugual base: am . an = am + n

quoziente di potenze di ugual base: am : an = am − n

potenza di potenza: (am)n = am .n

prodotto di potenze di ugual esponente: an . bn = (a . b)n

quoziente di potenze di ugual esponente: an : bn = (a : b)n

Potenze con esponente positivo

23 = 8 Insieme N(+2)3 = +8 Insieme Z(−2)3 = −8 Insieme Z(−2)2 = +4 Insieme Z(+2)2 = +4 Insieme Z

PROPRIETÀOPERAZIONE

ESERCIZI

6

Sezione 0 Ripasso

CONOSCENZE

Completa.

I termini di un’addizione si chiamano

.......................................................................

Il risultato di un’addizione si chiama

.......................................................................

I termini di una sottrazione si chiamano

.......................................................................

Il risultato di una sottrazione si chiama

.......................................................................

I termini di una moltiplicazione si chia-

mano ............................................................

Il risultato di una moltiplicazione si chia-

ma ................................................................

I termini di una divisione si chiamano

.......................................................................

Il risultato di una divisione si chiama

.......................................................................

Individua gli errori o le inesattezze e cor-reggili.

Si definisce “relativo” un numero prece-duto dal segno meno.

....................................................................

....................................................................

Due numeri discordi sono opposti.

....................................................................

....................................................................

Il valore assoluto di un numero relativo èil numero con il segno opposto.

....................................................................

....................................................................

Due numeri relativi sono concordi sehanno lo stesso valore assoluto.

....................................................................

....................................................................

Indica a quale proprietà si riferiscono i seguentienunciati.

La somma di tre o più addendi non cambiase a due di essi si sostituisce la loro somma.

CommutativaAssociativaDissociativaInvariantivaDistributiva

Aggiungendo o sottraendo uno stesso nume-ro a entrambi i termini di una sottrazione ladifferenza non cambia.


Il prodotto di due o più fattori non cambiacambiando l’ordine dei fattori.


Il prodotto (o il quoto) di un’addizione perun numero è uguale alla somma dei prodot-ti (o dei quoti) di ciascun termine dell’addi-zione per quel numero.


La somma di due o più addendi non cambiase a uno di essi se ne sostituiscono altri, lacui somma sia uguale al numero sostituito.

CommutativaAssociativaDissociativaInvariantivaDistributivae

d

c

b

a

7

e

d

c

b

a

6

e

d

c

b

a

5

e

d

c

b

a

4

e

d

c

b

a

3

d

c

b

a

2

h

g

f

e

d

c

b

a

1

ESERCIZI


7

Completa.

Una potenza è il prodotto di tanti fattori....................... alla base quanti ne indica.......................

Il prodotto di due potenze con la stessabase è una potenza che ha per base ........................................ e per esponente ........................................ degli esponenti.

Il .............................................................................................................. è una poten-za che ha per esponente lo stesso espo-nente e per base il prodotto delle basi.

Il quoziente di due potenze con la stessabase è una potenza che ha per base ........................................ e per esponente ........................................ degli esponenti.

Il quoziente di due potenze con lo stessoesponente è una potenza che ha peresponente ........................................ e perbase ............................... delle basi.

La potenza di una potenza è una potenzache ha per base ................................. e peresponente ....................... degli esponenti.

Vero o falso?

La potenza di un numero positivo èsempre positiva.

La potenza di un numero relativo èsempre concorde con la base.

Il cubo di un numero negativo èsempre un numero negativo.

Un numero negativo elevato a 0 èuguale a −1.

Indica il risultato esatto.

(−4)3 = −64 +64 12

(−3)4 = −81 +81 −12

(+6)2 = +36 −36 +12

(+2)5 = −32 +10 +32

(−3)0 = −1 0 +1

−72 = −49 −14 +49

+42 = +16 −16 +8

(−5)1 = 5 1 −5h

g

f

e

d

c

b

a

10

FVd

FVc

FVb

FVa

9

f

e

d

c

b

a

8

Vero o falso?

Ciascun numero ha un numero finito di divisori.Ciascun numero ha un numero finito di multipli.Se a è divisore di b si verifica sempre a ≤ b.Due numeri sono primi tra loro se sono divisibili solo per l’unità e per se stessi.Il MCD di due o più numeri è il maggiore dei divisori comuni dei numeri dati.Il MCD di due o più numeri è il più grande dei divisori dei numeri dati.Il MCD di due o più numeri è sempre minore o uguale al minore dei numeri dati.Il MCD di due o più numeri non può essere uguale ad alcuno dei numeri dati.Il mcm di due o più numeri è il minore dei multipli comuni dei numeri dati.Il mcm di due o più numeri è sempre maggiore o uguale al maggiore dei numeri dati.Il mcm di due o più numeri primi tra loro è il loro prodotto.

Scegli tra divisore e multiplo.12

FVm

FVl

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

11

7 è divisore multiplo di 35 .







28 è divisore multiplo di 14 .h

f

d

b

g

e

c

a

ESERCIZI

8

Sezione 0 Ripasso

ABILITÀ

Quali delle seguenti operazioni sono possibili nell’insieme N e quali nell’insieme Z?

5 + 3 − 4 = 5 − 3 − 4 = 5 . 3 . 4 =5 . 3 : 4 = 20 : 4 . 3 = 5 : 3 . 4 =2 . 0 : 3 = 15 : 3 . 4 = 2 . 3 : 0 =15 : 3 : 4 = 15 : 3 − 15 = 30 : 2 : 6 =15 : 4 − 4 = 3 − 5 + 5 = 4 – 12 : 5 =

Considerando l’insieme N dei numeri naturali, completa le seguenti operazioni e indica con il nomeappropriato il termine che hai inserito.

40 : …… . 5 = 20 3 . 7 + …… = 23 2 + …… : 6 = 6

8 − 64 : …… = 0 6 + …… . 5 = 41 7 − …… : 5 = 2

[ 10 divisore 2 addendo 24 dividendo 8 divisore 7 fattore 25 dividendo]

Senza eseguire le operazioni verifica se le seguenti uguaglianze sono vere o false.

7 + 5 . 2 . 3 = (7 + 5) . 2 . 3 = 7 + 5 . (2 . 3)(9 − 2) . (7 − 3) = (9 − 2) . 7 − (9 − 2) . 3 = 9 . (7 − 3) − 2 . (7 − 3)(5 + 2) . 3 · 1 = (5 + 2) . 3 = 5 + 2 . 3 . 15 . 4 + 15 . 4 + 4 = (5 + 15) . 43 . 0 . (7 − 3) = 3 . (7 − 3)144 : 18 : 2 = (144 : 18) : 2 17 . 15 . 2 = (17 . 15) . 2 = 17 . (15 · 2)132 : 4 : 3 . 7 = 33 : 3 . 7 = 11 . 7132 : 4 : 3 . 7 = 33 : 2172 . 4 : 2 = (72 . 4): 2 = 72 . (4 : 2)

Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi ed esegui poi i calcoli.

Somma a 27 il prodotto tra 33 e 15.Moltiplica la somma fra 27 e 33 per il numero 15.Dividi la somma di 9 e 15 per la differenza fra 13 e 9 e poi aggiungi 7.Aggiungi al quoziente tra 27 e 9 il quoziente fra 18 e 6.Dividi la differenza fra 28 e il quoziente tra 52 e 4 per la differenza fra 37 e 22.Sottrai a 28 il quoziente fra la differenza di 54 e 4 e la differenza fra 37 e 12.Aggiungi a 27 il quoziente fra la differenza tra 18 e 3 e il prodotto di 3 e 5.Sottrai al prodotto di 3, 5 e 2 il quoziente fra 72 e 8.

[ 522 900 13 6 1 26 28 21]

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false.

| −3 | = −3 | +5 | = | 5 |

+ = −3

232

FVd

34

34

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

FVc

FVbFVa

17

hgfedcba

h

g

f

e

d

c

b

a

16

FVl

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

15

fedcba

fed

cba

14

qpo

nml

ihg

fed

cba

13

ESERCIZI


9

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

ESERCIZIO SVOLTO

| +5 | − | −2 + 5 | + | 4 − 7 | =

= | +5 | − | +3 | + | −3 | = 5 − 3 + 3 = 5

| 5 | + | +4 | + | −1 | = [10]

| 3 − 11 | + | 2 − 1 | − | −8 | = [1]

| −5 | − | −1 | − | −4 | = [0]

Calcola il valore delle seguenti espressioni in N.

ESERCIZIO SVOLTO

(12 . 6) : 8 + 6 . 4 . (20 − 5 − 12) − (2 . 5 + 4 + 3) . 3 : 4 . 9 − (41 − 5) + 30 : 2 + 7 =

Eseguiamo i calcoli contenuti prima nelle parentesi tonde e poi nelle quadre, dando la prece-denza alle moltiplicazioni e alle divisioni secondo l’ordine in cui si trovano:

= 72 : 8 + 6 . 4 . 3 − (10 + 4 + 3) . 3 : 4 . 9 − 36 + 30 : 2 + 7 =

= 72 : 8 + 6 . 4 . 3 − 17 . 3 : 36 − 36 + 15 + 7 = 9 + 72 − 51 : 15 + 7 = 30 : 15 + 7 = 2 + 7 = 9

(4 . 7 . 0 : 12) . (18 : 18) . 2 . (9 − 2) . 3 − 50 : 2 + 4 − 1 = [3]

(2 . 3 + 6 − 5) . (9 . 2 − 16) + 3 + (44 : 11 + 17 . 2 + 4) : (2 . 5 − 3) = [23]

{5 . 60 . 4 − 14 − 4 . (23 − 6 . 2) − 5 . 3 . 4 − 2 . 16 . 25} : (7 . 9 − 13) = [1]

{15 . 3 + 4 . 9 . (3 . 7 − 15) . 9 – 2 . (18 − 2 . 8) . (4 . 3 − 10) − 36 . 4} : (13 . 3) = [3]

Calcola il valore delle seguenti espressioni in Z.

ESERCIZIO SVOLTO

(−3) . (−4) : (+6) − (−20) : (+5) + (−2) . (+15) : (−5) =

Eseguiamo nell’ordine moltiplicazioni e divisioni:

= +12 : (+6) − (−4) + (−30) : (−5) = +2 + 4 + 6 = +12

(32 − 17 + 18) : (29 − 10 − 8) − (50 − 25 − 5) : (22 − 12 − 6) = [− 2]

(45 − 34 + 14) : (12 + 8 − 11 − 4) . (−14 + 8 + 4) + 7 = [− 3]

(10 : 5 − 6) . (5 − 3) + (4 − 2) . (−5) + 20 + (−7 + 8) . 8 = [10]30

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

19

18

ESERCIZI

10

Sezione 0 Ripasso

Individua eventuali errori e correggili.

53 . 52 . 55 . 5 . 54 = 514 .............. 32 . 3 . 36 . 33 . 38 . 34 = 324 .............

22 . 32 . 52 . 42 = 1202 .............. 22 . 12 . 42 . 32 = 248 .............

62 . 42 . 22 . 52 = 172 .............. 715 : 75 = 73 .............

314 : 3 = 313 .............. 64 : 63 = 6 .............

1812 : 183 = 184 .............. 363 : 43 = 93 .............

754 : 154 = 50 .............. 285 : 145 = 21 .............

[(54)3]2 = 59 .............. {[(22)3]5}2 = 260 .............

{[(73)5]0}4 = 712 .............. {[(53 : 5)4]2}3 = 548 .............

[ F 515 V V F 242 F 2402 F 712 V V F 189 V F 54 F 25 F 524 V F 70 V]

Applicando le proprietà delle potenze, trasforma in un’unica potenza.

35 . 33 = 413 . 44 = 107 . 103 =

55 . 57 = (−1)3 . (−1)5 = (−5)3 . (−5)4 =

73 . 72 = 93 . 95 = (−3)8 . (−3)5 =

(−2)2 . (−2)2 . (−2)2 = 107 : 105 = 156 : 154 =

[ 38 417 1010 512 (−1)8 = 1 (− 5)7 75 98 (− 3)13 (− 2)6 = (− 8)2 102 152]


ESERCIZIO SVOLTO

{ (−5)2 . (+5)2 . (−5)3 3: (−5)3 . (+5)8 . (−5)9 } : { (−53)3 . (−53)9 2

: (+53)8 3} =

Ricordiamo le proprietà delle potenze:• prodotto di potenze di ugual base ⇒ am . an = am + n

• quoziente di potenze di ugual base ⇒ am : an = am − n

• potenza di potenza ⇒ (am)n = am .n

• prodotto di potenze di ugual esponente ⇒ an . bn = (a . b)n

• quoziente di potenze di ugual esponente ⇒ an : bn = (a : b)n

Nella seconda parentesi quadra compare un prodotto di potenze che apparentemente nonhanno la stessa base in quanto il secondo fattore ha base uguale a +5 mentre gli altri fattorihanno base uguale a −5, ma essendo (+5)8 = (−5)8 possiamo considerare quel prodotto come unprodotto di tre potenze con base uguale a −5 e quindi possiamo applicare la relativa proprietà:

= { (−5)2 + 2 + 3 3: (−5)3 + 8 + 9 } : { (−53)3 + 9 2

: (−53)8.3} = { (−5)7 3: (−5)20 } : { (−53)12 2

: (−53)24} =

= {(−5)7.3 :(−5)20} : {(−53)12.2 : (−53)24} = {(−5)21 :(−5)20} : {(−53)24 : (−53)24} = {(−5)21 − 20} : {(−53)24 − 24} =

= (−5)1 : (−53)0 =

Ricorda che a0 = 1 per qualsiasi a ≠ 0; quindi:

= −5 : 1 = −5

33

nmlihgfedcba

nml

ihg

fed

cba

32

rqponmlihgfedcba

FVrFVq

FVpFVo

FVnFVm

FVlFVi

FVhFVg

FVfFVe

FVdFVc

FVbFVa

31

ESERCIZI


11

{ −18 . (+18)2 . (+18)6 4: (−18)11 3} : { (+9)5 . (−9)2 3

: (−9)2 9} = [− 8]

102 + { 65 . 66 . 6 : (62)5 5: (63 . 6)2 : 66

3} : (32)2 − 34 = [35]

(102)3 : { 22 + (55 : 52 + 5) : 262

: 3 + (183 : 63) − 22}3

= [8]

(24)4 : (22)4 : (23)2 + (520)5 : (510)10 . (18 − 2 . 32) + 3 . 38 : (32)4 = [7]

{ (34 − 5 . 24 + 5) . 22 − 24 + (32 . 52) − (23 . 33) : 17 + 3}2

: 8 = [2]

42 − 28 : {(42 − 32) . (23)2 : (1 + 38 : 37)2 + 1 − 12 : 22} = [8]

(3 + 32 + 33) : (32 . 5 − 23 . 22) + 322

: (24 + 55 : 54 − 310 : 39) = [8]

(43 . 33) : 33 + 22 : 17 + { (34 − 32) : 32 + (22 + 3) : 3 − (36 : 35)}4

= [20]

72 . 22 − (3 . 24 + 107 : 105 + 23 . 3) : 23 − 26 : 43 + 70 = [3]

{ 1 + 22 + 32 . 3 + 28 − (24 + 33 + 42 + 30) : 22 + 3} : (22 . 3) + (52 + 25 + 3) : (54 : 53) = [17]

{ (53 − 43) : (43 − 3) 2+ 3} . (50 : 5) − 22 + 5 . (32 − 23) − 32

2 . (218 : 217) = [40]

Calcola il MCD dei numeri dei seguenti gruppi.

84; 72 182; 120 [ 12 2]340; 128 220; 432 [ 4 4]432; 270 336; 420 [ 54 84]512; 328 640; 592 [ 8 16]4320; 2520 2700; 1728 [ 360 108]1092; 8750 2145; 2500 [ 14 5]

Risolvi i seguenti problemi sul MCD.

ESERCIZIO SVOLTO

Due libri, uno di 224 pagine e uno di 352, vengono rilegati a fascicoli tutti dello stesso numero dipagine. Qual è il minor numero possibile di fascicoli che si possono ottenere da ciascun libro?

Volendo il minor numero possibile di fascicoli, sarà necessario che ciascun fascicolo abbia il mag-gior numero possibile di pagine; dato che non devono avanzare pagine, dobbiamo calcolare ilMCD dei numeri delle pagine.

MCD (224, 352) = 32 ⇒ numero di pagine di ciascun fascicolo;

le pagine del primo libro saranno riunite in 224 : 32 = 7 fascicoli;

le pagine del secondo libro saranno riunite in 352 : 32 = 11 fascicoli.

51

baba50

baba49

baba48

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baba46

baba45

44

43

42

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40

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35

34

ESERCIZI

12

Sezione 0 Ripasso

Tre bastoncini di legno lunghi rispettiva-mente 18 cm, 24 cm e 30 cm devono esseresuddivisi in parti uguali e della massima lun-ghezza. Quale sarà tale lunghezza e quantisaranno i pezzi? [6 cm; 12]

Tre pezze di stoffa sono lunghe rispettiva-mente 9,6 m, 12 m e 16,8 m; si voglionotagliare in modo da ottenere parti tutteuguali e della maggior lunghezza possibile.Quanti pezzi si otterranno? [16]

I tre lati di un triangolo misurano 140 cm,126 cm e 105 cm. Li si vuole dividere in seg-menti uguali della massima lunghezza possi-bile. Calcola la misura di ciascun segmentoe il numero di parti in cui ciascun lato rima-ne diviso. [7 cm; 20; 18; 15]

Con 120 palline rosse e 96 verdi si voglionoconfezionare dei sacchetti uguali contenen-ti il massimo numero di palline rosse e nere.Calcola quanti sacchetti si possono confe-zionare e quante palline di ciascun coloresono contenute in ciascun sacchetto.

[24 sacchetti; 5 rosse; 4 nere]

Calcola il mcm dei numeri dei seguenti gruppi.

40; 44 70; 15 [ 440 210]18; 56 294; 35 [ 504 1470]540; 288 325; 175 [ 4320 2275]168; 160 810; 189 [ 3360 5670]350; 250 210; 280 [ 1750 840]216; 396 192; 256 [ 2376 768]baba61

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53

52

Paolo mangia il risotto un giorno sì e uno no,mangia il pollo ogni 3 giorni e il gelato ogni 5.Se Paolo ha mangiato questi tre cibi il 24 feb-braio 2008, in quale data li ha mangiati dinuovo nello stesso pasto? [23 marzo 2008]

Tre pendoli compiono rispettivamente 60, 72e 96 oscillazioni al minuto; se in un certoistante si trovano contemporaneamente all’i-nizio delle oscillazioni, dopo quanto tempo siritroveranno nella stessa posizione? [24 ore]

Un’automobile deve cambiare l’olio ogni 5000km, il filtro ogni 10 000 km e le gomme ogni16 000 km. Quanti chilometri deve percorrerel’auto prima che tutti e tre i cambi avvenganonel medesimo momento? [80 000 km]

Un rappresentante di commercio visita uncliente ogni 15 giorni, un secondo rappre-sentante ogni 20 e un terzo ogni 25. Sapendoche oggi i tre rappresentanti si sono trovaticontemporaneamente da quel cliente, traquanti giorni si rincontreranno? [300]

Tre linee tranviarie partono dallo stessocapolinea: la prima compie il percorso diandata e ritorno in 45 minuti, la seconda in60 minuti e la terza in 90 minuti. Se le trevetture partono contemporaneamente alletre del pomeriggio, quando si ritroverannoinsieme al capolinea? [alle 18]

67

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65

64

63

Risolvi i seguenti problemi sul mcm.

ESERCIZIO SVOLTO

Una cometa appare ogni 24 anni, un’altra ogni 32 e una terza ogni 36 anni. Se le tre cometesono apparse tutte nel 1737, quando si ripresenteranno nello stesso anno?

Affinché le tre comete si ripresentino contemporaneamente dovrà passare un numero di annidivisibile per i tre periodi: dovremo quindi calcolare il mcm di 24, 32, 36.

mcm (24, 32, 36) = 288 ⇒ è il numero di anni che deve trascorrere perché si verifichi il pas-saggio contemporaneo delle tre comete; 1737 + 288 = 2025 ⇒ anno in cui le tre comete si ripre-senteranno.

62

13

11LEZIONE

Sezione 0

AUTOVALUTAZIONE

Vero o falso?

In nessuno degli insiemi numericiN e Z il termine “somma” è sinoni-mo del termine “addizione”.Negli insiemi numerici N e Z lasomma di due numeri è sempremaggiore di ciascuno degli addendi.Negli insiemi numerici N e Z l’ad-dizione è un’operazione semprepossibile.Nell’insieme numerico Z la sottra-zione è un’operazione sempre pos-sibile.La moltiplicazione è un’operazionesempre possibile negli insiemi N e Z.Nell’insieme numerico Z la divisio-ne è un’operazione non sempre pos-sibile.Nell’insieme numerico N la divisio-ne e la sottrazione sono operazionisempre possibili.Negli insiemi numerici N e Z l’ad-dizione gode della proprietà com-mutativa.Nell’insieme numerico Z, ma nonnell’insieme N, la sottrazione godedella proprietà invariantiva.Negli insiemi numerici N e Z laproprietà dissociativa vale solo perl’addizione.Negli insiemi numerici N e Z l’ad-dizione e la moltiplicazione godo-no della proprietà associativa.Nell’insieme numerico Z la sottra-zione gode della proprietà commu-tativa.Negli insiemi numerici N e Z laproprietà distributiva vale per l’ad-dizione e per la moltiplicazione.Negli insiemi numerici N e Z, 1 èl’elemento neutro della moltiplica-zione e dell’addizione.Nell’insieme numerico N, 0 è l’ele-mento neutro della sottrazione.

Indica quale proprietà è stata applicata.

25 + 14 + 3 + 11 = 3 + 14 + 11 + 25 = 53.

Commutativa

Associativa

Dissociativa

Invariantiva

Distributiva

128 − 56 = (128 − 8) − (56 − 8) = 120 − 48 = 72

Commutativa

Associativa

Dissociativa

Invariantiva

Distributiva

48 + 12 + 7 = 60 + 7 = 67

Commutativa

Associativa

Dissociativa

Invariantiva

Distributiva

(35 − 15 + 20 − 70) : (+5) = 7 + 3 + 4 − 14 = 0

Commutativa

Associativa

Dissociativa

Invariantiva

Distributiva

18 . 5 . 6 = 18 . 5 . 2 . 3 = 540

Commutativa

Associativa

Dissociativa

Invariantiva

Distributivae

d

c

b

a

6

e

d

c

b

a

5

e

d

c

b

a

4

e

d

c

b

a

3

e

d

c

b

a

2

FVq

FVp

FVo

FVn

FVm

FVl

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

1


3 . 4 + 80 − (2 + 8 . 5) + 5 . (7 − 1 . 4) − (3 + 3 . 2 . 2) . 4 =

14 − (22 + 4 − 17) − (5 − 7) . (−9 + 27 − 21) . (28 − 11 − 13) =

(−4) . 9 + {−5 + [−2 . (−13) + (−6) . 5 − 3 + 18] . (−1)} − 2 =

{ 2 . (6 . 2 − 10) − 2 + (7 − 32 : 2) } . { (−6 + 34) : 2 : (−12 + 14) – 35 : (−7) – (2 . 24 − 55) } =

(22 . 32 − 2 . 17)3 2: {28 − 53 . 2 − (26 + 22) + 7 . 23 + 2 . 30 } =

2 . { 22 . 92 − (35 − 25 . 3) . 2 : (52 − 24 − 3) + 7}2

: (26 − 24) =

(2 . 7 + 2)3 : (2 . 3 + 2)3 + 5 . 6 − (52 − 32) + 13

: (57 : 54) =

{22 . 72 : (32 − 5)2 − 322}2

− { 2 + 22 . (22 . 3 − 32)2 2− (14 . 102 + 41)}2

=

{ (87 : 85 + 58 : 56 − 32) : 42 + 502

− 2 . 22 : 32 . 2 − (22)2 2− 24}2

: 32 =15

14

13

12

11

10

9

8

7

Sezione 0 Ripasso

14

AUTOVALUTAZIONE

Sono dati tre numeri naturali x, y, z tali chex = y . z. Stabilisci quali affermazioni sonovere e quali false.

x è multiplo di y.

z è divisore di x.

y è multiplo di z.

x è multiplo di y e di z.

x è divisibile per y.

z è divisibile per x.

Senza eseguire calcoli, rispondi alle seguen-ti domande.

5 è divisore del prodotto 3 . 11 . 13?

5 è divisore del prodotto 9 . 10 . 13?

Il prodotto 13 . 15 . 8 è multiplo di 6?

Il quoziente è multiplo di 30?

Tra i primi cinque multipli di 8 c’è unmultiplo di 6?

Tra i primi quattro multipli di 6 c’èanche un multiplo di 15?

Vero o falso?

Due numeri sono primi tra loro senon hanno divisori comuni.Se un numero è divisibile per 2 èanche divisibile per 4.Se un numero è divisibile per 6 èanche divisibile per 3.Il quadrato di un numero primo èsicuramente un numero primo.Il MCD di due o più numeri è sem-pre minore dei numeri stessi.Non sempre esiste il mcm di due opiù numeri.La scomposizione in fattori primidi 36 è 22 . 9.MCD (6, 9) = 3Il MCD di due numeri primi è 1.mcm (70, 80) = 10Il mcm di un numero pari e un nu-mero dispari è un numero pari.

Calcola il MCD dei numeri delle seguenticoppie.

868; 196 495; 405

Calcola il mcm dei numeri delle seguenticoppie.

735; 315 280; 168ba

20

ba

19

FVm

FVl

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

18

f

e

10 . 15 . 914 . 11

d

c

b

a

17

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

16

Date post:	22-Feb-2016
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