Alla ricerca dei numeri Taxicab

Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.it

Si definisce il numero taxicab ennesimo come il più piccolo numero naturale che si può esprimere

in n modi diversi come somma di due cubi. I numeri taxicab sono diventati famosi in quanto sono

stati introdotti e studiati dal grande matematico indiano Ramajuian nel secolo scorso. Alcuni esempi

famosi sono: Ta(1)= 2=13 +13, Ta(2) = 1729 = 13 +123 = 93 + 103 , Ta(3)=87539319

Ta(4)=6963472309248, Ta(5)=48988659276962496. In questo breve articolo vedremo come

calcolarli. Secondo un approccio molto semplice occorre studiare le soluzioni intere dell’equazione

33 bam += , per ogni m intero ovvero trovare tutte le soluzioni intere a, b 3 3bma −= ,

31 mb <≤ . Secondo un approccio un po’ più elaborato invece, osserviamo che

))(())(( 222233 bababababababam ++−=+−+=+= . Quindi fissato il numero intero

m e presa una qualunque coppia di interi p, q tali che m = pq basta risolvere i due sistemi di

equazioni di secondo grado facilmente risolubili (possiamo anche assumere mp < ):

=+−=+

qbaba

pba22

e

=++=−

qbaba

pba22

ricordando ovviamente che m=pq, q = n/p

In entrambi i casi arriviamo ad una equazione di II grado nella variabile b con parametro p (lascio i

calcoli e i dettagli al lettore). Si pone quindi il delta > 0 per l’esistenza delle soluzioni e si fa variare

p all’interno della condizione delta > 0 per valori tali che p | n e poi si conta il numero delle

soluzioni ottenute.Il primo m che mi fornisce due soluzioni (a, b) la cui somma dei cubi è proprio il

valore m è Ta(2), così il primo intero m che mi fornisce tre soluzioni (a, b) la cui somma dei cubi è

proprio il valore di m è Ta(3) e così via. In ogni caso valendo la proprietà commutativa la soluzione

(a,b) è equivalente alla soluzione (b,a) che quindi dovrà essere contata una sola volta e non due,

quindi come appare evidente dagli esempi riportati qui sotto sarà sufficiente calcolare la metà delle

possibili soluzioni per b nel caso del primo algoritmo descritto sopra.. I calcoli sono ben presto

molto complessi e occorre un calcolatore molto potente per scoprire nuovi numeri Taxciab.

Esempi calcolati usando il metodo classico

Ta(2) = 1729

b < m^(1/3) a=(m-b^3)^(1/3) 12 1 11 7.355762368 10 9

9 10 8 10.67653167 7 11.1494748 6 11.48011687 5 11.70580957 4 11.85235759 3 11.93951041 2 11.98377437 1 12

Con il colore blu ho messo le soluzioni che si ripetono, con il giallo le soluzioni distinte. Non

appena troviamo la prima soluzione che si ripete arrestiamo il calcolo per evitare inutili iterazioni.

Ta(3)=87539319

b < m^(1/3) a=(m-b^3)^(1/3) 444 22.19590867 443 84.39065955 442 105.9232564 441 121.0372583 440 133.0505207 439 143.1724654 438 151.9976771 437 159.8679379 436 167 435 173.5410019 434 179.5959559 433 185.2427493 432 190.5409423 431 195.5372256 430 200.2689631 429 204.7665795 428 209.0552192 427 213.1559322 426 217.0865391 425 220.8622771 424 224.4962888 423 228 422 231.383414 421 234.6553451 420 237.8236047 419 240.8951525 418 243.8762194 417 246.7724086 416 249.58878 415 252.3299198 414 255 413 257.6028282 412 260.14189 411 262.6203856 410 265.0412609 409 267.4072348 408 269.7208225 407 271.9843561 406 274.2000023 405 276.3697785 404 278.4955664 403 280.5791245 402 282.6220988 401 284.6260325 400 286.592375 399 288.522489 398 290.4176582 397 292.279093

396 294.1079362 395 295.9052686 394 297.6721128 393 299.4094382 392 301.1181642 391 302.799164 390 304.4532676 389 306.0812648 388 307.6839079 387 309.2619139 386 310.8159669 385 312.3467203 384 313.8547985 383 315.3407985 382 316.805292 381 318.2488263 380 319.6719261 379 321.0750949 378 322.4588157 377 323.8235525 376 325.1697512 375 326.4978405 374 327.808233 373 329.1013259 372 330.3775019 371 331.6371295 370 332.8805645 369 334.1081498 368 335.3202166 367 336.5170846 366 337.6990628 365 338.8664499 364 340.0195346 363 341.1585965 362 342.2839058 361 343.3957246 360 344.4943064 359 345.5798971 358 346.652735 357 347.7130512 356 348.76107 355 349.7970088 354 350.8210791 353 351.8334859 352 352.8344287 351 353.8241011 350 354.8026914 349 355.7703828 348 356.7273534 347 357.6737767 346 358.6098212 345 359.5356513

344 360.451427 343 361.3573041 342 362.2534345 341 363.1399663 340 364.0170437 339 364.8848076 338 365.7433951 337 366.5929404 336 367.433574 335 368.2654237 334 369.088614 333 369.9032667 332 370.7095006 331 371.5074319 330 372.2971741 329 373.0788382 328 373.8525327 327 374.6183637 326 375.376435 325 376.1268481 324 376.8697024 323 377.6050951 322 378.3331213 321 379.0538744 320 379.7674454 319 380.4739239 318 381.1733974 317 381.8659517 316 382.5516709 315 383.2306373 314 383.9029318 313 384.5686336 312 385.2278204 311 385.8805683 310 386.5269522 309 387.1670452 308 387.8009195 307 388.4286456 306 389.0502928 305 389.6659291 304 390.2756215 303 390.8794355 302 391.4774356 301 392.0696851 300 392.6562462 299 393.23718 298 393.8125466 297 394.3824051 296 394.9468133 295 395.5058285 294 396.0595067 293 396.607903

292 397.1510718 291 397.6890663 290 398.2219392 289 398.749742 288 399.2725257 287 399.7903401 286 400.3032346 285 400.8112577 284 401.314457 283 401.8128796 282 402.3065717 281 402.7955788 280 403.279946 279 403.7597173 278 404.2349363 277 404.705646 276 405.1718886 275 405.6337059 274 406.0911388 273 406.544228 272 406.9930132 271 407.4375339 270 407.8778289 269 408.3139364 268 408.7458942 267 409.1737395 266 409.597509 265 410.017239 264 410.4329652 263 410.8447228 262 411.2525467 261 411.6564713 260 412.0565303 259 412.4527574 258 412.8451854 257 413.2338472 256 413.6187748 255 414 254 414.3775543 253 414.7514687 252 415.1217739 251 415.4885001 250 415.8516772 249 416.2113348 248 416.567502 247 416.9202078 246 417.2694806 245 417.6153486 244 417.9578397 243 418.2969815 242 418.6328011 241 418.9653254

240 419.2945812 239 419.6205946 238 419.9433918 237 420.2629985 236 420.5794402 235 420.892742 234 421.2029289 233 421.5100256 232 421.8140564 231 422.1150454 230 422.4130167 229 422.7079937 228 423 227 423.2890587 226 423.5751927 225 423.8584248 224 424.1387773 223 424.4162727 222 424.6909329 221 424.9627797 220 425.2318348 219 425.4981195 218 425.7616552 217 426.0224628 216 426.280563 215 426.5359767 214 426.7887241 213 427.0388255 212 427.2863011 211 427.5311706 210 427.7734539 209 428.0131703 208 428.2503394 207 428.4849803 206 428.717112 205 428.9467534 204 429.1739233 203 429.3986402 202 429.6209224 201 429.8407884 200 430.058256 199 430.2733434 198 430.4860683 197 430.6964485 196 430.9045013 195 431.1102443 194 431.3136947 193 431.5148696 192 431.7137861 191 431.910461 190 432.104911 189 432.2971528

188 432.4872029 187 432.6750776 186 432.8607933 185 433.0443661 184 433.2258119 183 433.4051468 182 433.5823865 181 433.7575468 180 433.9306433 179 434.1016914 178 434.2707065 177 434.4377039 176 434.6026989 175 434.7657064 174 434.9267415 173 435.0858192 172 435.2429541 171 435.398161 170 435.5514546 169 435.7028493 168 435.8523597 167 436 166 436.1457846 165 436.2897276 164 436.4318432 163 436.5721454 162 436.7106481 161 436.8473652 160 436.9823105 159 437.1154978 158 437.2469407 157 437.3766527 156 437.5046474 155 437.6309381 154 437.7555383 153 437.8784613 152 437.9997203 151 438.1193284 150 438.2372987 149 438.3536443 148 438.4683782 147 438.5815132 146 438.6930623 145 438.8030381 144 438.9114535 143 439.0183211 142 439.1236535 141 439.2274633 140 439.329763 139 439.430565 138 439.5298818 137 439.6277257

136 439.7241091 135 439.819044 134 439.9125429 133 440.0046177 132 440.0952807 131 440.1845438 130 440.2724191 129 440.3589186 128 440.4440541 127 440.5278376 126 440.6102809 125 440.6913958 124 440.771194 123 440.8496873 122 440.9268873 121 441.0028057 120 441.0774541 119 441.150844 118 441.222987 117 441.2938945 116 441.363578 115 441.432049 114 441.4993187 113 441.5653987 112 441.6303 111 441.6940342 110 441.7566124 109 441.8180458 108 441.8783457 107 441.9375232 106 441.9955894 105 442.0525555 104 442.1084325 103 442.1632315 102 442.2169635 101 442.2696395 100 442.3212706 99 442.3718675 98 442.4214414 97 442.470003 96 442.5175632 95 442.564133 94 442.6097231 93 442.6543443 92 442.6980075 91 442.7407234 90 442.7825027 89 442.8233563 88 442.8632947 87 442.9023287 86 442.940469 85 442.9777262

84 443.0141109 83 443.0496338 82 443.0843054 81 443.1181364 80 443.1511373 79 443.1833187 78 443.2146911 77 443.245265 76 443.275051 75 443.3040595 74 443.332301 73 443.359786 72 443.3865249 71 443.4125282 70 443.4378064 69 443.4623697 68 443.4862287 67 443.5093937 66 443.5318751 65 443.5536833 64 443.5748287 63 443.5953216 62 443.6151723 61 443.6343911 60 443.6529885 59 443.6709748 58 443.6883601 57 443.7051549 56 443.7213694 55 443.7370139 54 443.7520986 53 443.766634 52 443.7806301 51 443.7940974 50 443.8070459 49 443.819486 48 443.831428 47 443.8428819 46 443.8538582 45 443.8643669 44 443.8744183 43 443.8840227 42 443.8931902 41 443.901931 40 443.9102553 39 443.9181734 38 443.9256954 37 443.9328315 36 443.9395919 35 443.9459867 34 443.9520262 33 443.9577206

32 443.9630799 31 443.9681145 30 443.9728343 29 443.9772497 28 443.9813708 27 443.9852077 26 443.9887706 25 443.9920696 24 443.995115 23 443.9979168 22 444.0004853 21 444.0028305 20 444.0049627 19 444.0068919 18 444.0086284 17 444.0101822 16 444.0115636 15 444.0127827 14 444.0138496 13 444.0147744 12 444.0155674 11 444.0162386 10 444.0167983

9 444.0172565 8 444.0176233 7 444.0179091 6 444.0181238 5 444.0182777 4 444.0183808 3 444.0184434 2 444.0184755 1 444.0184873