ANALISIFUNZIONALE
Diego Averna
Sommario
1 Parte: SPAZIDI HILBERT
2 Parte: SPAZIDI BANACH
3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV
RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI
ANALISI FUNZIONALEOvvero: presentazione di Analisi Funzionale
Diego Averna?
? Dipartimento di Matematica e InformaticaFacoltà di Scienze MM.FF.NN.
Via Archirafi, 34-90123 Palermo (Italy)
[email protected]://www.math.unipa.it/averna/
01 ottobre 2013
http://www.math.unipa.it/averna/
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Diego Averna
Sommario
1 Parte: SPAZIDI HILBERT
2 Parte: SPAZIDI BANACH
3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV
RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI
SPAZI DI HILBERT
Foto di David HilbertChe cosa è uno Spazio di Hilbert?
1 Dispensa SPAZI DI HILBERTSpazi di HilbertGeometria degli spazi di HilbertOperatori lineari e limitati
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Sommario
1 Parte: SPAZIDI HILBERT
2 Parte: SPAZIDI BANACH
3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV
RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI
SPAZI DI BANACH
Foto di Stefan BanachChe cosa è uno Spazio di Banach?
2 Dispensa SPAZI DI BANACHContenuti
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1 Parte: SPAZIDI HILBERT
2 Parte: SPAZIDI BANACH
3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV
RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI
SPAZI DI SOBOLEV
Foto di Sergej L’vovič SobolevChe cosa è uno Spazio di Sobolev?
3 Dispensa SPAZI DI SOBOLEV e formulazione variazionale deiproblemi ai limiti (cenni)
Contenuti
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Sommario
1 Parte: SPAZIDI HILBERT
2 Parte: SPAZIDI BANACH
3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV
RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
4 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
ANALISIFUNZIONALE
Diego Averna
Foto di DavidHilbert
Che cosa è unoSpazio diHilbert?
Dispensa SPAZIDI HILBERT
Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Parte I
SPAZI DI HILBERT
ANALISIFUNZIONALE
Diego Averna
Foto di DavidHilbert
Che cosa è unoSpazio diHilbert?
Dispensa SPAZIDI HILBERT
Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
SPAZI DI HILBERT
David Hilbert (1862-1943)
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Che cosa è unoSpazio diHilbert?
Dispensa SPAZIDI HILBERT
Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
SPAZI DI HILBERT
Uno spazio di Hilbert è uno spazio che generalizza la nozione dispazio euclideo. Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebrematematico David Hilbert all’inizio del XX secolo, ed hanno fornitoun enorme contributo allo sviluppo dell’analisi funzionale.L’interesse della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto cheessa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli spazi euclideiin spazi di funzioni infinito dimensionali.Uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spaziovettoriale), su cui è definito un prodotto interno (in particolare,quindi, è possibile parlare di distanza o metrica indotta dalla normache a sua volta è indotta dal prodotto interno, che a sua volta induceanche gli angoli, e l’ortogonalità), e tale che sia garantita lacompletezza (ossia, che non vi siano dei comportamenti patologici nelprocesso di passaggio al limite).
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Che cosa è unoSpazio diHilbert?
Dispensa SPAZIDI HILBERT
Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Spazi di Hilbert
• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2
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Operatori linearie limitati
Spazi di Hilbert
• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2
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Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Spazi di Hilbert
• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Spazi di Hilbert
• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Geometria degli spazi di Hilbert
• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi
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Che cosa è unoSpazio diHilbert?
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Geometria degli spazi di Hilbert
• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Geometria degli spazi di Hilbert
• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi
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Spazi di Hilbert
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Operatori linearie limitati
Geometria degli spazi di Hilbert
• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi
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Che cosa è unoSpazio diHilbert?
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Operatori lineari e limitati
• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione
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Che cosa è unoSpazio diHilbert?
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Operatori lineari e limitati
• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Operatori lineari e limitati
• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione
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Che cosa è unoSpazio diHilbert?
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Operatori lineari e limitati
• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione
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Spazi di Hilbert
Geometria deglispazi di Hilbert
Operatori linearie limitati
Operatori lineari e limitati
• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione
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Foto di StefanBanach
Che cosa è unoSpazio diBanach?
Dispensa SPAZIDI BANACH
Contenuti Parte II
SPAZI DI BANACH
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
Dispensa SPAZIDI BANACH
Contenuti
SPAZI DI BANACH
Stefan Banach (1892-1945)
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
SPAZI DI BANACH
Gli spazi di Banach sono degli spazi studiati inizialmente da StefanBanach e da cui hanno preso il nome. Sono un oggetto di studioimportante dell’analisi funzionale: molti spazi di funzioni sono spazidi Banach.Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo rispetto allametrica indotta dalla norma. In altre parole, è uno spazio vettoriale(sul campo dei numeri reali o complessi, la cui dimensione può essereinfinita), su cui è definita una norma, tale che ogni successione diCauchy è convergente (ha cioè un limite) a un elemento dello spazio.
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Foto di StefanBanach
Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
Contenuti
• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
Contenuti
• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Contenuti
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Contenuti
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Contenuti
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
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• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diBanach?
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Contenuti
Contenuti
• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori
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Che cosa è unoSpazio diSobolev?
Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)
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Parte III
SPAZI DI SOBOLEV
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Che cosa è unoSpazio diSobolev?
Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)
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SPAZI DI SOBOLEV
Sergej L’vovič Sobolev (1908-1989)
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SPAZI DI SOBOLEV
Uno spazio di Sobolev è uno spazio vettoriale di funzioni munito diuna norma che è combinazione delle norme Lp della funzione stessa edelle sue derivate in senso generalizzato fino ad un certo ordine;rispetto a tale norma lo spazio è completo, e quindi di Banach (ecerte volte anche di Hilbert). Gli spazi di Sobolev devono il proprionome al matematico russo Sergei L’vovič Sobolev.La loro importanza è dovuta al fatto che le soluzioni delle condizionidi Dirichlet o Neumann o ai limiti miste per equazioni alle derivateparziali o ordinarie vengono normalmente cercate in spazi di Sobolevpiuttosto che negli spazi di funzioni continue dotate di derivate intesein senso classico.
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Che cosa è unoSpazio diSobolev?
Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)
Contenuti
Contenuti
• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non
omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
omogeneo
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Che cosa è unoSpazio diSobolev?
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Contenuti
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• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non
omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
omogeneo
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• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non
omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
omogeneo
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• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non
omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non
omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann
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omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)
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RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
D.AVERNA, Analisi Funzionale - Spazi di Hilbert. Dispensa(P.E.2006)
D.AVERNA, Analisi Funzionale - Spazi di Banach. Dispensa(P.E.2006)
D.AVERNA (con ringraziamenti ai Dott. L.BONSIGNORE eM.S.CANDELA), Analisi Funzionale - Spazi di Hilbert,Esempi, Esercizi e Dimostrazioni (che sono indicati e nonrisolti nella dispensa). Dispensa (P.E.2007)
S.M.BUCCELLATO, Spazi di Sobolev e formulazionevariazionale dei problemi ai limiti, Dispensa (P.E.2010)
H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editrice (1986)
A.Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali,Springer (2000).
1 Parte: SPAZI DI HILBERT2 Parte: SPAZI DI BANACH3 Parte: SPAZI DI SOBOLEVRIFERIMENTI BIBLIOGRAFICISPAZI DI HILBERTFoto di David HilbertChe cosa è uno Spazio di Hilbert?
Dispensa SPAZI DI HILBERTSpazi di HilbertGeometria degli spazi di HilbertOperatori lineari e limitati
SPAZI DI BANACHFoto di Stefan BanachChe cosa è uno Spazio di Banach?
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SPAZI DI SOBOLEVFoto di Sergej L'vovic SobolevChe cosa è uno Spazio di Sobolev?
Dispensa SPAZI DI SOBOLEV e formulazione variazionale dei problemi ai limiti (cenni)Contenuti
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICIRIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI