Analisi 1 Polo di Savona
Analisi Matematica 1 (Modulo)
Prove Parziali
A.A. 1999/2008
1- PrA1.TEX— []
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
Prima prova Parziale 21/10/1998
Si consideri l’insieme
A =
{1
x2 + 9, x ∈ R
}.
A3© Determinare supA e inf A.
B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che
n∑k=1
k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)
3
Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:
C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|
D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)
2- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)
F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a
3- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000
Seconda prova Parziale 27/11/2000
Si consideri la successione definita da {an+1 = 3 +
an2
a0 = 3
A3© Verificare che an e crescente ed superiormente limitata.
B3© Calcolare il limite di an
C2© Determinare la regola di ricorrenza che soddisfa la successione bn = a2n e calcolare b0 ed il limite di bn.
D2© Calcolare
limx→1
sin(x− 1) + (1− cos(x− 1))
tan(2x− 2)
E2© Stabilire se f(x) = 11−x2 e invertibile su [−9,−3] ed in caso affermativo calcolarne l’inversa.
4- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000
Terza prova Parziale 20/12/2000
Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx
A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1
B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f
Si consideri la funzione
g(x) =
{f(x) x > x0a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0
C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua
D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile
5- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
Prima prova Parziale 21/10/1998
Si consideri l’insieme
A =
{1
x2 + 9, x ∈ R
}.
A3© Determinare supA e inf A.
B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che
n∑k=1
k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)
3
Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:
C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|
D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)
6- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)
F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a
7- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000
Seconda prova Parziale 27/11/2000
Si consideri la successione definita da {an+1 = a3na0 = 3
A3© Verificare che an ≥ 3.
B3© Verificare che an e crescente.
C2© Calcolare il limite di an.
D2© Calcolare
limx→0
sin(1− cos2(x))
x2
E2© Si consideri la funzione
f(x) =√
ln(1 + x2)
F3© Disegnare il grafico di f
G3© Calcolare l’inversa di f ristretta all’insieme A = {x ∈ R : x ≥ 0}.
8- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/2001
Terza prova Parziale 19/12/2001
A3© Disegnare il grafico dif(x) =
√1− x ln(x)
B3© Disegnare il grafico difa(x) =
√a− x ln(x)
al variare di a ∈ R
C2© Stabilire se e possibile prolungare f per continuita nell’origine.
D2© Stabilire se e possibile prolungare f nell’origine in modo che risulti continua e derivabile.
E2© Calcolare f(1) e utilizzare il risultato per (f−1)′(1)
9- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000
Terza prova Parziale 20/12/2000
Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx
A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1
B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f
Si consideri la funzione
g(x) =
{f(x) x > x0a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0
C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua
D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile
10- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
Prima prova Parziale 21/10/1998
Si consideri l’insieme
A =
{x
x2 + x+ 1, x ∈ R
}.
A© Determinare i maggioranti di A
B© Determinare supA
B© Determinare i minoranti di A
C© Determinare inf A
D© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo
C2© Dimostrare, usando il principio di induzione, che
3(n)! > 2n ∀n ∈ N
11- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998
Seconda prova Parziale 25/11/1998
Si consideri la funzione
f(x) =
√(x
1 + x
)2
A© Calcolarelim
x→+∞f(x)
B© Disegnare il grafico di x1+x
C© Disegnare il grafico di f(x)
D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto
E© Calcolare
limx→0
sin(x2)
1− (cos(x))4
F© Calcolare
limx→+∞
√x− 1−
√x3 − 1
12- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
Terza prova Parziale 19/12/1998
Si consideri la funzione
f(x) = x2e−x
A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f
B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.
C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x
D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)
13- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1
14- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003
Prima prova Parziale 22/10/2003
Si consideri l’insieme
A =
{1
x+ 1, x ∈ R , x ≥ 1
}.
A© Determinare i maggioranti di A
B© Determinare supA
C© Determinare i minoranti di A
D© Determinare inf A
E© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo
F© Dimostrare, usando il principio di induzione, che
n∑k=1
2−k = 1− 2−n ∀n ∈ N
15- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998
Seconda prova Parziale 25/11/1998
Si consideri la successione definita da {an+1 =
6
5− ana0 = k
A© Disegnare il grafico della funzione
f(x) =6
5− x
B© Verificare che se k ∈ [2, 3], an ∈ [2, 3]
C© Verificare che se k ∈ [2, 3], an e decrescente
D© Stabilire se an ammette limite ed, in caso affermativo, calcolarlo
E© Determinare al variare di k il comportamento della successione (non e richiesto dimostrare le affermazionie si puo procedere graficamente
F© Calcolare al variare di α
limx→0
ex − cos(x)
xα
16- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova scritta 19/12/2003
Terza Prova scritta 19/12/2003
Si consideri la funzionef(x) = x ln(1 + x2)
A© Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo.
D© Calcolare f ′(x) ed f ′′(x)
E© Disegnare il grafico di f ′
E© Disegnare il grafico di f
17- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998
Seconda prova Parziale 25/11/1998
Si consideri la funzione
f(x) =
√(x
1 + x
)2
A© Calcolarelim
x→+∞f(x)
B© Disegnare il grafico di x1+x
C© Disegnare il grafico di f(x)
D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto
E© Calcolare
limx→0
sin(x2)
1− (cos(x))4
F© Calcolare
limx→+∞
√x− 1−
√x3 − 1
18- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
Terza prova Parziale 19/12/1998
Si consideri la funzione
f(x) = x2e−x
A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f
B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.
C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x
D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)
19- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1
20- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003
Prima prova Parziale 22/10/2003
Sia
f(x) =x2 + 2
2x2 − 1, g(x) =
x+ 2
2x− 1
A© Disegnare il grafico di g
B© Disegnare il grafico di f
C© Determinaresup{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
D© Determinareinf{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
E© Determinare, se esistono,max{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
min{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
21- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 29/11/2004
Seconda prova Parziale 29/11/2004
A© Calcolare
limx→0
sin(3x3)
ln(1 + x3)
B© Calcolare
limx→0
ex2 − cos(x)
x2
C© Calcolare
limx→0
ex2 − cos(x)− x
5x
D© Calcolare
limx→0
ex2 − cos(x)
x2 + x4
E© Calcolare al variare di α e di β
limx→0
exα − 1
(ln(1 + x))β
22- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Terza prova Parziale 20/12/2004
Si consideri
f(x) = e−x2
(1− 4x2) + 2
A© Disegnare il grafico di f
B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri
g(x) =√|x|(e−x
2
+ 2)
C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g
D© Dopo aver verificato che
g(1) = 2 +1
e
calcolare (g−1
)′(2 +
1
e
)
E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x
4
+ 2)
23- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
24- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003
Prima prova Parziale 22/10/2003
Sia
f(x) = tan(π
4x2 − π
4
)A© Disegnare il grafico di f per x ∈ [−3, 3]
B© Disegnare il grafico di f−1 per f ristretta a (√
3, 2]
C© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a (√
3, 2]
D© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a [−2,−√
3)
E© Determinare una espressione per la somma delle prime N potenze naturali di 5 e provarne, per induzionela validita.
25- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 24/11/2005
Seconda prova Parziale 24/11/2005
A© Calcolare
limx→0
√1− x− 1
x
B© Calcolare
limx→0
sin(x6)
x2 ln(1 + 2x4)
C© Calcolare
limx→+∞
sin(x)
5x
D© Calcolare
limx→−∞
x4 + 2x+ 1
x2 + 3x4
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→2−
E(x) = 1
(E(x) e la parte intera di x).
26- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
Terza Prova Parziale 21/12/2005
Si consideri la funzione
f(x) = 1 + be−x2
2
A© Disegnare il grafico di f
B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)
C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}
27- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1
E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)
28- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Terza prova Parziale 20/12/2004
Si consideri
f(x) = e−x2
(1− 4x2) + 2
A© Disegnare il grafico di f
B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri
g(x) =√|x|(e−x
2
+ 2)
C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g
D© Dopo aver verificato che
g(1) = 2 +1
e
calcolare (g−1
)′(2 +
1
e
)
E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x
4
+ 2)
29- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
30- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2006
Prima prova Parziale 17/10/2006
Si consideri l’insieme
A =
{3√
x2 − 2x+ 2: x ∈ R
}
A© Determinare maggioranti e minoranti di A.
B© Determinare estremo superiore ed inferiore di A
C© Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.
D© Si consideri il seguente teorema e la sua dimostrazione.Teorema La somma di un qualunque numero k di interi n1, n2, ..., nk al quadrato e un quadrato. In
altre parolek∑j=1
n2j = m2 con m ∈ N , ∀k ∈ N
Dimostrazione Per n = 1 si ha che n21 e un quadratoSupponiamo il teorema vero per k e verifichiamo che e vero per k + 1.Consideriamo
k+1∑j=1
n2j = n21 +
k+1∑j=2
n2j
Per l’ipotesi induttiva,k+1∑j=2
n2j = m21 con m1 ∈ N
quindi
n21 +m21 = m2
2 con m2 ∈ N
e si conclude.Si chiedeIl teorema e vero?La dimostrazione e corretta?Nel caso la dimostrazione non sia corretta, perche non e corretta?
31- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006
Seconda prova Parziale 30/11/2006
A© Un carrello si muove lungo l’asse x con velocita costante uguale a 5 metri al secondo, partendo da fermo.Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t.
La temperatura lungo l’asse x aumenta linearmente di 2 gradi per metro partendo da 10 gradiDisegnare il grafico della temperatura avvertita a bordo del carrello in funzione del tempo.
B© Calcolare
limx→0
1− cos(x3)
x2(1− e2x4)
C© Calcolare (E(x) e la parte intera di x)
limx→+∞
arctan(E(x))
5x
D© Calcolare, al variare di a
limx→−∞
x4 + 2x
x2 + ax4
32- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→π
sin(x) = 0
F© Calcolare
limx→0
2−√
4− xx
33- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2006
Terza Prova Parziale 20/12/2006
Si consideri la funzionef(x) = a
x
x2 − 5x+ 6
A© Disegnare il grafico di f al variare di a
B© Determinare, se possibile, x0 in modo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f inx0 valga 1
C© Per a = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R \ {2, 3}, tale che φ′(x) = f(x)per x ∈ R \ {2, 3}
D© Determinare, se possibile, l’inversa di f ristretta a [0, 1]
34- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 24/11/2005
Seconda prova Parziale 24/11/2005
A© Calcolare
limx→0
√1− x− 1
x
B© Calcolare
limx→0
sin(x6)
x2 ln(1 + 2x4)
C© Calcolare
limx→+∞
sin(x)
5x
D© Calcolare
limx→−∞
x4 + 2x+ 1
x2 + 3x4
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→2−
E(x) = 1
(E(x) e la parte intera di x).
35- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
Terza Prova Parziale 21/12/2005
Si consideri la funzione
f(x) = 1 + be−x2
2
A© Disegnare il grafico di f
B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)
C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}
36- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1
E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)
37- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Terza prova Parziale 20/12/2004
Si consideri
f(x) = e−x2
(1− 4x2) + 2
A© Disegnare il grafico di f
B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri
g(x) =√|x|(e−x
2
+ 2)
C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g
D© Dopo aver verificato che
g(1) = 2 +1
e
calcolare (g−1
)′(2 +
1
e
)
E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x
4
+ 2)
38- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
39- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2007
Prima prova Parziale 17/10/2007
Si consideri l’insieme
A =
{1√
x4 + 2: x ∈ R
}
A© Determinare maggioranti e minoranti di A.
B© Determinare estremo superiore ed inferiore di A
C© Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.
40- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2007
D© Dimostrare per induzione che
(n!)2
=
n∏k=1
k2
41- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006
Seconda prova Parziale 30/11/2006
A© Un punto si muove lungo l’asse x con velocita costante uguale a v metri al secondo, partendo da fermo.Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t.
La temperatura lungo l’asse x aumenta linearmente di g gradi per metro partendo da 0 gradiDisegnare il grafico della temperatura del punto in funzione del tempo.
42- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006
B© Calcolare
limx→+∞
x2 − x3x2 + 1
C© Calcolare al variare di x0limx→x0
E(arctan(x))
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→0
sin(x/2) = 0
F© Calcolare
limx→2
2− 3√
4− xx− 2
43- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2007
Terza Prova Parziale 20/12/2007
Si consideri la successione definita da {an+1 = an + na0 = 0
<A> Dimostrare che la successione e positiva
<B> Dimostrare che la successione e strettamente crescente
44- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]
Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2007
<C> Calcolare il limite della successione
<D> Determinare una espressione esplicita di an dimostrando poi, mediante il principio di induzione la suavalidita.
45- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]