Analisi Matematica 1Quarta lezione
prof. Claudio Saccon
Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/Cemail: [email protected]
web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 8.30 alle 11.30
16 ottobre 2009
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 1 / 13
Alcune proprietaSe /0 6= A⊂ B⊂ R, allora
infB≤ infA, supA≤ supB, infA≤ supA
Se f : A→ R allorainfA
f ≤ supA
f
Se f ,g : A→ R e se f (a)≤ g(a) per ogni a in A, allora
infA
f ≤ infA
g, supA
f ≤ supA
g
ATTENZIONE, NON VALE:
supA
f ≤ infA
g
PER QUESTO CI VUOLE
f (a′)≤ g(a′′) ∀a′,a′′ ∈ A
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 2 / 13
Ancora sulla radice di due . . .
Vediamo chesup{x ∈ R : x2 ≤ 2}= 2
DIM.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 4 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 5 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 5 / 13
Tutti i ragionamenti fatti sopra valgono anche se consideriamo
A = sup{q ∈Q : q2 ≤ 2}
e quindi se A avesse estremo superiore q si avrebbe q2 = 2.Dato che nessun rationale ha quadrato pari a due, l’insieme A non ammetteestremo superiore (in Q).
In maniera analoga si puo dimostrare che, dati n intero e y≥ 0, l’insieme
An,y = {x ∈ R : xn ≤ y}
e limitato e chese x = supAn,m allora xn = y
Questo vuol dire che la funzione potenza n-esima, ristretta aR+ := {x ∈ R : x≥ 0} ha come immagine lo stesso R+.Dato che la potenza e chiaramente iniettiva, possiamo definire la radicen-esima di ogni numero positivo y come quell’unico numero positivo x talexn = y. Scriveremo x = n
√y.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 6 / 13
Se introduciamo l’usuale convenzione
xnm := m
√xn
per ogni x positivo (modulo alcune precisazioni/precauzioni, che oratralasciamo), abbiamo definito la potenza a esponente razionale di ogni xpositivo. I grafici delle potenze sono i seguenti
x
y
+0.2 +0.4 +0.6 +0.8 +1.0 +1.2 +1.4 +1.6 +1.8 +2.0
−0.2
−0.1
+0.1
+0.2
+0.3
+0.4
+0.5
+0.6
+0.7
+0.8
+0.9
+1.0
+1.1
+1.2
+1.3
+1.4
+1.5
+1.6
+1.7
+1.8
+1.9
+2.0
+2.1
+2.2
n=1
n=2n=3n=7
n=1
n=0
n=1/7n=1/3
n=1/2
0<A<1
A>1
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 7 / 13
I numeri interiPossiamo individuare i numeri interi come quell’unico sottoinsieme N di Rcon le seguenti proprieta
1 0 ∈ N;2 se n ∈ N, allora n+1 ∈ N3 se A⊂ N, se 0 ∈ A, se A ha la proprieta
a ∈ A⇒ a+1 ∈ A (1)
ALLORA A = NSe un insieme A verifica la condizione (9) diciamo che A e un insiemeinduttivo. Per esempio R e R+ sono induttivi.
Le proprieta (1) e (2) dicono che N e induttivo.La (3) dice che N e il minimo insieme induttivo, nel senso che “non ce nesono altri contenuti in lui”. Si potrebbe dimostrare che tale insieme deveesistere (ma tralasciamo la dimostrazione.)La proprieta (3) si chiama principio di induzione.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 9 / 13
Proprieta di N
Tutti gli interi sono maggiori o eguali a zero.
Se n e m sono interi, allora n+m e intero.
Se n e m sono interi, allora n ·m e intero.
Se n e m sono interi e n−m≥ 0, allora n−m e intero.
Se n e un intero allora ]n,n+1[∩N = /0 (non c’e nessun intero tra n edn+1).
Ogni sottoinsieme A 6= /0 di N ammette minimo.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 10 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 11 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 11 / 13
Principio di induzione per le proprieta
Sia P(n) una proprieta definita per n intero. Allora se
(1) P(0) e vero(2) per ogni n intero vale l’implicazione P(n)→P(n+1)
allora P(n) e vera per ogni n intero.Una proprieta P(n) che verifichi (2) si dice induttiva.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 12 / 13
Esempi di utilizzo del principio di induzione
Proposizione (Diseguaglianza di Bernoulli)Se a ∈ R, a >−1 e se n ∈ N vale la diseguaglianza:
(1+a)n ≥ 1+na
ProposizioneSe A e B sono due numeri reali e n e intero si ha:
An−Bn = (A−B)(An−1 +An−2B+An−3B2 + · · ·+ABn−2 +Bn−1 =
(A−B)n−1
∑k=0
An−kBk (2)
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 13 / 13
Esempi di utilizzo del principio di induzioneProposizione (Somma dei primi n numeri interi)Si ha
1+2+3+ · · ·n =n(n+1)
2.
In termini di sommatoria:
n
∑k=0
k =n(n+1)
2.
Proposizione (Somma dei primi n numeri interi)Si ha
1+2+3+ · · ·n =n(n+1)
2.
In termini di sommatoria:
n
∑k=0
k =n(n+1)
2.
Proposizione (Somma dei quadrati dei primi n numeri interi)Si ha:
n
∑k=0
k2 =n(n+1)(2n+1
6.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 14 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 15 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 15 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 15 / 13
.
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 16 / 13
Definizioni ricorsive
Siano dati un numero reale x0 e una funzione F : R×N→ R( cioe (x,n) 7→ F(x,n) ). La scrittura:{
f (0) := x0
f (n+1) := F(f (n),n)
definisce univocamente una funzione f : N→ R.
EsempioLa definizione {
f (0) := 1f (n+1) := A · f (n)
individua esattamente la funzione potenza di base A: f (n) = An
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 17 / 13
EsempioLa definizione {
f (0) := 1f (n+1) := (n+1) · f (n)
individua esattamente la funzione fattoriale: f (n) = n!
EsempioLa definizione {
f (0) := 3f (n+1) := f (n)2− f (n)
individua univocamente una funzione, che (probailmente) non riusciamo aesprimere in termini di funzioni elementari, ma di cui, in linea di principiopotremmo generare tutti i valori:
f (0) = 3, f (1) = 9−3 = 6, f (2) = 36−6 = 30, f (3) = 900−30 = 870, . . .
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Quarta lezione 16 ottobre 2009 18 / 13
