Date post: | 16-Feb-2019 |
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Analisi Matematica I (08/02/2013)
Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la “bella copia”.Scrivere anche sul retro del foglio.
Cognome:
Nome:
Matricola, Crediti:
12345
TOTALE
Versione A
Esercizio A1. [punti 4] Risolvere l’equazione z3 +( 1 + i
1− i√
3
)12
= 0.
Svolgimento:
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(2n + 1)2n + (n2 + 2n)n
(4n2 + 3n)n − (−n log n + n2)n,
(b) limx→0
sin2(x + 2x2)− log(1 + x2 + 4x3)
e−x2/2 − cos x.
Svolgimento:
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ π/2
0
sin 2x
cos2 x + 2 cos x + 2dx .
Svolgimento:
Esercizio A4. [punti 6] Studiare continuita, esistenza delle derivate parziali, differenziabilitadella funzione
f(x, y) = 3√
x2y(1− xy)
nel punto (0, 0). Verificare se esiste il piano tangente al grafico di f nel punto (2, 2), e, in casoaffermativo, scriverne l’equazione in un riferimento cartesiano ortogonale.
Svolgimento:Analisi Matematica I (08/02/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = (x2 − 3)e−|x−2|
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di crescenzao decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comportamentodella funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (08/02/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Analisi Matematica I (08/02/2013)
Esercizio A1. [punti 4] Risolvere l’equazione z3 +( 1 + i
1− i√
3
)12
= 0.
Svolgimento:
Sia ω = −( 1 + i
1− i√
3
)12
, e calcoliamo |ω| =( |1 + i||1− i
√3|
)12
=(√2
2
)12
=1
26, e arg(ω) = π +
12 arg(1+i)−12 arg(1−i√
3) = π+12π
4+12
π
3= 8π. Allora ω =
1
64, e z = 3
√ω =
{1
4
(cos
2kπ
3+
i sin2kπ
3
): k = 0, 1, 2
}={1
4,1
4
(− 1
2+ i
√3
2
),1
4
(− 1
2− i√
3
2
)}={1
4,−1− i
√3
8,−1 + i
√3
8
}.
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(2n+ 1)2n + (n2 + 2n)n
(4n2 + 3n)n − (−n log n+ n2)n,
(b) limx→0
sin2(x+ 2x2)− log(1 + x2 + 4x3)
e−x2/2 − cosx.
Svolgimento:(a) Se n→∞,
(2n+ 1)2n + (n2 + 2n)n
(4n2 + 3n)n − (−n log n+ n2)n=
4nn2n(1 + 12n
)2n + n2n(1 + 2n)n
4nn2n(1 + 34n
)n − n2n(1− lognn
)n
=e(1 + o(1)) + 4−ne2(1 + o(1))
e3/4(1 + o(1))− 4−n exp(n log(1− logn
n)) =
e(1 + o(1))
e3/4(1 + o(1))− 4−n exp(− log n(1 + o(1))
)= e1/4(1 + o(1)).
(b) Se x→ 0,
sin2(x+ 2x2)− log(1 + x2 + 4x3)
e−x2/2 − cosx=
(x+ 2x2 − 1
6(x+ 2x2)3 + o(x3)
)2 − (x2 + 4x3 − 12(x2 + 4x3)2 + o(x4)
)(1− 1
2x2 + 1
8x4 + o(x4)
)−(1− 1
2x2 + 1
24x4 + o(x4)
)=
(x+ 2x2 − 1
6x3 + o(x3)
)2 − (x2 + 4x3 − 12x4 + o(x4)
)112x4(1 + o(1))
=
(x2 + 4x3 + 11
3x4 + o(x4)
)−(x2 + 4x3 − 1
2x4 + o(x4)
)112x4(1 + o(1))
=256x4(1 + o(1))
112x4(1 + o(1))
= 50(1 + o(1)).
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ π/2
0
sin 2x
cos2 x+ 2 cosx+ 2dx .
Svolgimento:
∫ π/2
0
2 sinx cosx
cos2 x+ 2 cosx+ 2dx
(a)=
∫ 1
0
2z
z2 + 2z + 2dz =
∫ 1
0
( 2z + 2
z2 + 2z + 2− 2
z2 + 2z + 2
)dz
=[
log(z2 + 2z + 2)]10− 2
∫ 1
0
dz
(z + 1)2 + 1
)= log
5
2− 2[
arctg(z + 1)]10
= log5
2− 2 arctg 2 + 2 arctg 1,
dove in (a) si e usata la sostituzione z = cosx, dz = − sinx dx.
Esercizio A4. [punti 6] Studiare continuita, esistenza delle derivate parziali, differenziabilitadella funzione
f(x, y) = 3√x2y(1− xy)
nel punto (0, 0). Verificare se esiste il piano tangente al grafico di f nel punto (2, 2), e, in casoaffermativo, scriverne l’equazione in un riferimento cartesiano ortogonale.
Svolgimento:Intanto f e continua in R2, perche composizione di funzioni continue. Calcoliamo le derivateparziali in (0, 0). Si ha
fx(0, 0) = limt→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lim
t→0
0
t= 0
fy(0, 0) = limt→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lim
t→0
0
t= 0.
Verifichiamo se f e differenziabile in (0, 0). Si ha
lim(x,y)→(0,0)
3√x2y(1− xy)
(x2 + y2)1/2= lim
ρ→0
3√ρ3 cos2 ϑ sinϑ(1− ρ2 cosϑ sinϑ)
ρ= lim
ρ→0
3√
cos2 ϑ sinϑ(1 + o(1)) = @,
perche per ϑ = 0 il limite e 0, mentre per ϑ = π4
il limite e 1√2. Quindi f non e differenziabile
in (0, 0).Poiche f ammette piano tangente in (2, 2) precisamente se e ivi differenziabile, calcoliamo lederivate parziali in un intorno di (2, 2). Si ha
fx(x, y) =2xy(1− xy)− y · x2y
3(x2y(1− xy)
)2/3 =xy(2− 3xy)
3(x2y(1− xy)
)2/3fy(x, y) =
x2(1− xy)− x · x2y
3(x2y(1− xy)
)2/3 =xy(1− 2xy)
3(x2y(1− xy)
)2/3 ,che sono continue in R2 \ {(0, 0)}, per cui f e differenziabile in R2 \ {(0, 0)}, per il teorema deldifferenziale totale. In particolare, esiste il piano tangente in (2, 2), e ha equazione
z = f(2, 2) + fx(2, 2)(x− 2) + fy(2, 2)(y − 2) = −23√
3− 10√
3
9(x− 2)− 7
√3
9(y − 2)
= −10√
3
9x− 7
√3
9y +
16√
3
9.
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = (x2 − 3)e−|x−2|
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di cre-scenza o decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comporta-mento della funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:Si ha dom f = R. La funzione e continua, perche composizione e prodotto di funzioni continue.Per x → ±∞, si ha f(x) = x2e−|x|(1 + o(1)) = o(1), per cui f ha asintoto orizzontale y = 0.Calcoliamo la derivata prima. Si ha
f ′(x) = 2xe−|x−2| − (x2 − 3) sgn(x− 2)e−|x−2| =
{(x2 + 2x− 3)ex−2, x < 2,
−(x2 − 2x− 3)e2−x, x > 2,
per cui f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [1, 2) ∪ (2, 3]. Quindi f e crescente in (−∞,−3] ein [1, 3], e decrescente in [−3, 1] e in [3,+∞). Infine, f ′−(2) = limx→2− f
′(x) = 5, e f ′+(2) =limx→2+ f ′(x) = 3. Quindi x = 2 e un punto angoloso.
Infine, f ′′(x) =
{(x2 + 4x− 1)ex−2, x < 2,
(x2 − 4x− 1)e2−x, x > 2,
per cui f ′′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−2−√
5]∪ [−2+√
5, 2)∪ [2+√
5,+∞). Quindi f e convessain (−∞,−2 −
√5], in [−2 +
√5, 2], e in [2 +
√5,+∞), e concava in [−2 −
√5,−2 +
√5] e in
[2, 2 +√
5], mentre x = −2±√
5 e x = 2 +√
5 sono punti di flesso. Il grafico di f e riportatoin figura.
-4 -2 2 4 6 8 10
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Analisi Matematica I (18/02/2013)
Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la “bella copia”.Scrivere anche sul retro del foglio.
Cognome:
Nome:
Matricola, Crediti:
12345
TOTALE
Versione A
Esercizio A1. [punti 4] Studiare, al variare di α ∈ R, la convergenza dell’integrale improprio∫ 1
0
(1− cosx2)α
x2(tg x)2−α dx .
Svolgimento:
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
cos
(2π
3
√log(n5n3 + 8n4
)+√n8 + n7 − n4
log(8n + n23! + 1)
),
(b) limx→0
x(
sin(2x)− arctg(2x))
ex2 cosx− 1− 12x2
.
Svolgimento:
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ 0
−1
1√3x+ 4− x
dx .
Svolgimento:
Esercizio A4. [punti 6] Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy{y′ =
y
t+ t2 sin t
y(π) = 0.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (18/02/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = 2x+ 2|x|+ log(x− 2
x− 4
)2
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di crescenzao decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comportamentodella funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (18/02/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Analisi Matematica I (18/02/2013)
Esercizio A1. [punti 4] Studiare, al variare di α ∈ R, la convergenza dell’integrale improprio∫ 1
0
(1− cosx2)α
x2(tg x)2−α dx .
Svolgimento:
Per x → 0+, si ha f(x) =
(12x4)α
(1 + o(1))
x2x2−α(1 + o(1))=
1
2α1
x4−5α(1 + o(1)), per cui
∫ 1
0f ∈ R ⇐⇒
4− 5α < 1 ⇐⇒ α > 35.
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
cos
(2π
3
√log(n5n3 + 8n4
)+√n8 + n7 − n4
log(8n + n23! + 1)
),
(b) limx→0
x(
sin(2x)− arctg(2x))
ex2 cosx− 1− 12x2
.
Svolgimento:(a) Se n→∞,
cos
(2π
3
√log(n5n3 + 8n4
)+√n8 + n7 − n4
log(8n + n23! + 1)
)= cos
(2π
3
√√√√ log(8n4(1 + o(1))
)+ n8+n7−n8√
n8+n7+n4
log(8n(1 + o(1))
) )
= cos
(2π
3
√n4 log 8 + o(1) + 1
2n3(1 + o(1))
n log 8 + o(1)
)= cos
(2π 3
√n3 +
1
2 log 8n2 + o(n2)
)= cos
(2πn 3
√1 +
1
2n log 8+ o( 1
n
))= cos
(2πn
(1 +
1
6n log 8+ o( 1
n
)))= cos
(2πn+
π
3 log 8+ o(1)
)= cos
( π
3 log 8
)+ o(1) .
(b) Se x→ 0,
x(
sin(2x)− arctg(2x))
ex2 cosx− 1− 12x2
=x(2x− 4
3x3 + o(x3)
)− x(2x− 8
3x3 + o(x3)
)(1 + x2 + 1
2x4 + o(x4)
)(1− 1
2x2 + 1
24x4 + o(x4)
)− 1− 1
2x2
=43x4 + o(x4)
1 + x2 + 12x4 − 1
2x2 − 1
2x4 + 1
24x4 + o(x4)− 1− 1
2x2
=43x4(1 + o(1))
124x4(1 + o(1))
= 32(1 + o(1)).
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ 0
−1
1√3x+ 4− x
dx .
Svolgimento:
∫ 0
−1
dx√3x+ 4− x
dx(a)=
∫ 2
1
23z
z − 13(z2 − 4)
dz = −∫ 2
1
2z
z2 − 3z − 4dz = −2
5
∫ 2
1
( 1
z + 1+
4
z − 4
)dz
= −2
5
[log |z + 1|+ 4 log |z − 4|
]21
=6
5log
3
2,
dove in (a) si e usata la sostituzione z =√
3x+ 4 =⇒ x = 13(z2 − 4), dz = 2
3x dx.
Esercizio A4. [punti 6] Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy{y′ =
y
t+ t2 sin t
y(π) = 0.
Svolgimento:E un’equazione differenziale del primo ordine lineare non omogenea. L’equazione omogenea
associata ha soluzione
∫dy
y=
∫dt
t⇐⇒ log |y| = log |t| + C ⇐⇒ yom(t) = kt, con k ∈ R.
Cerchiamo una soluzione particolare dell’equazione non omogenea della forma yp(t) = k(t)t.Allora k(t) + k′(t)t = k(t) + t2 sin t ⇐⇒ k′(t) = t sin t ⇐⇒ k(t) =
∫t sin t dt = −t cos t +
sin t+ c, per cui yp(t) = t sin t− t2 cos t, e la solusione generale dell’equazione non omogenea eyg(t) = kt+t sin t−t2 cos t. Imponendo la condizione iniziale si ottiene 0 = kπ+π2 =⇒ k = −π,per cui la soluzione del problema di Cauchy e yC(t) = t sin t− t2 cos t− πt.
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = 2x+ 2|x|+ log(x− 2
x− 4
)2
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di cre-scenza o decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comporta-mento della funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:Si ha dom f = R \ {2, 4} = (−∞, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4,+∞). La funzione e continua, perchecomposizione e somma di funzioni continue.Per x→ +∞, si ha f(x) = 4x+log(1+o(1)) = 4x+o(1), per cui f ha asintoto obliquo y = 4x.Per x→ +∞, si ha f(x) = log(1+o(1)) = o(1), per cui f ha asintoto orizzontale y = 0. Inoltre,
limx→2± f(x) = limx→2± 4x + log(x−2x−4
)2= −∞, e limx→4± f(x) = limx→4± 4x + log
(x−2x−4
)2=
+∞, per cui x = 2 e x = 4 sono asintoti verticali. Calcoliamo la derivata prima. Si ha
f ′(x) = 2 + 2 sgn(x) +2
x− 2− 2
x− 4=
{− 4x2−6x+8
, x < 0,4(x2−6x+7)x2−6x+8
, x > 0,
per cui f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 3 −√
2] ∪ (2, 4) ∪ [3 +√
2,+∞). Quindi f e crescente in[0, 3−
√2], in (2, 4), e in [3+
√2,+∞), e decrescente in (−∞, 0], in [3−
√2, 2), e in (4, 3 +
√2].
Allora, x = 0 e x = 3+√
2 sono punti di minimo relativo, con f(0) = − log 4, e x = 3+√
2 e unpunto di massimo relativo. Inoltre, f ′−(0) = limx→0− f
′(x) = −12, e f ′+(0) = limx→0+ f ′(x) = 7
2.
Quindi x = 0 e un punto angoloso.
Infine, f ′′(x) =8(x− 3)
(x2 − 6x+ 8)2, x 6= 0, per cui f ′′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [3, 4) ∪ (4,+∞). Quindi f
e convessa in [3, 4), e in (4,+∞), e concava in (−∞, 0], in [0, 3−√
2] e in (2, 3], mentre x = 3e un punto di flesso. Il grafico di f e riportato in figura.
-10 -5 5 10
10
20
30
40
Analisi Matematica I (1/07/2013)
Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la “bella copia”.Scrivere anche sul retro del foglio.
Cognome:
Nome:
Matricola, Crediti:
12345
TOTALE
Versione A
Esercizio A1. [punti 6] Disporre in ordine crescente di infinito, per x → 0+, le seguentifunzioni
f(x) =e√x + e−
√x − 2ex
4
log(1 + x2 log x), g(x) =
sin x− x cos(2x)
(1− cos x)2, h(x) =
1− cos(x log x)
x(ex2 log x − 1).
Svolgimento:
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(nn
2+3n + nn2+n + nn
)1/n(n + 3)n+3 + 8nn+3
,
(b) limx→0
sin(2x)− 2 sin(x + 3x2) + 6x2
arctg(3x)− 3 arctg x.
Svolgimento:
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ π/2
0
sin(2x) log(1 + sin x) dx .
Svolgimento:
Esercizio A4. [punti 5] Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
y′′ + 4y′ + 3y = 2e−t.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (1/07/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = |x|+ 2 arctg(x− 1
x− 3
)specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di crescenzao decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comportamentodella funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (1/07/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Analisi Matematica I (1/07/2013)
Esercizio A1. [punti 6] Disporre in ordine crescente di infinito, per x → 0+, le seguentifunzioni
f(x) =e√x + e−
√x − 2ex
4
log(1 + x2 log x), g(x) =
sinx− x cos(2x)
(1− cosx)2, h(x) =
1− cos(x log x)
x(ex2 log x − 1).
Svolgimento:Per x→ 0+, si ha
f(x) =1 +√x+ 1
2x+ o(x) + 1−
√x+ 1
2x+ o(x)− 2− 2x4 + o(x4)
x2 log x(1 + o(1))=
x(1 + o(1))
x2 log x(1 + o(1))=
1
x log x(1 + o(1)),
g(x) =x− 1
6x3 + o(x3)− x+ 2x3 + o(x3)
14x4(1 + o(1))
=22
3x(1 + o(1)),
h(x) =12x2(log x)2(1 + o(1))
x3 log x(1 + o(1))=
log x
2x(1 + o(1)),
per cui l’ordine e f ≺ g ≺ h.
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(nn
2+3n + nn2+n + nn
)1/n(n+ 3)n+3 + 8nn+3
,
(b) limx→0
sin(2x)− 2 sin(x+ 3x2) + 6x2
arctg(3x)− 3 arctg x.
Svolgimento:(a) Se n→∞,(
nn2+3n + nn
2+n + nn)1/n
(n+ 3)n+3 + 8nn+3=nn+3(1 + n−2n + n−n
2−2n)1/n
nn+3(1 + 3n)n+3 + 8nn+3
=1 + o(1)
e3 + 8 + o(1)=
1
e3 + 8+ o(1) .
(b) Se x→ 0,
sin(2x)− 2 sin(x+ 3x2) + 6x2
arctg(3x)− 3 arctg x=
(2x− 4
3x3 + o(x3)
)− 2(x+ 3x2 − 1
6(x+ 3x2)3 + o(x3)
)+ 6x2
3x− 9x3 + o(x3)− 3x+ x3 + o(x3)
=−x3 + o(x3)
−8x3 + o(x3)=
1
8+ o(1).
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ π/2
0
sin(2x) log(1 + sinx) dx .
Svolgimento:
∫ π/2
0
sin(2x) log(1 + sinx) dx(a)=
∫ 1
0
2z log(1 + z) dz = [z2 log(1 + z)]10 −∫ 1
0
z2
z + 1dz
= log 2−∫ 1
0
(z − 1 +
1
z + 1
)dz = log 2−
[1
2z2 − z + log |z + 1|
]10
=1
2,
dove in (a) si e usata la sostituzione z = sinx =⇒ dz = cosx dx.
Esercizio A4. [punti 5] Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
y′′ + 4y′ + 3y = 2e−t.
Svolgimento:E un’equazione differenziale del secondo ordine lineare non omogenea. L’equazione caratteristi-ca λ2 +4λ+3 = 0 ha soluzioni λ = −3 e λ = −1. L’equazione omogenea associata ha soluzioneyom(t) = c1e
−3t + c2e−t, con c1, c2 ∈ R. Cerchiamo una soluzione particolare dell’equazione
non omogenea della forma yp(t) = ate−t. Sostituendo nell’equazione differenziale, otteniamoa(−2e−t+te−t)+4a(e−t−te−t)+3ate−t = 2e−t ⇐⇒ 2a = 2, per cui yp(t) = te−t, e la soluzionegenerale dell’equazione non omogenea e yg(t) = c1e
−3t + c2e−t + te−t.
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = |x|+ 2 arctg(x− 1
x− 3
)specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di cre-scenza o decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comporta-mento della funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:Si ha dom f = R \ {3} = (−∞, 3) ∪ (3,+∞). La funzione e continua, perche composizione esomma di funzioni continue.Per x→ ±∞, si ha f(x) = |x|+2 arctg(1 +o(1)) = |x|+ π
2+o(1), per cui f ha asintoto obliquo
y = ±x + π2, per x→ ±∞. Inoltre, limx→3± f(x) = limx→3± |x| + arctg
(x−1x−3
)= 3± π
2, per cui
x = 3 non e asintoto verticale. Calcoliamo la derivata prima. Si ha
f ′(x) = sgn(x) + 21
1 +(x−1x−3
)2 x− 3− (x− 1)
(x− 3)2= sgn(x)− 4
(x− 3)2 + (x− 1)2
= sgn(x)− 2
x2 − 4x+ 5=
{−x2−4x+7x2−4x+5
, x < 0,x2−4x+3x2−4x+5
, x > 0,
per cui f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1]∪(3,+∞). Quindi f e crescente in [0, 1], e in (3,+∞), e decre-scente in (−∞, 0], e in [1, 3). Allora, x = 0 e un punto di minimo relativo, con f(0) = 2 arctg 1
3,
e x = 1 e un punto di massimo relativo, con f(1) = 1. Inoltre, f ′−(0) = limx→0− f′(x) = −7
5, e
f ′+(0) = limx→0+ f ′(x) = 35. Quindi x = 0 e un punto angoloso.
Infine, f ′′(x) =4(x− 2)
(x2 − 4x+ 5)2, x 6= 0, per cui f ′′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [2, 3) ∪ (3,+∞). Quindi f
e convessa in [2, 3), e in (3,+∞), e concava in (−∞, 0], e in [0, 2], mentre x = 2 e un punto diflesso. Il grafico di f e riportato in figura.
-10 -5 5 10
2
4
6
8
10
12
Analisi Matematica I (15/07/2013)
Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la “bella copia”.Scrivere anche sul retro del foglio.
Cognome:
Nome:
Matricola, Crediti:
12345
TOTALE
Versione A
Esercizio A1. [punti 4] Studiare, al variare di α ∈ R, la convergenza dell’integrale improprio∫ +∞
2
log(ex + x4)
(xe + 2x3 log x)2−α arctg( 3
x log x
)dx .
Svolgimento:
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
((n+ 1)!)n + (4n+ 3)n
(n!)n − (n+ 2)n+2
n2 + 5n log n
(n+ 2)n+2,
(b) limx→0
log(1 + 2x2)− cos(x+ 3x3) + 1− 52x2
sin(3x2)− e3x2 + 1.
Svolgimento:
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ 1/2
0
x arctg(2x) dx .
Svolgimento:
Esercizio A4. [punti 6] Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchyy′ =sin(2t)
y√
16 + sin2 ty(0) = −4.
Svolgimento:Analisi Matematica I (15/07/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = (x− 1)ex−1x−2
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di crescenzao decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comportamentodella funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (15/07/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Analisi Matematica I (15/07/2013)
Esercizio A1. [punti 4] Studiare, al variare di α ∈ R, la convergenza dell’integrale improprio∫ +∞
2
log(ex + x4)
(xe + 2x3 log x)2−α arctg( 3
x log x
)dx .
Svolgimento:
Per x→ +∞, si ha f(x) =log(ex(1 + o(1)))
(2x3 log x)2−α3
x log x(1+o(1)) =
3
22−α1
x6−3α(log x)3−α (1+o(1)),
per cui∫ +∞
2f ∈ R ⇐⇒
{6− 3α > 1 ⇐⇒ α < 5
3,
6− 3α = 1 e 3− α > 1 ⇐⇒ α = 53
⇐⇒ α ≤ 53.
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
((n+ 1)!)n + (4n+ 3)n
(n!)n − (n+ 2)n+2
n2 + 5n log n
(n+ 2)n+2,
(b) limx→0
log(1 + 2x2)− cos(x+ 3x3) + 1− 52x2
sin(3x2)− e3x2 + 1.
Svolgimento:(a) Se n→∞,
((n+ 1)!)n + (4n+ 3)n
(n!)n − (n+ 2)n+2
n2 + 5n log n
(n+ 2)n+2=
((n+ 1)!)n(1 + o(1))
(n!)n(1 + o(1))
n2(1 + o(1))
nn+2e2(1 + o(1))
= (n+ 1)n(1 + o(1))1 + o(1)
nne2= nne(1 + o(1))
1 + o(1)
nne2=
1
e+ o(1) .
(b) Se x→ 0,
log(1 + 2x2)− cos(x+ 3x3) + 1− 52x2
sin(3x2)− e3x2 + 1
=2x2 − 2x4 + o(x4)− 1 + 1
2(x+ 3x3)2 − 1
24(x+ 3x3)4 + o(x4) + 1− 5
2x2
3x2 − 92x6 + o(x4)− 1− 3x2 − 9
2x4 + o(x4) + 1
=2324x4 + o(x4)
−92x4(1 + o(1))
= − 23
108(1 + o(1)).
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ 1/2
0
x arctg(2x) dx .
Svolgimento:
∫ 1/2
0
x arctg(2x) dx(a)=[x2
2arctg(2x)
]1/20−∫ 1/2
0
x2
2
2
1 + 4x2dx =
π
32− 1
4
∫ 1/2
0
(1− 1
1 + 4x2
)dx
=π
32− 1
8+
1
8
[arctg(2x)
]1/20
=π
16− 1
8,
dove in (a) si e usata l’integrazione per parti.
Esercizio A4. [punti 6] Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchyy′ =sin(2t)
y√
16 + sin2 ty(0) = −4.
Svolgimento:E un’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Separando le variabili
e integrando, si ottiene
∫y dy =
∫sin(2t)√
16 + sin2 tdt
(a)=
∫dz√z
= 2√z + C = 2
√16 + sin2 t +
C ⇐⇒ 1
2y2 = 2
√16 + sin2 t+C, dove in (a) si e usata la sostituzione z = 16+sin2 t ⇐⇒ dz =
2 sin t cos t dt = sin(2t) dt. Imponendo la condizione iniziale si ottiene 8 = 8 + C =⇒ C = 0,
per cui la soluzione del problema di Cauchy e yC(t) = ±24√
16 + sin2 t, e la condizione inizialeimpone la scelta del segno meno.
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = (x− 1)ex−1x−2
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di cre-scenza o decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comporta-mento della funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:Si ha dom f = R \ {2} = (−∞, 2) ∪ (2,+∞). La funzione e continua, perche composizione esomma di funzioni continue.Per x → ±∞, si ha f(x) = (x − 1) exp
(1 + 1
x−2
)= e(x − 1)
(1 + 1
x−2+ o( 1
x−2))
= e(x −1) + e + o(1) = ex + o(1), per cui f ha asintoto obliquo y = ex. Inoltre, limx→2+ f(x) =limx→2+(x− 1) exp
(x−1x−2
)= +∞, e limx→2− f(x) = limx→2−(x− 1) exp
(x−1x−2
)= 0, per cui x = 2
e asintoto verticale. Calcoliamo la derivata prima. Si ha, per x 6= 2,
f ′(x) = ex−1x−2 + (x− 1)e
x−1x−2
x− 2− (x− 1)
(x− 2)2=x2 − 5x+ 5
(x− 2)2e
x−1x−2
per cui f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 5−√
52
]∪ [5+√
52,+∞). Quindi f e crescente in (−∞, 5−
√5
2], e in
[5+√
52,+∞), e decrescente in [5−
√5
2, 2), e in (2, 5+
√5
2]. Allora, x = 5+
√5
2e un punto di minimo
relativo, e x = 5−√
52
e un punto di massimo relativo. Inoltre, limx→2−
f ′(x) = 0.
Infine, f ′′(x) =3x− 5
(x− 2)4e
x−1x−2 , per cui f ′′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [5
3, 2)∪ (2,+∞). Quindi f e convessa
in [53, 2), e in (2,+∞), e concava in [1, 5
3], mentre x = 5
3e un punto di flesso. Il grafico di f e
riportato in figura.
Analisi Matematica I (9/9/2013)
Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la “bella copia”.Scrivere anche sul retro del foglio.
Cognome:
Nome:
Matricola, Crediti:
12345
TOTALE
Versione A
Esercizio A1. [punti 4] Risolvere l’equazione(z + i
z − i
)3
= i.
Svolgimento:
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(2n + 3n3
)2n/n3
+ 3n4(2n + 4 log n
)2n/n3
+ nn2,
(b) limx→0
log(1 + 2x2)− e2x2+ 1
sin(2x2) + cos(2x)− 1.
Svolgimento:
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ 1
0
(x + 2)√
4− x2 dx .
Svolgimento:
Esercizio A4. [punti 6] Studiare continuita, esistenza delle derivate parziali, differenziabilitadella funzione
f(x, y) =
x sin(x2y)
x2 + y2+ 2x, (x, y) 6= (0, 0),
0, (x, y) = (0, 0),
nel punto (0, 0). Verificare se esiste il piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0), e, in casoaffermativo, scriverne l’equazione in un riferimento cartesiano ortogonale.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (9/9/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = 3√
x(x2 − 4)
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di crescenzao decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comportamentodella funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (9/9/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Analisi Matematica I (09/09/2013)
Esercizio A1. [punti 4] Risolvere l’equazione(z + i
z − i
)3
= i.
Svolgimento:
Si haz + i
z − i= ω, dove ω :=
3√i ∈{
cosπ2
+ 2kπ
3+i sin
π2
+ 2kπ
3: k = 0, 1, 2
}={±√3 + i
2,−i}
,
per cui z = iω + 1
ω − 1∈{i±√
3 + i+ 2
±√
3 + i− 2,−i1− i
1 + i
}={i(±√
3 + 2 + i)(±√
3− 2− i)(±√
3− 2)2 + 1,−i(1− i)
2
2
}={ 4
8∓ 4√
3,−1
}={
2±√
3,−1}
.
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(2n + 3n3
)2n/n3
+ 3n4(
2n + 4 log n)2n/n3
+ nn2,
(b) limx→0
log(1 + 2x2)− e2x2+ 1
sin(2x2) + cos(2x)− 1.
Svolgimento:(a) Se n→∞,(
2n + 3n3)2n/n3
+ 3n4(
2n + 4 log n)2n/n3
+ nn2=( 2n + 3n3
2n + 4 log n
)2n/n3
(1 + o(1)) = exp
(2n
n3log( 1 + 3n3
2n
1 + 4 logn2n
))(1 + o(1))
= exp
(2n
n3
(3n3
2n(1 + o(1))− 4 log n
2n(1 + o(1)
))= exp
(3− 4 log n
n3+ o(1)
)= e3 + o(1).
(b) Se x→ 0,
log(1 + 2x2)− e2x2+ 1
sin(2x2) + cos(2x)− 1=
(2x2 − 2x4 + o(x4)
)−(1 + 2x2 + 2x4 + o(x4)
)+ 1(
2x2 − 43x6 + o(x6)
)+(1− 2x2 + 2
3x4 + o(x4)
)− 1
=−4x4 + o(x4)23x4(1 + o(1))
= −6 + o(1).
Esercizio A3. [punti 6] Calcolare l’integrale∫ 1
0
(x+ 2)√
4− x2 dx .
Svolgimento:
∫ 1
0
(x+ 2)√
4− x2 dx(a)=
∫ π/6
0
(2 sin t+ 2)2 cos t · 2 cos t dt = 8
∫ π/6
0
(sin t cos2 t+
1 + cos 2t
2
)dt
=[− 8
3cos3 t+ 4t+ 2 sin 2t
]π/60
= −√
3 +2π
3+√
3 +8
3=
2(4 + π)
3,
dove in (a) si e usata la sostituzione x = 2 sin t, dx = 2 cos t dt.
Esercizio A4. [punti 6] Studiare continuita, esistenza delle derivate parziali, differenziabilitadella funzione
f(x, y) =
x sin(x2y)
x2 + y2+ 2x, (x, y) 6= (0, 0),
0, (x, y) = (0, 0),
nel punto (0, 0). Verificare se esiste il piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0), e, in casoaffermativo, scriverne l’equazione in un riferimento cartesiano ortogonale.
Svolgimento:Intanto f e continua in R2 \ {(0, 0)}, perche composizione di funzioni continue. Verifichiamo see continua in (0, 0). Si ha
lim(x,y)→(0,0)
(x sin(x2y)
x2 + y2+ 2x
)= lim
(x,y)→(0,0)
x3y(1 + o(1))
x2 + y2= lim
ρ→0ρ2 cos3 ϑ sinϑ((1 + o(1)) = 0,
perche ρ2 → 0, e | cos3 ϑ sinϑ| ≤ 1. Calcoliamo le derivate parziali in R2 \ {(0, 0)}. Si ha
fx(x, y) =
(sin(x2y) + 2x2y cos(x2y)
)(x2 + y2)− 2x2 sin(x2y)
(x2 + y2)2+ 2,
fy(x, y) =x3 cos(x2y)(x2 + y2)− 2xy sin(x2y)
(x2 + y2)2,
che sono continue in R2 \ {(0, 0)}, per cui f e differenziabile in R2 \ {(0, 0)}, per il teorema deldifferenziale totale. In (0, 0), si ha
fx(0, 0) = limt→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t= lim
t→0
2t
t= 2
fy(0, 0) = limt→0
f(0, t)− f(0, 0)
t= lim
t→0
0
t= 0.
Verifichiamo se f e differenziabile in (0, 0). Si ha
lim(x,y)→(0,0)
(x sin(x2y)x2+y2
+ 2x)− 2x
(x2 + y2)1/2= lim
(x,y)→(0,0)
x sin(x2y)
(x2 + y2)3/2= lim
ρ→0ρ cos3 ϑ sinϑ((1 + o(1)) = 0,
perche ρ→ 0, e | cos3 ϑ sinϑ| ≤ 1. Quindi f e differenziabile in (0, 0).Poiche f e differenziabile in (1, 0), esiste ivi il piano tangente, e ha equazione
z = f(1, 0) + fx(1, 0)(x− 1) + fy(1, 0)y = 2 + 2(x− 1) + y = 2x+ y.
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = 3√x(x2 − 4)
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di cre-scenza o decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita. Studiare il comporta-mento della funzione negli eventuali punti di non derivabilita.
Svolgimento:Si ha dom f = R. La funzione e continua, perche composizione e prodotto di funzioni continue.
Per x → ±∞, si ha f(x) = x 3
√1− 4
x2 = x(1 − 4
3x2 (1 + o(1))
= x + o(1), per cui f ha
asintoto obliquo y = x. Calcoliamo la derivata prima. Si ha f ′(x) =1
3
3x2 − 4(x(x2 − 4)
)2/3 , per
cui f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2 − 2√3] ∪ [ 2√
3, 2) ∪ (2,+∞). Quindi f e crescente in
(−∞,− 2√3] e in [ 2√
3,+∞), e decrescente in [− 2√
3, 2√
3]. Infine, f ′−(2) = limx→2− f
′(x) = 5, e
f ′+(2) = limx→2+ f ′(x) = 3. Quindi x = 2 e un punto angoloso.
Infine, f ′′(x) =1
3
6x(x(x2 − 4)
)2/3 − 23
(x(x2 − 4)
)−1/3(3x2 − 4)2(
x(x2 − 4))4/3 = −8
9
3x2 + 4(x(x2 − 4)
)5/3 , per cui
f ′′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−2) ∪ (0, 2). Quindi f e convessa in (−∞,−2], e in [0, 2], e concavain [−2, 0] e in [2,+∞), mentre x = ±2 e x = 0 sono punti di flesso. Il grafico di f e riportatoin figura.
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
Analisi Matematica I (18/9/2013)
Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la “bella copia”.Scrivere anche sul retro del foglio.
Cognome:
Nome:
Matricola, Crediti:
12345
TOTALE
Versione A
Esercizio A1. [punti 6] Disporre in ordine crescente di infinitesimo, per x→ 0+, le seguentifunzioni
f(x) =sin(x− 3x2 log x)
log(x + 2| log x|), g(x) =
ex2cos x− 1
xx − 1, h(x) =
4 arctg x + x log x
2 log(x| log x|).
Svolgimento:
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(4n2
+ n3n)1/n
(4 + 5n)n + n2 log n
,
(b) limx→0
log(1 + 6x)− sin 6x
arctg x− x− 2x2.
Svolgimento:
Esercizio A3. [punti 5] Calcolare l’integrale∫ 1/4
0
1
(x− 1)√
xdx .
Svolgimento:
Esercizio A4. [punti 5] Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
y′′ + 6y′ + 10y = e−3t.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (18/9/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) =2x + 1 + log(x4)
x
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di crescenzao decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita.
Svolgimento:
Analisi Matematica I (18/9/2013). Cognome e Nome, Matricola:
Analisi Matematica I (18/09/2013)
Esercizio A1. [punti 6] Disporre in ordine crescente di infinitesimo, per x→ 0+, le seguentifunzioni
f(x) =sin(x− 3x2 log x)
log(x+ 2| log x|), g(x) =
ex2cosx− 1
xx − 1, h(x) =
4 arctg x+ x log x
2 log(x| log x|).
Svolgimento:Per x→ 0+, si ha
f(x) =sin(x+ o(x))
log(2| log x|(1 + o(1))
) =x(1 + o(1))
log | log x|(1 + o(1))=
x
log | log x|(1 + o(1)),
g(x) =
(1 + x2 + o(x2)
)(1− 1
2x2 + o(x2)
)− 1
ex log x − 1=
12x2(1 + o(1))
x log x(1 + o(1))=
x
2 log x(1 + o(1)),
h(x) =4x(1 + o(1)) + x log x
2 log x+ 2 log | log x|=x log x(1 + o(1))
2 log x(1 + o(1))=x
2(1 + o(1)),
per cui l’ordine e h ≺ f ≺ g.
Esercizio A2. [punti 8] Calcolare i seguenti limiti
(a) limn→∞
(4n2
+ n3n)1/n
(4 + 5n)n + n2 log n
,
(b) limx→0
log(1 + 6x)− sin 6x
arctg x− x− 2x2.
Svolgimento:(a) Se n→∞,(
4n2+ n3n
)1/n
(4 + 5n)n + n2 log n
(a)=
4n(1 + o(1)
)1/n
4n(1 + 5
4n
)n+ e2(log n)2
(b)=
4n(1 + o(1)
)4ne5/4(1 + o(1))
= e−5/4 + o(1) ,
dove si sono usati: in (a),n3n
4n2 = exp(3n log n− n2 log 4
)→ 0;
in (b),e2(log n)2
4n= exp
(2(log n)2 − n log 4
)→ 0.
(b) Se x→ 0,
log(1 + 6x)− sin 6x
arctg x− x− 2x2=
6x− 362x2 + o(x2)− 6x+ o(x2)
x+ o(x2)− x− 2x2=−18x2(1 + o(1))
−2x2(1 + o(1))= 9 + o(1).
Esercizio A3. [punti 5] Calcolare l’integrale∫ 1/4
0
1
(x− 1)√xdx .
Svolgimento: Si ha,∫ 1/4
0
1
(x− 1)√xdx = lim
a→0+
∫ 1/4
a
1
(x− 1)√x
(a)= lim
a→0+
∫ 1/2
√a
2dz
z2 − 1= lim
a→0+
∫ 1/2
√a
( 1
z − 1− 1
z + 1
)dz
= lima→0+
[log∣∣∣z − 1
z + 1
∣∣∣]1/2
√a
= − log 3− lima→0+
log∣∣∣√a− 1√
a+ 1
∣∣∣ = − log 3,
dove in (a) si e usata la sostituzione z =√x =⇒ x = z2, dx = 2z dz.
Esercizio A4. [punti 5] Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
y′′ + 6y′ + 10y = e−3t.
Svolgimento:E un’equazione differenziale del secondo ordine lineare non omogenea. L’equazione caratteri-stica λ2 + 6λ + 10 = 0 ha soluzioni λ = −3 ± i. L’equazione omogenea associata ha soluzioneyom(t) = c1e
−3t cos t + c2e−3t sin t, con c1, c2 ∈ R. Cerchiamo una soluzione particolare del-
l’equazione non omogenea della forma yp(t) = ae−3t. Sostituendo nell’equazione differenziale,otteniamo 9ae−3t − 18ae−3t + 10ae−3t = e−3t ⇐⇒ a = 1, per cui yp(t) = e−3t, e la soluzionegenerale dell’equazione non omogenea e yg(t) = c1e
−3t cos t+ c2e−3t sin t+ e−3t.
Esercizio A5. [punti 6] Tracciare il grafico della funzione
f(x) =2x+ 1 + log(x4)
x
specificando: dominio, eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativo, intervalli di cre-scenza o decrescenza, punti di flesso, intervalli di concavita o convessita.
Svolgimento:Si ha dom f = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). La funzione e continua, perche composizione esomma di funzioni continue.
Per x → ±∞, si ha f(x) =2x(1 + o(1))
x= 2 + o(1), per cui f ha asintoto orizzontale y = 2,
per x → ±∞. Inoltre, limx→0±
f(x) = limx→0±
4 log |x|(1 + o(1))
x= ∓∞, per cui x = 0 e asintoto
verticale. Calcoliamo la derivata prima. Si ha
f ′(x) =(2 + 4
x)x− (2x+ log(x4) + 1)
x2=
3− log(x4)
x2,
per cui f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [−e3/4, 0)∪ (0, e3/4]. Quindi f e crescente in [−e3/4, 0), e in (0, e3/4],e decrescente in (−∞,−e3/4], e in [e3/4,+∞). Allora, x = −e3/4 e un punto di minimo relativo,con f(−e3/4) = 2− 4e−3/4, e x = e3/4 e un punto di massimo relativo, con f(e3/4) = 2 + 4e−3/4.
Infine, f ′′(x) =2 log(x4)− 10
x3, x 6= 0, per cui f ′′(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [−e5/4, 0) ∪ [e5/4,+∞).
Quindi f e convessa in [−e5/4, 0), e in [e5/4,+∞), e concava in (−∞,−e5/4], e in (0, e5/4], mentrex = ±e5/4 sono punti di flesso. Il grafico di f e riportato in figura.
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
6
8