178
LIUC eBook Analisi Matematica Anna Maria Mascolo Vitale
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LIUC eBook
AnalisiMatematica
Anna Maria Mascolo Vitale
LIUC eBook, 3
Analisi Matematica
Anna Maria Mascolo Vitale
LIUC Universit Cattaneo Castellanza 2013
Analisi matematica Anna Maria Mascolo Vitale
Copyright 2013 Universit Carlo Cattaneo - LIUC C.so Matteotti, 22 - 21053 Castellanza (VA) Data di pubblicazione: Novembre 2013 - ISBN 978-88-908806-2-9
5
Prefazione
Nell e-Book si presenta una raccolta di esercizi e di prove scritte, completa di soluzioni, corredata anche da alcuni opportuni richiami di teoria, con lo scopo di offrire un valido contributo alla preparazione dellesame di Analisi Matematica. Il contenuto delle-Book permette allo Studente di mettere alla prova le proprie conoscenze e le relative capacit applicative riuscendo, inoltre, a comprendere in modo adeguato e preciso la tipologia di prova scritta che lo attende. Infine le-Book non sostituisce il libro di testo adottato o leserciziario consigliato, ma lo si pu considerare come una dispensa che li integra e li completa, un saggio compagno di viaggio lungo il percorso verso la prova desame.
Anna Maria Mascolo Vitale
6
7
CONCETTI PRIMITIVI Iniziamo da quei
concetti matematici detti
primitivi
proprio per evidenziare che non sono riconducibili a nozioni pi elementari. I concetti primitivi sono considerati i mattoni primari mediante i quali si definiscono tutti gli altri concetti matematici. I pi comuni concetti primitivi sono quelli di: insieme, numero naturale, punto, retta, piano e spazio, relazione tra insiemi.
INSIEMI
Un insieme una collezione di oggetti ben definiti, detti elementi, in modo che sia sempre
possibile affermare con chiarezza se un dato elemento appartenga o no allinsieme.
Un insieme pu essere rappresentato in due modi:
per elencazione,
ossia dando lelenco dei suoi elementi, posto entro parentesi graffe, come nei seguenti esempi:
{ } { }{ } { } , ,...103,102,101,100 , ,,,,
, 11,7,5,3,2,1 , 6,4,2
====
DuoieaC
BA
Insieme vuoto = { }=/0 , { }( )00 / ,
{ },...2 ,1 ,0=N , { },...2 ,1 ,0 =Z ,
8
oppure mediante propriet caratteristica,
vale a dire precisando alcune propriet che distinguono in modo inequivocabile i suoi elementi. Allora gli insiemi degli esempi precedenti, definiti in questo secondo modo, diventano:
{ }{ }{ }{ }
{ }{ }{ }.interi numeri dei insieme
,naturali numeri dei insieme
,elementi di privo insieme vuotoInsieme
, 100 naturali numeri dei insieme
, italiana lingua della vocalidelle insieme
, 11 a 1 da primi numeri dei insieme
, 6 a 2 da pari numeri dei insieme
==
==
===
Z
N
D
C
B
A
DIAGRAMMI DI EULERO-VENN
y
Simbolo di Peano
si legge appartiene , si legge non appartiene .
xA : x appartiene ad A, y A : y non appartiene ad A, x B , y B .
9
Altri simboli:
Simbolo Significato
ogni"per "
elemento"un almeno esiste"
! elemento" soloun ed uno esiste"
/ elemento"alcun esistenon "
AND (e contemporaneamente) -congiunzione tra proposizioni-
OR (oppure)
-disgiunzione tra proposizioni-
,(:) tale che
allora" ............. se "
se" solo e se "
Limplicazione p q
pu essere letta in due modi equivalenti:
p condizione sufficiente per q q condizione necessaria per p .
La doppia implicazione p q si legge anche:
p condizione necessaria e sufficiente perch valga q .
10
INCLUSIONE
A un sottoinsieme di B , si scrive A B in simboli: xA xB A un sottoinsieme proprio di B, AB
(x : x A x B) (x : xB xA)
Le relazioni , godono delle seguenti propriet:
. CACB BA:transitiva
, BAAB BA:ricaantisimmet
, AA:riflessiva
=
11
UNIONE: linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B,
A B = {{{{x: xA xB}}}},
INTERSEZIONE: linsieme degli elementi che appartengono ad A e a B,
A B = {{{{x: xA xB}}}},
.
A B
A B
12
DIFFERENZA: la differenza tra A e B un insieme indicato con A|B , costituito dagli elementi di A che non appartengono a B .
A
A|B Se, come accade spesso linsieme rispetto al quale si riferiscono tutte le operazioni linsieme U , denominato insieme universo , allora loperazione differenza tra U ed A detta : COMPLEMENTAZIONE e si indica con: AUAU |C = .
CARDINALITA O POTENZA DI UN INSIEME
Due insiemi A, B si dicono di uguale cardinalit, o potenza se possono essere messi in corrispondenza biunivoca tra loro ,ossia se esiste una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B, e viceversa. Due insiemi A, B di uguale cardinalit si dicono equipotenti. Un insieme si dice numerabile se ha la stessa cardinalit dellinsieme N dei numeri naturali.
B
13
NUMERI NATURALI
Dio ha creato i numeri naturali; tutto il resto opera delluomo
Leopold Kronecker (1823-1891)
{ } ,..... ........, 3, ,2 ,1 ,0 nN = , in N sono definite due operazioni interne (con le relative propriet): laddizione e la moltiplicazione:
NnmNnmNnm + , :, .
Si indica con N0 linsieme dei naturali privato dello zero, pertanto,
{ } ,..... ........, 3, ,2 ,1 0 nN = .
PROPRIETA :
1) Esistono in N due elementi, 0 e 1, che sono elementi neutri per laddizione e per la moltiplicazione rispettivamente, cio:
. 11 ;00 : mmmmmmNm ===+=+ 2) Vale inoltre la legge di annullamento del prodotto :
0 o 00 :, === nmnmNnm .
3) In N vale la relazione dordine, nel senso che per ogni coppia di numeri naturali m ed n vale
una ed una sola delle seguenti alternative:
nmnmnm >
14
NUMERI INTERI RELATIVI
{ }........ 3, ,2 ,1 ,0,1,2,3.........: =Z , ZN . In Z la differenza di due numeri relativi sempre un intero relativo; ci dovuto al fatto che:
0 : =+ xbZxZb ; il numero x si definisce opposto di b e si scrive:
x = b . Definizione: si dice valore assoluto del numero relativo a , in simboloa, il numero non negativo cos definito:
. 0 se
0 se
15
PROPRIETA' DI DENSITA' :
.ecc. , 2
= , 2
prendere basta
; di minori e di maggiori
razionali infiniti esistono ,
16
Definizione: numero reale un qualsiasi allineamento decimale (periodico o non) dotato di segno. Linsieme di tali allineamenti sar indicato con R; Q un sottoinsieme proprio di R. I numeri reali non razionali si dicono numeri irrazionali . Si dice che linsieme dei reali R ha la potenza del continuo in quanto possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e linsieme stesso dei reali.
REALI = RAZIONALI IRRAZIONALI
R = Q (RQ) ,
Q (RQ) = O/ . Alcuni numeri irrazionali :
( )
( )aureo rapporto .........6180339887.1
11 esuccession della limite
naturale, base detta" logaritmi dei base
.......7182818284.2
diametro il ed nzacirconfere la trarapporto
.......89793231415926535.3
........7320508.13
=
+=
=
=
=
n
n na
e
17
Valore assoluto Per ogni numero reale x, il valore assoluto di x, indicato con x , definito da
18
R ampliato ====R*
Linsieme dei numeri reali R, con laggiunta dei due elementi (punti):
{ } { }+ e ,
prende il nome di R ampliato e si indica con { } { }+= * RR .
E possibile rappresentare visivamente linsieme R*; infatti mettendo in corrispondenza biunivoca i punti della retta reale R con quelli di una semicirconferenza, proiettando questi ultimi dal centro C della semicirconferenza sulla retta R ,
si osserva che ai punti A e B, estremi della semicirconferenza, non corrisponde su R alcun punto. Si stabilisce che: { } il corrispondente del punto A, { }+ il corrispondente del punto B.
19
INTERVALLI Definizione. Dati due numeri reali a, b, si chiama intervallo di estremi a e b uno dei seguenti insiemi: [ ][ )( ]( ) bxaxba
bxaxba
bxaxba
bxaxba
= rxrxUx .
Punto di frontiera. Un punto x si dice di frontiera, per un sottoinsieme A dei numeri reali, se, in ogni suo intorno, cadono sia punti di A che del complementare di A. Si osserva che un punto di frontiera pu appartenere od anche non appartenere al sottoinsieme A. Punto interno. Un punto x si dice interno, per un sottoinsieme A dei numeri reali, se appartiene ad A e non di frontiera. Punto esterno. Un punto x si dice esterno, per un sottoinsieme A dei numeri reali, se non appartiene ad A e non di frontiera.
20
Insieme limitato superiormente Un insieme A si dice limitato superiormente se esiste un numero reale k tale che: a A risulti a k . In simboli:
kaAak : .
Lelemento k si dice maggiorante dellinsieme A.
Insieme limitato inferiormente Un insieme A si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale h tale che: a A risulti a h . In simboli:
haAah : . Lelemento h si dice minorante dellinsieme A.
Insieme limitato
Un insieme A si dice limitato se risulta esserlo sia inferiormente che superiormente. Estremo superior dellinsieme A Si definisce estremo superiore dellinsieme A il minimo dei maggioranti e si indica con Sup A. Se Sup A appartiene ad A, allora prende il nome di massimo di A e si indica con M. Estremo inferiore dellinsieme A Si definisce estremo inferiore dellinsieme A il massimo dei minoranti e si indica con Inf A. Se Inf A appartiene ad A, allora prende il nome di minimo di A e si indica con m.
Insiemi non limitati
Se linsieme A R non limitato superiormente (inferiormente) si dice che
)inf( sup =+= AA
e, quindi, si pu affermare che:
ogni insieme A R non vuoto dotato di estremo superiore ed inferiore;
)(inf sup AA un numero se A limitato superiormente (inferiormente), altrimenti
)( + .
21
Il simbolo di sommatoria :
Il simbolo di sommatoria si utilizza per rappresentare la somma di un insieme con un
numero finito di elementi, assegnati secondo una sequenza logica.
Esempio
Assegnato linsieme:
{ } { }, , 80:2 16,14,12 ,10 ,8 ,6 ,4 ,2 ,0 NnnnaA n ===
la somma degli elementi dell'insieme A si indica, utilizzando il simbolo di sommatoria, nel modo seguente:
=
=++++++++8
0
21614121086420n
n .
=
8
0
2n
n si legge: somma per n da 0 a 8 di 2n
n2 si definisce: argomento della sommatoria n un numero naturale 0 e si definisce: indice della sommatoria. In generale si scrive:
=
=+++++k
n
nk aaaaaa0
3210 ..... .
22
Casi particolari
1. Se il primo valore dellindice uguale allultimo, non si ha una somma e, quindi:
1
1
1
aan
n ==
.
Esempio: 3
1
3
11
1
==n
n .
2. Se largomento na della sommatoria indipendente dallindice, il valore massimo
dell indice stabilisce quante volte largomento sommato e, pertanto:
( ). della addendi di numero . 1
===
ckcck
n
Esempio: 205445
1
===n
.
3. Lespressione ( )k1 utilizzata per rappresentare le alternanze di segno. Infatti si ha:
( )
+
=dispari se 1
pari se 11
k
kk .
Esempi:
( )
( )
=
+
=
=++
=++++
18
1
1
18
1
. 1
118
1
4
1
3
1
2
11
. 1
118
1
4
1
3
1
2
11
k
k
k
k
k
k
3.2
3.1
4. La somma di un numero finito di numeri dispari pu essere scritta indicando il
generico numero dispari con 12con oppure 12 + kn .
Esempio: ==
+=+++++++16
1
17
1
12 oppure 12333197531kn
kn .
23
Proprieta del simbolo di sommatoria
( )
( )
= = =
= = =
==
==
==
+=
+
=
=
=
=
5
1
5
1
5
1
22
1 1 1
4
1
34
1
3
11
11
. 11
:Esempio
.
:aassociativ propriet o sommatorie di Somma
. 33 :Esempio
:a viceverse sommatoria di simbolo dal
fuori" a dentro da portata" essere pu tivamoltiplica costante ogni :costante unaper Prodotto
.
:lettera altra qualsiasi unacon sostituita essere pu indicel' denota si cuicon lettera La
n n n
k
n
k
n
k
nnnnn
nn
k
nn
k
nn
k
ii
k
nn
nn
nn
baba
nn
acac
aa
3)
2)
1)
. 22 :Esempio
.
:indici di eTraslazion
. : Esempio
.
:sommatoria una di oneScomposizi
7
4
4
1
3
11
15
1
9
1
15
10
11 1
==
+
+
+=
=
== =
+
==
+
+=
=
=
=+
=+
n
n
n
n
mh
mnmn
h
nn
n
n
n n
nn
kh
nn
h
n
kh
hnnn
aa
eee
aaa
5)
4)
24
. variarefacendo esterna sommatoria
la calcola si poi , variarefacendo e fisso tenendointerna sommatoria la calcola si prima ,
indicedall' altrol' e indicedall' uno dipendono terminicui i scritta, doppia sommatoria nella
:
:sommatorie di Prodotto
1 111
k
iki
k
baban
k
m
i
ik
m
i
i
n
k
k = ===
=
6)
( ) .542
336
2
112781
2
11
11:Esempio
3
1
33
1
2
1
32
1
3
1
3 ==
+++=
+==
== === kk iik
ki
ki
k
Calcolo di alcune somme.
1)Somma dei primi n interi positivi: ( )=
+++++==n
k
nnkS1
1321 .
Si pu usare il seguente artificio :
si prende in considerazione una doppia somma 2 S, scritta nel seguente modo:
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
:che concludere pu si cos e 2
1
ottiene si cui da , 112123121 2
:ha si a,associativ propriet la enteopportunam outilizzand ed,
,12211321 2
+=
+=++++++++++=
+++++++++++=
nnS
nnnnnnnS
nnnnnS
( )
=
+=n
k
nnk
1 2
1 .
Esempio: 495050992
1009999
1
====k
k .
25
2) Somma dei termini di una progressione geometrica di ragione q :
=
+++++=n
k
nk qqqqq0
321 ,
per q = 1, si ha: = +
+=++++=n
k n
k nq0 volte)1(
11111 44 344 21 ;
per q 1, si ha: =
+
=
n
k
nk
q
0
1
1
1.
Dimostrazione:
Dalluguaglianza =
+++++=n
k
nk qqqqq0
321 , moltiplicandone entrambi i membri
per q, si ha:
=
++++++=n
k
nnk qqqqqqq0
132 ,
sottraendo, poi, rispettivamente i primi ed i secondi membri delle due uguaglianze, si ottiene:
( )=
+=n
k
nk qqq0
111 ,
da cui si ricava la formula: =
+
=
n
k
nk
q
0
1
1
1.
Esempio: ( ) ( )[ ]998
0
311 2
3
311
311
3
1 =
=
=k
k
.
26
3) Somma dei quadrati dei primi n numeri:
( ) ( )6
12 1
1
2 ++==
nnnk
n
k
.
Si omette per brevit la relativa dimostrazione.
Esempio: 28519536
191099
1
2 ====k
k .
27
Esercizi
Testi
1. Si determini il valore dellespressione:
= =
2
0
2
0
43
1
k k
k
.
2. Si determini il valore dellespressione:
( )=
10
1
23i
i .
3. Si determini il valore dellespressione:
=
++4
03
12log
kk
k .
4. Si determini il valore dellespressione:
=
2
0
2
. 9
334
nn
nn
5. Si determini il valore dellespressione:
=
6
0
. 215
1
nn
6. Si determini, per quale valore del parametro reale k, si verifica la seguente uguaglianza:
7
5
2
4
22
==n n
k .
7. Si calcoli, operando una opportuna semplificazione, la somma:
=
+
100
11
11
kkk
.
8. Si determini, utilizzando la propriet di traslazione degli indici, il valore dellespressione:
=
8
3
32k
k .
28
Soluzioni
1. = =
2
0
2
0
43
1
k k
k
=3
2812
9
7)43(
9
1
3
11 ==
+ .
2. ( ) .145201651022
111032323
10
1
10
1
10
1
==== === iii
ii
3. 8
3log
7
9
6
7
4
3
3
1log
7
9log
6
7log1log
4
3log
3
1log
3
12log
4
0
=
=++++=++
=k
k
k .
4. = = =
==
++==2
0
2
0
2
0
2
. 9
253
9
52 3
9
1
3
114 1
3
1 4
9
334
n n nnn
nn
5. 15
127
21
21
15
12
15
1
215
1
76
0
6
0
=
== == n
n
nn
.
6. 17
5
7
5
7
5
14
1
7
1
2
1
7
5
2
4
22
===
++==
kkkn
k
n
.
. 101
100
101
11
101
1
100
1
100
1
3
1
3
1
2
1
2
11
1
117.
100
1
==
+++
++
++=
+
=kkk
8. ==
=
=
=
=
==5
0
6
5
0
8
3
3
32
63
64
112
2
11
2
11
2
122
k
k
k
k
k
k .
29
Fattoriale di n
Definizione
Con fattoriale di n sintende:
il prodotto dei primi n interi positivi e si indica con n! (si legge n fattoriale ) ,
( ) nnn = 1........321 ! .
Il numero n! cresce molto rapidamente al crescere di n , come si pu vedere calcolandone alcuni
valori:
3! = 123 = 6 ,
7! = 123.7 = 5040 ,
10! = 123..10 =3628800 .
Per definizione 0! =1.
Propriet
1) n! = n (n 1)! .
2) se 0 < k < n , ( ) ( ) ( ) ( )1......2 1! ! +=
knnnn
kn
n ;
infatti :
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )1......2 1123......1 123......1 1......2 1
!
! +=
+=
knnnnknkn
knknknnnn
kn
n ,
( ) ( ) ( )
i.decrescent e
da partendo fattori di prodotto il 1.......2 1 prodotto il dove nkknnnn +
Esempi: . 990099100!98
!100 ; 1320101112
!9
!12 ====
30
Una parentesi: i numeri primi
Un numero naturale detto primo se divisibile soltanto per se stesso e per lunit. Si dimostra
che ogni numero naturale pu essere scritto come prodotto di soli numeri primi. Se si pensa ai
numeri naturali come ad un analogo aritmetico delle molecole chimiche, tenute insieme dal
legame della moltiplicazione, in tale analogia, i numeri primi svolgono il ruolo degli atomi.
Teorema
Linsieme dei numeri primi illimitato superiormente, ossia esistono infiniti numeri
primi.
La dimostrazione, che qui riportata, risale ad EUCLIDE, vissuto circa 2300 anni addietro.
EUCLIDE cos ragion:
supponiamo che esista un numero finito di primi.
In tal caso uno di essi, chiamiamolo P, sar il pi grande.
Costruiamo il fattoriale del numero P ! = 1 2 3 .. P ,
consideriamo, poi, il numero Q uguale al fattoriale di P aumentato di 1, ossia:
Q = (1 2 3 .. P ) + 1 ,
dalla composizione del numero Q si deduce che:
Q > P ed, inoltre, evidente che esso non esattamente divisibile per nessun intero da 2 a P,
in quanto ognuna di tali divisioni lascerebbe un resto uguale ad 1.
Si hanno due possibilit per il numero Q :
- Q non primo ed allora deve essere esattamente divisibile per qualche primo maggiore di P;
- Q primo e, quindi, lo stesso Q risulta essere un primo maggiore di P.
In conclusione:
entrambe le possibilit descritte implicano lesistenza di un numero primo pi grande di P ,
assunto inizialmente come numero primo pi grande di tutti.
Ci significa che lipotesi di numero primo pi grande di tutti non considerabile.
31
Coefficienti binomiali
Definizione
Si definisce coefficiente binomiale lespressione :
( )
( ) ( ) ( )
. 152
30
!2
56
2
6 :esempio ad ti;coefficien dei calcolo ilper utile che eespression
, !
1.........2 1 :anche scrivere pu si ,fattoriale del propriet laPer
.10
:Inoltre .10
0 edefinizionPer
. 0 ! !
!,
===
+=
=
=
=
=
=
k
knnnn
k
n
n
nn
nkknk
n
k
nc kn
Propriet
. 84743321
789
!3
789
6
9
3
9 :esempio ad ,
==
==
=
=
kn
n
k
n1)
. 21355637577821
67
321
567
321
678
5
7
4
7
5
8
:esempio ad ,
1
1
1
+=+=+
=
+
=
+
=
k
n
k
n
k
n2)
32
Potenza del binomio
( )
. 1
2
............
2
1
0
122221
00
,
nnnnnn
n
k
knkn
k
knkkn
n
an
nba
n
nba
n
nba
nab
nb
n
bak
nbacba
+
+
++
+
+
=
=
==+
=
=
( ) ( ) ( )=
=
==
n
k
knknn
k
knkkn
nn bak
nbacba
00
, . 1 1
Esercizi con soluzioni
1. Si risolva lequazione: ( ) ( ) . 3 , 252
1>=
nn
n
( ) ( ) ( ) ( ) .11 101 252
2 1 25
2
1 ====
nnn
nnn
n
2. Si risolva lequazione: ( ). 3 , 3
32
2 >
=
x
xx
3
32
2
=
xx ( ) ( )( ) 4
2
21
2
211 === xxxxxxx .
33
3. Nello sviluppo del binomio: 10
53
4
1
+ yx , si calcoli il coefficiente del termine in .1024 yx
1053
4
1
+ yx =
= ( ) ( ) ( ) =
=
=
=
=
10
0
533010
0
510310
0
5103 4
1
10
4
1
10
4
1
10
k
kkk
k
kkk
k
kk
yxk
yxk
yxk
,
2105
2433010245330 =
==
= kk
kyxyx kk ,
pertanto, il coefficiente del termine in 1024 yx 16
45
16
1
2
910
4
12
10 2==
.
4. Nello sviluppo del binomio:7
3
1
+
xx , si calcoli il coefficiente del termine in .2 xx
7
3
1
+x
x =
( )
, 41232
5
2
73
, 3
1
7
3
1
7
3
1
7
2
5
2
7322
73
2
7377
0
7
0
777
0
7
=====
=
=
=
==
+
=
kkk
xxxxx
xk
xxkx
xk
kk
kk
kk
kkk
k
kk
pertanto, il coefficiente del termine in xx2 27
35
27
1
6
567
3
1
4
7 3==
.
34
RETTA
( ) ( )
( ) ( )
.1 laritperpendico di b)
, moparallelis di a)
:condizioni due le hanno si ed angolari ticoefficien mente,rispettiva aventi, rette due eConsiderat
.in generica retta una di equazione : 0
; ,B e ,A punti iper passante retta della angolare tecoefficien :
;, punto ilper passante angolare tecoefficien di retta:
piano; del generica retta :
); delle assel' tranne( originel'per passante retta :
ordinate; delle asseall' parallela retta : ascisse; delle asseall' parallela retta :
ordinate; delle asse : 0 ascisse; delle asse : 0
21
21
21
2
221112
12
0000
==
=++
=
=+=
===
==
mm
mm
mm
cbyax
yxyxxx
yym
yxmxxmyy
qmxy
ymxy
hxky
xy
CIRCONFERENZA
( ) ( ) ( )
. 044
, 44
2
2
:relazioni dalle,,, parametri ai legati sono raggio il ed centro il
,in generica nzacirconfere una di equazione : 0
origine;l' centro e raggio di nzacirconfere :
; , centro e raggio di nzacirconfere :
2222
0
0
222
222
0022
02
0
>++=
=
=
=++++
=+
=+
cba
cba
r
by
ax
cba
cbyaxyx
rryx
yxrryyxx
R
ELLISSE
. e semiassicon centro, al riferita ellisse,dell' equazione : 12
2
2
2
bab
y
a
x =+
PARABOLA
( )
. 2
equazione di simmetria di asse ed
4
4,
2 punto nel verticecol parabola :
; 0 simmetria di asse ed originenell' verticecol parabola : 0
22
2
a
bx
a
acby
a
bxcbxaxy
xaaxy
vv
=
+==++=
==
IPERBOLE
.cartesiani assi gli asintotiper avente equilatera iperbole : x
ky =
35
SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE E RELATIVE SOLUZIONI
1. Si risolva, graficamente, il sistema:
( )( )
=++
=+
04
0322
22
xxy
yyx,
precisando il numero delle soluzioni ed indicandole con una lettera.
( )( )
=++
=+
04
0322
22
xxy
yyx
( )
=
=+
412
22
xy
yx ( )
==+
4
41 22
x
yx
x ==== 4 A B Il sistema ammette due soluzioni: sono i punti A e B , intersezioni della circonferenza:
( ) 41 22 =+ yx con la parabola 2xy = . Non esistono, invece, intersezioni tra la circonferenza ( ) 41 22 =+ yx e la retta 4=x . 2. Si risolva, graficamente, il seguente sistema, indicando con una lettera ogni eventuale soluzione:
( ) ( )
=+
=+
. 125
4222
2
22
yx
yx
5 A 2 B 1 B Il sistema ammette due soluzioni.
36
2 A
3. Si determini quante soluzioni ammette il sistema :
( ) ( )
==+
. 01 2
0222
xyx
yyx
( )( )
+==+
==+
==+
1
02
2
02
01 2
02 222222
xy
yyx
x
yyx
xyx
yyx
+=
==
=
37
POTENZA CON BASE REALE ED ESPONENTE NATURALE La definizione di potenza ennesima di un numero reale a data ponendo, a R:
( )
( )2 e
0 1
volte
1
0
=
=
=
nnaaaa
aa
aa
n
n N43421
a ed n sono, rispettivamente, base ed esponente della potenza.
Il simbolo 00 privo di significato. Si possono dimostrare le seguenti propriet:
( )( ) ( ) ( ) . :: , ,
, se : ,
, e ,
nnnnnnmnmn
mnmnmnmn
babababaaa
mnaaaaaa
nmba
===
==
+
5.4.3.
2.1.
NR
Se a 0, si attribuisce significato anche alla potenza, con esponente intero negativo, ponendo:
nn
aa
1=
da cui . di inversol' quindi, , 1 nnnn aaaa =
RADICI ARITMETICHE
Sia a un numero reale positivo ( )+ Ra ed n un numero naturale 1, si definisce radice n-esima aritmetica di a e la si indica col simbolo n a quel numero reale positivo x
( che esiste ed unico ) tale che axn = , axax nn == .
Si pone, inoltre, 00 =n .
Per definizione ( ) anaa nn ntesempliceme scrive si ,2Per . == . Con n pari si ha: aaa n n = R . Per le radici aritmetiche valgono le seguenti propriet:
1) ; :: ; nnnnnnnr mrn m babababaaa === 2)
3) ( ) . ; ; nnnmm nn mmn babaaaaa
38
EQUAZIONI IRRAZIONALI
Le equazioni irrazionali sono equazioni nelle quali compaiono radicali contenenti lincognita; per risolverle occorre liberarle dai radicali e per far questo si applica il principio di equivalenza:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) . pari per a equivalenon generalein
, dispari per a equivale
nxBxAxBxA
nxBxAxBxAnn
nn
==
==
Pertanto , ottenute le soluzioni delle equazioni irrazionali, o si esegue laverifica delle soluzioni, nelle equazioni di partenza, o si confrontano le soluzioni con le condizioni di realt dei radicali.
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
Una disequazione irrazionale, se contiene radicali contenenti lincognita. Se si considera il caso in cui la disequazione irrazionale contiene soltanto un radicale, si distinguono i seguenti due casi: 1. se il radicale ha indice dispari si ha :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ; ) (
, 1212
1212
xBxAxBxA
xBxAxBxAnn
nn
++
++
2. se il radicale ha indice pari (poniamo n =2 ) si hanno i due sottocasi:
a) ( ) ( )( )( )( ) ( )
>
>xBxA
xB
xA
xBxBxA
39
EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO
Sono equazioni del tipo: ( ) ( ) ( ) ecc. , , xBxAkxA == Ricordando la definizione di valore assoluto,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ); osignificat ha cuiper 0 :che ha si 0 se 0 se
xAxxAxAxA
xAxAxA
40
EQUAZIONI ESPONENZIALI Si dicono equazioni esponenziali le equazioni in cui l'incognita compare all'esponente. Si ricorda che per gli esponenziali valgono le propriet delle potenze ad esponente reale, in particolare:
. 0 e 0 >>
==
axa
yxaax
yx
R
1,a e 0con , leesponenzia equazioneL' >= aba x impossibile se b 0 , ammette ununica soluzione se b > 0 .
PROPRIETA' DEI LOGARITMI
1 e 0,, > acba valgono le seguenti propriet:
1. cbcb aaa logloglog += ;
2. cbc
baaa logloglog = ;
3. Rrbrb ar
a = log log ;
4. 1 log
loglog = c
a
bb
c
ca ;
==
abcb
ba log
1log se ;
5. cbcb aa == loglog .
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
PROPRIETA':
yxaaa yx >>> 1 se ,
. 10 se yxaaa yx >>>
. loglog ,10 se e 0, yxyxayx aa
41
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI CON SOLUZIONI Esercizi svolti
1. Si risolva lequazione: 0927 23 =++ xx ,
equazione.dell' soluzione 3 3
3
09
027 0927
2
323 =
==
=
=+=++ x
x
x
x
xxx
2. Si risolva la disequazione: 232 ,
0 e3 1/e +
la disequazione, quindi, soddisfatta ( ) [ )+ ,1,0: 2exexx .
4. Si risolva la disequazione: ( ) ( )xx ee + 1log2log ,
la disequazione equivalente al sistema:
+
>
13
4
06
x
x
e
e
x
,
. 6 63log: osoddisfatt sistema ilpertanto,
, 3log
6
03
7
6
1
3
4
06
>
>
+
>
xxx
x
x
e
x
e
e
x
xx
x
6. Si risolva il sistema di disequazioni:
>++
2 3
0243
2
x
xx ,
>++5
4
83
4
2 3
0243
2
x
x
x
x
x
xx ,
pertanto,il sistema soddisfatto [ ]4,5x .
7. Si risolva il sistema di disequazioni: ( )
( )
43
9. Si risolva il sistema di disequazioni: ( ) ( )
++
+
29
02log1log
2 xx
xx ,
( ) ( )
, 2
3 1 :
2
3
2
1
21
02
01
02log1log
+>+
>+ xx
x
x
x
xx
x
x
xx
( ) 45
4
5
2
29
02 29
222
>
++
>+++ x
x
x
xx
xxx ; pertanto:
( ) ( )
++
+
29
02log1log
2 xx
xx .
2
3
4
5 : osoddisfatt sistema il quindi, ,
4
52
31
< xx
x
x
10. Si risolva il sistema di disequazioni: , 29 2
322 2
>
+
x
ee xxx
,
33
2 1
33
02
09
322
29
2
2
2
2
322 2
44
Misura di un angolo in radianti
l = lunghezza dellarco AB r = raggio della circonferenza
Si definisce misura in radianti x dellangolo ab: x = l/r , x = l se r = 1
Relazione fra misura in gradi e misura in radianti:
360
= 2x
.
45
Circonferenza trigonometrica Centro in O, raggio 1
P = (cos x, sin x) sin2 x + cos2 x = 1
tan x = x
x
cos
sin cos x 0 .
Nel Io quadrante: sin x = PQ cos x = OQ
tan x = OQPQ =
OATA
= TA OA = 1
In generale: sin x = ordinata di P cos x = ascissa di P tang x = ordinata con segno di T
46
Angoli notevoli
x sin x cos x tan x 0 0 0 1 0
30 /6 1/2 3/2 1/3 45 /4 2/2 2/2 1 60 /3 3/2 1/2 3 90 /2 1 0 /
180 0 1 0 270 3/2 1 0 / 360 2 0 1 0
47
Grafici di sin x, cos x e tan x
y = sin x
y = cos x
y = tan x
48
49
y = sin x y = cos x y = tan x
Dominio
( , + ) ( , + ) x /2 + k
Insieme delle immagini
[1, 1] [1, 1] ( , + )
Simmetrie
dispari pari dispari
Periodicit
2 2
Relazione fra i grafici di sin x e cos x:
cos x = sin (x + 2
)
(traslazione orizzontale verso sinistra di 2
).
50
Alcune formule trigonometriche
Formule di addizione e sottrazione sin (x y) = sin x cos y cos x sin y
cos (x y) = cos x cos y m sin x sin y Caso particolare: formule di duplicazione sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x sin2 x Formule di bisezione
sin2 2
x =
2
cos1 x
cos2 2x
= 2
cos1 x+ .
Formule parametriche
sin x = 21
2
t
t
+ (con t = tan
2x
x +2k)
cos x = 2
2
1
1
t
t
+
.
51
NUMERI COMPLESSI
Un numero complesso pu essere rappresentato nella forma: a + ib ,
dove a e b sono numeri reali ed i un simbolo che soddisfa alla propriet:
i2 = 1. Il numero complesso a + ib pu anche essere rappresentato mediante la coppia ordinata (a , b) e
disegnato come punto del piano , detto: piano di Gauss.
Nel piano di Gauss: lasse delle ascisse definito: asse reale, lasse delle ordinate definito: asse immaginario, i punti sullasse reale sono: i numeri reali, i punti sullasse immaginario sono: i numeri immaginari puri del tipo ibz = . Di conseguenza, il numero complesso: ii += 10 corrisponde al punto (0,1) .
Im a ++++ ib i 0 1 a Re
52
Forma algebrica di un numero complesso
La scrittura
ibaz += ,
detta forma algebrica dei numeri complessi;
a si chiama parte reale di z e si indica con Re(z),
b si chiama parte immaginaria di z e si indica con Im(z).
Uguaglianza tra numeri complessi Due numeri complessi a + ib e c + id sono uguali se:
dbca == e , vale a dire se sia le loro parti reali sia quelle immaginarie sono uguali. Somma e differenza di due numeri complessi La somma e la differenza di due numeri complessi sono ottenute sommando e sottraendo, rispettivamente, le loro parti reali e le loro parti immaginarie:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .
,
idbcadicbia
idbcadicbia
+=+++++=+++
Prodotto di due numeri complessi
Il prodotto di due numeri complessi definito in modo che le relative propriet commutativa e distributiva rimangano valide:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) . :ha si ,1 :essendo ed
, 2
2
ibcadbdacdicbia
i
bdibciadiacdicibdicadicbia
++=++=
+++=+++=++
Modulo del numero complesso Si chiama modulo del numero complesso a + ib la sua distanza dallorigine. Si usa la notazione:
22 baibaz +=+= . Coniugato del numero complesso Si definisce coniugato del numero iba + il numero complesso iba . Il coniugato indicato con: ibaz = .
53
Propriet zz e hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta ;
( ) ( ); Im 22 , Re 22 ziibzzzazz ====+
; zz = ; 0 0 e 0 == zzz
. , 222 zzzzz ==
Forma trigonometrica di un numero complesso Dato il numero ibaz += , essendo:
(*) sin , cos == ba , il numero complesso z pu essere scritto nella forma:
( ) sincos iz += detta: forma trigonometrica dei numeri complessi. Le relazioni inverse della (*) sono:
. sin , cos , 2222
22
ba
b
ba
aba
+=
+=+=
z = a + ib b z
= arg(z) a O
54
TEOREMI DI DE MOIVRE Prodotto di due numeri complessi Assegnati:
( )1111 sincos iz += , ( )2222 sincos iz += , si ha:
( ) ( ) [ ], )sin()cos(sincossincos 21212122211121 +++=++= iiizz
quindi, il prodotto di due numeri complessi un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.
Si osserva che, come caso particolare del prodotto, si ha la formula di De Moivre per la potenza:
( ) ( )[ ] ninz nn sincos += .
Quoziente di due numeri complessi
Assegnati: ( )1111 sincos iz += , ( )2222 sincos iz += ,
si ha:
( )( ) [ ], )sin()cos( sincos
sincos2121
2
1
222
111
2
1
+=++
= ii
i
z
z
quindi, il quoziente di due numeri complessi un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti.
55
RADICI n-ESIME Definizione Dato un numero complesso , si dice che z una radice n-esima (complessa) di se risulta:
=nz .
Teorema Sia C, 0 e n intero 1. Esistono n radici n-esime complesse
di ,......., , 110 nzzz ; posto
( ) sincos ir += e
( )kkkk iz sincos += , si ha:
. 1,.......,1,0
, 2
,
=
+=
=
nkn
k
n
r
k
nk
RADICI QUADRATE COMPLESSE Sia C, 0 . Esistono 2 radici n-esime complesse di ; posto
( ) sincos ir += e
( )kkkk iz sincos += , si ha:
. 1,0
, 2
,
=
+=
=
k
k
r
k
k
Pertanto si individuano:
. 2
sin2
cos
, 2
sin2
cos
01
0
zirz
irz
=
++
+=
+=
56
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Lequazione di secondo grado
02 =++ cbzaz con coefficienti a, b, c C , si risolve con la solita formula:
a
acbbz
2
42 += ,
dove si intende la radice acb 42 calcolata in senso complesso.
Osservazione: si pu omettere il segno davanti alla radice, poich il simbolo nel campo complesso denota due numeri, uno opposto dellaltro. Dal teorema sulle radici n-esime si deduce che nel campo complesso C lequazione:
( ), 0 C=+ aaz n ammette esattamente n radici. E possibile generalizzare tale risultato ed enunciare, quindi, il seguente:
Teorema fondamentale dellalgebra
Unequazione polinomiale del tipo
( )0 0.....10 =+++ nnn azazaa ,
con coefficienti complessi qualsiasi, ammette precisamente n radici in C , se ognuna di esse viene contata con la sua molteplicit *. * Definizione di molteplicit Se P (z) un polinomio in z di grado n e z0 una sua radice, si dice che z0 una radice di molteplicit k (k intero, 1) per P (z) se vale la formula:
( ) ( ) ( )zQzzzP k = 0 ,
dove Q (z) un polinomio tale che Q (z0) 0 .
57
FORMULA di EULERO La formula di Eulero esprime un legame, in campo complesso, tra le funzioni trigonometriche (seno, coseno) e la funzione esponenziale:
. , sincos R+= yyiyeiy
La formula di Eulero yiyeiy sincos += consente di trasformare la forma trigonometrica dei numeri complessi nella forma esponenziale, nel modo seguente:
( )( ) . sincos
sincos
ie
eizi
i
+=
=+=
Uso della formula di Eulero
( )
[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) . 1012
sin2
cos 5.
. 1sincossincos 4.
. 1sincos 3.
. sincos)sin()cos( .2
. sincos .1
12/ 12/ 1
e
ii
eieeee
iie
ie
yiyeyiyeeeee
yiyeeeee
ii
i
i
xxiyxiyxz
xiyxiyxz
=+=
+==
==+=
=+=
=+===
+===
+
+
58
ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI TESTI
1. Dato il numero complesso 31 iz += ,
a) si calcoli e si scriva in forma algebrica z
z
+=
2
1 ;
b) dopo aver scritto z in forma trigonometrica, si calcoli e, successivamente, si scriva in forma
algebrica 5z .
2. Dopo aver scritto il numero complesso 31
3
i
i
= in forma trigonometrica, si calcoli
6=w e si indichino le radici seconde di w . 3. Dato il numero complesso = 2i , si calcolino e si rappresentino nel piano di Gauss le radici complesse w .
4. Assegnato i
13 = , si calcoli 3=z . Si determinino, poi, tutte le radici terze di z .
5. Si calcolino le radici terze di iz 27= . 6. Si determini e si disegni, sul piano di Gauss, linsieme dei numeri complessi che soddisfano
lequazione: zzz 2232 += . Si individuino, poi, nellinsieme determinato, i due numeri
complessi 21 e ww tali che:
( ) ( ) 3ReRe 21 == ww .
7. Assegnato 31 i+= , si calcoli 4=z . Si determinino, poi, tutte le radici quarte di z . 8. Si determinino e si rappresentino nel piano di Gauss i punti iyxz += che verificano luguaglianza:
izzzz 4 24 =++ . 9. Si determinino nel piano di Gauss i punti iyxz += che verificano lequazione:
( ) 12 2 =+ izziz . 10. Si risolva nel piano complesso lequazione:
02122 =+ iizz . 11. Si determini, per quali valori di zC, il numero:
( )22 ++ zzizz risulta reale positivo.
59
12. Dopo avere scritto in forma trigonometrica i numeri complessi : ( ) ii +=+= 3 e 31 3 , si determinino
=== 321 , , zzz dandone, successivamente, la rappresentazione
anche in forma algebrica. 13. Si risolva nel campo complesso, utilizzando lintervallo ( ] , , lequazione:
( ) iz 83 3 =
e se ne scrivano le soluzioni anche in forma algebrica. 14. Si risolva, nel campo complesso, lequazione:
084 = izz . 15. Si determinino i punti iyxz += che verificano lequazione:
( ) 226 2 2 =+ izziz .
16. Si determinino e si rappresentino, nel piano di Gauss, i punti iyxz += che verificano luguaglianza:
izz +=1 2 .
SOLUZIONI
1. a) 31 iz += , ( )4
3
4
1
4
3
333
3
2
1i
ii
i
i
i
i
z
z +=+=
=
=+= ;
b) 31 iz += , 3
2 , 3 tg,
2
3sin ,
2
1cos , 24 ====== ,
+=
+=
+= 3
4sin
3
4cos32
3
10sin
3
10cos32 ,
3
2sin
3
2cos2 5 iiziz ,
in forma algebrica ( )31162
3
2
1325 iiz +=
= .
2. ( )( )
6 , 1 ,
2
1
2
3
4
31 3
31
3 ==+=+=
= iiii
i ,
. 1,0 , 2
sin2
cos , 1sincos , 6
sin6
cos 6 =
++
+==+==+= kkikwiwi
60
3.
+==2
sin2
cos22 ii ,
( ) . 12
2
2
22
4
5sin
4
5cos2
, 12
2
2
22
4sin
4cos2
, 1,0 , 4
sin4
cos2
01
0
=+=
+=
+=
+=
+=
+=
=
++
+==
iii
iii
kkikk
4. [ ) 0,2in 6
2
3cos ,
2
1sin , 2 , 3
13 ====+== i
i ,
. 22
3sin
2
3cos2
, 36
5sin
6
5cos2 , 3
6sin
6cos2
, 2,1,0 , 3
2
6sin
3
2
6cos2
, 82
sin2
cos8 , 6
sin6
cos2
2
10
3
3
ii
iiii
kk
ik
z
iiazia
k
=
+=
+=
+=+=
+=
=
++
+==
=
+==
+=
5. , 2,1,0con 3
2
6sin
3
2
6cos3 ,
2sin
2cos2727 =
++
+=
+== kkikiiz k
( ) ( )
. 32
3sin
2
3cos3
, 132
3
6
5sin
6
5cos3 , 13
2
3
6sin
6cos3
2
10
ii
ii
=
+=
+=
+=+=
+=
.
61
6. zzz 2232 += , da iyxziyxz =+= , , si ha:
( ) , 0910 4322223 220
222 =++=+++=>
xyxxyxiyxiyxiyxx
linsieme dei punti determinato una circonferenza di centro ( )0,5C e raggio r = 4; per individuare, poi, i due numeri complessi 21 e ww richiesti, si deve intersecare la circonferenza
con la retta 3=x e si risolve il sistema:
=
=
==++
32
3
3
091022
y
x
x
xyx ,
ottenendo, quindi, iwiw 323 e 323 21 +== rappresentati nel seguente grafico:
7. ( )3sin3cos2 3 , 3 tan,2
3sin ,
2
1cos , 2 31 ii +======+= ,
( )318 2
3
2
116
3
4sin
3
4cos164 iiiz +=
+=
+== ,
. 36
11sin
6
11cos2 , 31
3
4sin
3
4cos2
, 36
5sin
6
5cos2 , 31
3sin
3cos2
, 3,2,1,0 , 23
sin23
cos2
32
10
4
iiwiiw
iiwiiw
kk
ik
zwk
=
+==
+=
+=
+=+=
+=
=
++
+==
w1 w2 x====3
62
8. izzzz 4 24 =++ , iyxziyxz =+= , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ). 2 , 53 B , 2 , 53Ain mente,rispettivaGauss, di piano sul atirappresent 253 , 253 punti i ottengono si
, 2
53
2
046
2
06
0426 424 4 24
21
222
22
+
++=+=
==
==++
==++
=+++=++++=++
iziz
y
x
y
xx
y
xyx
yixyxiiyxiyxiyxiyxizzzz
9. ( ) 12 2 =+ izziz , iyxziyxz =+= , ,
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( ) . 231 21 , 231 21 :soluzioni le ottengono si
, 231
21
0184
21
02
012 0212
0122 122
21
22222
22
++=+=
=
=
=++
=
=++
=+=++++
=++++=+++
iziz
y
x
yy
x
yyx
xyyxix
yxiiyxiiyxiyxiiyx
10. 02122 =+ iizz ,
( )
( )
. 211 , 11
, 12
2
2
22
4sin
4cos22
2
2arg , 22 , 22111
21 iiiziiz
iiii
iiiiiz
===++=
+=
+=
+
=
==+=+++=
3 A B y ====2 6
63
11. ( ) ( )( ) ( ) ( )23 222 22 22 ++++=+++=++ xiyyxiyxiyxiiyxiyxzzizz risulta
reale positivo se: . 12: e 2 se quindi, , 023
22
>++
=yyyx
yy
x
( ) ( )
( )
( ) . 222
sin2
cos 22 , 322
1
2
3 4
6sin
6cos 4
, 382
1
2
316
6
11sin
6
11cos 16
, 6
5sin
6
5cos 23 , sincos 8
3sin
3cos2 31
33
iiiii
iii
iiiii
=
+=+=
+=
+=
=
=
+=
+=+=+=
+=+=
12.
13. ( ) iz 83 3 = , 8 di cubica radice3 iz += ( ) ( )[ ]2sin2cos88 += ii ,
2,1,0 , 3
2
6sin
3
2
6cos283 =
++
+= kkiki ,
lequazione ( ) iz 83 3 = ammette, quindi, le tre seguenti soluzioni:
.336
5sin
6
5cos23
, 232
sin2
cos23 , 336
sin6
cos23
2
10
iiz
iiziiz
=
+
+=
+=
+
+=+=
+
+=
64
( )
. 22
3sin
2
3cos2
, 36
5sin
6
5cos2 , 3
6sin
6cos2 :cui da
2,1,0con 3
2
6sin
3
2
6cos2 ha si ,
2sin
2cos88 essendo
,8 di cubiche radici le calcolando 8z equazionel' quindi, risolve, si
, 8z 0 soluzioni le cui da 08
, 08
2
10
3
33
4
iz
iziz
kk
ik
zii
ii
izizz
izz
k
=
+=
+=
+=+=
+=
=
++
+=
+=
=
===
=
14.
15. ( ) 226 2 2 =+ izziz , iyxziyxz =+= , ,
( ) ( ) ( )[ ] ( )
. 1 , 1 :soluzioni le cos ottengono si
, 1 cui da 66
in soluzioni senza equazione : 062
064
064
0
06422 2262
21
22
2222
22
22222
iziz
xx
xy
x
xy
xyyx
xy
xyyx
yx
xyyxiyxiiyxiyxiiyx
+==
==
=
=+
=
=++
=
=++
=
=+++=+++
R
( )
( ) . 3
1 , 0B e 1,0A in Gauss, di piano nel ati,rappresent
3
1 , punti i cos ottengono si
, 3
1 ed 013 ha si ,0per mentre,
,1 quindi, e, 01 ha si 0per 012
0
012
0
012 121 26
21
22
2222
==
==>
==
65
TRASFORMAZIONI DELLE FUNZIONI
1. ( ) ( )R+ kkxf , : determina una traslazione del grafico della funzione lungo lasse delle ordinate e, precisamente, il grafico di ( ) kxf + si ottiene da quello di ( )xf , con una traslazione di k unit verso il basso, se k < 0, con una traslazione di k unit verso lalto, se k > 0 . 2. ( ) ( )R+ kkxf , : determina una traslazione del grafico della funzione lungo lasse delle ascisse e, precisamente, il grafico di ( )kxf + si ottiene da quello di ( )xf , con una traslazione di k unit a destra, se k < 0, con una traslazione di k unit a sinistra, se k > 0. 3. ( )xf : determina un grafico di funzione pari; per costruire il grafico della funzione y = ( )xf si lascia inalterato quello nel semipiano destro e lo si ribalta simmetricamente rispetto allasse delle ordinate. 4. ( )xf : determina un grafico di funzione con punti di ordinata non negativa; per costruire il grafico della funzione y = ( )xf si lasciano inalterati i punti di ordinata non negativa, mentre quelli di ordinata negativa vengono trasformati nei loro simmetrici, rispetto allasse delle ascisse. 5. ( )xf : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di ( )xf , dopo un ribaltamento attorno allasse delle ordinate. 6. ( )xf : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di ( )xf , dopo un ribaltamento attorno allasse delle ascisse. 7. ( )xfk : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di ( )xf , moltiplicando per k tutte le ordinate di ( )xf e, precisamente, il grafico si modifica nella direzione verticale. 8. ( )xhf : determina un grafico di funzione, ottenuto da quello di ( )xf , moltiplicando per h tutte le ascisse di ( )xf e, precisamente, il grafico si modifica nella direzione orizzontale. Esempio. Considerata la funzione xy ln= , 1 1 e si possono applicare su di essa le otto trasformazioni descritte.
66
1 1 xy ln=
1. 2. 3.
1 0 1 2 ( )1ln += xy ( )1ln = xy
1 1 1 1 1 ln += xy 1 ln = xy
67
4. 5. 6.
1 xy ln=
1 ( )xy = ln
1 xy ln=
68
7. 8.
RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA EQUAZIONE
Risolvere graficamente lequazione: ( ) ( )xgxf = ,
significa, dopo aver disegnato il grafico delle funzioni ( ) ( )xgyxfy == e , individuare, se esistono, valori della variabile x per i quali le due funzioni assumono uguali ordinate. Si risolvano graficamente le equazioni:
1. 13 += xx ; 2. 123 += xx .
3 1 e xy ln 3=
3
=3
lnx
y
69
1. 13 += xx
lequazione soddisfatta per x = , (1<
70
RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE
Risolvere graficamente la disequazione: ( ) ( ) ( ) ( )( )xgxfxgxf , ,
significa, dopo aver disegnato il grafico delle funzioni ( ) ( )xgyxfy == e , individuare per quali valori della variabile x , nei domini delle due funzioni, le ordinate della funzione ( ) xfy = si mantengono maggiori od uguali delle ordinate della funzione ( )xgy = , (le ordinate della funzione ( ) xfy = si mantengono minori od uguali delle ordinate della funzione
( )xgy = ).
ESERCIZI PROPOSTI CON SOLUZIONI
Si risolvano graficamente le disequazioni:
1. 1cos xex la disequazione soddisfatta )2/0 (,
71
3. ( )1log2 + xe x la disequazione soddisfatta
72
5. 1
32
xe x
la disequazione soddisfatta . 1:
73
NOZIONI DI TEORIA RICHIAMATE ED UTILIZZABILI NELLA SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SULLE SERIE
CARATTERE DELLA SUCCESSIONE GEOMETRICA
{ }
( ) esiste.non 2lim, 03
2lim , 0
2
1lim , 3lim
.1 se esistenon
,1 se 0
,1 se 1
,1 se
lim
, . ,.......,,......... , , ,1 , 32
==
=
+=
+
=
==
++++
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
q
q
q
q
q
qqqqqqa
:Esempi
CARATTERE DELLA SUCCESSIONE POTENZA
{ }
( ) . 0lim , 1lim , lim
.0 se 0
,0 se 1
,0 se
lim
, ,......,.......... ,3 ,2 ,1 , ,
402
0
==+=
+
=
==
+++
+
nnn
n
nnNnna
nnn
n
n
:Esempi
GERARCHIA DEGLI INFINITI
( )1 ,0 ,0 >>> qk n! nq
n
nalog .
In particolare si dimostra che:
.0lim ,0)(log
lim ==++ nn
ka
n q
n
n
n
74
IL NUMERO DI NEPERO e
Consideriamo la successione: ( ) , , 11 0Nnnanfn
n
+==
( )
( )
( )
( )
. .... 256
625
27
64
4
9 2
................................................
, 256
625
4
54
, 27
64
3
43
, 4
9
2
32
, 21
4
3
2
75
CARATTERE DELLA SERIE GEOMETRICA
CONDIZIONE DI CONVERGENZA PER OGNI SERIE
Condizione necessaria affinch una serie +
=0nna converga che il termine generale na sia
infinitesimo, ossia, 0lim =+
nn
a .
CARATTERE DELLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA
.1 se diverge serie la ,1 se converge serie la
, 0 , 1
1
>
+
=
n n
La serie geometrica la serie: . . ...........1 32
0
++++++=+
=
n
n
n qqqqq
Si dimostra che la serie geometrica ha il seguente carattere:
. 1 se irregolare
, 1 se a diverge
, 1 se 1
1 sommaper ha ed converge
+
+
=n
n
n aa se esiste finito il limite del rapporto n
n
a
a 1+ ,
ossia la
a
n
n
n=+
+1lim ,si hanno i seguenti tre casi:
.concludere pu si nulla 1
, converge serie la 1
, diverge serie la 1
=
l
l
l
77
SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILE
Data la serie R+
=n
n
n aa , 0
, se si considera la serie dei moduli +
=0nna : questa una serie a
termini reali non negativi. Teorema
Se la serie dei moduli +
=0nna convergente, allora anche la serie
+
=0nna convergente .
Definizione
Una serie +
=0nna si dice assolutamente convergente, se converge la serie dei moduli
+
=0nna .
Osservazione: la convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta anche convergenza semplice; il viceversa non sempre vero .
SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO. CRITERIO DI LEIBNIZ
Sia data la serie a termini di segno alternato:
( ) Se . , 0con , 10
Nnaa nnn
n >+
=
:
i) la successione { an} decrescente, ii) ++
= 0lim nn
a ,
allora la serie convergente.
78
SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO: APPROSSIMAZIONE DELLA SOMMA.
Sia ( ) nn
na+
=
1
1 con: 0>na , naa nn
79
SUCCESSIONI E SERIE TESTI
1. Si dispongano in ordine crescente di infinito le seguenti successioni:
105 64 , , , log , 4 nnenn nn .
2. Date le successioni ( ) nnn enbnna +=+= 44 8 e log4 ,
a) si calcoli il n
n
n b
a
+lim ;
b) si dica, giustificando la risposta, se an asintotica a bn.
3. Si calcoli la somma della serie: +
=0 3
3
nn
.
4. Si calcoli la somma della serie:( )
+
=
0
2
2
1
nn
n
.
5. Si determini il carattere della serie:
+
=
224
1
nn
ed, in caso di convergenza, se ne calcoli la somma. 6. Siano:
3
2
n
nan
+= ed =
=k
n
nk as1
,
a) si calcolino s2 e s3;
b) si determini il carattere della serie +
=1nna .
7. Considerata la serie:
+
=+
+
11
13
n
nn
n ,
a) si calcoli il 1
13 lim
++
+ n
nn
n;
b) si stabilisca il carattere della serie, giustificando la risposta.
80
8. Si studi il carattere della serie: +
= +1 11
n
nn.
9. Si stabilisca il carattere della serie:
+
= ++
1 32
2log
nnn
nn.
10. Si determini il carattere della serie:
+
=
+
0
23
nn
n
e .
11. Assegnata la serie:
( )+
=
+0
,22 n
n xx R ,
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie convergente; b) per i valori reali trovati, relativi alla convergenza, se ne scriva la somma. 12) Assegnata la serie geometrica:
( )[ ]+
=
0
3 1logn
nx , x R,
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie converge; b) si determini il carattere della serie per 10=x .
13. Assegnata la serie:
( )+
=
0
log3n
nx , x R ,
a) si determini, per quali valori del parametro reale x, la serie converge;
b) si determini il carattere della serie per 4ex = ;
c) per 4ex = , si calcoli la somma ( ) .log3100
0
=
n
nx
14. Si consideri la serie:
+
=>
+
02
)0(,2
2
n n
n
,
e sia sn la successione delle sue somme parziali; a) per = 2, si calcolino s1 ed s 2;
81
b) si determini il carattere della serie, al variare del parametro reale > 0. 15. Si determini il carattere della serie:
5
3
0 ++
+
=n
n
n
, R ,
al variare del parametro reale . 16. Assegnata la serie:
( )R
+
++
=
kn
n
nk
, 1
11
13
5
,
a) si determinino i valori del parametro reale k, per i quali soddisfatta la condizione necessaria di convergenza; b) per k = 2, si stabilisca il carattere della serie. 17. Si studi il carattere della serie:
)1(
1
3
+
= +n nnn
, R ,
al variare del parametro reale . 18. Assegnata la serie:
R+
=
aa
nn
n
, 3
)1(
0
,
a) si determini, per quali valori del parametro reale a, la serie converge;
b) si calcoli, per quali valori del parametro reale a, la somma della serie 2
3=S .
19. Assegnata la successione:
( )0,
log3
+
= knkn
nnan ,
a) si calcoli, al variare del parametro reale k, il lim an;
b) si determini il carattere della serie +
=1nna , al variare del parametro reale k .
20. Assegnata la successione: R++= k
n
nna
k
n ,2
24
2
,
82
a) si calcoli il limite della successione, al variare del parametro reale k ;
b) si studi il carattere della serie +
=1nna , per k = 4 e per k = 1.
21. Assegnata la successione: R=
kn
akn
,3
121
,
a) si determini il carattere di an , al variare del parametro reale k;
b) si studi il carattere della serie +
=1nna , al variare del parametro reale k.
22. Assegnate le successioni: n
an2= e 1+= nnn aab ,
a) si determini il carattere della serie +
=1nna ;
b) si calcoli il limite di bn ;
c) si determini il carattere della serie +
=1nnb ,come limite della successione delle somme parziali.
23. Si determini il valore dellespressione:
( )
=
+
=
+
+
2
0 02
1
2
3
3
1
4
2
k nn
nk
.
24. Si determini, giustificando la risposta, il carattere delle seguenti serie:
( ) ( )( )
( ) . 2 2
log ;
1 ;
23
31
214
02
2
+
=
+
=
+
=
>
++
nn
n
n
nn
n
n
nnn
nc) b)a)
83
SOLUZIONI
1. Gli infiniti, in ordine crescente, sono: . 4 , , , , log 105 64 nnnennn
In particolare nne infinito di ordine inferiore a n4 perch:
( )( ). 14 , 0
4lim
4lim >== +
++e
e
nnennn
n
n
2. a) ( )
328
256lim
8
log4limlim
4
4
4
4
==+
+=+++ n
n
en
nn
b
a
nnnn
n
n ;
b) ; 1 lim perch, a asintotica non + n
n
nnn b
aba si osserva che an 32 bn .
3. Si tratta di una serie geometrica di ragione q =1/3, quindi, convergente:
.2
9
3
11
3
3
1 3
3
3
00
=
=
= +
=
+
= n
n
nn
4. .2
1
2
1
2
)1( 2n
nn
n
na
===
La serie assegnata una serie geometrica di ragione q =1/2, quindi, la sua somma :
.22/1 1
1 =
=S
5. +
=
+
=
=02
2
4
1
4
1
nn
nn
: una serie geometrica di ragione q =4
1, quindi, convergente ed ha per
somma:
.3
4
4/11
1 =
=S
6. a) =
=+=+==+=+=+=k
n
k assaasn
ns
1
3232123;
54
199
27
5
2
7 ;
2
7
2
13 ;
2
b) la serie a termini positivi; na 123 nn
n = , pertanto, per il criterio del confronto asintotico, la
serie data ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata +
=12
1
n n e, quindi, convergente.
84
7. 1
13
+
+=
nn
nan
3 3n
n n= ,
a) +++
== 03limlimn
an
nn
;
b) la serie a termini positivi, quindi regolare; divergente, per il criterio del confronto
asintotico: infatti ha lo stesso carattere della serie +
12/1
1
n.
8. nn
an +=
1
1
n
1 ,
la serie data a termini positivi, quindi regolare; per il criterio del confronto asintotico, ha lo
stesso carattere della serie +
1
1
n, quindi, divergente.
9. Si tratta di una serie a termini positivi:
nn
nn
32
2log
++
,3
2
3
2n
n
n
=
la serie data, per il criterio del confronto asintotico, ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragione q = 2/3 , quindi, convergente.
10. ae
n
n
n=+3 2
3 3n
n
n
e e= ,
la serie data a termini positivi e, quindi, regolare; per il criterio del confronto asintotico, ha lo
stesso carattere della serie geometrica di ragione q = 3
1e
> , quindi, divergente.
11. ( ) ( ) +
=
+
=+=+
0 0
2222n n
nn xx ,
a) una serie geometrica di ragione q = (x + 2); essa converge se e solo se:
13 121 12
85
12. ( )[ ]+
=
0
3 1logn
nx , x R ,
a) la serie geometrica di ragione ( )1log3 = xq ; essa converge se e solo se:
( ) ( )( )
>
>
86
a;convergenz di necessaria condizione la soddisfanon perch divergente serie la : 2
1per
; 1lim : 2
1 se , lim :
2
1 se ; 0
5
3
==+=++=
++
nnnnnaan
n
na 15.
per na : 2
1> converge. serie la 2
3 se diverge, serie la
2
3 se
12/1
>= nnn
16. a) La condizione necessaria di convergenza per una serie +
=1nna che 0na .
( )kn nn
a1
11
3
5
+
+= 6
5
2
53per 0
3
25
>> kkn
nk
;
b) la serie a termini positivi, quindi, regolare;
se k = 2 la serie +
=1nna ha lo stesso carattere di
+
=
+
=
=1
271
6
25 1
nn nn
n :
tale serie una serie armonica generalizzata con 27= , pertanto, convergente.
17. La serie a termini positivi e, quindi, regolare; n
n n
3
1( )+
n
n n
1 3
1 2 3
1/
/ + += ,
. diverge data serie la 3
1 se converge; data serie la
3
1 , cio , 1
3
2 se >>+
18. Si tratta di una serie geometrica il cui termine generale : n
n
n
naa
a
==3
1
3
)1(,
a) la serie convergente, se e solo se: 42 313 13
11
87
20. 2
24
2
++=
n
nna
k
n 422
n
nnk + ,
a) se 0 redenominato al inferiore ordine di infinito numeratore il : 4 < nak ;
se nak : 4= 22
4
4
n
n; se nak : 4> +
24n
nk;
b) la serie +
=1nna a termini positivi , quindi regolare;
per 2 : 4 = nak , pertanto la serie diverge a +, poich non soddisfatta la condizione necessaria di convergenza;
per nak : 1= 242 1
nn
n = , per il criterio del confronto asintotico, la serie convergente.
21. a) La successione convergente per 1 2k 0 , in particolare:
; allora , 2
1 cio, , 021 se ; 0 allora ,
2
1 cio, , 021 se
; 3
1 costante,
3
1 allora
2
1 cio, , 021 se
+>
88
( ) ( )
. 12
37
3
4
4
7
4
31
1
3
1
4
7
4
3
3
111
2
1
4
1
2
3
3
1
4
2
2
3
3
1
4
2
002
12
0
2
0
2
0 02
1
=+=
+=
=
+++=++=+
+
+
=
+
=
===
+
=
n
n
nn
n
kk
k
k nn
nk
23.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ). log
2
log essendo diverge 3per diverge, 3 2per converge, 3per
:serie la quindi, , 12per 12
1
log
2
2
1loglimha si rapporto, del criterio col
, 02
log positivi terminia serie la , 2q
2
log
nte;sempliceme anche converge 1
serie la quindi, , 145con
atageneralizz armonica serie una essendo converge 11
1
moduli
dei serie la poich nteassolutame converge serie la alternato, segno di terminia serie la , 1
; a diverge serie la pertanto a,convergenz laper necessaria condizione la soddisfanon
quindi, e, 2
3
23
31 generale termineil positivi, terminia serie la ,
23
31
11
1
2
14
145
14
14
14
2
2
02
2
+
=
+
=
++
++
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
>=
==
+
++=
++
nnn
n
nn
nn
nn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
nn
n
nq
nqqq
qqn
q
q
n
q
na
q
n
nn
nnnnn
nn
n
na
n
n
c)
b)
24.a)
89
DEFINIZIONE SUCCESSIONALE DI LIMITE
Sia ( ) ( )baIcbaI , e , == , ( ) . punto nelpi al salvo ,in definita reale variabiledi funzione una sia cIxf
Si dice che il limite di f (x) per x che tende a c dalla destra l ( finito o infinito) e si scrive:
( ) lxfcx
=+
lim
( )( )+ cxlxf per oppure
se, per qualunque successione { }nx di punti del dominio di f (x) convergente a c e, maggiore di c, la successione delle immagini ( ){ }nxf tende a l.
90
CASI DI NON ESISTENZA DEL LIMITE
esistenon sinlim x
x + .
Si considerino le due successioni:
( ) ( )
( ) ( ) , 12
sinlimlim 12
sin22
sin22
, 12
sinlimlim 12
sin22
sin22
, , per
, , 22
, 22
=
==
=
+=
+=
====
+=
+=
+++
+=+=
++
++
nn
nn
nn
nn
nn
nn
yfnnfyf
xfnnfxf
yxn
Nnnynx
quindi il esistenon sinlim xn +
, perch non soddisfa la definizione successionale di limite.
esistenon 1
sinlim0 xx ++
.
Si considerino le due successioni:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) , 12
sinlimlim
12sin22sin22
11sin
22
1
, 02sinlimlim 02sin2
11sin
2
11
, 01
, 01
per
, , 22
1 ,
2
1
=
=
==+=
+=
+=
====
=
=
=+
=+
+
+
==
++
++
++
nn
n
n
nn
nn
nn
nn
yf
nnn
fyf
nxfnnn
fxf
yxn
Nnn
yn
x
quindi il esistenon 1
sinlim0 xx ++
, perch non soddisfa la definizione successionale di limite.
91
LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA Teorema. Se f continua in x0 e g continua in f (x0), allora la funzione composta ( )[ ]xfg continua in x0 . Esempi :
( )
; 11241lim
; 01log2
cos1logcos1loglim
; 1
lim
2
2
2
1
1
2
==
==
+=+
==
xx
x
eee
x
x
x
x
. 2818lim
; 4
1
31
12
3
2lim
33 21
1
2
3
1
==
=+
+=
xe
xx
xx
x
x
x
LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA
(cambio di variabile nel calcolo del limite) ( )[ ] ?lim
0
=
xgfxx
Allinterno del limite si pu cambiare variabile, ponendo:
( )xgt = , ( ) ( ) 000 , per txgxgxx = ( *00 , Rtx ) .
Si pu enunciare il seguente teorema: se: i) gf o definita in un intorno di x0 ( salvo al pi x0 stesso) ,
ii) per ( ) 00 , txgxx , allora:
( )[ ] ( )tfxgfttxx 00
limlim
= .
92
LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI COMPOSTE ( FORME SIMBOLICHE )
( )
( )( )
( )( )
( )( ) . 1lim
, lim
, 0lim
0
0==
+==
==
++
+
ee
ee
ee
e
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
( )
( )( )
( )( ) ( ) . ln lnlim
, 0ln lnlim
ln
0
+=+=
==
+
+
+
xf
xf
xf
xf
xf
( )
( )( )
( )( ) . lim
, 00lim0
+=+=
==
+
+
xf
xf
xf
xf
xf
( )
( )( )
( )( )
( )( ) . lim
, 0 0 lim
, lim
33
330
33
3
+=+=
==
==
+
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
93
LIMITI NOTEVOLI
0Per x
. 2
1 cos1 ,
2
1cos1
, tan , 1tan
, sin , 1sin
22
xxx
x
xxx
x
xxx
x
. 0sin
Per x
xx
( ) 0Per xf
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
. 2
1 cos1 ,
2
1 cos1
, tan , 1tan
, sin , 1sin
22
xfxfxf
xf
xfxfxf
xf
xfxfxf
xf
, 0lnlim0
=
+xx
x inoltre: ( )0 , 0lnlim
0>=
+ xx
x .
inoltre , 0 lim
=xx
ex : ( )0 ,0lim >=
xx
ex .
94
ex
x
x=
+
11lim
Da tale limite se ne deducono altri notevoli :
( )
( ) ( )
. 1 11
lim )4
, 1ln 11ln
lim 3)
, 1lim )2
, 11
1lnlim )1
0
0
1
0
xex
e
xxx
x
ex
xx
xx
x
x
xx
x
=
+=+
=+
=
+
( ) ( )
( )e
xf
xf
xf=
+
11lim
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( ) . 1 11lim )4
, 1ln 11ln
lim 3)
, 1lim )2
, 11
1lnlim )1
0
0
1
0
xfexf
e
xfxfxf
xf
exf
xfxf
xfxf
xf
xf
xfxf
xf
=
+=+
=+
=
+
95
FORME DI INDECISIONE ESPONENZIALE
Le forme di indecisione esponenziale provengono dal calcolo dei limiti delle funzioni del tipo:
( ) ( )xgxfy =
e sono le seguenti: 00 , 0 , 1 .
Generalmente si trasforma la funzione:
( ) ( )xgxfy = nella forma esponenziale:
( ) ( )xfxgey log= e lindecisione cos appare allesponente sotto forma di prodotto:
0 Esempi:
,0 eindecision di forma la : lim 00
x
xx
+
1limlim 0loglim
log
00
0 ==== +++
eeexxx
xx
x
x
x
x .
, eindecision di forma la : 1lim 00
+
x
x x
.1lim1
lim 0loglim
log
00
0 ====
+++
eeex
xxxx
x
x
x
x
( ) , 1 eindecision di forma la : 1lim1
0
+ xx
x
il limite e ( si riconosce il limite notevole ).
