Musica e Matematica

Luca Calatroni

Sommario

I seguenti appunti sono una trascrittura e una possibilit di appro-

fondimento della lezione Musica e Matematica tenuta dal Prof. M.P.

Bernardi, dal Dott. G. Albini e dal Prof. S. Antonini durante il corso

di Musica e..dialoghi tra discipline tenuto presso il Collegio Borromeo di

Pavia. In queste pagine introdurremo in modo elementare le denizioni

e le propriet caratteristiche delle ben note isometrie piane (traslazioni,

riessioni, rotazioni e glissoriessioni) per notare come nella pratica mu-

sicale ricorra un uso assiduo di esse, pi o meno consapevole. Daremo

alcuni esempi notevoli di una forma musicale che si serve in maniera sin-

golare di queste trasformazioni, il canone, per poi introdurre le nozioni di

gruppo e sintetizzare la cosiddetta teoria dei modi a trasposizione limitata

introdotta e studiata per la prima volta da O. Messiaen. Concluderemo

con un breve accenno alla costruzione di una rete di altezze (Tonnetz)

utile soprattutto nello studio della musica post-tonale.

1 Un primo esempio: F. Chopin, valzer op. 34

n.2

Per comprendere meglio le nozioni che introdurremo in seguito, partiamo da

un esempio. Ascoltiamo attentamente le prime battute del Valzer in La minore

di F. Chopin (ricordiamo che il 2010 abbiamo festeggiato il bicentenario della

nascita del compositore!), op. 34 n.2 e compiamo qualche osservazione.

Figura 1: F. Chopin, valzer op. 34 n.2

Il brano, almeno in questa prima sezione, risulta essere formato da tre linee

melodiche: una prima linea, di accompagnamento per bicordi, assegnata alla

1

mano destra, la linea melodica vera e propria che conduce il canto e una linea

di sostegno, in forma di pedale, assegnate alla mano sinistra. Focalizziamo la

nostra attenzione sulla linea del canto, isolandola nelle sue prime quattro bat-

tute.

Figura 2: F. Chopin, valzer op. 34 n.2, linea melodica

Senza preoccuparci, almeno per ora, dell'eetto sonoro risultante dal suo ascolto,

possiamo n da ora notare alcune analogie limitandoci semplicemente all'analisi

della scrittura. Osserviamo la prima battuta e notiamo che essa formata da

una nota di 2/4 pi due ottavi, per un totale di 3/4, coerentemente all'anda-mento ritmico tipico dei valzer. Ora osserviamo la seconda battuta: sebbene

l'andamento della linea sia leggermente diverso da quello della prima battuta

(dove gli ottavi hanno andamento ascendente, mentre qui presentano un anda-

mento discendente) non si pu notare un'analogia formale: anche qui due quarti

pi due ottavi. Proseguiamo ancora, analizzando la terza battuta: notiamo che

essa ricalca esattamente la prima battuta del brano, cos come la successiva

quarta battuta la fotocopia della seconda. Un altro tipo di analisi dunque,

non pi battuta per battuta, ma che consideri le due coppie di battute costituen-

ti questo incipit, non pu non evidenziare come la terza e la quarta battuta non

siano altro che le prime due battute semplicemente spostate in avanti nel pezzo.

Vedremo in seguito quali sono le spiegazioni e le formalizzazioni di questa osser-

vazione, per il momento possiamo limitarci a un'osservazione qualitativa nella

quale, per maggior chiarezza, possiamo anche rappresentare gracamente ci

che vogliamo dire. Riconsideriamo la prima battuta del brano osservando l'an-

damento melodico della voce superiore e compiamo la stessa osservazione anche

con le battute successive: stiamo pensando di collegare le note che compon-

gono la melodia con una linea. Se siamo abbastanza abili nel disegno vediamo

che la linea ottenuta ha la forma tipica di una sinusoide, almeno nelle prime

tre battute. Identicando la prima battuta con un simbolo, la seconda con un

altro simbolo e usando gli stessi simboli per frammenti tematici simili, possiamo

inoltre dare vita al seguente pattern graco:

Non possiamo non apprezzare tale regolarit nella forma e siamo spinti a chieder-

ci quali siano le possibili spiegazioni, osservazioni e gli eventuali modelli che

possono permetterci non solo di analizzare un qualsiasi brano, ma anche di

comprenderlo meglio. Proprio come nell'osservazione di un'opera d'arte o pi

semplicemente in una cornice la riproduzione regolare di un elemento (una foglia,

un ricamo..) conferisce all'oggetto osservato una veste di eleganza e razionalit,

possiamo cos supporre che un'analisi analoga fatta in ambito musicale permetta

un ascolto pi sapiente e un approccio pi matematico alla disciplina.

Di seguito riportiamo alcuni esempi di motivi ricorrenti nell'arte che presentano

2

una certa analogia con quanto visto: esse sono una sorta di sinusoidi in cui per

compaiono elementi aggiuntivi che in un certo senso distruggono quasi tutti gli

elementi di simmetria della gura.

La seguente fotograa stata scattata nel Duomo della Madonna del Carmine

di Pavia.

2 Le isometrie piane

Introduciamo brevemente in questa sezione le denizioni e i concetti principali

che verranno applicati successivamente nell'analisi di alcuni frammenti musicali.

Nel piano, con il termine isometria intendiamo una trasformazione del piano in

s tale che la distanza di due qualsiasi punti uguale alla distanza del loro

trasformati. Le isometrie piane sono:

traslazioni rotazioni riessioni glissoriessioniVediamo, per ognuna, qualche dettaglio tecnico.

2.1 Le traslazioni

Una traslazione un'isometria in cui due punti si corrispondono se il segmento

orientato che li unisce congruente ed ha stessa direzione e verso di un segmento

orientato dato, detto vettore di traslazione. Le traslazioni non hanno punti uniti

e, intuitivamente, possono essere pensate come movimenti rigidi dello spazio dal

momento che la loro propriet caratteristica dunque quella di mandare ogni

coppia ordinata di punti in un'altra che denisce lo stesso vettore.

3

Figura 3: Eetto della traslazione, la gura di partenza quella in bordeaux

2.2 Le rotazioni

Nel piano si dice rotazione di centro O e ampiezza assegnati, l'isometria chemantiene sso il punto O, detto centro, e associa ad ogni punto P del piano,distinto da O, un punto P tale che la distanza OP sia uguale alla distanza OP

e che l'angolo POP sia congruente ad . Il caso particolare di rotazione in cui = pi chiamato simmetria centrale di centro O.

Figura 4: Eetto della rotazione, la gura di partenza quella in bordeaux

2.3 Le riessioni

Nel piano le isometrie dette riessioni sono anche chiamate simmetrie assiali.

Due punti distinti, A e B, si dicono corrispondenti nella riessione rispetto ad

una retta r se il punto medio del segmento che li congiunge appartiene ad r ese tale segmento perpendicolare alla retta r. Chiamiamo dunque riessionerispetto all'asse r (o, analogamente, simmetria assiale di asse r), la trasfor-mazione del piano in s che ad ogni punto del piano associa il suo punto cor-

rispondente rispetto alla retta r. In una simmetria assiale, tutti i punti dell'assedi simmetria sono punti uniti nella trasformazione.

Figura 5: Eetto della riessione, la gura di partenza quella in bordeaux

4

2.4 Le glissoriessioni

Una glissoriessione nel piano la composizione della riessione rispetto ad

una retta r con una traslazione lungo la direzione della stessa retta. L'ordinein cui tale composizione avviene indierente dal momento che il risultato,

in entrambi i casi, la stessa glissoriessione. Le riessioni possono essere

considerate glissoriessioni nel caso particolare in cui il vettore di traslazione

il vettore nullo. Le traslazioni e le rotazioni sono dette isometrie dirette, mentre

Figura 6: Eetto della glissoriessione, la gura di partenza quella in bordeaux,

quella verde la sua simmetrica e la blu la traslata della simmetrica

le riessioni e le glissoriessioni sono dette isometrie inverse.

3 Trasformazioni geometriche sul pentagramma

Consideriamo l'usuale piano cartesiano Oxy ai ni delle nostre analisi. Riporti-amo sull'asse x delle ascisse il tempo che in musica corrisponde a una successionedi battiti ad intervalli costanti (per intenderci, quelli prodotti da un metronomo

per esempio) e sull'asse y delle ordinate, in scala logaritmica, l'altezza dei suonidisposti in ordine crescente dal pi grave al pi acuto. Cos facendo una qual-

siasi melodia pu essere rappresentata da una legge f in modo che y = f(x).Con questa premessa ssiamo poi le unit di riferimento. Per l'asse x ssiamocome unit di misura il minuto secondo e l'abbiniamo alla gura musicale di

una semiminima (stiamo cio dando al metronomo l'indicazione quarto= 60) eil semitono temperato

1

per l'asse y. Possiamo avere cos una rappresentazionegraca mediante segmenti che indicano il valore di durata di ogni singolo suono,

ossia il loro scorrere nel tempo e l'altezza assoluta di ognuno di esso riferita

alla scala temperata. Osserviamo anche la presenza di tratti verticali, non tipi-

ci dal punto di vista matematica, ma che esprimono continuit dal punto di

vista musicale. Poniamo come origine del nostro riferimento (ovvero il livello

y = 0) l'altezza del suono corrispondente al do immediatamente successivo aldo centrale. Possiamo allora rappresentare, nel piano cos costruito, il seguenteframmento musicale come segue:

A questo punto, ricordandoci delle denizioni delle trasformazioni viste nella

sezione precedente, possiamo considerare le trasformate di questo inciso melod-

ico che risultano essere:

nel caso della traslazione verticale. Notiamo che il vettore di traslazione orientato lungo la direzione verticale ed diretto verso il basso. Ricor-

1

Con semitono temperato si intende la distanza fra un qualsiasi suono della scala e il

suo immediatamente successivo, sia in senso ascendente che discendente. Esso l'intervallo

l'intervallo pi piccolo del nostro sistema musicale (sistema temperato) e corrisponde alla

met di un tono

5

Figura 7: Un frammento melodico

Figura 8: Traslazione

dandoci poi un quadretto corrisponde ad un semitono, possiamo dire che

il modulo di tale vettore 5. Il risultato un inciso tematico che presen-ta lo stesso andamento ritmico dell'originale, ma i cui suoni questa volta

si trovano ad altezze dierenti. Nella pratica musicale, un tale tipo di

operazione si chiama trasporto. L'altezza dei suoni viene invece preserva-

ta in caso di applicazione di una traslazione orizzontale che comporta

l'esecuzione del frammento considerato o in ritardo (traslazione verso de-

stra) o in anticipo (traslazione verso sinistra) rispetto all'originale. La

composizione di di una traslazione orizzontale con una verticale una

traslazione obliqua.

Figura 9: Riessione rispetto all'asse x

6

nel caso della riessione fatta, in questo caso, rispetto all'asse x. Secon-do le caratteristiche descritte nella sezione precedente notiamo che il doiniziale, giacente sull'asse rispetto a cui si eettua la riessione, punto

unito della trasformazione e pertanto rimane invariato. Gli altri suoni,

invece, pur mantenendo inalterate le caratteristiche ritmiche, di durata

e le relazioni reciproche di altezza, appaiono ribaltati. La melodia, orig-

inariamente discendente, ora diventata ascendente. Notiamo che tale

riessione ha richiesto l'introduzione di un'alterazione (il si[); una trasfor-mazione che anzich operare in questo modo avesse un si naturale come

trasformato, sarebbe scorretta perch non manterrebbe il rapporto tra le

altezze di suoni vicini, caratteristico invece di una riessione e, in generale,

di un'isometria. Nella melodia di partenza, infatti, le note nali do e re

distano un tono, mentre l'intervallo tra si (naturale) e do solo di un

semitono. Nella pratica musicale un tale tipo di procedura detto inver-

sione. Se la riessione compiuta rispetto ad una retta orizzontale diversa

dall'asse x, combinando i due casi appena visti notiamo che il risultato puessere pensato come la combinazione di una simmetria rispetto all'asse xe una traslazione verticale, ovvero come la combinazione di inversione e

trasporto.

Figura 10: Simmetria rispetto all'asse y

nel caso della riessione fatta stavolta rispetto ad una retta verticale.Qui le cose cambiano. Ci che dobbiamo immaginarci di leggere al

contrario la melodia di partenza, partendo dunque dall'ultima nota e an-

dando a ritroso no alla prima. Nel nostro piano cartesiano infatti ci che

succede che la rappresentazione dell'inciso melodico viene con questa

trasformazione ribaltata a sinistra dello zero temporale ovvero dell'istante

in cui ha inizio il suono. Abbandonando qualsiasi osservazione sconsider-

ata sull'inversione dello scorrere del tempo, tale tipo di trasformazione

da interpretare come spiegato sopra. Va comunque notato come, sebbene

in una lettura retrograda di tale trasformazione si possano rintracciare, sia

a livello ritmico che armonico, i medesimi rapporti tra le note costitutive,

una lettura in avanti della melodia trasformata non preservi questi rap-

porti con la melodia di partenza (la seconda nota, per esempio, vale tre

sedicesimi nella melodia originaria ed un solo sedicesimo in quella trasfor-

mata). Nella pratica musicale un tale tipo di procedura viene chiamata

retrogradazione.

7

Figura 11: Glissosimmetria

nel caso della glissoriessione. Essa va vista come composizione di unasimmetria assiale rispetto ad un asse orizzontale con una traslazione equiv-

ersa di vettore con modulo 4 (corrispondente per noi alla durata di un

quarto) notiamo come la traslazione in avanti (ovvero diretta stavolta in

direzione positiva dell'asse x) faccia s che la melodia trasformata inizi unquarto dopo rispetto all'inizio di quella originale.

Nel caso della simmetria centrale riportiamo solo a titolo di esempiola seguente pagina della Rapsodia Spagnola di M. Ravel in cui, pur senza

introdurre riferimenti cartesiani, evidente l'uso di tale trasformazione.

Figura 12: Glissosimmetria

8

3.1 Polifonia e trasformazioni geometriche

Fino ad ora ci siamo occupati di studiare solamente le trasformazioni di un sin-

golo inciso melodico in seguito all'applicazione di una delle isometrie viste senza

occuparci di come l'uso di tali trasformazioni possa combinare e sovrapporre tra

loro melodie trasformate con risultati interessanti geometricamente e gradevoli

musicalmente. La forma pi tipica di composizione polifonica composta secondo

questi criteri certamente il canone. In ambito musicale esso denito come

una composizione contrappuntistica che presenta una linea melodica principale

(dux ) e una numero variabile di voci (comes) che seguono e imitano la voce

principale. Con imitazione si intende proprio la trasformazione del dux com-

piuta tramite l'applicazione delle trasformazioni dette. Se il canone costruito

tramite l'utilizzo di una sola particolare trasformazione tra quelle viste assume

nomi specici, ovvero:

Nel caso di traslazione in direzione orizzontale ovvero di imitazione all'u-nisono dux da parte dei comes si parla di canone semplice. L'esempio pi

famoso e popolare di questo tipo di canone Fra' Martino.

Nel caso di traslazione in direzione verticale e orizzontale ovvero di im-itazione della melodia proposta dal dux da parte dei comes a qualsiasi

intervallo che non sia l'ottava o l'unisono si parla di canone all'interval-

lo (per esempio si parler di canone alla quarta o al quarto grado se la

melodia del dux riproposta innalzata o diminuita di un intervallo di

quarta).

Nel caso di riessione rispetto all'asse x si parla di canone per moto con-trario o inversione o ancora, nel caso in cui melodia originale e riessa

iniziano simultaneamente, canone a specchio.

Nel caso di riessione rispetto all'asse y si parla invece di canone retrogradoo cancrizzante.

Nel caso di simmetria rispetto all'origine, ovvero di simmetria centrale concentro O origine degli assi, si parla di canoni retrogradi dell'inverso

3.1.1 Un esempio notevole: Ma n est mon commencement

L'analisi e lo studio dei canoni che ci sono pervenuti ha messo in luce come

spesso non fosse chiaro a priori in che modo un canone dovesse essere eseguito.

La sua esecuzione, infatti, spesso doveva essere preceduta dalla risoluzione di

indovinelli (originariamente titoli o sottotitoli del canone stesso) che stabilivano

i rapporti ritmici, di durata e di altezza tra le melodie del dux e quelle dei

comites. Tali canoni sono infatti stati chiamati enigmatici e possono essere

di una qualsiasi tipologia tra quelle sopra elencate. Senza scendere in troppi

dettagli tecnici, possiamo citare qui alcuni esempi, per la maggior parte raccolti

nell'elenco stilato da padre G.B. Martini Esemplare ossia Saggio fondamentale

pratico di contrappunto:

Crescit in Duplo (in Triplo..): nell'esecuzione di questo canone i comes de-vono duplicare, triplicare etc. la durata delle note componenti la melodia

del dux.

9

Figura 13: Ma n est mon commencement di Guillaume de Machaut

Nigra sum sed formosa: nell'esecuzione di questo canone il comes devecantare le note nere come se fossero bianche.

Ocia dant vicia: nell'esecuzione di questo canone il comes tralascia lepause del dux e canta le sole note.

Un esempio notevole di canone enigmatico cancrizzante dalle caratteristiche

davvero singolari dato dal brano Ma n est mon commencement di Guillaume

de Machaut (1300-1377). Il brano ha una costruzione molto particolare, infatti

il dux (qui indicato come cantus) esegue una melodia che viene proposta dal

triplum, suo comes, esattamente uguale ma in moto retrogrado. La terza voce

del tenor composta da una melodia che ha durata met della precedente e

viene eseguita una volta in un verso e una seconda volta nel verso contrario.

Ci che emerge da questi esempi che la scelta di una linea melodica principale

cui sovrapporre le altre linee melodiche trasformate in modo tale che il risul-

tato sia gradevole all'ascolto, un'operazione veramente dicile e di natura e

approccio razionale e matematico. Per concludere questa sottosezione di esem-

pi accenniamo solo al fatto che un autore successivo a de Machaut, Guillame

Dufay us le proporzioni geometriche per edicare vere e proprie architetture

musicali. Alcuni studiosi hanno rilevato che le proporzioni usate da Dufay in

un suo mottetto (Nuper rosarum ores) riproducono quelle di Santa Maria del

Fiore a Firenze (Magnano, 2004). In altri lavori Dufay us il rapporto del-

10

la sezione aurea. Naturalmente all'ascolto non vengono percepite queste pro-

porzioni, ma la loro presenza il segno di un pensiero rivolto all'espressione di

concetti matematici attraverso forme musicali, del tutto in linea con le idee che

avevano caratterizzato il mondo medievale e che provenivano direttamente dalla

scuola pitagorica della Grecia antica.

3.2 Evoluzioni storiche

Nel Rinascimento e nel Barocco continu l'utilizzo delle tecniche compositive

basate sulle simmetrie matematiche, i generi pi signicativi di questo perio-

do sono le invenzioni i canoni le variazioni e nelle fughe. Il materiale musicale

composto spesso da soggetti e controsoggetti si sviluppa attraverso progressioni,

imitazioni, ripetizioni, distribuzione tra le voci. Il materiale musicale pu essere

sottoposto a tutte le trasformazioni descritte nelle sezioni precedenti, siano esse

svolte in maniera esatta o no. Dal punto di vista della struttura matematica, il

discorso musicale del tardo Medioevo governato da regole rigide, mentre nel

Rinascimento questo sottoposto a regole pi essibili e malleabili alle esigenze

del compositore. Il discorso musicale quindi in grado di accogliere moven-

ze inconsuete e ardite, di accettare le nove et straordinarie dissonanze che in

misura sempre maggiore caratterizzano la musica del tardo '500. Bach il com-

positore pi importante dell'et barocca fu tra l'altro un sostenitore del nuovo

sistema di intonazione della scala musicale che permetteva di suonare la stessa

melodia in qualsiasi tonalit senza alterare i rapporti di frequenza tra le note

(come invece era sempre avvenuto no ad allora). Nella sua celebre opera Aria

con trenta variazioni, nota come Variazioni Goldberg Bach scrive nove canoni

che hanno relazioni tra le voci dall'unisono alla nona; quasi tutti sono canoni

accompagnati, in cui la voce del basso indipendente. Nel XVIII secolo si dif-

fuse tra vari compositori il divertimento di comporre musica mediante l'utilizzo

dei dadi. In tale forma di composizione automatizzata si faceva uso di numeri

casuali per mettere insieme frammenti melodici. Nel 1757 Johann Philipp Kirn-

berger pubblic una guida alla composizione delle polonaise e dei minuetti con

l'aiuto dei dadi. A Mozart si deve invece la pubblicazione di un manuale per la

composizione di valzer con l'aiuto dei dadi. Il manuale venne pubblicato da N.

Simrock a Berlino nel 1792, con istruzioni in tedesco, francese e inglese. Durante

il Romanticismo le simmetrie musicali e la matematica in musica divennero poco

interessanti, durante il 900 invece questi approcci compositivi vengono riscoper-

ti. L'uso di forme matematiche aleatorie viene sviluppato da alcuni compositori

come John Cage, l'utilizzo di rigide tecniche contrappuntistiche si ritrova invece

nella tecnica di composizione a dodici note inventata da Arnold Schoenberg, il

quale dopo aver abbandonato il sistema tonale si posto di fronte al problema

di dare una forma alla propria musica che fosse in qualche modo percepibile.

Schoenberg arriv quindi al contrappunto e alle leggi di simmetria per una ne-

cessit di tipo formale e percettivo. Nella tecnica seriale di Anton Webern, un

allievo di Schmberg, i parametri altezza, durata, timbro vengono controllati

separatamente e sottoposti a ferree leggi generative.

11

3.3 Un esempio bachiano: invenzione a due voci n

1

Citiamo qui e diamo un accenno di analisi di una delle composizioni pi sem-

plici di J.S. Bach in cui sono evidenti alcune delle isometrie viste. Osserviamo

la seguente gura:

Figura 14: Prima pagina dell'invenzione a due voci n

1 di J.S.Bach

Con il termine invenzione si intende una composizione a carattere imitativo in

cui le voci (in questo caso due) si inseguono. La composizione appare diversa

dal canone in quanto il frammento tematico e le sue imitazioni sono seguite da

altri frammenti melodici che rendono la composizione pi varia. Esse rappresen-

tano le antenate delle ben pi complesse fughe bachiane. In questa invenzione

il tema costituito da tutta la prima battuta assegnata alla mano destra pi il

primo sedicesimo della seconda battuta. Nella gura per ho voluto dividere i

due sintagmi tematici che lo compongono utilizzando il colore rosso per il primo

sintagma e blu per il secondo. La prima trasformazione visibile gi nella prima

battuta ed assegnata alla mano sinistra che esegue il primo sintagma del tema in

ritardo di due quarti rispetto alla sua esposizione. Questo l'esempio del risul-

tato di una traslazioni temporale del tema. Nella seconda battuta evidente

anche una traslazione verticale della melodia, questa volta esposta partendo dal

Sol e non dal Do, sia per la linea della mano destra che per quella della mano

sinistra. Nella terza battuta ho evidenziato con il colore arancione un fram-

mento che rappresenta un simmetrico del primo sintagma: notiamo che i valori

musicali delle note che compongono il tema sono rimasti inalterati cos come

i rapporti intervallari tra le note (movimento per gradi congiunti iniziali e poi

12

per terze), ma l'andamento invertito (per retrogradazione e inversione). Senza

entrare troppo nei dettagli e senza ripeterci notiamo come queste trasformazioni

avvengano ancora in queste prime righe della composizione. L'abilit di Bach

consisteva nello sfruttare tutte le possibili modiche del tema iniziale, smembra-

to nei suoi sintagmi, non in modo meccanico, ma combinando insieme in modo

contrappuntistico le diverse voci costituenti. Cos, ad esempio, in una fuga a 4

voci contemporaneamente si pu sentire il tema, il tema aumentato (ovvero la

cui durata delle note costituenti per esempio raddoppiata), un tema rovesciato

e un secondo sintagma mischiati mirabilmente insieme.

4 Isometrie e strutture algebriche: il gruppo diedrale

e il gruppo dei fregi

L'insieme dell'isometrie denite nel piano euclideo, munito dell'operazione di

composizione di funzioni, ha la struttura di gruppo. Dentro a questo, ha senso

considerare l'insieme delle isometrie che mutano un poligono regolare di n latiin se stesso. Tale sottogruppo viene denito come gruppo diedrale di ordine 2n.

4.1 Il gruppo diedrale D2n: denizione e caratteristiche

Il gruppo diedrale D2n (dove 2n indica il numero di elementi del gruppo) di unpoligono regolare di n lati l'insieme delle riessioni e rotazioni di tale poligonoin se stesso. I gruppi diedrali sono uno tra gli esempi pi semplici di gruppi

niti.

4.2 Elementi del gruppo diedrale

Un poligono regolare di n lati possiede 2n isometrie che mutano il poligonoin se stesso: n rotazioni e n riessioni. Se n dispari ogni asse di simmetriacongiunge il punto medio di un lato con il vertice opposto. Se, invece n parici sono n/2 assi di simmetria che congiungono i punti medi di lati opposti e n/2assi di simmetria che congiungono vertici opposti. In ogni caso, ci sono in tutto

n assi di simmetria e, in totale 2n elementi. La riessione rispetto ad un assedi simmetria composta con un'altra riessione rispetto ad un asse di simmetria

diverso dal primo, ha come risultato una rotazione di due volte l'angolo formato

dai due assi di simmetria.

4.3 Struttura di gruppo

Nel gruppo considerato l'operazione di composizione chiusa e associativa e

munisce quindi l'insieme della struttura di gruppo. Tale gruppo non abeliano

dal momento che la composizione non commutativa. Facciamo un esempio

di ci elencando esplicitamente in riga e in colonna gli elementi costitutivi del

gruppo diedrale D6 associato a un triangolo equilatero, va da s che con Rintendiamo le rotazioni e con S le simmetrie rispetto agli assi indicati nellaseconda gura sottostante. Gli incroci di tale tabella sono il risultato della

composizione degli elementi in colonna con quelli in riga:

Notiamo per esempio che S2 S1 = R1 6= S1 S2. In generale, il gruppo D2n

13

Figura 15: Elementi e risultato della composizione di elementi di D6

formato dagli elementi R0, . . . , Rn1 e S0, . . . , Sn1 e il risultato della lorocomposizione pu essere generalmente espresso nel modo seguente:

Ri Rj = Ri+j , Ri Sj = Si+j , Si Rj = Sij , Si Sj = Rij

4.4 Gruppi discontinui di isometrie piane

Un altro gruppo interessante di isometrie che ben si collega all'esempio iniziale

del Valzer di Chopin proposto, il cosiddetto gruppo dei fregi. Prima di denirlo

nel dettaglio, diamo qualche denizione pi generale.

Dato uno spazio euclideo denito su un certo spazio vettoriale assegnato, un

sottogruppo G di isometrie del piano euclideo viene detto discontinuo se per ognipunto P del piano esiste un r > 0 tale che per ogni isometria g appartenente aG vale:

g(P ) 6= P = g(P ) 6= B(P, r)dove con B(P, r) abbiamo indicato la bolla di centro P e raggio r. Ogni grupponito di isometrie del piano euclideo un gruppo discontinuo. Inoltre, i gruppi

discontinui di isometrie del piano euclideo si suddividono in tre classi: gruppi

niti, gruppi dei fregi e gruppi cristallograci piani. Il loro studio si eettua

attraverso quello delle gure di cui essi sono gruppi di isometrie.

4.4.1 Il gruppo dei fregi

La denizione precisa di gruppo dei fregi che possiamo dare la seguente: un

gruppo G di isometrie piane chiamato gruppo di fregio se esiste una retta las-ciata ssa da tutti gli elementi di G e le traslazioni appartenenti a G formanoun gruppo ciclico innito. Come esempio possiamo pensare all'insieme delle

isometrie che lasciano globalmente inalterata una sinusoide. Riferendoci all'e-

sempio iniziale, possiamo dunque capire che tale gruppo di isometrie applicato

alla linea melodica del Valzer, la lascia globalmente inalterata.

14

5 Simmetrie tonali

Quello che vogliamo fare ora introdurre una nuova rappresentazione graca

dei dodici suoni di una scala ponendo questi come vertici di un dodecagono re-

golare, come in gura:

Figura 16: Dodecagono avente per vertici i semitoni temperati

Strutture lineari della scala dodecafonica e di tutti i sottoinsiemi possibili che

formano le relative scale sono stati presentati formalmente da Forte (1977).

Il gruppo degli intervalli musicali temperati sotto l'eetto di trasposizioni e

inversioni isomorfo al gruppo di rotazioni e riessioni del dodecagono rego-

lare introdotto. Un approccio che si serva di questo tipo di struttura ha due

vantaggi. Innanzitutto, le inversioni sono trattate come semplici riessioni del

gruppo. Trasposizioni ed inversioni, come d'altronde riessioni e rotazioni, non

commutano, ma producono, se applicate in ordine scambiato, trasposizioni com-

plementari. Un secondo vantaggio consiste nel fatto che un approccio di questo

tipo fornisce una rappresentazione visuale dei diversi sottoinsiemi formati dalle

scale temperate note in opposizione alle poco chiare rappresentazioni sul pen-

tagramma o, ancora peggio, per elencazione dei rapporti intervallari tra le note

costituenti la scala. Qui le simmetrie di tali insiemi sono rappresentate in ter-

mini di forme e corrispondenti assi di simmetria.

Sono possibili dunque alcuni interessanti esperimenti ed osservazioni nella strut-

tura cos introdotta. Per esempio, proviamo a congiungere i vertici contraddis-

tinti da Do, Mi e Sol, ottenendo cos un triangolo. Immaginiamo di suonare

contemporaneamente questi tre suoni: essi, combinati, formano un accordo (o

triade) maggiore. Vorremmo trovare, se esiste, una trasformazione tra quelle

di D24 (gruppo diedrale delle trasformazioni che mutano il dodecagono in s)che ci permetta di passare da accordo maggiore ad uno minore (in questo caso

quindi vorremmo passare da un accordo di do maggiore ad uno di do minore).

Ricordiamo che, essendo il dodecagono una gura con un numero pari di verti-

ci, una delle simmetrie possibili quella avente per asse la retta passante per i

punti medi di lati opposti. Consideriamo allora il lato congiungente i due ver-

tici contraddistinti da Re] (o Mi[) e Mi. Musicalmente parlando, l'uso di unodi questi due suoni piuttosto che l'altro discrimina il carattere maggiore o mi-

nore dell'accordo. Infatti l'accordo di do maggiore risulta, come abbiamo detto,

essere formato dai suoni: Do, Mi e Sol, mentre quello di do minore dai suoni

Do, Mi[ e Sol. L'asse di simmetria disegnato quello rispetto a cui dobbiamoeettuare la riessione grazie alla quale troviamo esattamente l'accordo voluto.

15

Figura 17: Trasformazione da triade maggiore a triade minore

5.1 Un esempio di scala: la scala esatonale

In musica si chiama scala esatonale o scala per toni interi una scala in cui ogni

nota separata dalle note successive e precedenti dall'intervallo di un tono. Essa

dierisce pertanto dalla scala usuale diatonica di sette note, poich formata da

sei sole note tra le quali, appunto, non compaiono semitoni. La scala esatonale

di Do la seguente: Do, Re, Mi, Fa], Sol], La], Do. Tramite una rotazioneR1 che manda ogni vertice (suono) di questa scala in quello immediatamentesuccessivo possiamo costruire la scala esatonale di Do] e, proseguendo nellerotazioni, la scala esatonale in ogni tonalit. Come osserveremo nella sezione

successiva ci sono soltanto due scale realmente distinte, le altre sono uguali a

meno dell'ordine. L'utilit di una tale rappresentazione consiste dunque nel

fatto che tramite opportune riessioni, rotazioni e loro composizioni possibile

passare da una tonalit all'altra preservando i rapporti reciproci esistenti tra i

suoni componenti.

Figura 18: Scala esatonale di Do]

16

La scala esatonale fu particolarmente amata e usata da Claude Debussy in

molte sue composizioni di cui di seguito riportiamo un esempio:

Figura 19: Uso della scala esatonale di Do in un Preludio di Debussy

6 Modi a trasposizione limitata

Come abbiamo visto no ad ora ci sono diverse strutture e simmetrie che sono

pi o meno rintracciabili nella pratica compositiva musicale. Olvier Messiaen,

un compositore francese del ventesimo secolo, identic 7 scale relativamente

alle quali egli disse che matematicamente impossibile trovare altri modi che

seguano le leggi strutturali che le identicano. Questi patterns musicali, i cosid-

detti modi a trasposizione limitata, sono essenzialmente 7 scale strutturate in

modo che il movimento graduale dal basso all'acuto dei suoni componenti pre-

senti la stessa sequenza di intervalli. I presupposti per la costruzione per la

costruzione di tali modi sono i seguenti:

il sistema temperato, cio la suddivisione dell'ottava in dodici semitoniaventi tutti la medesima distanza tra due gradi di scala adiacenti;

il cromatismo, cio l'avvenuta corrosione del principio di tonalit, cio lacentralit di attrazione del primo suono di una scala. Le scale di esempio

si fanno partire dal do convenzionalmente.

Data l'assenza di un concetto di tonica in tali scale Messiaen include con il

termine prima trasposizione anche la sequenza base di ciascuna scala. Da qui

la dierente accezione del termine trasposizione rispetto al suo consueto uso nel

lessico musicale italiano. Da qui in avanti si useranno le denominazioni usate

da Messiaen. Stabilita la convinzione secondo cui:

1 = semitono 2 = tono 3 = terza minore 4 = terza maggiore

17

6 = tritono 12 = ottavae osservando che l'ottava, composta da dodici semitoni, pu essere suddivisa in:

dodici semitoni sei toni quattro terze minori tre terze maggiori due tritonipossiamo allora elencare i possibili modi ottenibili:

Modi a una trasposizione

12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = scala cromaticaVi un'unica trasposizione in quanto ogni trasposizione della scala cromatica

ripete sempre la stessa sequenza di intervalli.

Modi a due trasposizioni

12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = scala esatonaleVi sono solo due possibili trasposizioni: una partendo da do ed una partendo

da do]; partendo da re si ritrovano le stesse note della prima trasposizione.Modi a tre trasposizioni

12 = 3 + 3 + 3 + 3 = arpeggio dell'accordo di settima diminuitaogni terza minore 3 si pu dividere in 1+2 (equivalente a 2+1 facendo comin-

ciare la scala dal secondo grado della precedente).

Modi a quattro trasposizioni

12 = 4 + 4 + 4 = arpeggio della triade eccedenteogni terza maggiore (4), escluse le combinazioni precedenti (2+2), si pu di-

videre in:

1+3 (equivalente a 3+1)

2+1+1 (equivalente a 1+2+1 e a 1+1+2).

Modi a sei trasposizioni

12 = 6 + 6Ogni tritono (6), escluse le combinazioni gi incontrate (ad. es. 1+2+1+2) si

pu dividere in:

1+5 (equivalente a 5+1)

2+4 (equivalente a 4+2)

1+4+1 (equivalente a 1+1+4 e a 4+1+1)

1+3+2 (equiv. a 3+2+1 e a 2+1+3)

1+2+3 (equiv. a 2+3+1 e a 3+1+2)

2+2+1+1 (equivalente a 1+1+2+2 e a 1+2+2+1)

1+1+3+1 (equivalente a 1+1+1+3, a 1+3+1+1 e a 3+1+1+1)

1+1+1+2+1 (equivalente a 1+1+1+1+2 a 1+1+2+1+1, a 1+2+1+1+1 e a

2+1+1+1+1)

Messiaen non cit nella sua trattazione tutti questi modi, ma solamente 7. Fu

da questa selezione che partor i moduli melodici da lui preferiti. I primi 3

modi di Messiaen corrispondono a una divisione dell'ottava rispettivamente in

6, 4 e 3 parti uguali, mentre gli ultimi 4 modi derivano dall'uso di 4 dierenti

18

modelli di passi nella divisione dell'ottava in 2 parti uguali. Le congurazioni

simmetriche ottenute dal sistema di Messiaen mostrano la ricchezza di sotto-

simmetrie derivante dalla divisione temperata della scala in 12 parti uguali. La

rappresentazione dei 7 modi di cui abbiamo parlato si serve ancora una volta

del dodecagono prima introdotto come si vede nella seguente gura 20:

19

Figura 20: I 7 modi a trasposizione limitata di O. Messiaen.

20

7 Teorie Neo-Riemanniane e Tonnetz

L'evoluzione musicale cui si assistette durante il corso dei secoli port verso la

ne dell'Ottocento al raggiungimento di una musica denita post-tonale, inten-

dendo con questo termine una musica la cui conduzione andava al di l della

tonalit tradizionalmente concepita. Durante gli anni Ottanta del secolo scor-

so la necessit di studiare alcuni passaggi tipici di questa musica impose agli

studiosi un nuovo approccio matematico dal momento che i vecchi strumenti di

analisi apparivano inadeguati alle nuove forme che risultavano essere non pi

basate sull'armonia tonale. In questa nuova matematizzazione conuirono di-

verse teorie tra cui, in primo luogo, quelle di Oettingen e Riemann

2

limitate al

caso del sistema temperato (le teorie dei due studiosi avevano una portata pi

ampia), oltre che le teorie di Eulero (il quale propose un primo esempio di Ton-

netz ) e gli strumenti forniti dalla cosiddetta Pitch set theory in cui conuiscono

a loro volta formalizzazioni algebriche e un approccio musicologico-sistematico

nalizzato alla comprensione della musica atonale. Ci che ne deriv fu un nuo-

vo approccio sistematico all'analisi musicale e la creazione di nuove teorie che

tradizionalmente prendono il nome di teorie Neo-Riemanniane.

7.1 Tonnetz

Con Tonnetz (in tedesco 'rete di altezze') si intende un particolare grafo utile

alla rappresentazione di relazioni tra altezze. Come appena accennato, la sua

origine si pu far risalire ad Eulero, ma con Oettingen e Riemann e i loro

successori che tale oggetto viene correttamente formalizzato. Lo studio di un

tale grafo e delle strutture ad esso collegate risulta essere interessante per due

ragioni:

Per spiegare con nuovi strumenti e favorire la comprensione il linguaggiousato nella musica post-tonale e triadica che per la prima volta comparve

sulla scena al concludersi del secolo scorso.

Per formalizzare in maniera nuova le speciche trasformazioni esistenti trale triadi, oggetti musicali che caratterizzano la musica occidentale degli

ultimi cinquecento anni.

La costruzione di un tale oggetto risolve anche questioni 'pratiche' con cui i

compositori si trovano ad aver spesso a che fare. Limitando la nostra trattazione

a triadi maggiori e minori

3

, immaginiamo di voler costruire successioni di triadi

tali che ad ogni passaggio si muova solo un'altezza su tre.

Grazie alla teoria che introdurremo saremo capaci di rispondere a domande

come:

Qual la catena di triadi pi corta che posso costruire senza ripercorre passaggi

se voglio iniziare e nire un brano in Do maggiore?

Sarebbe possibile costruire una catena con un solo passaggio in pi?

E se volessi una catena con un numero di passaggi dispari?

Se incominciassi da un'altra triade maggiore/minore?

2

Ci stiamo riferendo a Hugo Riemann e non al celebre matematico Bernhard Riemann.

3

Ricordiamo che con triade maggiore (rispettivamente minore) si intende un accor-

do composto da tre note caratterizzato dalla presenza di un intervallo di terza maggiore

(rispettivamente minore) e di quinta giusta

21

7.2 Costruzione del Tonnetz

Per costruire il nostro Tonnetz dobbiamo disegnare un grafo di dodici vertici

in cui ogni vertice rappresenti una classe di altezze, ovvero l'insieme di tutti

i suoni aventi lo stesso nome (Do, Do],..), ma aventi altezze dierenti. Nellacostruzione del Tonnetz due altezze sono adiacenti a meno di rivolto di quinta

(o quarta), terza minore e terza maggiore (sesta maggiore e sesta minore)

4

. Il

grafo che si ottiene riportato nella seguente gura:

Figura 21: Tonnetz

Senza entrare nel dettaglio elenchiamo qui le caratteristiche che constraddistin-

guono tale grafo:

Pu essere immerso in un toro tramite immersione cellulare 5 tale che ognispigolo contenuto nella frontiera di due facce distinte (in altre parole,

nessuna faccia adiacente a se stessa lungo uno spigolo). Il toro qui lo

spazio ambiente pertanto la frontiera di ogni faccia unione di spigoli.

L'insieme degli automorsmi di tale grafo, ovvero il gruppo di trasfor-mazioni che mappa vertici in vertici e preserva le relazioni di adiacenza

isomorfo a D24.

Il grafo transitivo per vertici6: tale propriet importante perch sot-tolinea il fatto che tale grafo, a meno di etichettamento, non permette di

distinguere due vertici.

4

Nella teoria dei gra tale grafo denito semplice e 6-regolare dal momento che non ha

punti adiacenti con se stesso e il suo grado minimo e massimo coincidono con 6.

5

Si denisce immersione di un grafo G in una supercie S una funzione continua e iniettivai : G S. Nella maggior parte dei casi, il grafo G si assume sia un sottoinsieme della supercieS, e la mappa i la mappa di inclusione. Data un'immersione le componenti del sottoinsiemeS \G sono dette regioni. Se ogni regione omeomorfa a un disco aperto, l'immersione dettacellulare e le regioni sono dette facce dell'immersione. La chiusura nella supercie S di unaregione in un'immersione cellulare non necessariamente omeomorfa al disco chiuso.

6

Un grafo si denisce transitivo per vertici se per qualsiasi coppia di vertici esiste un

elemento del gruppo di automorsmi che mappa il primo nel secondo.

22

7.3 Duale del Tonnetz

L'immersione del Tonnetz nel toro permette di considerarne il duale topologico,

che permette di visualizzare con estrema semplicit relazioni tra triadi. Le

facce del Tonnetz rappresentano triadi se si considerano elementi delle stesse

i tre vertici che delimitano la faccia interessata. Siccome il duale topologico

di un grafo un grafo che ha per vertici le facce del primo, ed tale che

due vertici sono adiacenti se le due facce hanno una linea in comune, sembra

ragionevole etichettare i vertici del duale con il nome delle triadi in questione.

Indicheremo d'ora in poi con D(Ton) il duale del Tonnetz. Elenchiamo qui lesue caratteristiche:

D(Ton) ha 24 vertici, uno per ogni faccia del Tonnetz, contrassegnati inmodo tale che ad ognuno corrisponda una triade distinta e che quindi

i vertici costituenti D(Ton) corrispondano a tutte le triadi maggiori eminori;

Due triadi sono adiacenti se hanno una linea (e quindi due vertici delTonnetz) in comune;

D(Ton) bipartito e in particolare l'insieme dei vertici partizionato intriadi maggiori e minori;

Anch'esso tracciabile nel toro, Aut(D(Ton)) = D24 ed transitivo pervertici;

D(D(Ton)) = Ton.Con questa costruzione sono quindi ben in evidenza i collegamenti tra triadi

vicine ed pertanto possibile rispondere alle domande che ci eravamo posti in

precedenza risolvendo il problema con estrema semplicit.

23

Figura 22: Duale del Tonnetz

24

7.4 Cicli Hamiltoniani

Un problema interessante riguardante il Tonnetz e il suo duale lo studio dei

cicli hamiltoniani in D(Ton) ovvero di quei cicli massimali che passano una solavolta per tutti i punti; musicalmente ci corrisponde a trovare quelle successioni

di triadi che cambiando una sola altezza ad ogni passo passano per tutte le

tonalit maggiori e minori costituendo un ciclo. Il problema combinatorio del

conteggio dei cicli hamiltoniani in un grafo risolubile attraverso una ricerca

esaustiva. Elenchiamo di seguito i 62 cicli hamiltoniani trovati con l'uso di un

calcolatore:

Figura 23: Elenco dei 62 cicli hamiltoniani di D(Ton)

25

7.4.1 Un esempio di ciclo hamiltoniano: la nona sinfonia di Beethoven

Nella gura sopra riportata abbiamo evidenziato la prima riga dell'elenco con-

trassegnandola con la sigla H1. Il ciclo hamiltoniano contenuto nella riga il

ciclo pi semplice che si possa costruire, nonch molto interessante da un punto

di vista musicale. L'intero ciclo permette di passare per tutte le ventiquattro

triadi maggiori e minori muovendosi nell'insieme delle altezze attraverso passag-

gi molto graduali che rendono quasi impercettibile il passaggio da un insieme

all'altro. Il movimento avviene sempre attraverso tutte le triadi in comune di

insiemi diatonici che si distinguono per una sola alterazione. L. V. Beethoven,

tra le misure 143 e 176 del secondo tempo della sua Nona Sinfonia, d avvio a un

ciclo H1 dopo una cadenza perfetta su Do maggiore, interrompendosi dopo 18

trasformazioni (cio dopo aver toccato 19 triadi): inizia dunque in Do maggiore

e termina con La maggiore prima di iniziare, con un passaggio cromatico, una

nuova sezione in Mi minore.

26

Figura 24: Battute 143-176 del secondo tempo della Nona Sinfonia di L.V.

Beethoven

27

Riferimenti bibliograci

[1] Giovanni Albini,Modelli Matematici Per L'Analisi E La Composizione Mu-

sicale: Uno Studio Sul Tonnetz E Sulle Teorie Neo-Riemanniane, tesi di

Laurea Specialistica, Universit di Pavia, A.A. 2007/2008.

[2] David J. Benson, Music: a Mathematical Oering, disponibile online, 2008.

[3] Marco P. Bernardi, Giovanni Albini, Slides di presentazione della lezione

Musica e Matematica tenuta presso il Collegio Borromeo di Pavia il giorno

12/11/2010.

[4] Enrico Cupellini, Simmetrie in musica, articolo disponibile sulla pagina

web personale dell'autore, 1999.

[5] Athanassios Economou, The Symmetry Of The Equal Temperament Scale,

Mathematics and Design, College of Architecture, Georgia Institute of

Technology, USA, 1998.

[6] Daniela Galante, Aspetti Didattici Dello Studio Delle Trasformazioni

Geometriche, articolo disponibile su internet.

[7] Jonathan L. Gross, Thomas W. Tucker Topological Graph Theory, Willey

Interscience, 1987.

[8] David J. Hunter, Paul T. von Hippel, How rare is simmetry in musi-

cal 12-ton rows?, The mathematical association of America, monthly 110,

Febbraio 2003.

28