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Calcestruzzi con armatura tradizionale e fibre d'acciaio nei rivestimenti di gallerie

Nuove procedure teorico-numeriche per il progetto dei rivestimenti di gallerie in FRC gettato in opera

B. Chiaia, A.P. Fantilli, P. Vallini, Politecnico di Torino

Nel presente articolo si presentano due nuove procedure teorico-numeriche per il progetto dei

rivestimenti di gallerie di calcestruzzo fibrorinforzato (FRC) gettato in opera. Allo stato limite

ultimo, la rottura duttile di tali elementi massivi è assicurata dalla presenza delle classiche barre

d’acciaio, la cui minima area trasversale è inferiore rispetto a quella calcolata con gli approcci

proposti dalle norme tecniche Europee ed Americane. Ciò grazie alla capacità del conglomerato

cementizio fibroso di sopportare tensioni di trazione anche in presenza di ampie fessure. Nella

fase di esercizio, l’ampiezza massima di fessura è calcolata con un nuovo modello di concio,

capace di tenere in conto sia l’effetto di “bridging” delle fibre, sia il classico fenomeno di

“tension stiffening”. Entrambi i modelli proposti sono stati utilizzati nella progettazione di

alcune gallerie in Italia.

Nel campo delle costruzioni di opere in sotterraneo, quali le gallerie, i conglomerati

fibrorinforzati (FRC) sono da tempo largamente utilizzati per la realizzazione dei rivestimenti

provvisori in calcestruzzo proiettato. È solo negli ultimi vent’anni che le fibre sono state adottate

anche per la realizzazione dei rivestimenti finali, come mostrato da numerose gallerie a conci

prefabbricati sparse in tutto il mondo (Vandewalle, 2005).

La struttura di rivestimento di tali opere, soggetta prevalentemente a sollecitazioni normali e

flessionali, richiede un quantitativo minimo di armatura di rinforzo. Poiché le sezioni trasversali

dell’arco raggiungono lo stato limite ultimo durante la fase di crescita delle fessure formatesi in

zona tesa, lo sforzo massimo di trazione sopportato dall’armatura ordinaria risulta pressappoco

uguale a quello assorbito dal FRC teso. Infatti, proprio per la presenza delle fibre disperse nella

matrice cementizia, è possibile riscontrare tensioni di trazione anche in corrispondenza di ampie

aperture di fessura. Sulla base di quanto affermato, risulta necessario considerare l’effetto

benefico fornito dalle fibre al calcestruzzo in termini di resistenza a trazione. Tale contributo può

essere valutato mediante approcci basati sulla meccanica della frattura non lineare.

Un approccio semplificato per l’analisi strutturale dei compositi cementizi fibrorinforzati è quello

proposto dal Rilem TC-162 TDF (2003). Esso si basa sulla legge costitutiva tensioni -

deformazioni (-) riportata in Fig.1, nella quale il ramo di softening relativo alla fase di post-

fessurazione è rappresentato da una bilatera ( > ε1 ). Attraverso la relazione di Fig.1 è possibile tracciare i diagrammi di interazione momento flettente-sforzo normale, in grado di definire tutte

le possibili coppie M-N resistenti per una qualsiasi sezione in FRC, anche in presenza di armatura

ordinaria (R/FRC).

È a partire da tali diagrammi che si basa la progettazione dei conci prefabbricati in FRC, il cui

utilizzo conferisce alcuni vantaggi rispetto ad analoghi elementi in calcestruzzo ordinario. In essi

la presenza delle fibre consente infatti di ridurre il quantitativo d’armatura, anche se non la

elimina completamente. Le barre d’acciaio vengono concentrate in tali elementi soprattutto ai

bordi, che risultano essere le zone più sensibili in quanto soggette alle azioni di spinta esercitate

dai martinetti della TBM. Un ulteriore vantaggio che risulta dall’aggiunta delle fibre nel

conglomerato è la possibilità di realizzare conci di spessore minore, con conseguenti effetti

benefici da un punto di vista strutturale, in quanto ne derivano una riduzione dei momenti

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flettenti ed un miglioramento del comportamento membranale, con una più efficace azione di

supporto del terreno.

Sebbene la progettazione dei rivestimenti finali in calcestruzzo ordinario risulti più semplice se

comparata con quella di analoghe strutture realizzate mediante assemblaggio di conci

prefabbricati, non si riscontrano in letteratura esperienze condotte su rivestimenti realizzati in

FRC gettato in opera. Applicazioni recenti del FRC nella realizzazione di rivestimenti finali

gettati in sito (gallerie Faver-S.S 612 e Turina-Craviale-S.S. 23) hanno dimostrato, a conferma

dei benefici derivanti dall’aggiunta di fibre, una riduzione del quantitativo d’armatura, con

conseguenti risparmi nei costi ed un più rapido avanzamento nella costruzione (Chiaia et al.,

2007). Con riferimento a tale tipologia di opere strutturali, considerando il contributo positivo di

resistenza a trazione offerto dalle fibre al calcestruzzo, vengono nel seguito descritti due modelli

d’analisi, adottati rispettivamente per il calcolo dell’armatura minima (relativamente allo stato

limite ultimo) e la previsione del quadro fessurativo (relativamente allo stato limite di esercizio).

1 CALCOLO DELL’ARMATURA MINIMA IN ELEMENTI DI FRC

In strutture di calcestruzzo debolmente armate, il quantitativo d’acciaio non deve essere inferiore

ad un valore minimo, cosicché la condizione di stato limite ultimo può essere raggiunta per un

momento di snervamento dell’armatura ( Mu ) superiore a quello di fessurazione del calcestruzzo

( Mcr ). Anche per lo stato limite di esercizio deve essere garantito un quantitativo minimo

d’armatura in zona tesa, in modo da limitare l’ampiezza delle fessure. Nelle strutture realizzate in

FRC, la presenza delle fibre d’acciaio disperse nella matrice cementizia determina una riduzione

del quantitativo minimo d’armatura necessaria, essendo le stesse in grado di assorbire sforzi di

trazione anche in presenza di ampie fessure. Ciò implica che, a parità di armatura, un elemento

inflesso in FRC è in grado di sopportare, rispetto ad un analogo elemento in calcestruzzo armato

ordinario (RC), momenti flettenti più elevati, mostrando al contempo fessure di ampiezza più

ridotta. Questo concetto assume maggiore rilevanza nel caso di strutture massive, come i

rivestimenti finali di gallerie, per i quali è possibile formulare un nuovo approccio per il calcolo

dell’armatura minima (Chiaia et al., 2007).

Il modello non lineare qui descritto, basato sulla relazione costitutiva del FRC proposta dal Rilem

TC 162-TDF (2003), conduce al calcolo di una sezione d’acciaio minore di quella ottenibile

applicando le formulazioni proposte dalle Normative (Rilem TC 162-TDF, 2003; ACI, 1995;

EC2, 2004), costituendo dunque una valida alternativa ad esse. Questo perché tali formule

derivano dall’analisi di elementi in calcestruzzo armato ordinario soggetti a trazione e, in quanto

tali, sovrastimano l’armatura minima As,min per elementi inflessi, soprattutto se di grandi

dimensioni.

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Figura 1 – Legge costitutiva del FRC proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003).

2.1 IL CONCETTO DI ARMATURA MINIMA

Nelle strutture debolmente armate è necessario un quantitativo minimo d’armatura al fine di

soddisfare i requisiti sia in fase di esercizio (controllo della fessurazione) che in fase di stato

limite ultimo (garantire duttilità al comportamento strutturale prima di arrivare a collasso). Se si

vuole pervenire ad una definizione di armatura minima si può analizzare la risposta di una trave

inflessa su tre punti al variare della percentuale geometrica di armatura (Fig.2). Essendo As,min l’armatura necessaria ad assorbire la risultante di trazione che si libera al momento della

formazione della fessura, senza superare la resistenza a snervamento fyk delle armature, si osserva

in Fig.2 come la condizione Mcr = Mu rappresenti la soglia in corrispondenza della quale si

verifica la transizione tra comportamento fragile e duttile. La relativa percentuale geometrica

d’armatura prende il nome di percentuale minima di armatura min .

Figura 2 – Definizione dell’armatura minima (Chiaia et al., 2007): (a) prova a flessione su tre

punti; (b) curve M- al variare di .

L’aggiunta delle fibre nel conglomerato comporta una sensibile riduzione del quantitativo

minimo d’armatura, in virtù del contributo positivo di resistenza a trazione fornito al composito

dalle fibre medesime anche per elevati valori di inflessione e ampiezze di fessura non

trascurabili, essendo quest’ultime situazioni compatibili con il raggiungimento dello stato limite

ultimo. Ciò trova conferma nel caso dei rivestimenti finali di gallerie, le cui sezioni massive

richiederebbero un elevato quantitativo di armatura, qualora il calcolo di As,min fosse condotto

secondo gli approcci proposti dalle Normative, i quali trascurano l’effettivo contributo fornito

dalle fibre.

2.2 VALIDAZIONE DELLA LEGGE COSTITUTIVA DEL FRC

La definizione di un nuovo metodo di calcolo, basato su un modello non lineare (Chiaia et al.,

2007) per la valutazione di As,min in elementi strutturali R/FRC, ha reso necessario verificare

l’attendibilità del legame - (Rilem TC 162-TDF, 2003), adottato per il dimensionamento strutturale delle sezioni (Fig.1).

Mediante prove di flessione su tre punti su provini intagliati, di dimensioni tali da renderli simili

alla tipologia strutturale dei rivestimenti finali di gallerie (B = 300 mm; H = 150 mm), si sono

potuti stimare i parametri di resistenza a trazione residua in fase post-fessurata, coi quali definire

il legame costitutivo del FRC adottato (costituito da 35 kg/m3 di fibre Dramix RC-60/65-BN).

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Figura 3 – Trave in FRC sottoposta a prova di flessione su tre punti (Chiaia et al., 2007): (a)

distribuzioni teoriche di M(z) e (z) per una data inflessione ; (b) confronto tra le curve P-

ottenute per via analitica e sperimentale.

La fase post-picco del diagramma - è stata riferita ad una lunghezza Lc opportuna della regione di softening ove avviene la localizzazione delle deformazioni. Poiché la fessurazione di un

elemento teso in FRC è accompagnata dal meccanismo di estrazione di una singola fibra dalla

matrice, il massimo valore di Lc è stato assunto pari alla lunghezza della fibra stessa. La verifica

dell’affidabilità del legame costitutivo ottenuto per il FRC impiegato per la galleria Craviale è

stata condotta mettendo a confronto le curve carico-freccia ottenute sperimentalmente su travi in

FRC non intagliate, con quelle valutate per via analitica (Fig. 3b).

Il calcolo teorico del diagramma P- ha reso necessaria la definizione preventiva, per una

generica sezione trasversale, del legame momento-curvatura (M-). In particolare, per un

determinato valore di si può ricavare il corrispondente valore del momento flettente risolvendo

il seguente sistema non lineare:

2/

2/

2/

2/

,

,0

H

H

H

H

dyyyBM

dyyBN

(1)

Una volta noto il legame M-, è possibile definire, al variare del carico P, i diagrammi del

momento flettente M(z) e della curvatura (z) (Fig. 3a). Attraverso l’equazione dei Lavori

Virtuali, a partire dalle distribuzioni di M(z) e (z) che competono ad un determinato carico P, è

possibile infine calcolare il valore della freccia in mezzeria.

Il fuso delle curve P- ottenute sperimentalmente da prove condotte su 10 travi non intagliate viene riportato in Fig. 3b, dove è messo a confronto con le curve ottenute per via teorica, e

calcolati per due casi differenti.

Nel caso 1, la definizione del legame – è avvenuta impiegando i parametri di resistenza stimati

a partire dai risultati di test di compressione (Rilem TC 162-TDF, 2003) e usati per il progetto del

rivestimento finale (Chiaia et al., 2007). Nel caso 2 sono invece considerati i parametri di

resistenza ottenuti da prove a flessione su tre punti di travi intagliate. Dal momento che il

contributo delle fibre diventa determinante per elevati valori di inflessione, risulta di particolare

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interesse il confronto tra i dati numerici e sperimentali nella fase post-picco. Come mostra la

Fig.3b, la curva P- del caso 2 cade all’interno del fuso dei valori sperimentali per > 0.5 mm.

La relazione - proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003), se associata a una lunghezza Lc della regione di softening pari alla lunghezza delle fibre (Lc = 60 mm), fornisce dunque una

riproduzione soddisfacente del comportamento strutturale di elementi in FRC in prossimità del

collasso e può dunque trovare valida applicazione nel dimensionamento strutturale delle sezioni,

ed in particolare della minima armatura.

2.3 IL MODELLO NON LINEARE PER IL CALCOLO DI As,min

Nella valutazione dell’area minima d’armatura da inserire in elementi strutturali RC possono

essere adottate le formule proposte dall’Eurocodice 2, “..a meno che da calcoli più rigorosi non

risultino sufficienti aree inferiori” (EC2, 2004). Per elementi in R/FRC è preferibile affrontare la

problematica relativa al rinforzo minimo attraverso un approccio differente che tenga conto dei

benefici apportati dalla presenza delle fibre. Ciò è possibile attraverso l’adozione di un modello

non lineare (Chiaia et al., 2007) che consente di caratterizzare, mediante una procedura numerica,

la risposta meccanica del materiale partendo da un’analisi sezionale. Se sono noti il momento

flettente Mcr , lo sforzo normale applicato Nd e la legge costitutiva del materiale (Fig. 1), la

condizione limite che fornisce il valore di As,min risulta:

u crM M (2)

In condizioni di sezione non fessurata, comportamento lineare elastico e distribuzione lineare

delle deformazioni, Mcr può così essere facilmente valutato:

,maxd

cr ct

NM W

A

(3)

dove, W = B·H2/6 = modulo di resistenza della sezione trasversale; Nd = sforzo normale applicato

(positivo se di compressione); A = B·H = area totale della sezione trasversale; ct,max = fctm,fl =

valore medio di resistenza a trazione per flessione del calcestruzzo.

Il momento ultimo Mu , cioè l’azione flettente che provoca la deformazione di snervamento syd nelle barre d’armatura (Fig. 4b), non può essere invece valutato facendo ricorso ad una semplice

formula come l’Eq.(3) per Mcr . Ciò è dovuto al comportamento non lineare del FRC, sia in

trazione che in compressione. Risulta pertanto necessaria l’introduzione di una procedura

numerica non lineare per il calcolo di Mu e di As,min .

Attraverso tale approccio, il quantitativo minimo d’acciaio viene cambiato in modo iterativo fino

a soddisfare l’Eq.(2). Con riferimento alla Fig. 4, vengono nel seguito illustrati i passaggi in cui

si articola la procedura numerica:

Figura 4 – Modello utilizzato per il calcolo di As,min (Chiaia et al., 2007): (a) proprietà

geometriche della sezione trasversale; (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle

tensioni.

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1. Occorre definire la geometria della sezione, lo sforzo normale Nd , le leggi costitutive del

FRC (Fig. 1), dell’acciaio ed il momento di fessurazione Mcr (Eq.3).

2. Lo sforzo normale Nd viene portato dal baricentro della sezione a quello delle barre

d’armatura tese ( y = H/2 - c , dove c è il copriferro). Le azioni Nd e Md = Mcr + Nd (H/2-c)

sono riportate in Fig. 4a.

3. Si assume un valore di tentativo per (Fig.4b) ( = valore di deformazione per y = 0).

4. Se si assume che la deformazione s delle armature tese eguagli quella di snervamento

(s = syd ), si può allora valutare il valore della curvatura (Fig. 4b).

5. Noti e , risulta possibile definire l’intero profilo delle (y), mentre l’andamento delle

tensioni (,y) può essere ricavato applicando la legge costitutiva – propria del FRC

(Fig.1):

yy , (4)

6. Si calcola il momento di risposta Mr rispetto al baricentro dell’armatura tesa considerando

solo le tensioni agenti sul calcestruzzo:

dAcH

yyM

cA

r

2, (5)

7. Se il valore calcolato di Mr è differente da Md , occorre attribuire un nuovo valore a e ripetere la procedura dal punto 3.

8. Nel caso in cui Mr coincida con Md , è possibile calcolare l’area d’armatura minima

valutando la risultante delle forze sulla sezione trasversale:

,min

,c

dA

s

yd

N y dA

Af

(6)

Utilizzando la procedura numerica illustrata si è certi di poter contare su un comportamento

duttile della struttura a fessurazione avvenuta. Infatti, per qualunque valore dello sforzo normale

applicato, la condizione di stato limite ultimo viene raggiunta per un momento Mu superiore o al

più uguale a Mcr (Fig. 2).

Occorre evidenziare che il modello proposto non considera il meccanismo di aderenza-

scorrimento tra le barre d’armatura e il FRC che, se fosse effettivamente preso in conto,

porterebbe a un valore di Mu maggiore di quello calcolato col metodo appena illustrato: ciò

testimonia come il modello proposto risulti conservativo, quindi a favore di sicurezza.

2.4 APPLICAZIONE ALLE STRUTTURE MASSIVE

Le strutture di rivestimento finale delle gallerie rappresentano una delle migliori applicazioni per

il calcestruzzo fibrorinforzato. Il modello proposto ha trovato una valida applicazione nel calcolo

dell’area di rinforzo minima per il rivestimento finale della galleria Craviale (Chiaia et al., 2007).

Da un confronto diretto tra i risultati ricavati seguendo le prescrizioni Normative e quelli ottenuti

con il metodo non lineare precedentemente descritto, sia per strutture RC che R/FRC (Fig. 5a,b)

si può constatare come il modello non lineare fornisca valori di As,min nettamente inferiori. La

differenza tra i risultati aumenta con l’incremento dello sforzo normale NSd, al punto che per

NSd > 2000 kN risulta del tutto superfluo l’inserimento dell’armatura minima. Ciò si verifica

poiché l’aumento della forza assiale di compressione determina un parziale scarico della

struttura, alleggerendo la tensione di trazione indotta dal momento flettente.

La riduzione d’armatura necessaria, conseguente all’impiego del FRC e di un modello di calcolo

non lineare (Chiaia et al., 2007), ha dunque comportato vantaggi non indifferenti in termini di

risparmio nei costi e rapidità nella costruzione.

7

Figura 5 – Calcolo di As,min: (a) caratteristiche geometriche della sezione; (b) valori di As,min

ottenuti applicando il modello non lineare (Chiaia et al., 2007) e le formule proposte dalle

normative (Rilem TC 162-TDF, 2003; EC2, 2004).

2 VALUTAZIONE DEL QUADRO FESSURATIVO IN ELEMENTI STRUTTURALI IN FRC

In strutture di calcestruzzo armato la valutazione dell’ampiezza di fessura e della spaziatura tra le

medesime è necessaria durante la fase di esercizio al fine di limitare, a seconda dell’aggressività

dell’ambiente, la corrosione dell’armatura. La presenza di fibre all’interno del conglomerato

costituisce un valido contributo per il raggiungimento di tale obiettivo, dal momento che le fibre

stesse incrementano in modo significativo le azioni di cucitura lungo le fessure che attraversano,

riducendone l’apertura e dando luogo ad una microfessurazione diffusa. A tale proposito

risultano necessari nuovi modelli per valutare in modo più attendibile tali effetti, generalmente

trascurati dagli approcci tradizionali. Questi ultimi sono infatti basati su formule semi-empiriche,

ricavate dall’analisi del comportamento di una singola sezione trasversale, anziché di un’ampia

porzione di trave in RC o R/FRC soggetta a flessione. Ne consegue una sovrastima sia

dell’ampiezza che della lunghezza delle fessure. Per valutare in maniera più rigorosa il quadro

fessurativo, si introduce nel seguito un modello basato sull’analisi di un blocco di calcestruzzo

(Chiaia et al., 2009), nel quale vengono presi in considerazione sia le azioni di cucitura esercitate

dalle fibre lungo le fessure che il meccanismo di aderenza-scorrimento tra le barre d’armatura ed

il calcestruzzo teso circostante. Tale modello permette di prevedere contemporaneamente entità

delle ampiezze di fessura, la spaziatura tra le medesime e loro profondità.

3.1 IL CALCOLO DELL’AMPIEZZA DI FESSURA

La valutazione dell’apertura w delle fessure e della loro spaziatura sr in travi RC e R/FRC

soggette a flessione e sforzi normali rimane ancora un problema aperto. Nonostante l’elevato

numero di ricerche condotte per strutture RC in circa un centinaio d’anni, le formule proposte per

il calcolo di w e di sr non hanno riscontrato un consenso unanime.

Un tentativo di estensione di tali formule ai calcestruzzi fibrorinforzati c’è stato da parte del

Rilem TC 162-TDF (2003) sulla base di risultati ottenuti da prove sperimentali (Vandewalle,

2000). Tuttavia, l’ampiezza delle fessure in travi realizzate in FRC continua ad essere valutata

secondo le formule tradizionali, senza tener conto del quantitativo di fibre presenti (è da precisare

8

comunque la presenza di coefficienti che tengono, ad esempio, conto del rapporto d’aspetto delle

fibre, ma questi non modificano in modo apprezzabile il valore finale).

Le formule proposte dalle Normative relativamente alla stima dell’ampiezza w e spaziatura sr,max

tra le fessure si rivelano dunque non molto attendibili per la previsione del reale quadro

fessurativo che si sviluppa in elementi RC o R/FRC soggetti a momenti flettenti e sforzo

normale. In esse, w viene infatti arbitrariamente assunta essere direttamente proporzionale ad un

unico valore di sr,max , generalmente valutato una volta che il quadro fessurativo si è stabilizzato

(situazione che si verifica quando l’acciaio teso giunge a snervamento).

Occorre allora ricorrere ad un approccio che fornisca una valutazione più attendibile del quadro

fessurativo, calcolando contemporaneamente w e sr con un modello relativo ad un elemento finito

di trave (Chiaia et al. 2009). Per valutare i possibili quadri fessurativi nei rivestimenti finali di

gallerie realizzati in FRC, il modello proposto è stato adottato per l’analisi dello stato limite di

esercizio di strutture massive soggette ad azioni combinate di flessione e compressione.

3.2 UN MODELLO PER LA PREVISIONE DEL QUADRO FESSURATIVO

In travi in RC o R/FRC, soggette ad una distribuzione costante o variabile di momenti flettenti,

risulta praticamente impossibile prevedere un’unica modalità di sviluppo del quadro fessurativo.

Per tali strutture, a causa della natura casuale della fessurazione, appare più appropriato definire,

per una data coppia di sollecitazioni M-N applicate, i valori massimo e minimo dell’ampiezza di

fessura e della spaziatura tra due fessure consecutive. Ciò risulta possibile analizzando un

elemento finito di trave in FRC (Chiaia et al., 2009), dove w e sr vengono calcolati considerando

non solo il meccanismo di aderenza-scorrimento tra le barre d’armatura ed il calcestruzzo teso

circostante, ma anche il comportamento non lineare del calcestruzzo fessurato soggetto a sforzi di

trazione. In tal modo è possibile determinare gli stati di sforzo e deformazione nella sezione

trasversale fessurata (tipo 1) del tratto di trave considerato.

Come mostrato in Fig. 6, per un dato valore di w (misurato a livello dell’armatura) e di hw

(Fig.6a), nell’ipotesi di un diagramma lineare delle deformazioni lungo la porzione di sezione

non fessurata (Fig.6b), le deformazioni nel calcestruzzo c(y) e nell’acciaio teso ( s ) e compresso

( s’ ) (e le relative tensioni c(y), s e 's) si possono ricavare a partire dalle seguenti equazioni di

equilibrio:

c

c s s s sA

N y dA A A (7)

2 2

c

c s s s sA

H HM y ydA A c A c

(8)

In una trave soggetta a sforzi di compressione e flessione, l’ampiezza massima di due fessure

consecutive viene raggiunta in corrispondenza dell’incipiente formazione di una nuova fessura

(Fantilli e Vallini, 2004) tra esse interposta ed è in tale istante che si ha la massima distanza tra le

due fessure prese in esame.

La situazione di formazione incipiente di una seconda fessura, sempre facendo riferimento ad un

blocco finito di trave, è schematizzata in Fig. 7a, dove si osserva nella sezione trasversale (tipo 2)

il raggiungimento della resistenza a trazione fct del calcestruzzo al lembo inferiore teso, mentre il

calcestruzzo posto a livello dell’armatura inferiore subisce la deformazione critica c,crit. Anche per la sezione 2, noti M e N, è possibile calcolare il diagramma delle deformazioni

(Fig.7b) e delle tensioni (Fig.7c) tramite le Eqs.(7)-(8).

Le sezioni trasversali di tipo 1 (Fig.6) e tipo 2 (Fig.7), delimitano il tratto di trave preso in esame

(Fig.8a), il quale rappresenta metà della porzione di trave compresa tra due fessure primarie e

viene valutato nel momento di incipiente formazione di una fessura secondaria nel mezzo delle

due. Con riferimento a tale tratto, le tensioni e le deformazioni nelle barre d’acciaio tese e nel

9

calcestruzzo circostante possono essere valutate attraverso le equazioni di tension-stiffening

descritte nel seguito:

s s

s

d p

dz A

(9)

Figura 6 – Sezione traversale fessurata (tipo 1) soggetta a M-N (Chiaia et al., 2009): (a)

caratteristiche geometriche (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle tensioni.

Figura 7 – Sezione trasversale in condizioni di fessurazione incipiente (tipo 2), soggetta a M-

N (Chiaia et al., 2009): (a) caratteristiche geometriche; (b) diagramma delle deformazioni; (c)

diagramma delle tensioni.

s c

dsz z

dz (10)

con, ps e As , rispettivamente, il perimetro e l’area delle barre d’armatura tese; s = valore dello

scorrimento tra acciaio e calcestruzzo circostante; s ed c rispettivamente deformazioni

dell’acciaio teso e del calcestruzzo a livello del rinforzo; z = coordinata orizzontale; = tensione

tangenziale all’interfaccia tra acciaio e calcestruzzo. Se sono note le leggi costitutive - dei

materiali, la legge coesiva -w e la relazione di aderenza-scorrimento -s, è possibile procedere all’analisi del tratto di trave. Per la precisione, per assegnati valori dello sforzo normale N e

dell’ampiezza di fessura w riferita al livello dell’armatura, è possibile ottenere una relazione che

lega tra loro w e M risolvendo le Eqs.(7)-(10) con le condizioni al contorno seguenti:

s(z = 0) = w/2 (nella sezione trasversale di tipo 1, dove z = 0); c (z = ltr ) = c,crit (a livello

dell’armatura, nella sezione trasversale di tipo 2, dove z = ltr ). Per la simmetria deve essere altresì

soddisfatta la condizione s = 0 nella sezione di tipo 2.

Poiché l’intento è quello di descrivere lo stato limite di esercizio di elementi strutturali RC e

R/FRC, si assume per le barre d’armatura un comportamento lineare elastico.

10

Figura 8 – Tratto di trave adottato per la valutazione del quadro fessurativo (Chiaia et al.,

2009): (a) posizione delle sezioni trasversali 1 e 2; (b) diagramma delle deformazioni nel

calcestruzzo a livello dell’armatura tesa; (c) diagramma delle deformazioni nell’acciaio; (d)

scorrimento tra acciaio e calcestruzzo.

3.3 SOLUZIONE DEL PROBLEMA

Il modello descritto nei paragrafi precedenti, può essere risolto per via numerica attraverso la

seguente procedura iterativa (Fig. 8):

1. Si assume un valore per lo sforzo normale N.

2. Si assume un valore per l’ampiezza w della fessura a livello dell’armatura, nella sezione

trasversale fessurata (tipo 1) (Fig. 8a).

3. Si assume un valore di tentativo per la profondità hw della fessura, sempre relativamente

alla sezione trasversale fessurata (Fig. 8a).

4. Dall’equilibrio della sezione 1 [Eqs.(7)-(8)], si ricava il momento flettente M applicato.

5. Dall’equilibrio della sezione 2 [Eqs.(7)-(8)], è possibile ottenere gli stati di sforzo e di

deformazione nella sezione stessa, la quale si trova in condizioni di fessurazione

incipiente (in modo particolare si può ricavare la deformazione c,crit nel calcestruzzo a

livello dell’armatura).

6. Si assume un valore di tentativo per la lunghezza ltr del tratto di trave considerato, la

quale viene suddivisa in n porzioni ciascuna di lunghezza Δz.

7. Essendo note ai bordi sia le condizioni statiche che cinematiche, è possibile integrare

numericamente le Eqs.(9)-(10) a livello dell’armatura. In un generico punto i-esimo del

dominio, gli incrementi di deformazione nel calcestruzzo (Fig.8b) vengono assunti

analoghi ai decrementi di deformazione nell’acciaio (Fig.8c), secondo le formule

seguenti:

, ,0 ,0 ,s i s i s s n (11a)

, ,0 ,0 ,c i c i c c n (11b)

11

dove s,n ed c,n sono, rispettivamente, le deformazioni dell’acciaio e del calcestruzzo

circostante nella sezione trasversale di tipo 2; s,0 ed c,0 sono, rispettivamente, le deformazioni dell’acciaio e del calcestruzzo circostante nella sezione trasversale di tipo 1;

i è un coefficiente che permette di descrivere l’evoluzione delle deformazioni di

acciaio e calcestruzzo lungo il tratto z considerato (0 ≤ i ≤ 1). Applicando alla Eq.(10) il metodo delle differenze finite e sostituendovi le Eqs.(11a)-(11b), è possibile definire si

in funzione di i , ottenendo l’espressione seguente:

1 ,0 , ,0 , ,0 ,0i i i s s n c c n s cs s z

(12)

In modo analogo, applicando il metodo delle differenze finite alla Eq. (9), si ricava il

valore della deformazione i-esima dell’acciaio (s,i ):

, , 1 1

4s i s i i

s

zE

(13)

Attraverso le equazioni ottenute risulta possibile calcolare nell’ordine, a partire dal bordo

sinistro del tratto di trave fino all’estremità destra, i valori di s,i dalla Eq.(13), di i dalla

(11a), di c,i dalla (11b) e di si dalla (12).

8. Se in corrispondenza del punto n-esimo risulta sn ≠ 0, occorre cambiare la lunghezza ltr e

ritornare al punto 6.;

9. Se in corrispondenza del punto n-esimo risulta c,n ≠ c,crit (quindi i ≠1) occorre cambiare hw e ritornare al punto 3.

Fissata dunque una coppia di valori per N e wmax , attraverso tale procedura si possono calcolare i

valori di momento flettente M, profondità hw della fessura e distanza massima sr,max = 2 ltr tra due

fessure consecutive (la distanza minima è pari a ltr ). Tale approccio, contrariamente alle

formulazioni proposte dalle Normative, consente dunque di valutare in maniera completa tutte le

principali caratteristiche del quadro fessurativo.

3.4 APPLICAZIONE AI RIVESTIMENTI DI GALLERIE

Il calcolo dell’apertura delle fessure nei rivestimenti di galleria realizzati in R/FRC è analogo al

caso delle strutture in calcestruzzo armato ordinario. La differenza risiede nel fatto che nel caso

del FRC viene considerata la resistenza a trazione residua a fessurazione avvenuta.

Le azioni di cucitura esercitate dalle fibre in corrispondenza delle fessure sono in grado di

ridurne le ampiezze che si riscontrerebbero altrimenti nelle travi RC. Ciò si può notare in Fig. 9,

dove sono state calcolate le ampiezze di fessura per l’arco rovescio della galleria Faver (S.S. 612)

sotto la combinazione di carichi quasi permanente, relativamente alla fase di esercizio della

struttura.

12

Figura 9 – Confronto tra i vari modelli per la stima delle ampiezze di fessura nell’arco

rovescio della sezione F27 della galleria Faver (Chiaia et al., 2009).

Nella stessa figura, i risultati ottenuti applicando tre approcci differenti (relativi al calcestruzzo

semplice e al FRC, vengono messi a confronto con quelli valutati utilizzando il modello

proposto. Dalla Fig.9 è possibile osservare come a parità di sollecitazioni applicate (NSd ~ 0 e

MSd = 219 kN m) il modello proposto fornisca un valore di ampiezza di fessura inferiore a 0.2

mm (massimo valore di progetto ammesso per l’esercizio). In altri termini, solo attraverso il

“block model” qui proposto è possibile valutare in maniera attendibile il contributo offerto dalle

fibre sulla riduzione dell’apertura delle fessure in strutture R/FRC ed applicarlo con successo in

sede progettuale. Tale modello, proposto per l’analisi del quadro fessurativo, trova grande

efficacia se utilizzato congiuntamente a quello introdotto per la valutazione dell’armatura

minima. In questo modo è possibile soddisfare sia lo stato limite di esercizio che lo stato limite

ultimo.

3 CONCLUSIONI

La definizione della minima armatura, fondata su un’analisi sezionale, nasce dall’esigenza di

considerare i benefici derivanti dal contributo di resistenza a trazione offerto dal FRC rispetto ad

un calcestruzzo ordinario. Ne deriva, conseguentemente, un quantitativo d’acciaio inferiore

rispetto a quello necessario per un’analoga struttura in calcestruzzo tradizionale, un più rapido

avanzamento del processo costruttivo ed una riduzione dei costi legati all’armatura, solo in parte

ridimensionati dal maggior costo del FRC

Per quanto riguarda invece la fase di esercizio, il modello introdotto per la previsione del quadro

fessurativo in strutture FRC dimostra di tenere in debito conto sia l’effetto di cucitura sulla

fessura svolto dalle fibre, che il meccanismo di aderenza-scorrimento tra barre d’armatura e FRC.

I risultati ottenuti per via analitica, applicando tale modello, hanno avuto un valido riscontro da

analisi sperimentali condotte su vari provini, sottolineando come il modello proposto fornisca

una previsione più accurata del quadro fessurativo in termini di apertura, profondità della fessura

e distanza tra le medesime rispetto alle formulazioni proposte dalla Normativa vigente.

13

4 BIBLIOGRAFIA

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Structural Concrete”. Farmington Hills, Michigan.

Chiaia B., Fantilli A. P.,Vallini P. (2007). Evaluation of minimum reinforcement ratio in FRC

members and application to tunnel linings. Materials and Structures 40, 593-604.

Chiaia B., Fantilli A.P., Vallini P. (2009) Evaluation of crack width in FRC structures and

application to tunnel linings. Materials and Structures 42, 339–351.

EC2-ENV 1992-1-1 (2004) Eurocode 2. Design of concrete structures - Part 1: General rules and

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Fantilli A.P., Vallini P. (2004) Tension stiffening range in FRC elements. In di Prisco M. et al.

(eds) BEFIB 2004. 6th RILEM Symposium on FRC. Varenna September 2004, 847-856.

RILEM TC 162-TDF (2003) – design method–final recommendation. Materials and Structures 36, 560-567.

Vandewalle L. (2000) Cracking behaviour of concrete beams reinforced with a combination of

ordinary reinforcement and steel fibers. Materials and Structures 33, 164-170.

Vandewalle M. (2005) Tunnelling is an art. NV Bekaert SA.

RINGRAZIAMENTI

Gli autori desiderano ringraziare la società Bekaert SA per il prezioso supporto tecnico fornito

nella realizzazione del presente lavoro.