calcol are, ed il calore Q CD scambiato dal gas dal gas durante il ciclo la trasformazione CD . Partendo dallo stato iniziale A, raggiungendo successivamente gli stati intermedi B, Il ciclo è costituito: un riscaldamento isocoro reversibile (AB), un’espansione isobara reversibile (BC), da un’ulteriore espansione reversibile (CD) da un raffreddamento isobaro irreversibile (DA) P A = 7.0 x 10 4 Pa, che lo riporta anche alla a pressione iniziale P D = P A mperatura iniziale T A apendo che : V D = 30 V C = 25 l, T B = 180 °C, T A = 20 °C, V A = 12 l, o stato iniziale A. un gas perfetto monoatomico e tornando poi dallo stato Ce D che lo porta al volume V D ed compie il ciclo ABCD il lavoro L dopo aver rappresentato il ciclo nel diagramma di Clapeyron,
Transcript
calcolare,
ed il calore QCD scambiato dal gascompiuto dal gas durante il ciclo
durante la trasformazione CD .
Partendo dallo stato iniziale A, raggiungendo successivamente gli stati intermedi B,
Il ciclo è costituito:
da un riscaldamento isocoro reversibile (AB),
da un’espansione isobara reversibile (BC),
da un’ulteriore espansione reversibile (CD)
da un raffreddamento isobaro irreversibile (DA)
PA = 7.0 x 104 Pa,
che lo riporta anche alla
alla pressione iniziale PD = PA
temperatura iniziale TA
Sapendo che :
VD = 30 l VC= 25 l, TB= 180 °C, TA= 20 °C, VA = 12 l,
nello stato iniziale A.
un gas perfetto monoatomicoe tornando poi dallo stato DC e D
che lo porta al volume VD ed
compie il ciclo ABCD
il lavoro L dopo aver rappresentato il ciclo nel diagramma di Clapeyron,
la trasformazione tra A e B e’ un
e comportera’ un aumento di temperatura del gas
nel punto B
avverra’ quindi a volume
la pressione del gas sara’ maggiore di quella nel punto A
se ne deduce che PB > PA
riscaldamento isocoro reversibile
costante
A A Ap V nRT
B A Bp V nRT
e quindi
dividendo membro a membro si ha B B
A A
p T
p T B
B AA
Tp p
Tda cui
e dato che TB > TA
gli stati iniziali e finali di una trasformazione sono sempre
e dato che il sistema in esame e’ un gas perfetto
dei gas perfetti
stati di equilibrio
si potra’ applicare l’equazione di stato
( TB > TA )( VB = VA )
per assunzione
negli stati iniziali e finali delle trasformazioni
B B Bp V nRT
diviene
equazione che
dato che VB = VA
la successiva trasformazione e’ una quindi si avra’ che VC > VB
p
V
A
B C
espansione isobara reversibile
p
V
A
B
la trasformazione e’ reversibile percio’
anche lungo tutta la trasformazione e’ il fatto che si potra’ applicare l’ equazione di stato
potra’ essere rappresentata da una curva continuanel piano di Clapeyron
inoltre, e ancora piu’ importante, dei gas perfetti
p
V
A
B C
D
tuttavia non e’ dato sapere di quale
la trasformazione tra C e D percio’ sara’ rappresentabile con una linea continua
faremo quindi la ragionevole assunzione sia rappresentabile
e’ reversibile
trasformazione si tratti
con un generico tratto rettilineo
che il percorso da C a D
e’ specificato nel testo che si tratta di una espansione reversibile VD > VC
( assunzione ragionevole anche se del tutto arbitraria )
p
V
A
B C
D
infine la trasformazione tra D ed A e’ irreversibile
e la trasformazione non sara’
con una linea continua
non si potra’ applicare
dunque lungo tutta la trasformazione
l’ equazione di stato dei gas perfetti
rappresentabile
Ap ATAV e sono note
D Ap p
B AV V
nel punto A
nel punto B BTe sono note
DV
CVnel punto C ?CT ee’ noto
?Bp
C Bp p
nel punto D
e sono note ?DT
non e’ noto il numero n delle moli di gas
ricapitolando :p
V
A
B C
DpA
pB
VA VC VD
infine
nel punto B si potra’ utilizzare
BB
B
RTp n
Vda
B AV V 0.345 BB
A
RTp
Ve che
51.08 10Bp Pa
l’equazione di stato dei gas perfetti per ricavare la pressione in B
B B Bp V nRT
quindi
n = 0.345e dato che
applichiamo l’equazione di stato dei gas perfetti
A A Ap V nRT A A
A
p Vn
RT = 0.345
il numero delle moli per ricavare nel punto A
dai punti C e D che
C C Cp V nRT C CC
p VT
nR e dato che C Bp p
B CC
p VT
nR
da
attenzione per eseguire i calcoli occorre utilizzare il S.I.
la temperatura in gradi Kelvin
si potranno ottenere
la pressione in pascal, il volume in metri cubi
le incognite ancora mancanti
quindi occorre esprimere
per definizione sono stati di equilibrio
944 C KT riesce
D D Dp V nRT D DD
p VT
nR e dato che D Ap p
A DD
p VT
nR
da
ed il numero delle moli di gas nBp CT DT
dunque e’ stato possibile determinare
ossia
procediamo quindi a calcolare il lavoro svolto durante il ciclo
733 D KT riesce
0A BL
la trasformazione da A a B e’ reversibile quindi
p
V
A
B C
D
si puo’ esprimere il lavoro infinitesimo come
dL pdV B
A
V
A B VL p dV ed il lavoro da A a B sara’
ma la trasformazione e’ isocora percio’ VB = VA
tutte le incognite del problema
la trasformazione tra C e D e’ reversibile
tuttavia il lavoro puo’ essere stimato approssimativamente
la trasformazione da B a C e’ una ( )B C B C BL p V V
potrebbe rendere impossibile calcolabile il lavoro dato che in generale durante una trasformazione
operando a pressione del gas costantee’ isobara quindi si sta
tuttavia,
la trasformazione tra D ed A siapiu’ rilevante ancora e’ il fatto che
le coordinate termodinamiche del sistema
in questo particolare caso, e’ specificato che la trasformazione da D ad A
sia rappresentabile con un generico tratto rettilineoche il percorso da C a D
( assunzione ragionevole anche se del tutto arbitraria )
isobara reversibile quindi
ma non si sa di quale tipo di trasformazione si tratti
non sono determinabili
irreversibile
facendo la ragionevole assunzione
irreversibile
il che
dell’ambiente rimarra’ costanteche anche la pressione
e cio’ significa
avviene a pressione esterna costante
puo’ essere calcolato come
( )D A A A DL p V V
est Ap p( )D A est A DL p V V e poiche’
pur essendo questo ciclo complessivamente
ad un ciclo reversibile perche’ il lavoro
si arriva a concludere che
puo’ essere comparato
dal gas si potra’ calcolare come
e’ calcolabile ovunque
in questo particolare caso il lavoro da D ad A
in sintesi : la trasformazione del sistema da D ad A
e lo stesso si puo’ dire per il punto D
sistema ed ambiente condivideranno
in particolare avranno la stessa pressione pA
le stesse coordinate termodinamiche,
il punto A e’ di equilibrio per determinarne il valore notiamo che quindi in A
quindi pD = pA = pest
irreversibile
anche se e’ irreversibile
e in questi particolari casi il lavoro fatto
dunque se il ciclo ABCD fosse interamente reversibile
durante il ciclo risulterebbe essere
p
V
A
B C
D
A DL area sottesa sotto la curva da A a D
D AL - (area sottesa sotto la curva da D ad A )
D AL
TrapezioArea
ricordiamo che nel piano di Clapeyron
V
p
V1 V2
L > 0
V
p
V1 V2
L < 0
dall’area sottesa dalla curva che descrive la trasformazione
il lavoro effettuato dal gas
reversibile e’ dato
termodinamica considerata
L > 0 se si passa da V1 a V2
p
V
A
B C
D
p
V
A
B C
D
L < 0 se si passa da V2 a V1
il lavoro durante una trasformazione
ABCDL A DL
l’area del trapezio ABCD
infatti D AL ABCDL A DL e
( ) ( )( )
2C B D A
B A
V V V VL p p
e dato che B AV V( ) ( )
( )2
C A D AB A
V V V VL p p
2( )
2C D A
B A
V V VL p p
percio’
p
V
A
B C
Dp
A
pB
VA VC VD
dunqueil lavoro L compiuto dal gas durante il ciclo sara’
2( )
2C D A
B A
V V Vp p
592J
dunque in un ciclo il lavoro e’ semplicemente interpretabile come l’area all’interno della curvache descrive il ciclo nel diagramma di Clapeyron
CD CD CDQ L U
il calore scambiato dal gas durante la trasformazione
sfruttando il primo principio della termodinamica :
