Date post: | 02-May-2015 |
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CALCOLO LETTERALE
• Perché?
E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.
POTENZE
• Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a
an = a • a • … • a n volte
Esempio:
32 = 3 • 3
(-2)2 = (-2) • (-2) = 4
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Dati a, b R, m, n N
• a n + m = a n a m,
• a -n = 1 / a n
• a n - m = a n: a m, n m, se n = m, a 0
• (a:b) n = a n: b n, b 0
• (ab) n = a n b n,
• (a n) m = a n m,
• a 0= 1,
ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6
(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2
(8)0=13-4 = 1 / 34
e2 • e3• e-4= e(- 2)2 •(-2)3 = -32
RADICALI
• Si dice radice ennesima (n N) aritmetica del numero reale non negativo a l’unico numero reale non negativo b tale che bn = a
nb a
mn mna a
• Si pone per convenzione:
PROPRIETA’ DEI RADICALI
m
kn km na a
0n
nn
a ab
bb
mn m na a
m nm n a a
n nm n ma b a b
nnn abba
ESERCIZI
34 3 4a a
2 23 2 32 3 2 3
33
3
5 5
44
3 62 a a
54 5 4a a
1
33
15
5
333 842
ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE
• Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine:
{[(-1+3)2 • 8]+(5 • 4)}:2= Una espressione letterale è una espressione
numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere:
{[(-a+b)2 • c]+(d • e)}:2=
VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE
• Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1
a + 2b + 1/c = 2N.B. Non è possibile dare a c il valore 0!
• Insieme di definizione della espressione letterale è l’insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l’espressione perda di significato
MONOMIO
• Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza:
Esempio: 3ab2
3 = coefficiente ab2 = parte letterale
Grado di un monomioGrado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio
Grado del monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui tale lettera compare nel monomio
Esempio: 3ab2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b.
POLINOMIO• La somma di più monomi, detti termini del
polinomio:Esempio: 3ab + 2ac + 4b3
Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3)
Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b)
• ADDIZIONE• SOTTRAZIONE• PRODOTTO
PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è
possibile stabilire il risultato con pochi calcoli
• DIVISIONE
OPERAZIONI TRA POLINOMI
DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)
Esempi:
(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)
(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)
(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)
(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =
[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]
QUADRATO DI UN BINOMIO
(x + y)2= x2 + 2xy + y2
(x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi:
(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2
(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2
((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4
CUBO DI UN BINOMIO
(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Esempi:
(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)
(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)
Esempi:
(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)
(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)
(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -
(x - 2) y2 + y4)]
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
• Mediante l’uso dei prodotti notevoli
• Raccoglimenti a fattore comune:
Esempio:
6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)
• Raccoglimenti parziali successivi:
Esempio:
9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)
DIVISIONE TRA POLINOMI• Prenderemo in considerazione solo polinomi in
una variabile
• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .
• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.
ESEMPIO
2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +12x5 – 2 x4 + 2 x2
2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x4 – 2 x3 +2 x – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x2 - 1
2 x2 +2 x -1
- 3 x2 - x + 2
(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
ESEMPIO
(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.
N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.
ESEMPIO:
(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 + 10 x3 - 20 x2
– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 5x2 -6x + 8
– 24 x3 - 12 x2 + 24 x
32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32
\\ \\ \\
20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4
REGOLA DI RUFFINI
• Divisione di un polinomio per un binomio
• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .
P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R
REGOLA DI RUFFINI
Coefficienti P1(x)
±a
Coefficienti e termine noto P2(x)
Termine noto P1(x)
Resto
ESEMPIO
(x2 - 1) : (x + 2)
x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3
1
-2 -2
1 -2
4
3
0 -1
REGOLA DEL RESTO
• Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a
R= P1(-a)
Esempio:
(x2 - 1) : (x + 2)
P1(-2) = 3
OSSERVAZIONE• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore
del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.
• Nell’esempio precedente:P1= (x2 - 1) avrei dovuto provare con +1 e –1:
P1(+1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x - 1)
P1(-1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x + 1)
ESEMPIO
x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)
P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6
P1(±1) 0
P1(2) = 0
2
1 3 -6-7
10 6
1 5 3 0
2