CAOS DETERMINISTICO i in

GEOFISICAGEOFISICA

Guglielmo LacorataCNR-ISAC

Lecce, 12 Aprile 2012

La Natura evolve in modo Deterministico o Casuale ?Deterministico o Casuale ?

Ci sono più fenomeni “regolari” o più fenomeni “irregolari” ?

Cosa si intende per “regolare” ?Cosa si intende per regolare ?

Cosa è semplice e cosa è complesso ?Cosa è semplice e cosa è complesso ?

C l i i di C li ?Complesso è sinonimo di Complicato ?

Tipo di moto regolare: Predicibile a tempo infinito

Moto Periodico

Eventi Casuali: Lancio di Dadi

Il Calcio è un fenomeno DETERMINISTICO o CASUALE ?Il Calcio è un fenomeno DETERMINISTICO o CASUALE ?

IL METODO IL SISTEMA WM IL METODO (Naz. Italiana anni ‘30)

IL SISTEMA WM (Grande Torino anni ‘40)

R l iRelazione

CAUSA

Esiste Un Ordine

Nella NaturaCAUSA-

EFFETTO

Nella Natura

La Causa Ultimaa Causa U t aÈ di naturaMetafisica

Aristotele

Claudio Tolomeo

Descrizione dei moti celesti come

sovrapposizione di sovrapposizione di moti circolari

Teoria Geocentrica dell’Universo

CopernicoCopernico

D i i Eli iDescrizione Eliocentricadel moto dei pianeti

Più razionale ma non più precisa della Teoria TolemaicaTeoria Tolemaica

la FISICA

Netta Separazione tracome

SCIENZA Sperimentale

Fenomeni Fisici (misurabili e Sperimentale (misurabili e riproducibili)

eTutto il resto

Galileo

FISICA MATEMATICA

e

FISICAFISICATEORICA

Calcolo DifferenzialeP i i i d ll Principi della

MeccanicaTeoria della Teoria della Gravitazione

Isaac Newton

IX secolo

Sogno meccanicistico di Laplace:Sogno meccanicistico di Laplace:

“Se fosse possibile conoscere lo stato dell’universo ad un istante di tempo, con le leggi p , gg

della dinamica si potrebbe calcolare lo stato dell’universo a ogni tempo passato e futuro”dell universo a ogni tempo, passato e futuro

(teorema di esistenza e unicità)

Boltzmann Maxwell GibbsBoltzmann Maxwell Gibbs

Sistemi complessi ad alto numero di gradi di libertàSistemi complessi ad alto numero di gradi di libertàTermodinamica e Meccanica Statistica

Problema ErgodicoProblema ErgodicoReversibilità microscopica vs Irreversibilità macroscopica

Quanto e’ scientificamente sensata

l’affermazione di Laplace ?

Fisicamente la questione va posta in altri termini:Fisicamente la questione va posta in altri termini:

“Quanto cambia lo stato futuro di un sistema

se cambia di poco lo stato iniziale ?”se cambia di poco lo stato iniziale ?

ovvero

“L’i ll i i i è d i bl i “L’incertezza sulle previsioni è dovuta unicamente a problemi di calcolo (e.g. troppe equazioni) ?”

RIDUZIONISMO:RIDUZIONISMO:

Fenomeni apparentemente “complicati” possono

essere spiegati come un insieme di fenomeni p g“elementari”

Esportazione del modello

RIDUZIONISTA MECCANICISTARIDUZIONISTA e MECCANICISTA

dalla FISICA alle altre SCIENZE NATURALI

Problema dei 3 corpi

Sistemi HamiltonianiNon Integrabili

Moti Non PeriodiciSoluzioni CaoticheSoluzioni Caotiche

Problema dei Piccoli denominatori

edE di i àErgodicità

Poincaré

Gravitazione: Gravitazione: problema dei 3 corpip p

ThreeBody.html

Violazione ErgodicitàSistemi Hamiltoniani

Non Integrabili

Esperimento FPU

Teorema KAM

Simulazioni NumericheAl Computer:

Tecnica intermedia tra Tecnica intermedia tra Teoria ed Osservazioni

CAOS DETERMINISTICO

Edward LorenzNEI SISTEMI

NON LINEARI

Sistemi DinamiciSistemi Dinamici

di)(

sistema del iosservabil ,...,, 21

RV

xxxN

Nr

temporaleevoluzioneoperatore:

statodi vettore),...,,( 21

→

⊂∈=

RRF

RVxxxrNN

NN

r

r

dinamicosistema)(

temporaleevoluzioneoperatore :

=

→

trFrd

RRF

rrr

inizialicondizioni)0(

dinamico sistema ),(

=

=

rr

trFdt

rr

invariante misura ]1,0[:

inizialicondizioni )0( 0

→

=

V

rr

μ

Mappa TangenteMappa Tangente

i fi it iit b iδδδ

tangentevettore),...,,(

meinfinitesioniperturbazi ,...,,

21

21

Rxxxz

xxxN

N

Nr

∈= δδδ

δδδ

Jacobianamatrice

tangente vettore),...,,( 21

FM

Rxxxz

iij

N

∂

∈

≡

δδδ

Jacobiana matrice

zd

xM

jij

r

∂≡

tangentemappa ),( ztrMdt

zd rr⋅=

iniziali condizioni )0( 0zz rr=

StabilitàLyapunov di esponenti ,...,, 21 Nλλλ

Lyapunov di iautovettor ,...,, 21 N

N

lllrrr

oneperturbazi generica)(1

)( ii ltN

ictz

rr ∑=

≡

oneperturbazi componenti)0(||)(||

1

|||| tii ectc

iiλ≈

=

Lyapunov di Esponente Massimo ||)0(||||)(||

ln t1

lim1tz

λ r

r

=

oneperturbazidella crescita)0(||)(||

||)0(||t

|||| 1teztz

ztλrr ≈

∞→

o epe u bdec esc)(||)(|| |||| e

εlllt 0 ε≈≈≈= lllt 21 0

λλ τλτλ εε 2121 elel ⋅≈⋅≈

021 ≤+ λλ t21 τ=t

mainfinitesioneperturbazi ||)0(||||)(||mainfinitesioneperturbazi

1δδ λ≈ ertr trr

Lyapunov di Esponente Massimo

0)||0(||t1 ||)0(||||)(||ln

t1 lim lim

δδλ

δ≡

→∞→ rtr

rr

r

r

(FTLE)FinitoTempoaLyapunovdiEsponente

||)(||

1 0||)0(||con ||)0(||||)(||ln1

(FTLE)FinitoTempoaLyapunovdiEsponente

δδ

τδτ

γ →≡ rrr rr

r

||)0(||δτ r

11 γλ =

Determinismo

Si assume la validità del

Teorema di Cauchy di esistenza e unicità:

Ogni condizione iniziale determina una ed una sola soluzione

=

lo stato al presente determina univocamente tutti gli stati passati e futuri passati e futuri

CAOS

Forte sensibilità alle condizioni iniziali

Crescita esponenziale delle perturbazioni

Tempo di Predicibilità limitatop

Massimo Esponente di Lyapunov positivo

Entropia Metrica positivaEntropia Metrica positiva

Tempi di autocorrelazione finiti

Proprietà ErgodicheProprietà Ergodiche

Attrattori frattali

Stiramento e ripiegamento dei volumi nello spazio delle fasivolumi nello spazio delle fasi

Caos Hamiltoniano

Conservativo

CAOSCaos Lagrangiano

DissipativoTurbolenza,

Clima,Terremoti, etc.

Frattali

AttrattoriG di di

Caos Dissipativo

Gradi di Libertà efficaci

Dissipativo

Misura E di

Esponenti di LErgodica Lyapunov

Meccanica Statistica

Sistemi Hamiltoniani

Statistica

Teorema Caos

Conservativo

Teorema KAM

ConservativoMoto

iMixing e iff iLagrangiano Diffusione

CAOS dissipativo: l’attrattore di Lorenz

Modello Lorenz 63Modello Lorenz-63

FREDDO & UMIDOCALDO & SECCO

FREDDO & UMIDOCALDO & SECCO

3421

345

16

1

77

FREDDO & UMIDOCALDO & SECCO

3 45

22

16

17

FREDDO & UMIDOCALDO & SECCO

3 4534

225 2

162

6 17

6

77

Effetto Farfalla ?Effetto Farfalla ?

Può il battito d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas ?

C i G fi iCaos in Geofisica

Meteorologia

Climatologia

TerremotiTerremoti

Turbolenza

Mixing e Diffusione

I Terremoti sono Predicibili ?

Burridge-Knopoff

Caos LagrangianoCaos Lagrangiano

p ∂−=

∂=

HHq &&

naHamiltonia ),,(

p ,∂

=∂

=

tpqHqp

q

0=∂∂

+∂∂

pp

qq &&

Ψ∂Ψ∂

pq

&&

CorrentediFunzione)(x

y ,y

Ψ∂Ψ∂

−=∂Ψ∂

=

tyx

x &&

0

Corrente diFunzione ),,(

=∂∂

+∂∂

Ψ

yy

xx

tyx&&

∂∂ yx

Caos Lagrangiano = Meccanismo di Dispersione Relativa

)()1( trr

tLetr λεδ ⋅≈||)(|| rMLE 0>Lλ

εδ ≈||)0(|| rr

)0()1(rr )0()2(rr)()2( trr

)0(r

Dinamica Lagrangiana:Dinamica Lagrangiana:Sistemi di Corrente, Ricircolazioni, Convezione

Avvezione o Trasporto Diretto p

Mixing di Traccianti:Caos, Turbolenza, Diffusione

Dispersione Relativa

Dispersione Relativa Lagrangiana=

Problema di Predicibilità a Perturbazioni Finite

Problema: Gli E i di L i il di iGli Esponenti di Lyapunov misurano il tasso di crescita

delle perturbazioni infinitesime; i l i d ll b i i come misurare la crescita delle perturbazioni su

tutte le scale del moto ?RiRisposta:

Esponenti di Lyapunov a Scala Finita (FSLE)

I di i t t b i Invece di misurare quanto cresce una perturbazione su un certo intervallo di tempo,

misuriamo quanto tempo impiega una perturbazione

1

misuriamo quanto tempo impiega una perturbazione a crescere di un certo fattore di amplificazione

ln1)(><

≡ rτ

δλ

(FSLE)Exponent Lyapunov Scale-Finite

oneperturbazi della scala δ

ioneamplificaz di rapporto 1 a da ioneamplificaz di tempo

>⋅

rr δδτ

Vantaggi della Tecnica FSLE:

Normalmente si misura la Dispersione Relativa come Normalmente si misura la Dispersione Relativa come Separazione Quadratica Media tra due particelle nel Tempo

La Separazione Quadratica Media segue generalmente una qualche legge di scala con il tempoa seconda del tipo di regime dispersivo(Caos, Turbolenza, Diffusione, altro)

Tali leggi di scala possono essere “oscurate” dall’operazione di mediaa tempo fissato, in quanto, ad un dato istante, p , q , ,

coppie diverse possono appartenere a regimi diversi

Principali Meccanismi di Dispersione

ertrr

t>>≈<<

>→

)0()(CAOS :0 e 0 me,Infinitesi iSeparazion

222 δδ

λδλ

r

ertr >>≈<<

TURBOLENZA:finiti3D)e(2DInerzialeRange

)0()(

δ

δδ

tCtrr

R ⋅>≈< )(TURBOLENZA :finiti 3D),e(2DInerziale Range

32 εδ

δ

r ∞→ STANDARD DIFFUSIONE : Scale, Grandi2

δ

tDtr E ⋅>≈< 4)( 2δ

lddiVL ReynoldsdiNumero ReνVL

=

C S i l b lCaos Spazio-Temporale: Turbolenza

Turbolenza 3D e 2DTurbolenza 3D e 2D

(K41)KolmogorodiSpettro)( 3/53/2 −Ε kCk ε (K41)Kolmogorov diSpettro )( 3/53/2=Ε kCk Kε

Cascata Diretta 3D Cascata Inversa 2DCascata Diretta 3D, Cascata Inversa 2D

Kraichnan )( 33/2 −≈Ε kk η

Cascata Diretta 2D

Kolmogorov )()()(

Kolmogorov3/2323/5 −− ≈→>≈→<≈ δδλδ ttrkkE

Richardson

costante)()()( Kraichnan

223− ≈→>≈→<≈ δλδ λetrkkE tL

Lyapunov costante)()()( ≈→>≈→<≈ δλδ etrkkE

Standard Diffusione

Taylor )()( 22 −≈→>≈< δδλδ ttr

Taylor

Modello Meandering JetEffetto Barriera, Mappe di Mixing

Mappe “climatologiche” di FSLE localeMappe climatologiche di FSLE locale

StreamStream--functionfunction 2D 2D RayleighRayleigh--BenardBenard

ΨΨ(x y)(x y)=A=A sin(x) cos(y)sin(x) cos(y)ΨΨ(x,y)(x,y)=A=A sin(x) cos(y)sin(x) cos(y)

Modello Double Stream Function (DSF)

))sin((sin()))sin((sin(),,( 333222 tzktykkAtzyI ϖξϖξ −−=Ψ

))sin((sin()))sin((sin(),,( 333111

3

tzktxkkAtzx

k

II ϖξϖξ −−=Ψ ))((()))(((),,( 3331113k

II ξξ

IIΨ∂z

u

I

II

Ψ∂∂

=

w

zv

III

I

Ψ∂+

Ψ∂=

∂−=

yxw

∂+

∂−=

lDSF campo di velocità

1 1 1 3 3 3sin( ( sin( ))) cos( ( sin( )))u A k x t k z tξ ϖ ξ ϖ= − −

2 2 2 3 3 3sin( ( sin( ))) cos( ( sin( )))v A k y t k z tξ ϖ ξ ϖ= − − −

k11 1 1 3 3 3

3

cos( ( sin( ))) sin( ( sin( )))kw A k x t k z tk

ξ ϖ ξ ϖ= − − −

12 2 2 3 3 3

3

cos( ( sin( ))) sin( ( sin( )))kA k y t k z tk

ξ ϖ ξ ϖ+ − −3

Scaling di Proprietà

2i lidd'i kkkk ≤≤π

velocitàdiscale

spaziali ondad'numeri

mamin

maxmin

AAAl

kkkk

≤≤

≡≤≤

K l)(

velocitàdi scale

3/1

maxmin

kkA

AAA ≤≤

−

Kraichnan )(Kolmogorov )(

1

3/1

kkAkkA∝

∝−

ModellodelInerzialeRange ],[ maxmin kkk∈

DiffusivoRangeCaotico Range

ode odee a ea ge],[

max

maxmin

kkkk

kkk

<>

DiffusivoRange minkk <

Proprietà Generali del Modello Cinematico

Campo di Velocità Non Lineare a Divergenza Nulla

Sovrapposizione di molti modi spaziali

Problema “Sweeping” risolto con la tecnica delle

di l icoordinate relative

Riproduzione delle principali proprietà di scala dei sistemi turbolenti (2D e 3D)

Problema dello “Sweeping”Tecnica delle Coordinate Relative

Applicazione Modello Cinematico come campo subgrid in LES

Qualche riferimento bibliografico

Predictability time of a seismic signal from an earthquake model

G L d G P l diG. Lacorata and G. Paladin

J. Phys. A, Math Gen 26, 3463-3471, 1993.

Non-asymptotic properties of transport and mixing

G. Boffetta, A. Celani, M. Cencini, G. Lacorata and A. Vulpiani

Chaos 10 1 50 60 2000Chaos 10, 1, 50-60, 2000.

Barriers to transport: a review of different techniques

G. Boffetta, G. Lacorata, G. Redaelli and A. Vulpiani

Physica D, 159, 58-70, 2001.

A 3D chaotic model for sub-grid turbulent dispersion in Large-Eddy Simulations

G. Lacorata, A. Mazzino and U. Rizza

J f A S i 65 2389 2401 2008J. of Atmos. Sci., 65, 2389-2401, 2008.

Work in Progress

Anistropia della Dispersione in fluidi rotanti con effetto-ß

(fl i i li i f )(flussi sperimentali in vasca rotante, oceano, stratosfera)

Collaborazione con S. Espa (Univ. Di Roma “La Sapienza”)

Progetto “Pesca” : Trasporto e Diffusione di traccianti

(passivi, biologici, inerziali e non) in ambiente marino

(Canale di Sicilia)(C d S )

Collaborazione con L. Palatella, A. Lanotte (ISAC LE)

R Santoleri (ISAC Roma) et alR. Santoleri (ISAC Roma) et al.

Gradididi

Libertà Meccanica Statistica Turbolenza

Meccanica LineareSistemi integrabili

Caos Deterministico

N Li itàNon Linearità

A causa della peste del XXI secolo A causa della peste del XXI secolo …

… La Scienza è morta

Ma per fortuna gli scienziati Ma, per fortuna, gli scienziati ci sono sempre