Cap 05 - Lo Scambio Di Lavoro Nelle Macchine

7/25/2019 Cap 05 - Lo Scambio Di Lavoro Nelle Macchine

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Lo scambio di lavoro nelle Macchine

5.1) Compressione ed espansione in presenza dattrito.

Riferendoci allespansione in figura, che avviene in una turbina a vapore non ideale (macchinamotrice, in cui lenergia contenuta nel fluido trasferita alla macchina, o meglio, trasformata inenergia meccanica fornita ad un albero rotante), mostreremo che il lavoro reale da essa ottenibile diverso1 da quello che si otterrebbe dal lavoro ideale sottraendo semplicemente il lavoro fatto dalleforze dattrito.Ossia, detto sis hh L 43 = il lavoro ottenibile con unespansione ideale ( il lavoro che si otterrebbeda una trasformazione adiabatica reversibile - priva di perdite -, quindi isoentropica, che avviene trale stesse pressioni estreme dellespansione reale partendo dalle stese condizioni iniziali per il fluido

di lavoro - punto 3 -) e detto 43 hh Lr = il corrispondente lavoro reale, si ha che: attritor is L L L .

44s

h

s

Figura 1

In proposito possiamo definire unrendimento interno di turbina is

r t i L

L=, < 1

Considerazioni generali:

Per una qualsiasi trasformazione, sia essa reale o ideale, vale la relazione (per i sistemi aperti):

LQdh =

Se la trasformazione anche reversibile risulta:=

=vdp L

TdsQ

, da cui segue vdpTdsdh += ;

dove il termineTds= Q rappresentativo del calore scambiato dal sistema con lambienteesterno.

1 Ed in particolare maggiore.


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Se invece la trasformazione non reversibile risulta: TdsQ p 1 (su tale principio basato il funzionamento del compressore, macchina operatrice, in cui lenergiameccanica trasferita al fluido in modo da incrementare lenergia del fluido stesso in termini di pressione, velocit e temperatura; nella compressione reale, parte dellenergia meccanica va adincrementare eventualmente lenergia cinetica del fluido, parte va ad aumentare lentalpia e la parte restante va a compensare le eventuali dispersioni di carico). Riferiamoci allacompressioneadiabatica internamente reversibile (Q=0 ) in figura:

P1

P2 h

s

1

2

Figura 2

Avendo presente che per un sistema aperto una tale trasformazione richiede un lavoro= vdp L eche per una qualsiasi trasformazione (reversibile o irreversibile) LQh = , allora, essendo Q=0:

)1(1

)1()(1

1

21

1

211212

====

p p

k kRT

T T

T cT T chh Lk

k

p pis .

Per scrivere queste ultime uguaglianze si sono considerate le relazioni:


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==

=

cost.cost.

1

1k k

k

p

T

p pv

k kR

c

.

1

2

p p= , rapporto di compressione

dh=c pdt

questultima relazione, nel caso dei gas, pu ritenersi con buonapprossimazione ancora valida, purnon essendo la trasformazione 1-2 unisobara. E quindi:

)1(1

11

=

k

k

is k kRT

L .

In figura 2 questo lavoro rappresentato dal segmento1-2 a meno dic p; come si pu vedere sitratta di una trasformazione isoentropica s=cost. ; dovuta alladiabacit della compressione(ds rev = Q/T = 0 s = cost . ). Esiste tuttavia un altro metodo grafico; che ci consente di visualizzare il lavoro anche sul piano

T_ s; (le aree su tale piano sono utilizzate per visualizzare il calore) vediamo in che modo, vedifigura:

A B

1 1'

2

2' T

s

Figura 3

Poich i punti1 e 1 I si trovano alla stessa temperatura, possiamo scrivere:

I is hhhh L 1212 ==

infatti, considerando la trasformazione1 I -2 osserviamo che unisobara, pertanto per andare da1 I a 2 non scambiamo lavoro con lambiente; ma dobbiamo fornire calore I I hhQ 1221 = (ad unaumento di temperatura corrisponde un aumento dentalpia, dh=c pdt, e per la convenzione fatta sui segni, essendodT>0 , alloraQ>0 , quindi si tratta di calorefornito al sistema).Trattandosi di un sistema aperto, vale la relazioneh =Q-L, ed essendo la1 I -2

unisobara, = vdp L = 0, quindih =Q = I

is hhhh L 1212 == = Area (A1I

2B). Abbiamoquindi dimostrato che Lis = Q , e che quindi sul pianoT_s le aree sottese possono rappresentare, in particolari condizioni, anche il lavoro.


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In realt (riferendoci ancora alla figura precedente) a parit di , in una compressione reale , in cuisono presenti irreversibilit interne (ds > Q/T ), non si raggiunge il punto2 ma il punto2 I ,caratterizzato da unentropia maggiore di quella del punto1 di partenza.E possibile calcolare il lavoro reale di questa trasformazione: infatti, pur essendo

vdp Lr 2,

vale ancora la legge LQh = , doveQ=0 3.Pertanto, analogamente a quanto scritto, e detto sopra, risulta:

)1(1 1

2112

==T

T

k kRT

hh L I

I r .

Ora per non vale pi la legge cost.=k pv (legge di una trasformazione adiabatica reversibile); poich ci troviamo alla presenza di una trasformazione reale (con irreversibilit interne); tuttaviavale ancora la relazione per i sistemi aperti,h =Q-L, dove per:

Q = T s Q irrev = Q Q irrev (calore scambiato dal sistema)

T s = Q (calore scambiato dal sistema con lesterno);Q irrev (calore dovuto alle irreversibilit interne, negative secondo la convenzione, essendo,

calore sottratto dal sistema).

Alla luce di tutto ci, si evince che ci troviamo alla presenza di una trasformazione adiabatica (Q=0)diversa da quella considerata nel caso ideale, di trasformazione reversibile; dobbiamo alloraconsiderare unatrasformazione politropica reversibile , del tipo cost.=m pv Infatti, ci chiediamo

se:

m : mm

' T T 1

12

=

e tale che la curva che rappresenta la compressione cost.=m pv passi per i punti1 e 2 I . In questatrasformazione stiamo comprimendo un fluido e gli stiamo contemporaneamente fornendo delcalore Q 0 (non adiabatica, ma reversibile) ; si tratta di una trasformazione che per ora non haalcun significato fisico.Risulta quindi:

)1(1

1

1 =

m

m

r k kRT L .

2 Poich la trasformazione non reversibile.3 Perch si tratta di una trasformazione adiabatica; in questo caso reale si hads=ds rev+ds irrev >0 , in cui a causa dellaadiabacitds rev=0 , mentre il termineds irrev 0 dovuto alle irreversibilit interne al sistema.In tutti questi casi (nei quali avvengono apprezzabili variazioni di pressione attraverso condotti o palettatureacceleranti o deceleranti ovvero attraverso unintera macchina) gli scambi termici con lesterno per i singoli condotti,come il compressore o la turbina considerati nel loro complesso sono molto modesti rispetto allammontaredellenergia potenziale. Ci non esclude che nellintero processo (ad esempio compressione con interrefrigerazioniecc) possano aversi scambi di calore di grandentit, ma in tal caso questi scambi avvengono (quasi) sempre inappositi scambiatori esterni allorgano o alla macchina nei quali accade lespansione o la compressione,trasformazioni che - come detto possono quindi considerarsi avvenire in regime praticamente adiabatico.


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Tale trasformazione, rappresentata sul piano h_s, e pu anche essere vista, per le considerazionifatte in precedenza, sul piano T_s:

1

2

2' h

s

T

s A B

11'

2

2'

C

Figura 4

Infatti analogamente a prima:

C Ahhhh L I I reale I I I I

2112122,1 ===

invece larea A1 I 2B rappresenta il lavoro Lis. Questultima area, rispetto alla precedente, pi piccola di una quantit rappresentata dallarea B22 I C . E possibile ora definire unrendimentoadiabatico di compressione :

r

iscad L

L=, , ovvero1

11

1

12

12,

==

mm

k k

cad hhhh

I

< 1.

In un primo momento si indotti a credere che larea B22 I C ( Lr L is ) rappresenti il lavoro speso per vincere gli attriti. In realt non cos; e ci proprio a causa della politropica, infatti applicandoil primo principio della termodinamica ,per i sistemi aperti, a tale trasformazione, si ha:

..12 polit polit LQhh I += , isobara)non(traf.0adiatica)non(traf.0

.

.

polit

polit

L

Q.

Per la politropica reversibile =I2

1.vdp- polit L .

Siccome conosciamo la politropica (conoscendom) possiamo risolvere lintegrale, e risulta:

)1(1

1

1. =

mm

polit RT m-m

L .


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Ovviamente, anche a questo lavoro possiamo associare unarea; vediamo come:

2*

T

s A B

1 1'

2

2'

C

c

Figura 5

==I2

1I. revers.)la(perB12 C TdsQ polit ;quantit di calore scambiata con lesterno lungo la

politropica.

Poich:.. polit polit LQh += .. polit polit Qh L = ,

da cui in termini darea:C BC A L I I I polit 1221. = = A1 I 2 I 1B

.

Nella politropica presente lo scambio di calore,Q polit

. con lesterno che quantitativamente parialla produzione di calore interna alla trasformazione irreversibile.Pertanto la politropica assimila il caloreQ irr. (=L attr. ) ad uno scambio con lesterno. Alla luce diqueste osservazioni capiamo che il lavoro Lattr. rappresentato in figura dallarea B12 I C (=Q polit. ).Osservando la figura si nota ancora che:

.22 attr I isr LC B L L >= .

In definitiva, il lavoro da spendere per la compressione reale , Lr , maggiore del triangoloide 122 I - della somma del lavoro adiabatico isoentropico e di quello speso per vincere le resistenze passive

Lr > L is + L att .

Ci avviene in generale, perch le perdite, degradate in calore, riscaldano il fluido facendoneaumentare ( a pressione costante) il volume specifico (fluido comprimibile), il che comporta unmaggior valore dellintegrale rappresentativo del lavoro per un sistema aperto, infatti vdp Lr .Tutto ci comporta un aumento dellenergia in seno al fluido; e se tale fenomeno, favorevole nelcaso dellespansione (si tratta di lavoro fornito dal fluido alla macchina o alle pareti di un condotto) per il lieve recupero denergia che ne risulta, ovviamente sfavorevole nel caso di unacompressione (si tratta di lavoro che la macchina o le pareti di un condotto compiono sul fluido) perch esso provoca una spesa di lavoro aggiuntiva, controrecupero C, per eseguire lacompressione.Alla luce di ci, si ha:

C L L L attr isr += .


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C = 122 I

Dove: Lis + C = A12B + 122 I = L polit.

Quindi: L r = L att . + C + L is = L att . + L polit.

L r = A1 I 2 I C L att = B12 I C L polit . = A1 I 2 I 1B

Quindi in una compressione reale, dellenergia meccanica, che ceduta al fluido ( Lr ), una parte( L att ) dissipata sotto forma di calore per vincere gli attriti interni, mentre la restante disponibilein seno al fluido come lavoro o energia meccanica ( L polit ).In seguito quando affronteremo il concetto dexergia, vedremo che una parte del lavoro dattrito

degradatosi in calore ( B12 I

C ) potr essere teoricamente recuperato come energia meccanica(1 I 22*C ), mentre la restante parte a T < Tamb. (B12*C ) sar unaliquota inevitabilmente persa.

Facciamo un esempio numerico: se immaginiamo un lavoro L r =100, un L attr. =15 e un C=5 tutto ciche si potr recuperare sar 85.

Tenendo ben presente tutto quanto esposto, definiamo ora dei particolari rendimenti interni(rendimenti di compressione) che servono ad indicare il grado di bont, il grado di perfezionecol quale avviene la compressione.Trattandosi non di un ciclo, ma solo di una trasformazione aperta che si compie in un condotto o inuna macchina (che possono fare o non parte di un complesso nel quale il fluido compie un interociclo) chiaro che lindicazione della perfezione, con la quale la trasformazione realizzata, non pu consistere che nel confronto di ci che si ottiene (o si spera di ottenere) con ci che potrebbeottenersi in un procedimento puramente ideale (o meglio, limite) e convenzionale entro certi limitiarbitrari assunti a termine di paragone.

Cos per i lavori reali(Lr ) corrispondenti ad una compressione (o espansione, il discorso duale),comunque effettuata e realizzata (o realizzabile) in pratica, due sono i processi limite, reversibili, icui lavori per kg di fluido facilmente calcolabili sono assunti nella tecnica, secondo i casi, qualitermini di confronto.

1. lavori di compressione di una trasformazione adiabatica isoentropica(L is );2. lavori di una politropica reversibile di pari esponente medio della trasformazione reale

( L polit ).

Tutte le condizioni iniziali del fluido e la pressione finale si considerano uguali per latrasformazione reale e per quella limite, reversibile, di confronto.Per la trasformazione politripica reversibile, coincideranno con i corrispondenti valori finali dellatrasformazione reale anche la temperatura, lentropia, ecc.

E possibile a questo punto definire unrendimento politropico di compressione ( mi dice quanto L pol . ho a disposizione da Lr ):

r

pol c pol L

L=, .


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Daltra parte possiamo definire unrendimento adiabatico di compressione ( mi dice quanto Lis ho adisposizione da Lr ):

r

a

r

cr

r

is

cad L

C L

L

C L L

L

L ===1,

.=

In conclusione delle osservazioni fatte fin qui emerge che:

Latt. (nella relazione precedente indicato con La) rappresenta una degradazione dellenergiameccanica che quindi diventata calore;

C rappresenta unaliquota in pi che bisogna spendere, Il rendimento politropico, che si pu porre nella forma:

c

ac pol L

L=1,

tiene conto della degradazione di energia meccanica, La differenza sostanziale tra i due rendimenti, pol, c e ad,c , che il secondo funzione del

rapporto di compressione; mentre il primo non lo .

Inoltre, tenendo presenti le espressioni di L pol. e Lr risulta:

)1(1

1

1. =

mm

polit RT m-m

L , )1(1

1

1 =

mm

reale RT k-k

L

e quindi

11,

=

k k m

m

c pol .

Osservazioni:

1. .,1 1

1

00lim pol cad

mm

k k

=

==

Il rendimento politropico di compressione, pol,c , d unidea della qualit del compressore;quanto pi grande, migliore il compressore. Infatti pol,c =f(m), dove m dipendedallattrito tra il fluido e le pale del compressore o tra il fluido e la superficie del condotto incui avviene la compressione.

Il ad,c invece un indice della trasformazione, ma non della qualit.


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Cio il rendimento politropico di compressione (discorso analogo per lespansione), non altroche il cercato ed ipotetico rendimento (adiabatico) di uno degli infiniti stadi infinitesimi di cui si

pu immaginare composto un compressore ( o una turbina) nel quale il fluido evolva secondo una politropica di esponente m pari a quello medio effettivo del vero compressore.

Questo significato completa quello dato in precedenza e, soprattutto, chiarisce forse meglio ilmotivo tecnico delladozione anche di questo particolare rendimento interno.

Il seguente diagramma, che mette in evidenza ci che abbiamo detto:

Figura 6

2 .rifacendoci al diagramma appena tracciato, se si considerano due compressioni distinte1 e2 caratterizzate dallavere 1,2, ad ad < , ma 21 >1). Allora nel fare il confronto fondamentale basarsi suc pol , , visto che

per uno stesso compressoread varia con .Dalle considerazioni fatte, si evince che la compressione pi scadente quella che ha il pi bassorendimento politropico di compressione.


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Espansione

Il discorso duale a quello fatto nel caso della compressione.Esaminiamo ci che succede durantelespansione, in cui si passa da una pressione p 1 ad una pressione p 2 con p 1>p 2 . Su tale principio si basa il funzionamento della turbina. Osservando la figura 8 si evince che:

II I hhhh Lreale 2121 == (essendo II I T T 22 = ).

Per cui, in termini di aree Lr =C2 II 1B mentre daltra parte sappiamo essere Lis=A1 I 1B. Per cuiC A L L II I r is 21=

Anche qui risulta (come per la compressione):

D BTdsQ L I pol attr 122

1.. === .

Ricordiamo ora che prese due qualunque isobare sul pianoT-s i segmenti orizzontali da esseindividuati sono tutti della stessa lunghezza. Ci comporta che I II I 2221 =

1'2

2'

1

2''

A C B D

Politropica

R

T

s

Figura 8

Immediata conseguenza di ci che A1 I 2 II C=B22 I D . Larea B22 I D rappresenta solo una porzionedel Lattr. , perch c ancora il tiangoloide122 I . Infatti:

D B D B

L L R L I I I

r isattr

2212212

)(.

+=

+= .

Il fatto che ora la differenza ar is L L L


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k k

mm

ead

1

1

, 11

11

=

,

e analogamente definiamo unrendimento politropico di espansione pol,e = L r /L polit .:

1

1,

=

mm

k k

e pol .

ad ad,e

ad,c

1 *


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Consideriamo due compressori mossi da un motore:

C1M

1

2

C2M

1

2 T K

p bar 1

1

2881

==

T K

p bar 2

2

96015

==

T K

P bar 1

1

2881

==

T K

P bar 2

2

34915

== ,

Se ci domandassimo quale dei due compressori migliore, dovremmo calcolare il rendimento politropico.

L vdp c T T K

K RT is c p

K K

, ( )= = =

1

2

2 1 1

1

11

L vdpm

m RT p c

mm

0 1

21

1

11, = =

L c T T K

K RT r c p

mm

I , ( )= =

2 1 1

1

11

ad c

is c

r c

K K

I

K K

I

L

L T T

T

T T ,,

,

) ( )= =

=

1

2 1

1

1

2 1

1 1

151

2 == p p

k k =1 0 4

1 4,,

ad c, ,1 0 50= ad c, ,2 0 58=

Calcoliamo adesso il rendimento politropico: ( )( )

pol c pol c

r c

L

L

m m

k k ,,

,= =

11

m1 180= , m2 1 90= ,

pol , ,1 0 64= pol , ,2 0 60= Il compressore migliore il primo.


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5.2 Condotti di una turbina a vapore

Nel paragrafo precedente senza domandarci il come si supposto che il fluido,nellattraversare un condotto o una macchina si comprima o si espanda, riceva o ceda calore e/olavoro, evolvendo secondo trasformazioni reversibili o irreversibili. Ma evidente che, una voltachiarite le relazioni che passano fra le varie grandezze (nei casi reali ed in quelli limite) indeterminate, supposte trasformazioni, nascono immediatamente due necessit: la prima, quella diesaminare quali sono gli accorgimenti necessari per ottenere che il fluido, mentre scambia eventualideterminate quantit di calore e/o lavoro, evolva (pi o meno esattamente) secondo determinatetrasformazioni; la seconda, quella di renderci conto dei processi per mezzo dei quali pu avvenire loscambio di lavoro fra fluido ed organi a diretto contatto con esso (vale lipotesi di sistemaadiabatico fatta nel paragrafo precedente, nota 3.).In questo paragrafo ci occuperemo solo della prima necessit, tralasciando la seconda al capitolosuccessivo; inoltre, occupandoci del primo di questi due problemi, si coglier loccasione perrichiamare lattenzione, anche se in modo limitato, sui fenomeni particolari connessi al rapporto frala velocit del fluido e quella del suono in seno al fluido stesso (fluidodinamica).

Cominciamo lo studio di quello che avviene allinterno di una turbina a vapore. La macchina pu pensarsi costituita da una successione di opportuni condotti (stadi di una turbina) fissi (denominatiugelli ) e mobili, ovvero come un unico condotto di forma particolare e nel quale il fluido evolventeincontra opportune superfici deviatrici (schiere di palette) fisse e mobili espandendosi (nelcompressore il fluido si comprime) e scambiando lavoro con i condotti (o le superfici deviatrici)mobili.Il vapore fatto espandere completamente dalle condizioni a monte della macchina (3) a quelle avalle (4).

4

3

Figura 9

Il salto entalpico disponibile sar trasformato quindi in un incremento di energia cinetica del fluido.Il vapore esce dal condotto fisso con un certa velocit, e incider sulle pale mobili (montate alla

periferia del disco). In questa sede (allinterno dei condotti fissi e mobili ) vi sar lo scambio dienergia (lavoro) tra fluido e macchina.Linsieme delle pale fisse dettostatore , mentre linsieme di quelle mobilirotore o girante ; inoltrefaremo riferimento ad una turbina a flusso assiale, ovvero con flusso perpendicolare al rotore equindi diretto secondo il suo asse di rotazione.Il lavoro reale ottenibile dalla trasformazione 3-4 allinterno della turbina :

43 hh Lr = Definiremoil rendimento interno di turbina come il rapporto tra il lavoro ottenibile nel caso reale e

lavoro ideale (espansione adiabatica isoentropica):is

r

L L= .

Disegniamo il ciclo relativo al nostro impianto a vapore e soffermiamoci sulla trasformazione 3-4(espansione allinterno della turbina).


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T

s

3

1'

4

22'

1

Ciclo HIRN

Figura 10

Il nostro scopo di capire cosa succede allinterno dei condotti fissi e mobili. Spezzettiamo lo

stadio 3-4 in piccoli trattini ( ih ); ogni trattino rappresenta una trasformazione in una coppia di palette. Lelevato valore dih che interessa una turbina a vapore non pu essere smaltito in un solostadio a causa delle elevate velocit (assoluta e periferica), per questo motivo si preferiscespezzettare in pi stadi la trasformazione3-4 .Partiamo dallequazione:

(1) LQh = , (2) pvuh += .

Il meccanismo di scambio di lavoro nella turbina sar ottenuto per mezzo di variazioni di quantit dimoto del fluido (vapore).Per scrivere correttamente lequazione (1) dovremo considerare anche le altre forme di energia presenti. Inoltre per essere la (1) a carattere generale dovr essere instazionaria .

Considerando un generico condotto, facciamo delle considerazioni generali di Fluidodinamica(studio del moto di un fluido in un condotto fisso e/o variabile), che poi applicheremo ai condottidella T.V.

P elica

Q m 1

m 2

1 2

Figura 11

Come si pu vedere anche dallaltra figura, il generico condotto che stiamo considerando unsistema aperto in cui consentito scambiare con lambiente esterno, attraverso la superficie dicontrollo ( parte tratteggiata), oltre che calore e/o lavoro (come per un sistema chiuso) anche lamassa.

Volume dicontrollo

Calore Q

Lavoro L

Massa m


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La prima equazione da scrivere quella relativa al bilancio di massa:

dt dm

mm = 21 && ( dt dm = termine daccumulo di massa )

La seconda equazione da scrivere quella di bilancio di energia:

indicando con E lenergia totale immagazzinata nel sistema in esame, e con e il suo valorespecifico, abbiamo:

2

2c gz ue ++= , me E =

c = velocit del fluido, una velocit media della particelle di fluido;gz = energia potenziale gravitazionale;u = energia interna, assimilabile allenergia potenziale e gravitazionale posseduta dalle molecole del

fluido nel loro moto di agitazione termica (energia microscopica);c2/2 = energia cinetica.

La variazione dellenergia totale sar:

dt med

dt dE )(=

lenergia totale potr quindi variare sia in funzione della massam, che di e.

Se la superficie del sistema fosse deformabile avremmo anche una variazione di lavoro; oppure potremmo avere una combustione interna (generazione di calore, ecc).

Applicando il primo principio della termodinamica al sistema aperto (in termini di grandezzespecifiche):

q l = e q + e 1 = l + e 2

e = e2 e1, variazione di energia del sistema,[J/kg];q = calore fornito al fluido, per unit di massa, dallesterno, che attraversa la superficie di controllo

(>0 secondo la convenzione), [J/kg];l = lavoro fornito al fluido, per unit di massa, dagli organi mobili (


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questa grandezza chiamata lavoro di pulsione. Quindi, si ha:

q l = e (e + pv) = q l

dove per la convenzione fatta sui segni:

(pv) = p 2v2 p 1v1

tale quantit, rappresenta lenergia necessaria per muovere il fluido dentro (-p1v1; negativo perchentrante) e fuori (p2v2; positiva perch uscente). Tale quantit, chiamata lavoro di spostamento, data quindi dalla differenza tra il lavoro compiuto dalla massa di fluido che esce dalla sezione 2 e illavoro compiuto dalla massa di fluido che entra attraverso la sezione 1.

In definitiva, avremo

2)2(22

c gz h pvc gz u pve H ++=+++=+=

pvuhdef

+=

dove, ricordiamo, che ci vale per un sistema aperto.Lequazione di bilancio per il sistema aperto, diventa:

q + h 1 + gz 1 + c 1 /2 = h 2 + gz 2 + c 2 /2 + l

h1 + gz 1 + c 1 /2 = energia del fluido che entra nel volume di controllo, per unit di massa [J/kg];

h2 + gz 2 + c 2 /2= energia del fluido che lascia il volume di controllo, per unit di massa [J/kg].Stiamo cercando di individuare tutti i possibili scambi di energia del sistema. Mettendo insiemetutto:

(*){

ecombustion volumedivariazione

2211 chimelica Qdt dV

p P Q H m H mdt dE &

321

&&& ++= 4.

N.B.: Se ildV positivo corrisponde un lavoro negativo sottratto al sistema; si tratta diunespansione ( dV > 0), quindi il lavoro fatto dal fluido mobile sullambiente esterno(illavoro uscente dal sistema aperto, quindi negativo secondo la convenzione sui segni).Questa unequazione instazionaria, poich tiene conto di variazioni nel tempo dei termini presenti.

4 11 H m& ed 22 H m& sono portate entalpiche totali in ingresso ed in uscita;sono energie, si misurano in [kW].

2)

2(

22 c gz h pv

c gz u pve H ++=+++=+= [kJ]


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Facciamo un esempio: Per esempio per un motore a combustione interna lequazione (*) diventer (durante la fase avalvole chiuse, cio con m=cost.):

{chimchim

Qdt

dV pQ

dt

demQ

dt

dV pQ

dt

med &&&321

& +=+=chiusevalvoleacostantescendeesale pistone

)(

in cui possiamo trascurare i termini potenziale e cinetico.

Vediamo ora di scrivere lequazione (*) relativamente alla fase di espansione del fluido di lavoronel condotto di una turbina a vapore. Nel fare ci consideriamo le seguenti ipotesi di lavoro:

1. moto del fluido stazionario e privo di attrito; ci significa che composizione chimica, propriet termodinamiche e velocit del fluido di lavoro in ciascun punto dello spazio nonvariano al variare del tempo. Tutto ci comporta:

dt dm =0 21 mm && = dt

med dt dE )(= = 0

(la portata massica in ingresso uguale a quella in uscita).

2. flusso monodimensionale e comprimibile; per quanto riguarda la monodimensionalitsignifica che composizione chimica, propriet termodinamiche, velocit del fluido di lavoroe quota variano soltanto lungo la direzione del flusso, mentre assumiamo uguali i valori intutti i punti della stessa sezione (variano per da sezione a sezione). La sola coordinata

spaziale, che considerata, la distanza lungo la linea di corrente centrale del flusso anchese questa pu essere una curva nello spazio; i valori delle propriet di stato in ciascun puntolungo questa linea di corrente sono i valori medi sulla sezione normale alla linea di corrente;il fluido si pu quindi considerare costituito da filetti paralleli allasse. Per quanto riguardainvece lincomprimibilit del fluido, diciamo che si tratta di un fluido in cui il volumespecifico v = 1/ costante, perci:

==B

A

B

A

p

p

p

p

vdpLvdpL = (pB pA)/

p pv pvuh =+= )(

i fluidi comprimibili sono, invece, fluidi in cui le variazioni di energia potenziale(gz)sono trascurabili rispetto alle variazioni di entalpia.

3. condotto fisso; ci implica che L = 0, ovvero pareti del condotto fisse e che allinterno delfluido non esiste alcun organo mobile in grado di raccogliere lavoro (Pelica = 0).

4. trasformazione adiabatica; ci implica Q 0, supponendo i condotti fissi molto brevi dilunghezza in modo da poter trascurare lo scambio di calore con lesterno

5. assenza di variazioni di volume (dV = 0) e di reazioni chimiche (Qchim = 0).


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Alla luce di tutte le ipotesi fatte, eliminando nella (*) i vari termini, abbiamo:

220

22

2

21 c

hc

h H +=+=

che prende il nome diequazione del bilancio energetico che descrive il moto di un fluidocomprimibile in un condotto.Se invece il fluido incomprimibile il termine )( 12 z z g non pu essere trascurato.

Facciamo un esempio:

p

pv pvuh =+= )( ,

1=v , Bernoullidiequazione

2

2

++= gz c p H

.

Hg

Per esempio consideriamo due vasche piene dacqua ad altezze che differiscono di H g (salto geodetico).

z g L L H

z g H ==

=.

Il lavoro ottenibile dato da gH g .


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Facciamo, ora riferimento allespansione sul piano h_s:

S0

h

s

1 h 1

C 1 /2 2

H 0

2 2'

R 2'R 2=R 1

Figura 12

Nella trasformazione1-2 I il punto 2 I si trova a destra del punto1, poich: Tds Q Q IRR= + >ds 0 per una trasformazione irreversibile; dove il termineQ = 0 essendo la trasformazione,

per le ipotesi fatte, adiabatica.Ora, continuando il discorso sulla dinamica dei fluidi comprimibili, facendo sempre riferimento allafase di espansione del fluido che avviene in turbina; approfondiamo le considerazioni gi fatte suicondotti in una turbina a vapore Abbiamo gi detto che la turbina a vapore costituita da uninsieme di condotti mobili e fissi denominati ugelli; dove in generale:

ugello = un condotto in cui il fluido comprimibile subisce unespansione (diminuzione di pressione) con aumento di velocit; condotto accelerantediffusore = un condotto in cui il fluido comprimibile subisce una compressione (aumento di pressione) con diminuzione di velocit; condotto decelerante.

Le relazioni che intercorrono tra il profilo delle aree del condotto in cui scorre il fluido e le propriet della corrente lungo lasse del condotto, si basano su alcuni concetti:

1. condizioni di ristagno:in molti problemi non occorre conoscere le propriet del sistema in valore assoluto; sufficienteinvece conoscere la variazione di queste propriet rispetto a uno stato scelto come stato diriferimento. Per una corrente questo stato di riferimento rappresentato dalle propriet diristagno, definite come quelle condizioni che esistono nel punto della corrente dove la velocitdel fluido ridotta a zero attraverso un processo adiabatico e senza attriti, cio reversibile(isoentropico). Spieghiamo meglio questo concetto.Finora abbiamo considerato solo le propriet statiche del fluido di lavoro. La pressione statica ela temperatura statica sono, ad esempio misurate da strumenti che non risentono della velocitdella corrente. Le condizioni di ristagno, al contrario, dipendono dalla velocit della corrente;infatti per questo motivo che la pressione oltre che con il termine pressione di ristagno (corrispondente cio allarresto della corrente), viene anche chiamata pressione totale,data ciodalla pressione statica della corrente pi la pressione generata dalla velocit. Al pari della


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pressione, anche ogni altra propriet del fluido seguita dallaggettivo statica, quando nonrisente della velocit, mentre seguita dal terminedi ristagno, quando si vuole fare riferimentoa uno stato caratterizzato da una velocit del fluido nulla.In conclusione, si definiscono condizioni di ristagno quelle condizioni per cui:

- verificata la22

0 22221 chch H +=+= scritta tra uno stato generico e lo stato , che

individua il ristagno della corrente (la velocit cio si annulla: v 0 = 0 ):

+=2

2

0c

h H c =2h h = h0 - h

- il processo avviene, come stato detto prima, in modo isoentropico: lentropia dello statogenerico uguale allentropia di ristagno (s = s0).

2. velocit isoentropica del suono e numero di Mach:

la velocit del suono a la velocit con cui le piccole perturbazioni della pressione si propagano, sotto forma di onde, in un fluido comprimibile.La piccola perturbazione, proprio perch piccola e cio dintensit estremamente modesta,associata alla propagazione dellonda sonora pu essere considerata un fenomeno adiabaticoreversibile e quindi isoentropico. per questo motivo che parliamo divelocit isoentropica (oadiabatica) del suono a, chiamata tuttavia, pi semplicemente, velocit del suono. Nel caso delgas perfetto (nel nostro caso il gas il vapore) la velocit del suono data da:

{

kRT

t

kP P a =

=

==

cos p p rev baticatrasf.adia

k

v = 1/; volume massico = massa volumica

Si definiscenumero di Mach M il rapporto tra la velocit locale del fluido, c, e la velocit delsuono, a, corrispondente ai valori di pressione e massa volumica che esistono nel punto dove misurata c; si ha:

MACH = ca

ac

==

velocit del suonovelocit del fluido

Quando il vapore si muove con velocit:

M < 1; si parla di flusso a regime subsonico; M = 1; si parla di flusso a regime sonico; M > 1; si parla di flusso a regime supersonico.


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Il punto che abbiamo indicato con R, nella figura 12, uno stato di ristagno , con i relativi valori dientalpia di ristagno H 0 , P 0 ,T 0 ecc. In corrispondenza di R la velocit del fluido sar nulla ( 0=c );si individuano due valori di ristagno R1,ed I R2 , allingresso e alluscita. Se invece la trasformazione reversibile,2 sta sulla verticale per1 ed esiste un unico punto di ristagno, 21 R R .Ci che ci proponiamo, di vedere i rapporti esistenti tra le grandezze termodinamiche di un fluidoe quelle relative al corrispondente punto di ristagno. Ricordando che lo stato termodinamico di unfluido individuato tramite P T h ,,, ecc.:

+=2

2

0c

h H , H h

M KRT c T p

02

12

= + h c T p= ,

Ricordando che :

c c R p v = c

c K p

v

= c KR K p

=1

avremo:

H h

M KR KR

K 02

12

1= + ( ) .

Per cui:

H h

K M f K M 0 21 1

2= + = ( , ) .

Per ricavareT T

0 basta sostituire adh c T p= :T T

K M 0 21 1

2= + .

Sapendo che, la trasformazione adiabatica isoentropica, si ottiene:

( )12)1(0

0 211

+=

=

K K

K K

M K

T T

p p

Allo stesso modo:

( ) ( ) 0

0

11 2

11

1 12

= = +

T T

K M

K K

Al variare dei rapporti sopra elencati, cambia la posizione del punto2 sul diagrammah-s .


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H 0

h

s

1

h 1

C 1 /2 2

2

0(stato di ristagno)

h 2

2C 2/2

Notiamo che il rapportoT T

0 cresce quadraticamente in funzione di . Per laria, con K =1 4,

abbiamo i seguenti andamenti:

1 M

P 0/P 0/ T 0/T

1

Per =1 i rapporti sono tre numeri ben precisi:

T T

0 1 2= ,

0 158= , p p

0 189= , .

Ricordare questi numeri importante, poich il diagramma pu essere adoperato in senso inverso.

Se ho un rapporto diT T

0 1 2< , dovremo aspettarci una velocit del fluido alluscita subsonica

( ) M


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Vediamo ora di esaminare il primo dei due problemi di cui si diceva allinizio di tale paragrafo(ricordiamo che il secondo problema affrontato nel capitolo successivo): quali sono gliaccorgimenti che permettono di ottenere desiderate trasformazioni lungo un condotto o,reciprocamente, quali sono le trasformazioni che si verificano inevitabilmente se il fluido attraversaun condotto di forma data ed in determinate condizioni operative.

Per renderci conto fisicamente della cosa, supponiamo di voler far espandere secondo unadiabaticalaeriforme inizialmente in quiete (c1 = 0) ed alle condizioni iniziali (costanti) p1, v1, T1 fino alla pressione p < p1, al volume v ed alla temperatura T corrispondenti.Supponiamo anche (comeavviene di solito, specie nel campo delle turbomacchine) che alla fine dellespansione si desideridisporre dellenergia cinetica conseguente alla diminuzione di pressione (e di entalpia) sotto formadi un getto per quanto possibile ordinato ed uniforme e costituito da filetti paralleli dotati divelocit c.

E intuitivo che (fig. a, b) anche un semplice foro nella parete che divide gli ambienti a pressione p1 e p sufficiente a permettere lespansione desiderata, ma altrettanto intuitivo che il gettorisulterebbe disordinato, darebbe luogo a vortici a valle della sezione defflusso, risulterebbecostituito da filetti non paralleli, e avrebbe quindi caratteristiche ben diverse da quelle desiderate. Se come nel caso reale il fluido viscoso, le perdite per fenomeni dissipativi, sarebbero notevoli elenergia cinetica - inferiore a quella limite sarebbe in gran parte convertita in calore, conconseguente aumento di entropia.Un risultato non migliore si otterrebbe se mettessimo in comunicazione i due ambienti con uncondotto le cui successive sezioni fossero fissate ad arbitrio (ad esempio con un condotto rettilineoa sezione costante). In altri termini, per ottenere unespansione (come una compressione) graduale eregolare di una certa, desiderata massa di fluido col minimo di perdite e di vortici, necessariocollegare gli ambienti a diversa pressione con un condotto disegnato razionalmente.Dato lo stato e la velocit iniziali del fluido e supposto adiabatico il flusso, sar solo la leggecon cui varia la sezione, procedendo lungo il condotto, supposto ad asse rettilineo (oltre - si

intende- alla natura del fluido) che determina la trasformazione secondo la quale il fluidostesso evolver.

Consideriamo un condotto generico con sezione ed indicando con la densit del fluido, la&m pu essere scritta come:&m = c (equazione di continuit).

Supponendo che non ci siano variazioni di&m in funzione di x ( ) =d dx

c 0.

Ricordando che:

H hc

t = + =2

2cos , dH

dxd dx

hc= + =( )

2

20 .

Da semplici passaggi si perviene allespressione:


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( )d dx M dcc

= 2 1 relazione di Hugoniot .

Questa relazione mi dice che ad una variazione di sezione corrisponde una variazione di velocitin funzione di

( ) M 2 1

Sulla base di questequazione in un condotto generico con:

a) sezione convergente d accelerazione . In questo caso si ha unespansione, poich il fluido

accelerando fa diminuire lentalpia( h < 0 ;

p pv pvuh

=+= )( ) e quindi la pressione

(affinch risulti soddisfatta lequazione di bilancio energetico cost.2

2

=+ ch in ogni sezione del

condotto).

Se M dc1 1 0> < decelerazione. In questo caso si ha anche compressione.

b) Se invece il condotto divergente d >0 (aumento di sezione)

1 2


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Se M dc1 1 0< < compressione.

Se M dc1 1 0> > espansione.

Vediamo ora, per capire meglio ci detto, il comportamento del condotto da ugello; ricordiamo chelugello un condotto accelerante in cui si vuole aumentare la velocit del fluido e diminuirne la pressione (espansione di un fluido).

1. Se il moto del fluido a regime subsonico (M < 1); allora affinch si abbia unaumento di velocit (dc > 0) e una diminuzione di entalpia (dh < 0), quindi di pressione (dp < 0), corrispondenti allespansione di un fluido, occorre che siaverificata la relazione di Hugoniot:

( )d dx M dcc = 2 1e ci accade d < 0; ovvero la sezione del condotto convergente; cio ilfluido nel suo moto allinterno del condotto deve incontrare sezioni via viadecrescenti.

2. Se il moto del fluido a regime supersonico (M > 1); allora affinch si abbia unaumento di velocit (dc > 0) e una diminuzione dentalpia (dh < 0), quindi di pressione (dp < 0), corrispondenti allespansione di un fluido, occorre che siaverificata la relazione di Hugoniot:

( )d dx

M dcc

= 2 1

e ci accade d > 0; ovvero la sezione del condotto divergente; cio il fluidonel suo moto allinterno del condotto deve incontrare sezioni via via crescenti..

c) Se invece il condotto a sezione variabile d = 0 nella gola

Potremmo avere anche deicondotti divergenti - convergenti o convergenti - divergenti .

d=0

d=0


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dove nella prima figura abbiamo un condotto a sezione convergente divergente ; mentre nelsecondo caso abbiamo un condotto a sezione divergente convergente.

In questo caso , cond =0 , la relazione di Hugoniot , ci afferma che la velocit del suono (M = 1)si pu avere soltanto dove d = 0, cio solo in unasezione minima (o ristretta o gola) delcondotto e mai nei tratti convergenti o divergenti dove d 0. Cio solo nella gola deve aversi:

( )d dx M dcc

= 2 1 = 0

Tale condizione pu essere verificata per vari casi; che possono aversi nella gola:

dc =0 e M=1

dc =0 e 1 M > 1).

dc 0 e =1 dc

dc

> 0) o a diminuire (dc < 0) in funzione delle condizioni a valle delcondotto.

Vediamo tutto ci con vari esempiAbbiamo dato per scontato che il moto del flusso, allinterno della turbina avvenga per stadi distinti,

in cui ogni coppia di file di pale uno stadio.

Esempio 1Supponiamo di avere un condotto, a botte, costituito da una coppia di pale appartenenti allo statore(parte fissa) di un generico stadio:


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d0M 1.

Esempio 2Studiamo un altro tipo di condotto; sempre a sezione variabile (d = 0 nella gola x )

Nel diagramma a destra notiamo che la curva tratteggiata passa dal regime subsonico a quellosupersonico prima della gola; dalla relazione di Hugoniot per si evince, come gi detto, che lavelocit del suono (M = 1) si pu avere soltanto dove d = 0. Quindi la curva non pu superare il

MACH=1 prima che arrivi in x . Pu arrivare a MACH=1 solo in x e dopo x il dc pu andareoltre il MACH=1 ( >1). Naturalmente saremo noi a decidere se dopo ildc deve esseremaggiore o minore di zero, e quindi se avere un regime supersonico o supersonico, dipende dalla pressione a valle del condotto; se ad esempio alluscita la pressione bassa il fluido potrebbe passare ad >1. Il fluido risente quindi della pressione a valle del condotto.


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Vediamo di capire meglio questultimo passaggio facendo riferimento ad un ugello con pressione avalle molto minore di quella a monte, e con velocit iniziale c1 bassa (o addirittura nulla e, in ognimodo, inferiore alla locale velocit del suono a1). Fin quando M < 1, un aumento di velocit (dc > 0 e dp < 0 affinch risulti soddisfatta lequazione di bilancio energetico per una sezione) ottenibile solo se la sezione diminuisce (d < 0), cio solo seil condotto convergente. Se pero, in una certa sezione (gola) la c, aumentando, diventa pari allalocale velocit del suono a (M = 1) e se in tale sezione la pressione pc tuttora maggiore di quella pa a valle, per prolungare lespansione fino a pa (dp ancora negativo) ed accelerare ulteriormente ilfluido (dc ancora positivo), diventando c > a (M > 1), dobbiamo aumentare e non pi diminuire lasezione del condotto cos come impone la relazione di Hugoniot. Dobbiamo cio dare formadivergente al tratto dellugello successivo alla sezione in cui M ha raggiunto il valore 1.Ecco un esempio di condotto convergente divergente:

In conclusione, possiamo quindi dire, che se vogliamo unespansione che porti il fluido dallavelocit di regime subsonica a quella supersonica, dobbiamo utilizzare un condotto primaconvergente e poi divergente.

Da quanto esposto, risulta che se c 1 < a 1 (velocit del fluido e del suono in ingresso al condotto) e se il condotto solo convergente, nella sezione duscita (che sar la minima del condotto) lavelocit del fluido pu essere solo minore o al massimo uguale alla velocit del suono (nellecondizioni locali); che si verifichi luna o laltra ipotesi dipende dalle condizioni esistenti a monteed a valle del condotto.

Esempio 3:Consideriamo un generico condotto con una deviazione.

Il fluido, incontrando la deviazione, va ad urtare contro la parete. Gli urti delle particelle del fluidocontro la parete determinano delle variazioni locali di pressione.


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Questi disturbi si propagano indietro ad una velocit M=1 (velocit del suono); essendo la velocitdel fluido M1 , i disturbi con una velocit M=1 , minore della velocit del fluido,non riescono ad informare le particelle della presenza di un ostacolo. Il fluido andr ad urtare

contro la parete e si determina la formazione di unonda durto. Naturalmente londa durto unfenomeno poco gradito allinterno dei condotti perch causa di dissipazione di calore e aumentodentropia. Da questo si pu capire perch spezzettiamo in vari stadi il funzionamento di unaturbina a vapore. Se avessimo un unico stadio avremmo un salto entalpico elevato

h h3 4 1600

KJKg

con delle velocit ( )c m s

h h4 3 41800 2 =

elevate.

Quindi per ottenere basse velocit dobbiamo avere pi stadi di funzionamento per la turbina.In questo modo evitiamo possibili onde durto.

In generale possiamo affermare che i condotti di una turbina sono convergenti ed il flussosubsonico.


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Queste considerazioni mostrano la necessit di individuare le condizioni per le quali, date quelleiniziali a monte del condotto, nella sezione minima si raggiunga la velocit del suono. Ci permetter anche di dedurre le espressioni analitiche con le quali possibile calcolare le sezioni di particolare interesse di un condotto, quando, nota la natura del fluido, sono date le condizioniiniziali, nonch quelle finali e la portata massica che si desidera realizzare

Unaltra caratteristica importante dei condotti la capacit di smaltimento di portata; questo perchalla capacit di portata legata la potenza fornita da una turbina: P mL= & .

Ricordando lequazione di continuit:

&m = c = massa volumica = 1/v

chiaro che la sezione dovr variare con la legge:

= (mv) / ce in altre parole, essendo m costante (il condotto supposto impermeabile al fluido) la sezione devevariare come varia il rapportov / c.Indicando con ilpedice c le condizioni di funzionamento critiche per le quali il numero di

MACH=1 ; cio le condizioni che rendono minimo e dunque massimo il rapporto v / c avremo:

&m c c c= = c c ,T T

T T

T T

f K c c

= =0

0 1( , ) =1

c c f K = =

0

0 1( , ) =1

c

c c c c c ccc

KRT

M KRT M T T

f K M = = = =

1 ( , )

N.B.: Non scelgo

0 perch 0 si ha 00 =c .

/ c

1

1 MDallespressione precedente ricavo unequazione sulla portata massica di fluido:

( )&m KRT

RT KR T

T T T

T K R

pT

c c cc c

c

c c

c= = =

0

0

0 00

0 0

0

0questa quantit dipende dal fluido

1 24 344


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Indicando la quantit che dipende dal fluido con K , avremo:

(*) & ,m K pT

p

Qc c= =0

0

0

00 8102

Cosa ci dice lespressione trovata ?Consideriamo un generico condotto convergente, di sezione, alimentato a pressione p0 e chesbocchi in un ambiente a pressione p a < p0 (naturalmente la pressione esterna p a minore di p0 ,altrimenti il fluido non uscirebbe dal condotto; in particolare la pressione dellambiente varia da p0 a 0) Che capacit ha questo condotto di sezione di far passare fluido?

Fissando p0 e variando p a , otteniamo il diagramma:

avremo che al decrescere di p a la portata massica m andr ovviamente aumentando (tratto AB); matale aumento di m al diminuire di p a si verificher fin quando p0 > p a pc. Per pc = p a nellasezione finale si realizzer la velocit cc. A sinistra del punto B, quindi per valori di p a < pc, la portata &m costante, poich essendo in B M=1 ( p a = pc = 0.5283 p0 ) dallequazione (*) si evince

che & cosm t = , c

=1, fisso, K dipende dal fluido, p0 e T 0 sono fissi. In questa situazione

finale ( p a < pc ) si parla dugello bloccato; e tale parte del diagramma quella che ha senso. Tale andamento della curva, m = f ( p a / p0 ), vale anche per un condotto convergente divergente,come grosso modo per un semplice foro in parete sottile. Naturalmente, il diagramma delle portatesar un altro (ad esempio ABC in figura) se diversa sar la pressione p0 (e, in generale, lo statodel fluido) a monte del condotto


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Questo andamento pu essere rappresentato, limitandoci alle tre variabili p0 , p a , m, da undiagramma tridimensionale (solido o cono delle portate), rappresentato nella figura sottostante, cheda i valori della portata massica m per ogni coppia di valori ( p a ; p0 ). Come si vede il solido risultacostituito dal settore di un cono (a base ellittica o, con opportuna scelta delle scale, circolare)affiancato con una piramide a base rettangolare. (p2 p a ; p1 p0 )

Fissando, invece, il valore di p a e variando p0 , otteniamo un diagramma del genere (il trattolineare comincia in punti diversi a seconda di p a):

m

Pa 1.89 Pa P 0

Nel punto 1,89 p a il valore di M=1; e da questo punto si ha anche/c = 1; per questo motivo taletratto ha un andamento lineare.Se p0 continua a crescere il flusso continuer ad uscire con M=1, la portata invece aumenta solo perch sta aumentando la pressione a monte ( p0 ). Al variare di varia la pendenza del trattorettilineo. In particolare, aumentando aumenta la pendenza.Le linee tratteggiate in figura rappresentano diversi valori di p a . Notiamo che cambiando p a iltratto rettilineo rimane invariato (ma esso comincia in punti diversi).


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Ora col maggior bagaglio di nozione acquisite, possiamo approfondire, anche se solo in parte,ulteriormente il discorso gi fatto sul primo dei due problemi che ci siamo proposti di affrontare sindallinizio di questo capitolo.

Consideriamo un condotto convergente - divergente5 (figura a) e tenute per il momento costanti lecondizioni p0 , v0 , T 0 , c 0 a monte (misurate nella sezione 1), esaminiamo linfluenza che

sullandamento del flusso hanno le variazioni di pressione p a , esistente a valle della sezione 2duscita. Nella figura b indichiamo i diversi andamenti della pressione statica lungo il condotto perdiversi valori della pressione a valle p a .

Siano , g , c , 2 rispettivamente le aree delle sezioni rette allingresso, della gola, alluscita.Supponiamo per ora che sia sempre p a p0 e c0 < a 0, cio che la velocit allingresso sia inferiore aquella del suono (M< 1), che il moto sia unidimensionale e stazionario, che il fenomeno si possaconsiderare adiabatico e (fin quando non intervengono onde durto; che ricordiamo danno luogo ad

una generazione dentropia, con conseguente peggioramento del rendimento) isoentropico. ovvio, intanto, chese p a fosse uguale alla pressione totale p01 a monte, non vi sarebbe flusso

nel condotto ed il caso quindi non ci interessa.

Ma se p a inferiore a tale valore , data la forma del condotto e M< 1, secondo quanto gi si dedotto dalla relazione di Hugoniot nel tratto convergente il fluido aumenta di velocit.

Se per p a non sufficientemente pi basso della pressione totale p01, nella gola non siraggiunge la velocit del suono, Mag < 1 e, di conseguenza, essendo ivi d = 0, anche dc deve

5 da quanto sar detto per il condotto convergente divergente facile infatti dedurre anche il comportamento di uncondotto solo convergente.


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essere nulla e nel successivo tratto divergente allaumento di corrisponder una diminuzionedi c. landamento delle pressioni sar quello della curva indicata con A. Tale curva andrabbassandosi fin quando p a non avr assunto il valore p B , valore per il quale nella gola siraggiunge la velocit del suono a. Ci troviamo pertanto nella condizione per cui nella relazione diHugoniot sia d, sia dc, sia ( M 1) sono contemporaneamente uguali a zero. Nel trattodivergente la pressione, che era scesa nella gola al valore critico pc, risale gradualmente al valore

p2 = p B = p a .

E chiaro che in questi primi due casi esaminati, il condotto non risultava n della forma ndella lunghezza necessaria per far avvenire lespansione dalla pressione iniziale a quella p A o,rispettivamente, p B nel modo migliore. Sarebbe, infatti, bastato un solo tronco convergente (1,1B nella figura a) .

Supponiamo ora che la pressione p a sia pari a p D, minore di p c , e che la sezione 2 sia statacalcolata in modo da avere in essa proprio la pressione ambiente, cio p a = pD = p2 = pc. Nella

gola si avr: p = p c; c c = a c , M ag = 1, ma essendo anche questa volta d = 0 ed ( M ag 1) = 0 larelazione di Hugoniot soddisfatta pure se dc>0, la velocit continua poi a crescere anche neltronco divergente (in accordo con la relazione di Hugoniot) e diventa supersonica, mentre la pressione continua a decrescere gradualmente da pc a p a = pD = p2.Il flusso dunque passato gradualmente da subsonico a supersonico e si pu affermare cheil condotto era di lunghezza esatta.

Se la pressione p a compresa fra il valore p B e quello p D nasce un fenomeno nuovo legato aicomplessi problemi relativi alle velocit supersoniche quando in seno al fluido ha origineuna perturbazione (onda di Mach, onde durto) provocata da fenomeni indotti, come quello al

quale si sta per accennare, ovvero ad una discontinuit, se si tratta di un condotto (il bordodingresso o duscita, ad esempio, se c1 o c2 sono supersoniche) o in altri casi, dalla presenza odalla brusca alterazione superficiale di un ostacolo (lo spigolo dingresso o duscita di unala, ades.). Infatti, per una pressione p a = p E (minore di p B ma maggiore di p D) landamento della pressionesegue quello della curva 1CD, ma solo fino ad una certa sezione QQ del tratto divergente,sezione la cui posizione dipende dal valore del rapporto pE / p1. In questa sezione si verifica,infatti, una discontinuit brusca (onda durto normale) in essa, cio repentinamente, in unospessore estremamente piccolo nella direzione dellasse x, la pressione aumenta da pQ a p B, lavelocit da supersonica diventa improvvisamente subsonica e pertanto, in accordo con larelazione di Hugoniot, nel tronco successivo Q2 la pressione sale gradualmente (curva RES) da

p R a p E , mentre la velocit diminuisce anchessa gradualmente.Il verificarsi di questo fenomeno spiegabile tenendo presente la viscosit del fluido ed unimprovviso aumento dentropia dovuto ai fenomeni dissipativi e irreversibili causati sia dallaviscosit sia dal gradiente finito e notevole di temperatura che ivi si genera. Naturalmente in un condotto vero con fluido reale, per effetto dellinevitabile strato limiteaderente alla parete6 non si riesce ad ottenere unonda durto perfettamente piana e normaleallasse del condotto, ma si hanno delle onde oblique.

6 Strato nel quale la velocit scende al di sotto di quella del suono fino ad annullarsi sulle pareti in esso, quindi , per ilmoto subsonico, non possibile la formazione donde durto - le quali lo ripetiamo possono avere origine quando si (almeno a monte di esse) in regime supersonico.


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Fatta esplicita e netta eccezione per i casi in cui con velocit supersoniche si avessero ondedurto (fenomeno per sua natura spiccatamente irreversibile, che da luogo ad un bruscoaumento dentropia), fino ad ora abbiamo supposto che lespansione, con conversione denergia potenziale in cinetica (ovvero la compressione, conseguente a conversione denergia cinetica in potenziale) avvenisse senza attriti e che la trasformazione seguita dal fluido fosse una politropica

reversibile.In particolare ci siamo in genere riferiti al caso delladiabatica reversibile (adiabaticaisoentropica) che quale trasformazione limite di riferimento presenta uno speciale interessenello studio delle macchine a fluido.Ma chiaro che indipendentemente dalleventuale presenza donde durto avendo a che farenelle applicazioni con fluidi reali (e quindi viscosi) le perdite per attrito non saranno mai nulle(La 0) e se com frequente le velocit sono elevate, esse non saranno in genere neppuretrascurabili. Non entreremo nel merito di come queste perdite per attrito possono essere calcolate in base airisultati sperimentali che caso per caso la tecnica ha acquisito. Diremo solo che, se si volessetener conto nella trattazione precedente della viscosit, dovremmo ad esempio aggiungere(algebricamente) nella relazione di partenza lespressione delle perdite in funzione della velocite sostituire a k lesponente m della politropica reale. Qualitativamente il fenomeno non cambia,ma in unespansione mentre la velocit del suono sar raggiunta un po dopo la sezioneristretta, la velocit c2 sar minore di quella che si sarebbe avuta in condizioni reali.Cos pure nel caso di un diffusore una parte della variazione denergia cinetica sar convertitain calore e pertanto pur a parit dih e di c laumento di pressione risulter minore diquello corrispondente alladiabatica reversibile.Risulter tuttavia molto pi semplice e di solito sufficiente in pratica accettare le formulededotte per il fenomeno reversibile per ogni singolo tratto del condotto (ad esempio, nel caso diuna turbomacchina, per ciascuna fila di palette, fissa o mobile), ma correggere i valori dellavelocit (e quindi del volume specifico, delle sezioni) con opportuni coefficienti correttivi datidallesperienza.


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ESERCIZIO:

&mkg s

=10 p bar

T C

cm s

1

1

1

4600

142 15

==

= ,

p bar 2 2 62= ,

h

s

600C1/22

C2/22

4 bar

2.62 bar

3,592)275600(2874,111 =+== KRT a

24,01

11 == a

c M M 1 1<

p p

p p

p p

2

0

2

1

1

0

2 624

0 9607 0 63= = =, , ,

84,02 = M

& ,m K pT

pQc c

= =00

0

00 8102

, 1 2 1

2

4414

= = cm D .

Date post:	01-Mar-2018
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Cap 05 - Lo Scambio Di Lavoro Nelle Macchine

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