137 CAPITOLO SESTO L’ANALISI NUMERICA 6.1 INTRODUZIONE In questo capitolo si relaziona sulle analisi numeriche e sintetico-grafiche effettuate sul complesso strutturale del Tempio di San Biagio. L’attenzione e’ stata rivolta al sistema cupola-tamburo-archi-pilastri, al fine di dare ragione del quadro fessurativo riscontrato sui quattro pilastri d’angolo, che evidenzia un fenomeno in essere di schiacciamento, come già abbondantemente evidenziato dalla specifica relazione sul quadro fessurativo. Come base di rilievo, si e’ fatto riferimento al già citato lavoro di Tesi dell’Architetto Jacopo Meloni , “ La Madonna di San Biagio (Montepulciano): dal rilievo al disegno”, relatrice la Prof.ssa Maria Luisa Bartoli (A.A. 2003-2004. Facoltà di Architettura. Università degli Studi di Firenze). 128-Il Tempio di San Biagio, Montepulciano Partendo dall’alto, si e’ dapprima analizzata la cupola, poi il sistema cupola-tamburo. Le azioni al piede di quest’ultimo sono state poi applicate agli
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CAPITOLO SESTO
L’ANALISI NUMERICA 6.1 INTRODUZIONE
In questo capitolo si relaziona sulle analisi numeriche e sintetico-grafiche
effettuate sul complesso strutturale del Tempio di San Biagio. L’attenzione e’
stata rivolta al sistema cupola-tamburo-archi-pilastri, al fine di dare ragione del
quadro fessurativo riscontrato sui quattro pilastri d’angolo, che evidenzia un
fenomeno in essere di schiacciamento, come già abbondantemente evidenziato
dalla specifica relazione sul quadro fessurativo.
Come base di rilievo, si e’ fatto riferimento al già citato lavoro di Tesi
dell’Architetto Jacopo Meloni , “ La Madonna di San Biagio (Montepulciano): dal
rilievo al disegno”, relatrice la Prof.ssa Maria Luisa Bartoli (A.A. 2003-2004.
Facoltà di Architettura. Università degli Studi di Firenze).
128-Il Tempio di San Biagio, Montepulciano
Partendo dall’alto, si e’ dapprima analizzata la cupola, poi il sistema
cupola-tamburo. Le azioni al piede di quest’ultimo sono state poi applicate agli
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arconi sottostanti, al fine di effettuare una corretta valutazione della spinta
risultante sui pilastri d’angolo, per poi fare qui le considerazioni conclusive sul
livello di carico, risultato delle analisi.
La cupola e il sistema cupola-tamburo sono stati analizzati con un codice
di calcolo a elementi finiti (Straus7), in campo elastico lineare, al fine di dare
una valutazione di prima approssimazione sui relativi livelli tensionali e così
mettere in evidenza eventuali zone di debolezza della muratura, in relazione
alle sollecitazioni di trazione.
Gli arconi sottostanti invece, sono stati trattati utilizzando un altro codice
di calcolo, questa volta specifico per le murature (SVM, www.aedes.it ), che si
rifà alla teoria sulla stabilità degli archi in muratura di J. Heyman. Si rimanda ai
riferimenti bibliografici per una approfondimento della basi teoriche da cui
discende l’algoritmo di calcolo.
Considerazioni sintetico grafiche elementari hanno poi permesso di trarre
le conclusioni sullo stato tensionale lungo l’altezza dei pilastri d’angolo.
6.2 LA MODELLAZIONE DELLA CUPOLA
129- Prospetto – Rilievo Meloni (2003)
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130- Sezione della cupola ipotizzata
Sulla base delle ipotesi fatte nel capitolo precedente sulla cupola, quindi
considerandola costituita da una doppia calotta con intercapedine che si
interrompe in corrispondenza degli assi cardinali nord-sud, est-ovest andando a
formare così quattro costoloni pieni, la cupola stessa e’ stata modellata con
Straus7, dividendola idealmente in 36 spicchi, dei quali 4 corrispondono agli
arconi pieni (angolo al centro 4°) e 32 agli arconi con la presenza di
intercapedine (angolo al centro 10,75°).
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131-Straus7 – Modello complessivo della cupola
132-Straus7 – I quattro arconi pieni
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133- Straus7 – Quattro dei trentadue spicchi con intercapedine
Complessivamente la cupola, con la lanterna, e’ stata modellata
utilizzando elementi brick (32104 bricks e 36977 nodi), con condizioni di
incastro perfetto al piano di imposta. E’ stata sottoposta alla condizione di
carico derivante dal solo peso proprio, e risolta, come già detto, in campo
elastico lineare. Si riportano di seguito gli elementi ponderali e i coefficienti
elastici assunti per i vari materiali.
Peso Specifico
(Kg/mc) Modulo E (Kg/cm)
Modulo ν
Muratura 1800 30000 0.20
iRivestimento in lastre travertino
2200 500000 1/8
Tabella 1
Il peso complessivo della cupola con la lanterna risulta essere di circa
725 tonnellate (va ricordato però che e’ stata considerata come quota di
imposta quella immediatamente superiore ai finestroni strombati del tamburo,
come peraltro si evince dal modello solido dello Straus7). Gli spostamenti
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risultano assolutamente trascurabili, non raggiungendo il millesimo di cm (quelli
verticali). Per ciò che attiene al livello tensionale, si registrano le max tensioni
principali di trazione lungo i paralleli della fascia basamentale di imposta (σ11 =
2.9 kg/cmq), mentre quelle di compressione si registrano alla base dei meridiani
(σ33 = -11,02 kg/cmq). Nelle altre zone il livello tensionale è ovunque basso e il
complessivo quadro tensionale ovunque accettabile e compatibile.
134- Straus7 – Tensioni principali σ11 nella cupola : mappatura
143
135- Straus7 – Tensioni principali σ11 nella cupola : direzioni
136-Straus7 – Tensioni principali σ22 nella cupola : mappatura
144
137- Straus7 – Tensioni principali σ22 nella cupola : direzioni
138- Straus7 – Tensioni principali σ33 nella cupola : mappatura
145
139- Straus7 – Tensioni principali σ33 nella cupola : mappatura e direzioni 6.3 IL COMPLESSO CUPOLA-TAMBURO
Similmente e’ stato analizzato l’insieme costituto dalla cupola e dal
tamburo sottostante, fino alla quota corrispondente al piano di estradosso dei
quattro arconi interni. Sono stati utilizzati questa volta 44156 elementi bricks
con 50433 nodi. Il tamburo e’ stato considerato vuoto per pieno, ritenendo
ininfluenti, rispetto al complesso delle masse ponderali, le aperture e le lacune
corrispondenti alle nicchie esterne. In tal modo il peso complessivo e’ risultato
pari a 3527 tonnellate. Gli spostamenti risultano anche in questo caso
trascurabili.
Lo stato tensionale conferma che le massime tensioni di trazione si
hanno in corrispondenza dei paralleli di imposta della cupola (σ11 = 5.14
kg/cmq), lungo la direzione dei paralleli, e precisamente in corrispondenza dei
quattro costoloni privi di intercapedine (cfr. fig. 132). I livelli massimi per la
compressione si riscontrano, come e’ naturale, ai piedi del tamburo (σ33 = -
16.13 kg/cmq).
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140-Straus7 – Modello solido dell’insieme cupola-tamburo
141-Straus7 - Mappatura degli spostamenti radiali
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142- Straus7 - Mappatura degli spostamenti verticali
143- Straus7 – Tensioni principali σ11 nell’insieme cupola-tamburo: mappatura
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144- Straus7 – Tensioni principali σ11 nell’insieme cupola-tamburo: ingrandimento della zona
più sollecitata
145-Straus7 – Tensioni principali σ33 nell’insieme cupola-tamburo: mappatura
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146- Straus7 – Tensioni principali σ33 nell’insieme cupola-tamburo: direzioni
6.4 GLI ARCONI DI SCARICO
Le reazioni d’incastro ai piedi del complesso cupola-tamburo, analizzato
col codice Straus7, sono poi state applicate alla struttura sottostante. In
particolare e’ stato analizzato il singolo arcone a tutto sesto che, insieme al
pennacchio, costituisce l’elemento costituente il complesso di scarico delle
azioni sui quattro pilastri d’angolo.
Stante le ritrovate condizioni di simmetria diagonale, si e’ potuto
analizzare un solo arcone. L’arco, a tutto sesto, imposta ad una quota di metri
12.25 dal pavimento del Tempio, e’ profondo cm 215 e spesso cm 90.
La stabilità dell’arco e’ stata studiata con un codice di calcolo che si rifà
alla teoria sulla stabilità degli archi di J. Heyman (SAV2000, www.aedes.it )1.
L’arco e’ stato dapprima considerato piano, riducendo le azioni al piano
verticale mediano. Le condizioni di carico sono riferite al carico trasmesso dal
complesso superiore cupola-tamburo, al peso proprio dell’arco-parete, nonché
1 GALASSI S., PARADISO M., TEMPESTA G., SAV2000, SVM, software per le murature, Aedes spa, San Miniato (Pi), www.aedes.it
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alle azioni trasmesse dal pennacchio, valutando che il pennacchio ritrasmette le
azioni provenienti dal sistema cupola-tamburo agli archi stessi, a quote
opportune. Nelle figura 147 e’ evidenziato il poligono funicolare che ne risulta,
stante le ipotesi proprie della teoria di Heyman. Si vede come l’arco abbia la
tendenza a fessurarsi nell’intradosso in chiave. Ciò e’ puntualmente
riscontrabile nell’arcone verso il fronte est, dove e’ aperta una lesione siffatta
(cfr. foto 148), in conseguenza del manifestarsi in epoca storica delle lesioni
verticali sullo stesso fronte, che costrinsero alla messa in opera delle grosse
catene alla quota di imposta degli arconi. L’intradosso in chiave e’ comunque un
punto di debolezza di un arco a tutto sesto caricato simmetricamente.
147-SAV2000 – Poligono delle pressioni dell’arcone di scarico
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148-La lesione in chiave in intradosso dell’arcone est
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Il massimo sforzo di trazione si riscontra evidentemente alle imposte ed
e’ di circa 564000 kg, pari ad una tensione nominale di compressione di circa
30 kg/cm. Gli angoli di scorrimento permettono di escludere qualsiasi crisi per
scorrimento fra i conci.
150- SAV2000 – Diagramma degli angoli di scorrimento nelle sezioni di controllo
Date le dimensioni dell’arco e soprattutto il suo notevole spessore, si e’
analizzata la stessa struttura con il codice SAV (www.aedes.it), che permettere
di risolvere, sotto le stesse ipotesi di Heyman, sistemi voltati in muratura,
analizzando archi e volte nel loro comportamento spaziale. In questa maniera,
per la struttura in questione, e’ stato possibile valutare l’esatta posizione dei
centri di pressione nella profondità dell’arco e soprattutto la forza orizzontale,
contenuta nel piano di imposta e ortogonale al piano di sviluppo verticale, che
esercita una azione ribaltante fuori piano sull’arco parete. Ciò al fine di
escludere qualsiasi instabilità in questa direzione. In definitiva, ciascun
semiarco, trasferisce al pilastro d’angolo sottostante, alla quota del piano
d’imposta ( cm. +1225 ), una azione verticale pari a kg 399000 ed una azione
orizzontale pari a kg 184237. Trascurabili risultano le azioni orizzontali fuori
piano.
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Accertata la stabilità dell’arcone e valutate le sue azioni sul pilastro
d’angolo, si può allora esaminare lo stato di sollecitazione dell’elemento
161- Straus 7-Distribuzione delle tensioni sui pilastri ed sul cornicione (non in tabella).
162- Straus 7-STEP 1 Distribuzione delle tensioni sul carter in travertino.
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163- Straus 7-STEP 1 Distribuzione delle tensioni nel sacco.
164- Straus 7- STEP 2-Distribuzione delle tensioni sul rivestimento in travertino, con
E=10000 kg/cm2 per un terzo dell’altezza.
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165- Straus 7-STEP 2 distribuzione delle tensioni nell’intero sacco.
166- Straus 7-STEP 2- Simulazione della perdita delle capacità meccaniche dei materiali di riempimento con modulo di elasticità che passa dai 30000 kg/cm2 ai 10000 kg/cm2 per un terzo dell’altezza.
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167- Straus 7STEP 3- Distribuzione delle tensioni sul rivestimento in travertino, con 10000 kg/cm2 per i due terzi dell’altezza.
168- Straus 7-STEP 3 La distribuzione delle tensioni nel sacco interno.
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169- Straus 7-STEP 3 Degrado simulato ai 2/3 dei pilastri.
170- Straus 7-STEP 4 Ripartizione delle tensioni nel carter di travertino.
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171- Straus 7STEP 4 Degrado del materiale di riempimento simulato per l’intera altezza dei pilastri.
172- Straus 7-STEP 5- Simulazione della completa assenza del sacco.
6.6.2 I CENTRI DI PRESSIONE
Con il programma di calcolo strutturale ad elementi finiti Straus 7,
abbiamo, come già detto, modellato e analizzato, al di sotto degli archi di
scarico, i quattro pilastri d’angolo. Poco sarebbe cambiato - in termini di
coordinate di centri di pressione – a fronte dell’aggiunta di “sole” 110t di peso
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relativi ad ogni pilastro, nei confronti, ricordiamo, dei 1.200.000 kg di spinta
derivati dalla somma degli elementi cupola-tamburo, pennacchi, archi di
scarico. Come già precedentemente accennato, volevamo conferma della
esatta posizione dei centri di pressione nei casi, che il sacco in muratura
avesse o no funzione portante. La determinazione dei centri è importante -
precisiamo - per stabilire quale sia l’elemento strutturale – muratura o travertino
– che deve resistere alle sollecitazioni. I pilastri una volta modellati, sono stati
vincolati a terra e posteriormente, per simulare rispettivamente, gli incastri ideali
struttura-fondazioni e pilastro- pareti. A partire dall’output numerico di Straus7,
un programma in GWBASIC scritto ad hoc, ha calcolato i risultanti delle tensioni
per ogni elemento brick e la successiva posizione, nelle varie condizioni
ipotizzate, dei centri di pressione sulla sezione resistente totale. Questi, hanno
dato conferma, per valori di approssimazione più che accettabili, di trovarsi
praticamente collocati nei punti calcolati precedentemente con il metodo
sintetico-grafico.
173- Straus 7- Output di calcolo
6.7 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
La sezione considerata, alla testa del pilastro d’angolo, e’ la più
significativa per valutare gli effetti delle azioni sul pilastro sottostante e per
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confrontarli con il quadro fessurativo rilevato. Infatti al piede dello stesso
pilastro, il carico verticale complessivo portato, si incrementa del solo peso
proprio del pilastro, in ragione di “soli” 113000 kg, che costituiscono meno del
10% del carico sopportato in sommità. Questo per dire che la situazione al
piede del pilastro non cambia molto e che e’ dunque sulla sommità che devono
essere rivolte le nostre considerazioni conclusive.
Il livello tensionale accertato evidenzia come la ipotesi 2 (cfr tab. 3-4)
risulti compatibile con il quadro fessurativo, caratterizzato da lesioni per
schiacciamento che interessano sopratutto le semicolonne.
Dunque rimane confermata la ipotesi che il sacco interno, allo stato
attuale, non sia elemento collaborante alla resistenza. E’ opportuno però fare a
riguardo alcune considerazioni supplettive e alcune precisazioni.
E’ probabile che questo fenomeno non sia diffuso per tutto il sacco, che la
situazione reale sia intermedia tra quella corrispondente alla ipotesi 1 e
quella corrispondente alla ipotesi 2., ma e’ certo che il comportamento del
pilastro sta velocemente evolvendo verso la seconda;
Il livello tensionale accertato nella ipotesi più dannosa, che manterrebbe
un qualche residuo coefficiente di sicurezza, può aumentare notevolmente
(fino al doppio) in zone dove la porosità del travertino o la cattiva qualità
dei giunti di allettamento della malta, offrano ancora una minore
resistenza. Ed e’ probabile che da questi punti si sia innescato il fenomeno
fessurativo;
Le bozze di pietra di travertino non hanno le facce a squadro ma piuttosto
assumono la forma di cuneo, quasi a voler suggerire una tecnologia
costruttiva “a incastro”. Questo fatto, pur pregevole in sé, al manifestarsi di
quanto descritto nel punto precedente, può avere favorito l’allentarsi dei
giunti fra le pietre ed avere innescato il cinematismo che porta a rilevare in
alcuni elementi (punti di angolo interno e le stesse semicolonne) il classico
“spanciamento”;
Il fatto che il sacco non collabori in toto o in parte alla resistenza può
essere dipeso da un diverso comportamento, rispetto al paramento in
travertino, in relazione ai fenomeni di imbibimento del terreno di
fondazione e al drenaggio della acque meteoriche, problema del quale e’
rimasta ampia traccia nei documenti storici legati al Tempio, ma del quale
si sa ancora abbastanza poco.
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Tutto questo considerato, una qualsiasi ipotesi sul consolidamento che
tenda a ridare continuità tra il paramento esterno e il sacco interno dei pilastri,
deve essere necessariamente preceduta da alcune indagini atte a:
• conoscere più a fondo la consistenza del sacco, monitorando tutti e
quattro i pilastri per tutta la loro altezza con tecniche non distruttive;
• accertare natura e consistenza delle fondazioni che, come osserva la
relazione geologica che risale a ben 20 anni fa, parrebbero non esistere, nel
senso che la base fondale si troverebbe a soli 80 cm sotto il pavimento e senza
alcuna risega;
• conoscere in modo definitivo il comportamento del masso terroso sui
cui fonda l’intero Tempio di San Biagio.
Nessuna delle ultime tre considerazioni e’ una novità. Leggendo e
studiando i documenti storici legati a San Biagio, si ha la sensazione di essere
continuamente invitati e sollecitati in quella direzione. Crediamo che non si
