Formulario FTLC Capitolo 2 Prof. Giovanni Schembra
1
FORMULARIO CAPITOLO 2 V.08 26/05/2005 CARATTERISTICHE DEI SEGNALI Media temporale Media temporale per segnali periodici
( ) ( )dttwT
twT
TT ∫−∞→=
2
2
1lim ( )( )
( )( )dttw
Ttw
aT
aT∫+
+−=
2
20
1
dove a è una costante reale arbitraria. Vale
anche per 0=a
Valore medio temporale (o componente continua) di un segnale )(tw
Valore medio temporale per una forma d’onda fisicamente realizzabile
Valore efficace (rms)
)(twWW dcm == dttwtt
Wt
tm )(1 2
112∫−
= 2)(twWeff =
DeciBel dBm Guadagno in deciBel di un circuito
in
out
PPdB 10log10=
in
out
VV
dB 10log20=
Rapporto segnale/rumore in dB
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
rumoreeff
segnaleeff
rumore
segnaledB V
VPP
NS,
,1010 log20log10
Livello di potenza in dBm
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −310 10
in Watt media Potenzalog10dBm
Fasori Dato un segnale sinusoidale ( ) tj
c ectctw 0Recos)( 0ωθω =+=
FASORE cjecc θ= FASORE ROTANTE: tjec 0ω
Convoluzione
( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞
∞−τττ
Funzioni ORTOGONALI
nmnmn
b
aKdttt δϕϕ =∫ )()( * dove:
⎩⎨⎧
=
≠=
mn
mnnm
se1
se0δ Delta di Kronecker
Se ⇒= 1nK FUNZIONI ORTONORMALI
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2
TRASFORMATA DI FOURIER E SPETTRI TRASFORMATA DI FOURIER
dtetwtwfW ftj π2)()()( −+∞
∞−∫=ℑ= detta anche spettro bilatero di )(tw
in FORMA RETTANGOLARE
)()()( fYjfXfW +=
in FORMA POLARE )()()( fjefWfW θ=
)()()( 22 fYfXfW +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
)()(tan)( 1
fXfYfθ
ANTITRASFORMATA DI FOURIER
dfefWtw tfj π2)()( ∫+∞
∞−=
PROPRIETÀ Simmetria Hermitiana:
se )(tw è REALE
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=−
=−
⇒
)()( cioè DISPARI è )(
)()( cioè PARI è )(
)()( *
fff
fWfWfW
fWfW
θθθ
se )(tw è REALE e PARI )( fW⇒ è REALE e PARI
se )(tw è REALE e DISPARI )( fW⇒ è IMMAGINARIA PURA (e dispari)
TEOREMI UTILI Teorema di Parseval
dffWfWdttwtw )()()()( *21
*21 ⋅=⋅ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
Teorema di Raileigh
dffWdttwE 22 )()( ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−== per il calcolo dell’energia nel dominio
della frequenza
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ENERGIA E POTENZA Potenza istantanea associata ad un circuito
)()()( titvtp ⋅=
Potenza media Potenza per carichi resistivi )()()( titvtpP ⋅==
effeffeffeff IVRIR
VRti
Rtv
P ⋅=⋅==⋅== 22
22
)()(
Potenza media normalizzata Potenza di picco (potenza per Ω=1R )
dttwT
twPT
TT
22
2
2 )(1lim)( ∫−∞→==
dove )()( tvtw = oppure )()( titw =
)()(maxpicco titvP ⋅=
Energia normalizzata totale Segnali a potenza o a energia finita
dttwET
TT
22
2)(lim ∫−∞→
= Se )(tw ha P finita ∞=⇒ E E finita 0=⇒ P
Potenza normalizzata per un segnale periodico Densità spettrale di potenza
(DSP) per un segnale periodico 22)( n
nw ctwP ∑
+∞
−∞=
== ( )02)( fnfcf n
nw −= ∑
+∞
−∞=
δP
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DENSITÀ SPETTRALE DI ENERGIA E POTENZA – FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE Densità spettrale di energia (DSE)
2)()( fWfw ≡E
Densità spettrale di potenza (DSP)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
∞→ TfWf T
Tw
2)(lim)(P dove:
• )()( twfW TT ℑ=
• ⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π⋅=
>
≤=
Tttw
Tt
TttwtwT )(
se02
se)()(
Relazione IMPORTANTE
)0()()( 22wwweff RdffWtwP ==== ∫
+∞
∞−P
Funzione di autocorrelazione Teorema di Wiener-Khintchine
))()(1lim)()()(2
2dttwtw
TtwtwR
T
TTww τττ +⋅=+⋅= ∫−∞→
)()( fR www P=ℑ τ
DSP di una sinusoide o di una cosinusoide ( ) ( )tAtw 0sin ω= oppure ( ) ( )tAtw 0cos ω=
( ) ( )[ ]00
2
0
2
4cos
2)( ffffAAfw ++−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ℑ= δδτωP
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SEGNALI NOTEVOLI Funzione DELTA di DIRAC DEFINIZIONE 1:
)0()()( wdxxxw =∫∞
∞−δ
DEFINIZIONE 2:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=∞==∫
∞
∞− 0 se0
0 se)( 1)(
x
xxdxx δδ
DEFINIZIONE 3:
dyex yxj πδ 2)( ±∞
∞−∫=
PROPRIETÀ CAMPIONATRICE
)()()( 00 xwdxxxxw =−∫∞
∞−δ
Segnale a gradino unitario
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=
>
=
0 se0
0 se21
0 se1
)(
t
t
t
tu
NOTA:
)()(
)()(
ttudtd
tudxxt
δ
δ
=
=∫ ∞−
Segnale segno
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−
=
>
=
0 se1
0 se0
0 se1
)sgn(
t
t
t
t
Segnale impulso rettangolare
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤≡⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π
2 se0
2 se1
Tt
Tt
Tt
SPETTRO )(sinc)( fTTfW =
Segnale impulso triangolare
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−≡⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
Tt
TtTt
Tt
se0
se1
SPETTRO )(sinc)( 2 fTTfW =
Segnale )(xSa
x
xxSa sin)( =
SPETTRO
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π→
Tf
TtTSa 1)(π
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Segnale )(sinc x
( )x
xxππsin)(sinc =
SPETTRO
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π→
Tf
TtT 1)(sinc
Impulso esponenenziale
( )⎩⎨⎧
<≥
=−
000
tte
twt
SPETTRO
( )fj
fWπ21
1+
=
Sinusoide smorzata
SPETTRO
Impulso sinusoidale
SPETTRO
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=F
ffF
ffTAjfW 00 sincsinc2
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( )ϕπ +tfa 02sin ( ) ( )[ ]0021 ffeffeaj jj −−+ +− δδ ϕϕSinusoide
Cosinusoide
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SERIE DI FOURIER Un segnale ENERGIA FINITA può essere rappresentato in ] [0, Taa + dalla serie di Fourier
tjnn
nectw 0)( ω∑
+∞
−∞=
=
[rappresentazione in forma complessa]
dove
dtetwT
c tjnTa
an00 )(1
0
ω−+
∫⋅=
sono i COEFFICIENTI COMPLESSI DELLO SVILUPPO
Serie di Fourier in forma rettangolare
tnbtnatw nn
nn
01
00
sincos)( ωω ∑∑+∞
=
+∞
=
+=
dove
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥⋅
=⋅=
∫
∫+
+
1 secos)(2
0 se)(1
00
00
0
ndttntwT
ndttwTa
Ta
a
Ta
a
n
ω
dttntwT
bTa
an 00
sin)(2 0 ω∫+
⋅=
Relazione forma rettangolare <> forma complessa
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
==
1 seRe2
0 se0
nc
nca
n
n
1 Im2 ≥−= ncb nn
Teorema di Parseval
22
0
)(1 0
nn
Ta
acdttw
TP ∑∫
+∞
−∞=
+=⋅=
Se la forma d’onda è PERIODICA 1. con periodo 0T , la rappresentazione vale su
tutto l’asse temporale 2. la scelta di a è arbitraria (es. 0=a ,
20Ta −= )
3. Frequenza fondamentale: 0
01T
f =
4. n-esima armonica: 0fnfn = 5. 0c : valore medio della forma d’onda
PROPRIETÀ Se )(tw è REALE *
nn cc −=⇒ Se )(tw è REALE e PARI nc⇒ REALI Se )(tw è REALE e DISPARI ⇒ nc⇒ IMMAGINARI PURI
Trasformata di Fourier di un segnale periodico di periodo 00 1 fT =
( )0)( fnfcfW nn
−= ∑+∞
−∞=
δ SPETTRO A RIGHE
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COEFFICIENTI DI FOURIER di un segnale periodico dalla trasformata di Fourier di una porzione di segnale limitata ad un singolo periodo
)( 00 fnHfcn =
dove ( ) tjnn
nn
ecnTthtw 00)( ω∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
=−=
⎪⎩
⎪⎨⎧ <
=altrimenti0
2 se)(
)(0Tttw
th
( ) )(thfH ℑ=
Potenza normalizzata per un segnale periodico Densità spettrale di potenza
(DSP) per un segnale periodico 22)( n
nw ctwP ∑
+∞
−∞=
== ( )02)( fnfcf n
nw −= ∑
+∞
−∞=
δP
ONDA QUADRA o TRENO DI IMPULSI RETTANGOLARI
Coefficienti di Fourier
( )2sinc2
neAc jnn
π−=
Trasformata di Fourier
DSP
( ) ( )02
2
2sinc2
)( fnfnAfn
w −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
+∞
−∞=
δP
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Densità spettrale di potenza per un treno di impulsi rettangolari
PRIMA FORMULA DI SOMMA DI POISSON
( ) tkfj
knefkXfnTtx 02
000 )( π∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
=− Repliche nel tempo e campionamento in frequenza
SECONDA FORMULA DI SOMMA DI POISSON
( )sks
fTnjs
n
TkfXT
eTnx s −⋅= ∑∑+∞
−∞=
−+∞
−∞=
1)( 2π Campionamento nel tempo e repliche in frequenza
SEGNALE PETTINE
( ) ( )sn
T nTtts
−= ∑+∞
−∞=
δδ~ TRASFORMATA DI
FOURIER ( ) ( )sns
sk
fnfT
Tkt −=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−ℑ ∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
δδ 1
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SEGNALI A BANDA LIMITATA Segnale a banda limitata 0)( =fW per Bf ≥
Segnale a durata limitata 0)( =tw per Tt ≥
TEOREMA: Se un segnale è a BANDA LIMITATA, allora NON è di DURATA LIMITATA Se un segnale è di DURATA LIMITATA, allora NON è a BANDA LIMITATA
INTERPOLAZIONE DI UNA SEQUENZA
( ) [ ] ( )sn
nTtpnwtw −⋅= ∑+∞
−∞=
ˆ dove [ ] ( )snTwnw =
INTERPOLAZIONE A MANTENIMENTO
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Π=
s
s
TTttp 2
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅= ∑+∞
−∞=
−
sk
fTjs T
kfWeTffW sπsincˆ (Distorsione del segnale originale)
INTERPOLAZIONE A SENO CARDINALE
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Π=
ss f
fTfP
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Π= ∑
+∞
−∞= sks TkfW
fffW (assenza di distorsione se si filtra nella banda di interesse)
TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO: Se un segnale )(tw è a BANDA LIMITATA B, può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la frequenza di campionamento sia: Bfs 2≥
Infatti si ha:
[ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∑
+∞
−∞= s
s
n TTntnwtw sinc)(ˆ
dove [ ] ( )snTwnw =
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Campionamento ideale mediante impulsi delta di Dirac
Definiamo ( ) ( ) ( )ssn
sn
s TntTnwTnttwtw −⋅=−⋅= ∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
δδ)()(
Allora: ( )sns
s fnfWT
fW −⋅= ∑+∞
−∞=
1)(
TEOREMA DELLA DIMENSIONALITÀ: Quando il prodotto 0TB è grande, un segnale reale può essere completamente specificato da
02 TBN =
informazioni indipendenti che descrivono il segnale su un intervallo di durata 0T .
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SISTEMI LINEARI Legame ingresso-uscita
)(*)()( thtxty = )()()( fHfXfY ⋅=
Spettro della risposta di un segnale periodico
Se ( )0)( fnfcfX nn
−= ∑+∞
−∞=
δ
ALLORA
( )00 )()( fnffnHcfY nn
−= ∑+∞
−∞=
δ
DSP all’uscita di un sistema lineare )()()( 2 ffHf xy PP ⋅=
Risposta in potenza di un sistema lineare
2)()()(
)( fHff
fGx
yh ==
P
P
Trasmissione senza distorsione
( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
−=
−
−
dfHTfj
Tfj
d
Tf
fH
eAfH
efXAfY
TtxAty
d
d
ˆ2
costante)(
)(
)()(
ˆ)(
)(ˆ2
ˆ2
πθπ
π
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DEFINIZIONI DI BANDA
1. BANDA ASSOLUTA di un segnale rigorosamente limitato in banda: 12 ffB −= dove:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤>
><=
21
21
per 0)(
e per 0)(
ffffW
fffffW
2. BANDA A –3 dB di un sistema: 12 ffB −= dove:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤≥
><<
21
21
per )(max2
1)(
e per )(max2
1)(
ffffHfH
fffffHfH
3. BANDA A –6 dB di un segnale: 12 ffB −= dove:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤≥
><<
21
21
per )(max21)(
e per )(max21)(
ffffXfX
fffffXfX
4. BANDA AL PRIMO NULLO per i segnali in banda base
fB
)( fW
5. BANDA NULLO-NULLO per i segnali in banda passante:
6. BANDA A –x dB:
12 ffB −= dove:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤≥
><<
21
21
per )(max del )(
e per )(max del )(
ffffHdBxfW
fffffHdBxfW
7. BANDA AL 99%: 12 ffB −= dove 1f e 2f delimitano l’intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale
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FORMULARIO DI ANALISI I [inserito da Emilio Pavia]
1. Trigonometria
Formule di addizione:
( ) βαβαβα sensensen ⋅+⋅=+ coscos
( ) βαβαβα sensen ⋅−⋅=+ coscoscos
( )βαβαβα
tgtgtgtgtg⋅−
+=+
1
( )βα
βαβαctgctg
ctgctgctg+
−⋅=+
1
Formule di sottrazione:
( ) βαβαβα sensensen ⋅−⋅=− coscos
( ) βαβαβα sensen ⋅+⋅=− coscoscos
( )βαβαβα
tgtgtgtgtg⋅+
+=−
1
( )αβ
βαβαctgctg
ctgctgctg−
+⋅=−
1
Formule di duplicazione:
ααα cos22 sensen =
1cos221cos2cos 2222 −=−=−= ααααα sensen
ααα 21
22tgtgtg
−=
αααctg
ctgctg2
122 −
=
Formule di bisezione:
221
22cos
2cos 2 ααα sen−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
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2cos1
22cos1
2cos1
22 22 αααααα −
±=⇒−
=⇒−= sensensen
2cos1
2cos αα +
=
Formule parametriche:
2tan1
2tan2
sin2 x
x
x+
=
2tan1
2tan1
cos3
2
x
x
x+
−=
Formule di Werner:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
−++=⋅
+−−=⋅
−−+=⋅
coscos21coscos
coscos2121cos
sensen
sensensen
Formule di prostaferesi:
222coscos
2cos
2cos2coscos
22cos2
2cos
22
qpsenqpsenqp
qpqpqp
qpsenqpsenqsenp
qpqpsensenqsenp
−⋅
+−=−
−⋅
+=+
−⋅
+=−
−⋅
+=+
1. Funzioni inverse più importanti:
[ ]
[ ] [ ]π
ππ
;01;1:arccos)(2
;2
1;1:arcsin)(
→+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−→+−=
xxf
xxf
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−→+∞∞−=
2;
2;:arctan)( ππxxf
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Funzioni iperboliche:
2sinh
xx eex−−
=
2cosh
xx eex−+
=
( )211logsinh xxsett ++=
( )21logcosh xxxsett ++=
1coshsinh 22 =+ xx
2. Proprietà dei logaritmi
1
010 logloglog
xx
xx aaa =−
1010 logloglog xxxx aaa ⋅=+
αα 00 loglog xx aa =⋅
ab
bc
ca log
loglog = formula del cambiamento di base del logaritmo
3. Limiti notevoli
1sinlim0
=→ x
xx
21cos1lim 20
=−
→ xx
x
ex
ex
xx
x
x
=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→
∞→
1
0)1(lim
11lim
1)1log(lim =+
∞→ xx
x
ex
xa
a
xlog
)1(loglim =
+∞→
ax
a x
xlog1lim
0=
−→
1log1lim0
==−
→e
xe x
x
αα
=−+
→ xx
x
1)1(lim0
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4. Derivate fondamentali
D αx = 1−⋅ αα x
D xalog = ax elog1
D xe = xe
D xa = aa ex log⋅
D xsin = xcos
D xcos = xsin−
D xtan =x2cos
1
D xcot =x2sin
1−
D xarcsin =21
1
x−
D xarccos =21
1x−
−
D xarctan = 211x+
D xsinh = xcosh
D xcosh = xsinh
D xsett sinh =21
1x+
D xsett cosh =1
12 −x
5. Integrali indefiniti immediati
cxdxx ++
=+
∫ 1
1
α
αα ∫ +−= cx
xsendx cot2
cxdxx
+=∫ log1 cxx
dx+=
+∫ arctan1 2
cxxdx +−=∫ cossin ∫ +=−
cxx
dx arcsin1 2
cxxdx +=∫ sincos cxdxx +=∫ sinhcosh
ca
adxae
xx +=∫ log
cxxdx +=∫ coshsinh
cedxe xx +=∫ cxx
dx+=∫ tanh
cosh 2
cxx
dx+=∫ tan
cos2
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FORMULARIO [inserito da Giovanni Cutuli]
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30
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31
Metodi di integrazione indefinita per parti Oriana Cirrone
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32
Scelta del fattore finito e del fattore differenziale Oriana Cirrone