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Cenni di meccanica dei fluidi

Indice

1.Equazioni della dinamica dei fluidi

2.Metodi computazionali

3.Modelli di trasporto in aria

4.Modelli di trasporto in acqua

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Parte I. Equazioni della fluidodinamica

– Approccio molecolare ed approccio macroscopico

– Derivata materiale / Volumi di controllo

– Principi di conservazione

– Massa

– Momento

– Energia

– Equazioni costitutive

– Viscosità

– Equazioni di Navier-Stokes

– Equazione dell’energia

– Fluidi newtoniani

– Fluidi incomprimibili

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m nm

Descrizione molecolare e metodi del continuo

– La descrizione dei fluidi secondo un approccio macroscopico si basa sull’idea di descrivere la variazione nel tempo e nello spazio di variabili di campo

– densità

– velocità di flusso

– energia

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, lim

, lim

i

i

V v

i i

i

V vi

i

m

tV

m

tm

x

v

u u x

mi

vi

x

31/ n v L

Derivata materiale

– La derivata materiale di a(x,t) rappresenta la variazione complessiva della variabile di campo a all’interno di un volume di controllo v

– La derivata materiale rappresenta il cambiamento totale della variabile di campo all’interno del volume come, viene visto da un osservatore che si muove insieme al fluido

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v

1 2 3

1 2 3

ˆ

Da a a a au u u

Dt t x x x

aa

t

u

v

Principi di conservazione

– Teorema del trasporto di Reynolds

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v(t+δt)

v(t)

S(t)

S(t+δt)

u(t)

u(t+δt)

ˆ

v t v t

D aadv a dv

Dt t

u

Conservazione della massa

– Se in un dato volume di fluido non avvengono processi che portano alla formazione di massa, la quantità di materia deve restare costante

– N.B. La forma del volume (superficie, estensione etc.) cambia nel tempo ma non la massa in essa contenuta

– Ma il volume di fluido viene scelto in modo arbitrario, quindi

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ˆ0 0v t v t

dm dv

Ddm dv

Dt t

u

ˆ 0t

u

equazione di continuità

Fluidi incomprimibili

– In molti casi (acqua !) la variazione di densità si può trascurare, ed il fluido si dice incomprimibile; si ottiene quindi

– Se questa relazione risulta valida, si parla di fluidi incomprimibili

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costanteˆ 0

ˆ 0t

uu

Conservazione del momento (1)

– Secondo la seconda legge di Newton, un punto materiale (cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza e lungo la direzione della stessa

– Consideriamo ora il momento contenuto in un volume v; questo sarà dato dalla somma di tutti i momenti delle molecole contenute nel volume, e quindi dell’integrale

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somma di tutte le forze agenti sul pun toi

i

d

dt

pF

v

dv u

momento per unità di volume

Conservazione del momento (2)

– La velocità di variazione del momento di un volume di fluido si ottiene quindi in base alla II legge di Newton dal seguente bilancio

– Le forze possono essere di tipo superficiale (pressione e stress viscoso) ed esterne (p.es. gravità)

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somma di tutte le forze agenti sul fluido in v

Ddv v

Dt u

v s v

Ddv ds dv

Dt u P f

forze di superficie per unità di area / surface forces forze esterne unità di massa / body forces

Tensore di stress (1)

– Le forze di superficie possono essere messe in relazione al tensore di stress

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σ31

σ32

σ33

e2

e1

e3

Tensore di stress (2)

– La forza di complessiva di superficie si scrive come

– Quindi il principio di conservazione del momento si scrive

13

1 11 1 21 2 31 3

2 12 1 22 2 32 3

3 13 1 23 2 33 3 1

P n n n

P n n n

P n n n

trP σ n

ji

j ji i j j

i i iv s v v v

Du dv n ds f dv dv f dv

Dt x

teorema di Gauss

Equazione di conservazione del momento

– Combinando la precedente eguaglianza con il teorema di Reynolds otteniamo l’equazione di conservazione del momento

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j j j

ji

j j k j

k ik iv v v

ji

j j k

i

k j

k ik i

j

k ik i

u u u dv dv f

u uu f

t

dvt x x

x

u u u ft x

x

x

tensore di stress

accelerazione di convezione (ostacoli etc.)

accelerazione totale

forze interne forze esterne (gravità etc.)

forze totali

Conservazione dell’energia

– Procedendo in modo analogo, possiamo considerare l’energia totale per unità di massa per unità di volume ; la variazione all’interno di un volume si ottiene come

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21

2v s v s

De u dv ds dv ds

Dt

u P u f q f

variazione dell’energia totale per unità di massa per unità di

volume

lavoro delle forze interne

lavoro delle forze esterne

calore scambiato

DU w Q

Dt

densità di energia INTERNA

Equazione di conservazione dell’energia

– Applicando il teorema di Reynolds e procedendo in modo analogo a quanto fatto in precedenza per il momento otteniamo

– La velocità di variazione totale di energia è dovuta alla somma di lavoro, cioè trasformazione di energia meccanica in energia termica (sia in modo non-dissipativopressione che dissipativoviscosità) e flussi di calore, che possono essere dati in funzione del gradiente della temperatura

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j j

k ji

k j jk i i

u qe eu

t x x x

velocità totale di variazione dell’energia interna

variazione dovuta a energia meccanica

convertita in energia termica

variazione dovuta a flussi di calore

j

j

Tq k

x

conducibilità termica

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Tensore di deformazione

– Il tensore di deformazione misura il cambiamento di un volume di fluido soggetto ad un flusso, che avviene come conseguenza sia di una rotazione che di una deformazione di taglio (shear)

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1

2

1

2

iij

j j

j

j

ji

i i

iuu

x

u uu

x xxe

x

Fluidi newtoniani e non-newtoniani

– La maggior parte dei fludi possono essere considerati newtoniani (isotropi)

– Quando il fluido è a riposo, lo stress è idrostatico, cioè dovuto alla sola pressione termodinamica

– Lo stress dipende solo dal tensore di deformazione

– Le proprietà meccaniche del fluido sono le stesse in tutte le direzioni

– Aria ed acqua sono fluidi newtoniani; tra gli esempi di fluidi non-newtoniani abbiamo le vernici, il sangue, l’asfalto, il dentrificio, e più in generale i fluidi ottenuti da molecole polimeriche (plastica) e … un insieme molto grande di esseri umani

– In pratica, mentre un fluido ‘normale’ (newtoniano) reagisce in modo che la velocità di deformazione è proporzionale allo sforzo di taglio (shear), un fluido non-newtoniano reagisce in modo non lineare (per esempio comportandosi temporaneamente come un solido)

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Relazioni constitutive dei fluidi newtoniani

– Lo stress di un fluido newtoniano è

– In forma estesa lo stress si scrive come

– p è la pressione

– μ è la viscosità dinamica o primo coefficiente della viscosità (Unità SI: Pa s = N s/m2; unità cgs: poise, 1 P=0.1 Pa S)

– λ è il secondo coefficiente viscosità

– Spesso si usa anche la viscosità cinematica ν=μ/ρ (Unità SI: m2/s; unità cgs: stokes, 1 St=0.1 m2/s)

– L’acqua a 20 ˚C ha una viscosità (dinamica) di 0.001002 Pa s oppure 1.020 cP; l’olio di motore 0.250 Pa s

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k i iij ij ij

k k j j

u u up

x x x

3 31 2 1 1 2 1

1 2 3 1 2 1 3 1

11 12 13

3 32 1 1 2 2 221 22 23

1 2 1 2 3 2 3 2

31 32 33

3

2

2

u uu u u u u up

x x x x x x x x

u uu u u u u up

x x x x x x x x

u

3 3 31 2 1 2

1 3 2 3 1 2 3 3

2u u uu u u u

px x x x x x x x

Equazioni di Navier-Stokes

– Se ora sostituiamo le relazioni costitutive (che ‘definiscono’ il fluido in termini delle sue proprietà, come i coefficienti di viscosità) nelle equazioni di conservazione del momento, si trovano le equazioni di Navier-Stokes:

– Nei casi più comuni (e.g. acqua)

1. Il fluido è incomprimibile (densità costante) quindi

2. La viscosità dinamica è costante

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j j k i ik j

k kk j j k j j j

u u u u upu f

t x x x x x x x

31 2

1 2 3

ˆ 0k

k k

u uu u

x x x x

u

Fluidodinamica di un fluido incomprimibile

– Riassumendo, scriviamo per esteso le 4 equazioni che descrivono il flusso di un fluido a densità costante (trascuriamo per ora il trasporto di energia):

– Parametri: densità ρ, viscosità μ, forze esterne f. Se per esempio consideriamo solo la forza di gravità, f=g.

22

11

211 1

22

3

1

222 2

2

2333 3

3

ˆ 0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

Du pu f

uu

tDt x

Du pu f

Dt x

D

uu

t

u pu f

Dt x

uu

t

u

u

u

u

Parte II. Metodi computazionali

– Equazioni del moto:

– Continuità

– Momento

– Energia

– Moti turbolenti

– Discretizzazione:

– Differenze finite

– Equazione di Laplace

– Volumi finiti

– Soluzioni numeriche

– Schemi di propagazione

CFD - cenni 23

Considereremo solo il caso di fluidi isotermi, non turbolenti, monofasici; esempi saranno forniti solo per fluidi incomprimibili (densità costante)

Equazioni

24

0i

i i

ijii

j j

uD

Dt x

Dug

Dt x

i

i i

Df f fu

Dt t x

Conservazione della massa

II legge di Newton

Derivata materiale: velocità di variazione di f per un elemento di fluido in moto

tensore di stress

forza

densità velocità di flusso

, tu r

, t r

Fluidi newtoniani

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2

2

3

ˆ 0

1ˆ ˆ3

ji iij ij

i j i

ii i

i i

uu up

x x x

D

Dt

Du pg u

Dt x x

u

u

Equazioni di Navier-Stokes

pressione

viscosità

Fluidi incomprimibili

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2

ˆ 0

ˆ ˆDp

Dt

u

ug u

init

bound

,0

, ,t t

r

r

u x u x

u x u x

Il problema numerico

– Conversione delle equazioni del moto in un sistema di equazioni algebriche mediante discretizzazione

– Tre tecniche di discretizzazione popolari nel campo CFD:

– Differenze finite

– Volumi finiti

– Elementi finiti

– La soluzione numerica si basa sulla

– discretizzazione del campo vettoriale delle velocità di flusso in una griglia di punti (differenze finite) o entro volumi (volumi finiti);

– le derivate spaziali e temporali sono espresse in modo approssimato in funzione dei valori discreti;

– il sistema di equazioni algebriche è poi risolto usando algoritmi iterativi

27

Esempio di schema alle differenze finite

28

21, 1,

221, , 1,

22

1

, ,

2

2

i j i j

i j i j i j

n n

i j i j

u uuO x

x x

u u uuO x

x x

u uuO t

x t

• Sono possibili schemi di discretizzazione molto più sofisticati, che includono ‘stencil’ più grandi

• Le espressioni che discretizzano le derivate devono essere modificate ai bordi, per tenere conto delle condizioni al contorno

Five-point finite difference stencil

29

30

Domain for bottle filling

problem.

Filling

Nozzle

Bottle

CFD – come funziona

– Definizione delle equazioni del moto.

– Scelta dei parametri (tensore di stress, etc.)

– Approssimazioni: flussi isotermi, stazionari (steady-state), incomprimibili, inviscidi (viscosità nulla “acqua secca”), bidimensionali

– Selezione di condizioni al contorno ed iniziali.

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CFD – come funziona (2)

– Discretizzazione delle PDE

– Definizione delle corrispondenti equazioni algebriche

– Le equazioni algebriche sono definite su una GRIGLIA di punti (elementi, volumi di controllo)

– Il sistema di equazioni non-lineari viene risolto con approcci iterativi etc.

– L’output viene di solito sottoposto a varie forme di post-processing per estrarre quantità di interesse (velocità di flusso, variazione di pressione etc.)

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Griglie

33

Esempio

34

Flusso

35

Modulo del flusso

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Pressione

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I limiti della CFD

– Modelli fisici semplificati che devono tenere conto del fatto che nel mondo reale sono spesso presenti

– Fenomeni di turbolenza

– Sistemi multifasici

– Reazioni chimiche

– Fenomeni di interfaccia

– Errori numerici

– Errore numerico dovuto alla discretizzazione (si puo minimizzare con il mesh refinement)

– Instabilità nella propagazione temporale

– Cattiva descrizione delle condizioni al contorno

Software commerciale

– Fluent (UK, US).

– CFX (UK, Canada)

– Fidap (US).

– Polyflow (Belgio)

– Phoenix (UK)

– Star CD (UK)

– Flow 3d (US)

– ESI/CFDRC (US)

– SCRYU (Giappone)

– Gambit

– KIVA3v

– MATLAB

– COMSOL

– E molto di più, vedi http:/www.cfdreview.com

38

MATLAB

– Costo limitato, diffuso in molti ambienti di ricerca

– Ottimo interfaccia grafica

– Performance non elevate

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Software open-source

– Overture

– COOLFluid

– Dolfyn

– OpenFOAM

– Elmer

– FEATFLOW

– FreeFem++

– Gerric

– ISAAC

– Nek5000

– NewTun

– OpenFlower

– Typhon

– LifeV

– Etc.

40

– OpenFOAM

– Open Field Operation And Manipulation

– Pacchetto intergrato per la soluzione di problemi CFD, reattività, turbolenza trasferimento di calore

– Sorgente disponibile (GNU General Public License)

– Versatile e con la capacità di importare formati di software commerciali

– Seriale e parallelo

– Preprocessing (paraFOAM) e postprocessing (ParaView)

OpenFOAM - preprocessing

41

OpenFOAM – postprocessing

42

43

Name Language Applications Mesh Postprocessi

ng

Documentation

Notes Web site

Overture C++, oo Solver of differential equations

Yes Yes Extended Big, complex, modular - 2009 https://computation.llnl.gov/casc/Overture/

COOLFluiD C++ (?)

CFD, chemical reacting mixtures (?), magnetohydrodynamics

Yes (?) Yes (?) Not available (?)

Large library of applications (claimed) - difficult to get

https://coolfluidsrv.vki.ac.be/trac/coolfluid/

dolfyn Fortran95, Fortran77

CFD, heat and mass transport

No No Not available Relatively compact http://www.dolfyn.net/dolfyn/index_en.html

OpenFOAM C++, oo

CFD, molecular dynamics, electromagnetism, etc.

Yes Yes Plenty Big, complex, modular - 2010 http://www.openfoam.com/

Elmer Fortran90, C++

CFD, diffusion, convection reaction (!), electromagnetism

Yes (simple structured)

Yes Extended

Big, complex, modular - 2010 Suspicion: only 2D examples … NOT parallel

http://www.csc.fi/english/pages/elmer

FEATFLOW Fortran90, Fortran77

CFD Yes Yes Medium, perhaps outdated, robust http://www.featflow.de/

FreeFem++

C++, high level language

Solver of differential equations

Yes Yes Medium, simple to use as it is http://www.freefem.org/

Gerris C, oo (claimed)

CFD Yes Yes Agile, simple to use (claimed) http://gfs.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page

ISAAC Fortran90, C (?)

CFD, turbulence ? Yes Well known, robust http://isaac-cfd.sourceforge.net/

Nek5000 Fortran77, C CFD Yes Yes Large package, clear http://nek5000.mcs.anl.gov/index.php/Main_Page

NuWTun Fortran77, C Compressible NS Yes Yes Based on ISAAC http://nuwtun.berlios.de/

OpenFlower

C++ CFD, turbulence, LES Yes Yes Agile, simple to use http://openflower.sourceforge.net/index2.html

OpenFVM C (?) CFD Yes Yes Large, perhaps outdated http://openfvm.sourceforge.net/

PETSc-FEM C++, oo CFD Yes (?) Yes Minimal Large, complex http://www.cimec.org.ar/twiki/bin/view/Cimec/PETScFEM#Scope

SLFCFD C CFD Yes (?) Yes Small, clear http://slfcfd.sourceforge.net/index.html

TOCHNOG C++ CFD Yes Yes Large, robust http://tochnog.sourceforge.net/examples.html

Typhon C++ Multi-solver platform, CFD

Yes Yes Large, modular http://typhon.sourceforge.net/spip/

LifeV C++, oo Multi-solver library Yes ? Good Large, modular http://www.lifev.org/

Free_cfd C++, oo CFD Yes Yes Large, clear http://www.freecfd.com/