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Che cos’è la matematica?
SCIENZA
costruzione
di pensiero
modellizzazione
plurisistemica
aperta
relazioni
e strutture
ricorrenti
Che cos’è la matematica?
La matematica offre gli strumenti
per la descrizione scientifica del mondo
Il metodo matematico ha, come punto di
arrivo, la formalizzazione
analisi dei fenomeni
relazioni
simbolizzazione
modello assiomatico formalizzato
A cosa serve la matematica?
formazione e sviluppo dell’intelligenza
superamento del sincretismo infantile
e delle attitudini proiettive
OGGETTIVAZIONE DELLA REALTA’
• riconoscere e introdurre criteri ordinali
• muoversi tra concreto e astratto
• riconoscere e praticare
le modalità costruttive dei concetti
• avviare la pratica euristica
A cosa serve la matematica?
La matematica è
un modo di pensare
che aiuta a comprendere
meglio la realtà
Se vuoi usare bene il pensiero
matematico, devi imparare a
conoscere gli strumenti della
logica (il ragionamento)
e le tecniche, cioè i modi di
procedere che ti permettono di
arrivare al risultato concreto
La matematica è un linguaggio
PAROLE e SEGNI
Topologia, curve algebriche, cubo troncato,
numero razionale, radice quadrata, frattale…
Un linguaggio preciso e rigoroso con il quale
i matematici descrivono il loro lavoro e i loro
strumenti di lavoro
La matematica è un linguaggio
Ventuno è uguale a sette per tre
Il prodotto 21 è il risultato della
moltiplicazione dei fattori 7 e 3
21 = 7 x 3
Numeri e segni
confrontare operare
oppure
oppureoppure
Numeri e segni
OPERARE
(aggiungere, togliere, ripetere, distribuire)
processo logico
5 = 2 = - 1 : 5
Numeri e segni
OPERARE
(aggiungere, togliere, ripetere, distribuire)
processo logico
5 = 2 = - 1 : 56 10
La matematica è ragionamento
LOGICA ragionamento corretto
premesse
conclusioni
coerenti
reperire dati non conosciuti
attraverso l’elaborazione di dati conosciuti
La matematica è ragionamento
a3
Due bugiardi fanno a turno: il primo dice il falso
il lunedì, il martedì e il mercoledì.
Il secondo dice il falso il giovedì, il venerdì e
il sabato.
[ giovedì ]
Oggi si incontrano e tutti e due dicono:
“Ieri ho detto il falso”.
Che giorno è oggi?
La matematica è ragionamento
a5
Quale delle seguenti operazioni
ti dà un risultato maggiore:
15 x 3 oppure 15 : 0,2 ?
a6
Ottieni un risultato maggiore moltiplicando il
numero 10 per 2 o dividendolo per 0,5?
[ 15 : 0,2 ]
[ stesso risultato ]
La matematica è ragionamento
a8Le due classi terze vanno a teatro.
La 3 A conta 20 alunni; la 3 B ne conta 23, ma tre
bambini sono assenti.
Gli insegnanti accompagnatori sono due.
In sala, alunni e insegnanti occupano due file
che hanno lo stesso numero di poltrone.
Quanti siedono in ogni fila?
[ 21 ]
AAVV, iI problemi nella pratica didattica, Franco Angeli
La matematica è ragionamento
NUMERI supporto del
ragionamento matematico
esprimono
quantità
ordine
rapporto
(5…)
(quinto…)
(2/5, 0,4…)
I numeri sono illimitati
Infinito
TOPOLOGIA geometria del foglio
di gomma
studia le proprietà di una figura sottoposta
a deformazione
Infinito
Nastro di Moebius
• in torsione su se stessa nello spazio
tridimensionale
• superficie senza fine, bidimensionale
• con una sola linea di bordo e una sola faccia
Infinito
John Wallis, 1616 – 1703
Tutto nasce da uno
Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646 - 1716
Per trarre tutte le cose dal nulla,
basta l’Uno.
Tutti i numeri si sono originati da uno soltanto: l’uno
Tutto nasce da uno
NUMERI NATURALI N
uno / uno in più
+ 1
Insieme dei numeri interi non negativi
Tutto nasce da uno
NUMERI RAZIONALI Q
Insieme dei numeri ottenibili
come rapporto fra due numeri interi
DODO1
112
34
FA
1
1
23
SOL89
RE
815
SI35
LA45
MI
Scala naturale e frazioni
DODO1
112
34
FA
1
1
23
SOL89
RE
815
SI35
LA45
MI
Scala naturale e frazioni
mezzi e quarti
terzi e noni
quinti e quindicesimi
Notazione convenzionale
44
24
14
18
116
132
INTERO (semibreve)
META’ (minima)
QUARTO (semiminima)
OTTAVO (croma)
SEDICESIMO (semicroma)
TRENTADUESIMO(biscroma)
durata
altezza
pentagramma
Durata
Tutto nasce da uno
NUMERI RELATIVI Z
I numeri relativi sono l’associazione di un
valore assoluto e di un segno (+ o -)
3 - 9 3 + (- 9)
Tutto nasce da uno
NATURALI N
INTERI RELATIVI Z
0
NUMERI RAZIONALI Q
NUMERI IRRAZIONALI
NUMERI REALI R
campi dei numeri
I numeri hanno una forma
Possiamo rappresentare i numeri con le figure?
NUMERI TRIANGOLARI
1528
21
c1
Qual è il decimo numero triangolare?
[ 55 ]
I numeri hanno una forma
Possiamo rappresentare i numeri con le figure?
NUMERI QUADRATI PERFETTI
c2
Qual è il decimo numero quadrato perfetto?
2536
49
169
[ 100 ]
I numeri hanno una forma
I numeri hanno una forma
I numeri hanno una forma
c3
Come prosegue la serie di Fibonacci?
SUCCESSIONE DI FIBONACCI
Dopo 0 e 1, ogni nuovo numero che segue è la somma
dei due numeri che lo precedono immediatamente
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
I numeri hanno una forma
Con il punto, la retta e il piano costruisco tutto! Davvero?
Anche i solidi?
Nel piano e nello spazio
punto retta piano concetti primitivi
La prima geometria, fondamento di tutte le altre,
è la geometria euclidea
geometria piana
geometria solida
bidimensionale (2D)
tridimensionale (3D)
Nel piano e nello spazio
Cioè, secondo te, A + B sarebbe uguale a C?
Puoi dimostrarlo?
Nel piano e nello spazio
PROBLEMA
trovare dimostrare
teorema proposizione dimostrata logicamente
Nel piano e nello spazio
I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti
al quadrato costruito sull’ipotenusa
Nel piano e nello spazio
I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti
al quadrato costruito sull’ipotenusa
Nel piano e nello spazio
I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti
al quadrato costruito sull’ipotenusa
Nel piano e nello spazio
TERNE PITAGORICHE
( 3 – 4 – 5) ( 5 – 12 – 13) ( 7 – 24 – 25) ( 8 – 15 – 17)
Nel piano e nello spazio
OPERAZIONI
traslazione
rotazione
ribaltamento
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
SOLIDI figure complesse
Nel piano e nello spazio
UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
UNIONE SOTTRAZIONE INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
Renè Descartes, Cartesio (1596– 1650 )
GEOMETRIA ANALITICA
Nel piano e nello spazio
GEOMETRIA PROIETTIVA
Nel piano e nello spazio
rettangoli
parallelepipedi
Nel piano e nello spazio
sfera
se il piano fosse una sfera?
Nel piano e nello spazio
GEOMETRIA ELLITTICA
Nel piano e nello spazio
A = 90°
B = 90°
C = ?
la somma degli angoli interni misura ancora 180°?
NO
L’essenza della matematica
è la sua libertà
Georg Cantor (1845 – 1918)
Grazie
per l’attenzione
