Che cos'è la logica matematica?

prof. Domenico Lanfranchi

Due prospettive

La logica è una parte della matematica (Boole) La matematica è una parte della logica (Russel)

Giochiamo a carte

Gioco A: se tutte le carte sono rosse allora rosso, altrimenti nero

Gioco B: se tutte le carte sono nere allora nero, altrimenti rosso

Gioco C: se una carta è rossa allora nero, altrimenti rosso

Interpretiamo il gioco

Nero significa VERO Rosso significa FALSO Gioco A significa DISGIUNZIONE (O) Gioco B significa CONGIUNZIONE (E) Gioco C significa NEGAZIONE (NON)

Algebra di Boole V+V= V; V+F=V; F+F=F V*V=V; V*F=F; F*F=F -V=F; -F=V

George Boole 1815-1864

Che cos'è la matematica?

La matematica pura è l'insieme di tutte le proposizioni della forma «p implica q», dove p e q sono proposizioni che contengono una o più variabili, né p né q contenendo costanti che non siano costanti logiche. Le costanti logiche sono concetti che si possono definire in funzione di: implicazione, relazione di un termine ad una classe di cui è membro, nozione di tale che, nozione di relazione, ed ogni altro concetto implicito nella nozione generale delle proposizioni della forma precedente. Oltre a questi, la matematica usa un concetto che non fa parte delle proposizioni che essa considera, vale a dire la nozione di verità.

Le nozioni base

Implicazione Relazione di un termine ad una classe di cui è membro Nozione di tale che Nozione di relazione

Il logicismo

Bertrand Russell 1872-1970

Gottlob Frege 1848-1923

Antinomia di Russell

Insiemi normali: non contengono se stessi (esempio: insieme dei numeri primi)

Insiemi anomali: contengono se stessi (esempio: insieme delle idee astratte)

L'insieme degli insiemi normali è normale?

L'indagine sui fondamenti

Formalismo (Hilbert) Intuizionismo ( Brouwer)

Teoremi di Gödel 1931

Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.

(fallimento di logicismo e formalismo)