MISURE DI ACCOMPAGNAMENTO 2013-2014
PROGETTO DI FORMAZIONE E RICERCA
Rete Scolastica
INNOVARE RINNOVANDO
LA RETE CHE ACCOGLIE
RICERCA-AZIONE
DESCRIZIONE DELL ESPERIENZA
Nome della scuola
I.C. L. Settembrini
San Leucio del Sannio
Tipo di Scuola
Scuola secondaria di primo grado - Ceppaloni
Docente/i Fioravante BOSCO
Classe coinvolta
III A
Tipologia di esercitazione (Reti semantiche, grappolo associativo, titolazione, gerarchia degli scopi, definizione. Almeno una esercitazione per ogni tipologia per ogni scuola)
Classificazione. Aggregazione. Generalizzazione.
Definizione. Reti semantiche.
Modalità, fasi e strumenti di realizzazione
- La vera innovazione didattica che consenta di sviluppare competenze consiste nello sviluppo dei processi cognitivi attraverso cui i nostri alunni trattano, elaborano e trasferiscono le conoscenze: processi percettivi, mnestici, induttivi, deduttivi, dialettici e creativi. C. Petracca
Fase UNICA
Come creare una definizione collaborativa di MONOMIO
Attività Docente Alunni Conversazione clinica Animazione Produzione di idee. Analisi delle idee prodotte. Uso di testi specifici (libri di testo)
Mediazione Ricerca informazioni.
Verbalizzazione Mediazione Sistemazione idee e informazioni (bibliografia)
Ricerca della Definizione Astrazione
Guida a riflessioni e considerazioni
Scoperta delle relazioni. SN +SN+SV Sintagma Nominale+Sintagma Nominale+Sintagma Verbale
La didattica come mediazione. Processo di facilitazione messo in atto dall insegnante per favorire il buon apprendimento, incoraggiando esperienze di successo e sviluppando interesse e, soprattutto, motivazione intrinseca.
La centralità della relazione comporta una didattica che da lineare ed unidirezionale si faccia circolare e negoziata.
L insegnante non solo guida l esplorazione, ma innesca, organizza e coordina la ricerca.
Il gioco rappresenta un valore aggiunto, un mezzo per ottenere una partecipazione motivata e attiva con scopi chiari e condivisi.
Prodotto ottenuto
MONOMIO COME CREARE UNA DEFINIZIONE COLLABORATIVA
2
2
1x
MONOMI COME CREARE UNA DEFINIZIONE COLLABORATIVA
Significato di Monomio
Monomio deriva da una parola greca monos
che significa unico, solo, uno solo, e indica un espressione
letterale composta da un solo Termine.
E molto usato come prefisso di molte parole composte.
Nel linguaggio comune: monolocale, monosillabo (parola costituita da una sola sillaba) ecc.
Nel linguaggio scientifico: monocellulare (organismo costituito da una sola cellula), monoatomica
(molecola che contiene un solo atomo) ecc
La Somma Algebrica di due o più Monomi è un Polinomio; i singoli Monomi che formano il Polinomio
costituiscono i Termini del Polinomio stesso. Ne consegue che i Monomi sono Polinomi con un unico
Termine.
Caratterizzazione di Monomio e/o Termine (unico)
Un Monomio e/o Termine è caratterizzato da
un Segno, da una Parte Numerica
(coefficiente), da una Parte Letterale e
dall esponente della parte letterale.
Esempio
Il Monomio è caratterizzato da:
- segno meno ( )
- coefficiente (parte numerica) 1/2
- parte letterale x
- esponente della parte letterale 2
yx23
?3
54
1 222
b
adabcba
?2
12
222
c
baaba
ab5
?2?32
2
c
baab
?3
b
ad
Il Monomio:
è caratterizzato da:
- segno più ( ) [sottinteso]
- coefficiente (parte numerica) 3
- parte letterale x y
- esponente 2 relativo alla lettera x ed esponente 1 relativo alla letterale y [sottinteso]
Il Monomio:
12 è caratterizzato da:
- segno più ( ) [sottinteso]
- coefficiente (parte numerica) 12
- parte letterale [sottintesa] qualsiasi lettera elevata a 0 [n0=1]
- esponente 0 [sottinteso] relativo alla parte letterale [qualsiasi lettera elevata a 0]
N.B. in questo caso il monomio si chiama COSTANTE
Definizione di monomio
Si riportano di seguito alcune definizioni (testi) tratte dalla letteratura in merito.
a) Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione [12] esempi:
e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ?
monomio intero monomio frazionario
b) Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni
- [11] esempi:
e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero
sono frazionari i monomi
cbaabba 35224
3 222
?3
?5
3
242
2
4224322
ay
zx
c
xaabxbcaaba
baaxy 2
2
127
23237
1232 yxzxyxba
ad
ba2
xybabca
aba 53
12
3152
2
?22
1 23
c
baaab
?32
1 232 bat
ab53
1
c) Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali [07] esempi:
d) Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni [03] - esempi:
e) Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali [02] - esempi:
Sono monomi
Non sono monomi
f) Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e lettere [06] - esempi:
Sono monomi
Non sono monomi che ha lettere al denominatore e prende il nome di frazione algebrica e
che contiene una addizione non riducibile
g) Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni
[14] - esempi:
Sono monomi le espressioni del tipo
nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni ?
h) Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né sottrazioni [01] - esempi:
axabcba 2422
7 2
?2
?23
2 23
y
x
y
xaab
abcxyba4
5
2
13 22
?5
?2?7
42
52
3
2
c
ba
y
x
z
xy
222 2,05
13 mnxya
??4
?2
z
xy
c
ab
b
a
?5
4
77
223
c
ababba
i) Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione [09] - esempi:
l) Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di moltiplicazione e divisioni ? [13] - esempi:
m) Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio ? [10] - esempi:
e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari
sono frazionari i monomi
n) un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere compare al denominatore ? [08] - esempi:
sono monomi interi
sono monomi frazionari?
o) si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze ? [05] - esempi:
Analisi dei testi (definizioni)
[a] Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ?
[b] Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni
e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente
negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero
[c] Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali
[d] Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni
[e] Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali
[f] Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e lettere
[g] Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni ; ovvero espressioni letterali nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni
[h] Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né sottrazioni
[i] Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione
[l] Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di moltiplicazione e divisioni ?
[m] Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari
[n] un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere compare al denominatore
[o] Si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze
Dalla lettura dei testi delle definizioni si perviene ai seguenti principali raggruppamenti:
1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, l, m]
2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che non contiene addizioni e sottrazioni ovvero, contiene solo moltiplicazioni e divisioni [d, g, h, n, o]
3) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i]
Da un analisi più approfondita si perviene ai seguenti due raggruppamenti definitivi:
2
323
3
22 3
35
2
1
c
babca
d
cabxy
abcb
cabxy 5
5
2
1 22
2323
22 8
5,0 bcad
cabxy
z
xy
xyz
yxxyzyx
3
2
3
232
2222
abba
bababa 2
5
10510
2
23223
03z
xy2
1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, d, g, h, l, m, n, o]
esempi:
2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i] esempi:
La classe si chiede a questo punto: l operazione di divisione è relativa ai numeri (coefficienti) o alle lettere (parte letterale) ? La risposta è immediata: l operazione di divisione è relativa solo alla parte letterale; la parte numerica (coefficienti) non è interessata trattandosi di numeri reali esempi:
Nella prima definizione più di un Autore aggiunge alla definizione stessa di monomio: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari ovvero, siamo in presenza di una frazione algebrica esempio:
La classe si chiede ancora: ma la precedente frazione algebrica (monomio fratto) è un monomio?
Anche in questo caso la risposta è immediata: la frazione algebrica, letteralmente, presenta al numeratore e al denominatore due distinti monomi (con il secondo diverso da zero - condizione di esistenza), ovvero:
Numeratore
Denominatore
pertanto si caratterizza come una divisione tra due distinti monomi non ulteriormente divisibili.
Orbene, è sempre la classe che si pone domande, che significa dividere due monomi.
Risposta collaborativa: dividere due monomi, presi in un dato ordine e con il secondo diverso da zero (condizione di esistenza), significa calcolare (se esiste) un altro monomio detto quoziente che, moltiplicato per il secondo da per prodotto il primo; quando questo si verifica il primo monomio è divisibile per il secondo e il secondo è divisore del primo esempio:
xyba 43 2
zy
ba
4
3 2
Pertanto, affinché un monomio (non nullo) sia divisibile per un altro (non nullo) è necessario e sufficiente che ogni lettera del monomio divisore figuri nel monomio dividendo con esponente maggiore o uguale a quello del divisore.
Per contro, se un monomio non è divisibile per un altro la divisione dell uno per l altro si può solo indicare come:
oppure sotto forma di frazione (algebrica) avente per numeratore e denominatore due distinti monomi:
Da quanto fin qui analizzato e esposto la classe collaborativamente perviene alla seguente definizione di monomio:
Un Monomio è un prodotto indicato di fattori numerici e letterali, dove i fattori letterali sono elevati ad esponente intero, positivo o nullo
ESEMPIO: L espressione letterale 35a3bc2 è un monomio; il numero 35 e le lettere a3
, b, c2 sono
legate dall operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero 35 e la parte letterale è a3bc2.
CONTROESEMPI:
a ) l espressione letterale 35a3 + bc2 non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati
oltre che dalla moltiplicazione anche dall addizione (infatti trattasi di un polinomio ovvero di un binomio
somma di due monomi);
b ) l espressione letterale 35a-3bc2 non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo
rappresenta una divisione, infatti a-3 = 1/a3 ovvero, rappresenta, una frazione algebrica.
cilindrodeldiametroilèd
corsadellalunghezzalaès
pistonedalpercorsovolumeilèVp
VcVeVcVpVdoveV
VMINMAX
MIN
MAX :
Applicazione nel reale in campo tecnico scientifico
Nei motori a scoppio il cilindro è una cavità (cilindrica) al cui interno scorre il pistone. La miscela di aria e benzina viene accesa dalla candela nella camera di combustione del cilindro. Bruciando la miscela aumenta di volume e spinge il pistone in basso. Quando il pistone torna in alto espelle dal cilindro i gas di combustione nel tubo di scappamento attraverso la valvola di scarico.
- Il Volume percorso dal pistone (Vp) è il volume del cilindro percorso dal pistone dall inizio della combustione alla fine della combustione. Si indica in cm3.
- Il Volume della camera di combustione (Vc) è il volume che rimane tra la testa del cilindro e la parte superiore del pistone, quando questo è nella sua posizione più in alto. Si indica in cm3.
- La cilindrata (V) è la somma dei volumi percorsi dal pistone di tutti i cilindri del motore. Si indica spesso in cm3 e anche il litri.
- Il rapporto di compressione ( ) di un motore è il rapporto tra il Volume massimo (Vmax) e il Volume minimo (Vmin) all interno del cilindro. Si calcola con la relazione:
Ci proponiamo di calcolare la cilindrata e il rapporto di compressione di un motore di autovettura con le seguenti informazioni sul motore stesso:
Numero di Cilindri (n) 6 Diametro dei cilindri 91 mm Lunghezza della corsa (s) 102 mm Volume della camera di combustione (Vc) 73,7 cm3
32
2
4,6632,10)55,4(14,3
55,45,452
91
2
2,10102
:
cmVp
cmmmd
r
ecmmms
consrVp
litricmV
cmVpen
conVpnV
804,394,39804,6636
4,6636
:
3
3
107,73
1,737
7,73
1,7377,734,663
:
3
3
3
3
cm
cm
cmVcV
ecmVcVpV
conV
V
MIN
MAX
MIN
MAX
Calcolo del Volume percorso dal pistone
Si fa notare che i due membri dell equazione indicata sono due monomi
Calcolo della Cilindrata
Si fa notare, anche in questo caso, che i due membri dell equazione indicata sono due monomi
Calcolo del Rapporto di Compressione
Si fa notare, in quest ultimo caso, che i due membri dell equazione indicata sono caratterizzati rispettivamente da un monomio (primo membro) e da un quoziente tra due monomi (secondo membro) ovvero da una frazione algebrica.
BIBLIOGRAFIA
[01] Acquati A ed altri - (2004) Il giardino di Archimede Loescher Torino
[02] Arpinati A. M. ed altri (2005)
Matematica in Azione - Zanichelli - Bologna
[03] Barale C. ed altri (2003) - MateMedia Ferraro Napoli
[04] Bencini L. ed altri (1996)
AGI 1 Ferraro Napoli
[05] Flaccavento R. G (2013)
Pitagora
Fabbri Editori Milano
[06] Grimaldi A. ed altri (2008)
Cifratonda
Ferraro Napoli
[07] Linardi S. (2009)
Matematica per Te - Mondadori Milano
[08] Montemurro A. - (2012) - PuntoMat - De Agostini Scuola Novara
[09] Poletti D. ed altri (2004)
Corso di matematica - Algebra Signorelli - Milano 9
[10] Rossi G. - (2012) - Con la matematica - Algebra - Mondadori Scuola - Milano
[11] Tonolini ed altri - (2006 ) - Ipermat
Minerva Italica Milano
[12] Vacca R. ed altri - (2001) Progetto modulare di Algebra Edizione Atlas - Bergamo
[13] Zarattini M. ed altri - (2008) - Matematicamente 3 Mondadori Scuola - Milano
[14] Zibetti G. ed altri (2001)
Viaggio nella Matematica Minerva Italica - Milano