Componente erratica Le MM isolano la componente ciclica C t della serie già detrendizzata e destagionalizata. Ne consegue che i rapporti Dovrebbero avere natura essenzialmente erratica. Cioè Sono simmetrici intorno allo zero Sono fra di loro incorrelati Se non è così allora negli errori e t è presente una componente sistematica che non è stata individuata dall’approccio classico. Sono privi di strutture riconoscibili e t = 100 C t u t C t ! " # $ % & ’1 ( ) * + , - Queste condizioni possono essere sottoposte a verifica Test dei punti di svolta Si conta il numero di svolte: picchi e valli. Una svolta richiede 3 punti consecutivi: e t-1 , e t , e t+1 . In una serie di n punti esistono n-2 terne consecutive (esclusi il primo e l"ultimo) Se la serie fosse casuale allora i 3!=6 possibili ordinamenti sarebbero equipresenti. Tra questi solo quattro contengono un punto di svolta A partire dalla variabile indicatore I t = 1 se e t !1 < e t > e t +1 oppure e t !1 > e t < e t +1 0 altrimenti " # $ P = I t t = 2 n " 2 # In caso di valori coincidenti il valore si considera unico e non ripetuto riducendo conseguentemente n Il numero dei punti di svolta è Turning points test Test dei punti di svolta/2 La statistica P ha valore atteso e varianza note EP ( ) = EI t ( ) = 4 6 " # $ % & ’ t = 2 n ( 2 ) t = 2 n ( 2 ) = 2 3 n ( 2 ( ) ; Var P ( ) = 16 n ( 29 90 All"aumentare del numero dei termini, ferma restando la casualità, la distribuzione di P tende alla gaussiana. P " 2 3 n " 2 ( ) 16n " 29 90 Se il valor p è inferiore a 0.01, si rifiuta l"ipotesi di erraticità Quindi possiamo testare l"ipotesi di residui senza struttura con la statistica et 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 0 5 10 15 20 25 30 35 40 et Esempio -Commercio al dettaglio Grafico degli e t t et It 1 0.9966 2 0.9982 3 0.9737 1 4 1.0037 0 5 1.0234 1 6 0.9878 1 7 1.0006 1 8 0.9996 1 9 1.0023 1 10 1.0012 1 11 1.0040 1 12 0.9870 1 13 1.0030 0 14 1.0133 1 15 0.9935 1 16 0.9944 0 17 1.0040 1 18 0.9888 1 19 1.0196 1 20 0.9953 1 21 0.9999 1 22 0.9881 1 23 1.0092 1 24 0.9933 1 25 1.0022 1 26 0.9870 1 27 1.0292 1 28 1.0010 0 29 0.9738 1 30 1.0231 1 31 0.9797 1 32 1.0068 1 33 0.9995 1 34 1.0098 1 35 0.9785 1 36 1.0061 29 29 2 3 36 2 ! ( ) ! " # $ % 16 36 & 29 ! ( ) 90 2.5689 = Il valor p è 0.0051. C’è un forte sospetto di NON casualità
Transcript
Componente erratica!Le MM isolano la componente ciclica Ct della serie già detrendizzata e
destagionalizata. Ne consegue che i rapporti
Dovrebbero avere natura essenzialmente erratica. Cioè
Sono simmetrici intorno allo zero
Sono fra di loro incorrelati
Se non è così allora negli errori et è presente una componente sistematica che
non è stata individuata dall’approccio classico.!
Sono privi di strutture riconoscibili
et = 100Ctut
Ct
!
" #
$
% & '1
(
) *
+
, -
Queste condizioni possono
essere sottoposte a verifica!
Test dei punti di svolta!Si conta il numero di svolte: picchi e valli.!
Una svolta richiede 3 punti consecutivi: et-1, et, et+1 . In una serie di n punti esistono n-2 terne consecutive (esclusi il primo e l"ultimo)!
Se la serie fosse casuale allora i 3!=6 possibili ordinamenti sarebbero equipresenti. Tra questi solo quattro contengono un punto di svolta!
A partire dalla variabile indicatore !
It =1 se et!1 <et > et+1 oppure et!1 > et < et+1
0 altrimenti
" # $
!
P = It
t= 2
n"2
#
In caso di valori coincidenti il valore si considera unico e non ripetuto
riducendo conseguentemente n!
Il numero dei punti di svolta è!
Turning points test!
Test dei punti di svolta/2!La statistica P ha valore atteso e varianza note!
!
E P( ) = E It( ) =
4
6
"
# $ %
& '
t= 2
n(2
)t= 2
n(2
) =2
3n ( 2( ); Var P( ) =
16n ( 29
90
All"aumentare del numero dei termini, ferma restando la casualità, la distribuzione di P tende alla gaussiana.!
!
P "2
3n " 2( )
16n " 29
90
Se il valor p è inferiore a 0.01, si rifiuta l"ipotesi di erraticità!
Quindi possiamo testare l"ipotesi di residui senza struttura con la statistica !
et
0.97
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
0 5 10 15 20 25 30 35 40
et
Esempio -Commercio al dettaglio! Grafico degli et!t et It
1 0.9966
2 0.9982
3 0.9737 1
4 1.0037 0
5 1.0234 1
6 0.9878 1
7 1.0006 1
8 0.9996 1
9 1.0023 1
10 1.0012 1
11 1.0040 1
12 0.9870 1
13 1.0030 0
14 1.0133 1
15 0.9935 1
16 0.9944 0
17 1.0040 1
18 0.9888 1
19 1.0196 1
20 0.9953 1
21 0.9999 1
22 0.9881 1
23 1.0092 1
24 0.9933 1
25 1.0022 1
26 0.9870 1
27 1.0292 1
28 1.0010 0
29 0.9738 1
30 1.0231 1
31 0.9797 1
32 1.0068 1
33 0.9995 1
34 1.0098 1
35 0.9785 1
36 1.0061
29
292
336 2!( )!" #
$ %
16 36& 29!( )
90
2.5689=
Il valor p è 0.0051. C’è un forte
sospetto di NON casualità!
Test dei ranghi!
Il confronto può essere esteso a tutte le coppie di errori consecutivi.!
Bisogna contare il numero q di volte in cui si ha ej>ei per j>i.!
Si considerano n(n-1)/2 coppie. Il valore atteso in una serie del tutto erratica è!
Valori di q molto superiori alla media fanno pensare ad un trend crescente, non del tutto rimosso dalla serie. !
Se invece q è molto minore della media il trend residuo deve essere ritenuto decrescente. !
E q( ) =n n !1( )4
Test dei ranghi/2!
! =4q
n n "1( )"1
!
" #( ) =n n +1( ) 2n + 5( )
72
La q è legata al famoso ! di Kendall per la correlazione tra ranghi !
! varia tra -1 e 1 ed ha valore atteso nullo in una serie erratica. !
Il rapporto tra ! ed il suo scarto quadratico medio può essere usato per sottoporre a verifica l"ipotesi di erraticità!
Commercio al dettaglio.!
Il valore del ! di Kendall è molto prossimo allo
zero per cui, almeno sotto questo aspetto della
casualità, è da ritenersi priva di struttura!
!
4318
36x35"1
36x37x77
72
= 0.00026
La deviazione standard del ! è!
Test dei segni!
I segni degli errori si susseguono nel tempo in maniera casuale?!
Una coppia di segni successivi concordi: (+,+) oppure (-,-) è una permanenza ed una di segni discordi (+,-) (-,+) è una variazione!
Ad esempio, la successione!
Ha 25 coppie adiacenti di segni a partire da (-,-) e a finire con (+,+)!
Le divergenze sono 13 e riportate fuori diagonale !
Test dei segni/2!Se la serie fosse casuale la tabella dovrebbe mostrare indipendenza!
Segni + ! Totale
+ 7 6 13
! 7 5 12
Totale 14 11 25
Se fosse vera l"ipotesi di casualità, un valore di chi2 pari a 0.051 o minore, lo si potrebbe osservare l"82% delle volte (circa 8 su 10) cioè non è troppo raro e quindi si accetta l"ipotesi che i residui siano casuali.!
Segni + ! Totale
+ 7.28 5.72 13
! 6.72 5.28 12
Totale 14 11 25
!c2=7 " 7.28( )
2
7.28+6" 5.72( )2
5.72+7" 6.72( )
2
6.72+5 " 5.28( )2
5.28= 0.051
A questo fine si può adoperare il test del chi-quadrato!
Valor p=0.8213!
Esempio :!Commercio al dettaglio!
La casualità dei coefficienti di ciclicità è posta
seriamente in discussione da questo test!
Segni + ! Totale
+ 5 12 17
! 12 5 17
Totale 17 17 34
!c2= 5.765" p # value = 0.0163
t et
1 -0.3400 - - ++ + - - +
2 -0.1784 1 0 0 0
3 -2.6325 1 0 0 0
4 0.3735 0 0 0 1
5 2.3406 0 1 0 0
6 -1.2167 0 0 1 0
7 0.0561 0 0 0 1
8 -0.0428 0 0 1 0
9 0.2343 0 0 0 1
10 0.1159 0 1 0 0
11 0.4016 0 1 0 0
12 -1.2977 0 0 1 0
13 0.2987 0 0 0 1
14 1.3346 0 1 0 0
15 -0.6549 0 0 1 0
16 -0.5628 1 0 0 0
17 0.3998 0 0 0 1
18 -1.1187 0 0 1 0
19 1.9568 0 0 0 1
20 -0.4661 0 0 1 0
21 -0.0104 1 0 0 0
22 -1.1868 1 0 0 0
23 0.9232 0 0 0 1
24 -0.6652 0 0 1 0
25 0.2222 0 0 0 1
26 -1.2964 0 0 1 0
27 2.9236 0 0 0 1
28 0.1017 0 1 0 0
29 -2.6192 0 0 1 0
30 2.3051 0 0 0 1
31 -2.0309 0 0 1 0
32 0.6815 0 0 0 1
33 -0.0458 0 0 1 0
34 0.9819 0 0 0 1
35 -2.1495 0 0 1 0
36 0.6148 5 5 12 12
Correlazione seriale !
Significa che le osservazioni collocate in periodi distanziati di un ritardo fisso hanno un certo grado di dipendenza lineare.!
La correlazione seriale è misurata dalle autocovarianze e dalle autocorrelazioni di lag k (cioè spaziate di k periodi)!
La formula presuppone la STAZIONARIETA" cioè che la media E(yt)=µ sia costante nel tempo e che le autocovarianze dipendano solo dal lag k, ma non dal tempo t a cui siano riferite.!
! k = Cov yt ,yt "k( ) = E yt " µ( ) yt"k " µ( )[ ], k = 0,1, 2,…
! k = ! "kE" evidente che!
Condizione di stazionarietà !
Una serie è stazionaria se !1)#Non ha ciclo- trend oppure se questo è stato rimosso, cioè la retta parallela all"asse delle ascisse intorno a cui ruota la serie, rimane la stessa nel tempo.!
2)# Le fluttuazioni intorno ad essa hanno la stessa variabilità in periodi diversi.!
Questo tipo di serie sono stazionarie “in media e varianza”. !
I residui dell"approccio classico dovrebbero oscillare così intorno alla media zero.!
Yt
98.0
100.0
102.0
104.0
106.0
108.0
110.0
112.0
114.0
116.0
118.0
0 5 10 15 20 25 30
Yt
102.0
104.0
106.0
108.0
110.0
112.0
114.0
116.0
118.0
0 10 20 30
Stazionaria Non stazionaria
Autocorrelazioni !
L"autocorrelazione teorica di lag k è data da!
L"insieme delle autocorrelazioni considerate come funzioni del lag k è noto come !
CORRELOGRAMMA oppure FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE!
!k =Cov yt ,yt "k( )
Var yt( )Var yt"k( )[ ]=
# k# 0# 0
=# k# 0
, k = 0,1,2,…,
!k = !"k , k =1,2,…, !0 =1
! 0 = "2
N.B.
Data la simmetria della covarianza, si ha
Caclolo delle autocorrelazioni !L"equivalente empirico delle autocorrelazioni è! Dove µy è la media
campionaria della serie storica Y.!
rk =
yt ! µy( ) yt! k ! µy( )t= k+1
n
"
n
yt ! µy( )2
t=1
n
"
n
=
yt ! µy( ) yt! k ! µy( )t= k+1
n
"
yt ! µy( )2
t=1
n
"
per k =1,2,…,
Nell"ipotesi che "k=0 per ogni k>Q la varianza di rk è!
Var rk( ) !1
n1+ 2 "k
2
k=!
Q
#$
% & '
( Q=10+[$n]
Se l"approccio seguito nella scomposizione è stato rigoroso ed efficace , allora le autocorrelazioni NON dovrebbero essere troppo diverse da zero.!
orientativamente!
Ricostruzione della serie storica !
Si moltiplica il trend per i coefficienti di stagionalità e di ciclicità!
!
Rt= ˆ T
t
ˆ C t
ˆ S t
Il Trend assorbe il movimento di lungo periodo, non ripetitivo, continuo e senza sbalzi, almeno nell"arco di tempo considerato.!
I coefficienti ciclicità esprimono oscillazioni periodiche pluriennali dovute a cause congiunturali. !
La stagionalità rappresenta i movimenti legati a ricorrenze infran- nuali sistematiche ancorché irregolari che si esauriscono nell"anno.!
Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac Airport
Passengers
1995 2000 2005
300
400
500
Passengers
Estimates
Esempio !
Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac Airport
Residuals
1995 2000 2005
-0.10
0.00
0.10
5 10 15 20 25
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
Lag
ACF
5 10 15 20 25
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
Lag
PACF
Inadeguatezza nella determinazione del ciclo-trend e, in misura minore,
nella stagionalità
Gaussianità !
Molta della teoria inferenziale delle
serie storiche poggia sull'ipotesi
che i residui siano gaussiani.
Ci si aspetta in pratica che se si
costruisse l'istogramma dei residui
esso assumerebbe la tipica forma
campanulare delle distribuzioni
gaussiane.
Nelle applicazioni della vita reale la
gaussianità è rara come l'unicorno
e quindi le indicazioni che la
presuppongono debbono sempre
essere valutate con sano
scetticismo!
Verifica !
Consideriamo due indicazioni della gaussianità dei residui
Bowman_Shenton (1975)
Quoziente logaritmico di variabilità
!
Log" e
IQe
#
$ %
&
' ( +1
Per residui gaussiani dovrebbero entrambi tendere a zero
Esempio !
E’ rimasta qualche componente
inespressa.
UK gas consumption
U.S
. d
oll
ars
1960 1965 1970 1975 1980 1985
200
400
600
800
1000
1200
U.S. dollars
Estimates
-4 -2 0 2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
UK gas consumption
e
Approccio classico e residui!La serie ricostruita non ha componente erratica o almeno non la include esplicitamente.!
Una stima approssimata degli errori si ottiene dalle differenze!
Il successo del metodo di scomposizione si può misurare con il valor-p con cui NON si rifiuta l"ipotesi di erraticità e, in misura minore, l"ipotesi di gaussianità nei vari test proposti.!
Rispetto alla erraticità occorre considerare che, tanto i coefficienti di stagionalità quanto quelli di ciclicità, provengono da medie mobili che potrebbero aver indotto un effetto Slustky-Yule.!
La presenza di strutture nei residui quindi non è necessariamente dovuta a scelte sbagliate nella estrazione delle varie componenti.!
!
ˆ e t
=R
t
Yt
"1 =
ˆ T t
ˆ C t
ˆ S t
Yt
"1
Esempio! Esempio!
Le diagnostiche in questo caso evidenziano un esito inadeguato.!
Le revisioni possono riguardare il Trend, la Stagionalità ed il Ciclo.!
Arrivare ad un buon risultato può richiedere diversi passaggi.!
La ricostruzione è accettabile, ma è avvenuta conoscendo già quello
che era successo. Le previsioni sono un’altra cosa.!
L"approccio classico sembra ignorare informazioni significative sia rispetto al ciclo-trend che rispetto alla stagionalità!
Previsioni nell"approccio classico !
La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazione temporale delle formule!
Allungare il trend è semplice: si valuta il modello analitico per le nuove ascisse. Se non si allunga troppo il risultato è in genere attendibile!
La stagionalità fissa o variabile si estende replicando i coefficienti puri dell"ultimo anno. !
Anche la ciclicità si estende ipotizzando gli effetti del nuovo anno simili a quelli del vecchio.!
!
ˆ Y t +k
= Tt +k
Ct +k
St +k
; k =1,2,...,
!
St+k = St+k"12; k =1,2,...,La previsione con l’approccio classico, nella versione da noi descritta, non può
prevedere l’intervento di eventi che modificano sostanzialmente il
comportamento della serie.!
Questi possono accadere anche nel brevissimo periodo!
I cambiamenti bruschi possono essere inclusi nel processo se sono
già avvenuti in passato.!
L’approccio classico non è esatto, ma può essere utile!
Misure di adattamento!La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazione temporale delle formule!
!
MAPE =
( ˆ Y t +k
"Yt +k
) /Yt +k
k=1
#
$
#!
RMSE =
( ˆ Y t +k"Y
t +k) /Y
t +k
2
k=1
#
$
#
Root Mean Squared Prediction Error!
Mean Absolute Prediction Error!
!
Theil's U =
ˆ Y t +k"Y
t +k( )2
k=1
#
$
ˆ Y t +k( )
2
k=1
#
$ + Yt +k( )
2
L"indice TU varia tra zero ed uno!
Il calcolo si basa sull"idea del !“leaving-one-year out”: un anno è accantonato per valutare l"accuratezza della previsione.!
dati/bd/lavoro/amsocial/cig/cigordin/Cig_mensile.xls/view!Le funzioni periodiche!
Una funzione si dice periodica se i suoi valori si ripetono esattamente a intervalli regolari.!
!
f t( ) = f t + kr( ) " t, k = 0,±1,±2,…
Il minimo tra gli “r” che soddisfa tale condizione è il periodo della funzione e questa è detta funzione periodica di periodo “r”!
con periodo:!
!
a e b sono dei coefficienti
Questa impostazione dell"approccio classico renderà più esplicite le componenti periodiche quali la ciclicità e la stagionalità.!
Le funzioni periodiche più comuni sono il seno e coseno trigonometrici.!
!
r =2"
w!
asen wt( ), bsen wt( )
Ripasso !
Il seno di un angolo x (in gradi o radianti) è definito a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano.!
Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse, il seno dell'angolo è il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento DC).!
Ripasso/2 !Si definisce il coseno considerando una circonferenza di raggio unitario ed una semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse.!
Il coseno dell'angolo x è definito come il valore della coordinata x del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (lunghezza del segmento OC).!
Per angoli tra 0 e " / 2, il coseno
di un angolo è il seno dell'angolo
complementare, cioè!
Funzioni seno e coseno!La prima questione da affrontare è come si comporta la funzione sen(ax) , dove a è un numero reale positivo fissato a piacere. !
Considerare “ax” come argomento del seno corrisponde a cambiare la scala delle ascisse cioè il grafico di sen(ax) è quello di sen(x) ``dilatato'' o “contratto” secondo che “a” sia minore o maggiore di uno in valore assoluto!
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 12 14
Sen(x)
Sen(4x)
Sen(2x/!)
sen(x) nell"intervallo (0,4%) ha due picchi e due valli .!
sen(4x) ha 8 picchi e 8 valli!
sen(2x/#) sale e scende una sola volta!
Seno e coseno/2!Se le funzioni seno e coseno hanno periodo “r” allora saranno anche periodiche con periodo “2r”, “3r”, …!
Quando si parla di periodo si sottintende che si considera il periodo minimo, definito come il più piccolo p tale che f(x+r) = f(x) per ogni x!
Piú in generale sen(kx) e cos(kx) , con k intero, hanno come periodo minimo r=2k/%.!
cos(x) nell"intervallo (0,4%) ha tre picchi e due valli.!
cos(4x) ha 9 picchi e 8 valli!
cos(2x/#) sale una volta e scende due volte!
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 12 14
Cos(x)
Cos(4x)
Cos(2x/!)
Metodologia BV4!Studiamo una versione semplificata del metodo sviluppato dall"ufficio centrale di statistica tedesco!
Si tratta di uno schema ADDITIVO!
E" caratteristica l"ibridazione dei polinomi e delle armoniche di solito usate in contesti diversi (ad esempio in fisica).!
Trend-Ciclo = Un polinomio in t (di solito la cubica)!
Stagionalità = Somma di armoniche normalizzate!
yt = Tt + Ct + St + ut
Scomposizione in serie di Fourier!Questo approccio alle serie storiche venne avviato nei primi anni del secolo scorso, ma ebbe sviluppo limitato a causa delle difficoltà di calcolo di quel tempo.!
L"idea guida è che una funzione PERIODICA del tempo si possa esprimere come una somma di termini trigonometrici (armoniche).!
yt = ai sen 2!i
c
"
# $ %
& ' t +( i
)
* +
,
- .
i =1
m
/
c periodicità massima2!i
c frequenza dell' armonica
ai ampiezza dell ' armonica"i fase della armonicam numero di armoniche considerate
#
$
% %
&
% %
m è da scegliere!
Scomposizione in serie di Fourier/2!
L"ampiezza è lo scarto massimo (costante) di oscillazione rispetto all"asse!
La fase è l"ascissa del primo punto di massimo.!
Il periodo esprime la durata dell"oscillazione (curva tra due picchi)!
La frequenza (reciproco del periodo) si interpreta come il numero di oscillazioni nell"unità di tempo. !
ALTA FREQUENZA=MOLTE OSCILLAZIONI!
Scomposizione in serie di Fourier/3!
Ogni armonica è un"onda sinusoidale che completa il suo ciclo in “c/i” periodi.!
Le alte frequenze esprimono variazioni di breve periodo (stagionalità, settimane, giorni).!
Le basse frequenze componenti cicliche con cadenze sempre minori (man mano che si riduce la frequenza.!
Stagionalità e funzioni trigonometriche!La componente stagionale può essere espressa da una combinazione lineare di “armoniche”:!
Il coefficiente di stagionalità è
la somma delle armoniche.!
“i” è l’indice della armonica!
Questo è una tecnica di stagionalità variabile dato che il coefficiente varia per l"anno e per il periodo!
St = aii =1
m
! sen fit + " i( )
St = coefficiente di stagionalitàs = stagionalità (mesi ! s = 12)
fi =2"i
s frequenza della armonica
# i = fase della armonicasi = numero di periodi in cui si completa la stagionalità
m = numero massimo di armoniche in St
Stagionalità e funzioni trigonometriche/2!La durata più breve in cui si può parlare di “ciclo” è 2 (da un dato a quello successivo). Il massimo numero di armoniche stagionali è dato da!
Infatti, in caso di “s” pari, la m-esima armonica completerebbe il suo ciclo !in un numero di periodi uguale a:!
s
m=s
s
2
= 2
D"altra parte non è necessario usare tutte le armoniche dato che le prime!due o tre sono già in grado di esprimere complesse strutture ondulatorie.!
Le ultime armoniche sono poco oscillatorie e quindi poco utili.!
m =
s
2 se s è pari
s!1
2; se s è dispari
"
# $
% $
Stagionalità e funzioni trigonometriche/3!Esempio di armonica! a1 = 0; !1 = 0; a2 = "0.7; #2 = 0.6944$ (125°)
Stagionalità
1ª arm+2ª arm
1ª armonica
2ª armonica
Gli angoli sono misurati in radianti!
Metodologia BV.4!Se il trend è una polinomiale in “t”, il modello con stagionalità armonica è:!
!
yt = "0
+ " itk
i=1
k
# + aisen fit +$ i( ) + utj=1
m
#
il modello non è lineare a causa della presenza dei parametri # come!argomento del seno. Tuttavia, tenuto conto che:!
La relazione può essere linearizzata:!
!
sen x + y( ) = sen x( )*cos y( ) + sen y( )*cos x( )
!
yt = "0
+ " itk
i=1
k
# + a j $ j1sen f j t( ) *cos % j( ) + $ j2 cos f j t( ) * sen % j( )[ ] + utj=1
m
#
= "0
+ " itk
i=1
k
# + & j1sen f j t( ) + & j2 cos f j t( )[ ] + utj=1
m
#
Ancora sulla BV.4!Dato che la stagionalità deve compensarsi nell"arco dell"anno si pone il vincolo!
Vendite mensile di auto nel Quebec-Canada!
0
5
10
15
20
25
30
!
"1isen fit( )
i=1
m
# + "2i cos fit( ) = 0$
%2m =
& "1isen fit( ) + "
2i cos f it( )[ ]i=1
m&1
# &"1msen fmt( )
cos fmt( )
Che può essere soddisfatto ignorando l"armonica m-esima o una delle sue componenti oppure togliendo l"intercetta dal trend-ciclo!
fi = i!
6
"
# $
%
& ' , i = 1,2,…, 6
Esempio!
Vendite mensile di auto nel! Quebec-Canada!
Scelta del trend e delle armoniche con la stepwise regression (si delega al computer la selezione del numero di armoniche da usare)!
Operatività!È difficile che uno stesso modello rimanga valido per tutto l"arco temporale. Una validità per un periodo più ristretto sembra una strategia più realistica.!
La serie storica è quindi divisa in più sottoperiodi di numerosità simile h, ma comunque superiore al numero di parametri da stimare !
h > (k+1+s)!
Se h=19 ed n= 34 allora le finestre di stima sarebbero! i periodi indicati in colonna.!
Per ciascun sottoperiodo si devono stimare i parametri!della cubica e delle armoniche. Per comodità i termini da usare si scelgono con la stepwise regression.!
Invece di una media mobile abbiamo un modello mobile che potrebbe essere diverso da periodo a periodo.!
Inizio Fine
1 19
2 20
3 21
4 22
5 23
6 24
7 25
8 26
9 27
10 28
11 29
12 30
13 31
14 32
15 33
16 34
h di solito è 4 o 3!
Operatività/2!I sottoperiodi si sovrappongono, almeno in parte.!
Ne consegue che per uno stesso periodo disponiamo di più stime!
![DESCRIZIONE TEST COD. CVP DESCRIZIONE CVP NOTE · cocaina (urine) 90.18.3_9 droghe d'abuso: cocaina [u] colesterolo hdl 90.14.1_0 colesterolo hdl. ... curva prolattina 4 punti 90.35.2_8](https://static.documenti.site/doc/80x56/5c6a262b09d3f26b7d8c4243/descrizione-test-cod-cvp-descrizione-cvp-note-cocaina-urine-901839-droghe.jpg)
