Concetto di FUNZIONEConcetto di FUNZIONE

A cura Prof. Salvatore MENNITIA cura Prof. Salvatore MENNITI

Definizione di FunzioneDefinizione di Funzione

Una funzione Una funzione ff è una relazione tra due insiemi è una relazione tra due insiemi A e B che, ad ogni elemento A e B che, ad ogni elemento xx di A (dominio o di A (dominio o C.E.), associa uno e un solo elemento C.E.), associa uno e un solo elemento yy di B di B (codominio o insieme dei valori).(codominio o insieme dei valori).

Di solito si scrive Di solito si scrive yy = = ff((xx)) per indicare la legge per indicare la legge tra tra xxA ed A ed yyB.B.

Funzioni: Dominio e Funzioni: Dominio e CodominioCodominio

Dominio o C.E.Dominio o C.E.: insieme A: insieme A

CodominioCodominio: insieme B, detto anche : insieme B, detto anche “insieme dei valori”“insieme dei valori”

f f : A : A B B

A Bf

EsempiEsempi

Sono funzioni o applicazioni: Sono funzioni o applicazioni: – ff((xx) = ) = x + 1, dove x + 1, dove f f ::Z Z Z Z– Data una nazione, associare la sua capitaleData una nazione, associare la sua capitale

Le seguenti corrispondenze invece, Le seguenti corrispondenze invece, nonnon sono sono funzioni:funzioni:

– Data una persona, associarne i suoi parentiData una persona, associarne i suoi parenti– Data una nazione, associarne le sue città.Data una nazione, associarne le sue città.

Funzione come particolare relazioneFunzione come particolare relazione

Si dice grafico di una funzione Si dice grafico di una funzione f f : A : A B e si B e si denota con G(f), il sottoinsieme del denota con G(f), il sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B definito come prodotto cartesiano A x B definito come segue:segue:

AxBxfyByAx|y)(x,=G(f) )(,,

EsempioEsempio

Prendiamo la seguente funzione f:Prendiamo la seguente funzione f:N N NN::

ff((xx) = ) = 3x+13x+1

Essa può essere descritta come il Essa può essere descritta come il seguente insieme di coppie ordinate:seguente insieme di coppie ordinate:

(0,1), (1,4), (2,7), (3,10)……..(0,1), (1,4), (2,7), (3,10)……..

ProblemiProblemi

• A che funzione f: NA che funzione f: NN corrisponde N corrisponde l’insieme di coppie seguente?l’insieme di coppie seguente?

(0,4), (1,6), (2,8), (3,10), …(0,4), (1,6), (2,8), (3,10), …

• I seguenti insiemi di coppie I seguenti insiemi di coppie corrispondono a una funzione o no?corrispondono a una funzione o no?

(0,1), (1,2), (2,6), (2,9)(0,1), (1,2), (2,6), (2,9)

Rango di una funzioneRango di una funzione

Chiamiamo Chiamiamo rangorango o immagine di A, o immagine di A, l’insieme dei valori di una funzione.l’insieme dei valori di una funzione.

A B

Dominio Codominio

Rango

Definizione: Funzione Definizione: Funzione iniettivainiettiva

DefinizioneDefinizione. Una funzione . Una funzione f f : A: AB si B si dice dice iniettivainiettiva sse a elementi distinti del sse a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti dominio corrispondono elementi distinti del codominio, ovvero:del codominio, ovvero:

per ogni per ogni xx11,, xx22 D D, , xx11 xx22 segue segue ff((xx11)) ff((xx2 2 ))

Definizione: Funzione Definizione: Funzione suriettivasuriettiva

DefinizioneDefinizione. Una funzione . Una funzione f f : A: ABB si si dice dice suriettivasuriettiva sse il suo rango coincide sse il suo rango coincide con l’intero codominio B, ossia:con l’intero codominio B, ossia:

ff((AA) = ) = BB

Definizione: Funzione Definizione: Funzione biettivabiettiva

DefinizioneDefinizione. Una funzione suriettiva e . Una funzione suriettiva e iniettiva, si dice iniettiva, si dice biettivabiettiva o o biunivocabiunivoca..

DefinizioneDefinizione:: Funzione inversa Funzione inversa

Data una funzione biettiva Data una funzione biettiva ff : A : ABB, si dice , si dice funzione inversafunzione inversa di di ff (e si scrive (e si scrive ff-1-1) la ) la funzione funzione ff-1-1 : B : BA tale che:A tale che:

ff-1-1((yy) = ) = xx se e solo se se e solo se f f ((xx) = ) = yy

Provare che una funzione non biettiva in Provare che una funzione non biettiva in genere non può avere una funzione inversa.genere non può avere una funzione inversa.

Definizione:Definizione: Funzione identità Funzione identità

Dato un qualsiasi insieme A, la Dato un qualsiasi insieme A, la funzione funzione

ff : A : AAA si dice si dice funzione identitàfunzione identità sse: sse:

ff((xx) = ) = xx

La funzione identità di indica con iLa funzione identità di indica con iAA

Funzione compostaFunzione composta

DefinizioneDefinizione. . Date due funzioni Date due funzioni ff : A : A B e B e gg : B : B C (ovvero, il C (ovvero, il codominio della prima è dominio della seconda), si codominio della prima è dominio della seconda), si può definire una funzione può definire una funzione hh : A : A C tale che, per ogni C tale che, per ogni x x A A, , hh((xx) = ) = gg((ff((xx)).)).

Tale funzione Tale funzione hh è detta è detta funzione compostafunzione composta di di ff e e gg..

La funzione composta di La funzione composta di ff e e gg si indica anche con la si indica anche con la notazione notazione ff gg

OsservazioneOsservazione

Data una funzione biettiva Data una funzione biettiva ff : A : A B, B, essa può sempre essere composta con essa può sempre essere composta con a sua inversa a sua inversa ff-1-1 e si ottiene quanto e si ottiene quanto segue:segue:

ff-1-1 ff = i = iAA ed ed ff ff-1-1 = i = iBB