CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ

DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneConseguenze della Conseguenze della

continuità delle funzioni.continuità delle funzioni.Conseguenze della Conseguenze della

differenziabiltà delle funzioni di differenziabiltà delle funzioni di più variabili: continuità, più variabili: continuità, derivabilità, gradiente.derivabilità, gradiente.

CONSEGUENZE CONSEGUENZE DELLA CONTINUITÀDELLA CONTINUITÀ

Un sottoinsieme A RRnn si dice limitato se esiste un numero

reale r > 0, tale che A {x RRnn : |x|<r } = SO

r.

Un sottoinsieme K RRnn limitato e chiuso si dice anche

un insieme compatto.

Teorema

Ogni funzione continua f : K Rn R,

con K chiuso e limitato,

ha un valore massimo e uno minimo.

(di Weierstrass)

Un sottoinsieme A RRnn si dice connesso (per archi) se comunque si prendano due punti x,y A esiste un arco di curva continua a valori in A che congiunge x con y.

Un arco di curva continua è una funzione f : I RRnn , f = (f1 , .., fn)T, nella quale le singole componentif1(t) , .., fn(t) sono funzioni continue. I = [a,b] è un intervallo della retta reale, per esempio I = [0,1].

xy

f(0)= (f1(0),…, fn(0))T = x

f(1)= (f1(1),…, fn(1))T = y

Teorema(degli zeri)

Sia A un insieme connesso in Rn ef : A Rn R, una funzione continua.

Se x e y sono punti di A tali che

f(x) > 0 e f(y) < 0,

allora esiste z A tale che f(z) = 0.

CONSEGUENZE CONSEGUENZE DELLA DELLA

DIFFERENZIABILITÀDIFFERENZIABILITÀ

TeoremaTeoremaOgni funzione differenziabile

in un punto x0

è continua

nello stesso punto.

f : A Rn Rf : A Rn R

si dice differenziabile in

x0 = (x01, x0

2 ,… x0n)

T

si dice differenziabile in

x0 = (x01, x0

2 ,… x0n)

T

se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione

lineare L : Rn R tale che lineare L : Rn R tale che

f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+(x)|x-x0|

con (x) 0 se x x0.

Un’applicazione lineare

L : Rn RL : Rn R

si scrive esplicitamente

L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn

0)L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn

0)

con L1, …, Ln numeri reali.

limlimxx xx00

ff (( xx ))ff (( xx00))

TeoremaTeoremaSe una funzione è differenziabile

in un punto x0, essa

ha derivate in ogni direzione

in x0. In particolare, ha tutte

le derivate parziali.

Sia x = x0 + vt l’equazione della retta per x0 di direzione v.

|x - x0| = |t| |v| = |t|, |v| = |t|, poiché |v| = 1 (v è un versore).

f(x0+vt)-f(x0)_____________________

t== L(v)+(x0+vt) |t||t|

t

Dunque

∂f∂v

(x0) = L(v) = L1v1+…+ Lnvn

In particolare

∂f∂ek

(x0) = L(ek) = L10+…+ Lk1 +

…+ Ln0= Lk =∂f∂xk

(x0)

Si dice differenziale di f in x0

dfx0 (x-x0) = L(x-x0) =

(x0)(x1- x10)+…+

∂f∂xn

∂f∂x1

(x0)(xn- xn0)

La derivata direzionale si scrive

∂f∂v

(x0) = ∂f∂x1

(x0)v1 +…+∂f∂xn

(x0)vn

Se f, in particolare, è la proiezionesull’asse k-esimo, f(x1,…, xn) = xk,

le derivate parziali di f rispetto a xi sono Di f(x0) = ik (0 se i≠k, 1 se i=k),

e perciò il suo differenziale in x0 èdfx0(x-x0) = xk - xk

0. Dunque: dxk (x-x0) = xk - xk

0. Da ciò nasce la notazione spesso

usata

dfx0 = (x0)ddx1+…+ ∂f∂xn

∂f∂x1

(x0)ddxn

Il vettore che ha come componentile derivate parziali di f in x0 si dice il gradientegradiente della funzione in x0.

(grad f)(x0) = (f )(x0) =

=((∂f/∂x1)(x0), …, (∂f/∂xn)(x0))T=

=((D1f)(x0) , …, (Dnf)(x0))T

CONCLUSIONE

Se f è differenziabile in x0

f ha derivate in x0 in ogni direzione e

(Dvf)(x0) = (grad f)(x0)v =

= (f)(x0)v = (f)(x0), v

Nota: il simbolo si legge “nabla”.

Supponiamo |(f)(x0)| ≠ 0. Poiché

(Dvf)(x0) = (f)(x0), v =|(f)(x0)|||v| cos cos

Il massimo di (Dvf)(x0) si ha per =0, =0,

il minimo per il minimo per = =. Cioè la derivata . Cioè la derivata direzionale è massima nella direzionedirezionale è massima nella direzionedi di (f)(x0); minima nella direzioneopposta -(f)(x0).

ULTERIORI CONSEGUENZEDELLA DIFFERENZIABILITÀ

Se f è differenziabile in x0 vale

f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+(x)|x-x0|

con (x) 0 se x x0.

Il valore di f(x) è dato dalla somma di un termine lineare f(x0)+ L(x-x0) e di un contributo infinitesimo (x)|x-x0| d’ordine maggiore di uno (rispetto

a |x-x0| ).

Il termine lineare f(x0)+ L(x-x0) è in Rn l’equazione di un “iperpiano”, chesi dice l’iperpiano tangente al grafico

di f in x0.

z-z0 = (x0)((x1- x10) +…+

∂f∂xn

∂f∂x1

(x0)((xn- xn0)

Equazione dell’iperpiano tangente al grafico di f in x0.

Equazione del piano tangente al grafico di f(x,y) in (x0,y0).

z-z0 = (x0)((x- x0) +∂f∂y

∂f∂x

(x0)((y - y0)

0

4

2

0

-2

-4

-6

y

0

2

1

0

-1

-2

x

0

2

1

0

-1

-2