Controlli Automatici 2
Stefano Miani1
1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e MeccanicaUniversita degli Studi di Udine
tel: 0432 55 8262email: [email protected]
web: www.diegm.uniud.it/smiani
A.A. 2004-05
Testo di riferimento
Bolzern, Scattolini, SchiavoniFondamenti di controlli automatici,McGraw-Hill37 euro
Contenuti del corsoFunzione di trasferimento
Legame ingresso-uscitaStruttura della f.d.t.CancellazioniInvarianza della f.d.t.Rappresentazioni della f.d.t.F.d.t associata a un ritardo e ad azione proporzionale, integralee derivativaRisposta impulsivaRisposta al gradino
Schemi a blocchiConnessione serieConnessione paralleloRetroazione
RealizzazionePassaggio da stato a f.d.t.Passaggio da f.d.t. a statoForma di stato del sistema serieCancellazioniCancellazioni algebriche
Risposta in frequenzaDeterminazione della c.i.A asintoticamente stabileIngressi sinusoidali per sistemi asint. stabiliProprieta bloccanti degli zeriSegnali periodiciDiagrammi di Bode
Legame tra forma di stato e funzione di trasferimento
Sistema lineare e stazionario
x = Ax + Buy = Cx + Du
con u ∈ IRm, x ∈ IRn, y ∈ IRp.
sX (s)− x(0) = AX (s) + BU(s)Y (s) = CX (s) + DU(s)
X (s) = (sI − A)−1 x(0) + (sI − A)−1 BU(s)
Y (s) = C (sI − A)−1 x(0) +(C (sI − A)−1 + D
)︸ ︷︷ ︸
W (s)
U(s)
X (s) = Xel(s) + Xef (s)Y (s) = Yel(s) + Yef (s)
La f.d.t. W (s) contiene informazioni sul solo legameingresso-uscitau(t) = δ(t) =⇒ U(s) = 1 =⇒ Y (s) = W (s)
funzione di trasferimento = trasformata di Laplace della rispostaall’impulso g(t)
Per u(t) generica vale
yef (t) =
∫ t
0g(t − τ)u(τ)dτ
Struttura della funzione di trasferimento per sistemi SISO(m = p = 1)
W (s) = C (sI − A)−1 B + D
(sI − A)−1 =adj(sI − A)
det(sI − A)
Numeratore: matrice n × n di polinomi di grado al piu (n − 1)Denominatore: φA(s)=polinomio caratteristico della matrice A, digrado n
C (sI − A)−1 B =Cadj(sI − A)B
det(sI − A)=
n1(s)
φA(s)
n1(s) di grado ≤ (n − 1)
W (s) =n1(s)
φA(s)+ d =
n1(s) + dφA(s)
φA(s)=
n(s)
φA(s)
d 6= 0 ⇒ n(s) ha grado n.Se alcuni zeri zi di n(s) coincidono con gli autovalori di A (sidimostri che se cio accade allora ci sono cancellazioni tra gli zeri din1(s) e gli zeri di φA(s)) ⇒ grado di W (s) e < n.Effettuate le cancellazioni,zeri del numeratore di W (s)=zeri della f.d.t.zeri del denominatore di W (s)=poli della f.d.t.
poli ⊆ autovalori
Invarianza della funzione di trasferimento
x = Ax + Buy = Cx + Du
=⇒ G (s) = C (sI − A)−1B + D
Cambio di base, T invertibile: x = Tx
˙x =
A︷ ︸︸ ︷TAT−1 x +
B︷︸︸︷TB u
y = CT−1︸ ︷︷ ︸C
x + D︸︷︷︸D
u
G (s) = C (sI − A)−1B + D = CT−1(sI − TAT−1)−1TB + D
=⇒ G (s) = G (s)
Zeri, poli e rappresentazioni
Forma poli-zeri
G (s) =ρ
∏i (s + zi )
∏i (s
2 + 2ζiαni s + α2ni )
sg∏
i (s + pi )∏
i (s2 + 2ξiωni s + ω2
ni )
Forma di Bode
G (s) =µ
∏i (1 + sτi )
∏i (1 + 2ζi
sαni
s + s2
α2ni)
sg∏
i (1 + sTi )∏
i (1 + 2ξis
ωnis + s2
ω2ni)
ρ: costante di trasferimentog : tipo−zi , − pi : zeri e poli realiαni , ωni : pulsazioni naturali delle coppie di zeri e poli complessiconiugatiζi , ξi : smorzamenti delle coppie di zeri e poli complessi coniugatiµ: guadagnoτi , Ti : costanti di tempo degli zeri e dei poli reali
Ritardo, proporzionale, integrale e derivativa
Dato il segnale u(t), il segnale ritardato di τ > 0 secondi ey(t) = u(t − τ). Trasformando entrambi i membri si ottiene
Y (s) = e−sτU(S)
ovvero la f.d.t. associata al ritardo e G (s) = e−sτ . Le f.d.t.associate all’azione proporzionale, integrale e derivativa sono:
GP(s) = KP
GI (s) = 1s
GD(s) = s
Risposta impulsiva di sistemi elementari
G (s) =K
1 + sT⇒ g(t) =
K
Te−t/T
G (s) =1
s⇒ g(t) = δ−1(t)
G (s) = K ⇒ g(t) = Kδ(t)
G (s) = K ω2n
s2+2ξωns+ω2n
⇒ g(t) = Kωn√1− ξ2
e−ξωnt sin(ωnt
√1− ξ2
)
Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1s )
G (s) =bmsm + bm−1s
m−1 + . . . b0
sn + an−1sn−1 + . . . a0
Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G (s)G (s) e stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa
G (s) =
µ∏
i (1 + sτi )∏
i
(1 + 2ξni
sωni
+(
sωni
)2)
sg∏
i (1 + sTi )∏
i
(1 + 2ξdi
sωdi
+(
sωdi
)2)
G (s) = µ1+sT
y(t) = µ(1− e−t/T
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Schemi a blocchi
Sistemi n-dimensionali, m = p = 1 (SISO)
W (s) =n(s)
d(s)= K
∏(s − zi )∏(s − pi )
C(s) P(s)r u y
Wry (s) = P(s)C (s) = C (s)P(s)
Realizzazione
x = Ax + Buy = Cx + Du
Wuy (s) = C (sI − A)−1B + D =Cadj(sI − A)B
det(sI − A)+ D
E univoco!!!
W (s) di ordine n in forma minima: le forme di stato che larealizzano sono infinite. Le forme di stato di dimensione minimahanno n stati.
W (s) =bns
n + bn−1sn−1 + · · ·+ b0
sn + an−1sn−1 + · · ·+ a0
W (s) = d +b1n−1s
n−1 + · · ·+ b10
sn + an−1sn−1 + · · ·+ a0
A =
0 1 0 . . . 00 0 1 0 00 . . . 0 1 00 . . . . . . 0 1−a0 −a1 −a2 . . . −an−1
B =
00...01
C =
[b10 b1
1 . . . . . . b1n−1
]D = d
Serie: W1(s) = (A1,B1,C1,D1) e W2(s) = (A2,B2,C2,D2),u2 = y1
Atot =
[A1 0
B2C1 A2
]Btot =
[B1
B2D1
]Ctot =
[D2C1 C2
]Dtot = D2D1
Esercizio: si determinino le forme di stato delle connessioniparallelo e retroazione. Si verifichi che per la connessione inretroazione in generale λ(Atot) 6= λ(A1)
⋃λ(A2)
r u y
s−3s+1s−3
s+2
Wry (s) =s + 1
s + 2
Il sistema non e’ internamente stabile, ovvero esistono c.i. percui l’uscita di evoluzione libera diverge.
W1(s) : A1 = −2, B1 = 1, C1 = −5, D1 = 1
W2(s) : A2 = 3, B2 = 1, C2 = 4, D2 = 1
Atot =
[−2 0−5 3
]
Le cancellazioni algebriche introdotte per semplificare ladeterminazione della fdt sono ammesse. L’eventuale cancellazionezero-polo instabile e’ virtuale.
r +y
−
10 1s−1s+5
1s−1
1s−1
r +
−
10s+5
yy1
Wry (s) =10
(s + 5)(s − 1) + 10Wry1(s) =
10(s − 1)
(s + 5)(s − 1) + 10
Nota: se il sistema di partenza avesse realmente avuto larappresentazione con y1, il sistema complessivo sarebbe risultatoinstabile internamente.
Risposta in frequenza
x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)
G (s) = C (sI − A)−1B + D (1)
Dato u(t) = eλt+β, ∃ x(0) tale che x(t) = x(0)eλt+β?
x(t) = λx(0)eλt+β = Ax(0)eλt+β + Beλt+β
λx(0)eλt+β = Ax(0)eλt+β + Beλt+β (2)
x(0) = (λI − A)−1B
y(t) =[C (λI − A)−1 B + D
]eλt+β = G (λ)eλt+β
Cambio di variabile:
x(t) = x(t)− x(0)eλt+β
x(0) = x(0)− x(0)eβ
Ingresso: u(t) = eλt+β
˙x(t) = x(t)− λx(0)eλt+β =
= Ax(t) + Beλt+β − Ax(0)eλt+β − Beλt+β
dove si e’ utilizzata l’espressione (2)
Dunque (ricorda: x(t) = x(t)− x(0)eλt+β)
˙x(t) = Ax(t)− Ax(0)eλt+β = A(x(t)− x(0)eλt+β) = Ax(t)
A e’ asintoticamente stabile, allora ∀ x(0), ovvero, ∀ x(0):
x(t) → 0 =⇒ x(t) → x(0)eλt+β
Riassumendo: se A e’ asintoticamente stabile, l’uscitacorrispondente all’ingresso u(t) = eλt+β, per qualsiasi condizioneiniziale, e tale che
y(t) = Cx(t) + Du(t) → y(t) = G (λ)eλt+β
u(t) = sin(ωt + ϕ0) =e j(ωt+ϕ0) − e−j(ωt+ϕ0)
2j=
=eλ1t+β1 − e−(λ1t+β1)
2j=
u1 − u2
2j
Sistema lineare (sovrapposizione effetti) e A asintot. stabile =⇒considero le due risposte asintotiche separatamente:
y1 = G (jω)e j(ωt+ϕ0), y2 = G (−jω)e−j(ωt+ϕ0)
y =y1 − y2
2j
G (s) e la trasformata di un segnale reale:
G (−jω) = G (jω)
G (jω) = |G (jω)|e∠G(jω) G (−jω) = |G (jω)|e−∠G(jω)
y =y1 − y2
2j= |G (jω)|e
j(ωt+ϕ0+∠G(jω)) − e−j(ωt+ϕ0+∠G(jω))
2j
= |G (jω)| sin(ωt + ϕ0 + ∠G (jω))
Esercizio: si giunga allo stesso risultato mediante sviluppo diHeaviside della trasformata della risposta forzata. considerandol’ingresso U(s) = ω
s2+ω2
G (λ) = 0 =⇒ il segnale eλt viene asintoticamente bloccato
R
Cin
V
+
−
+ −
+
−
vin − vR − vC = 0vR = RiRiC = CvC
i = iR = iC
vin − RiR − vc = 0 =⇒ vin − RCvC − vc = 0
vc = − 1
RCvc +
1
RCvin, vC (0) = 0
VC (s) =1
1 + sRCVin(s) = GC (s)Vin(s)
VR(s) = Vin(s)− VC (s) =sRC
1 + sRCVin(s) = GR(s)Vin(s)
La capacita si comporta come una circuito aperto in continua,infatti GR(0) = 0, in continua la tensione cade tutta ai capi dellacapacita’.
Un segnale periodico f (t) di periodo T ammette uno sviluppo inserie di Fourier
F0 = 1T
∫T f (t)dt
F cn = 2
T
∫T f (t) cos(n 2π
T t)dtF s
c = 2T
∫T f (t) sin(n 2π
T t)dt
f (t) = F0 ++∞∑n=1
[F c
n cos
(n2π
Tt
)+ F s
n sin
(n2π
Tt
)]
f (t) =1
4+0.2026 cos(2πt)+0.0225 cos(6πt)+0.0081 cos(10πt)+. . .
−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Si consideri il sistema dinamico
P(s) =1
1 + s
con u(t) = f (t) = 14 + 0.2026 cos(2πt) + 0.0225 cos(6πt) + . . . ;
Il segnale di regime permanente in uscita e’ la somma dei singolicontributi di regime permanente.
yRP(t) = |P(j0)|14 + |P(j2π)|0.2026 cos(2πt + ∠P(j2π))+|P(j6π)|0.0225 cos(6πt + ∠P(j6π)) + . . .
P(0) = 1 |P(2jπ)| = 0.1572, ∠P(2jπ) = −1.4130(|P(6jπ)| = 0.0530)
yRP = 0.25 + .0318 cos(2πt − 1.4130) + [0.0012 cos(6πt + . . . )]
Confronto tra la risposta di regime permanente ottenuta con u(t)e con u(t) troncato alla prima armonica
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Diagrammi di Bode
Funzione di trasferimento W (s) stabile
u(t) = A sin(ωt + φ)
Y (s) = W (s)U(s)
I modi del sistema decadono =⇒ restano i modi in ingresso
yrp(t) = A|W (iω)| sin (ωt + φ + arg (W (iω)))
Se il sistema e stabile si comporta come un guadagno e unosfasatore (variabili) alle varie frequenze
W (s) =1
(s + 1)(s + 3)
u(t) = sin(t) =⇒ y(t) =
∣∣∣∣ 1
(1i + 1)(1i + 3)
∣∣∣∣ sin(t+∠1
(1i + 1)(1i + 3))
G (iω) = |G (iω)|e i arg(G(iω)): risposta in frequenzaRappresentazione grafica di modulo e fase
|G (iω)|dB = 20 log10 |G (iω)|
|G (iω)|dB = |µ|dB +∑
j |1 + iωτj |dB +∑
j
∣∣1 + 2iξNj ω/ωN
j − ω2/ω2j
∣∣dB−
g |ω|dB −∑
j |1 + iωTj |dB −∑
j
∣∣1 + 2iξDj ω/ωD
j − ω2/ω2j
∣∣dB
arg (G (iω)) = arg(µ) +∑
j arg (1 + iωτj) + · · · −∑j arg
(1 + 2iξD
j ω/ωDj − ω2/ω2
j
)µ 1/s 1/ (1 + sT ) 1/ (1 + 2ξs/ωn + s2/ω2
n)
|µ|dB = 20 log10 |µ| arg(µ) =
{0 se µ > 0−π se µ < 0∣∣∣∣ 1
(iω)g
∣∣∣∣dB
= −20g log10 ω arg
(1
(iω)g
)= −g
π
2
∣∣∣∣ 1
1 + iωT
∣∣∣∣dB
=
{0 se ω � 1/|T |−20 log10 ω − 20 log10 |T | se ω � 1/|T |
arg
(1
1 + iωT
)=
{0 se ω � 1/|T |−π
2 sign(T ) se ω � 1/|T |