+ All Categories
Home > Documents > Corso di Analisi Matematica 1...E vero l’inverso (giusti care la risposta con un esempio)?. Prova...

Corso di Analisi Matematica 1...E vero l’inverso (giusti care la risposta con un esempio)?. Prova...

Date post: 26-Jan-2021
Category:
Upload: others
View: 4 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
58
Corso di Analisi Matematica 1 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica – Prof. A. Iannizzotto Prove d’esame Versione del 22 luglio 2020
Transcript
  • Corso di Analisi Matematica 1Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica – Prof. A. Iannizzotto

    Prove d’esame

    Versione del 22 luglio 2020

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 gennaio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle. Quindi, data una funzione f : [−1, 1]→ Rpari e derivabile, dimostrare che esiste x̃ ∈]− 1, 1[ tale che Df(x̃) = 0.

    2. Studiare la funzione

    f(x) =

    √x2 − 1x2 + 1

    ,

    disegnandone il grafico.3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π

    4

    0

    1 + sin(x)2

    2 cos(x)2dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=1

    (−1)n ln(n+ 1

    n

    ).

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchyu′′ + u′ + u = x+ 2

    u(0) = 0

    u′(0) = 1.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per lafunzione

    f(x) = ln(x2 + 1).

    7. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 gennaio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange. Quindi, data una funzione f :[−1, 1]→ R dispari e derivabile, dimostrare che esiste x̃ ∈]−1, 1[ tale che Df(x̃) = f(1).

    2. Studiare la funzione

    f(x) =

    √x− 1x+ 1

    ,

    disegnandone il grafico.3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π

    4

    0

    1 + cos(x)2

    2 sin(x)2dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=1

    (−1)n ln(n2 + 1

    n2

    ).

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchyu′′ − u′ + u = cos(x)u(0) = 1

    u′(0) = 0.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per lafunzione

    f(x) = ex2−1.

    7. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Unicità del Limite.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 4 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di de l’Hôpital. Applicandolo, calcolare

    limx→0

    ln(1 + x)

    2x.

    2. Studiare la funzione

    f(x) = arctan(x− 1x+ 1

    ),

    disegnandone il grafico. Determinare l’estremo superiore di f nel suo insieme didefinizione, precisando se si tratta di un massimo.

    3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x+ 2

    x2 + 4x+ 3dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Calcolare i seguenti limiti di successioni

    limn

    ln(2) + ln(3) + . . .+ ln(n)

    n!, lim

    n

    n!

    nn.

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchy{u′ = tan(u)

    u(0) =π

    2.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area del dominio

    D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, (x− 1)2 + y2 6 1}.7. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R una funzione derivabile: dimostrare che f

    è continua. È vero l’inverso (giustificare la risposta con un esempio)?.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 4 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di de l’Hôpital. Applicandolo, calcolare

    limx→0

    tan(x)

    2x.

    2. Studiare la funzione

    f(x) = arctan(x+ 1x− 1

    ),

    disegnandone il grafico. Determinare l’estremo inferiore di f nel suo insieme didefinizione, precisando se si tratta di un minimo.

    3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x+ 1

    x2 − 4x+ 4dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Calcolare i seguenti limiti di successioni

    limn

    n

    √sin( 1n

    ), lim

    n

    n

    √sin( 1en

    ).

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchy{u′ = x(1 + 4u2)

    u(0) = 0.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area del dominio

    D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, (x+ 1)2 + y2 6 1}.7. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R → R una funzione derivabile t.c. Df(x) > 0

    per ogni x ∈ R: dimostrare che f è crescente. È vero l’inverso (giustificare la rispostacon un esempio)?.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 25 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Scrivere e dimostrare la formula per la derivata di una funzione composta. Quindideterminare tutti i punti critici della funzione f(x) = tan(x2 + x) nel suo insieme didefinizione.

    2. Studiare la funzionef(x) = x+ ln(|x|),

    disegnandone il grafico.3. Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato∫ +∞

    2

    (ln(x+ 1)− ln(x− 1)

    )dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare la formula del binomio di Newton.Applicandola, calcolare

    10∑k=0

    (10k

    ).

    5. (Programma da 9 crediti) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale

    u′ +u

    x= ex

    definite in ]0,+∞[.6. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della

    funzione f :]0, π]→ R definita da

    f(x) =sin(x)

    x,

    precisando se si tratta di massimo e minimo.7. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare tutte le primitive della funzione

    f(x) =|x− 1|x2 − 1

    nel suo insieme di definizione.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 25 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Scrivere e dimostrare la formula per la derivata di una funzione inversa. Quindicalcolare la derivata di f(x) = arcsin(x+ 1) nel suo insieme di definizione.

    2. Studiare la funzionef(x) = x− ln(|x|),

    disegnandone il grafico.3. Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato∫ +∞

    1

    ln(x)

    x2dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare la formula del binomio di Newton.Applicandola, calcolare

    10∑k=0

    (10k

    )2k.

    5. (Programma da 9 crediti) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale

    u′ − ux

    = x2

    definite in ]0,+∞[.6. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della

    funzione f : [−π, 0[→ R definita da

    f(x) =sin(x)

    x,

    precisando se si tratta di massimo e minimo.7. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare tutte le primitive della funzione

    f(x) =|x+ 1|x2 − 1

    nel suo insieme di definizione.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 aprile 2016 – Tempo: 150 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare il Teorema dei valori intermedi (o di esistenza degli zeri). Applicandolo,dimostrare che l’equazione

    tan(ex) = 0

    ammette infinite soluzioni in ]0,+∞[.2. Studiare la funzione

    f(x) = 3√x(x− 1)2,

    disegnandone il grafico (omettere lo studio della derivata seconda). Descrivere ilcomportamento di f nei punti x = 0, 1.

    3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 20

    x− 2x2 + 4x+ 5

    dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare il Criterio di Leibniz per le serienumeriche, illustrandolo con un esempio.

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

    u

    x= cos(x)

    u(π) = 0.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Dire, motivando la risposta, per quali valori di α > 0converge l’integrale generalizzato ∫ 1

    0

    1

    xαdx.

    7. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area dell’insieme

    D = {(x, y) ∈ R2 : |y − 1|+ x2 6 1}.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 9 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare, senza fare uso dei Teoremi di de l’Hôpital, il seguente limite:

    limx→+∞

    ln(x2 + x)− ln(x)√x+ 1

    .

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =x2 − |x|+ 1

    x+ 1.

    3. Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti. Applicandola, calcolare ilseguente integrale definito: ∫ π

    2

    0

    ex cos(2x) dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie∞∑n=1

    (−1)n tan( nn2 + 1

    ).

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = u(2− u)u(0) = 1.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R la funzione definita da

    f(x) =

    {sin(x ln(|x|)) se x 6= 00 se x = 0.

    Dire, motivando la risposta, se f è continua o derivabile in 0.7. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per

    f(x) = tan(x2),

    quindi usarlo per dimostrare che f ha un minimo in 0.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 9 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare, senza fare uso dei Teoremi di de l’Hôpital, il seguente limite:

    limx→+∞

    ln(x2 − x)− ln(x)√x− 1

    .

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =x2 + |x|+ 1

    x− 1.

    3. Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti. Applicandola, calcolare ilseguente integrale definito: ∫ π

    2

    0

    ex sin(2x) dx.

    4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie∞∑n=1

    (−1)n sin( nn2 + 1

    ).

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = u(3− u)u(0) = 2.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R la funzione definita da

    f(x) =

    {tan(x ln(|x|)) se x 6= 00 se x = 0.

    Dire, motivando la risposta, se f è continua o derivabile in 0.7. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per

    f(x) = sin(x2),

    quindi usarlo per dimostrare che f ha un minimo in 0.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limnn2(e

    1n − e

    1n2).

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = (x+ 1)e1x+1 .

    3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(2x)− cos(x)sin(x)2 − cos(x)2

    dx.

    4. Determinare il punto di massimo globale della funzione f : [π2, 3π

    2]→ R definita da

    f(x) =

    ∫ xπ2

    sin(t)

    tdt.

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = cos(x)

    u(0) = 0.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare uno dei Teoremi di de l’Hôpital.Applicandolo, calcolare il seguente limite:

    limx→0

    arctan(ex − 1)ln(x2 + 1)

    .

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limnn(e

    1n − e

    1n2).

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = (x− 1)e1

    x−1 .

    3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(2x)− sin(x)sin(x)2 − cos(x)2

    dx.

    4. Determinare il punto di minimo globale della funzione f : [π, 2π]→ R definita da

    f(x) =

    ∫ xπ

    cos(t)

    tdt.

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + sin(x)u = sin(x)

    u(0) = 0.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare uno dei Teoremi di de l’Hôpital.Applicandolo, calcolare il seguente limite:

    limx→0

    tan(ex − 1)ln(x2 + 1)

    .

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 22 luglio 2016 – Tempo: 150 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =x2

    ln(|x|).

    2. Determinare gli estremi superiore e inferiore dell’insieme

    A ={x− 1

    x: x ∈]0,+∞[

    }.

    3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ √20

    x+ 2

    x2 + 2dx.

    4. Calcolare, facendo uso dei Teoremi di de l’Hôpital, il limite

    limx→+∞

    ln(π

    2− arctan(x)

    )x+ ln(x)

    .

    5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − u′ = cos(x)u(0) = 0

    u′(0) = 1.

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f(x) = ex2+x. Determinare il polinomio di grado 2

    che meglio approssima f in un intorno di 0.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 settembre 2016 – Tempo: 150 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare il Teorema della media integrale. Applicandolo, dimostrare la seguentediseguaglianza:

    cos(1) 6 sin(1) 6 1.

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =ln(1− x)x− 1

    .

    3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10

    √1 + x dx.

    4. Determinare i punti di accumulazione dell’insieme numerico

    A ={n+ 1

    n2: n ∈ N, n > 1

    }.

    5. (Programma da 9 crediti) Studiare il carattere della serie∞∑n=0

    tan( 1n+ 3

    − 1n+ 4

    )(suggerimento: usare il criterio del confronto asintotico).

    6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ln(1− x2)sin(x)2

    .

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello per fuori-corso del 18 ottobre 2016 – Tempo: 150 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare tutti i punti di frontiera in R dell’insiemeA = {x ∈ Q : 0 6 x 6 1}.

    2. Calcolare il seguente limite:

    limnn(esin(1/n) − 1

    ).

    3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =ex

    x2 + 1

    (suggerimento: l’unica radice reale del polinomio x3 − 3x2 + 5x+ 1 è x̄ = −0, 179...).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1

    0

    x

    x2 + 2x+ 2dx.

    5. Determinare il polinomio di Maclaurin di ordine 4 della funzione f(x) = cos(x).Dimostrare quindi che, se f è una funzione pari, anche i suoi polinomi di Maclaurinsono funzioni pari.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 14 novembre 2016 – Tempo: 90 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Sia f : [a, b]→ R una funzione derivabile e convessa. Dimostrare che essa è massimaagli estremi dell’intervallo di definizione, cioè

    maxx∈[a,b]

    f(x) = max{f(a), f(b)}.

    Applicando il precedente risultato, determinare il massimo della funzione f(x) = x4 − xnell’intervallo [−2, 1].

    2. Studiare il carattere della serie∞∑n=0

    ln(en + 1)

    n3 + 1.

    3. Studiare la funzione f(x) =√x4 − 1 nel suo insieme di definizione, tracciandone il

    grafico. Precisare se f ammette massimo o minimo globali.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 14 novembre 2016 – Tempo: 90 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Sia f : [a, b]→ R una funzione derivabile e convessa. Dimostrare che essa è massimaagli estremi dell’intervallo di definizione, cioè

    maxx∈[a,b]

    f(x) = max{f(a), f(b)}.

    Applicando il precedente risultato, determinare il massimo della funzione f(x) = ex2

    nell’intervallo [−2, 1].2. Studiare il carattere della serie

    ∞∑n=0

    ln(en + 1)

    n2 + 1.

    3. Studiare la funzione f(x) =√x2 − 1 nel suo insieme di definizione, tracciandone il

    grafico. Precisare se f ammette massimo o minimo globali.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 19/12/2016 – Tempo: 180 minuti (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare gli estremidella funzione f :]−

    √π,√π[→ R definita da

    f(x) = sin(x2).

    2. Calcolare il seguente limite:

    limnnn tan

    (e

    1n! − 1

    ).

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = exx+1 .

    4. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge:∫ +∞2

    ln(

    1 +1

    x2

    )dx.

    5. Stabilire se la funzione f(x) = sinh(x) è analitica in 0. Quindi usare le serie diMaclaurin di f e di Df per dimostrare che

    sinh(x) + cosh(x) = ex.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 2u′ + u = x2

    u(0) = 1

    u′(0) = 1.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/1/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare gli estremi superiore e inferiore del seguente insieme, precisando se sitratta di minimo o massimo:

    A ={n2 + 1n+ 1

    : n ∈ N}.

    2. Studiare la convergenza della serie∞∑n=0

    en(n3 + n)

    n!.

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = x2 + 2 ln(|x+ 2|).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

    1

    1

    x ln(x)2 + xdx.

    5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1

    tan( 1n

    )xn.

    6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 4u′ + 4u = 1 + e−x.

    7 Calcolare la media integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da

    f(x) =

    {x2 se x ∈ [0, 1]x3 se x ∈ ]1, 2].

    Gli studenti che hanno superato la prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 9 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/1/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare gli estremi superiore e inferiore del seguente insieme, precisando se sitratta di minimo o massimo:

    A ={n2 − 1n+ 2

    : n ∈ N}.

    2. Studiare la convergenza della serie∞∑n=0

    en(n2 + 1)

    n!.

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = x2 + 2 ln(|x+ 1|).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

    1

    ln(x)

    x ln(x)2 + xdx.

    5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1

    sin( 1n

    )xn.

    6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 4u′ + 4u = 1− e−x.7 Calcolare la media integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da

    f(x) =

    {x3 se x ∈ [0, 1]x2 se x ∈ ]1, 2].

    Gli studenti che hanno superato la prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 9 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 27/1/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare, per induzione, che per ogni n ∈ N, n > 1

    13 + 23 + . . .+ n3 =n2(n+ 1)2

    4.

    2. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0

    (−1)n ln(n2 + 1

    n2

    ).

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = arctan( xx+ 1

    ).

    4. Studiare la convergenza del seguente integrale:∫ 10

    1

    sin(x)dx.

    5. Applicando la formula di Maclaurin, calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ex − cos(x)− xx2

    .

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′ =ln(x)

    uu(1) = 1.

    7 Dimostrare il Teorema di Lagrange.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 27/1/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare, per induzione, che per ogni n ∈ N, n > 11 + 3 + . . .+ (2n− 1) = n2.

    2. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0

    (−1)n sin(n+ 1

    n3

    ).

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = arctan( xx− 1

    ).

    4. Studiare la convergenza del seguente integrale:∫ 10

    1

    ln(x+ 1)dx.

    5. Applicando la formula di Maclaurin, calcolare il seguente limite:

    limx→0

    sin(x)− arctan(x)x3

    .

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′ =sin(x) cos(x)

    uu(0) = 1.

    7 Dimostrare il Teorema di Rolle.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 16/2/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Sia f : R→ R derivabile due volte: dimostrare che f è convessa se e solo se D2f(x) > 0per ogni x ∈ R. Dimostrare che se f è convessa e non costante, allora f è superiormenteillimitata.

    2. Calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ln(ex − x)1− cos(x)

    .

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = ln(x2 + 1)− x.4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1/2

    0

    2x2

    x4 − 1dx.

    5. Determinare il carattere della seguente serie numerica:∞∑n=0

    (√n2 + 1− n

    ).

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + 4u = sin(2x)

    u(0) = 1

    u′(0) = 0.

    7 Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 16/2/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Sia f : R→ R derivabile due volte: dimostrare che f è concava se e solo se D2f(x) 6 0per ogni x ∈ R. Dimostrare che se f è concava e non costante, allora f è inferiormenteillimitata.

    2. Calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ln(ex − x)x sin(x)

    .

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = ln(x2 + 1) + x.

    4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1/20

    2

    x4 − 1dx.

    5. Determinare il carattere della seguente serie numerica:∞∑n=1

    (n−√n2 − 1

    ).

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + 4u = cos(2x)

    u(0) = 0

    u′(0) = 1.

    7 Enunciare e dimostrare il Teorema di unicità del limite per le funzioni.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 11/4/2017 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.2. Calcolare il seguente limite:

    limx→+∞

    (√x2 + x−

    √x2 + 1

    ).

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = xe1x .

    4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/40

    1

    sin(x)2 + 1dx.

    5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica:∞∑n=0

    (−1)n√n2 + 1

    .

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + u = x2 + 1

    u(0) = 0

    u′(0) = 1.

    7 La funzione

    f(x) = arctan(x− 1

    x

    )ha in 0 una discontinuità: di che tipo?

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 8/6/2017 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ln(1 + arctan(x2))

    ex − 1.

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =x2 + 2|x|+ 1

    x+ 1.

    3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10

    e2x + 2ex

    e2x + 1dx.

    4. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.5. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di potenze:

    ∞∑n=1

    (1− cos

    ( 1n

    ))xn.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = cos(x)

    u(0) = 0.

    7 Determinare e classificare i punti di discontinuità della seguente funzione:

    f(x) =sin(x) + 1

    x+ 1.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 26/6/2017 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→+∞

    (x2 + 1x+ 1

    ) 1x.

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = x− 2 arctan(x).3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

    1

    ln(x)2 dx.

    4. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale.5. Studiare la convergenza delle seguenti serie:

    ∞∑n=1

    tan( 1n

    )n,∞∑n=1

    cos( 1n

    )n.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + tan(x)u = cos(x)

    u(0) = 1.

    7 Dimostrare che la funzione F : [0,+∞[→ R definita da

    F (x) =

    ∫ x0

    (et − t) dt

    è convessa.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14/7/2017 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    (ln(n2 + n)− ln(2n2)

    ).

    2. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = ex−x3

    (omettere la localizzazione dei punti di flesso, limitandosi a indicarne il numero).3. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1

    0

    ln(x+√x) dx.

    4. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:

    ∞∑n=1

    tan( √nn+ 1

    )xn.

    6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 4u′ + 3u = e−x.

    7. La funzione continua

    f(x) =ex

    x− 1assume valori positivi e negativi, ma non si annulla mai. Com’è possibile?

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/9/2017 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→+∞

    ex + ln(1 + x2)

    2x + sin(x).

    2. Stabilire se la funzione g(x) = |x|3x è derivabile in 0, e in caso affermativo calcolareDg(0) = 0.

    3. Studiare la funzione f(x) = ln(1 + 2x2), tracciandone il grafico e deteminandone gliestremi globali.

    4. Calcolare il seguente integrale:∫ e1

    1 + ln(x)

    x2dx.

    5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica:∞∑n=1

    (−1)n(e

    1n − 1

    ).

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ =

    √xu2

    u(1) = 1.

    7. Determinare tutti i punti critici della funzione

    I(x) =

    ∫ x0

    sin(t)

    tdt.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 9 novembre 2017 – Tempo: 90 minuti

    Compito A (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare, per induzione su n, la seguente eguaglianza:n∑i=0

    (2i+ 1) = (n+ 1)2.

    2. Calcolare i seguenti limiti:

    limx→0

    ln(cos(x))

    x2, limx→+∞

    arctan(e

    1x − 1

    )ln(1x

    + 1) .

    3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

    f(x) = ln(x2 − 2|x|+ 1

    x+ 1

    ).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 9 novembre 2017 – Tempo: 90 minuti

    Compito B (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare i punti interni, di frontiera e di accumulazione dell’insieme

    A ={ n2n2 + 1

    : n ∈ N}.

    2. Calcolare i seguenti limiti:

    limn

    (1 + e−n

    )n!, lim

    n

    (1 + e−n

    )n2.

    3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = x− arctan(x+ 1).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 17/11/2017 – Tempo: 90 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Data la successione

    an = ln( n2n2 + 1

    ),

    dimostrare che (an) è monotona. Quindi calcolare

    infn∈N0

    an, supn∈N0

    an.

    2. Sia f : R → R una funzione pari, derivabile, tale che f(0) = 0, e sia g(x) = xf(x).Dimostrare che g è dispari e che 0 è un punto critico sia per f che per g.

    3. Studiare la funzione f(x) = x2e1x , tracciandone il grafico e determinandone gli estremi

    globali.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 17/11/2017 – Tempo: 90 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Data la successione

    an = ln(n2 + 1

    n2

    ),

    dimostrare che (an) è monotona. Quindi calcolare

    infn∈N0

    an, supn∈N0

    an.

    2. Sia f : R→ R una funzione dispari, derivabile, e sia g(x) = xf(x). Dimostrare che gè pari e che 0 è un punto critico per g.

    3. Studiare la funzione f(x) = xe1x2 , tracciandone il grafico e determinandone gli estremi

    globali.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 20/12/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito A (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    (n2 + 1n2

    )2 ln(n).

    2. Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione sinh(x). Applicando laformula di Maclaurin, calcolare

    limx→0

    sinh(x)− xx3

    .

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =ex

    ex − 1.

    4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos(x)2

    2 cos(x)2 + sin(x)2dx.

    5. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale. Applicandolo, dimostrareche se f : [0, 1]→ R è una funzione crescente e f̄ denota la sua media integrale, allora

    f(0) 6 f̄ 6 f(1).

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 4u = xe2x

    u(0) = 1

    u′(0) = 0.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 20/12/2017 – Tempo: 180 minuti

    Compito B (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→+∞

    e2x2+1

    x3 − 1ln(1 + 1/x

    ) .2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle. Applicandolo, dimostrare che se f :

    [−1, 1]→ R è una funzione pari derivabile, allora Df(0) = 0.3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = arctan(x2 − 1

    x2

    ).

    4. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 10

    ln(x)√xdx.

    5. Calcolare il seguente limite:

    limx→0+

    ∫ x0

    sin(ln(t+ 1)) dx

    x2.

    6. Risolvere la seguente equazione differenziale:

    u′′ + 2u′ − 3u = x2 + x.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 18/1/2018 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limnn2(

    ln(n2 + 1)− ln(n2)).

    2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare i punti diestremo locale della funzione f(x) = 3x3 − 2x2 + 1.

    3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =

    √x2 + 1

    x+ 1

    (lo studio del segno della derivata seconda non va completato).4. Calcolare il seguente integrale:∫ 1

    0

    e2x + ex

    e3x + 1dx.

    5. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 10

    1

    ln(√x+ 1)

    dx.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ − 2xu = xu(0) = 1.

    7. Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1

    sin( 1n2

    ),

    ∞∑n=1

    1

    sin(n2).

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 18/1/2018 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limnn(

    ln(n2 + n)− ln(n2)).

    2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare i punti diestremo locale della funzione f(x) = 2x3 − 3x2.

    3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =

    √x2 + 1

    x− 1(lo studio del segno della derivata seconda non va completato).

    4. Calcolare il seguente integrale:∫ 10

    e2x − ex

    e3x − 1dx.

    5. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 10

    1

    ln(x2 + 1)dx.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + 2xu = 2x

    u(0) = 1.

    7. Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1

    ln(

    1 +1

    n2

    ),

    ∞∑n=1

    1

    ln(1 + n2).

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 1/1/2018 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare i seguenti limiti:

    limx→±∞

    arctan( |x|+ 1x+ 1

    ).

    2. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi. Applicandolo, dimostrare cheesiste x ∈ R t.c. ex = x2. (Facoltativo: dimostrare che tale x è unico.)

    3. Studiare, disegnandone il grafico, la seguente funzione:

    f(x) = x− ln(|x+ 1|).4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫

    (x+ 1) arctan(x− 1) dx.

    5. Determinare i punti critici della funzione F : [0, 2]→ R definita da

    F (x) =

    ∫ x0

    sin(t2)

    t+ 1dt.

    6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 4u′ + 4u = sin(2x).

    7. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=0

    (1 +

    1

    n2

    )nxn.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 15/2/2018 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare i punti di accumulazione dell’insieme

    A ={1 + n

    en: n ∈ N0

    }.

    2. Determinare e classificare i punti di discontinuità della funzione

    f(x) =arctan(1/x)

    1− x2.

    3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = ln(x+ 1x− 1

    ).

    4. Calcolare il seguente integrale:∫ e1

    ln(x)− 1x ln(x)2 + x

    dx.

    5. Calcolare il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione f(x) = sin(2x), quindiapplicandolo calcolare

    limx→0

    sin(2x)− 2xx3

    .

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

    u

    x+ 1= ex

    u(0) = 1.

    7. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0

    (−1)n2n

    n!.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 7 giugno 2018 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limnn2 ln

    (cos(1/n)2 + 2 sin(1/n)2

    ).

    2. Determinare gli estremi globali della funzione f(x) = x+2|x| nell’intervallo I = [−1, 1].3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = ln( x2

    1 + x2

    ).

    4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫e2x + 2ex

    1 + exdx.

    5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 5u′ + 6u = e−2x.

    7. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1

    xn

    3√n.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 25 giugno 2018 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→0+

    ln(1 + xx).

    2. Sia (an) una successione a termini reali crescente, tale che an 6 1 per ogni n ∈ N.Dimostrare che (an) è convergente.

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =x2 + |x|x2 + 1

    (calcolare la derivata seconda senza determinare esplicitamente i punti di flesso).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1

    0

    arctan(x+ 1) dx.

    5. Stabilire se la funzione f : R→ R definita da

    f(x) =

    {x ln(|x|) se x 6= 00 se x = 0

    ammette le derivate destra e sinistra in 0.6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{

    u′ = x(1 + u2)

    u(0) = 0.

    7. Studiare la convergenza assoluta e semplice della seguente serie numerica:∞∑n=1

    (−1)n2n

    n!.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 18/7/2018 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    n2e2n

    n!(suggerimento: dimostrare che la successione è definitivamente decrescente...)

    2. Calcolare gli estremi superiore e inferiore dell’insieme

    A ={

    ln(n+ 1

    n

    ): n ∈ N0

    },

    specificando se si tratta di massimo o minimo.3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =ex

    2x+ 1.

    4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(ln(x))

    xdx.

    5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 2u′ + u = cos(x).

    7. Determinare l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1

    xn

    2n + n.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14/9/2018 – Tempo: 180 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ln(cos(x))

    ln(x+ 1).

    2. Enunciare il Teorema di Weierstraß. Quindi stabilire, motivando la risposta, se lafunzione f(x) = e

    1x ammette massimo o minimo globali in R \ {0}.

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =√x2 − 2x− 3.

    4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10

    x+ 2

    x2 + 4dx.

    5. Enunciare e dimostrare la formula della derivata di un prodotto.6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{

    u′ + cos(x)u = sin(2x)

    u(0) = 0.

    7. Determinare il carattere della seguente serie:∞∑n=0

    n2 + 1

    en.

    Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 5/11/2019 – Tempo: 90 minuti

    Simulazione

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Sia f : [0,+∞[→ R una funzione derivabile e convessa, tale chelim

    x→+∞f(x) = 0.

    Dimostrare che f è non-crescente.2. Calcolare

    limn

    ln(en + 1

    )sin(n+ 1

    n2

    ).

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =e2x + 2

    ex − 1.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 8/11/2019 – Tempo: 90 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare tutti i punti di accumulazione dell’insieme

    A ={

    (−1)nn2 − nn2 + 1

    : n ∈ N}.

    2. Calcolarelim

    x→+∞arctan

    (x(e

    1x − 1

    )).

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =x2

    ln(x).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 8/11/2019 – Tempo: 90 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare tutti i punti di accumulazione dell’insieme

    A ={

    (−1)nn sin( 1n

    ): n ∈ N0

    }.

    2. Calcolare

    limx→0

    arctan( ln(x2 + 1)

    x2

    ).

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =1

    x2 ln(x).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23/12/2019 – Tempo: 180 minuti

    Compito A (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    e1n − 1

    ln(n+ 1)− ln(n).

    2. Determinare gli estremi globali della seguente funzione nel suo insieme di definizione:

    f(x) = arctan(ln(x+ 1)).

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =ln(|x− 1|)x− 1

    .

    4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10

    e2x − ex

    e2x + 1dx.

    5. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale, illustrandone il significatogeometrico.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy (scartando la soluzione u = 0):{u′ − sin(x)u = sin(x)u 12u(0) = 0.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23/12/2019 – Tempo: 180 minuti

    Compito B (Simulazione)

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limx→1

    √x− 1−

    √x2 − 1

    sin(x− 1).

    2. Determinare e classificare i punti critici della seguente funzione:

    f(x) =ln(x2 + 1)

    x2 + 1.

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =ex + 1

    ex − 1.

    4. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ +∞0

    ln(x+ 1)

    xdx.

    5. Enunciare la formula di Maclaurin con resto di Peano. Applicandola, calcolare ilseguente limite:

    limx→0

    ln(x+ 1)− sin(x)x2

    .

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 2u′ + 2u = e2x

    (cos(x)− sin(x)

    )u(0) = 0

    u′(0) = 1.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 10/1/2020 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare la seguente formula per ogni n ∈ N, n > 2:n−1∏k=1

    n− kk

    = 1.

    2. Calcolare il seguente limite:

    limx→+∞

    ln(ex + 1)− ln(ex − 1)e−x

    .

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = x− arctan(x+ 1)(omettere lo studio del segno di f).

    4. Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per la funzione f(x) = ln(x2 + 1).Studiandolo, determinare la natura di x = 0 come punto critico di f .

    5. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫tan(x)2

    2 sin(x)2 + cos(x)2dx.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

    u

    x+ 1= sin(x)

    u(0) = 0.

    Gli studenti che sostengono la seconda prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame completo svolgano tutti i quesiti.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 10/1/2020 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare la seguente formula per ogni n ∈ N, n > 2:n∏k=1

    4k = 2n(n+1).

    2. Calcolare il seguente limite:

    limx→0

    ln(1 + x2)− ln(1− x2)x2

    .

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = x− arctan(x− 1)(omettere lo studio del segno di f).

    4. Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per la funzione f(x) = ln(1 − x2).Studiandolo, determinare la natura di x = 0 come punto critico di f .

    5. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫tan(x)2

    sin(x)2 + 2 cos(x)2dx.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

    u

    x+ 1= cos(x)

    u(0) = 0.

    Gli studenti che sostengono la seconda prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame completo svolgano tutti i quesiti.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 31/1/2020 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    (n2 + 2n+ 1n2 + 2n

    )2n2.

    2. Determinare e classificare i punti di discontinuità della seguente funzione nel suoinsieme di definizione:

    f(x) =

    x2 + 3x+ 2

    |x+ 1|x 6= −1

    0 x = −1.3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = ex√

    1− 2x.4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1

    0

    x− 1x2 + 3x+ 2

    dx.

    5. Discutere, motivando la risposta, la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ +∞1

    ln(x+ 1)

    x2dx.

    6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

    u′′ − 2u′ + u = ex + 1(avvertenza: usare il metodo della variazione delle costanti).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 31/1/2020 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    (2n2 + n+ 12n2 + n

    )n2.

    2. Determinare e classificare i punti di discontinuità della seguente funzione nel suoinsieme di definizione:

    f(x) =

    x2 + x− 2|x− 1|

    x 6= 1

    0 x = 1.

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) =

    √2x+ 1

    ex.

    4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 0−1

    x+ 1

    x2 − 3x+ 2dx.

    5. Discutere, motivando la risposta, la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ +∞1

    ln(x+ 1)

    xdx.

    6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

    u′′ + 2u′ + u = e−x + 1

    (avvertenza: usare il metodo della variazione delle costanti).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 21/2/2020 – Tempo: 180 minuti

    Compito A

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    sin(

    2n

    )e

    1n − 1

    .

    2. Stabilire, motivando la risposta, se la seguente equazione ammette soluzioni in R:

    ln(x− 1

    x

    )= 0.

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = |x|e1x .

    4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x arctan(x− 1) dx.

    5. Calcolare, senza svolgere l’integrale, il seguente limite:

    limx→0+

    ∫ x0

    (et − 1) dtx2

    .

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = sin(x) cos(x)

    u(0) = 0.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 21/2/2020 – Tempo: 180 minuti

    Compito B

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite:

    limn

    1− cos(

    1n

    )e

    1n2 − 1

    .

    2. Stabilire, motivando la risposta, se la seguente equazione ammette soluzioni in R:

    ln(x+ 1

    x

    )= 0.

    3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

    f(x) = xe1|x| .

    4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x arctan(x+ 1) dx.

    5. Calcolare, senza svolgere l’integrale, il seguente limite:

    limx→0+

    ∫ x0

    tan(t) dt

    x2.

    6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ − sin(x)u = sin(x) cos(x)u(0) = 1.

  • Test di Autovalutazione di Analisi Matematica 1Appello del 30/4/2020 – Tempo: 120 minuti

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Dimostrare il Teorema di Rolle.2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =ex

    x− 1.

    3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 10

    e2x − ex

    ex + 1dx.

    4. Calcolare il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione

    f(x) =1

    x+ 1.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 24/6/2020 – Tempo: 120 minuti

    Test di Autovalutazione

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Sia f : R → R una funzione derivabile in un punto x0 ∈ R. Dimostrare che f ècontinua in x0.

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) = ln(x2 − x+ 1).3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫

    cos(x)2 + 1

    sin(x) cos(x)dx.

    4. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

    u

    x= ex

    u(1) = 1.

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello dell’8/7/2020 – Tempo: 120 minuti

    Test di Autovalutazione

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Calcolare il seguente limite di successione:

    limnn2 ln

    [1 + sin

    ( 1n

    )].

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico (lo studio della derivata secondaè facoltativo):

    f(x) = xe1

    x−1 .

    3. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ +∞1

    ln(x)√xdx.

    4. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale lineare del secondoordine:

    u′′ + u = cos(x)− sin(x).

  • Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 22/7/2020 – Tempo: 120 minuti

    Test di Autovalutazione

    Nome e Cognome

    Matricola

    Corso di Laurea

    Crediti

    Docente

    1. Determinare e classificare i punti di discontinuità della seguente funzione nel suoinsieme di definizione (inclusi i punti di frontiera):

    f(x) =ln(x+ 1)

    x2 − x.

    2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

    f(x) =ex

    x2 − 1(lo studio della derivata seconda è facoltativo).

    3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π2

    0

    (x2 + x) cos(2x) dx.

    4. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = x2eu

    u(0) = 0.


Recommended