Date post: | 02-May-2015 |
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Corso di Fisica Generale IICorso di Fisica Generale II
Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina
1) Il principio di Relatività di Galilei2) Il teorema di addizione delle velocità3) Inconsistenza dell’Elettromagnetismo con la Meccanica Classica4) L’esperimento di Michelson e Morley5) I principi della Relatività di Einstein6) Simultaneità di due eventi e sincronizzazione7) Le trasformazioni di Lorentz8) Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi9) Lo Spazio-tempo di Minkowski ed il cono di luce10) Il quadrivettore quantità di moto e la relazione massa-energia
Parte XII: Cenni di teoria della relatività
x ’= x x = x’y’ = y y = y’z’ = z - uzt z = z’ + uzt’t’ = t t = t’
R R’ R’ R
Le Leggi della Meccanica sono le stesse in tutti i possibili sistemi di riferimento inerziali
x
t• P
x’
t’
O
yzz’
y’
O’uzt
Riferimenti Inerziali R ed R’:
Traslano con velocità u=cost.
Trasformazioni di Galilei
Il Principio di Relatività di GalileiIl Principio di Relatività di Galilei
Le equazioni per (x,y) ed (x',y') sono una diretta conseguenza dell' isotropia dello spazio
Le equazioni per t e t’ esprimono il postulato dell’esistenza di un tempo assoluto
Vale il Principio di Reciprocità: RR' è la trasformazione inversa di R' R e si ottiene conu - u. Di conseguenza la distinzione
R= "in quiete" R'="in moto"
è puramente arbitraria: un osservatore1) solidale con R vede O' allontanarsi con vel. u 2) solidale con R' vede O allontanarsi con vel. -u
Il concetto di moto è relativo
Postulato della Teoria della Relatività: E’ impossibile distinguere per mezzo di unesperimento o fenomeno fisico un riferimento inerziale da un’altro
Le misure delle distanze in R ed in R' sono eseguite con regoli dalle stesse caratteristichechimico-fisiche, che si suppone non cambino nei passaggi R’R’, calibrati una volta pertutte a t=0
Alcuni CommentiAlcuni Commenti
Siccome dt=dt’, r’=r-ut, e la velocità di trascinamento è costante
“In quiete”
dt
rdv
“In moto”
uvturdt
d
td
rdv
Ciò corrisponde alla nostra intuizione, ma è una conseguenza dell’ ipotesi di tempo assoluto
La conseguenza di ciò è che le accelerazioni sono le stesse in ogni riferimento e quindianche le forze (se le masse restano costanti)
“In quiete”
dt
vda
Fam
Fam
“In moto”
auvdt
d
td
vda
Quindi se m=m’, F=F’. In riferimenti non inerziali 0dt
ud
FF
Il Teorema di addizione delle velocitàIl Teorema di addizione delle velocità
t
E
cJBrot
t
BErot
Bdiv
Ediv
20
0
1
0
Le equazioni di Maxwell Costanti universali
220
72
00
24130
122
7
0
18
00
1041
108541878184
10
109979245821
Atml;m/henryxc
Atmlm;/faradx.c
tlcsec;/mx.c
Le costanti e c dipendono solo dalla scelta del sistema di unità di misura. Quindiè strano che una velocità non dipenda dalla scelta del riferimento
Sia che possono essere espresse in termini di c
Le predizioni delle equazioni di Maxwell accadono: e.g. onde elettromagnetiche, dipolioscillanti, etc.
Inconsistenza fra l’Elettromagnetismo e la Meccanica ClassicaInconsistenza fra l’Elettromagnetismo e la Meccanica Classica
Alcuni risultati dell’elettromagnetismo sono:
Tutto ciò è palesemente inconsistente con le trasformazioni di Galilei
È possibile elaborare
Tre ipotesi di consistenzaTre ipotesi di consistenza
1) Le onde elettromagnetiche si propagano in un mezzo, l’ ETERE, che è anche un riferimento "privilegiato", la cui esistenza deve essere provata (Maxwell,1879)
2) Le Trasformazioni di Galilei sono corrette ma l’Elettromagnetismo è non formulato correttamente (Teorie Emissive, Lorentz-Fitzgerald e altri)
3) Le Trasformazioni di Galilei non sono corrette e la Teoria della Relatività va corretta (Relatività ristretta di Einstein)
1) Non esistono azioni a distanza2) I campi si propagano per onde la cui velocità di fase nel vuoto è c3) c è una costante universale4) I campi non sono invarianti per cambiamento di riferimento, (e.g. in un riferimento solidale con una carica puntiforme questa è ferma e non subisce forze di Lorentz in un campo magnetico perché v=0)
TeoriaSistema di riferimento
Dipendenza della velocità
Connessione spazio-temporale
Trasformazioni
Teoria classica dell’Etere
Etere c non dipende dal moto della sorgente
spazio e tempo sono indipendenti
Trasformazioni di Galilei
Teorie emissiveNessun rif. privilegiato
c dipende dal moto della sorgente
spazio e tempo sono indipendenti
Trasformazioni di Galilei
Teoria della Relatività Speciale
Nessun rif. privilegiato
c non dipende dal moto della sorgente
spazio e tempo sono interdipendenti
Trasformazioni di Lorentz
Caratteristiche delle teorie di consistenzaCaratteristiche delle teorie di consistenza
Esperimento Etere Staz. no contraz.
Etere Staz. contraz. di Lorentz
Etere solidale corpi pond.
Sorgente originale
Balistica Relatività speciale
Aberrazione sì sì no sì sì sì
Coeff. Fizeau sì sì no sì irr. sì
Michelson-Morley no sì sì sì sì sì
Michelson-Morley l. s. no sì sì no no sì
Kennedy-Thorndike no no sì sì sì sì
Sorg. e specchi in moto sì sì sì sì no sì
De Sitter, stelle binarie sì sì sì no no sì
Massa-velocità no sì no irr. irr. sì
Massa-Energia irr. irr. irr. irr. irr. sì
Radiaz.cariche in moto sì sì irr. no no sì
Decadimento mesoni irr. irr. irr. irr. irr. sì
Trouton-Noble no sì sì irr. irr. sì
Induzione unipolare no no irr. irr. irr. sì
Legenda: sì= accordo; no=disaccordo; irr.= irrilevante per la teoria
Confronto Teorie-EsperimentiConfronto Teorie-Esperimenti
Per verificare l’esistenza dell’etere Michelson ideò il seguente esperimento. Se l’Etere esistenon può essere solidale con la Terra. Quindi facendo interferire i raggi che percorrono itratti AS1 ed AS2 e ruotando l’interferometro deve essere possibile misurare una variazionedi frange
s1
s2
l2
l1
Ad
LL
TT
Esperimento I
s1
s2
l2
l1
A
d
LL
TT
Esperimento II
L’esperimento di Michelson-MorleyL’esperimento di Michelson-Morley
Se la Terra si muove rispetto a l’Etere con velocità v e la direzione di tale moto è AS2,il tempo t2 che impiega la luce a percorrere il tratto AS2A sarà
222
22
211
vc
cl
vcvclt
A A
H
S1
Mentre a percorrere il tratto AS1A starà un tempo t1, perché vi sarà stata un traslazione2AH=vt1 del punto A
22
11
21
21
2221
1
2
4
222
vc
ltl
tv
cHSAH
cc
ASt s
La distanza fra le frange di interferenza dipende dal rapporto fra la differenza di camminodelle due onde e la lunghezza d’onda
2
2
2
1
2
2
21
11
2l
c
v
l
c
v
ttcI
Se adesso si ruota l’inteferometro di 90 gradi (Esp. II), i ruoli di l1 ed l2 si invertono
2
2
21
2
2
21
11
2
c
v
ll
c
v
ttcII
La rotazione dovrà dare dunque una variazione di frange legata alla differenza di fase
2
2
2
2
21
1
11
1
2
c
v
c
v
llIII
Pertanto ripetendo l’esperimento per tantissime differenti rotazioni, a tutte le ore del giornoe della notte, tutti i giorni dell’anno, nell’arco di molti anni (inclinazione dell’asse terrestre)si dovrà apprezzare una differenza nelle frange di interferenza che corrisponderà al momentoin cui la direzione del moto terrestre rispetto all’Etere sarà parallelo
Michelson e Morley non rivelarono MAI variazioni delle frange superiori agli errorisperimentali
Pertanto se l’Etere esiste è solidale con la TerraPertanto se l’Etere esiste è solidale con la Terra (cioè non esiste)
Ci sono evidenze sperimentali e teoriche sufficienti ad ammettere che la velocità di fasedelle onde elettromagnetiche è costante
Queste evidenze falsificano la teoria della Relatività di Galilei, in particolare negano ilteorema di addizione delle velocità
Per quanto spiacevole e contrario alle nostre intuizioni possa essere la teoria della Relativitàdi Galilei è inesatta e va ampliata per tenere in conto che c=costante
È necessario, pertanto, introdurre un nuovo principio della Teoria della Relatività:c=costante
Sulla base dei nuovi principi bisogna cercare le nuove leggi di trasformazione che devonoridursi alle trasformazioni di Galilei per velocità relative piccole rispetto a c
In Fisica quello che conta sono i fatti e non le sensazioni, che sono basate sulla nostraesperienza quotidiana per la quale
u << cu << c
I principi della Relatività di EinsteinI principi della Relatività di Einstein
Pertanto i Principi della Teoria della Relatività di Einstein devono diventare:
1) Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali
2) La velocità delle onde elettromagnetiche ha lo stesso valore c in tutti i riferimenti inerziali
Come vedremo ciò ha delle conseguenze concettuali drammatiche: bisogna abbandonareil concetto di tempo assoluto
Bisogna poi dare delle ricette per la sincronizzazione degli orologi in sistemi in motorelativo
La costanza di c in tutti i riferimenti implica che due eventi simultanei nel sistema in quietenon lo siano per un osservatore in moto
l’onda el.mag. NON raggiungei punti A e B simultaneamenteperché A si avvicina ad O’ convelocità u, mentre B si allontanada O’ con velocità -u
O’
d d
AB u
c t A d u t A ; c t B du t B
t A
dcu
; t B d
c u
t A t B
AB O
d d
l’onda el.mag. raggiungei punti A e B simultaneamente
dctA ; dctB
tA
dc; tB
dc
tA tB
"In quiete" "In moto"
Un onda è emessa da una sorgente posta nell’originedel riferimento al tempo t=0 quandoO’ coincide con O
Simultaneità e sincronizzazioneSimultaneità e sincronizzazione
Il tempo trascorre in maniera differente in riferimenti inerziali diversi
Non si può pensare di sincronizzare gli orologi portandoli prima tutti nell’origine O e quinditrasportarli nei punti dello spazio (x,y,z) perché il moto altera lo scorrimento del tempo.Ogni punto dello spazio deve avere il suo proprio orologio, e deve usarsi il fatto chec=costante (II principio della relatività) per sincronizzare tutti gli orologi: un orologioin (x,y,z) è sincronizzato con un orologio in O se segna un tempo
c
zyxz,y,xt
222
quando è raggiunto da un’onda partita da O all’istante in cui l’orologio in O segnava t(O)=0e se ciò è vero per tutti gli istanti successivi.
Spazio e tempo sono quindi intimamente connessi
Si deve introdurre il concetto di Evento Puntuale mediante l’assegnazione delle quattrovariabili (x,y,x,t)
Possiamo ora cercare le equazioni di trasformazione per due riferimenti inerziali imponendoche non esista un tempo assoluto ma che la velocità della luce sia una costante
Sincronizzazione degli orologiSincronizzazione degli orologi
x
t
x’
t’
O
yzz’
y’
O’uzt
a a’
Consideriamo due riferimenti inerziali, e cerchiamo dapprima le trasformazioni lungole direzioni perpendicolari alla direzione del moto di trascinamento
Deve essere: y=a(R); y’=a’(R’);=> k=a’/a
Ora posso invertire le direzioni di x e z e non deve fisicamente cambiar nulla se lo spazio èomogeneo: x-x, y y, z -z; x’ -x’, y’ y’, z’ -z’.
A causa dello scambio z -z, z’ -z’ il ruolo di R ed R’ si scambia (si inverte uz): devequindi essere pure k=a/a’. Ma siccome a e a’ non dipendono dallo stato di moto di O e O’deve essere k2=1. Siccome non ho cambiato il segno di y deve essere per forza k=+1 e quindi
aa
Ovvero le distanze lungo y (perpendicolare al moto relativo) non cambiano. Pertanto
yy
xx
Le Trasformazioni di LorentzLe Trasformazioni di Lorentz
Non può però essere così per z e z’ (la direzione del moto) e per t e t’ (non esiste il tempoassoluto)
Tali trasformazioni devono essere lineari, perché deve essere sempre possibile scambiareil ruolo di R ed R’ (Principio di Reciprocità)
Proviamo con leggi del tipo: bzatt;utzz dove i parametri REALI , a e b vanno determinati imponendo c=costante
Se all’istante t=0 O ed O’ coincidono e una sorgente emette un’onda sferica, le equazionidel fronte d’onda nei due riferimenti saranno
"In quiete" "In moto"
22222 tczyx 22222 tczyx
Sostituendo nell’ultima equazione a x’,y’,z’ e t’
22
222222222222
222222
2 tc
uactzabcuzcbyx
bxatcutzyx
Ma i fronti d’onda devono coincidere, quindi per confronto si ottengono le tre equazioni
1012
22222222
c
ua III);abcu II);cb I)
Ricavando b2 dalla I e a2 dalla III .c
ua;
cb
2
2222
22 11
1
E riscivendo la II, quadrandola e sostituendo
2
2
2
22
222242224222224
222
224242242422
1
1
1
1
1
11
1
c
uc
u
;ucucu;ucu
cc
ucu;bacu;abcu
Sostituendo nelle altre a;c
ub
2
La scelta dei segni deve essere consistente col fatto che R è in quiete e R’ è in moto(a,>0 e b<0)
Si ottengono così le famose Trasformazioni di Lorentz
zc
u'tt
ut'zz
'yy
'xx
zc
ut't
utz'z
y'y
xx
22
RR’ R’R
Rispettano il Principio di Reciprocità (scambiare u-u equivale a scambiare il sistema inquiete con quello in moto)
Rispettano l’isotropia dello Spazio
Si riducono alle trasformazioni di Galilei nel limite u<<c
Ecco perché Galilei e la nostra intuizione falliscono: le velocità cui siamo abituati sonotroppo piccole rispetto alla velocità della luce
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2
Definendo 2
121
c
u
In pratica differisce da 1 solo per valori di > 0.2, cioe u > 6.0 107 m/sec
Un osservatore fermo in R vuole misurare la lunghezza d di un regolo fermo in R’
O
z
z’O’dd
z1 z2
z’1 z’2uzt
L’osservatore in O deve registrare contemporaneamente rispetto al suo orologiole coordinate z1 e z2
"In quiete" "In moto"
12 zzd 12 zzd
ddzzd 12
Gli oggetti in moto rispetto ad un osservatore appaiono contratti nella direzione del moto,rispetto al risultato ottenibile da un osservatore FERMO rispetto ad essi
Contrazione delle lunghezzeContrazione delle lunghezze
O z
z’
O’uz
Un osservatore fermo in O’ (in moto) misura la distanza temporale fra due eventi
Troverà 12 ttT
Per la quarta trasformazione di Lorentz (con z’=0)
TT;tt;tt 2211
Per un osservatore “in moto il tempo” scorre più lentamente che per un osservatore“in quiete” (paradosso dei gemelli)
Si definisce il tempo proprio di un corpo in moto come il tempo segnato da un orologiosolidale col corpo stesso
Dilatazione dei tempiDilatazione dei tempi
È possibile definire una lunghezza pari a x4=ct. Siccome c è una costante universale, questegrandezze fisiche, tempo e lunghezza hanno lo stesso significato fisico.(Attenzione 4 è un apice non un esponente!)
Un evento puntuale EE(x,y,z,t) può essere quindi definito in termini delle quattrocoordinate spazio-temporali EE(x1=x,x2=y,x3=z,x4=ct)
Nei fatti abbiamo definito uno spazio quadridimensionale, lo Spazio-tempo di Minkowski,nel quale le trasformazioni di Lorentz assumono una forma estremamente più simmetrica
344
433
2211
344
433
2211
xxx
xxx
xx;xx
xxx
xxx
xx;xx
Inoltre le quantità 242322212242322212 xxxxs;xxxxs
sono identiche, quindi invarianti per trasformazione di Lorentz
In questo spazio quadridimensionale s gioca il ruolo del modulo del vettore posizione, equindi le trasformazioni di Lorentz vanno pensate come rotazioni delle coordinate inquesto spazio
Lo Spazio-Tempo di MinkowskiLo Spazio-Tempo di Minkowski
In questo spazio il moto di un punto materiale deve essere pensato come una sequenza dieventi puntuali: cioè il punto materiale in differenti punti spaziale a differenti tempi
La legge oraria del moto sarà quindi una traiettoria detta linea universo
Per moti solo nella direzione x3
tan
x3
x4
1czt
uc 1
450
x4
x3
450
Futuro
Passato
Alt
rove A
ltrove
Se la velocità della luce è il limite superiore di tutte le velocità, allora tutte le linee-universosono contenute nelle zone indicate da Passato (x4<0) e Futuro (x4>0)e le regioni indicate conAltrove sono irraggiungibili. Il Presente è il punto x4=0 e le linee tratteggiate sono lelinee-universo dei fotoni che viaggiano alla velocità della luce.
In caso di moti "spazialmente bidimensionali“ le linee-universo dei fotoni descrivonoun cono di rotazione detto il cono di luce
x3
x4
x2
Futuro
Passato
Altro
ve
Alt
rove
Nel caso di moti tridimensionali il cono di luce è un ipercono quadridimensionale
Sono la generalizzazione del concetto di vettore tridimensionale e si definiscono intermini delle componenti lungo i quattro assi spazio-temporali
4A,AAi
I quadrivettori si trasformano seguendo le trasformazioni di Lorentz e si distingue fracomponenti covarianti (pedici) e controvarianti (apici) legate da:
44
33
22
11 AA;AA;AA;AA
Si definisce prodotto scalare di due quadrivettori la somma dei prodotti delle componenticontrovarianti del primo per le corrispondenti covarianti del secondo
4
1ii
ii
i BABA
Di conseguenza il “modulo quadro” di un quadrivettore, ovvero il prodotto scalare di unquadrivettore per sé stesso è
242322214
43
32
21
1 AAAAAAAAAAAAAA ii
Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso non è quindi definito positivo:Se (AiAi) >0 si dice che il vettore è di genere spazio; se (AiAi) <0 si dice che il vettore è digenere tempo; se (AiAi) =0 si dice che il vettore è di genere luce
I quadrivettoriI quadrivettori
Si definisce il quadrivettore velocità come la derivata del quadrivettore posizione rispettoal tempo proprio
11
ii
ii vv;,
c
vx
cv
Si definisce quantità di moto il quadrivettore
40 p,pcvmp ii
con
2
2
0
2
2
00
11c
v
mmvmv
c
v
mvmp
e mc
c
v
cmcmp
2
2
00
4
1
m0 è la massa a riposo del punto materiale
Per piccoli valori di v/c (semplice sviluppo in serie):
...vmcmc
....c
v
c
vcm
c
vcmp 2
02
04
4
2
2
0
2
1
2
2
04
2
11
8
3
2
111
I quadrivettore velocità e quantità di motoI quadrivettore velocità e quantità di moto
Si definisce energia totale di un punto materiale come somma dell’energia in quiete edell’ energia cinetica (caso della particella libera)
cinq
Confrontando con l’espressione della quantità di moto
20
4 cmcc
p qcinq
La circostanza che energia e massa siano legate da una costante universale implica lacompleta equivalenza di questi concetti in fisica relativistica
Se calcoliamo il prodotto scalare della quantità di moto per sé stessa
20
2202
22
cmpccmc
ppp ii
Quest’ultima relazione va sotto il nome di relazione di dispersione
Relazione massa-energiaRelazione massa-energia