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Corso di Fisica per MedicinaLezione 18 - Campo elettrico e conduttori (cod. 9m8ts8)

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

23 novembre 2018

Indice

Elettromagnetismo 3Teorema di Gauss per il campo elettrostatico 3Campo elettrostatico nei conduttori 14

2/23 CORSO DI FISICA PER MEDICINA Lezione 18 - Campo elettrico e conduttori (cod. 9m8ts8) – Dr. Cristiano Fontana – 23 novembre 2018

Flusso del campo elettrostatico

q>0 r ⃗ u⃗r

E ⃗

⍺

ds ⃗

Ricordiamo che per un campo vettoriale è possibilecalcolare il flusso attraverso una superficie

dΦ = ~E · d~s = ~E · ~n ds (1)

=q

4πε0

~ur

r2 · d~s (2)

(3)

Che integrato diventa

Φ =q

4πε0

∫

S

~ur

r2 · d~s (4)

E.g. la portata di un fluido è il flusso della velocità dellostesso attraverso una superficie.


Coordinate sferiche I

φ

r ⃗θ

x̂

ŷ

ẑ

r sin θ

r cos θ

Un vettore identificato da tre coordinate spaziali

~r =

xyz

(5)

può essere identificato da tre coordinate equivalenti,dette coordinate sferiche

~r = (r , θ, ϕ) , (6)

che hanno campi di esistenza:

r ∈ [0,∞[, (7)θ ∈ [0, π], (8)φ ∈ [0,2π[. (9)


Coordinate sferiche II

φ

r ⃗θ

x̂

ŷ

ẑ

r sin θ

r cos θ

La conversione da coordinate sferiche a cartesiane èdata dalle relazioni

x = r sin θ cosϕy = r sin θ sinϕz = r cos θ

(10)

mentre la conversione inversa è data da

r =√

x2 + y2 + z2

θ = arccoszr

ϕ = arctanyx

(11)


Elemento di superficie in coordinate sferiche

φ

dφ

r ⃗

θ dθ ds

r sin θ

r dθ

r sin θ dφ

x̂

ŷ

ẑ

x̂

ŷ

ẑ

ds = r2 sin θ dθ dϕ (12)


Flusso del campo su una superficie sferica IProdotto scalare con elementi di superficie

q>0 r ⃗

E ⃗

ds∥⃗u⃗r

Similmente al campo gravitazionale, nel caso di unasfera, centrata sulla sorgente, il prodotto tra il versoredel campo e le normali alla superficie è costante.

~ur · d~s = ds, (13)

perché il campo è radiale. Quindi il calcolo del flusso sisemplifica in

Φ =q

4πε0

∫

S

dsr2 (14)


Flusso del campo su una superficie sferica IILegge dell’inverso del quadrato

S

r2r

4r

1u1u

1u

1u4u

16u

Similmente al campo gravitazionale, il campo elettricodipende dall’inverso del quadrato della distanza,mentre l’area della superficie dipende dal quadratodella distanza.

ds ∼ r2 (15)

E ∼ 1r2 (16)

Nel prodotto il campo e gli elementi di superficie quindisi compensano

E ds ∼ r2

r2 = 1 (17)


Flusso di un campo su una superficie sferica IIIRicordiamo l’espressione dell’elemento di superficie in coordinate sferiche per una sferagenerica di raggio r

ds = r2 sin θ dθdφ (18)

Chiamando R il raggio della sfera, su cui calcoliamo il flusso, abbiamo

Φ =q

4πε0

∫

S

dsR2 =

q4πε0

∫ ϕ=2π

ϕ=0

∫ θ=π

θ=0

R2

R2 sin θ dθ dϕ (19)

=q

4πε0

∫ 2π

0dϕ

︸︷︷︸=2π

∫ π

0sin θ dθ (20)

=2πq4πε0

∫ π

0sin θ dθ =

q2ε0

[− cos θ]π0 (21)

=qε0

(22)


Flusso di un campo su una superficie I

q

r ⃗

r≈⃗r'⃗

E ⃗

u⃗r

ds ⃗

α

u⃗r

ds ⃗

α

α

ds'

ds'⃗

ds Nel caso di superfici generiche ci si può ricondurre allasuperficie sferica interna ed il flusso risulta essere lo stesso.Il prodotto scalare tra il campo e gli elementi di superficieproietta questi ultimi su una superficie sferica

~ur · d~s = ur ds cosα (23)= ur ds′ (24)

e la legge dell’inverso del quadrato compensa ladimensione diversa della sfera.


Flusso di un campo su una superficie II

q1 q2

q4

q3

Q = q1 + q2 + q3 + q4

Quindi per una generica superficie che racchiude uninsieme di cariche q, il flusso del campo gravitazionale è

Φ =Qtot

ε0(25)

=

∑i qi

ε0(26)

Questo risultato è indipendente dalla superficie e dalladistribuzione delle cariche al suo interno.La fondamentale differenza tra campo gravitazionale edelettrostatico è che per quest’ultimo le cariche possonoanche essere negative.


Esempi di superfici gaussiane I

S2

S1

S5

S4

S3

Φ =

∑i qi

ε0(27)

ΦS1 =(+1 C) + (−1 C)

ε0= 0 (28)

ΦS2 =−1 Cε0

(29)

ΦS3 = 0 (30)

ΦS4 =(+1 C) + (1 C)

ε0=

2 Cε0

(31)

ΦS5 =1 Cε0

(32)


Esempi di superfici gaussiane II

? ?

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1-1

1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

2 -1


Campo elettrostatico nei conduttori carichi I

Un materiale in cui le cariche sono libere di muoversi si dice conduttore. Le proprietà di unconduttore in equilibrio sono

++++++

+

+

++++

+++++

+

+

+

++

Ei⃗nt.= 0

Ee⃗xt.≠ 0

I All’interno il campo elettrico è nullo (~Eint. = 0). [pag. 15]I La carica è tutta concentrata sulla superficie. [pag. 16]I Sulla superficie ~E è perpendicolare alla superficie stessa

(~E ⊥ ds). [pag. 17]I La superficie è equipotenziale. [pag. 18]I Tutto il conduttore è allo stesso potenziale. [pag. 18]


Campo elettrostatico nei conduttori carichi IICampo nullo all’interno

+ Ei⃗nt.≠ 0

F ⃗

Non equilibrio

+

Ei⃗nt.= 0

Equilibrio

All’interno di un conduttore in equilibrio ~Eint. = 0, perché se ci fosseun ~Eint. 6= 0 questo produrrebbe una forza sulle cariche

~F = q~Eint (33)

che le indurrebbe a muoversi. Ma essendo il conduttore in equilibrioper ipotesi allora necessariamente le forze devono bilanciarsi equindi il campo deve essere nullo.


Campo elettrostatico nei conduttori carichi IIICarica sulla superficie

++++++

+

+

++++

+++++

+

+

+

++

Ei⃗nt.= 0

Ee⃗xt.≠ 0

q/ε0=0

Se all’interno di un conduttore in equilibrio ~Eint. = 0 allora la caricaè tutta concentrata sulla superficie del conduttore. Applicando ilteorema di Gauss su una qualunque superficie all’interno delconduttore il flusso è sicuramente nullo, perché il campo è nullo. Diconseguenza se per ogni superficie che si possa definire il flussodeve essere nullo allora all’interno del volume del conduttore nondeve esserci carica.


Campo elettrostatico nei conduttori carichi IVDirezione del campo sulla superficie

+

E⟂⃗

F ⃗E∥⃗

E ⃗

Non equilibrio

+

E⟂⃗

Equilibrio

Se vi sono delle cariche sulla superficie, queste genereranno uncampo ~E sulla superficie stessa, che deve essere perpendicolarealla superficie (~E ⊥ ds). Se non fosse perpendicolare le cariche simuoverebbero su di essa per effetto della componente parallela allasuperficie del ~E .


Campo elettrostatico nei conduttori carichi VPotenziale in un conduttore

+

E⟂⃗

F ⃗E∥⃗

E ⃗

Non equilibrio

+

E⟂⃗

Equilibrio

~E ⊥ ds implica che la superficie sia equipotenziale. Limitiamoci aconsiderare un movimento lungo la superficie e ricordiamo che

E = −dVdx

. (34)

Lungo la superficie la componente di ~E è sempre nulla, quindi anchela sua derivata e quindi

V (superficie) = costante (35)

Se la superficie è equipotenziale e il campo è costante e ~E = 0all’interno, allora tutto il conduttore è allo stesso potenziale.


Campo elettrico sulla superficie di un conduttore

E ⃗

ds ⃗

ds'⃗

Consideriamo una superficie cilindrica che contenga una porzione disuperficie di un conduttore e calcoliamone il flusso. La carica al suointerno è

q = σ ds (36)

ove σ è una densità di carica superficiale e ds è l’area della facciacircolare del cilindro. Calcolando il flusso del campo abbiamo che

I Φesterno = ~E · d~s = E ds.I Φlaterale = ~E · d~s′ = 0, perché ~E ⊥ d~s′.I Φinterno = 0, perché ~E = 0.I Φ = Φesterno + Φlaterale + Φinterno = E ds.

quindi possiamo calcolare il campo elettrico sulla superficie

Φ =qε0

= E ds ⇒ E =σ

ε0(37)


Densità di carica sulla superficie di un conduttore I

r=a

r=b

Va

Vb

Prendiamo un conduttore composto da due sfere collegate con unfilo sottile. I potenziali sulla superficie delle sfere saranno

Va =1

4πε0

qa

a, Vb =

14πε0

qb

b(38)

perché, per simmetria, il campo deve essere sempre perpendicolarealla superficie e quindi sarà uguale a quello di una carica puntiformepari alla carica totale della sfera, posta al centro.Essendo un conduttore unico:

Va = Vb ⇒ qa

a=

qb

b. (39)


Densità di carica sulla superficie di un conduttore II

r=a

r=b

Va

Vb

Le densità di carica superficiali saranno pari alla carica totalecontenuta nella sfera divisa per la superficie della sfera.

σa =qa

4πa2 , σb =qb

4πb2 (40)

Ricordando la relazione precedentemente ottenuta qaa = qb

b si ottiene

σa4πa2

a=σb4πb2

b⇒ σa =

baσb (41)

quindi la densità di carica è maggiore nelle zone con raggio dicurvatura più piccolo.


Campo elettrico sulla superficie di un conduttore I

r=a

r=b

Va

Vb

Ricordando il risultato precedentemente ottenuto

E =σ

ε0(42)

si ottiene

Ea

Eb=σa

σb=

ba

(43)

quindi il campo elettrostatico è maggiore attorno alle zone con raggiodi curvatura più piccolo.


Campo elettrico sulla superficie di un conduttore II

Scaricatori dicarica elettrostatica

Sulle ali degli aerei sono montati dei bastoncini che servono a crearedelle zone ad alta curvatura. Attorno a queste punte il campoelettrico si concentra e può diventare molto intenso se l’aereo haaccumulato molta carica elettrostatica durante il volo. Se il campoelettrico è molto intenso le cariche sono espulse dal campo elettricostesso e quindi vengono dissipate lentamente, evitando scaricheimprovvise.


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