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Corso di Fisica per MedicinaLezione 22 - Campo magnetico (cod. tnq5c4)

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

30 novembre 2018

Indice

Elettromagnetismo 3Campo magnetico 3Campo magnetico e correnti 7Lavoro del campo magnetico 12Moto in un campo elettromagnetico 13Campo magnetico e fili percorsi da corrente 19Flusso e circuitazione del campo magnetico 28Induzione elettromagnetica 36

2/41 CORSO DI FISICA PER MEDICINA Lezione 22 - Campo magnetico (cod. tnq5c4) – Dr. Cristiano Fontana – 30 novembre 2018

Campo magnetico I

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS

Oltre alle forze elettrostatiche in natura si vedono le cosiddette forze magnetiche, che sipossono esercitare tra particolari materiali. Un’importante differenza col campoelettrostatico è che non esistono monopoli magnetici isolati, solo dipoli (e.g. le calamite).


Campo magnetico II

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS NS

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS N S

Le calamite sono dei dipoli magnetici possono attrarsi e respingersi reciprocamente.Questo comporta che i dipoli tendono ad orientarsi nella stessa direzione. Si comportano inmodo simile ai dipoli elettrici.


Campo magnetico III

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS NS

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS N S

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1 1 -1 1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1 1 1 -1


Bussole

Le bussole sono costituite da piccoli aghi magnetizzati,liberi di ruotare, che tendono ad allinearsi con le lineedi campo magnetico.


Forza di Lorentz

x ⃗

y ⃗

z ⃗

v ⃗

B ⃗F ⃗

Sperimentalmente si vede che le cariche elettriche inmovimento sono soggette ad una forza, detta di Lorentz,se si trovano immerse in un campo magnetico.

~F = q~v × ~B (1)


Campo magnetico I

Sfrutteremo la forza di Lorentz per derivare una definizione operativa del campo magnetico:

F = qvB ⇒ B =Fqv

(2)

Determiniamo l’unità di misura:

[B] =[F ]

[q][v ]=

NC ·m/s =

NA ·m = 1 T (3)

Che è detta Tesla. Si usa spesso il Gauss che è definito come:

1 G = 1 · 10−4 T (4)


Campo magnetico II

E.g. Il campo magnetico terrestre non è uniforme sulla superficie terrestre e varia tra

Bterra = 0.2 G↔ 0.7 G (5)

Nella prossimità di una calamita di ferrite possono esserci campi dell’ordine di

Bferrite ≈ 0.1 T = 1000 G (6)

mentre per delle calamite al neodimio

Bneodimio ≈ 1 T (7)


Campo magnetico III

Figura: Alcuni animali sono in grado di orientarsi usando il campo magnetico terrestre [C. Walcott, J.of Exp. Biology 199 (1996) 21-27]


Campo magnetico IV

Figura: Un recente articolo afferma che i cani si orientano in direzione nord-sud quando defecano.[Hart et al. Frontiers in Zoology 10 (2013) 80]. Sebbene le affermazioni siano state contestate [TheSkeptVet: Do Dogs Line Themselves Up With the Earth’s Magnetic Field to Poop?].


Lavoro del campo magnetico

x ⃗

y ⃗

z ⃗

v ⃗

B ⃗F ⃗

Il campo magnetico non compie lavoro. Ricordiamo che lavelocità è la derivata della posizione, quindi d~r = ~v dt ecalcoliamo il lavoro compiuto

d ~W = ~F · d~r (8)

=(

q~v × ~B)· d~r =

(q~v × ~B

)· ~v dt (9)

= q(~v × ~v

)︸︷︷︸

=0

·~B dt = 0 (10)

ove abbiamo usato l’identità(~a× ~b

)· ~c =

(~b × ~c

)· ~a =

(~c × ~a

)· ~b. (11)

Intuitivamente ~v × ~B ⊥ ~v per le proprietà del protto vettoriale, quindi il prodotto scalare con~v stesso annulla l’espressione.


Moto in un campo magnetico uniforme

B ⃗

v1⃗

v2⃗

F ⃗

F ⃗

Una carica elettrica in un campo magnetico uniforme, inprima approssimazione, si muove di moto circolareuniforme se la sua velocità è perpendicolare al campomagnetico. Assumiamo che

~B = (0,0,Bz) & ~v = (vx , vy ,0) (12)

Possiamo eguagliare la forza centripeta con la forza magnetica:

~Fc = ~Fm (13)

mω2r = qvB = qωrB (14)

ω =qBm

(15)

quindi la frequenza di rotazione è f = qB2πm .


Ciclotrone

Figura: Una nota applicazione del moto circolare nei campi magnetici è il ciclotrone. Sono usati per laproduzione di radioisotopi medici e per l’adroterapia. Immagine del brevetto di Ernest O. Lawrence[wiki]


Forza che agisce su di una carica

Ricordando che anche un campo elettrostatico esercita una forza su una carica, possiamoriassumere i due contributi in:

~F = q(~E + ~v × ~B

)(16)


Selettore di velocità per particelle cariche

++++++++++++

------------

+ -+ -

E ⃗ ⟂ B ⃗ ⟂ v ⃗

q>0

v=⃗vs⃗

v>⃗vs⃗ v<⃗vs⃗

B ⃗E ⃗

Immaginando di avere una regione in cui vi siano un campoelettrostatico ed uno magnetico ~E ⊥ ~B, facciamo in modo dibilanciare le due forze:

~Ftot = q(~E + ~v × ~B

)= 0 (17)

(18)

Se ~v ⊥ ~E e ~v ⊥ ~B:

0 = qE + qvB (19)

vs = −EB

(20)

Bilanciando quindi i due campi è possibile selezionare particelle conuna particolare velocità.


Spettrometro di massa I

qB ⃗

v ⃗

2r

Una volta selezionata la velocità di un insieme di particelle carichevediamo cosa succede se queste viaggiano in un campo magneticouniforme con ~E = 0

mv2

r= qvB (21)

Se ~v è la stessa per tutte le particelle il raggio di curvatura dipendedalla massa (e dalla loro carica):

r =mvqB

(22)


Spettrometro di massa II

+++++++++++

- - - - - - - - - - -

+

-

+

-

E ⃗

B ⃗v=⃗vs⃗

v ⃗

2r

q+

q++

++++

--

--

B ⃗E ⃗

Campione daanalizzare

Acceleratore

Selettore divelocità

Spettrometrodi massa

L’unione di questi due sistemi fisici con un acceleratore di particelle produce unospettrometro di massa completo. È in grado di analizzare un campione determinando la suacomposizione in funzione della massa dei costituenti.


Forza su un filo percorso da corrente I

B ⃗

Fi⃗qi

vi⃗L⃗

Se un filo percorso da corrente (indicato da ~L) è immerso in uncampo magnetico, ogni carica sente una forza

~Ftot =∑

i

~Fi =∑

i

qi

(~vi × ~B

)(23)

= Q⟨~v⟩× ~B (24)

= Q~L

∆t× ~B (25)

= I~L× ~B (26)


Forza su un filo percorso da corrente II

I

B ⃗

Fm⃗ax

F=⃗0

F ⃗ I

I

α

Se abbiamo dei fili con diverse orientazioni rispetto al campomagnetico, questi subiranno delle forze con diversi moduli.

~Ftot = I~L× ~B (27)


Esperimento di Ørsted I

I

B ⃗r

rB ⃗

L’esperimento di Ørsted fu la prima evidenza sperimentale che unacorrente di cariche elettriche genera un campo magnetico. Le lineedi campo sono delle circonferenze attorno al filo che conduce lacorrente, sono disposte su piani perpendicolari al filo stesso. Ladirezione del campo segue la regola della mano destra.


Esperimento di Ørsted II

II=0

Si può osservare il fenomeno ponendo delle bussole attorno ad un filo. Quando sul filo nonscorre corrente, le bussole si allineano col campo magnetico terrestre; quando sul filoscorre corrente queste si allineano secondo il campo magnetico locale.


Legge di Biot-Savart

I

B ⃗r

rB ⃗

La legge di Biot-Savart descrive il campo magnetico attorno ad unfilo percorso da corrente. Può essere espressa come

d~B(~r)

=µ0

4πIr2 d~L× ~ur (28)

ove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, I è la corrente chescorre sulla porzione di filo dL e ~r è la distanza tra la porzione di filoed il punto considerato. Per un filo di lunghezza infinita diventa

~B(~r)

=µ0

2πIr~uL × ~ur (29)


Permeabilità magnetica e costante dielettrica del vuotoRicordiamo la costante dielettrica del vuoto:

ε0 = 8.854 · 10−12 C2

N m2 (30)

Ricordiamo la permeabilità magnetica del vuoto:

µ0 = 4π · 10−7 NA2 = 1.257 · 10−6 N

A2 (31)

Ricordiamo la velocità della luce nel vuoto:

c = 2.9979 · 108 ms

(32)

Relazione tra c, ε0 e µ0Vi è un’importante relazione che lega le tre costanti fondamentali:

c =1√ε0µ0

(33)


Esperimento di Ampere I

Ia Ib

d

F ⃗ F ⃗L

Ia -Ib

F ⃗F ⃗

Ampere dimostrò come due fili percorsi da corrente si attraggono orespingono, in funzione della direzione della corrente che scorre sudi essi. Quindi il campo magnetico generato da un filo è lo stessotipo di campo magnetico in grado di esercitare delle forze sullecariche in moto.


Esperimento di Ampere II

Ia Ib

d

F ⃗ F ⃗L

Ia -Ib

F ⃗F ⃗

La forza di Ampere è

F =µ0

2πLIaIb

d(34)

ove Ii sono le correnti dei fili, L la lunghezza dei due fili e d è ladistanza tra i fili.

Per determinare la direzione si usal’espressione della forza di Lorentz

~F = q~v × ~B (35)

v ⃗B ⃗

F ⃗


Esperimento di Ampere III

Ia Ib

F ⃗ F ⃗Fk⃗

La definizione dell’ampere è data dalla misura della forza tra due fili:

L = 1 m, d = 1 m, Ia = Ib = 1 A (36)

ottenendo una forza di

F =µ0

2πLIaIb

d(37)

=4π · 10−7 N/A2

2π1 m · 1 A · 1 A

1 m(38)

= 2 · 10−7 N (39)


Circuitazione del campo magnetico

B ⃗

dγ⃗ α

Per un campo vettoriale è possibile calcolare anche la circuitazionelungo un cammino C:

dΓ = ~B · d~γ (40)

ove d~γ è un elemento infinitesimo del cammino. Integrando si ottieneil valore lungo tutto il cammino C:

Γ =

∫

C

~B · d~γ (41)


Legge di Ampere I

I = i1 + i2 + i3

i1 i2 i3

B ⃗

La legge di Ampere afferma che la circuitazione delcampo magnetico lungo un cammino chiuso concatenatocon delle correnti elettriche è

Γ =

∫

C

~B · d~γ = µ0

∑

i

Ii (42)

ove I è la corrente totale dei fili concatenati, ovvero lasomma delle correnti.E.g. se i1 = i2 = i3 = i allora

Γ = µ0(i1 + i2 + i3) = µ0(i + i − i) = µ0i (43)


Legge di Ampere II

I = i1 + i2 + i3

i1 i2 i3

B ⃗

In analogia col teorema di Gauss per il campo elettrostaticosi ha che

I il valore della circuitazione non dipende dalla forma delcammino d’integrazione,

I se non ci sono correnti concatenate al camminod’integrazione allora la circuitazione è nulla.


Analogia tra teorema di Gauss elettrostatico e legge di Ampere

q1

q2

q4

q3

Q = q1 + q2 + q3 + q4

E ⃗

-

-

-

+

Flusso del campo elettrico:

Φ =

∫

S

~E · d~s =

∑i qi

ε0(44)

I = i1 + i2 + i3

i1 i2 i3

B ⃗

Circuitazione del campo magnetico:

Γ =

∫

C

~B · d~γ = µ0

∑

i

Ii (45)


Circuitazione per un filo indefinito

I

B ⃗r

rB ⃗

Calcoliamo la circuitazione su una circonferenza centrata attorno adun filo indefinito. Il campo magnetico è costante e tangente a tutto ilcammino quindi

~B · d~γ = Bdγ (46)

Calcolando l’integrale su tutta la circonferenza otteniamo

Γ =

∫

C

~B · d~γ = B∫

Cdγ = B2πr (47)

(48)

e ricordando la legge di Ampere (Γ = µ0I):

B =µ0

2πIr

(49)


Circuitazione per un solenoide indefinito

Be⃗xt=0Bi⃗nt≠0

I

Cb

Ca

A

DC

BCalcoliamo la circuitazione su cammini concatenati con una serie dispire circolari su cui passa una corrente. Il campo magneticoall’esterno è nullo:

ΓCa = µ0Iext = 0; (50)

all’interno è costante. La circuitazione su CB è

ΓCb = ΓAB︸︷︷︸=0: ~B⊥d~γ

+ΓBC + ΓCD︸︷︷︸=0: ~B⊥d~γ

+ ΓDA︸︷︷︸=0: ~B=0

(51)

= BL = µ0NI. (52)


Campo magnetico all’interno di un solenoide indefinito

Be⃗xt=0Bi⃗nt≠0

I

Cb

Ca

A

DC

B

Quindi il campo all’interno del solenoide è

B = µ0NL

I = µ0nI. (53)

ove abbiamo definito n come la densità di spire per unità dilunghezza.


Flusso del campo magnetico

B ⃗ ⍺

ds ⃗r ⃗

Come per il campo elettrico, è possibile calcolare il flussodel campo magnetico su di una superficie

dΦ = ~B · d~s (54)

ove d~s è un elemento di superficie infinitesimo. Integrandosi ottiene il valore su tutta la superficie S

Φ =

∫

S

~B · d~s (55)

Il flusso del campo magnetico per una superficie chiusa èsempre nullo.


Legge di Faraday

N

S

t=0

t=t' La legge di Faraday mette direttamente in relazione il campomagnetico col campo elettrico. Dato il flusso del campo magneticoΦB su di una superficie (non chiusa) definita da un circuitoconduttore, si ha

E = −dΦB

dt(56)

ove E è detta forza elettromotrice (f.e.m.) e si misura in volt.Sebbene sia chiamata "forza", la f.e.m. rappresenta una differenza dipotenziale che induce il movimento di cariche lungo il circuito.


Differenza di potenziale

ΔV = 10 scalini

Una differenza di potenziale in un circuito elettrico può essere immaginata come una scalasu cui le cariche positive scendono. Il terminale positivo del generatore rappresenta il puntopiù alto.


Forza elettromotrice I

ΔV = ???

Una differenza di potenziale in un anello conduttore chiuso può sembrare un concettoirreale. . . visto che non c’è generatore di tensione e non c’è un punto in cui ci si aspetti un∆V finito.


Forza elettromotrice II

ΔV =

E⃗

La f.e.m. in un anello conduttore chiuso indica un campo elettrico tangente al conduttorestesso che spinge le cariche. Le linee di forza di questo campo sono chiuse.


Dinamo I

B ⃗N S

ω

N S

ω

B ⃗

A ⃗θ

Prendiamo una spira di area A che ruota, con velocità angolarecostante ω, in un campo magnetico B costante ed uniforme. Il flussodel campo è

ΦB(t) = ~B · ~A = BA cos θ = BA cos (ωt) (57)

Calcoliamo la f.e.m.

E = −dΦB

dt(t) = −BA

ddt

cos (ωt) (58)

= ωBA sin (ωt) (59)

se immaginiamo di inserire una resistenza nel circuito abbiamo unacorrente variabile pari a

I =E(t)R

=ωBA

Rsin (ωt) (60)


Dinamo terrestre

Anche il campo magnetico terrestre (B ≈ 0.5 G = 5 · 10−5 T) è utilizzabile per indurre ilmovimento di cariche. Immaginiamo di avere una spira con area A = 1 m2, calcoliamoquale deve essere la frequenza di rotazione f per avere una f.e.m. massima di 1 V.Calcoliamo la f.e.m.

E = ωBA sin (ωt) (61)

Il massimo lo si ha quando sin (ωt) = 1 quindi

Emax = ωBA ⇒ f =ω

2π=Emax

2πBA= 3183 Hz (62)

Che non è una frequenza praticabile, quindi conviene cambiare i parametri del problemausando un campo magnetico più intenso od un numero di spire più grande.


Date post:	15-Feb-2019
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