DEFORMAZIONI E CEDIMENTI NEI TERRENILa
deformazione volumetrica, V
,
di un elemento di terreno di volume iniziale V0
(e
indice dei vuoti iniziale e0
) è data da:
elemento cilindrico e stato tensionale assial‐simmetrico
0RR
r
0H
Ha
0
01
0
01
0 1)()(
eee
VVV
VV
v
R0
H0
H
R
Deriva dalla definizione di e = VV
/VS
Se 1
, 2
e 3
sono le deformazioni principali (ovvero le deformazioni lungo le 3
direzioni ortogonali, x, y e z, in cui è
presente la sola deformazione longitudinale),
allora vale la relazione:
hzrazyxv 22
N.B. : convenzionalmente si assume:v
> 0 per riduzioni di volume
(COMPRESSIONE)v
< 0 per aumenti di volume(ESPANSIONE)
dove:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 1
dZZzsz
0z
H0
H
oo HRV 20
Il cedimento verticale, s,
si ottiene integrando la deformazione
verticale z
:
zhzv 2 z000
v HH
e1e
VV
Variazione di volume (v
≠
0) ma
non di forma (
= 0)
Variazione di forma (
≠
0), ma
non di volume (v
= 0)
N.B.
In un terreno si possono avere:
Variazione di volume (v
≠
0) e di
forma (
≠
0)
ll0 0l
l Deformazione
di taglio
CONDIZIONI EDOMETRICHEStato tensionale assial‐simmetrico e deformazioni laterali impedite
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 2
In seguito ad una
variazione dello stato tensionale
(efficace, per il
principio delle tensioni efficaci) nel terreno si hanno
deformazioni
(e quindi
cedimenti) che possono essere attribuite alla:
fase solida:a)
prevalentemente elastiche
(compressioni e inflessioni dovute all’incremento
delle forze di contatto)b)
prevalentemente plastiche
(scorrimento dovuto alle forze di taglio
intergranulari)c)
plastiche
(frantumazione in presenza di elevati livelli tensionali delle particelle
solide)d)
in parte elastiche e in parte plastiche
(variazione di distanza tra particelle di
minerali argillosi, dovuta a fenomeni di interazione elettrochimica)e)
in gran parte plastica
(deformazione dello strato di acqua adsorbita)
fase liquida e gassosa (vuoti):f
)
compressione dell’aria e/o dell’acqua all’interno dei vuoti
g)
espulsione dell’aria dai vuoti nei terreni non saturi
h)
espulsione dell’acqua dai vuoti in terreni saturi
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 3
Nella pratica ingegneristica occorre conoscere l’entità
e l’evoluzione nel tempo
dei
cedimenti
di uno strato di terreno sotto l’azione di un carico applicato in superficie.
g) espulsione dell’aria
dai vuoti nei terreni non saturi
(costipamento)
h) espulsione dell’acqua
dai vuoti nei terreni saturi
(consolidazione primaria)
Trascurando
la compressibilità
delle singole particelle solide, compresa l’acqua
adsorbita nel caso delle argille (a, c, d, e), e del fluido interstiziale (f), e trascurando,
soprattutto nel caso dei terreni a grana fine, i cedimenti dovuti allo scorrimento delle
particelle (b) i cedimenti possono manifestarsi in conseguenza di:
i) deformazioni volumetriche
a tensione efficace costante
(creep) dovute a fenomeni
viscosi (consolidazione secondaria)j) deformazioni di taglio a volume costante
(che si verificano a breve termine nei
terreni saturi e poco permeabili in condizioni non edometriche)
a cui possono aggiungersi:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 4
nel caso di terreni saturi molto permeabili, le deformazioni volumetriche e i
cedimenti sono pressoché
immediati e attribuibili interamente a fenomeni di
consolidazione primaria
e, in presenza di viscosità, secondaria (in tal caso
avvengono nel tempo).
nel caso di terreni saturi poco permeabili, occorre distinguere una:
Se il terreno è
saturo, possono aversi solo deformazioni del tipo h), i), j):
condizione a breve termine
(immediatamente conseguente l’applicazione del
carico), dove le deformazioni volumetriche sono all’inizio nulle
e i cedimenti in
condizioni edometriche
sono nulli (V
= z
), mentre in condizioni non edometriche
si
verificano cedimenti dovuti a deformazioni di taglio (j).
condizione a lungo termine
dove le deformazioni volumetriche e i cedimenti
sono diversi da zero
e dovuti a fenomeni di consolidazione primaria (h) e, in
presenza di viscosità, secondaria (i)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità
e consolidazione 5
CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
nel caso di incremento del carico tensionale, le particelle di terreno si assestano
in una configurazione più
stabile e con meno vuoti, con conseguente
diminuzione di volume (consolidazione)
nel caso di scarico tensionale
si ha invece un richiamo dell’acqua all’interno dei
vuoti con conseguente aumento di volume (rigonfiamento)
Il meccanismo di uscita/ingresso dell’acqua nei vuoti è un fenomeno dipendente dal
tempo (ovvero dal coefficiente di permeabilità
del terreno) ed è regolato dalla
teoria della consolidazione.
La consolidazione primaria
è un fenomeno conseguente all’espulsione (o al
richiamo) dell’acqua interstiziale dai pori di un terreno saturo sottoposto ad una
variazione dello stato tensionale efficace:
L’entità
della variazione di volume (e il cedimento) che si registra al
termine del
fenomeno è invece legata alla rigidezza/deformabilità
dello scheletro solido
(compressibilità)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità
e consolidazione 6
Compressibilità: è la risposta in termini di variazione di volume di un terreno
sottoposto ad una variazione (incremento o riduzione) delle tensioni efficaci
1. serve a stimare l’entità
delle deformazioni volumetriche (e dei cedimenti)
2. è
dipendente
dalla rigidezza/deformabilità
del terreno
Consolidazione: è la legge di variazione di volume del terreno nel tempo
1. serve a stimare il decorso
delle deformazioni volumetriche nel tempo
2. è
dipendente dalla permeabilità
del terreno.
N.B.: sono problemi rilevanti soprattutto per i terreni a grana fine
(argille) dove si
manifestano in genere cedimenti maggiori e tempi di consolidazione molto più
lunghi
(anche se gli stessi concetti possono applicarsi anche ai terreni a grana grossa).
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità
e consolidazione 7
COMPRESSIBILITÀ
EDOMETRICA
Def. Le
condizioni edometriche, come già
ricordato, sono caratterizzate da uno stato
tensionale assial‐simmetrico e condizioni di deformazioni laterali impedite
zv
In tali condizioni valgono le seguenti relazioni:
00 HH
e1e
Tali condizioni possono realizzarsi nei terreni solo in condizioni di simmetria, ad
esempio nel caso di un deposito:
delimitato da piano di campagna orizzontale ed infinitamente esteso
in direzione
orizzontalecon sovraccarico verticale applicato in superficie, uniformemente distribuito ed
infinitamente esteso.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità
e consolidazione 8
HYP. Si consideri il caso della formazione di un deposito di terreno per
sedimentazione lacustre
che realizza tutte le ipotesi di condizione
edometrica. Si studi la compressibilità
del terreno in relazione al carico applicato, ovvero
l’evoluzione dell’indice dei vuoti (o dei cedimenti) con l’intensità
del carico applicato
ad una data profondità.
1) Sedimentazione
(fase di primo carico)
P
e
’ (log)v
B
A
(B)
(A)
e
’v
(B)
B
N.B.
Il percorso tensioni –
deformazioni è
rappresentato (in scala logaritmica) da una
retta, AB
(linea di compressione vergine o di primo carico)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 9
2) Erosione (fase scarico)
P
e
’ (log)v
C B
A
(B)(C)(A)
e
’v
e
(C)
C
N.B. La fase di scarico
avviene su una retta, BC, a pendenza inferiore
(linea di scarico)
Quando si ritorna al livello tensionale iniziale (’vA
), una parte della
deformazione (plastica) non viene recuperata (AA’)
A’(A)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 10
3) Risedimentazione (fase di ricarico)
P
(B)(C)(A)
(D)
e
’ (log)v
C B
A
e
’v
D
(D)
D(A)(C)
N.B.
La fase di ricarico
avviene inizialmente sulla stessa retta BC
(fase elastica), fino a
raggiungere il valore massimo di tensione raggiunto nella sua storia (pressione di
preconsolidazione), per poi muoversi nuovamente sulla linea di compressione
vergine (fase plastica)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 11
4) Nuova erosione (fase di scarico)
P
(B)
(C)(A)
(D)
e
’ (log)v
C B
A
’v
DEe
(E)(E) E(A)(C)
N.B. La fase di scarico
avviene nuovamente su una retta a pendenza inferiore della
linea di primo carico (la retta DE è
parallela alla retta BC)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 12
II. Nei TRATTI BC, CB e DE
(approssimati con
l’asse del ciclo d’isteresi) il comportamento è
elastico
(carico e scarico coincidono) non lineare
(il legame tra tensioni e deformazioni è lineare in
scala logaritmica, ovvero la rigidezza cresce con
la tensione efficace).
I. Nei TRATTI AB e BD
il comportamento è
elasto‐
plastico
con incrudimento positivo
(la maggior
parte delle deformazioni prodotte durante la
compressione vergine non viene recuperata nella
successiva fase di scarico).
OSS.
La
pendenza
dei
tratti
elastici
di
scarico‐ricarico
(BC,
CB,
DE)
è la
stessa
e
sono
rappresentati da un ciclo a causa della dissipazione interna
di energia del materiale
e
p ’ (log)v’
A
BC
DE
Ciclo d’isteresi
o v
per la relazione:0
v e1e
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 13
e
p ’ (log)v’
A
BC
DE
Def.
La massima pressione verticale efficace sopportata dall’elemento di terreno
durante la sua storia tensionale è detta pressione di consolidazione
(o
preconsolidazione), ’c
.
NOTE:
I. Sulla linea di carico vergine
(ABD) la pressione
verticale efficace ’v0
è pari alla pressione di
preconsolidazione ’c
:terreno NORMALCONSOLIDATO (NC)
II. Nei tratti di scarico‐ricarico
BC, CB, DE la pressione
verticale efficace ’v0
è inferiore alla pressione di
preconsolidazione ’cterreno SOVRACONSOLIDATO (OC)
Si definisce
rapporto di
sovraconsolidazione
(OCR): '
0
'
v
cOCR
a) La pressione di consolidazione rappresenta la soglia elastica o di snervamento del
materiale;b) Il comportamento del terreno
in condizioni edometriche
è
elastico non lineare‐plastico
a incrudimento positivo
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 14
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DELLA COMPRESSIBILITÀ
EDOMETRICA
Determinare le caratteristiche di compressibilità
di un terreno
significa determinare, sul
piano e‐’v
(o
v
‐’v
) l’andamento della linea di compressione vergine e dei rami di
scarico e ricarico
nelle condizioni edometriche
, cioè
nelle condizioni di carico e di
vincolo presenti durante il processo di formazione di un deposito per sedimentazione:
Per studiare in laboratorio la compressibilità
(e la consolidazione) nelle suddette
condizioni viene eseguita una prova di compressione a espansione laterale impedita,
detta prova edometrica
carico verticale infinitamente esteso strati orizzontali infinitamente estesi filtrazione e deformazioni solo verticali
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 15
PROVA EDOMETRICA
La
prova edometrica
viene in genere eseguita su provini di terreno a grana fine
(argille e limi) indisturbati e saturiN
CapitelloAnello edometrico
Pietre porose
Cella edometricaD
H0
< 42.5 <
D = 6 cm
H = 2 cm0
La forma “schiacciata
“
del provino è motivata dalla necessità
di:
• ridurre al minimo le tensioni tangenziali
indesiderate di attrito e di aderenza
con la parete dell’anello• contenere i tempi di consolidazione
(favorita anche dalla presenza di pietre
porose e carta filtro alle estremità
del provino)
L’anello edometrico
riproduce la condizione di assenza di deformazioni radiali
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 16
1) Consiste nell’applicazione di un carico verticale N per successivi incrementi con
progressione geometrica
(di norma a partire da 25 kPa
fino a 68 s’p
) ed eventuali
decrementi (in fase di scarico), ciascuno mantenuto il tempo necessario ad esaurire
il cedimento di consolidazione primaria (in genere 24h).
2) Durante l’applicazione di ciascun gradino di carico viene misurata
l’
altezza del
provino, H, nel tempo
Prova edometrica ad incrementi di carico (EdoIL)
N(24h)
N(24h)
NN
N
N(24h)
H1
(t), H2
(t),….., Hn
(t)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 17
a) Esaurite le 24 h di carico, a partire dal
diagramma Hi
(t), per ciascun gradino di carico,
viene determinata sperimentalmente (metodo
di Casagrande o Taylor) l’altezza iniziale, H0,i
, e
finale, Hfin,i
corrispondenti alla fase di
consolidazione primaria
(ovvero calcolate
trascurando gli effetti della viscosità)
b) Quindi partendo dal valore dell’indice dei vuoti,
e0
, e dell’altezza del provino, H0
, misurati prima
dell’inizio della prova, è
possibile determinare
per ciascun gradino di carico:
Modalità
di interpretazione:
0
0i,fin
0
ii,ai,v H
HHHH
00
i0i,fini e1
HHeee
00
0i,fin ee1
HHe
2ii'
i,v DN4
AN
pressione verticale
media efficace
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 18
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.01 0.1 1 10
Tensione efficace verticale, 'v (Mpa)
indi
ce d
ei v
uoti,
e
1 2 34
5
6
7
89
10
11
CURVA DI
COMPRESSIBILITÀ
EDOMETRICA
un tratto iniziale
a
debole pendenza(punti 1‐2)
un tratto intermedio
a pendenza crescente(punti 2‐5)
un tratto finale
a
pendenza maggiore
e quasi costante(punti 5‐8)
un tratto di scarico
(punti 8‐11)
a pendenza minore e quasi costante (confrontabile
con la pendenza del tratto iniziale 1‐2)
Riportando in grafico le coppie di valori ei
(eVi
), ’vi
per i diversi gradini di carico e di
scarico si ottiene la curva di compressibilità
edometrica, nella quale si possono
distinguere:
Deform
azione assiale, a
[%]
5
10
15
N.B.
La curva a
(v
)‐’v
ha lo stesso andamento di e‐’v
(e è
proporzionale a a
)
00afin ee1e
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 19
1.
Il provino, quando si trova in sito, è
soggetto alla
pressione litostatica, ’v0
2.
Durante il campionamento, l’estrazione, il trasporto, l’estrusione dal
campionatore, subisce una serie di disturbi e una decompressione
fino a
pressione atmosferica in condizioni di espansione libera
3.
A causa della decompressione il provino si espande
e, mantenendosi costante il
contenuto d’acqua, si riduce il grado di saturazione
e si generano pressioni
interstiziali negative
4.
Poi viene fustellato con l’anello metallico
della prova edometrica e inserito nella
cella riempita d’acqua, dove in parte rigonfia
assorbendo acqua in condizioni di
espansione laterale impedita ritornando saturo
5.
Infine inizia la fase di carico
Per l’interpretazione della curva edometrica è da tener presente la
STORIA TENSIONALE
DEL PROVINO:
Interpretazione della curva di compressibilità
edometrica:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 20
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.01 0.1 1 10
Tensione efficace verticale, 'v (Mpa)
indi
ce d
ei v
uoti,
e1 2 3
4
5
6
7
89
10
11
1.
Il tratto iniziale
della curva
(punti 1‐2) corrisponde ad una ricompressione in
condizioni edometriche che segue ad uno scarico (non riportato sul grafico) non
edometrico. Perciò non è
rettilineo, e comunque non ha pendenza eguale a quella
del ramo di scarico.
2.
Il
secondo tratto
della curva
(punti 2‐5) è
marcatamente curvilineo e comprende il
valore ’p
della
pressione di consolidazione in sito
3.
Il terzo tratto
della curva
(punti 5‐8) corrisponde ad
una compressione
edometrica vergine
e ha
pendenza quasi costante
4.
Il
quarto tratto
della curva
(punti 8‐11) corrisponde ad
un ramo di scarico
edometrico e ha pendenza
quasi costante.
Deform
azione assiale, a
[%]
5
10
15
Con la curva sperimentale di compressione edometrica
e‐log'v
si determinano i
principali
parametri di compressibilità
e la
pressione di consolidazione in sito.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Prova edometrica 21
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.01 0.1 1 10
Tensione efficace verticale, 'v (Mpa)
indi
ce d
ei v
uoti,
e
1 2 34
5
6
7
89
10
11)log(log
)ee(C '7v10
'8v10
87c
)log(log)ee(C '
1v10'
2v10
21r
)log(log)ee(C '
9v10'
8v10
89s
INDICE DI
RICOMPRESSIONE
INDICE DI
COMPRESSIONE
INDICE DI
RIGONFIAMENTO
1Cr 1
Cc
1
Cs
’p ’v
(log)
A
La curva viene approssimata con tratti rettilinei
a differente pendenza; il tratto
“ginocchio”
(punti 2‐5) è
sostituito con un punto angolare (punto A), corrispondente
alla pressione di consolidazione, ’p
(in sito):
TIPICAMENTE: Cr
poco significativo; Cc
= 0.009∙(wL
‐10) ≅
0.1
0.8; Cs
= 1/51/10 Cc
PARAMETRI DI
COMPRESSIBILITÀ
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 22
PRESSIONE DI
PRECONSOLIDAZIONE Per determinare con maggiore precisione
la pressione di preconsolidazione
sono state proposte varie procedure, tra cui la più
comunemente utilizzata è quella di
Casagrande, che prevede i seguenti passi:
1.
si determina il punto di massima curvatura (M) del grafico e‐log’V
2.
si tracciano per M la retta tangente alla curva (t), la retta
orizzontale (o), e la retta bisettrice (b) dell'angolo formato
da t
e o3.
l'intersezione di b
con la retta
corrispondente al tratto terminale della curva di primo carico
individua la pressione di preconsolidazione. ’ (log)v
’p
’’
e
tb
o
p,min p,max
M
R
S
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 23
Per stimare la curva di compressibilità
in sito
(e quindi la pressione di
preconsolidazione in sito) si possono applicare delle procedure di correzione alla
curva di compressibilità
ottenuta in laboratorio (Schmertmann, 1955)
Il disturbo
tende a distruggere la
struttura del terreno
(e quindi la memoria
dello stato tensionale), rendendo meno
pronunciato il passaggio dal tratto di
ricompressione a quello di compressione:
È
più
difficoltosa la determinazione di, Cc
e ’pIn
dice
dei
vuo
ti, e
log ’
Curva dicompressione
“in sito”
Provino indisturbato
e ’ (= ’ )
Provino disturbato
Provino ricostituito
0 v0 p
v0’ v
la pressione di preconsolidazione è
meno riconoscibile
le pendenze non sono
rappresentative dei parametri di
compressibilità
in sito.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 24
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50
Tensione efficace verticale, 'v (Mpa)
Indi
ce d
ei v
uoti,
e [-
]
1 23
4
5
6
7
89
10
11
ALTRI PARAMETRI DI
COMPRESSIBILITÀLa curva di compressibilità
edometrica può anche essere rappresentata in scala naturale,
rendendo ancor più
evidente la non linearità
e l’aumento di rigidezza al crescere della
tensione applicata. In tal caso i parametri di compressibilità
sono dipendenti dal campo
di tensione
cui si riferiscono:
'v
avm
a
'v
vm1M
'v
vea
M1
e1a
mo
vv
Coefficiente di compressibilità
di volume
[F
‐1
L2]
Modulo edometrico
[F L‐2]
Coefficiente di compressibilità
[F
‐1
L2] 'v
c
0
Ce1
3,2M
Tra tali parametri sussistono le seguenti relazioni:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 27
2828/78/78
CEDIMENTO DI
CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
Calcolo del cedimento edometrico
(H)
di uno strato di terreno in seguito
all’applicazione di un carico uniformemente distribuito
v
.
e
a
’vo ’vo
+v’p’v
(log)
Cr
Cc
1
1
e
si assume Cr
= Cs
I.Deformazione
monodimensionale
(deformazioni laterali impedite)
Ipotesi: Comportamento dello strato
assimilato a quello di un provino
sottoposto ad una prova
edometricaII. Parametri dello strato
parametri
determinati per il provino
’ , e )v 0 0
H
0
v
H
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 28
TERRENI OC (Cr
≅
Cs
)
]logClogC[e1
HH '
p
v'vo
c'vo
'p
so
o
se
’vo
+ ’v
> ’p
]logC[e1
HH '
vo
v'vo
so
o
se
’vo
+ ’v
< ’p
TERRENI NC (’vo
= ’p
)
]logC[e1
HH '
vo
v'vo
co
o
In condizioni edometriche:oo e1
eH
H
ee1
HH
o
o
da prova edometrica
e
a
’vo ’vo
+v’p’v
(log)
Cr
Cc
1
1
e
si assume Cr
= Cs
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 29
Con riferimento al
coefficiente di compressibilità
di volume, mv
,
o al
modulo edometrico,
M,
o al
coefficiente di compressibilità, av
,
scelti con riferimento all'intervallo tensionale
significativo per il problema in esame, il cedimento di consolidazione primaria
può anche
essere così
calcolato:
vv0
ovovvo a
e1H
MHmHH
Nel caso di
terreno eterogeneo
(con strati di elevato spessore) , è
opportuno
suddividere lo strato in più
sottostrati, differenziando (quando possibile) i parametri di
compressibilità
(riferiti, come le pressioni, al centro di ogni strato):
n
1i'pi
v'voi
ci'voi
'pi
sioi
oi ]logClogC[e1
HH
n
1iviv
oi
oin
1ivivoi )a
e1H
()mH(Hoppure:
N.B.
I parametri che compaiono nelle formule precedenti si riferiscono di norma alla
mezzeria dello strato o degli strati omogenei in cui si suddivide il deposito.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità30
1. Carico, q, applicato in superficie, uniformemente distribuito ed
infinitamente esteso
v
(x,y,z) = q
Per stimare l’incremento v
indotto dal carico applicato in superficie alla generica
profondità
z, si procede come segue:
v
è
costante sia in direzione orizzontale che al variare della profondità
ed è
pari al carico applicato:
N.B. Tale ipotesi può applicarsi anche
nel caso in cui il carico, uniformemente
distribuito, abbia un’estensione (B)
limitata ma molto superiore allo
spessore dello strato considerato (H),
ovvero B>>H.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 31
P
2.
Carico, q, distribuito su una superficie di dimensioni limitate
(rispetto allo spessore dello strato)
zBzLBLq)z(v
1
2z
Impronta di carico
L + z
z/2
qL
B
L
v
si riduce al crescere della profondità
e varia
in direzione orizzontale:
Tale incremento può essere determinato con
riferimento alla
teoria dell’elasticità
(Boussinesq).
v
(x,y,z) = f(x,y,z)
In prima approssimazione, nel caso di carico
q
uniformemente distribuito su un’area
rettangolare, di dimensione B x L:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 32
u + u0
u 0
CONSOLIDAZIONE
L’applicazione di un sistema di sollecitazioni induce nel terreno• distorsioni ovvero deformazioni di taglio
(cambiamenti di forma) e/o
• deformazioni volumetriche (variazioni di volume)
Una deformazione volumetrica corrisponde ad una variazione del volume dei vuoti
(nell’ipotesi di incompressibilità
dei grani).
Se il terreno è
saturo
(e l’acqua incompressibile), tale variazione è
associata ad un
moto di filtrazione dell’acqua interstiziale (in uscita se il volume si riduce,
consolidazione, in entrata se il volume aumenta, rigonfiamento).
CARICO APPLICATO
CAMPO DI
SOVRA‐PRESSIONI NEUTRE,
u (positive o negative), variabili nello
spazio e gradiente del carico idraulico h
MIGRAZIONE DELL’ACQUA
(variazione di
u nel tempo; regime transitorio
)
‐
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 33
Nel caso della consolidazione:
L’entità
della variazione di volume
(compressibilità), dipende dalla rigidezza dello scheletro solido, cioè
dalla struttura del terreno ed è definita dai
parametri
di compressibilità. La velocità
di questo processo (consolidazione) dipende dalla permeabilità
del terreno ed è
definita da una legge tensioni‐deformazioni‐tempo.
u + u0
u 0
Via via che l’acqua viene espulsa dai pori, le particelle di terreno si assestano in una configurazione più
stabile e
con meno vuoti, con conseguente diminuzione di volume.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 34
Elevata permeabilità
(k > 10‐6
m/s)TERRENI A GRANA GROSSA
(ghiaie e sabbie),
Scarsa permeabilità
(k < 10‐6
m/s)TERRENI A GRANA FINE
(limi e argille)
Riferendosi solo al caso di carichi statici o quasi statici:
espulsione dell’acqua (quindi anche
deformazione volumetrica)
praticamente istantanea
espulsione dell’acqua, con dissipazione
delle sovra‐pressioni interstiziali (e
quindi deformazione volumetrica)
differita nel tempo
N.B. Il fenomeno della consolidazione
interessa sia i terreni a grana fine che quelli a
grana grossa: i parametri di compressibilità
si determinano per entrambi, quelli legati
alla consolidazione sono di scarso interesse per i secondi.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 35
CONSOLIDAZIONE EDOMETRICACONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
In ogni punto del semispazio si produce istantaneamente un incremento di tensione
verticale totale v
= p.
II. Deposito saturo infinitamente esteso in
direzione orizzontale
SABBIA
ARGILLA
SABBIA
p
I. Carico uniformemente distribuito,
infinitamente esteso e applicato
istantaneamente)
Per ragioni di simmetria non possono esservi deformazioni orizzontali
e il moto di
filtrazione che si sviluppa è
monodimensionale
e in direzione verticale (condizioni
edometriche).
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 36
Nella sabbia, molto permeabile (SISTEMA APERTO), l’incremento di tensione totale
determina
(quasi immediatamente) un eguale incremento della tensione efficace
(sopportata dallo scheletro solido), mentre l’acqua in eccesso filtra rapidamente in
direzione verticale e la pressione interstiziale (praticamente) non varia. I grani si
deformano e si addensano con riduzione dei vuoti, e quindi di volume.
I.
inizialmente
il sovraccarico applicato è
sopportato quasi esclusivamente
dall’acqua interstiziale (p = v
= u; ’v
= 0);II.
gradualmente
l’acqua, filtrando verticalmente, viene espulsa dai pori e il carico
viene trasferito allo scheletro solido che si comprime, con conseguente
aumento delle pressioni effettive (’v
aumenta e u
diminuisce);
III.
alla fine
del processo di consolidazione tutte le sovra‐pressioni interstiziali si
sono dissipate (u = 0), la filtrazione si è
arrestata, il sovraccarico totale
applicato è
interamente sopportato dallo scheletro solido (’v
= v
= p).
Nell’argilla, poco permeabile (SISTEMA CHIUSO), la filtrazione avviene molto
lentamente e il fenomeno sopra descritto è molto rallentato:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 37
MODELLO MECCANICO MODELLO MECCANICO DIDI
ELASTICITELASTICITÀÀ
RITARDATARITARDATA
Molla a comportamento
elastico lineare (K)
Cilindro indeformabile
Acqua
Pistone
Manometro(pressione dell’acqua)
Valvola
1. La molla simula il comportamento dello scheletro solido
2. L’acqua presente nel cilindro
rappresenta l’acqua interstiziale
3. La valvola rappresenta la
permeabilità
del sistema
A
l
)t(Q)t(QQ iWiM
4. Se si applica un carico Q,
esso si ripartisce in parte
sulla molla (determinandone
un accorciamento l) e in
parte sull’acqua
(determinando una
sovrappressione uw
):
Esistono dei modelli meccanici
che descrivono in maniera efficace tale fenomeno
nei terreni a grana fine.
Nel modello di elasticità
ritardata:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 38
Valvola
Pressione
Chiuso Aperto
Q
Tempo0
0t
Q (
t )
1t
2t
3t
4t
5t
6t
7t
iW
Sovr
acca
rico
Q (
t ) i
M
t1 t2 t4t7
t1
–
valvola chiusa e
carico Q applicato
istantaneamente:
Q = Qw
=
uw
(t1
)∙A
QM
= 0 (l = 0)
t2
– valvola aperta
t > t2
– valvola aperta
uw
(t1
) = Q/A
Qw
=
uw
(t1
)∙A (uw
decresce)
QM
= K∙l (l cresce)
t = t7
– valvola aperta
Qw
= 0 (uw
= 0)QM
= Q
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 39
Area ABCD
carico totale (
·Ar
)
Ar
=area
trasversale del recipiente
Area ABCE
carico sulle molleArea AED
carico sostenuto dall’acqua
Pistoni forati Molle di uguale rigidezza (K)
Piezometri
Acqua
Il modello di Terzaghi
consiste in un recipiente cilindrico contenente una serie di
pistoni forati (che simulano la presenza dei vuoti e la permeabilità
del terreno), eguali
tra loro, separati da molle di eguale rigidezza
(che simulano il comportamento dello
scheletro solido), e riempito d’acqua. Ciascuna zona di interpiano in cui risulta
suddiviso il recipiente tramite i pistoni è
collegata ad un tubo aperto per la misura del
carico piezometrico.
MODELLO DI
TERZAGHI
Si applica istantaneamente un incremento di pressione Per il principio delle tensioni efficaci vale: u/w
(t) + ’/w
(t) = /w
√
z e √
t
Carico sostenuto dall’acqua Carico sostenutodalle molle
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 40
A
BArea ABCD
carico totale (
·Ar
)
Area ABCE
carico sulle molleArea AED
carico sostenuto dall’acqua
’ ut=0 /w
/w
t = 0
t = 0
u/w
= /w
’/w
= 0per ogni z
Molle indeformate
(dischi immobili ed equidistanti) e
piezometri allo stesso livello
(carico interamente
sostenuto dall’acqua), si attiva un moto di filtrazione
verticale ascendente
verso il recipiente
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 41
A
BArea ABCD
carico totale (
·Ar
)
Area ABCE
carico sulle molleArea AED
carico sostenuto dall’acqua
u
’w
w
C
D
E
Area ABCD
carico totale (
∙Ar
)Area ABCE
carico sulle molle
A
ut=0 /w
/w
t = 0B
t1 t2
Nell’istante t2
:
Area AED
carico sostenuto dall’acqua
t > 0
u/w
= 0per z = 0 e per ogni t
’/w
= /w
u/w
(t) cresceall’aumentare di z
’/w
(t) decresce
u/w
(z) decresceall’aumentare di t
’/w
(z) cresce
Le molle in superficie sopportano un carico
maggiore: la distanza tra
gli interpiani
e le
sovrappressioni sono minori in superficie
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 42
A
BArea ABCD
carico totale (
·Ar
)
Area AED
carico sostenuto dall’acqua
u
’w
w
C
D
E
A
ut=0 /w
/w
t = 0B
t1 t2
t =
t =
u/w
(z) = 0per ogni z
’/w
(z) = /w
Molle accorciate della stessa quantità
(dipendente dalla tensione applicata) per tutti
i piani
(dischi equidistanti) e piezometri allo
stesso livello precedente l’applicazione del
carico,
si arresta il
moto di filtrazione
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 43
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICATEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
I.
consolidazione monodimensionale
(filtrazione e cedimenti solo in
direzione verticale);II.
incompressibilità
di acqua (w
= cost) e particelle solide (s
= cost);III.
validità
della
legge di Darcy;
IV.
terreno
saturo, omogeneo, isotropo
V.
legame sforzi deformazioni
elastico lineare
VI.
permeabilità
costante
nel tempo e nello spazio
VII.
validità
del
principio delle tensioni efficaci
La teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi si basa sulle seguenti ipotesi
semplificative:
p
SABBIA
ARGILLA
SABBIA
Per comprendere i modi e i tempi secondo cui avviene i fenomeno della consolidazione
edometrica si fa riferimento alla
teoria della consolidazione edometrica
(monodimensionale) di Terzaghi.
Equazione che governa il moto di filtrazione dell’acqua(legge tensioni‐deformazioni‐tempo)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 44
teS
tS
ee1
1zhk
yhk
xhk r
r2
2
z2
2
y2
2
x
La legge tensioni‐deformazioni‐tempo
si ottiene a partire dall’equazione generale del
flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso
omogeneo ed isotropo, nell’ipotesi di
incompressibilità
del fluido e dello scheletro solido ed ottenuta applicando l’equazione
di continuità
e la legge di Darcy
(ipotesi II, III, IV)
che diventa, nell’ipotesi di:
(IV) terreno saturo:
h = h(z) 0yh
xh
2
2
2
2
Sr
= cost
= 1
0tSr
te
e11
zhk
o2
2
kx
= ky
= kz
(I) flusso monodirezionale, verticale, nella direzione z
(VI) terreno isotropo :
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 45
te
e1dzdz
zhk
o2
2
ta
te
te '
vV
'v
'v
tcosea ʹv
v
2e
2
w2
2
zu1
zh
* up
= componente idrostatica della pressione interstizialeue
= sovrappressione dovuta all’applicazione del carico
up
lineare con z
*
**
** Il segno meno è dovuto al fatto che l’indice dei vuoti decresce e av
è
positivo.
t'
e1a
zuk v
o
V2e
2
w
Principio delle tensioni efficaci (VII)
tu
tu
tu
ttu
tteepvv
'v
up
e v
costanti nel tempo
Ipotesi di elasticità
lineare (V)
Note
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 46
w
ep )uu(zh
Si ottiene così
l’equazione differenziale della consolidazione monodimensionale di
Terzaghi:
tu
zu
a)e1(k e
2e
2
vw
o
tu
zu
c e2e
2
v
oppure:
dove cV
è il coefficiente di consolidazione verticale:
vvwvw
o cm
ka
)e1(k
[L2/T]
dove:ue
(z,t) = sovra‐pressione dovuta all’applicazione del caricok = coefficiente di permeabilità
del terreno
eo
= indice dei vuoti inizialeav
= coefficiente di compressibilità
EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 47
Con riferimento ad uno strato di terreno a
permeabilità
molto bassa (argilla), delimitato
superiormente e inferiormente da un materiale a
permeabilità
molto più
alta (sabbia), assumendo
valide tutte le ipotesi della teoria della
consolidazione edometrica, l’equazione di Terzaghi:
p
SABBIA
ARGILLA
SABBIAZ = 0
Z
tu
zu
c e2
e2
v
)t,z(uu ee
2v
v
e22
e2
v Hc
Tu
H1
Zu
c
HzZ
2v
v Htc
T
(H = altezza di drenaggio) (Tv
= fattore di tempo)
v
e2e
2
Tu
Zu
)T,Z(uu Vee
con
con
spessore dello strato se drenato da un lato solo (0 < Z < 1)H =
metà
dello spessore dello strato se drenato da entrambi i lati (0 < Z < 2)
ponendo:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 48
occorre fissare, per la variabile ue
(z,t):
2 condizioni al contorno per z
(o Z) condizioni di drenaggio
1 condizione iniziale per t
(o TV
) distribuzione (isocrona) iniziale, ue
(z,0)
v
e2e
2
Tu
Zu
Per risolvere
l’equazione differenziale della consolidazione monodimensionale di
Terzaghi:
e quindi trovare l’evoluzione nel tempo t (o TV
) e con la profondità, z (o Z) della sovra‐
pressione interstiziale indotta dal carico applicato:
t,zu)T,Z(uu eVee
‐
in forma adimensionale o in forma dimensionale
tu
zu
c e2
e2
v
Nel caso edometrico,
le condizioni al contorno e iniziali sono:
per t = 0 ue
= uo
, z
(isocrona iniziale costante per carico uniforme)
per z = 0 e z = 2H ue
= 0, t
0 (superfici superiore e inferiore drenanti)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 49
z
0
zw
Z + 2Hw
zw u all’istante t = 0
Pressione dei pori
Prof
ondi
tà u ad un generico istante t
up
ue
u0
2H
Sabbia
Sabbia
Argillau
up
= pressione interstiziale idrostaticaue
= sovra‐pressione per applicazione del caricou0
= carico pp
La soluzione, ottenuta per via analitica, è quindi:
v2TM
m
0m
ove e)MZ(sin
Mu2
)T,Z(u
)1m2(
2M
con
0 ≤
Z ≤
2
0 ≤
TV
≤ ∞
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 50
Grado di consolidazione, Uz
Z=
z/H
Tv
=0
P
GRADO DI
CONSOLIDAZIONE
o
e
o
eoz u
)t,z(u1u
)t,z(uu)t,z(U
A(T )vA = Area totale del grafic ot
Grado di consolidazione medioU = A(T )/Am v t(T ) v
La stessa soluzione può essere ottenuta per via grafica, attraverso il
grado di
consolidazione
e il grado di consolidazione medio
(in termini di sovra‐pressioni
interstiziali):
Per t (TV
) = 0
A(TV
) = 0Um
= 0
A(TV
) = AtUm
= 1Per t (TV
) = +
tg
= ∂h/∂z(Z,Tv
) nel punto PTv
=∞
vT2M
0m2
H2
0zm e
M21dz)t,z(U
H21tU
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 51
H = spessore dell’intero strato 0 < Z < 1
Piano impermeabile
Nel caso edometrico,
con superficie drenante da un lato solo:
per z = 0 ue
= 0, t
0 (superfici superiore e inferiore drenanti)
z/H
Tv
=0
P
Tv
=∞
si possono adottare le stesse soluzioni assumendo H = spessore dello strato
Nel caso di isocrona iniziale non uniforme
(es. triangolare), indotta da distribuzioni di
carico non uniformi (o ad un abbassamento del livello di falda) esistono apposite
soluzioni grafiche e diagrammate.
p
ARGILLA
SABBIAZ = 0
ZROCCIA
v2TM
m
0m
ove e)MZ(sin
Mu2
)T,Z(u
dz)t,z(U
H1tU
H
0zm
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 52
Il grado di consolidazione medio
(in termini di sovrappressioni interstiziali), ad un
certo istante t, definito (nel caso di sue superfici drenanti) come :
vT2M
0m2
H2
0 o
eoH2
0zm e
M21dz
u)t,z(uu
H21dz)t,z(U
H21tU
f
H2
0f
H2
0 0
e0m s
)t(sdz)t,z(H21dz
)z(u)t,z(u)z(u
H21tU
legame sforzi deformazioni elastico lineare (V)
coincide con il rapporto tra il cedimento al tempo t, s(t), e il
cedimento totale, sf
,
ovvero con il grado di consolidazione medio
in termini di cedimento:
Infatti risulta:
ff
v
0
e0 )t,z(M
)t,z(M)t,z(ʹ)z(u
)t,z(u)z(u
f
m s)t(stU La variazione di pressione efficace durante la consolidazione
coincide con la variazione di pressione interstiziale
e quindi:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Compressibilità 53
Il grado di consolidazione medio
Um
(in funzione del tempo t o del fattore di
tempo Tv
) consente quindi di stimare l’evoluzione del cedimento nel tempo
durante il processo di consolidazione:
e si può ricavare, nel caso delle condizioni al contorno considerate
(isocrona iniziale
uniforme e una o due superfici drenanti), analiticamente:
f
m s)t(stU fm stU)t(s
vT2M
0m2m e
M21tU
oppure con grafici:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Fattore di tempo, Tv
Gra
do d
i con
solid
azio
ne m
edio
, Um
[%] 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1000.001 0.01 0.1 1 10
Fattore di tempo, Tv
Gra
do d
i con
solid
azio
ne m
edio
, Um
[%]
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 54
o con soluzioni analitiche approssimate
36
m
6m
v63
v
3v
m U1U5.0
T;5.0T
TU
(Brinch‐Hansen)
%60Uper(%))U100log(933.0781.1T
%60UperU4
T;T
2U
mmv
m2
mvv
m
(Terzaghi)
357.06.5m
2m
v179.08.2v
5.0v
mU1
U4T;
T41
T4
U
(Sivaram
& Swamee)
a)
b)
c)
Um 10 20 30 40 50 70 90 95 Tv 0.0077 0.0314 0.0707 0.126 0.196 0.403 0.848 1.129
oppure con tabelle:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 55
LIMITI DELLA TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DI
TERZAGHI
La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi non è in grado di
rappresentare il reale
comportamento dei terreni
per diversi motivi:
il legame tensioni deformazioni è
marcatamente non lineare
la permeabilità
del terreno varia nel tempo, durante il processo di consolidazione,
perché
diminuisce l’indice dei vuoti
è trascurata la componente viscosa
delle deformazioni
Si può utilizzare la soluzione di Terzaghi per interpretare la prova edometrica, se si
ipotizza che il terreno abbia comportamento lineare e permeabilità
costante
nell’ambito di ogni gradino di carico, e che le deformazioni viscose abbiano inizio solo
quando la consolidazione edometrica è in gran parte esaurita
N.B. In sito, inoltre, lo schema di carico e di vincolo geometrico considerati (strati
orizzontali, carico uniforme e infinitamente esteso, deformazioni e flusso solo
verticali) non sempre sono verificati, per cui l’incremento di tensione v
non è
costante con la profondità
e si possono avere anche deformazioni di taglio a volume
costante a breve termine e filtrazione anche orizzontale.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 56
In realtà
l’accordo è
accettabile per gradi di consolidazione inferiori al 60%
(per valori superiori la curva teorica tende ad un asintoto orizzontale, quella reale ad un
asintoto obliquo
a causa della consolidazione secondaria)
Se fossero verificate le ipotesi della teoria della consolidazione, le curve sperimentali
cedimento –
tempo della prova edometrica dovrebbero essere eguali (per qualsiasi
valore del carico o terreno) a meno di fattori di scala, alle curve teoriche adimensionali
Um
= f(Tv
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1000.001 0.01 0.1 1 10
Fattore di tempo, Tv
Gra
do d
i con
solid
azio
ne m
edio
, Um
[%]
Curva teorica adimensionale Um
= f(Tv
) Curva sperimentale dei cedimenti s(t)
Um
= s(t)/sf
s(t); TV
= cV
∙t/H2
t
I fattori di scala, caratteristici del terreno (cV
, H e sf
) si trovano sperimentalmente
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione57
Per applicare la soluzione dell’equazione differenziale della consolidazione
monodimensionale e determinare quindi l’evoluzione nel tempo dei cedimenti, s(t) =
Um
(TV
)·sf
e/o delle sovrappressioni interstiziali, ue
(t) = (1‐Uz
)·u0
di uno strato di terreno
coesivo, oppure i tempi di consolidazione t = Tv
·H2/cV
occorre dunque conoscere:
Il coefficiente di consolidazione verticale, cV
, si può determinare in laboratorio a partire dai risultati della prova edometrica
le caratteristiche geometriche
dello strato (spessore dello strato) l’isocrona iniziale
delle sovrappressioni (legata al carico applicato)
le condizioni di drenaggio
(percorso massimo di drenaggio, H) le caratteristiche di permeabilità
e compressibilità
del terreno
(sintetizzate dal coefficiente di consolidazione verticale, cv
) il cedimento finale di consolidazione primaria
(legato ai parametri di
compressibilità
del terreno)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 58
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI
cV
I valori dell’altezza del provino
osservati nel tempo durante ciascun gradino di carico applicato durante la prova edometrica
sono generalmente
diagrammati secondo due modalità:
in funzione del logaritmo del tempo in funzione della radice quadrata del tempo
Dai diagrammi così
ottenuti è
possibile determinare, relativamente a ciascuno dei gradini di carico applicati, il coefficiente di consolidazione, cv
, mediante procedure che consistono nel sovrapporre e far coincidere la curva teorica
adimensionale Um
= f(Tv
), parabolica, con la curva sperimentale cedimento‐ tempo (limitatamente al 60% della consolidazione primaria) allo scopo di
determinare i fattori di scala, e tra questi, noti H e sf
, il valore di cV
.
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 59
2
1
2
1
tt
)t(S)t(S )t(S
21)t(S 21
Poiché
per Um
60% la relazione teorica cedimenti‐tempo è
quasi
parabolica, se si considerano due istanti, t1
e t2
, e i relativi cedimenti, s(t1
), punto R, e s(t2
), punto E, tali che Um
< 60% e che t2
= 4 t1
, vale la relazione:
Metodo di Casagrande
grafico 2H ‐
t(log)
si traccia la retta orizzontale per E fino a trovare T, si ribalta sopra la curva il segmento verticale RT fino a trovare il punto P, la cui ordinata
misura l’altezza
iniziale 2 Hi
1) Si determina l’altezza del provino, 2Hi
, all’inizio della consolidazione (Um
=
0%).
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Consolidazione 60
3. Si determina l’altezza del provino a metà
della
consolidazione primaria, 2H50
(Um
= 50%).
2H50
= (2Hi
+ 2Hf
)/2
4. Si determina il valore di Tv
corrispondente a Um
= 50%, (es. dalla relazione di
Terzaghi Tv
= 0.197).
5. Si determina il valore di Cv
corrispondente: 50
250 197.0
tHcv
(intersezione, B, tra la tg
al tratto finale,
BC e la tg
nel punto di flesso, FB)
2. Si determina l’altezza del provino, 2Hf
, alla fine della consolidazione primaria (Um
=
100%)
Consolidazione 61
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Metodo di Taylor
diagramma 2H‐√t
2 H
2. Si determina l’altezza del provino, 2Hi
, all’inizio della consolidazione
primaria (Um
=
0%)
prolungando la retta interpolante fino ad incontrare l’asse delle ordinate, nel
punto E
D
E
O
2 Hi
ricordando che per Um
60% la relazione cedimenti‐tempo teorica è di tipo
parabolico (Terzaghi)
e quindi lineare se riportata in termini di √t
1. Si traccia la retta interpolante i punti iniziali (corrispondenti a Um
< 60%)
Consolidazione 62
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
4. Dall'intersezione della retta ad ascisse
incrementate con la curva sperimentale
(punto C) si ricava t90
e, sull’asse delle
ordinate, l’altezza 2H90
corrispondente
5. Si determina l’altezza del provino, 2Hf
,
alla fine della consolidazione (Um
=
100%)
3. Si disegna la retta con ascisse
incrementate del 15% rispetto a quella
interpolantet90
(C) è 1.15 volte il valore dell’ascissa
corrispondente alla stessa ordinata
sulla curva teorica, ovvero sulla retta
interpolante (B) i dati sperimentali per
Um
<60%
2 H
E
O
2 Hi
2 H90
2 Hf
Consolidazione 63
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
2 Hi
2 Hf
2 H90
2 H
E
O
2 Hi
2 H90
2 Hf
7. Si determina il valore di cv
corrispondente:
6. Si determina il valore di Tv
corrispondente a Um
= 90%
(dalla tabella Tv
= 0.848).
90
290 848.0
tHcv
ConsolidazioneConsolidazione 64
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
Avendo ricavato cV
ed mv
dalla prova edometrica è
possibile ottenere una stima del coefficiente di permeabilità
k del terreno:
N.B. Se le ipotesi di Terzaghi fossero verificate (k e mv
costanti) si otterrebbe lo stesso valore di cv
per tutti i gradini di carico applicati al provino.
In realtà
per ciascun gradino si ottiene un valore diverso si assume come valore più
rappresentativo quello corrispondente al
gradino di carico entro cui ricade il livello tensionale medio (iniziale e finale) presente nel terreno in sito.
vwv mck
Valori tipici
di cV
(per terreni da limi argillosi ad argille): 10‐6
10‐9
m2/s
ConsolidazioneConsolidazione 65
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
CONSOLIDAZIONE SECONDARIA
La consolidazione secondaria
è conseguente alle deformazioni viscose dello scheletro
solido, che avvengono prevalentemente
al termine della consolidazione primaria (quindi
a tensione efficace costante) e sono rappresentate, nella curva sperimentale cedimenti‐
tempo, dall’asintoto obliquo.
La pendenza dell’asintoto inclinato nel piano
semilogaritmico e‐logt, è detto indice di
compressione secondaria:
tlogeC
Terreno C/Cc Argille tenere organiche 0,05 0,01 Argille tenere inorganiche 0,04 0,01 Sabbie da 0,015 a 0,03 N.B. Lo stesso indice può anche essere definito sul piano ev
‐logt:
0
v
e1C
tlogC
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
66Consolidazione
1-D
Caso 1‐D (condizioni edometriche)
Tali condizioni possono realizzarsi nei terreni solo in condizioni di simmetria, ad
esempio nel caso di un deposito:
delimitato
da
piano
di
campagna
orizzontale
ed
infinitamente
esteso
in
direzione
orizzontale, con strati orizzontali (simmetria geometrica) con
un
incremento
della
tensione
verticale
totale
istantaneo
uniformemente
distribuito ed infinitamente esteso
(simmetria di carico), ovvero:
stato tensionale assial‐simmetrico
condizioni di deformazioni laterali impedite (r
= 0; V
= a
; deformazioni di taglio
= 0)
filtrazione monodimensionale (in direzione verticale)
cedimento
nullo
in
condizioni
non
drenate
(ovvero
nell’istante
di
applicazione
del
carico), au
= 0
spessore dello strato che consolida piccolo rispetto
all’estensione dell’area di carico (es. riporto di altezza costante
e grandi dimensioni planimetriche)
abbassamento generalizzato e uniforme del livello di falda
CONSOLIDAZIONE IN CASI REALI
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
67Consolidazione
Caso
2‐D
(carico
applicato
distribuito
su
una
striscia
di
larghezza B e di lunghezza indefinita)
lo stato di deformazione è piano la filtrazione avviene in due dimensioni il bacino dei cedimenti è
cilindrico
sono possibili deformazioni di taglio vi sono cedimenti anche a volume costante, in condizioni non drenate.
2-D
Caso
3‐D
(carico
applicato
è
distribuito
su
un’area
di
dimensioni
ridotte
e
confrontabili,
ad
esempio
un’area
circolare, quadrata o rettangolare)
lo stato di deformazione è
tridimensionale
la filtrazione avviene in tre dimensioni il bacino dei cedimenti è
tridimensionale
sono possibili deformazioni di taglio vi sono cedimenti anche a volume costante, in condizioni non drenate.
3-D
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
68Consolidazione
Carico infinitamente esteso
1-D
Drenaggio e deformazione in questa direzioneTempo di consolidazione (anni)
Spes
sore
del
lo st
rato
di t
erre
no (m
)
2-D
Striscia di caricoArea di carico
circolare
3-D
B D
La durata del processo di consolidazione dipende quindi anche dalla forma e dalle dimensioni dell’area di carico
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
69Consolidazione
OSS.La stima dei tempi di consolidazione mediante la teoria di Terzaghi (1‐D):
2. è molto incerta
(più
di quanto non sia la stima dell’entità
del cedimento) per
l’eventuale presenza nello strato di livelli di terreno a permeabilità
differente).
1. è
quasi sempre in eccesso
(sono trascurati gli effetti della forma e delle
dimensioni dell’area di carico);
N.B. Il modello geotecnico deve essere tarato, quando è
possibile e giustificato
dall’importanza dell’opera da realizzare, attraverso le misure sperimentali
dei
cedimenti reali nel tempo, durante e subito dopo la costruzione
tc
maggiore
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
70Consolidazione
Inoltre
la teoria della consolidazione di Terzaghi assume che il carico
totale
sia
applicato istantaneamente
(al tempo t = 0) e mantenuto costante
nel tempo fino
all’esaurirsi della consolidazione.
Sbancamento
t
ttempo
Car
ico
Costruzione Esercizio
1
2
In realtà
il carico viene applicato gradualmente, in modo anche discontinuo e
talvolta non monotòno, durante le varie fasi di costruzione.
Una soluzione sufficientemente accurata può ottenersi assumendo che l’intero
carico sia istantaneamente applicato al tempo corrispondente alla metà
del periodo
di costruzione.
t0
t0
= tc
/2
tc
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
71Consolidazione
ACCELERAZIONE DEL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE
N.B.
Poiché
il
sovraccarico
è
spesso
realizzato
con
un
riporto
di
terreno,
la
tecnica
del precarico
è molto utilizzata per le opere in terra e nei lavori stradali
Quando il tempo stimato di consolidazione
è
giudicato troppo lungo
(ad es. la
pavimentazione di un rilevato stradale deve essere realizzata a cedimenti assoluti e
differenziali esauriti), è
possibile ridurlo:
applicando un sovraccarico aggiuntivo temporaneo (precarico) applicando un sistema di dreni verticali
sA
t
p
p f
p s
t s t 1 s s
'0v
f'
0v
0
C0f
ploge1
CHs
fvm s)T(U)t(s
2vv HtcT
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
72Consolidazione
s f
A
t
s
p
pf
p s
s fs
t s t 1 s s
Dopo un assegnato tempo t1
, si deve essere già
manifestato il cedimento sf
(o una
gran parte di esso).
Per accelerare il processo di
consolidazione
si può decidere di
applicare un sovraccarico temporaneo
di
intensità
ps
per un periodo di tempo ts
.
N.B. Molto spesso ts
è
condizionato dai
tempi necessari per le lavorazioni, e
quindi è un dato di progetto, mentre
l’incognita è
l’intensità
del precarico ps
.
METODO DEL PRECARICO
ts2s
vv HtcT
Siccome all’istante ts
deve realizzarsi l’intero
cedimento sf
, allora:
f
s
fs
fm s
sssU mffs U/ss
110pp c
0
0
fs
Ce1
Hs
'0vsf
]logC[e1
HHʹvo
vʹvo
c
o
o
Viene sottratto
con precarico
senza precarico
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
73Consolidazione
METODO DEI DRENI VERTICALIUn’altra tecnica per accelerare il processo di consolidazione
consiste nell’inserire nel
terreno dreni verticali
disposti ai vertici di una maglia regolare, quadrata o
triangolare, di lato inferiore alla massima lunghezza di drenaggio H.
S’instaura una consolidazione anche orizzontale
e il tempo di consolidazione
si riduce perché
:
si riduce la lunghezza del percorso di drenaggio H (permettendo all’acqua di filtrare
anche in direzione orizzontale fino al dreno più
vicino)
si sfrutta la maggiore permeabilità
del terreno in direzione orizzontale, kH
si fa avvenire un processo di consolidazione tridimensionale
2
v
v HcT
t
I dreni verticali
possono essere realizzati:
con pali di sabbia, infissi o trivellati (diametro dw
= 0,20,5
m e interasse s =
1,56,0
m
con elementi prefabbricati
messi in opera a percussione o per infissione a
sezione lamellare (larghezza a = 60100
mm, spessore b = 25
mm) e diametro
equivalente pari a:
ba2d w
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
74Consolidazione
r
re
de
dw
terreno omogeneo,
parametri di compressibilità
e di permeabilità
costanti durante
il processo di consolidazione,
deformazioni solo verticali e filtrazione solo radiale,
deformazioni piccole rispetto all’altezza del cilindro che drena.
tu
ru
ru
r1c e
2e
2e
h
wv
hh m
kc
In genere ch
> cv
, ma cautelativamente
si può assumere ch
= cv
.
Per il dimensionamento del sistema di dreni verticali occorre
applicare la teoria della consolidazione radiale.
Si considera un cilindro di terreno con superficie esterna
impermeabile e un dreno centrale. Le ipotesi sono le stesse
della teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi, a parte
la direzione del flusso:
è il coefficiente di consolidazione
per flusso in
direzione
orizzontale
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
75Consolidazione
0
20
40
60
80
100
0.01 0.1 1
fattore di tempo, Tr
grad
o di
con
solid
azio
ne m
edio
, Ur (
%)
n=5
n=10
n=40
n=100
tu
ru
ru
r1c e
2e
2e
h
2e
hr d
tcT
75,0)nln(F
100FT8exp1100
s)t(s(%)U r
f
r
dove:w
e
dd
n
)U100(U100100
1100(%)U rv
Per risolvere l’equazione della consolidazione radiale
(come per
l’equazione della consolidazione monodimensionale di Terzaghi):
si considera che ad ogni istante t, corrisponde un fattore di
tempo adimensionale e un grado di consolidazione medio:
Ovviamente la consolidazione radiale è
contemporanea a quella verticale (edometrica), per
cui per ogni istante t è
possibile determinare, con le
formule note dalla teoria di Terzaghi, gli analoghi Tv
e
Uv
e un grado di consolidazione medio complessivo:
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
76Consolidazione
In fase di progettazione di un sistema di dreni verticali, in genere è nota:
Il parametro di progetto
da determinare è
l’interasse (o lato della maglia), s
la forma e la dimensione del dreno, cilindrico o lamellare (diametro interno dw
)
la disposizione dei dreni (a quinconce
con maglia triangolare equilatera o a
maglia quadrata
)
s05,1s3
6de
s13,1s4de
la geometria dello strato (spessore H )
la permeabilità
dello strato (e quindi i
coefficiente di consolidazione ch
e cv
)
t 2vv HtcT )T(fU vv
il grado di consolidazione globale (U
)
vr U100(%))U100(100100U
100
75.0)dsdln(
sdtc8
exp1(%)U
w
e
2e
h
r
100
FT8exp1(%)U r
r
Soluzione iterativaInterasse, s
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
77Consolidazione