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Corso di Idraulica Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale ed Idrologia Forestale
Docente: Prof. Santo Marcello Docente: Prof. Santo Marcello ZimboneZimbone
Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino -- Ing. Demetrio Ing. Demetrio ZemaZema
Anno Accademico 2008Anno Accademico 2008--20092009
Lezione n. 4: Idrostatica (parte III Lezione n. 4: Idrostatica (parte III -- equazione equazione globale globale -- legge di Archimede legge di Archimede –– calcolo della spinta)calcolo della spinta)
22
Equazione globaleEquazione globale
Legge di ArchimedeLegge di Archimede
Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie pianaAppendice: elementi di statica delle superfici piane Appendice: elementi di statica delle superfici piane
(momento statico, baricentro, momenti d(momento statico, baricentro, momenti d’’inerzia e centrifugo)inerzia e centrifugo)
Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curvaapplicazione dellapplicazione dell’’equazione globaleequazione globalemetodo delle componentimetodo delle componenti
IndiceIndice
SlidesSlides delle lezioni frontalidelle lezioni frontali
CitriniCitrini--NosedaNoseda (pagg. 43(pagg. 43--52)52)
Materiale didatticoMateriale didattico
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33
Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrostaticaidrostatica
Forza di massa (G) e di superficie (Forza di massa (G) e di superficie (ΠΠ)) agentiagentisullsull’’elemento di elemento di volume Vvolume V occupato dal fluidooccupato dal fluido
G G + + ΠΠ = = 00Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrostaticaidrostatica
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44
Legge di ArchimedeLegge di Archimede
GG’’
Caso 1:Caso 1:
Il Il corpocorpo risalerisale in in superficiesuperficie
““un corpo immerso in un fluido riceve una spinta un corpo immerso in un fluido riceve una spinta ((ΠΠ ’’)) dal basso dal basso verso lverso l’’alto pari al peso del volume di fluido spostato alto pari al peso del volume di fluido spostato (G(G’’))””
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55
ΠΠ’’++GG’’ = 0 = 0
EquazEquaz. globale applicata al . globale applicata al volume immerso che si volume immerso che si
immagina occupato dal fluidoimmagina occupato dal fluido
GG’’ = peso del volume = peso del volume immersoimmerso
GG’’
EquazEquaz. di equilibrio applicata . di equilibrio applicata al corpo interoal corpo intero
Legge di ArchimedeLegge di Archimede
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66
Legge di ArchimedeLegge di Archimede““un corpo immerso in un fluido riceve un corpo immerso in un fluido riceve una spinta una spinta ((ΠΠ ’’)) dal basso verso ldal basso verso l’’alto alto
pari al peso del volume di fluido spostato pari al peso del volume di fluido spostato (G(G’’))””
Ne deriva che:Ne deriva che:
ΠΠ’’= = --GG’’GG’’
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Legge di ArchimedeLegge di Archimede
77
Caso 2:Caso 2: PP = = GG
Peso proprio Peso proprio del corpo del corpo immersoimmerso
La spinta non dipende dalla profonditLa spinta non dipende dalla profonditàà di immersionedi immersioneCorso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 4Lezione 4
Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrostaticaidrostatica
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Caso 3:Caso 3:
Reazione del fondoReazione del fondoCorso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 4Lezione 4
Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrostaticaidrostatica
99
Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
Sia A una superficie immersa in un liquido e giacente su Sia A una superficie immersa in un liquido e giacente su un piano che forma un angolo un piano che forma un angolo αα con lcon l’’orizzontaleorizzontale
Retta (o linea) di sponda: Retta (o linea) di sponda: intersezione della intersezione della superficie A con il superficie A con il p.c.i.p.c.i.
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Appendice: elementi sulla statica delle superfici pianeAppendice: elementi sulla statica delle superfici piane
1010
∫
∫
∫
⋅⋅
=
==
==
A
A
A
dAxnsen
dAnsenx
dAnpS
senxhp
r
r
r
αγ
αγ
αγγ
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
1111
∫
∫
=
=
A0
A0
dAxxA
dAxA1x
ApAhxAS 000sen === γαγ
Detta Detta xx00 la la distanza del baricentro dalldistanza del baricentro dall’’asse yasse y
pp00 = = γγ xx00 sen sen αα = = γγ hh00 = pressione nel baricentro= pressione nel baricentro
Il Il modulo della spintamodulo della spinta (S) (S) èè quindi uguale al prodotto quindi uguale al prodotto tra la tra la pressione nel baricentro (ppressione nel baricentro (p00) e l) e l’’area della area della superficie piana (A)superficie piana (A)
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
1212
La spinta La spinta èè un vettore normale alla superficieun vettore normale alla superficie
Coordinate del suo punto di applicazione o Coordinate del suo punto di applicazione o centro di spintacentro di spinta: :
ξ η,
Si applicano le equazioni di equilibrio dei momentiSi applicano le equazioni di equilibrio dei momenti attorno attorno agli assi y ed xagli assi y ed x
Per Per ll’’ascissa (ascissa (ξξ)) del centro di spintadel centro di spinta
∫ ∫ ∫∫ ====⋅A A AA
dAxdAxxdAxhdAxpS 2sensen αγαγγξ
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
1313
ξ =IMy
y
0sen xAS αγ=
yAIdAx =∫ 2
yMxA =0
essendo:essendo:
si ha:si ha:
LL’’ascissa del centro di spintaascissa del centro di spinta èè data dal data dal rapportorapporto tra il tra il momento dmomento d’’inerziainerzia ed il ed il momento statico della superficiemomento statico della superficiesu cui si esercita la spinta, su cui si esercita la spinta, entrambi calcolati rispetto entrambi calcolati rispetto alla retta di sponda alla retta di sponda
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
1414
0
0
0000
0000
<<+=
>>+=
xperxxMI
xperxxMI
y
y
ξ
ξ
A p.c.i.x
0ξ A
p.c.i.
x0
ξ
Il centro di spinta Il centro di spinta èè posto inferiormente al baricentro, se posto inferiormente al baricentro, se xx00 èè positivo, superiormente ad esso, se xpositivo, superiormente ad esso, se x00 èè negativo negativo
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
1515
∫ ∫ ∫∫ ====⋅A A AA
dAyxdAyxdAyhdAypS αγαγγη sensen
y
xy
MI
=η
Per Per ll’’ordinataordinata ((ηη) ) del centro di spinta, si ha:del centro di spinta, si ha:
LL’’ordinata del centro di spintaordinata del centro di spinta èè data dal data dal rapporto rapporto tra il tra il prodotto dprodotto d’’inerziainerzia ed il ed il momento staticomomento statico della superficie della superficie A rispetto alla retta di sponda A rispetto alla retta di sponda
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana
1616
Equazione globale Equazione globale ((G + G + ΠΠ = 0) = 0) applicata al volume ABCapplicata al volume ABC :
ΠΠ = = ΠΠABC ABC + + ΠΠACAC
G + G + ΠΠABC ABC + + ΠΠACAC = 0= 0
Spinta esercitata dal fluido su Spinta esercitata dal fluido su ABC: ABC:
-- ΠΠABCABC
S = S = -- ΠΠABC ABC = G + = G + ΠΠACAC
Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con applicazione dell(con applicazione dell’’equazione globale)equazione globale)
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1717
Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con il metodo delle componenti)(con il metodo delle componenti)
La La spinta agente su una qualunque superficie curvaspinta agente su una qualunque superficie curva èènota se si conoscono le sue nota se si conoscono le sue componenti secondo un componenti secondo un piano orizzontale e secondo un asse verticalepiano orizzontale e secondo un asse verticale
In questo caso la spinta In questo caso la spinta èè data dalla data dalla somma vettoriale somma vettoriale delle due componentidelle due componenti
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1818
θcosndApdS x =
∫= Ax dApS θcosn
Componente orizzontale Componente orizzontale della spinta elementare della spinta elementare
Componente orizzontale Componente orizzontale della spintadella spinta
SSxx èè la la somma vettorialesomma vettoriale delle delle spinte agenti sugli spinte agenti sugli elementi di superficie elementi di superficie dAdA coscosθθ, proiezione degli elementi , proiezione degli elementi dAdA su un piano verticale su un piano verticale
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Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con il metodo delle componenti)(con il metodo delle componenti)
1919
n
n
h
p.c.i.
dA
A
α
dA
n α
α
dA cosα
Su un elemento di superficie Su un elemento di superficie dAdA il modulo della il modulo della spinta spinta elementare elementare dSdS èè pari a pari a p p dAdA = = γγ h h dAdA
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Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con il metodo delle componenti)(con il metodo delle componenti)
2020
n
n
h
p.c.i.
dA
A
α
dA
n α
α
dA cosα
La La componente verticale della spinta elementarecomponente verticale della spinta elementare risultarisulta
dSdSVV = = γγ h cosh cosαα dAdA
dAdA coscosαα èè la la proiezione della superficie proiezione della superficie dAdA su un su un piano piano orizzontaleorizzontale; quindi; quindi dAdA coscosαα hh èè il il volume del prisma volume del prisma elementareelementare di di base base dAdA coscosαα e e altezza h altezza h (rispetto al piano (rispetto al piano dei carichi idrostatici) dei carichi idrostatici)
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Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con il metodo delle componenti)(con il metodo delle componenti)
2121
n
n
h
p.c.i.
dA
A
α
dA
n α
α
dA cosα
La La componente verticale della spinta su componente verticale della spinta su AA èè data data dalldall’’integrale delle componenti delle forze elementariintegrale delle componenti delle forze elementari
ed ed èè quindi pari al quindi pari al peso del volume liquidopeso del volume liquido WW compreso compreso tra tra la superficie Ala superficie A ed il ed il piano dei carichi idrostaticipiano dei carichi idrostatici
WdAcoshSAV γαγ == ∫
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Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con il metodo delle componenti)(con il metodo delle componenti)
2222
Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane
Momento del primo ordine o momento staticoMomento del primo ordine o momento statico
∫= AX dAyM ∫= Ay dAxM
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2323
BaricentroBaricentro
La retta parallela allLa retta parallela all’’asse asse yy per cui risulta per cui risulta MMKK=0=0 èè detta detta baricentricabaricentrica
( )∫ −=AK dAKxM
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Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane
2424
BaricentroBaricentro
Detta Detta xx00 ll’’ascissa della retta ascissa della retta baricentricabaricentrica, poich, poichéé deve deve essere: essere:
00 =− AxM y
∫==A
y dAxAA
Mx 1
0
si ha:si ha:
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Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane
( )∫ −=A 0y dAxxM
e:e:
x0
2525
Momento del secondo ordine o momento di inerziaMomento del secondo ordine o momento di inerzia
∫=A
y dAxI 2 I y dAxA
= ∫ 2
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Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane
2626
Momento del secondo ordine o momento di inerziaMomento del secondo ordine o momento di inerzia
( )
AxIAxAxx2I
dAxdAxx2IdAxdAxx2dAx
dAxxI
20y
2000y
A
20
A0y
A A
200
A
2
A
20c
−=+−=
=+−=+−=
=−=
∫∫∫ ∫∫
∫
AxII cy20+=
Teorema del trasporto: il Teorema del trasporto: il momento di inerzia rispetto ad momento di inerzia rispetto ad un asse y (un asse y (IIyy)) èè dato dalla somma del dato dalla somma del momento centrale momento centrale ((IIcc)) -- ossia calcolato rispetto allossia calcolato rispetto all’’asse asse baricentricobaricentrico –– e del e del prodotto dellprodotto dell’’area A per il quadrato della distanza area A per il quadrato della distanza dalldall’’asse asse baricentricobaricentrico xx00
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Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane
2727
Prodotto di inerzia o momento centrifugoProdotto di inerzia o momento centrifugo
∫=A
xy dAyxI
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Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane
2828
Calcolo dei momenti del primo e del secondo Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche piordine delle figure geometriche piùù comunicomuni
Momento statico S = A a
cm3
2H 3
2H)hH( 22 −
BH2H)BH(
2H)bhBH( −
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2929
Calcolo dei momenti del primo e del secondo Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche piordine delle figure geometriche piùù comunicomuni
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Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana