Corso di Corso di LABORATORIO DI LABORATORIO DI

DIDATTICA DELLA MATEMATICADIDATTICA DELLA MATEMATICAProf. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCEProf. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCE

Dalle distribuzioni di frequenza Dalle distribuzioni di frequenza alle leggi di distribuzionealle leggi di distribuzione

Specializzandi: Bergamino - Chiavazza -Specializzandi: Bergamino - Chiavazza -Costa - Deambrogio - GoggiCosta - Deambrogio - Goggi

INDICEINDICE

IntroduzioneIntroduzione StatisticaStatistica Statistica-EserciziStatistica-Esercizi Dal discreto al continuoDal discreto al continuo ProbabilitàProbabilità ConclusioniConclusioni

IntroduzioneIntroduzioneCollocazione progetto didattico:Collocazione progetto didattico:

Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio con riferimento acon riferimento a

1.1. classe IV (per quanto concerne il discreto) classe IV (per quanto concerne il discreto) 2.2. classe V (per quanto concerne il continuo).classe V (per quanto concerne il continuo).

Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure triennio di un liceo scientificotriennio di un liceo scientifico

IntroduzioneIntroduzione

Motivazioni della sceltaMotivazioni della scelta

1.1. La statisticaLa statistica e la probabilità sono argomenti particolarmente importanti per lo sviluppo della capacità critica dei discenti e la probabilità sono argomenti particolarmente importanti per lo sviluppo della capacità critica dei discenti

2.2. L’insegnamento della matematica deve contribuire alla formazione di un cittadino conscio (matematica per il cittadino), in grado di saper interpretare ed analizzare la realtà che lo circonda in modo consapevole L’insegnamento della matematica deve contribuire alla formazione di un cittadino conscio (matematica per il cittadino), in grado di saper interpretare ed analizzare la realtà che lo circonda in modo consapevole

3.3. I recenti temi dei test di ammissione alle facoltà scientifiche nonché i test PISA dedicano particolare importanza alla statisticaI recenti temi dei test di ammissione alle facoltà scientifiche nonché i test PISA dedicano particolare importanza alla statistica e alla probabilitàe alla probabilità

4.4. La statistica inoltre e’ un fondamentale strumento per superare alcuni limiti relativi a cio’ che un alunno pensa di se’ rispetto ai suoi compagni (es.: altezza, peso, ecc.)La statistica inoltre e’ un fondamentale strumento per superare alcuni limiti relativi a cio’ che un alunno pensa di se’ rispetto ai suoi compagni (es.: altezza, peso, ecc.)

IntroduzioneIntroduzione Si introduce il concetto di Si introduce il concetto di distribuzione di frequenza distribuzione di frequenza partendo da esempi partendo da esempi

concreti, anche basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti televisivi, ecc., im concreti, anche basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti televisivi, ecc., im modo da:modo da:

stimolare maggiormente l’interesse e il coinvolgimento degli studentistimolare maggiormente l’interesse e il coinvolgimento degli studenti sottolineare i collegamenti interdisciplinari con:sottolineare i collegamenti interdisciplinari con:

1.1. economia aziendale, economia aziendale, 2.2. economia politica, economia politica, 3.3. scienza delle finanze, scienza delle finanze, 4.4. fisica, fisica, 5.5. biologia, biologia, 6.6. materie più umanistiche (es. semplice lettura di un quotidiano, notizie materie più umanistiche (es. semplice lettura di un quotidiano, notizie

economiche, indagini ISTAT, ecc.) economiche, indagini ISTAT, ecc.)

IntroduzioneIntroduzioneL’approccio didattico: L’approccio didattico:

Predisporre delle Predisporre delle schede ad hocschede ad hoc, anche con esercizi motivanti gli interessi , anche con esercizi motivanti gli interessi degli allievi degli allievi

Il livello di approfondimento e di formalizzazione sarà maggiore con riguardo al Il livello di approfondimento e di formalizzazione sarà maggiore con riguardo al

liceo scientifico rispetto all’approccio seguito negli istituti tecniciliceo scientifico rispetto all’approccio seguito negli istituti tecnici

Tratteremo:Tratteremo: 1.1. Lo sviluppo della Lo sviluppo della statistica descrittivastatistica descrittiva, nel discreto e nel continuo , nel discreto e nel continuo

2.2. Gli eventi aleatori, e quindi la Gli eventi aleatori, e quindi la probabilitàprobabilità, sempre con riferimento prima al discreto e poi al , sempre con riferimento prima al discreto e poi al continuocontinuo

STATISTICASTATISTICAFar considerare agli studenti un certo insieme di Far considerare agli studenti un certo insieme di oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad es.:oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad es.:

l’altezza degli alunni della classel’altezza degli alunni della classe i tempi di percorrenza da casa a scuolai tempi di percorrenza da casa a scuola la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuolala scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola i voti dell’ultimo compito in classei voti dell’ultimo compito in classe i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due

settimane successive al festival di Sanremosettimane successive al festival di Sanremo il PIL dell’Italia e degli altri Paesi europeiil PIL dell’Italia e degli altri Paesi europei

StatisticaStatisticaPer introdurre empiricamente i concetti di Per introdurre empiricamente i concetti di caratterecarattere modalità modalità popolazione popolazione frequenza assoluta e relativa (percentuale) frequenza assoluta e relativa (percentuale) distribuzionedistribuzione

si considerano gli esempi visti e si invitano gli studenti ad si considerano gli esempi visti e si invitano gli studenti ad analizzare analizzare il tipo di carattere consideratoil tipo di carattere considerato (qualitativo o (qualitativo o quantitativo) quantitativo)

si passa quindi ad una discussione critica per stimolare i si passa quindi ad una discussione critica per stimolare i discenti, accertandosi che abbiano discenti, accertandosi che abbiano una prima ideauna prima idea dei fenomeni dei fenomeni

si invitano ad esaminare si invitano ad esaminare come si distribuiscono questi daticome si distribuiscono questi dati, , facendo ad esempio osservare quali siano le altezze più facendo ad esempio osservare quali siano le altezze più frequenti, ecc.frequenti, ecc.

StatisticaStatistica Si intende quindi : Si intende quindi : far sviluppare agli studenti far sviluppare agli studenti eserciziesercizi relativi proprio alla relativi proprio alla

costruzione di costruzione di tabelletabelle (o (o distribuzioni di frequenzadistribuzioni di frequenza), per ), per familiarizzarli con la manipolazione di dati grezzifamiliarizzarli con la manipolazione di dati grezzi

portare gli studenti alla comprensione e all’opportunità del portare gli studenti alla comprensione e all’opportunità del raggruppamento di dati in raggruppamento di dati in classiclassi separateseparate

Parallelamente si propongono le medesime attività anche in Parallelamente si propongono le medesime attività anche in laboratorio informatico mediante l’ausilio di laboratorio informatico mediante l’ausilio di ExcelExcel, di , di XLStatXLStat e di e di STAT STAT scaricabile dal sito di MACOSAscaricabile dal sito di MACOSA

StatisticaStatistica La rappresentazione dei dati con carta e matita risulta spesso più difficile per La rappresentazione dei dati con carta e matita risulta spesso più difficile per

gli studenti: infatti devono prestare attenzione ad errori di calcolo che gli studenti: infatti devono prestare attenzione ad errori di calcolo che potrebbero portare a rappresentazioni totalmente errate, distogliendo così i potrebbero portare a rappresentazioni totalmente errate, distogliendo così i discenti dalla finalità principale del lavoro.discenti dalla finalità principale del lavoro.

In particolare, l’uso di In particolare, l’uso di ExcelExcel facilita proprio la parte grafica e di calcolo, (lo facilita proprio la parte grafica e di calcolo, (lo studente è direttamente coinvolto nel processo di apprendimento). studente è direttamente coinvolto nel processo di apprendimento).

XLStatXLStat, invece, pur essendo uno strumento più potente, presenta un costo , invece, pur essendo uno strumento più potente, presenta un costo sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista didattico, si ritiene che sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista didattico, si ritiene che debba essere utilizzato solo a posteriori, dopo l’apprendimento dei concetti, debba essere utilizzato solo a posteriori, dopo l’apprendimento dei concetti, come verifica del lavoro svolto dagli alunni, in quanto esso calcola come verifica del lavoro svolto dagli alunni, in quanto esso calcola automaticamente i vari indici statistici. automaticamente i vari indici statistici.

Agendo in tal modo si utilizza una Agendo in tal modo si utilizza una metodologia didatticametodologia didattica di tipo percettivo-di tipo percettivo-motoriomotorio, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo simbolico-, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo simbolico-ricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di apprendimento ricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di apprendimento dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più incentivante.dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più incentivante.

NOTENOTE

StatisticaStatistica Si propone quindi di far svolgere agli studenti in maniera diretta indagini Si propone quindi di far svolgere agli studenti in maniera diretta indagini

su fenomeni specifici. Esempi:su fenomeni specifici. Esempi: indagine sul numero di studenti stranieri iscritti nella scuola negli ultimi indagine sul numero di studenti stranieri iscritti nella scuola negli ultimi

annianni indagine sul costo di un determinato bene nel tempo indagine sul costo di un determinato bene nel tempo per un liceo scientifico, la temperatura nei vari giorniper un liceo scientifico, la temperatura nei vari giorni Poi si può agevolmente introdurre il concetto di Poi si può agevolmente introdurre il concetto di istogrammaistogramma come come

strumento per raffigurare la strumento per raffigurare la distribuzione di frequenzedistribuzione di frequenze

Si procede con l’introduzione degli Si procede con l’introduzione degli indici di posizioneindici di posizione (moda, mediana, (moda, mediana, media aritmetica) e dei principali media aritmetica) e dei principali indici di dispersioneindici di dispersione (varianza, scarto (varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo scopo di ottenere quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo scopo di ottenere misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche. misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche.

(Esempi sempre collegati con casi reali vicini agli studenti)(Esempi sempre collegati con casi reali vicini agli studenti)

EserciziEsercizi ESERCIZIO 1ESERCIZIO 1

La tabella seguente riporta la distribuzione dei voti conseguiti in matematica da 26 studenti di una classe.

A B C D E F G H I J K L M N O

7 4 8 9 8 7 7 6 5 4 4 3 7 6 8

P Q R S T U W X Y Z  

5 5 7 6 7 8 8 9 6 4  

Si individui la tipologia di carattere osservata, si raggruppino i dati in un’opportuna tabella e si proceda quindi al calcolo degli opportuni indici di posizione.

EserciziEsercizi ESERCIZIO 2ESERCIZIO 2

Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti quotazioni (in euro):Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti quotazioni (in euro):

2,98; 2,97; 2,98; 2,99; 2,982,98; 2,97; 2,98; 2,99; 2,98

Se una persona ha acquistato, a ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo medio per azione? E se ne Se una persona ha acquistato, a ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo medio per azione? E se ne ha acquistate 200 ad ogni seduta? ha acquistate 200 ad ogni seduta?

Dal discreto al continuoDal discreto al continuo

Attraverso opportuni esempi (velocita’ di un’auto, altezza di una persona...) si vogliono portare gli studenti al passaggio dal discreto al continuo, mostrando come molti Attraverso opportuni esempi (velocita’ di un’auto, altezza di una persona...) si vogliono portare gli studenti al passaggio dal discreto al continuo, mostrando come molti fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in un certo intervallo. fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in un certo intervallo.

Esempio: Rilevazione dell’altezzaEsempio: Rilevazione dell’altezza Rilevazione dell’altezza degli studenti (piccolo campione) Rilevazione dell’altezza degli studenti (piccolo campione)

istogramma sperimentaleistogramma sperimentale Ampliamento della dimensione del campione Ampliamento della dimensione del campione

distribuzione teorica continuadistribuzione teorica continua

Dal discreto al continuo Dal discreto al continuo Consideriamo un grande numero di individui, ad esempio 100.000, si ottengono 100.000 valori di altezza, compresi tra un minimo ed un massimo. Si evidenzia che Consideriamo un grande numero di individui, ad esempio 100.000, si ottengono 100.000 valori di altezza, compresi tra un minimo ed un massimo. Si evidenzia che

maggiore e’ la numerosita’ del campione, maggiore e’ la maggiore e’ la numerosita’ del campione, maggiore e’ la precisioneprecisione nella determinazione della media e varianza (nella determinazione della media e varianza (mm mm al posto di al posto di cmcm))

Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti valori:Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti valori: raggruppandoli in raggruppandoli in classi classi costruendo un costruendo un istogrammaistogramma (sulle ascisse sono riportati i valori delle altezze e sull’ordinata la (sulle ascisse sono riportati i valori delle altezze e sull’ordinata la densità di frequenzadensità di frequenza, che si intende proprio introdurre in questa sede, come , che si intende proprio introdurre in questa sede, come

rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della classe)rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della classe) L’L’istogrammaistogramma sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in cui sono stati suddivisi i valori. sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in cui sono stati suddivisi i valori.

Aumentando il numero di classi diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli rettangoli, ma l’area totale dell’istogramma rimane sempre costante, pari ad unoAumentando il numero di classi diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli rettangoli, ma l’area totale dell’istogramma rimane sempre costante, pari ad uno

Dal discreto al continuoDal discreto al continuo Area dell’istogramma = somma delle aree di tutti i Area dell’istogramma = somma delle aree di tutti i

rettangoli rettangoli Area rettangoloArea rettangolo = base * altezza = (ampiezza classe = base * altezza = (ampiezza classe

* densità di frequenza) = * densità di frequenza) = frequenza relativafrequenza relativa

comprensione di un concetto di per sé comprensione di un concetto di per sé complesso passo passo, partendo proprio dalla complesso passo passo, partendo proprio dalla rappresentazione grafica rappresentazione grafica

Al crescere del numero dei rettangoli l’istogramma Al crescere del numero dei rettangoli l’istogramma tende ad una tende ad una funzione continuafunzione continua, la cui area vale , la cui area vale ancora uno, detta ancora uno, detta funzione di densitàfunzione di densità

Dal discreto al continuoDal discreto al continuo Si evidenziano: Si evidenziano: le le distribuzioni teorichedistribuzioni teoriche che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni

di frequenza (esempio: distribuzione normale o gaussiana) di frequenza (esempio: distribuzione normale o gaussiana) Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto prima e la distribuzione Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto prima e la distribuzione

gaussiana teorica gaussiana teorica buona approssimazione del fenomeno considerato buona approssimazione del fenomeno considerato il collegamento con l’il collegamento con l’analisianalisi, con riferimento al concetto di , con riferimento al concetto di integraleintegrale (area (area

sottesa ad una curva) sottesa ad una curva) 1.1. Per gli studenti di un liceo scientificoPer gli studenti di un liceo scientifico, -> si approfondirà in analisi il , -> si approfondirà in analisi il

concetto di integrale indefinito e definitoconcetto di integrale indefinito e definito2.2. per gli studenti di un istituto tecnico commercialeper gli studenti di un istituto tecnico commerciale -> concetto sviluppato -> concetto sviluppato

solo a livello intuitivo, senza eccessivi formalismisolo a livello intuitivo, senza eccessivi formalismi

Note la media e la varianza del campione e’ possibile calcolare in modo preciso la percentuale di popolazione avente altezza compresa in un certo intervallo, evitando cosi’ di sommare le aree dei singoli rettangoli dell’istogramma

ProbabilitàProbabilità Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post, mentre con la probabilità si introduce il concetto di Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post, mentre con la probabilità si introduce il concetto di evento aleatorio, evento aleatorio, inteso come inteso come

accadimento il cui esito sia incerto. A tal fine si fornisce una serie di accadimento il cui esito sia incerto. A tal fine si fornisce una serie di esempiesempi:: il numero di automobili che transitano su un’autostrada in un dato giornoil numero di automobili che transitano su un’autostrada in un dato giorno l’uscita di un dato numero al gioco del lotto l’uscita di un dato numero al gioco del lotto il valore che può assumere un titolo azionarioil valore che può assumere un titolo azionario la temperatura registrata in una giornatala temperatura registrata in una giornata l’altezza di un alunno in una classel’altezza di un alunno in una classe

Si va così a definire il concetto di Si va così a definire il concetto di probabilitàprobabilità, nodo concettuale problematico dal punto di vista definitorio e didattico, nodo concettuale problematico dal punto di vista definitorio e didattico

ProbabilitàProbabilitàESEMPIO 1ESEMPIO 1 Luisa, che sa della fine della mia storia con Mario, ed ama gli indovinelli, mi dice: «Sai,

viene a trovarmi per qualche giorno Sergio, un mio lontano cugino, dall'Emilia. Potremmo andare a cena assieme, e poi, chissà, potrebbe nascere qualcosa! Sergio non è molto alto, ma ha un bell‘ aspetto, anche se porta gli occhiali. Gli piace leggere. È un po' taciturno, ma quando parla sa essere piacevole. Non ti dico altro.

Prova a indovinare che mestiere fa: (A) il magistrato, (B) il bibliotecario, (C) l'agricoltore, (D) l'attore o (E) il dentista?» In assenza di altre informazioni su Sergio e, in generale, sui parenti di Luisa, ipotizzando che Luisa sappia che io non ho particolari preferenze per un mestiere o l'altro, … come dovrei rispondere per individuare il mestiere più probabile?

In effetti, si può osservare proprio come fra i mestieri indicati, in Emilia, e in tutte le regioni italiane, il più frequente è di gran lunga sicuramente l'agricoltore. E ai nostri giorni anche gli agricoltori portano gli occhiali, e leggono. Solo qualche stereotipo, e l'assenza di considerazioni statistiche, potrebbe indurre a pensare che la risposta OK sia "bibliotecario". Diversa, ovviamente, sarebbe la situazione se Luisa avesse 5 cugini che fanno i mestieri indicati.

ProbabilitàProbabilitàESEMPIO 2ESEMPIO 2 Lancio ripetutamente un dado (non truccato).Quale tra i seguenti fatti è più probabile?

(A) Ottenere di fila 5,2,1,4,3,6 (B) Ottenere di fila 5 volte 6 (C) Ottenere di fila 1,2,3,4,5,6 (D) Ottenere di fila 6 volte 1 (E) Ottenere di fila 1,1,2,2,3,3

Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le sequenze Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le sequenze di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui, facendo 3 lanci, di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui, facendo 3 lanci, 333 sia meno probabile di, ad es., 524.333 sia meno probabile di, ad es., 524.Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una sequenza Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una sequenza tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5 uscite; tutte gli tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5 uscite; tutte gli altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza tra tutte le possibili altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza tra tutte le possibili sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6 volte la quantità delle sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6 volte la quantità delle sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte la probabilità di ciascuno sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte la probabilità di ciascuno degli altri eventi).degli altri eventi).

ProbabilitàProbabilità DifficoltàDifficoltà degli studenti nella comprensione della degli studenti nella comprensione della

probabilità:probabilità:

È diffusa l’idea che una successione "regolare" di uscite È diffusa l’idea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare. Esercizi sia più improbabile di una uscita meno regolare. Esercizi di questo genere sono assai utili per mettere in luce le di questo genere sono assai utili per mettere in luce le misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di discussione su di esse.discussione su di esse.

Si mostreranno quindi le differenti Si mostreranno quindi le differenti “definizioni” di “definizioni” di probabilitàprobabilità (classica e frequentista), mostrandone altresì (classica e frequentista), mostrandone altresì i limitii limiti

ProbabilitàProbabilità Si introduce il concetto di variabile aleatoria (grandezza che può assumere

valori differenti in modo imprevedibile).Esempi: il numero di teste che si presentano lanciando n monete, la velocità di un’auto in un determinato istante, il n° dei centri di un bersaglio nel tiro al piattello su n colpi, il n° di carte di cuori estraibili da un mazzo di 40,con o senza reinserimento la statura di una persona Si introducono quindi i concetti di: variabili aleatorie discrete -possono assumere solo determinati valori variabili aleatorie continue -assumono qualsiasi valore entro un certo intervallo

Per definire in modo esauriente una variabile aleatoria è necessario definire sia i valori che la grandezza può assumere sia con quale probabilità può assumere tali valori, ovvero si deve definire la sua distribuzione di probabilità (funzione di probabilità)

ProbabilitàProbabilità1.1. Si introducono esempi di Si introducono esempi di variabili aleatorie discrete variabili aleatorie discrete (evidenziando come(evidenziando come

discretodiscreto non implichinon implichi finitofinito))2.2. Si procede ad una loro rappresentazione grafica (Si procede ad una loro rappresentazione grafica (istogrammiistogrammi) Esempio: ) Esempio:

di distribuzione di probabilità discreta: binomiale (prob. di ottenere x di distribuzione di probabilità discreta: binomiale (prob. di ottenere x successi in successi in nn prove indipendenti) prove indipendenti)

3.3. Analogamente e specularmente a quanto osservato con riferimento alle Analogamente e specularmente a quanto osservato con riferimento alle distribuzioni di frequenza di fenomeni statistici, si procede al distribuzioni di frequenza di fenomeni statistici, si procede al passaggio passaggio al continuoal continuo anche per le variabili aleatorie. anche per le variabili aleatorie.

In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con l’ausilio di In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con l’ausilio di software (ad esempio software (ad esempio StatStat o o ExcelExcel) come, aumentando il numero delle ) come, aumentando il numero delle prove effettuate, l’istogramma sperimentale converga ad una prove effettuate, l’istogramma sperimentale converga ad una distribuzione teorica continua, come ad es. la gaussiana o uniformedistribuzione teorica continua, come ad es. la gaussiana o uniforme

Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che presentano presentano andamento continuo irregolareandamento continuo irregolare (es.: peso degli (es.: peso degli individui), non rappresentabili mediante distribuzione individui), non rappresentabili mediante distribuzione gaussiana o uniformegaussiana o uniforme

ProbabilitàProbabilità ESEMPIO:ESEMPIO: altezza di una popolazione di individui altezza di una popolazione di individui Si può mostrare come l’istogramma sperimentale sia ben Si può mostrare come l’istogramma sperimentale sia ben

approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente media e varianza della popolazione in esame.media e varianza della popolazione in esame.

Note Note mediamedia e e varianzavarianza, e’ possibile calcolare la , e’ possibile calcolare la probabilita’probabilita’ che che l’altezza degli individui sia compresa in un certo intervallol’altezza degli individui sia compresa in un certo intervallo

ProbabilitàProbabilità L’area sottesa alla curva in un certo intervallo L’area sottesa alla curva in un certo intervallo

In statisticaIn statistica : rappresenta la percentuale, ovvero la : rappresenta la percentuale, ovvero la frequenza relativa,frequenza relativa, di soggetti aventi carattere con valori in tale intervallodi soggetti aventi carattere con valori in tale intervallo

In probabilità:In probabilità: rappresenta la rappresenta la probabilitàprobabilità che l’evento assuma valori che l’evento assuma valori in tale intervallo. Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere in tale intervallo. Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere calcolata tramite calcolata tramite

1.1. calcolo integralecalcolo integrale

2.2. qualora trattasi di particolari distribuzioni, quale la qualora trattasi di particolari distribuzioni, quale la gaussiana gaussiana uso uso di tavole o, piu’ opportunamente, tramite calcolatrice o softwaredi tavole o, piu’ opportunamente, tramite calcolatrice o software

3.3. qualora trattasi di qualora trattasi di distribuzione uniforme distribuzione uniforme geometria geometria (area (area rettangolo) rettangolo)

Il passo conclusivo può essere quello di passare al concetto di Il passo conclusivo può essere quello di passare al concetto di inferenzainferenza, mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia , mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo

livello di confidenza (stima) livello di confidenza (stima) 

ConclusioniConclusioni Tipologie di difficoltà incontrabili dai discenti:

1) difficoltà a distinguere il concetto di carattere da quello di frequenza 2) difficoltà a raggruppare opportunamente i dati in classi3) difficoltà riscontrabili nel passaggio dal discreto al continuo relative

alla non consapevolezza dell’ importanza della numerosità del campione, (in quanto solo con popolazioni ampie vale la legge dei grandi numeri e la convergenza della distribuzione discreta verso quella continua)

4) difficoltà tipica del pensiero probabilistico, ovvero l'idea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare

5) difficoltà di comprensione della differenza fra fenomeno statistico ed evento aleatorio

6) In generale, difficoltà legate ad un atteggiamento di pensiero, che potrebbero condizionare la vita sociale molto di piu’ rispetto ai tradizionali concetti matematici