Facoltà di Scienze M.F.N. ,dipartimento di Matematica Università di Torino Laboratorio di combinatorica

Realizzato da Daisy Blanc Anno scolastico 2008/2009

BIOGRAFIA DI LEONARDO FIBONACCI

Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. A Bugia, Fibonacci imparò la matematica e viaggiò moltissimo con suo padre, riconoscendo gli enormi vantaggi dei sistemi matematici usati nei paesi che visitarono. Il padre appunto, voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni . Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche. Qui, egli scrisse un gran numero di testi importanti, che giocarono un ruolo determinante nel risvegliare antiche abilità matematiche. Dei suoi libri, abbiamo ancora copie del Liber abbaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), e Liber quadratorum. In quegli anni il Sacro Romano Imperatore era Federico II. Federico II aiutò Pisa nel suo conflitto con Genova in mare e con Lucca e Firenze per via terra, e trascorse gli anni successivi al 1227 a consolidare il suo potere in Italia. Il controllo dello stato fu introdotto nel commercio e nell'industria manifatturiera, e furono istruiti servi civili all'Università di Napoli, che Federico aveva fondato nel 1224 proprio per questo proposito, per sorvegliare questo monopolio.

Federico si rese conto del lavoro di Fibonacci grazie ai dotti della sua corte, che avevano corrisposto con lui sin dal suo ritorno a Pisa, intorno al 1200. Tra questi dotti c'erano anche Michael Scotus, che era l'astrologo di corte, Theororus, il filosofo di corte e Dominicus Hispanus, che suggerì a Federico di incontrare Fibonacci, quando la sua corte sostò a Pisa, intorno al 1225. Johannes di Palermo, un altro membro della corte di Federico II, presentò, come sfide, un certo numero di problemi al grande matematico Fibonacci. Tre di questi problemi furono risolti da Fibonacci, che ne fornì le soluzioni nel Flos, il quale venne poi inviato a Federico II.

Tornando alle opere di Fibonacci possiamo dire che in tutta la sua produzione quella più importante è il "Liber abaci", comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro (in tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti). Certamente, molti dei problemi che Fibonacci considera nel Liber abbaci erano simili a quelli che apparivano nelle fonti arabe. La seconda parte del Liber abbaci contiene un'ampia raccolta dei problemi rivolti ai mercanti. Essi si riferiscono al prezzo dei prodotti, e insegnano come calcolare il profitto negli affari, come convertire il denaro nelle varie monete in uso negli stati mediterranei, e altri problemi ancora di origine cinese.

Un problema, nella terza parte del Liber abbaci, portò all'introduzione dei numeri di Fibonacci e della sequenza di Fibonacci, per i quali è ricordato ancora oggi:

Un certo uomo mette una coppia di conigli in un posto circondato su tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia genera una nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa produttiva?

Un altro dei libri di Fibonacci è il Practica geometriae, scritto nel 1220 e dedicato a Dominicus Hispanus. Esso contiene un'ampia raccolta di problemi geometrici, distribuiti in otto capitoli, unitamente a teoremi basati su Gli Elementi di Euclide e sulle divisioni sempre di Euclide. Il Liber quadratorum, scritto nel 1225, è la parte del lavoro di Fibonacci più impressionante, sebbene non sia l'opera per cui è maggiormente conosciuto. Il nome del libro significa il libro dei quadrati ed è un libro sulla teoria dei numeri che, tra le altre cose, esamina i metodi per trovare il triplo pitagorico. Fibonacci, per primo, notò che i numeri quadrati potevano essere costruiti come somme di numeri dispari, descrivendo, in linea essenziale, un procedimento induttivo e usando la formula n^2+(2n+1)=(n+1)^2. Fibonacci scrive:

Ho pensato all'origine di tutti i numeri quadrati e ho scoperto che essi derivano dal regolare aumento dei numeri dispari. L'1 è un quadrato e da esso è

prodotto il primo quadrato, chiamato 1; aggiungendo 3 a questo, si ottiene il secondo quadrato, 4, la cui radice è 2; se a questa somma viene aggiunto un terzo

numero dispari, cioè 5, verrà prodotto il terzo quadrato, cioè 9, la cui radice è 3; per cui la sequenza e le serie dei numeri quadrati derivano sempre da

addizioni regolari di numeri dispari.

Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.

SUCCESSIONE DI FIBONACCI

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F0:= 0 ed F1:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia Fn := Fn-1 + Fn-2 con n>1. Il termine F0 viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F1:= 1.

L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

I primi 41 numeri di Fibonacci sono:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F10) 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F20) 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 (=F30), 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (=F40)

I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali; essi inoltre posseggono varie generalizzazioni interessanti.

GENERALIZZAZIONI

Una successione di Fibonacci può anche non cominciare necessariamente con 0 e 1 o con due 1. Questa successione è detta successione di Fibonacci generica o generalizzata. Ogni successione generica di Fibonacci rispetta però una singolare caratteristica, la somma dei primi 10 elementi sarà sempre uguale a 11 volte il settimo elemento. La dimostrazione è molto semplice: elenchiamo i primi 10 elementi in questo modo:

1° elemento: m 2° elemento: n 3° elemento: m + n 4° elemento: m + 2n 5° elemento: 2m + 3n 6° elemento: 3m + 5n 7° elemento: 5m + 8n 8° elemento: 8m + 13n 9° elemento: 13m + 21n 10° elemento: 21m + 34n

Sommando tutti i dieci elementi, si otterrà 55m + 88n che è proprio uguale a 11 volte il settimo elemento.

Ogni successione generalizzata conserva la proprietà che il rapporto tra due numeri consecutivi tende alla sezione aurea. Una particolare successione di Fibonacci generalizzata, quella ottenuta ponendo m=2 e n=1, è detta successione di Lucas, dal matematico francese Édouard Lucas.

SUCCESSIONI TRIBONACCI E TETRANACCI La successione di Fibonacci può essere anche generalizzata non richiedendo che ogni numero sia la somma dei due successivi, ma degli ultimi n, dove n è un qualsiasi numero intero. Se n=1 si ottiene una successione degenere i cui termini sono tutti 1, se n=2 si ottiene la successione di Fibonacci,

mentre per n=3 e 4 si ottengono rispettivamente le cosiddette successione Tribonacci e Tetranacci. Caratteristica comune di queste successioni è che il rapporto tra due termini consecutivi tende alla radice reale compresa tra 1 e 2 del polinomio

Anche la somma dei reciproci degli elementi di questa successione converge (se n>1), come si può vedere facilmente considerando che ogni k-esimo elemento di una successione è maggiore o uguale del corrispondente elemento F(k) della successione di Fibonacci, e quindi il reciproco è minore.

PROPRIETÀ La successione di Fibonacci possiede moltissime proprietà di grande interesse. La proprietà principale, e maggiormente utile nelle varie scienze, è quella per cui il rapporto Fn+1 / Fn al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia. Quindi:

lim Fn+1 / F n = Φ per n → ∞

dove

Bisogna anche notare come, proseguendo via via per la sequenza, il rapporto risulti alternativamente maggiore e minore della costante limite.

Naturalmente il rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della

sezione aurea .

Conviene anche ricordare che:

a)

b)

in accordo con la definizione di sezione aurea come il numero positivo tale che , equazione che, quando vincolata alla condizione , ammette l'unica soluzione

. Ragionamenti analoghi possono essere applicati per ottenere altri rapporti irrazionali costanti; per esempio dividendo ogni numero per il secondo successivo si ottiene 0,382 e dividendo ogni numero

per il terzo successivo si ottiene 0,236, mentre dividendo ogni numero per il secondo precedente si ottiene 2,618 e dividendo ogni numero per il terzo precedente si ottiene 4,236.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione della proporzione in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" ( sezione aurea ) o "divino" ( divina proporzione ), proprio a dimostrazione del fascino esercitato.

Fu nell'Ottocento che alla "Divina proporzione" venne dato il nome di "Sezione aurea".

Ecco alcuni esempi di applicazione e di riscontro

ARCHITETTURA

- La piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto base/altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6.

- Nei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen, stanno tra loro nel rapporto di 1,6.

- La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

- Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo. PITTURA - Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (la divina proporzione), considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze.

-Il rettangolo aureo nelle opere di Leonardo

L’ultima cena

La Gioconda

e nella Venere di Botticelli

-Pittura Contemporanea:

"1.618" (1983)

Piet Mondrian(1872-1944) "sezione aurea"

MUSICA

Anche nella musica, Beethoven, nelle "33 variazioni sopra un valzer di Dabelli" suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci, il cui rapporto corrisponde al numero d'oro.

ASTRONOMIA

In Astronomia si è osservato che tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione (Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5); e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5); anche grazie a questa coincidenza gli astronomi previdero l'esistenza di Nettuno.

Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea:dalle schede telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette: sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618.

CORPO UMANO

In natura il rapporto aureo è riscontrabile in molte dimensioni del corpo umano. Se moltiplichiamo per 1,618 la distanza che in una persona adulta e proporzionata, va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la distanza dal gomito alla mano (con le dita tese), moltiplicata per 1,618, dà la lunghezza totale del braccio. La distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata per il numero d'oro, dà la lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare sono aurei, così il volto umano è tutto scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.

-Famosa è la rappresentazione di Leonardo dell'uomo di Vitruvio in cui una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l'altezza dell'uomo (AB) è pari alla distanza (BC) tra le estremità delle mani con le braccia distese . La retta x-y passante per l'ombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe aperte.

La posizione corrispondente all'ombelico è infatti ritenuta il baricentro del corpo umano.

-Meno famosa, ma non meno esplicita, è la figura dell'uomo di Rutilio il Vecchio, nel quale la figura umana è inscritta in una stella a cinque punte

-Nella figura seguente possiamo individuare numerosi rapporti aurei: A/a= tra l'altezza e larghezza del viso. B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte. C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi. D/d= altezza e larghezza del naso. E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca. F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza. H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.

NATURA

• Per motivi legati allo sviluppo dei fiori, il numero di petali di molti di essi è un numero di Fibonacci. Per esempio il giglio ha 3 petali, i ranuncoli ne hanno 5, la cicoria 21, la margherita spesso 34 o 55; la testa dei girasoli è costituita da due serie di spirali, una in un senso ed una in un altro. Il numero di spirali di senso diverso differisce per 21 e 34, 34 e 55, 55 e 89, o 89 e 144 semi e lo stesso avviene per le pigne, per le conchiglie, per l'ananas.

Sulla testa di un tipico girasole, per esempio, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema: 89 spirali che si irradiano ripide in senso orario; 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso orario ma meno ripido. Il più grande girasole che si sia mai conosciuto aveva 144, 89 e 55 spirali.

-L’Achillea ptarmica.

La crescita di questa pianta segue questo schema qui disegnato. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via.

RELAZIONI CON IL MASSIMO COMUN DIVISORE E LA DIVISIBILITÀ

Un'importante proprietà dei numeri di Fibonacci riguarda il loro massimo comun divisore. Infatti è soddisfatta l'identità

MCD(Fn,Fm) = FMCD(n,m)

Da questo segue che F(n) è divisibile per F(m) se e solo se n è divisibile per m. Questa proprietà è importante perché ne segue che un numero di Fibonacci F(n) può essere un numero primo solamente se n stesso è un numero primo, con l'unica eccezione di F4=3 (l'unico numero di Fibonacci per cui potrebbe essere divisibile è F2=1).

ALTRE PROPRIETÀ

Tra le altre proprietà minori della sequenza di Fibonacci vi sono le seguenti.

• Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1.

• Se si prende la sequenza dei quadrati dei numeri di Fibonacci, e si costruisce una sequenza sommando a due a due i numeri della prima sequenza, la sequenza risultante è costituita da tutti e soli i numeri di Fibonacci di posto dispari;

• Data la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto dispari, se si costruisce la sequenza ottenuta sottraendo a due a due i numeri adiacenti della prima sequenza, si ottiene la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto pari.

• Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l'ultimo, aumentata di 1.

• L'identità di Cassini, scoperta nel 1680 da Jean-Dominique Cassini, afferma che per ogni intero n,

Tale identità è stata generalizzata nel 1879 da Eugène Charles Catalan:

Dimostrazione . Per induzione su n . Per n = 1 , si ha F2*F0 - F1^2 = -1 . Supponiamo che Fn+1*Fn-1 – Fn^2 = (-1)^n e proviamo che Fn+2*Fn - Fn+1^2 = (-1)^n+1 (*). Da Fn+1 = Fn + Fn-1 , ricaviamo Fn-1 = Fn+1 - Fn e , sostituendo in Fn+1*Fn-1 – Fn^2 = (-1)^n, troviamo Fn+1*( Fn+1 - Fn ) – Fn^2 = (-1)^n , cioè F n+1^2 - Fn+1*Fn – Fn^2 = (-1)^n = F n+1^2 – Fn* (Fn+1 + Fn) = Fn+1^2 - Fn *Fn+2 , che è la (*) cambiata di segno .

BIBLIOGRAFIA

• Wikipedia • Rob Eastaway, Probabilità, numeri e code. La matematica nascosta nella vita. Dedalo, 2003 • Peter Higgins, Divertirsi con la matematica. Curiosità e stranezze del mondo dei numeri.

Dedalo, 2001 • Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001 • Nikolay Vorobyov, I numeri di Fibonacci • Dispense combinatorica