Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità:

un possibile percorso!

di Gemma Gallino e Stefania Serre

Pitagora

I numeri figurati

triangolari

136

quadrati

149

I numeri figurati

triangolari

6

Si può osservare che:

Triangolo ottusangolo:

Triangolo acutangolo:

Triangolo rettangolo:

La matematica si discosta dalle

“quel che c’è”,

altre materie perché dimostra non solo

“quello che sicuramente non c’è”

ma anche

E’ utile ricordare che…….

SCOPRIAMO IN QUALE MODO SIA POSSIBILE!

Teniamo presenti i numeri figurati di Pitagora

Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di

palline...

...si potrà fare lo stesso per la diagonale?

Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di

palline...

...si potrà fare lo stesso per la diagonale?

Questa non è una soluzione accettabile: non si possono lasciare

spazi vuoti!

Non funziona!

E se usassimo delle palline più piccole?

Non funziona!

E se usassimo delle palline più piccole?

E se usassimo delle palline più piccole?

Non funziona!

E se usassimo delle palline ancora più piccole?

E se usassimo delle palline ancora più piccole?

Non funziona!

Si riuscirà in qualche modo?

GIOCO della SCACCHIERA

GIOCO della SCACCHIERA

Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera

Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

Utilizzando questi tasselli...

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

E’ possibile coprire tutta la scacchiera ?

Osserviamo che:

Osserviamo che:

Osserviamo che:

• Ogni tassello copre una casella bianca e una nera

• Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche

• Quante sono le caselle bianche?• Quante sono le caselle nere?

Sono in numero diverso!Resteranno sempre libere due

caselle nere.

Osserviamo che:

• Quante sono le caselle bianche?• Quante sono le caselle nere?

• Ogni tassello copre una casella bianca e una nera

• Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche

Abbiamo dimostrato che:

E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i

nostri tasselli

- Argomentare logicamente i passaggi effettuati.

- Partire da proprietà accettate come vere.

Dimostrare in matematica significa:

- Arrivare a una conclusione sicuramente vera:

E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i

nostri tasselli

Siamo passati da un approccio sperimentale...

…a un approccio matematico!

“…proviamo...”

“…dimostriamo che è impossibile...”

Lato e diagonale di un quadrato sono

è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di

volte tanto nel lato quanto nella diagonale

incommensurabili :

Lato e diagonale di un quadrato sono

è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di

volte tanto nel lato quanto nella diagonale

incommensurabili :

Lato e diagonale di un quadrato sono

è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di

volte tanto nel lato quanto nella diagonale

incommensurabili :

Rivediamo la dimostrazione proposta nel dialogo tra Ippaso e i

pitagorici.

Supponiamo che:

il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n

nm

Supponiamo che:

il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n

ba

A

D C

B

il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

Supponiamo che: b

a

A

D C

B

2b2=4c2

Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele

a2=2b2

a2 è pari

a è pari

b è dispari

a/b è ridotta ai minimi termini

a=2c a2=4c2

Teorema di Pitagora

b2=2c2

b2 è pari

b è pari

il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

Supponiamo che: b

a

A

D C

B

Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele

a2 è pari

a è pari

b è dispari

a/b è ridotta ai minimi termini

a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2

b2 è pari

b è pari

a2=2b2

Teorema di Pitagora

il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

Supponiamo che: b

a

A

D C

B

Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele

a2 è pari

a è pari

b è dispari

a/b è ridotta ai minimi termini

a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2

b2 è pari

b è pari

a2=2b2

Teorema di Pitagora

contraddizione

Se supponiamo che:

lato e diagonale siano commensurabili

cioè che esista una unità di misura contenuta a volte

nella diagonale e b volte nel lato...

ba

…. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.

Se supponiamo che:

lato e diagonale siano commensurabili

b è dispari

b è paricontraddizion

e

Se supponiamo che:

lato e diagonale siano commensurabili

lato e diagonale sono incommensurabili

Perciò dobbiamo concludere che:

…. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.

Una dimostrazione matematica,

deve possedere tre qualità:

inevitabilità,

Deve somigliare a una costellazione semplice e ben delineata,

non a un ammasso stellare sparso nella Via Lattea.

per essere soddisfacente,

(Hardy)

imprevedibilità,economia.

fine.

fine.

Queste diapositive fanno parte di un percorso sul significato di dimostrazione intitolato “L’eredità di PITAGORA” elaborato per il CE.SE.DI Torino

Le illustrazioni sono tratte dal libro di Anna Parisi “Numeri magici e stelle vaganti” ed. Lapis