Dalla proporzionalità ai modelli matematici fra tabelle, grafici ed espressioni algebriche
Rossella Garuti Andrea Maffia Nicoletta Nollii
Un percorso dalla scuola primaria alla secondaria di II grado guidato dalle prove INVALSI
S I S T E M A N A Z I O N A L E D I VA L U TA Z I O N E
25 novembre 2020
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Rappor t i , p ropo rz iona l i t à e mode l l i ma temat i c i d i c resc i ta , come competenza d i c i t tad inanza
Apprend imento a sp i ra le : un pe rco rso gu ida to da l l e p rove INVALSI da l l a p r imar ia a l l a secondar ia d i I I g rado
Consideraz ion i f ina l i : nod i d ida t t i c i e i nd i caz ion i cu r r i co la r i
DI COSA PARLEREMO
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IL RAPPORTO
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S. Mancuso, La Repubblica, 29/10/20
“In realtà la vera comprensione di cosa sia una crescita esponenziale è molto rara. […] Nella nostra esperienza quoIdiana non veniamo mai in contaJo
con crescite di questo Ipo. Siamo abituaI a modelli lineari.[…]. La mente umana non riesce a cogliere INTUITIVAMENTE la natura ESPLOSIVA
della crescita esponenziale.”
LA CRESCITA ESPONENZIALE
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Il Corriere della sera, 20/8/20 «Immaginate che la vostra banca vi offra un piano che preveda la duplicazione del valore depositato ogni tre giorni, con un invesImento iniziale di un euro. Quanto tempo vi occorrerebbe per diventare milionari: un anno? Sei mesi? 100 giorni?».
ExponenDal growth bias: The numerical error behind Covid-‐19
Inizia così — con una domanda alla quale molI di noi, con ogni probabilità, darebbero una risposta completamente errata un arIcolo della BBC. […] La risposta alla domanda -‐ per molI di noi sorprendente — è che occorrono molto meno di 100 giorni: ne bastano 60, e a quel punto il conto corrente mostrerebbe un saldo di 1.048.576 euro. Un mese più tardi, la cifra avrebbe superato il miliardo.
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Exponen'al growth bias: The numerical error behind Covid-‐19 To understand the origins of this par1cular bias, we first need to consider different kinds of growth. The most familiar is “linear”. If your garden produces three apples every day, you have six aBer two days, nine aBer three days, and so on. Exponen1al growth, by contrast, accelerates over 1me. Perhaps the simplest example is popula1on growth; the more people you have reproducing, the faster the popula1on grows. Or if you have a weed in your pond that triples each day, the number of plants may start out low – just three on day two, and nine on day three – but it soon escalates (see diagram, below).
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«L ’educaz ione matemaIca deve contribuire, insieme con tuJe le altre discipline, alla formazione culturale del ciJadino, in modo da consenIrgli di partecipare al la vita sociale con consapevolezza e capacità criIca»
UMI, MIUR, SIS
La MatemaDca per il ciPadino 2001, 2003, 2004
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C l a s s e V s e c . d i I I
g r a d o
M o d e l l o d i c r e s c i t a e s p o n e n z i a l e
QUESITO pre - tes t_2017 G13 i t em 3
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C l a s s e V s e c . d i I I
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M o d e l l o d i c r e s c i t a e s p o n e n z i a l e
QUESITO pre - tes t_2017 G13 i t em 3
AJraverso quale percorso scolasIco si
può arrivare a rispondere in modo
correJo e consapevole a questa domanda?
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Perché la proporzionalità?
§ È un campo di esperienza dove radicare concei fondanI come il conceJo di rapporto, di uguaglianza di rapporI, il conceJo di funzione e di modellizzazione matemaIca di fenomeni
§ È un esempio paradigmaIco di conInuità fra ordini di scuola
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Perché la proporzionalità?
Lo sviluppo storico del conceJo di rapporto e della relazione di proporzionalità ci può dare indicazioni sul nostro percorso didaico. § Ombre del sole e altezza della piramide (Talete) § Relazioni di proporzionalità fra grandezze di Ipo
fisico (Archimede) § Velocità e tempo nella caduta dei gravi (Galileo)
Nella matemaIca di oggi la relazione di proporzionalità direJa è un caso parIcolare di funzione e si rappresenta come y=kx
TALETE
ARCHIMEDE
GALILEO
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Perché le prove INVALSI?
§ Le prove INVALSI e i loro risultaI meJono in risalto difficoltà e problemaIche che se non prese in carico permangono, come vedremo, fino alla fine del percorso scolasIco.
§ Le prove INVALSI possono, a nostro avviso, fornire uno spunto per la costruzione di un percorso in conInuità fra ordini di scuola diversi. Il QDR delle prove di matemaIca è lo stesso per tui gli ordini di scuola.
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Perché le prove INVALSI?
Curricolo a spirale : “ l ’ idea cioè che nell’insegnamento di un argomento si debba partire da una spiegazione “intuitiva” che sia pienamente alla portata dello studente, per poi risalire con moto circolare a una spiegazione più formale o più strutturata <inché, con tutti i passaggi che possono risultare necessari, l’allievo abbia capito l’argomento o la materia in tutto il suo potere generativo” [J. Bruner, 1997]
J. S. Bruner 1915-‐2016
SCUOLA PRIMARIA
Indicazioni Nazionali classe terza primaria
• Contare oggei o evenI, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salI di due, tre, ...
• Leggere e rappresentare relazioni e daI con diagrammi, schemi e tabelle.
Indicazioni Nazionali classe quinta primaria
• Operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenI.
• UIlizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quoIdiane.
• Riprodurre in scala una figura assegnata […].
• Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o figure.
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QUESITO D11_2011 G02
C l a s s e I I p r i m a r i a
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Risultat i
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QUESITO D11_2011 G02
Modello moltiplicativo Per fare il doppio dei panini servono il
doppio degli ingredienti, quindi moltiplico per 2 tutte le quantità ottenendo così 4×2 fette di
pane, 2×2 fette di prosciutto e 1×2 mozzarelle
Modello additivo Per fare due panini in più servono 4 fette di
pane in più, quindi aggiungo 4 a tutte le quantità ottenendo così 6 fette di prosciutto e
5 mozzarelle
ERRORE FREQUENTE
+ Additivo vs moltiplicativo
× 17
QUESITO D11_2013 G05
C l a s s e V p r i m a r i a
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Risultat i i tem a
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QUESITO D11_2013 G05
Esempi di strategie risolutive
La differenza viene considerata costante nonostante i numeri ottenuti non siano real ist ici
MODELLO ADDITIVO
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Esempi di strategie risolutive
Viene individuato i l rapporto unitario, ovvero i l numero di gomitol i necessari per una sola tovaglietta
MODELLO MOLTIPLICATIVO
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Esempi di strategie risolutive
Viene r iportata la sequenza numerica che descrive la relazione tra i l numero di tovagliette (T) e quello di gomitol i (G)
APPROCCIO FUNZIONALE
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Indicazioni Nazionali classe terza sec. di I grado
• Esprimere la relazione di proporzionalità come un’uguaglianza di frazioni e viceversa.
• Usare il piano cartesiano per rappresentare relazioni e funzioni empiriche o ricavate da tabelle, e per conoscere in parIcolare le funzioni del Ipo y= ax, y=a/x, y= ax2, y=2n e i loro grafici e collegare le prime due al conceJo di proporzionalità.
SCUOLA SECONDARIA DI I GRADO
RAPPORTI E PROPORZIONI
FUNZIONI 23
D A U N ’ AT T I V I T À I N
C L A S S E I I
.
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D i p e n d e n z a d a i n u m e r i n e l p r o b l e m a : i n q u e s t o
c a s o l ’ a s p e t t o d i s c o r s i v o n o n a i u t a . I l r a p p o r t o
p r u g n e m a r m e l l a t a è 2 , 3 6 c h e n o n i n d u c e a
r a g i o n a r e i n t e r m i n i d i “ n u m e r o d i v o l t e ” .
AT T I V I T À I N
C L A S S E : u n e s e m p i o
d i s t r a t e g i a a d d i t i v a
M o d e l l o a d d i t i v o : l a d i f f e r e n z a r i m a n e c o s t a n t e ! !
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AT T I V I T À I N
C L A S S E : u n e s e m p i o
d i r i d u z i o n e a l l ’ u n i t à
o r a p p o r t o u n i t a r i o
.
13:5,5=2,36 quan1tà di prugne che serve per fare un kg di marmellata. In questa operazione ho trovato quante prugne servono per fare un kilo di marmellata, per trovare quante prugne servono per fare 8 kg di marmellata si fa il risultato di prima (2,36) per 8 kg. 2,36x 8 kg =18,88 kg di prugne
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R i d u z i o n e a l l ’ u n i t à : u n a s t r a t e g i a u t i l e s u l l a q u a l e a n c h e a l u n n i p i ù f r a g i l i r i e s c o n o a d a p p o g g i a r s i è q u e l l a d i r i d u z i o n e a l l ’ u n i t à : q u a n t e p r u g n e p e r 1 k g d i m a r m e l l a t a ?
C l a s s e I I I s e c . d i I
g r a d o
L e p r o p o r z i o n i : u n o s t r u m e n t o p o t e n t e c h e
d e v e e s s e r e i n t e r p r e t a t o e c o m p r e s o c o m e
u g u a g l i a n z a d i r a p p o r t i
QUESITO D27a_2013 G08
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Risultat i
QUESITO D27a_2013 G08
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§ C o s t r u z i o n e a s p e t t o
f u n z i o n a l e e m o d e l l o
l i n e a r e y = a x
§ P a s s a g g i o d i
r a p p r e s e n t a z i o n e
QUESITO D12c_2017 G08
C l a s s e I I I s e c . d i I
g r a d o
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Risultat i QUESITO D12c_2017 G08
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Linee Guida e Indicazioni Nazionali
classe seconda sec. di II grado
Linee Guida e Indicazioni Nazionali
classe quinta sec. di II grado
Linee Guida • Teorema di Talete e sue conseguenze. • RapporI e percentuali. • Le funzioni e la loro rappresentazione
(numerica, funzionale, grafica). Funzioni di vario Ipo (lineari, quadraIche, circolari, di proporzionalità direJa e inversa). Rappresentare sul piano cartesiano le principali funzioni incontrate. Studiare le funzioni f(x) = ax + b e f(x) = ax2 + bx + c.
Indicazioni Nazionali • Similitudini con par1colare riguardo al
teorema di Talete. • Proporzionalità direXa e inversa. • Le funzioni del 1po f(x) = ax + b, f(x) = |x|,
f(x) = a/x, f(x) = x2 sia in termini streXamente matema1ci sia in funzione della descrizione e soluzione di problemi applica1vi.
Linee Guida • Funzioni polinomiali; funzioni
razionali e irrazionali; funzione modulo; funzioni esponenziali e logaritmiche.
• Costruire modelli matemaIci di fenomeni.
Indicazioni Nazionali • Le funzioni elementari dell'analisi e i
loro grafici; funzioni polinomiali, razionali, circolari, esponenziale e logaritmo.
• Metodologie elementari per la costruzione di modelli matema1ci in casi molto semplici ma significa1vi.
SCUOLA SECONDARIA DI II GRADO
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C l a s s e I I s e c . d i I I
g r a d o
I l q u e s i t o è u n t i p i c o p r o b l e m a d i m o d e l l i z z a z i o n e m a t e m a t i c a d i u n a
s i t u a z i o n e r e a l e .
QUESITO D4_2015 G10
98 96
94
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100-‐2t
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Risultat i
QUESITO D4_2015 G10
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Risultat i
QUESITO D4_2015 G10
100 – 2t 34
A l c u n e r i s p o s t e d e g l i s t u d e n t i a l s e c o n d o i t e m
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A l c u n e r i s p o s t e d e g l i s t u d e n t i a l s e c o n d o i t e m
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C l a s s e V s e c . d i I I
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Il q u e s i t o p r o p o n e u n m o d e l l o
l i n e a r e a t r a t t i
QUESITO pre - tes t_2017 G13
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C l a s s e V s e c . d i I I
g r a d o : r i s u l t a t i
Risultat i
QUESITO pre - tes t_2017 G13 i t em 2
RisultaI pre-‐test
Risposta A 51,4% Risposta B 18,6% Risposta C 12,5%
Risposta D 12,7% Risposte mancanI 4,8%
Risposta A: 51,4%
Risposte B: 18,6%
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C l a s s e V s e c . d i I I
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M o d e l l o d i c r e s c i t a
e s p o n e n z i a l e .
QUESITO pre - tes t_2017 G13
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C l a s s e V s e c . d i I I
g r a d o : r i s u l t a t i
Risultat i
QUESITO pre - tes t_2017 G13 i t em 3
RisultaI pre-‐test
Risposta A 5,6% Risposta B 20,5% Risposta C 62,9%
Risposta D 2,5% Risposte mancanI 8,5%
Risposte C: 62,9%
Risposte B: 20,5%
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I CHICCHI DI RISO: un’a[vità in classe
[………] Sessa allora per non essere scortese, chiese di essere pagato in chicchi di grano. Il Re stupito dalla strana moneta chiese in quale modo poteva ricompensarlo. “È facilissimo" spiegò Sessa" mi darai un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due per la seconda, quaJro per la terza, oJo per la quarta e così via, raddoppiando la quanItà ad ogni casella fino alla sessantaquaJresima e ulIma."(...) Il re rise di questa richiesta, dicendogli che poteva avere qualunque cosa e invece si accontentava di pochi chicchi di grano. Il giorno dopo i matemaIci di corte andarono dal re e gli dissero che per adempiere alla richiesta del monaco non sarebbero bastaI i raccolI di tuJo il regno per oJocento anni.
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… non solo esponenziali
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Proporzionalità come relazione
Modello additivo vs modello moltiplicativo
Altri modelli matematici
Molti nodi collegati fra loro
Il modello lineare
Proporzionalità come uguaglianza di rapporti
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S
2 S
2 Linee Guida e Indicazioni Nazionali
classe seconda sec. di II grado
Linee Guida e Indicazioni Nazionali
classe quinta sec. di II grado
Linee Guida • Teorema di Talete e sue
conseguenze. • RapporI e percentuali. • Le funzioni e la loro
rappresentazione (numerica, funzionale, grafica). Funzioni di vario Ipo (lineari, quadraIche, circolari, di proporzionalità direJa e inversa). Rappresentare sul piano cartesiano le principali funzioni incontrate. Studiare le funzioni f(x) = ax + b e f(x) = ax2 + bx + c.
Indicazioni Nazionali • Similitudini con par1colare
riguardo al teorema di Talete. • Proporzionalità direXa e
inversa. • Le funzioni del 1po f(x) = ax +
b, f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2 sia in termini streXamente matema1ci sia in funzione della descrizione e soluzione di problemi applica1vi.
Linee Guida • Funzioni polinomiali; funzioni
razionali e irrazionali; funzione modulo; funzioni esponenziali e logaritmiche.
• Costruire modelli matemaIci di fenomeni.
Indicazioni Nazionali • Le funzioni elementari
dell'analisi e i loro grafici; funzioni polinomiali, razionali, circolari, esponenziale e logaritmo.
• Metodologie elementari per la costruzione di modelli matema1ci in casi molto semplici ma significa1vi.
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1 Indicazioni Nazionali classe terza sec. di I grado
• Esprimere la relazione di proporzionalità come un’uguaglianza di frazioni e viceversa.
• Usare il piano cartesiano per rappresentare relazioni e funzioni empiriche o ricavate da tabelle, e per conoscere in parIcolare le funzioni del Ipo y= ax, y=a/x, y= ax2, y=2n e i loro grafici e collegare le prime due al conceJo di proporzionalità.
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Indicazioni Nazionali classe quinta primaria
• SImare il risultato di una operazione.
• Operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenI.
• UIlizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quoIdiane.
• Riprodurre in scala una figura assegnata […].
• Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o figure.
Indicazioni Nazionali classe terza primaria
• Contare oggei o evenI, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salI di due, tre, ...
• Leggere e rappresentare
relazioni e daI con diagrammi, schemi e tabelle.
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GRAZIE! 45
