43
Decadimenti
Decadimenti
Fabrizio Bianchi 2
Conservazione del 4-Impulso
• Conseguenza delle proprieta’ di invarianza per traslazione nello spazio e nel tempo per un sistema isolato:– Conservazione del 4-impulso totale in ogni processo fisico
• Numero e tipo di particelle nello stato iniziale sono in generale diversi da quelli nello stato finale:– Creazione e distruzione di particelle
• Di enorme importanza nelle applicazioni della cinematica relativistica allo studio di fenomeni specifici.– E’ spesso possibile individuare altre quantita’ conservate
Fabrizio Bianchi 3
Decadimento a Due Corpi (1)
• Particella “madre” di massa M che decade in due particelle “figlie” di massa m1 ed m2
• Lavoriamo nel sistema del CM della particella madre, imponendo la conservazione del 4-impulso (omettiamo per il momento gli “*” che identificano le quantita’ nel CM):
• Le particelle figlie escono back-to-back nel sistema del CM
Fabrizio Bianchi 4
Decadimento a Due Corpi (2)
• Da cui:
Fabrizio Bianchi 5
Decadimento a Due Corpi (3)
• E quindi:
6
Decadimento a Due Corpi (4)
• Riarrangiando i termini:
Fabrizio Bianchi
Fabrizio Bianchi 7
Decadimento a Due Corpi (5)
• In conclusione, riintroducendo gli “*”, troviamo che |p|* delle particelle figlie, nel sistema del CM della particella madre e’:
• Se m1=m2=m
• Se m1=m2=0
Fabrizio Bianchi 8
Decadimento a Due Corpi (6)
• Energia delle particelle “figlie” nel sistema del CM della particella “madre”:
• Osservazioni:– Impulso delle particelle “figlie” e’ uguale, la loro energia in generale no– Impulsi (in modulo) ed energie hanno un valore fisso nel CM:
Caratteristica dei processi a due corpi– Perche’ l’impulso abbia valori reali deve essere come ci si attende intuitivamente– Nulla ci dice la cinematica della distribuzione angolare: essa e’ fissata
da regole dinamiche legate al momento angolare ed allo stato quantico della particella che decade
Fabrizio Bianchi 9
Decadimento a Due Corpi (7)
• Qual e’ l’impulso delle particelle figlie nel riferimento del LAB, nel quale la particella madre viaggia con velocita’ b=p/E ? Applicazione della relazione impulso-angolo trovata prima:
• Come atteso, due situazioni possibili:
Fabrizio Bianchi 10
Decadimento po->gg (1)• Consideriamo il decadimento po ->gg nel CM
• Nel CM del p0 escono back-to-back 2 fotoni monocromatici di 67.5 MeV ciascuno
11
Decadimento po->gg (2)• Nel sistema del LAB il po si muove con impulso pp
(scegliamo asse z nella direzione di volo del po)• TdL di un fotone dal CM al LAB:
Fabrizio Bianchi
Fabrizio Bianchi 12
Decadimento po->gg (3)• Ricaviamo minima e massime energia del fotone nel LAB
Fabrizio Bianchi 13
Decadimento po->gg (4)• Nel CM i fotoni sono monocromatici.
– Nel LAB c’e’ correlazione energia-angolo
• Se consideriamo un gran numero di decadimenti osserviamo una distribuzione statistica di angoli di decadimento a cui corrisponde una distribuzione statistica di energie dei fotoni.
• Il decadimento del po e’ isotropo nel suo CM (ossia la distribuzione angolare dei fotoni e’ costante in cosq ed in j):
Fabrizio Bianchi 14
Decadimento po->gg (5)• Distribuzione dell’energia del g nel LAB
• Ci aspettiamo quindi distribuzione piatta tra Emin ed Emax del fotone.
Fabrizio Bianchi 15
Decadimento po->gg (6)• Distribuzione angolare
Fabrizio Bianchi 16
Scoperta del po (1)• Scattering di p- su p. Possibili reazioni:
• Caso 1): impulso di g ed n ha unico valore: g monocromatico
ggp
pp
gp
0
0)2
)1
np
np
Fabrizio Bianchi 17
Scoperta del po (2)• Caso 2). Ci aspettiamo:• Impulso del po con un unico valore
• Distribuzione piatta in Eg
• Valore minimo dell’angolo fra i 2 g
Fabrizio Bianchi 18
Scoperta del po (3)• Scatteri di p- in cui si ipotizza vengano prodotti po soprattutto in
avanti.
• In questo caso pp e’ fissato (al valore dell’impuso del p incidente se si trascurano le differenze di massa)
• Contatori vedono flusso di g dal bersaglio– Due contatori in posizione simmetrica rispetto al fascio osservano 2 g in
coincidenza– Variando l’angolo fra i contatori si osserva che al di sotto di un certo
angolo i conteggi vanno a zero
• Distribuzione di energia dei g e’ piatta
• Il p0 e’ stato scoperto !
Fabrizio Bianchi 19
Decadimenti di K e p a Riposo
• Decadimenti di K e p “da fermi” in emulsioni nucleari.
• Energie fissate ->Range in emulsione nucleare fissati• Dal range delle tracce osservate: Riconoscimento p vs. K
Fabrizio Bianchi 20
pstop->mn
Fabrizio Bianchi 21
Kstop->mn
Fabrizio Bianchi 22
K,p->mn in volo
Fabrizio Bianchi 23
Identificazione dei K in Alice
Fabrizio Bianchi 24
Fasci di Neutrini (1)• Costruzione dei fasci di neutrini e’ basata sui decadimenti K,p->mn
– K,p prodotti in collisioni protoni-nuclei
• Nel CM della particella madre:
• Il decadimento e’ isotropo, quindi la distribuzione di energia nel LAB:
Fabrizio Bianchi 25
Fasci di Neutrini (2)• Spettro di energia dei neutrini molto largo
– Per un dato evento l’energia del neutrino incidente non e’ nota
• E’ possibile ricavare l’energia del neutrino dall’angolo di emissione
• Relazione tra angolo ed energia si trova dalla conservazione del 4-impulso
Fabrizio Bianchi 26
Fasci di Neutrini (3)
Se Ep>>mp
Per piccoli angoli:
Fabrizio Bianchi 27
Fasci di Neutrini (4)
Fabrizio Bianchi 28
Fasci di Neutrini (5)
Fabrizio Bianchi 29
Neutrini dal CERN al Gran Sasso (1)
Fabrizio Bianchi 30
Neutrini dal CERN al Gran Sasso (2)
Fabrizio Bianchi 31
Neutrini dal CERN al Gran Sasso (3)
Fabrizio Bianchi 32
Invarianti• (Quantita’) invariante:
– Grandezza fisica che ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento.
• Esempi:– Norma di un 4-vettore– Massa (a riposo) di una particella– Prodotto scalare di due 4-vettori
• Utili per trattare in modo abbreviato e semplice molti problemi di cinematica relativistica
Fabrizio Bianchi 33
Gradi di Liberta’• Stato finale ad N corpi con massa fissata.
– 3N componenti dell’impulso– Normalmente lo stato iniziale (massa ed impulso) e’ noto– -> 4 vincoli dalla conservazione del 4-impulso– In generale 3N-4 gradi di liberta’
• Decadimenti a due corpi: 6-4=2 gradi di liberta’– Normalmente angoli q* e j* della direzione del volo nel CM– Di solito j* non e’ significativo -> una sola variabile
dinamicamente rilevante: q*
• Decadimento a 3 corpi: 9-4=5 gradi di liberta’
Fabrizio Bianchi 34
Decadimento a 3 Corpi (1)• 3 particelle nello stato finale:
– 3x3=9 Componenti impulso di 3 particelle
• Conservazione del 4-impulso totale:
• 4 relazioni di conservazione = vincoli– 9-4=5 gradi di liberta'
• 3 variabili non significative dinamicamente– (Es.: Orientamento della terna di assi nel CM (3 angoli) non rilevante)– 2 variabili dinamicamente significative
Fabrizio Bianchi 35
Decadimento a 3 Corpi (2)• Consideriamo la somma dei 4-impulsi delle
particelle 1 e 2 dello stato finale:
• Il modulo quadro di P, che e’ un invariante,:
• sarebbe la massa a riposo al quadrato se P fosse il 4-impulso di una particella.In questo caso e’ la massa a riposo del sistema di due particelle.– Non dipende solo dalla massa a riposo ma anche dagli
impulsi (in modulo e direzione) delle due particelle
Fabrizio Bianchi 36
Decadimento a 3 Corpi (3)• Applichiamo ora la conservazione del 4-impulso :
• Definiamo gli invarianti:
• Il cui significato fisico e’ quello di massa invariante delle 3 coppie di particelle che si possono formare in uno stato finale a 3 corpi
• Vale la relazione:• Quindi solo due delle si sono indipendenti
Fabrizio Bianchi 37
Decadimento a 3 Corpi (4)
Fabrizio Bianchi 38
Decadimento a 3 Corpi (5)• Regioni di variabilita’ delle 3 masse invarianti:
• Considerando le prime 2 come indipendenti:• La regione accessibile del piano m12, m13 non e’ un rettangolo
Fabrizio Bianchi 39
Decadimento a 3 Corpi (6)
Fabrizio Bianchi 40
Decadimento a 3 Corpi (7)
Fabrizio Bianchi 41
Decadimento a 3 Corpi (8)
Questa equazione definisce una curva nel piano (s2.s1) che delimita la regione ammessa
Fabrizio Bianchi 42
Dalitz Plot (1)• Modo di rappresentare le variabili dinamiche in
una reazione con stato finale 3 a corpi:
Ogni evento: un punto
Modo interessante perindividuare la produzione distati instabili (risonanze),che si individua dall’accumulo di eventi in certe regioni
Fabrizio Bianchi 43
Dalitz Plot (2)
