Def: E’ il risultato di un esperimento o di un’osservazione oppure una proposizione che può essere vera o falsa e di cui non è noto il valore logico al momento di assumere la decisione.
Es: evento = esito di una sperimentazione pilota di un nuovo farmaco
Un evento si dice aleatorio (o casuale) quando non è possibile sapere, prima di effettuare l’esperimento, se si verificherà o meno e si indicano con lettere maiuscole A,B ecc.
Ad esso si assegna un numero che misura quanto sia probabile che esso si verifichi. Questo numero si dice probabilità dell’evento.
Un evento in generale è possibile quando nessuno dei due esiti (vero o falso) può essere stabilito a priori (e quindi nessuno può essere escluso) 0<P(A)<1
Quando prima di effettuare l’esperimento sappiamo che l’evento si verificherà diciamo che l’evento A è certo P(A)=1
Es:Es: A = i giorni della prossima settimana sono 7: è certo
Se, invece, ancor prima di effettuare l’esperimento, sappiamo che l’evento non si verificherà diremo che l’evento A è impossibile P(A)=0
Es:Es: A = l’estrazione di una pallina nera da un urna contenente palline bianche è impossibile.
Impossibile poco verosimile scarse possibilità buone possibilità molto probabile Certo 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1
Scala dei giudizi relativi alle aspettative nel verificarsi di un evento
Scala della classificazione degli eventi in base alla probabilità che hanno di verificarsi:
Esistono, storicamente, 3 approcci differenti per associare una probabilità ad un evento:
1. definizione classica (Laplace 1812): la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli all'evento e il numero n dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili
P(E)= m/n
2. definizione frequentista (Venn e Cornout 1843) : se un esperimento è ripetuto n volte (n molto grande) in condizioni sostanzialmente identiche e l’evento si verifica m volte la probabilità dell’evento è la frequenza relativa (o la proporzione di volte) con cui si verifica:
P(E)= m/n
3. definizione soggettiva (De Finetti 1970): la probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un soggetto decisore attribuisce, secondo le sue informazioni ed opinioni, in merito al verificarsi o meno dell’evento.
Una scatola contiene 10 gettoni numerati da 1 a 10. Con che probabilità si estrae un gettone con un numero dispari? Si estrae un nuovo gettone, senza reimmettere il primo nella scatola. Qual è la probabilità di estrarre di nuovo un numero dispari?
A=1;3;5;7;9
P(A)=5/10=50%
P(B)= 4/9
Eventi composti : sono quegli eventi che si ottengono combinando gli eventi elementari.
Esempi di eventi composti:Esempi di eventi composti: nel lancio di un dato esce un numero pari; nell’estrazione di una carta esce una carta a cuori…..
L’insieme degli eventi composti forma lo spazio degli eventi E
A c ; A complemento di A: evento non A è vero quando A è falso e viceversa. ( NOT logico)
EsEs: : A = il prossimo presidente ha più di 70 anni
A c = il prossimo presidente ha meno di 70 anni
Ac
A
AB: intersezione tra A e B; l’evento intersezione è vero quando sia A che B sono veri contemporaneamente ed è falso se almeno uno dei due lo è. ( AND e è la congiunzione che si usa: evento A e evento B)
EsEs: : A = il prossimo presidente ha più di 70 anni B = il prossimo presidente è una donnaC = AB = il prossimo presidente è una donna di almeno 70 anni.
A B
A B
AB: unione tra A e B; l’evento unione è vero se è vero A oppure B oppure sono veri entrambi. ( OR o, oppure è la congiunzione che si usa: A oppure B)
-EsEs: : A = il prossimo presidente ha più di 70 anni B = il prossimo presidente è una donna
D = AB = il prossimo presidente è una donna oppure ha almeno 70 anni oppure è una donna di almeno 70 anni
Operazioni sugli eventi
• Due eventi A e B si dicono disgiunti (o incompatibili) se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro AB = P(AB)=0Es: Es: A = peso alla nascita < 2kg ; B = peso alla nascita compreso tra 3 e 4 Kg sono eventi disgiunti.
A Ac = per costruzione, sono due eventi disgiunti
• Due eventi A e B si dicono esaustivi se almeno uno dei due sicuramente si verifica ovvero se la loro unione è l’intero spazio campione A B = P(A B)=1
Es: Es: A = peso alla nascita < 2kg; peso alla nascita 2kg sono esaustivi.
A Ac = per costruzione, sono due eventi esaustivi.
Il grafico che segue mostra il numero di caramelle di diversi gusti presenti nel «consueto» sacchetto. Qual è la probabilità che prendendo a caso una caramella non sia alla fragola?
Procedimento: 1)Quante caramelle sono presenti: eventi possibili=25+15+15+20+10=1002) La probabilità di estrarre una caramella alla fragola P(evento contrario)= 15/100=0.153) La probabilità di non estrarre una caramella alla fragolaP (evento favorevole)=1-P(evento contrario) = 1-0.15=0.85=85%
Se A e B sono due eventi arbitrari:
Se sono disgiunti: AB =
Il principio della somma si può estende al caso di 3 o più eventi:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
A B
P(AB)= P(A) + P(B)
A
B
P(AB C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(AB C)
Gli alunni che frequentano il secondo liceo sono 18, di questi 5 studiano con gioia la matematica, 7 studiano la fisica con gioia, 3 studiano entrambi le materie con gioia.Qual è la probabilità che interrogando qualcuno a caso risponda con gioia a domande di fisica o di matematica?
A= l’alunno interrogato risponda con gioia a matematica P(A)=5/18= 0,28B= l’alunno interrogato risponda con gioia a fisica P(A)=7/18= 0,39
AB=? AB=?
AB=l’alunno interrogato risponde con gioia ad entrambi le materieAB=l’alunno interrogato risponde con gioia o a domande di matematica o a domande di fisica
P(A B)=3/18
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)=5/18+7/18- 3/18 = 0,5
In base alle leggi di Mendel è noto che, in relazione al gruppo sanguigno, il figlio eredita una sola lettera da ognuno dei genitori con uguale probabilità. Il gruppo sanguigno di un figlio con padre AB e madre A0 sarà:
Padre Madre
FiglioA B A 0
A A A 0 B A B 0
AA, A0, AB, B0 eventi disgiunti ognuno con probabilità 1/4. Il figlio avrà gruppo sanguigno:
• A con P(A) = P (AAA0)= P(AA) + P(A0) =1/2• AB con P(AB) =1/4• B con probabilità p=1/4
1. Nell’estrazione successiva di 2 carte da un mazzo di 40, senza reimmissione, considera l’evento A = escono due re.
A è composto da due eventi dipendenti o indipendenti? Calcola P(A)....
2. Su uno scaffale di una libreria ci sono 3 libri di saggistica, 7 di narrativa, 4 gialli.Sara prende un libro a caso qual è la probabilità che:a) Il libro preso è di narrativab) Il libro è un gialloc) È uno di saggistica oppure un giallod) Il libro preso è un dizionario di italiano
3. Si lancia una moneta e un dado. Qual è la probabilità che si verifiche l’evento esce testa e il numero 3.
Paolo cerca un libro di storia tra 25 che ha su questa materia. I libri sono disposti su 3 scaffali differenti
Spesso la valutazione della probabilità dipende dalle informazioni che si possiedono sull’evento ma anche su eventi ad esso correlati. In particolare, in alcune situazioni siamo interessati a prevedere (valutare) la probabilità di un evento sapendo che un evento ad esso correlato si è già verificato.
Ad esempio siamo interessati a sapere se un individuo fa uso di cannabis sapendo che il test pilifero ha dato esito positivo oppure la probabilità che un soggetto sopravviva 5 anni sapendo che ha subito un trapianto al fegato.
P(A | B) si legge probabilità condizionata di A dato B e indica la valutazione della probabilità dell’evento A quando si è venuti a conoscenza del verificarsi dell’evento B.Dato che B si è verificato B= quindi i casi possibili sono quelli favorevoli a B mentre i casi favorevoli ad A diventano quelli inclusi in B AB per la definizione classica di probabilità:
Il 48% dei pazienti in emodialisi sono fumatori e il 18% sono sia ipertesi che fumatori. Vogliamo calcolare la probabilità che un paziente in dialisi sia iperteso sapendo che fuma.
A = paziente in dialisi iperteso B = paziente in dialisi fumatore
P(B)=0,48P(AB)=0,18
Possiamo dire che il 37,5% dei fumatori in dialisi è iperteso.
Da queste, moltiplicando per P(B) e P(A) le due formule delle due probabilità condizionate si ottiene il teorema delle probabilità composte (o regola del prodotto):
DefDef: : due eventi A e B si dicono indipendentiindipendenti quando il verificarsi di un evento non influenza la probabilità dell’altro evento , in formule:
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
Utilizzando il principio delle probabilità composte per due eventi indipendenti
E' più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte un dado si presenti almeno una volta 6, oppure se si scommette che lanciando 24 volte due dadi si presenti almeno una volta la coppia di 6?
La probabilità che in 4 lanci non esca nessun sei è: (5/6)^4= 0.4822; in tutti gli altri casi avremo almeno un sei, quindi la probabilità di avere almeno un sei in quattro lanci è 1-0.4822=0.5178.
Con lo stesso ragionamento si trova che il caso di un doppio sei (che si verifica con probabilità 1/36) può non verificarsi mai in 24 lanci con una probabilità di (35/36)^24=0.5085; allora la probabilità di avere almeno un doppio sei: 1-0.5085= 0.4915
Scommettendo sul primo caso si ha una probabilità di vincita maggiore del secondo (anche se non scommetterei in entrambi i casi)
