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ISTITUTO TECNICO SECONDO BIENNIO
TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE
Rappresentazione dell’ Informazione
Sistemi di numerazione
GIORGIO PORCU www.thegiorgio.it
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TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione
Sistemi di numerazione
Sommario
• Sistemi posizionali Sistema di numerazione in Base n
Sistema Binario (BIN)
Sistema Ottale (OCT)
Sistema Esadecimale (HEX)
Scrivere i primi numeri in Base n
• Notazione posizionale Notazione posizionale
Conversione Base n DEC: Notazione posizionale
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TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione
Sistemi di numerazione
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Sistemi posizionali
Base 2 (BIN)
Base 8 (OCT)
Base 16 (HEX)
Base 10 (DEC)
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TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione
Sistemi di numerazione
Per codificare i numeri nel computer scegliamo una rappresentazione funzionale al modo fisico in cui sono memorizzati e che ci consenta di elaborarli
• Poiché i componenti fisici sfruttano stati binari scegliamo il sistema di numerazione binario
• Nel sistema di numerazione binario è possibile eseguire gli stessi calcoli del sistema decimale attraverso dispositivi elettronici
Rappresentazione dei Numeri
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Sistemi di numerazione
Sistema di numerazione che utilizza le due sole cifre 0 e 1. E’ detto anche in Base 2 (BIN).
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 2
1 1 0 3
Binario (BIN) Decimale (DEC)
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Sistema Binario (BIN)
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Sistemi di numerazione
Nel sistema binario ogni numero è una sequenza di bit. I primi numeri e i corrispondenti decimali sono:
BIN DEC BIN DEC
0 0 1000 8
1 1 1001 9
10 2 1010 10
11 3 1011 11
100 4 1100 12
101 5 1101 13
110 6 1110 14
111 7 1111 15
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Sistema Binario: primi numeri
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Sistemi di numerazione
• Il Sistema binario è un esempio di Sistema di numerazione, una modalità di rappresentazione dei numeri che garantisce la possibilità di eseguire calcoli in modo efficiente
• Esistono molti Sistemi di numerazione. I più utilizzati sono detti in Base n e presentano due caratteristiche di base: Utilizzano n cifre (simboli) per creare numeri
Sono posizionali: le cifre hanno un peso diverso a seconda della posizione occupata nel numero
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Sistema di numerazione
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Sistemi di numerazione
Modalità di rappresentazione dei numeri che utilizza esattamente n cifre (con n>1) • Utilizza le prime cifre arabe (0, 1, 2, …) • I numeri sono sequenze posizionali di cifre • Il più utilizzato, nella vita di tutti i giorni è il sistema
decimale (Base 10, DEC) 10 Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Un numero espresso in base n si indica col pedice n: 3610 36 in Base 10 1012 101 in Base 2
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Sistema di numerazione in Base n
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Sistemi di numerazione
Esistono sistemi di numerazione non posizionali, oggi poco utilizzati ma importanti in epoche passate. Un classico esempio sono i sistemi di numerazione additivi (o sottrattivi) come i numeri romani. In essi ogni cifra non ha un peso dipendente dalla posizione ma aggiunge o sottrae valore alle cifre precedenti o successive: IX: Sottraggo 1 (I) alla cifra successiva 10 (X): 10-1=910
VIII: Aggiungo 3 (III) alla cifra precedente 5 (V): 5+3=810
Anche il Sistema di numerazione in Base 1 è additivo. 111: Tre volte 1: 1+1+1=310
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Sistema di numerazione additivo
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Sistemi di numerazione
Scrivere un numero in base 2 come effettivamente è memorizzato sul computer può essere lungo e tedioso…
In informatica si usano quindi anche altre basi (potenze di 2) che consentono: Una rappresentazione più compatta per l’utente Un passaggio da e per la base 2 con regole semplici
Le basi più utilizzate sono: Base 8 (Ottale, OCT) Base 16 (Esadecimale, HEX)
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Sistemi di numerazione in Informatica
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Sistemi di numerazione
Sistema di numerazione che utilizza le otto cifre 0,…,7. E’ detto anche in Base 8 (OCT).
0 0
0 1
Ottale (OCT) Decimale (DEC)
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Sistema Ottale (OCT)
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
1 0
1 1
1 2
1 3
0 8
0 9
1 0
1 1
Ottale (OCT) Decimale (DEC)
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Sistemi di numerazione
Sistema di numerazione che utilizza le dieci cifre 0,…,9 più le lettere A,…,F. E' detto anche in Base 16 (HEX).
0 0
0 1
Esadecimale (HEX) Decimale (DEC)
12
Sistema Esadecimale (HEX)
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
Esadecimale (HEX) Decimale (DEC)
0 A
0 B
0 C
0 D
0 E
0 F
0 8
0 9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
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Sistemi di numerazione
In Base 16 (HEX), poiché le 10 cifre arabe 0,…,9 non sono simboli sufficienti alla codifica, si usano anche le lettere A,…,F per esprimere i numeri corrispondenti ai decimali 10,…,15.
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Sistema Esadecimale (HEX)
Esadecimale (HEX) Decimale (DEC)
0 A
0 B
0 C
0 D
0 E
0 F
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
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Sistemi di numerazione
E' importante conoscere un metodo pratico per scrivere ordinatamente i primi numeri in una qualsiasi Base n, e rapportarli con i corrispondenti in Base 10. Possiamo individuare due tecniche: Elencazione per riga
Elenco uno per volta i numeri partendo da lunghezza 1 e cifra 0 (minor valore) seguendo la stessa strategia dei decimali
Elencazione per colonna Sfrutto alcune proprietà delle cifre che si ripetono in colonna in maniera ordinata
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Scrivere i primi numeri in Base n
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Sistemi di numerazione
Per entrambe le tecniche, consideriamo i numeri come elencati su una griglia (matrice) di righe e colonne. Le Colonne sono numerate da 1 (Colonna più a dx) in poi (Colonne successive a sx).
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Matrice delle cifre
1
Colonna 1
Colonna 2 Colonna 3
In ogni cella inserisco una
sola cifra
Riga 1
Riga 2
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Sistemi di numerazione
• Inizio a scrivere numeri di 1 cifra sulla Colonna 1 utilizzando in ordine tutte quelle a disposizione
• Passo a scrivere numeri di 2 cifre: Cambiando le cifre in ordine sulla Colonna 2 Riportando le cifre precedenti sulla Colonna 1
• Passo a scrivere numeri di 3 cifre: Cambiando le cifre in ordine sulla Colonna 3 Riportando le cifre precedenti sulle Colonne 1 e 2 con
eventuali zeri iniziali
In pratica, uso la stessa regola "naturale" per elencare i numeri decimali adattata alla Base n.
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Elencazione per riga
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Sistemi di numerazione
Elenco per riga i primi numeri in Base 2 (n = 2):
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Elencazione per riga: Esempio
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
0
1
1
1
1
Uso 1 cifra Scrivo le 2 cifre in ordine
sulla Colonna 1
Uso 2 cifre Mi sposto sulla Colonna 2
cambiando la cifra Ripeto le precedenti cifre in
ordine sulla Colonna 1
Uso 3 cifre Mi sposto sulla Colonna 3
cambiando la cifra Ripeto le precedenti cifre in ordine sulle Colonne 1 e 2
Aggiungo zeri iniziali
Per avere numeri a lunghezza fissa e riportare le cifre
precedenti
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Sistemi di numerazione
Osservo che in un elenco ordinato di numeri in Base n: Le cifre nella Colonna 1 cambiano a ogni riga Le cifre nella Colonna 2 cambiano ogni n righe (gruppi
di n righe) Le cifre nella Colonna 3 cambiano ogni n2 righe
(gruppi di n2 righe) In generale le cifre in Colonna m cambiano ogni nm-1
righe (gruppi di nm-1 righe)
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Elencazione per colonna
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Sistemi di numerazione
Elenco per colonna i primi numeri in Base 2 (n = 2):
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Elencazione per colonna: Esempio
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
0
1
1
1
1
Colonna 1 cambia ogni riga Colonna 2
cambia ogni 2 righe
Colonna 3 cambia ogni 22 = 4 righe
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Notazione posizionale
1 0 1 = 1 · 22 + 0 · 21 1 · 20 +
0 1 2 Potenza
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I sistemi di numerazione in Base n utilizzano una notazione posizionale: Ogni cifra ha peso diverso in base alla posizione nel numero. Ad esempio 12310:
1 2 3
Centinaia Decine
Unità
Verso DX Peso minore
Verso SX Peso maggiore
x 100 Peso ‘100’
x 10 Peso ’10’
x 1 Peso ‘1’
10
Il pedice indica la base del numero
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Notazione posizionale (1/3)
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Sistemi di numerazione
Possiamo scrivere il numero come somma delle cifre moltiplicate per il peso:
1 2 3
Peso minore Peso maggiore
=
1 · 100 + 2 · 10 3 · 1 +
1 · 102 + 2 · 101 3 · 100 +
Il peso è esprimibile come potenza di 10 (Base del numero di
partenza)
10
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Notazione posizionale (2/3)
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Sistemi di numerazione
Con la stessa tecnica possiamo rappresentare numeri di qualsiasi Base n. Ciò che cambia è il peso, espresso come potenza di n. Ad esempio 1012
1 0 1 =
1 · 22 + 0 · 21 1 · 20 +
1 · 4 + 0 · 2 1 · 1 +
2
=
Ricorda… un numero elevato zero da come risultato 1
Peso minore Peso maggiore
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Notazione posizionale (3/3)
0 1 2 Potenza
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Sistemi di numerazione
Se eseguiamo la somma nell’esempio precedente otteniamo il corrispondente in Base 10 del numero binario di partenza!
1 0 1 =
1 · 22 + 0 · 21 1 · 20 +
1 · 4 + 0 · 2 1 · 1 +
2
=
= 4 + 1 = 510
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Conversione BIN DEC
Peso minore Peso maggiore
0 1 2 Potenza
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TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione
Sistemi di numerazione
Il risultato ottenuto ci porta a definire un metodo per trasformare un numero da Base 2 in Base 10:
Metodo della notazione posizionale (BIN DEC) Espandere il numero binario in notazione posizionale
(con pesi: potenze di 2) e svolgere i calcoli.
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Conversione BIN DEC
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TECNOLOGIE E PROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione
Sistemi di numerazione
La notazione posizionale è valida per esprimere qualsiasi numero in Base n, non solo in Base 2.
Abbiamo trovato una metodo generale per trasformare un numero da Base n in base 10:
Metodo della notazione posizionale (generale) Espandere il numero in Base n in notazione posizionale
(con pesi: potenze di n) e svolgere i calcoli.
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Conversione Base n DEC