I modelli adeffetti misti
MassimoBorelli
Un raffronto
Il datasetdensitometry
Analisi step bystep
interpretare glieffetti
simulare larisposta
I modelli ad effetti misti
Massimo Borelli
May 30, 2014
I modelli adeffetti misti
MassimoBorelli
Un raffronto
Il datasetdensitometry
Analisi step bystep
interpretare glieffetti
simulare larisposta
Contenuti
1 Un raffronto
2 Il dataset densitometry
3 Analisi step by stepinterpretare gli effettisimulare la risposta
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interpretare glieffetti
simulare larisposta
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interpretare glieffetti
simulare larisposta
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Analisi step bystep
interpretare glieffetti
simulare larisposta
i modelli ad effetti misti
• nei modelli (lineari) ad effetti misti ci sono più componentidi natura aleatoria. Ad esempio:
y = (mx + q) + (γx + δ) + �
• m, q effetti fissi, le stime dei parametri del modello• δ, � calcolati a posteriori come se fossero eventi di un
esperimento aleatorio• γ effetto di region nel subject• δ effetto del subject• � residuo
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i modelli ad effetti misti
differenze
• effetti fissi: il software fornisce le stime puntuali (e glistandard error)
• effetti casuali: il software fornisce i parametri dellavariabile aleatoria che li genera
• deviazioni standard e correlazioni• analogia: approccio bayesiano
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simulare larisposta
un dataset non bilanciato
subject measure region
1 N001 91 brainstem2 N001 70 brainstem3 N001 92 cerebellum4 N001 81 cerebellum5 N001 63 cortex6 N001 88 cortex7 N003 77 brainstem.. .. .. ..
125 N130 56 cortex126 N130 33 cortex
subject
N001 6N003 18N004 12N005 6N007 18N010 6N013 6N101 6N104 6N107 6N109 6N111 6N120 12N130 12
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interpretare glieffetti
simulare larisposta
Il dataset densitometry
densitometry pixel intensity
brai
n re
gion
cortex
brainstem
cerebellum
40 60 80 100 120
N001 N003
40 60 80 100 120
N004 N005
40 60 80 100 120
N007
cortex
brainstem
cerebellum
N010 N013 N101 N104 N107
cortex
brainstem
cerebellum
N109
40 60 80 100 120
N111 N120
40 60 80 100 120
N130
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Analisi step bystep
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quali saranno i risultati
√y = (mx + q) + (γx + δ) + �
• q = 8.17• m = {0, 0.66,−0.066} (brainstem, cerebellum, cortex)• � ∈ N(0, 0.84)
• δ, γ ∈ N = (0,
1.00 −0.64 −0.79−0.64 1.00 0.97−0.79 0.97 1.00
)
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simulare larisposta
Analisi step by step
step by step
• normalità (no, rimedio)• omoschedasticità• correlazioni (s̀ı, rimedieremo)• interpretazione del modello• simulazione della risposta
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simulare larisposta
Non c’è normalità
qnorm
measure
40
60
80
100
120
-2 -1 0 1 2
brainstem
-2 -1 0 1 2
cerebellum
-2 -1 0 1 2
cortex
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Trasformazione di Box e Cox
> library(MASS)
> boxcox (measure ∼ region)> boxcox (measure ∼ region, lambda = seq(0, 1, 0.05) )> intensity = sqrt(measure)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-161.5
-160.5
-159.5
λ
log-Likelihood
95%
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Risposta trasformata: intensity
> shapiro.test(intensity[region ==”brainstem”])
W = 0.9183, p-value = 0.005314
> shapiro.test(intensity[region ==”cerebellum”])
W = 0.9601, p-value = 0.1484
> shapiro.test(intensity[region ==”cortex”])
W = 0.9727, p-value = 0.4049
brainstem cerebellum cortex
67
89
1011
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Omoschedasticità intensity
> library(car)
> leveneTest(intensity region)
Df F value Pr(>F)
group 2 1.06 0.3493123
brainstem cerebellum cortex
67
89
1011
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interpretare glieffetti
simulare larisposta
Tentativo: cercare le correlazioni
> modello = aov(intensity ∼region)
> TukeyHSD(modello)
> plot(TukeyHSD(modello))
cortex-cerebellum
In cortex e cerebellum la intensityappare scorrelata. Brainstempotrebbe, in senso statistico, esserecorrelata a cortex e cerebellum
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
cortex-cerebellum
cortex-brainstem
cerebellum-brainstem 95% family-wise confidence level
Differences in mean levels of region
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interpretare glieffetti
simulare larisposta
Tentativo: cercare le correlazioni
> tentativo = lm( intensity[region == ”brainstem”] ∼intensity[region ==”cerebellum”] + intensity[region==”cortex”])
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.69 1.40 0.49 0.62
intensitycerebellum 0.60 0.15 4.03 0.00intensitycortex 0.28 0.15 1.83 0.07
cerebellum
cerebellum è un predittore di brainstem per la intensity.
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interpretare glieffetti
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da tenere a mente:selezione del modello
• brainstem• cerebellum• cortex
• brainstemcerebellum• cortex
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un modello misto massimale
• intensity dipende da region• fixed effect
• eterogenità dovuta a subject + eterogenità dovuta aregion ’within’ subject
• variabilità residua• random effect
y = q + mx + δ + �
> library(lme4)
> mixed1 = lmer(intensity ∼ region + (region | subject))> summary(mixed1)
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un modello ad effetti misti
> mixed1 = lmer(intensity ∼ region + (region | subject))> summary(mixed1)
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interpretare gli effetti fissi
> fixef(mixed1)
Estimate
(Intercept) 8.17regioncerebellum 0.66
regioncortex -0.06
• brainstem: y = 8.17 + 0 + δ + �• cerebellum: y = 8.17 + 0.66 + δ + �• cortex: y = 8.17− 0.06 + δ + �
brainstem cerebellum cortex
67
89
1011
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interpretare gli effetti casuali
> ranef(mixed1)
(Intercept) regioncerebellum regioncortex
N001 0.69 -0.19 -0.27N003 1.43 -0.29 -0.47N004 1.59 -0.91 -0.97N005 1.72 -0.14 -0.40N007 0.93 -0.62 -0.64
.. .. .. ..N120 -1.19 1.63 1.47N130 -1.57 0.11 0.35
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interpretare gli effetti casuali
> ranef(mixed1)
(Intercept) regioncerebellum regioncortex
N001 0.69 -0.19 -0.27.. .. .. ..
Per il subject N001:
• brainstem: y = 8.17 + 0.69 + 0 + �• cerebellum: y = 8.17 + 0.69 + 0.66− 0.19 + �• cortex: y = 8.17 + 0.69− 0.06− 0.27 + �
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simulare larisposta
interpretare gli effetti casuali
Per il subject N001:
• brainstem: y = 8.86 + �• cerebellum: y = 9.33 + �• cortex: y = 8.53 + �
subject intensity region
1 N001 9.54 brainstem2 N001 8.37 brainstem3 N001 9.59 cerebellum4 N001 9.00 cerebellum5 N001 7.94 cortex6 N001 9.38 cortex
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gli effetti casuali: shrinking
6 7 8 9 10
intensitiy N001 cortex
subject intensity region
5 N001 7.94 cortex6 N001 9.38 cortex
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simulazione
Groups Name Variance Std.Dev. Corr1 subject (Intercept) 1.72655 1.313982 regioncerebellum 0.62401 0.78994 -0.6353 regioncortex 0.60098 0.77523 -0.790 0.9754 Residual 0.69917 0.83616
La matrice di correlazione: 1.00 −0.64 −0.79−0.64 1.00 0.97−0.79 0.97 1.00
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simulazione
σ =
1.00 −0.64 −0.79−0.64 1.00 0.97−0.79 0.97 1.00
> sigma = matrix(c(1, -0.635, -0.790, -0.635, 1, 0.975,
-0.790, 0.975, 1), 3, 3)
> library(MBESS)
> SIGMA = cor2cov( sigma , sd = c(1.31398, 0.78994,0.77523) )
Σ =
1.73 −0.66 −0.80−0.66 0.62 0.60−0.80 0.60 0.60
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simulare larisposta
simulazione
> fissi = c( rep(8.17, 42), rep(8.83, 42),rep(8.12, 42) )
> effissi = matrix(fissi, 42, 3)
> pert = mvrnorm(n = 42, rep(0, 3), SIGMA)
> simul = effissi + pert
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interpretare glieffetti
simulare larisposta brainstem cerebellum cortex
67
8910
densitometry
67
8910
simulazione
subject intensity region
5 N001 7.94 cortex6 N001 9.38 cortex
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interpretare glieffetti
simulare larisposta
parziale conclusione
il modello massimale• calcolato gli effetti fissi• calcolato gli effetti casuali
cosa manca ancora?• trovare il modello minimale adeguato
• semplificare gli effetti fissi• stime REML o stime ML?
• semplificare gli effetti casuali• parametric bootstrap?
Un raffrontoIl dataset densitometryAnalisi step by stepinterpretare gli effettisimulare la risposta