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SCPC – Cap. II: Dinamica e Modelli

II - Dinamica dei Sistemi e Modelli

II-1: Introduzione Le problematiche di controllo di processo hanno origine dal fatto che i processi operano in condizioni dinamiche (presenza di perturbazioni o variazioni di condizioni operative). Da qui l’interesse verso strumenti che permettano di analizzare in modo quantitativo l’evoluzione del processo nel tempo: i modelli dinamici. Il modello è una rappresentazione del processo in termini matematici, ovvero fornisce le relazioni tra le principali variabili in gioco. Nei modelli ingresso – uscita la rappresentazione è limitata alle relazioni tra variabili di ingresso e di uscita; nei modelli a variabili di stato, oltre alle variabili di uscita, compaiono anche variabili interne al processo e questo permette una descrizione più completa del processo.

Fig.2-1: Schema variabili di ingresso, di uscita e di stato

A seconda del dominio di rappresentazione si possono avere modelli diversi:

- nel dominio tempo (t), i modelli sono costituiti da equazioni differenziali che, a seconda dei casi, possono essere Ordinarie / alle Derivate Parziali, Lineari / Non Lineari, a coefficienti costanti / tempo-varianti,

- nel dominio di Laplace (s), i modelli sono dati in termini di Funzione di Trasferimento,

- nel dominio della frequenza (ω), i modelli sono dati in termini di Funzione Armonica. Lo sviluppo di un modello può essere considerato avvenire concettualmente attraverso 4 fasi:

- Definizione del problema e degli obiettivi, - Formulazione del modello, - Stima dei parametri - Convalida del modello.

I modelli possono essere utilizzati con scopi molto diversi: progettazione di apparecchiature, sintesi di un processo, progetto del sistema di controllo, tuning dei regolatori, ottimizzazione dell’intero processo, analisi di sicurezza, valutazione di impatto ambientale, formazione degli operatori. È evidente che le caratteristiche, la complessità e i limiti di validità saranno molto diversi, a seconda degli scopi per cui il modello è stato costituito. La definizione degli obiettivi è molto importante: nessun modello va sempre bene; in generale va trovato un compromesso tra complessità e rappresentatività. In genere per il controllo si utilizzano modelli non particolarmente complessi, con l’ambizione che riescano a comprendere gli aspetti essenziali della dinamica del processo.

Prof. Claudio Scali – Università di Pisa II,1


II-2: Classificazione dei modelli I modelli possono essere classificati in modo diverso. I modelli strutturati (a principi primi, meccanicistici, fenomenologici) si basano sui fenomeni chimico fisici che regolano il comportamento del processo. Fanno riferimento a leggi fisiche ben precise e sono rappresentati da equazioni di conservazione (materia, energia, quantità di moto), equazioni costitutive (di stato, di equilibrio, cinetiche, di scambio, stechiometriche). Hanno alla loro base ipotesi semplificatrici che consentono la schematizzazione dei compessi fenomeni reali: ipotesi diverse portano a modelli diversi per lo stesso processo fisico. Hanno lo svantaggio di richiedere una conoscenza a priori sul processo; hanno il vantaggio di poter essere usati in un campo più esteso di condizioni operative (estrapolazione) e di richiedere meno dati per la calibrazione dei parametri. I modelli non strutturati (parametrici, empirici, a scatola nera) si basano sull’esperienza acquisita o sulla sperimentazione effettuata sull’impianto (data driven). In genere sono limitati a relazioni ingresso uscita relativamente semplici. Hanno il vantaggio di non richiedere conoscenza sul processo, anche se una conoscenza parziale è sempre desiderabile; gli svantaggi risiedono nella minore estrapolabilità e nella necessità di avere numerosi dati d’impianto per la calibrazione. Da sviluppare quando l’approccio strutturato porta a modelli troppo complessi. I modelli ibridi cercano di integrare i due approcci. In termini più generali disporre di un modello matematico del processo ottenuto per via analitica presenta degli indubbi vantaggi rispetto ad una sperimentazione condotta sull’impianto:

- permette di caratterizzare processi non esistenti (fase di progetto) - evita sperimentazioni che possono essere non fattibili sull’impianto reale (troppo

lunghe, complicate o pericolose), - permette di mettere a fuoco comportamenti tipici che poi si ritrovano nei processi

reali, comportamenti che in molti casi sono difficili da estrarre dalla sperimentazione stessa, a causa della presenza di rumori, disturbi sovrapposti e altro.

In ogni caso non si deve dimenticare che un modello, per quanto possa essere accurato, rappresenta sempre una idealizzazione del comportamento reale e quindi una approssimazione della realtà; di questo fatto si deve tenere conto per comprendere le limitazioni della progettazione (dell’impianto, del sistema di controllo) che si basa sul modello. II-3: Alcune definizione dei sistemi

Nei sistemi dinamici le condizioni variano nel tempo, ovvero nelle equazioni di bilancio compare un termine di accumulo non nullo; questo termine è nullo per i sistemi stazionari. Nei sistemi continui le variabili (di ingresso, di stato, di uscita) sono funzioni continue della variabile tempo. I sistemi discreti sono originati dall’acquisizione dei valori delle variabili ad intervalli di tempo predefiniti (campionamento). Nei sistemi a parametri concentrati le grandezze non variano secondo coordinate spaziali mentre l’unica variabile indipendente è il tempo; viceversa, nei sistemi a parametri distribuiti le grandezze variano anche in funzione di variabili spaziali.



La condizione di realizzabilità fisica (causalità) di un sistema implica l’ovvia condizione che l’uscita dipenda soltanto dai valori passati e presenti dell’ingresso; matematicamente:

tXftY ≤= ττ )],([)( Stabilità Un sistema si trova in un punto di equilibrio se tutte le variabili di ingresso e di uscita sono costanti nel tempo; l’equilibrio può essere diverso, se l’evoluzione del sistema (risposta) per un ingresso limitato è: Instabile: la risposta diverge (non limitata) Stabile: la risposta è limitata Asintoticamente stabile: la risposta, oltre che limitata, tende a zero Globalmente stabile: se la stabilità è verificata per ogni entità di perturbazione. Per un sistema lineare, il comportamento non dipende dal punto di equilibrio e dall’entità della perturbazione, mentre per un sistema non lineare dipende da entrambi. Linearità e linearizzazione Definizione: Un sistema P è lineare se e solo se (Figura 2-2):

• Dato un input X1(t) a cui corrisponde un’uscita Y1(t) • Dato un input X2(t) a cui corrisponde un’uscita Y2(t)

per ogni costante a1, a2 si ha che: ( ) ( ) ( ) ( )tYatYatXatXa 22112211 ⋅+⋅→⋅+⋅

Fig.2-2: Definizione di sistema lineare Principio di Sovrapposizione degli Effetti (Figura 2-3): L’effetto Y(t) risultante di più ingressi Xi(t) agenti contemporaneamente è pari alla sommatoria degli effetti Yi(t) di ciascun ingresso considerato agire separatamente, ovvero l’uscita risultante vale:

( ) ( )∑=

=n

ii tYtY

1

Fig.2-3:Principio di sovrapposizione degli effetti

La definizione di linearità e il principio di sovrapposizione degli effetti sono equivalenti nel caratterizzare il comportamento di un sistema lineare.



Linearizzazione I sistemi reali sono in genere non lineari; la linearizzazione permette di applicare tecniche lineari; la teoria classica del controllo vale per sistemi lineari. L’approssimazione introdotta è causa di errore, accettabile nel caso di “piccoli” scostamenti rispetto al punto di riferimento. La tecnica di linearizzazione prevede un’espansione in serie di Taylor intorno al punto di stazionario, trascurando i termini di ordine superiore al 1°:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=−=

+−⋅+−+===

xKxfxfxf

.....xxdx

xfd21xx

dxxdfxfxf

10

20

xx2

2

0xx

0

00

Nel caso di due variabili indipendenti (x,y) si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+⋅=−=

+−∂

∂+−

∂∂

+===

==

yKxKyxfyxfyxf

sotyyx

yxfxxx

yxfyxfyxfyyxx

yyxx

2100

0

00

0

00

00

,,,

......,,,,

Per gli scopi del controllo gli scostamenti devono essere piccoli; se la funzione è fortemente non lineare, allora la linearizzazione vale soltanto nell’intorno del punto di espansione; migliori risultati possono essere ottenuti linearizzando in punti distinti, ottenendo diversi valori dei parametri (modelli multipli).

Fig.2-4: Linearizzazione in punti diversi

Variabili scostamento È conveniente rappresentare il modello dinamico del processo in termini di variabili scostamento (deviazione), rispetto allo stato stazionario di riferimento (uguale a zero o f(t)); questo permette di ottenere espressioni più compatte e, nel caso si parta da un punto iniziale di equilibrio, il contributo delle condizioni iniziali alla risposta totale è nullo:

( ) ( ) 0ytyty −= II-4: Tipi di modelli ed Equazioni Differenziali I modelli strutturati si basano su equazioni di bilancio scritte sul volume elementare per la variabile in oggetto Y; nel caso generale assumono l’espressione: Ingresso + Generazione = Uscita + Accumulo, ovvero:



dtdYYYY OUTGENIN +=+

Se il volume elementare può essere assunto invariante con lo spazio il sistema si definisce a parametri concentrati (esempio classico il reattore perfettamente miscelato, CSTR), mentre se varia con lo spazio si definisce a parametri distribuiti (esempio classico il reattore tubolare, PFTR). I tipi di equazione che si ottengono nei due casi sono diversi come illustrato nei due esempi che seguono, dove viene messo in evidenza il ruolo delle ipotesi assunte nello sviluppo del modello. Reattore CSTR:

Ipotesi:

- Volume costante, proprietà fisiche (densità, calore specifico costanti) Fi=F - Perfetto miscelamento (volume del reattore caratterizzato da un unico valore delle

grandezze interne (T, C), valori uguali a quelli in uscita. - Cinetica di reazione esprimibile con una legge di potenza rispetto alla concentrazione

del reagente A e con una dipendenza dalla temperatura secondo la legge di Arrhenius. - Reazione esotermica con calore di reazione (∆H)

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅=⋅=

RTEexpAkckr n

A

Bilancio di Massa ≡[Kg/s]:

An

AAAi

AAAi

cdtdVckVcFcF

cdtdVVrcFcF

⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅→

⋅=⋅⋅−⋅−⋅

ρρ

ρρ

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≡⋅

==⋅+−

+

00

][;0

AA

nA

AiAA

cc

sF

Vckcccdtd ρτ

τ

Bilancio di Energia ≡[W]:

TdtdCVTCFVckHTCF pp

nAip ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ ρρ∆

( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⋅⋅=

−+

0

p

nAi

T0T

CckHTTT

dtd ∆

τ



Osservazioni: il BM è rappresentato da una ED Ordinaria (variabile indipendente: il tempo t), lineare soltanto nel caso di cinetica del primo ordine (n=1) e di reattore isotermo (k= costante); allo stazionario si ha una equazione algebrica. Il BE e rappresentato da EDO non lineare anche nel caso n=1, dato che k=k(T). I coefficienti sono costanti nelle ipotesi assunte per V, ρ, Cp. Il problema è definito, note le condizioni iniziali al tempo t=0 (IC), per CA(0) e T(0). Reattore PFTR:

Bilancio di Massa sull’elemento dx:

( ) ( )( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

==⋅+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅=⋅

tctcCB

xcxcCI

SFvckc

tvc

t

ct

dxSckdxSdxcx

cFcF

AA

AA

nAAA

An

AAAA

0

0

0,:..

,0:..

0ρ

ρρ

Bilancio di Energia:

( ) ( )( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=⋅⋅+∂∂

+∂∂

tT0,tT:.C.B

xTx,0T:.C.I

0ckC

HTx

vTt

0

0

nA

p

∆

Osservazioni: BM e BE sono in questo caso rappresentati da ED alle Derivate Parziali (variabili indipendenti t, x); allo stazionario si ottengono EDO (C=C(x), T=T(x)); i coefficienti sono costanti nelle ipotesi assunte. Per la definizione del problema servono le condizioni iniziali (IC) al tempo t=0: T(0,x), C(0,x) e le condizioni al contorno (BC) all’ascissa x=0: T(t,0), C(t,0).



II-5: Ingressi Tipici Per lo studio della dinamica dei sistemi ha interesse la loro risposta a ingressi tipici; le tecniche stimolo-risposta servono per caratterizzare un sistema del quale è stato costruito un modello (simulazione), oppure possono anche essere usate sperimentalmente per ricavare il modello di un sistema dall’analisi della risposta (identificazione). Rimanendo nel campo di ingressi di tipo deterministico, gli ingressi più comuni sono: il gradino, l’impulso, la sinusoide, la rampa; definizioni e proprietà sono riportate di seguito. Gradino

( )⎩⎨⎧

≥<

=−0

00 ,

,0ttAtt

ttu

Rampa

( ) ( )⎩⎨⎧

≥−⋅<

=−00

00 tt,ttA

tt,0ttr

Impulso (Funzione di Dirac)

( )⎩⎨⎧

=∞≠

=0

0

tt,tt,0

tδ

La funzione impulso può essere vista come il limite della differenza di due gradini ritardati di un tempo ∆t; al tendere di ∆t a zero, imponendo che l’area sottesa si mantenga costante si ha che l’ampiezza dell’impulso deve tendere a infinito.

( ) ( ) ([ ])t

tttuttulimtt 00

0t0T0 ∆

∆δ∆∆

+−−−=−

>→



Sinusoide

( ) ( )⎩⎨⎧

≥⋅<

=−0

00 tt,tsinA

tt,0tts

ω Gli ingressi sono detti unitari nel caso in cui A=1; in genere il tempo iniziale è fatto coincidere con zero (t0=0), tempo di inizio di osservazione della dinamica. Alcune proprietà sono immediate:

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) Adtt

dtttuttr

ttudtdtt

t

=∫ ⋅

∫ ⋅−=−

−=−

∞+

∞−

∞−

δ

δ

00

00

Valgono anche le relazioni che permettono di ricavare le risposte ad un ingresso da quelle già note:

( ) ( )[ ]

( ) ( )∫ ⋅−=−

−=−

∞−

t

dtttuYttrY

ttuYdtdttY

][][

][

00

00δ



II-6: Modelli dinamici di sistemi del primo ordine Vengono riportati di seguito alcuni esempi di sviluppo analitico di modelli strutturati per sistemi del primo ordine, con le finalità di mettere in evidenza il ruolo delle ipotesi sul tipo di modello e le grandezze caratteristiche. II-6.1: Miscelatore Si vuole conoscere come varia la concentrazione Y del flusso in uscita per una variazione X del flusso in ingresso.

Ipotesi: perfetto miscelamento (comportamento CSTR), assenza di reazione, densità e volume costante (quindi portata in ingresso e uscita costanti (qi=qu=q)). Stato stazionario iniziale (S.S.): x(0)=y(0)=0 Bilancio materiale sul componente

( ) ( ) ( )( )tyVdtdtyqtxq ui ⋅+⋅=⋅

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅+⋅=⋅

00y

tydtdVtyqtxq

( ) ( ) ( )

( ) qV

00y

txtytydtd

=⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+⋅τ

τ

Il sistema è rappresentato da una EDO del primo ordine, avente come unico parametro caratteristico la costante di tempo τ. II-6.2: Serbatoio a scarico libero Si vuole conoscere come varia il livello h del serbatoio per una variazione del flusso in ingresso qi.

Ipotesi: densità liquido costante; sezione A costante (V=f(h)), quindi qu=f(h)).



In particolare per lo scarico libero, il flusso in uscita è proporzionale alla radice quadrata del livello di liquido secondo un coefficiente Cv (coefficiente di scarico).

RhhCq vu =⋅= termine non lineare

S.S.: ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

===

0ui

0

q0q0qh0h

In termini dinamici, l’equazione diventa:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⋅+=

→⋅+=

00 hh

hdtdA

Rhq

hAdtdqq

i

ui

Linearizzando il termine non lineare attraverso uno sviluppo in serie del primo ordine e sostituendo si ottiene:

( )00

0 21 hhh

hh −⋅+=

( )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⋅+−⋅+=

→⋅+=

0

00

0i

ui

h0h

hdtdAhh

hR21

Rh

q

hAdtdqq

In termini di variabile di scostamento, indicando con:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

+=

u0u

i0i

0

qqqqqq

hhh

e andando a sostituire, si ottiene:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

⋅+=⋅

0

0

00

2

2

22

hAR

hYqX

hRK

hdtdhARhqhR

i

i

τ

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+⋅

00Y

tXKtYtYdtdτ

Anche in questo caso la dinamica è rappresentata da una EDO del 1° ordine avente come parametri caratteristici la costante di tempo τ e il guadagno del processo K.



II-6.3: Serbatoio a scarico forzato Si vuole conoscere come varia il livello h del serbatoio per una variazione delle portate in ingresso qi in uscita qu.

Ipotesi: densità liquido costante; pompa volumetrica qu= qu(t); sezione A costante; V=A h). Stato Stazionario Iniziale: ( ) ( ) ( ) 00 00;0 qqqhh ui ===

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅+=

0

ui

h0h

hAdtdqq

In termini di variabili scostamento:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

+=

u0u

i0i

0

qqqqqq

hhh ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅+=

00h

hdtdAqq ui

Posto:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=→

⎩⎨⎧

=

−=

00YAXY

dtd

hYqqX ui

Si osserva che anche in questo caso la dinamica è rappresentata da una EDO del 1° ordine (avente nullo il coefficiente della derivata di grado zero). Il sistema è detto capacità pura (integratore). Questo sistema è instabile in anello aperto (non ha un autoequilibrio), cioè la risposta diverge se Xǂ0, cioè qiǂqu, ovvero le (variazioni delle) portate in ingresso e in uscita non sono uguali tra loro:

( ) ( )∫=t

0

dttxA1ty non autoequilibrio (per X≠0 ( ) ∞=

∞→tylim

t)



II-6.4: Misuratore di temperatura Si vuole conoscere come varia la temperatura T, misurata dalla termocoppia, inizialmente a temperatura T0, quando viene inserita in un fluido a temperatura iniziale Tf. La termocoppia trasforma una variazione di temperatura in una variazione di f.e.m.

( )⎨⎧ =< TT,0t 0

⎩ =≥ tTT,0t

Ipotesi: - Resistenza al trasferimento di calore: concentrata in un film intorno all’elemento sensibile, caratterizzato da un coefficiente di scambio termico h e da una superficie di scambio A; - Capacità termica della guaina protettiva trascurabile confrontata con elemento sensibile - Bulbo: elemento puramente capacitivo di volume V, densità ρ e calore specifico Cp, nel quale si accumula tutto il calore ricevuto. Bilancio termico:

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+

⋅=−⋅

0

pF

pFs

T0ThAVC

TTdtdT

TdtdVCTThA

ρττ

ρ

Anche in questo caso si ottiene una dinamica del primo ordine, caratterizzata dalla costante di tempo τ; in questo caso il guadagno è unitario, essendoci omogeneità tra le grandezze in ingresso e in uscita. II-6.5: Circuito RC Si vuole conoscere come varia la tensione V agli estremi del condensatore, per una variazione della tensione applicata E.

⎩ +=≥ EEE,0t 0 ∆⎨⎧ =< EE,0t 0

( ) ( ) ( )

( )dtdVC

dtdqti

tiRtVtE

⋅==

⋅+=

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=

00 EV0VdtdVRCVE

Posto:



⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=−

tempoditetancos,RCYVVXEE

0

0

τ

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+⋅

00Y

tXtYtYdtdτ

Anche in questo caso si ottiene una dinamica del primo ordine. II-6.6: Considerazioni conclusive Quelli riportati sopra sono esempi di processi fisici diversi, la cui dinamica è descritta da una equazione differenziale del primo ordine; lo stesso sistema fisico sotto ipotesi diverse può dare luogo a modelli diversi; gli ingressi e le uscite al processo possono essere diversi dagli ingressi uscite al processo a blocchi. Il sistema del primo ordine è caratterizzato da due parametri: il guadagno K e la costante di tempo τ. Il guadagno è definito come rapporto tra la variazione dell’uscita e la variazione dell’ingresso al nuovo stazionario raggiunto dal sistema dopo la perturbazione:

)()()(

0

0

xy

xxyy

xyK

∆∆

=−−

==∞

∞

Il guadagno nel caso generale è dimensionale, essendo il rapporto di grandezze con dimensioni in genere diverse; il segno può essere positivo o negativo. Questa definizione vale ovviamente soltanto per sistemi stabili. La costante di tempo ha sempre le dimensioni di un tempo e nei diversi casi risulta:

1. Miscelatore qV

=τ = Accumulo/Flusso

2. Livello e livello linearizzato ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=

=

V

0

ChA2

AR

τ

τ = Capacità * Resistenza (=1/Flusso)

3. Misuratore di temperatura hAVC pρ

τ = = Capacità (termica)* Resistenza

4. Circuito elettrico RC=τ = Capacità (elettrica)* Resistenza R=V/I (=∆Forza Motrice/∆Flusso); C=Q/V (=∆Accumulo/∆Forza Motrice) RC=τ (=∆Accumulo/∆Flusso)



II-7: Risposte di sistemi del primo ordine a ingressi diversi II-7.1 Ingresso a gradino La formulazione matematica del problema diviene:

( ) ( ) ( )

( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>==

⋅=+⋅

0,00

tAtXY

tXKtYtYdtdτ

( ) ( )

( )

( )

τ

ττ

τ

t

ecKAY

ctYKAdtYKA

dYY

AKtYtYdtd

−⋅−=

+−=−→=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅=+⋅

1

ln100

La costante di integrazione si ottiene tramite la condizione iniziale C.I. (y(0)=0), da cui

c1=KA ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=⋅−=

−−ττtt

eKAecKAY 1

Si osserva che:

( )

( )ττ

τ KAeKAY

KAtY

t

t

t

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅=′

=

=

−

∞→

0

10

lim

( ) 632.0e11

KAY

=−=τ

La costante di tempo può essere definita come il tempo che il sistema impiegherebbe per raggiungere lo stazionario se la velocità si mantenesse uguale a quella iniziale, o anche come il tempo per raggiungere il 63.2% del valore di stazionario: questo è anche il modo di valutare sperimentalmente la costante di tempo di un sistema dalla sua risposta al gradino; all’aumentare di τ, la risposta diviene sempre più lenta.



II-7.2: Ingresso a rampa La formulazione matematica del problema diviene:

( ) ( ) ( )

( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>⋅==

=+⋅

0,00

ttAtXY

tXtYtYdtdτ

( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅=+⋅

00Y

tAtYtYdtdτ

Equazione differenziale non omogenea: la soluzione sarà del tipo partomo YYY += Yomo:

( ) ( ) τ

τττ

t

omo ecYzzCEtYtYdtd −

⋅=→−=→=⋅+=+⋅ 1;101:..;0

Ypart:

( ) 121 ;; KYddKtKYtAtX partpart =+⋅=⋅=

Sostituendo nell’equazione completa si determinano K1 e K2 e quindi la soluzione Ypart:

τττ

τ

AtAYAK

AKtAtK

KKtAKtKK

part −⋅=→⎩⎨⎧

=−=

→⎩⎨⎧

⋅=⋅=+⋅

⋅≡+⋅+⋅

;0

1

2

1

21

211

La soluzione completa risulta quindi, determinando la costante c1 dalle condizioni iniziali:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

−⋅+⋅=+=−

τ

ττ

AcCI

tAecYYYt

partomo

1

1

:.. ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅−⋅=−⋅+⋅⋅=

−−ττ τττtt

e1tAtAeAY

Uno studio sommario permette di determinare i punti notevoli:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≈>>∞=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅−⋅=′=

∞→

−

ττ

ττ τ

tAtYttY

eAYY

t

t

)(,;lim

0110;00

L’andamento della risposta è riportato in figura: si osserva che a tempi lunghi l’uscita segue l’ingresso traslata di un tempo pari alla costante τ.



II-7.3: Ingresso a impulso

La formulazione matematica del problema diviene:

( ) ( ) ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

=∞≠

=

=

=+⋅

0t0t0

t

00Y

tXtYtYdtd

δ

τ

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+⋅

00Y

ttYtYdtd δτ

La soluzione può essere ottenuta immediatamente applicando la proprietà:

( ) ( )[ ]00 ][ ttuYdtdttY −=−δ

e risulta (per la risoluzione dettagliata vedi appendice):

risposta al gradino unitario: τt

etY−

−=1)(

risposta all’impulso unitario: ( ) τ

τ

t

etY−

⋅=1

Da uno studio sommario i punti notevoli risultano:

( ) ( ) 2210;0;1)0(

τττ

τ−=−=′=∞=

−t

eYYY

L’andamento della risposta è riportato nelle figure che seguono; si osserva che:

- il sistema si sposta dalle condizioni di equilibrio per la sollecitazione al tempo t=0 e poi ritorna nella condizione iniziale

- lo scostamento iniziale e la velocità di risposta sono inversamente proporzionali alla costante di tempo del sistema

- la costante di tempo può anche essere definita come il tempo al quale la risposta raggiungerebbe il valore di equilibrio se mantenesse la velocità iniziale:

τττ

=→=−= tttY 01)( 2



II-7.4: Ingresso sinusoidale La formulazione matematica del problema diviene:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

=+⋅

tAtXY

tXtYtYdtd

ω

τ

sin00

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+⋅

00

sin

Y

tAtYtYdtd ωτ

La soluzione risulta (vedi appendice per i dettagli):

( ) ( )

( )

( )ωτφ

φωττωτω

ωτ

ωτωτωτωττω

τ

τ

−=

+⋅+

+⋅+

=

→⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−+⋅⋅

+=

−

−

arctan

sin1

11

cossin1

1

2222

22

t

t

eAY

eAY

Con riferimento alle figure riportate di seguito, si osserva che il primo termine tende a zero per t ∞; il secondo termine rappresenta la risposta allo stazionario, che è una sinusoide avente la stessa frequenza (pulsazione ω), ampiezza minore dell’ingresso (B<A; il rapporto B/A è detto rapporto di ampiezza) e sfasamento in ritardo (ϕ<0); sia B che ϕ dipendono dalla frequenza ωτ e dalla costante di tempo τ del sistema. La risposta alla sinusoide è molto importante: su di essa si basa l’analisi frequenziale.

Osservazioni conclusive sulle risposte di sistemi del primo ordine:

- In tutti i casi nella risposta compare un termine esponenziale che dipende dalla radice della equazione caratteristica (p1): y1(t)= C1 exp(-t/τ); p1=-1/τ.

- L’altro termine dipende dal particolare ingresso agente. - L’impulso non introduce componenti aggiuntive nella risposta: mette in evidenza la

dinamica propria del sistema. Queste conclusioni possono essere generalizzate alle risposte di sistemi di ordine n.



II-8: Modelli dinamici di sistemi del secondo ordine II-8.1: Miscelatori in serie Il caso più immediato di sistema del secondo ordine è originato dal sistema di due miscelatori in serie, nel quale si vuole conoscere come la concentrazione z(t) del flusso in uscita dal secondo varia in funzione della concentrazione x(t) del flusso in ingresso al primo.

Ipotesi:

• Perfetto miscelamento; • Assenza di reazione chimica; • Volumi e densità costanti (quindi qi=q1=qu=q); • Stazionario iniziale di equilibrio: ( ) ( ) ( ) 0tztytx,0t ===≤

Bilancio materiale su 1° e 2° serbatoio, rispettivamente:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅+⋅=⋅

⋅+⋅=⋅

zdtdVtzqtyq

ydtdVtyqtxq

2

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

==+⋅

==+⋅

00z0y

qVtytztzdtd

qVtxtytydtd

222

111

ττ

ττ

Si ottiene quindi un sistema di 2 E.D.O del 1°ordine: per sostituzione può essere ridotto ad una E.D.O del 2°ordine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=′=

=+⋅++⋅

00z00z

txtztzdtdtz

dtd

212

2

21 ττττ



La risposta di un sistema del 2°ordine ad un input a gradino assume quindi la seguente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==′=

=+⋅++⋅

Atx00z00z

txtztzdtdtz

dtd

212

2

21 ττττ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′=

=+⋅++⋅

00z0z

Atztzdtdtz

dtd

212

2

21 ττττ

Le radici dell’E.C. (p1=-1/τ1, p2=-1/ τ2) determinano la seguente soluzione dell’equazione

omogenea: ( ) 21

t

2

t

1omo ecectz ττ−−

⋅+⋅= la soluzione particolare è ovviamente ( ) Atz part = , per cui la soluzione completa risulta:

( ) Aecectz 21

t

2

t

1 +⋅+⋅=−−

ττ

Quindi imponendo le condizioni iniziali, si ha: 21

22

21

11 ;

τττ

τττ

−=

−−=

AcAc e quindi:

( )

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−⋅⋅

−+⋅=→

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

−−

12

21

t

1

t

221

t

21

2t

21

1

ee11Atz

AeAeAtz

ττ

ττ

ττττ

τττ

τττ

Da uno studio sommario i punti notevoli risultano: ( ) ( )

⎩⎨⎧

=′=′

⎩⎨⎧

==

∞∞ 00000

zz

Azz

La curva presenta anche un punto di flesso al tempo: 2

1

21

21* lnττ

ττττ

⋅−

=t

Andamenti qualitativi della risposta al gradino sono riportati nelle figure che seguono; la risposta diviene più lenta all’aumentare di valori delle costanti di tempo. Dettagli ed ulteriori esempi sono riportati in Appendice 2.



II-8.2: Sistema viscoelastico Il caso più generale di dinamica del secondo ordine è rappresentato dal sistema riportato in figura, costituito da una massa M sottoposta ad una forza esterna F(t), a cui si oppone una molla e uno smorzatore.

Dal bilancio di forze sulla massa (2°principio della dinamica):

( )

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′=

⋅=−⋅−→

⋅=++→⋅=Σ

000

2

2

yy

ydtdMy

dtdcyktF

aMFFtFaMF

sm

i

Con le ipotesi che la forza della molla sia proporzionale allo spostamento (Fm=- k y) e la forza dello smorzatore sia proporzionale alla velocità (Fs=- C dy/dt), l’equazione diventa, con le dovute sostituzioni:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′=

=+⋅+

00y0y

xyydtd2y

dtd

2

22 τξτ

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

kMc

kM

txKktF

4

2ξ

τ

I parametri caratteristici risultano il guadagno K, la costante di tempo τ e il fattore di smorzamento ξ (adimensionale). La risposta all’ingresso a gradino ( ( ) Atx = ) si ottiene dalla soluzione della EDO di ordine 2:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′=

=+⋅+

000

22

22

yy

AKyydtdy

dtd τξτ

le soluzioni dell’E.C. sono:

τξξ

ξττ1

;012:..2

2,122 −−

=→=++m

pppCE

La risposta ha una espressione generale del tipo: ( ) tptp eCeCAKty 2

21

11 −−++=



Al variare di ξ, la risposta assume espressioni diverse (dettagli in Appendice-Cap.II):

• ξ>1: radici reali e distinte, sistema sovrasmorzato (risposta non oscillante).

1:;,, 221 −=∆

∆−−=

∆+−= ξ

τξ

τξ postopp

( )2

)sinh(,2

)cosh(:;sinhcosh1xxxxt eexeexpostotte

AKty −−⋅

− −=

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⋅∆

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⋅−=τ

ξτ

τξ

• ξ=1: radici reali e coincidenti, sistema criticamente smorzato (risposta non oscillante); la soluzione è uguale a quella del caso di due miscelatori in serie con volumi uguali (e quindi costanti di tempo uguali).

( ) τ

ττ

t

etAKtypp

−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

−== 11;1

21

• ξ<1: radici complesse, sistema sottosmorzato (risposta oscillante).

221 1':;',' ξ

τξ

τξ

−=∆∆−−

=∆+−

= postopp

;'sin'

exp1)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∆∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= φτ

τξ

tt

AKty ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

ξξ

ξφ

21' arctgarctg

Per ottenere questa espressione compatta si sono utilizzate:

le formule di Eulero: ieexeex

ixixxiix

2)sin(,

2)cos(

−− −=

+=

e le relazioni trigonometriche:

)/(,:);sin()sin()cos(

22 qparctgqprpostoxrxqxp

=+=+⋅=⋅+⋅

ϕϕ

I tre tipi di risposta sono riportati schematicamente in figura.



La risposta sottosmorzata è importante perché è la tipica risposta di sistemi controllati in retroazione; può essere caratterizzata in termini di alcuni parametri: 1. τr: tempo di risalita 2. τa: tempo di assestamento 3. Se: sovraelongazione (overshoot; A, in figura) 4. S’e / Se : rapporto di decadimento (decay ratio; C/A, in figura)

I valori dei parametri critici sono ottenuti dalla equazione risolvente per il caso ξ<1, come:

• τr: y(τr)=A ; (K=1) • Se: y’(t)=0 • τa : |1-y(τa )|<5%

e risultano (dettagli in appendice):

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≈

==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−⋅−=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−⋅

−=

ξττ

ξξ

ξπ

ξτξ

ξπ

ξ

ττ

3

)(1

exp

),(1

arctan1

2

2

2

a

e

r

fS

f

Sono definite anche la pulsazione (ω) e il periodo (T), rispettivamente come:

πτξ

πω

τξ

ω21

2;

1 22 −==

−= T

mentre il suffisso N indica pulsazione e periodo naturale del sistema (ξ=0):

τππω

τω

21

2;1

=== NNN T



II-9: Sistemi con ritardo Il ritardo è una componente tipica che caratterizza la dinamica dei processi industriali ed è associato al concetto di trasferimento di una variazione attraverso uno spazio finito con velocità v finita (tipico di apparecchiature a tubi o analizzatori). Per questa ragione, molto spesso una variazione in ingresso non si risente in uscita istantaneamente. Ad esempio, tutte le variazioni di grandezze associate ad una portata q (es. temperatura, concentrazione) si risentono in uscita dopo un certo tempo di ritardo, a causa del volume V del sistema; (nota: però, le variazioni di portata in un fluido non comprimibile sono istantanee). È evidente che il controllo di questi sistemi presenta difficoltà particolari perché il sistema non si accorge di una perturbazione o degli effetti dell’azione di controllo per tutto il tempo di ritardo.

Quindi il ritardo è definito come il tempo fino al quale non si hanno variazioni in uscita (A

indica la sezione dell’apparecchiatura): vL

vAA

qV

=⋅

==ϑ

Il ritardo può essere visto come il tempo necessario per la propagazione di una variazione in un sistema con flusso a pistone, che può anche ottenersi come una serie di n sistemi in serie a perfetto miscelamento (per n ∞); ovvero un ritardo può essere visto matematicamente come un sistema di ordine infinito. Quando un elemento di ritardo si trova in serie ad un altro sistema, la risposta viene quindi traslata di un tempo pari a θ, rispetto al caso senza ritardo. Ad esempio nel caso di sistema del primo ordine la risposta complessiva diviene quella di un

primo ordine più ritardo (FOPTD), con dinamica data da: ( )θτ −=+⋅ txyydtd

Nel caso di sistema del secondo ordine la risposta complessiva diviene quella di un secondo

ordine più ritardo (SOPTD), con dinamica data da: )(22

22 θτξτ −=+⋅+ txyy

dtdy

dtd



II-10: Sistemi con risposta inversa Per definizione, si ha risposta inversa quando la risposta nel transitorio ha segno diverso rispetto allo stazionario. Concettualmente, il sistema più semplice è costituito da due sistemi del 1° ordine in parallelo:

Il sistema (lineare) ha quindi globalmente come risposta: 21 yyy −= , quindi:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+−=→−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅=→=+⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅=→=+⋅

22

112121

2222222

1111111

expexp;

)exp1(

)exp1(

ττ

ττ

ττ

tktkkktytytyty

tkyxkyydtd

tkyxkyydtd

Analizzando la risposta si vede che, nell’ipotesi che k1>k2, al nuovo stazionario: ( ) 021 >−=∞ kky ,

mentre al tempo iniziale, nell’ipotesi che:2

2

1

1

ττkk

< si ha: 0)0('2

2

1

1 <−=ττkky

Generalizzando, la risposta inversa è tipica dei sistemi per i quali si hanno più effetti in parallelo di segno opposto e gli effetti che prevalgono allo stazionario hanno un peso minore durante il transitorio. Si capisce che il fatto che la risposta nel transitorio ha segno diverso rispetto allo stazionario può creare delle difficoltà per il sistema di controllo. Effetti di risposta inversa si hanno negli evaporatori e in sistemi con variazioni nella portata di vapore; essi possono essere resi meno critici con un corretto dimensionamento.

Ad esempio nell’evaporatore riportato in figura, a un aumento della portata di alimentazione fredda (F), a parità di calore scambiato, corrisponde a regime un aumento di livello (H); nel transitorio si può avere diminuzione, a causa della minore densità del liquido o dimensione delle bolle. Un altro esempio nelle colonne di distillazione dove un aumento di portata di vapore, che a regime porterebbe un aumento di temperatura sui piatti, può provocare una diminuzione di



temperatura nel transitorio a causa del fatto che liquido che trabocca dai piatti superiori (più eddi). fr



II-11: Sistemi di ordine elevato Sistemi di ordine elevato possono essere costituiti da elementi del 1°ordine in serie (es.: miscelatori o reattori in serie, piatti di una colonna di distillazione).

La dinamica è descritta da equazioni differenziali ordinarie del tipo:

( )

( )⎪⎪⎨

====−

−

00yydtd..y

dtd

1n

1n

⎩

=⋅+⋅++⋅

==

txyaydt

a..ya

0t0t

01

a risposta dipende dalle radici della Equazione Caratteristica: nel caso dei sistemi riportati in ur li e e (p1,p per gradino bi isposta so ta, do tori : Yi=Ci ( ntare del nu n

varia

er altri sistemi possono comparire radici di tipo complesso coniugato (p1,p2= a± i b, a<0) le

quali, in analogia con quanto visto nel caso di sistema del secondo ordine con smorzamento ξ <1, danno luogo ad elementi sotto-smorzati nella risposta. Dal punto di vista delle caratteristiche della risposta non ci sono componenti diverse da quelle incontrate nei casi illustrati in precedenza. L’elemento di ritardo è usato molto spesso per approssima a omplesso per mezzo di modelli semplici; ad esempio sistemi di ordine n vengono pprossimati per mezzo di un modello a 3 parametri (FOPTD: K,θ,τ, vedi figura), o in

qualche caso di un modello a 4 parametri (SOPTD: K,θ,τ,ξ, per tener conto della presenza di elementi sotto-smorzati).

⎪⎪

dt nn⎧ dd n

Lfig a, le radici sono rea negativ 2,..pn<0), quindi una variazione aab amo una tipica r vrasmorza vuta alla somma a di termini del tipoexp pi t); all’aume mero di eleme ti in serie diminuisce la velocità di risposta a

zioni in ingresso.

P

re la risposta di un sistemca




II-12: Sistemi Instabili Quelli illustrati precedentemente sono i più comuni elementi che caratterizzano la dinamica di un processo: analiticamente in questi casi, tutte le radici della Equazione Caratteristica sono reali negative, oppure complesse coniugate con parte reale negativa. Nel caso più generale alcune radici della Equazione Caratteristica possono essere reali positive oppure complesse coniugate con parte reale positiva; in questo caso nella risposta compaiono termini che per divergono per t → ∞ (risposta non limitata) dando luogo a un comportamento instabile; è evidente che basta la presenza di un solo polo pBjB> 0, perché ci sia un termine divergente YBjB=CBjB exp(p Bj Bt), determinando instabilità. L’andamento è di tipo monotono, oppure oscillante, per radici reali o complesse coniugate, rispettivamente; i relativi andamenti qualitativi sono riportati nella figura sottostante (n.5 e 6). II-13: Panoramica risposte dinamiche Una panoramica riassuntiva delle risposte al gradino di sistemi diversi è riportata di seguito, mettendo in evidenza la corrispondenza tra le radici dell’Equazione Caratteristica (poli del sistema) e tipo di risposta. N Tipo di Radice EC Polo pBjB Componente YBjB Tipo di risposta 1 Reale negativa pB1 B=a B1 B< 0 YB1 B=CB1 B·exp(pB1 Bt) Monotona; stabile 2 Complessa,

parte reale negativa pB2,BpB2* B=a B2 B±ibB2; Ba B2 B< 0

YB2 B=CB2 B·exp(a B2 Bt) ·sin(b B2 Bt+φ)

Oscillante; Stabile

3 Complessa, parte reale nulla

pB3 B,pB3* B=±ibB3; B YB3 B=CB3 B·sin(b B3 Bt+φ) Oscillante; Stabilità Marginale

4 Reale nulla PB4 B= 0 YB4 B=CB4 B·t Monotona; instabile 5 Reale positiva PB5 B=a B5 B> 0 YB5 B=CB5 B·exp(pB5 Bt) Monotona; instabile 6 Complessa,

parte reale positiva PB6,BpB6* B=a B6 B±ibB6; Ba B6 B> B B 0

YB6 B=CB6 B·exp(a B6 Bt) ·sin(b B6 Bt+φ)

Oscillante; Instabile

Si osserva che nel caso 4, la risposta riportata in tabella è la risposta complessiva per ingresso

a gradino:Y(t)= ∫tAdt

0=A⋅ t (presenza di un polo doppio nell’origine: p B1 B, pB1 B’=0, vedi oltre).

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Dinamica dei Sistemi e Modelli - diccism.unipi.it · le grandezze variano anche in funzione di...

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