of 60
1
UNIVERSITA DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI ENERGETICA S. STECCO
SEZIONE DI MECCANICA APPLICATA
DISPENSE DI MECCANICA APPLICATA: RICHIAMI DI DINAMICA
E MACCHINE ALTERNATIVE
Prof. Ing. P. Toni, Ing. R. Giusti, Ing. E. Meli, Ing. S. Papini, Ing. L. Pugi, Ing. A. Rindi
2
Indice
INDICE ................................................................................................................... 2
1 INTRODUZIONE .......................................................................................... 4
2 RICHIAMI DI DINAMICA NEWTONIANA ..................................................... 5
2.1 SISTEMA COMPOSTO DA UN SINGOLO CORPO RIGIDO ......................................... 5
2.1.1 Punto fisso (precessione) ............................................................................... 7 2.1.2 Asse fisso (rotazione) ..................................................................................... 8
2.2 . SISTEMA COMPOSTO DA N CORPI RIGIDI .......................................................... 9
3 RICHIAMI DI DINAMICA LAGRANGIANA ................................................. 13
3.1 EQUAZIONI DI LAGRANGE (FORMULAZIONE RIDONDANTE) ............................. 13
3.2 EQUAZIONI DI MOTO (FORMULAZIONE RIDONDANTE) ..................................... 17
3.3 EQUAZIONI DI LAGRANGE (FORMULAZIONE NON RIDONDANTE) ..................... 18
3.4 EQUAZIONI DI MOTO (FORMULAZIONE NON RIDONDANTE) .............................. 20
3.5 SISTEMA CON UN GRADO DI LIBERT (FORMULAZIONE NON RIDONDANTE) ..... 21
4 DETERMINAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MOTO DI UN MECCANISMO .. 23
4.1 ESEMPIO DI CASO NON PIANO .......................................................................... 23
4.1.1 Soluzione newtoniana .................................................................................. 24 4.1.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante) ...................................... 26
4.1.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante) ............................... 28
4.2 ESEMPIO DI CASO PIANO .................................................................................. 29
4.2.1 Soluzione newtoniana .................................................................................. 30
4.2.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante) ...................................... 33 4.2.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante) ............................... 35
5 MACCHINE ALTERNATIVE MONOCILINDRICHE ..................................... 37
5.1 MASSE DI SOSTITUZIONE ................................................................................. 37
3
5.2 MANOVELLISMO DI SPINTA ............................................................................. 39
5.2.1 Manovellismo di spinta: cinematica ............................................................ 39
5.2.2 Manovellismo di spinta: masse di sostituzione per la biella ....................... 41 5.2.3 Manovellismo di spinta: dinamica ............................................................... 42 5.2.4 Manovellismo di spinta: bilanciamento ....................................................... 43
6 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE ......................................48
6.1 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: BILANCIAMENTO ..................... 48
6.2 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 2 CILINDRI (2 TEMPI)52
6.3 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 2 CILINDRI (4 TEMPI)53
6.4 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 3 CILINDRI (2 TEMPI)54
6.5 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 3 CILINDRI (4 TEMPI)55
6.6 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 4 CILINDRI (2 TEMPI)56
6.7 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 4 CILINDRI (4 TEMPI)57
6.8 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 6 CILINDRI (4 TEMPI)58
6.9 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 8 CILINDRI (4 TEMPI)59
7 BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................60
4
1 Introduzione
Nella presente trattazione verranno dapprima richiamati alcuni concetti
fondamentali di dinamica sia nella sua formulazione newtoniana che in quella
lagrangiana. In proposito saranno anche proposti, a titolo di esempio, alcuni semplici
esercizi per illustrare lapplicazione dei concetti in questione.
Successivamente verr analizzata nel dettaglio la dinamica delle macchine
alternative monocilindriche con particolare riguardo al bilanciamento di queste ultime.
Infine i concetti validi per le macchine monocilindriche saranno estesi anche alle
macchine alternative pluricilindriche, sempre focalizzando lattenzione sul loro
bilanciamento.
5
2 Richiami di dinamica newtoniana
Lapproccio newtoniano alla studio della dinamica dei sistemi meccanici
concettualmente pi generale e pi potente dellanalogo approccio lagrangiano soprattutto
se si considerano le ipotesi fisiche alla basa della teoria in questione. Tuttavia esso risulta
molto meno sistematico ed automatizzabile rispetto allapproccio lagrangiano; inoltre
lapproccio newtoniano si rivela anche decisamente meno efficiente di quello lagrangiano
per sistemi di grandi dimensioni. Lapproccio lagrangiano risulta infine facilmente
estendibile anche al di fuori dellambito della meccanica.
Nel seguito sar dapprima studiato il moto di un sistema composto da un singolo
corpo rigido. Successivamente i concetti appena introdotti verranno estesi ad un sistema
formato da un numero generico di corpi rigidi (sistema multibody).
2.1 Sistema composto da un singolo corpo rigido
Come noto, le equazioni cardinali della dinamica applicate al singolo corpo
rigido (si veda la Fig. 2.1) assumono la forma
(2.1)
(
)
(2.2)
( ) (2.3)
nelle quali sono state impiegate la seguenti convenzioni
- la terna di centro fissa mentre la terna di centro solidale al corpo
rigido
6
- e [ ] rappresentano la posizione del centro di massa e
lorientazione del corpo (descritta ad esempio mediante gli angoli di Eulero
ZXY); si ricordi che dove
[
] (2.4)
- ( ) la matrice di rotazione che lega la terna fissa alla terna solidale al
corpo ovvero
( )
[
] [
] [
] (2.5)
- e sono la quantit di moto ed il momento angolare del corpo in questione
(come centro di riduzione stato scelto per semplicit il centro di massa
; analogamente, senza alterare la forma delle equazioni, poteva essere
scelto pure un generico punto fisso anche non appartenente al corpo)
- e sono la massa ed il tensore di inerzia del corpo (calcolato rispetto alla
terna di centro solidale al corpo; analogamente sar il tensore di
inerzia calcolato rispetto alla terna solidale al corpo avente centro nel punto
fisso )
- sono i vincoli cinematici agenti sul corpo considerato ( dove il
grado di vincolo rappresenta il numero di gradi di libert tolti dal vincolo);
lapproccio newtoniano non richiede a priori ipotesi particolari sulla struttura
dei vincoli (nel caso in esame si suppone solamente che siano bilateri,
sufficientemente regolari ed indipendenti)
- le forze
ed i corrispondenti momenti
(rispetto a ) sono
rispettivamente le azioni esterne e le azioni dovute ad elementi di forza (molle,
smorzatori, ecc.) e sono funzioni note di e del tempo ; al contrario
,
(rispetto a ) rappresentano le reazioni vincolari e sono a priori
incognite.
7
In questo caso il sistema (2.1)-(2.3) costituito da equazioni in
incognite mentre i gradi di libert associati al corpo risultano essere
. (2.6)
Spesso inoltre, in accordo con il Principio di DAlembert, si introducono nelle
(2.1)-(2.2) le azioni di inerzia definite come
(2.7)
(
); (2.8)
di conseguenza si pu dunque scrivere
(2.9)
. (2.10)
E utile infine ricordare lespressione dellenergia cinetica associata al corpo
rigido considerato ovvero
. (2.11)
2.1.1 Punto fisso (precessione)
Nel caso in esame un punto del corpo fisso. Se si assume il
sistema (2.1)-(2.3) diventa
Figura 2.1 Singolo corpo rigido
8
(2.12)
(
)
(2.13)
. (2.14)
Per quanto riguarda il moto di precessione ( , ) il sistema (2.12)-
(2.14) costituito da equazioni in incognite mentre i gradi di libert associati
al corpo si riducono a
; (2.15)
Infatti, essendo (dove la posizione del centro di massa
nel sistema solidale) e , la (2.13) di per s sufficiente a determinare le
incognite e di conseguenza ; la (2.12) fornisce poi il valore della reazione .
Si noti inoltre che, usando come incognita la velocit angolare espressa nel
sistema solidale al corpo , ricordando che e non considerando i
momenti e
, la (2.13) si riduce allequazione di Eulero
. (2.16)
2.1.2 Asse fisso (rotazione)
In questo caso il corpo ruota attorno ad un asse fisso individuato da un punto e
da un versore (da cui ). Se si assume (da cui ), e
il sistema (2.1)-(2.3) diventa
(2.17)
(
)
(2.18)
(2.19)
Per quanto concerne il moto di rotazione ( , ) il sistema (2.17)-(2.19)
costituito da equazioni in incognite mentre i gradi di libert associati al
corpo si riducono a
. (2.20)
Poich, anche per quanto riguarda la rotazione attorno ad un asse fisso si ha
(dove la posizione del centro di massa nel sistema solidale) e
, la terza componente della (2.18) sufficiente a determinare lincognita e di
conseguenza ; la (2.17) e le prime due componenti della (2.18) forniscono poi il valore
delle reazioni , .
9
In particolare le equazioni (2.17)-(2.18) scritte per esteso diventano
(
) (
)
(
)
(
) (2.21)
(
) (
)
(
)
(
) (2.22)
dove e rappresenta la distanza di dallasse di rotazione del corpo.
2.2 . Sistema composto da N corpi rigidi
Se il sistema in questione composto da corpi rigidi (si veda la Fig. 2.2), le
equazioni cardinali della dinamica assumono la forma
.
(2.23)
(
)
.
(2.24)
( )
(2.25)
( )
(2.26)
nelle quali sono state impiegate la seguenti convenzioni
- la terna di centro fissa mentre la terna di centro solidale al corpo
rigido
- e [ ] rappresentano la posizione del centro di massa e
lorientazione del corpo (descritta ad esempio mediante gli angoli di Eulero
ZXY); si ricordi che (vedi paragrafo 2.1)
10
- ( ) la matrice di rotazione che lega la terna fissa alla terna solidale al
corpo (vedi paragrafo 2.1)
- e sono la quantit di moto ed il momento angolare del corpo in
questione (come centro di riduzione stato scelto per semplicit il centro di
massa ; analogamente, senza alterare la forma delle equazioni, poteva
essere scelto pure un generico punto fisso anche non appartenente al
corpo)
- e sono la massa ed il tensore di inerzia del corpo (calcolato rispetto alla
terna di centro solidale al corpo)
- l vincolo cinematico agente tra lambiente ed il corpo
mentre l vincolo cinematico agente tra il corpo
ed il corpo ( e
dove i gradi di
vincolo , rappresentano il numero di gradi di libert tolti dal vincolo);
nel caso in esame si suppone sempre che i vincoli siano bilateri,
sufficientemente regolari ed indipendenti)
- l azione esterna agente sul corpo, le
azioni dovute ad elementi di forza
,
(provocate rispettivamente
dallinterazione con lambiente e con il corpo) agenti sul
corpo ed i corrispondenti momenti
(rispetto a )
sono funzioni note di e del tempo ;
al contrario le reazioni vincolari ,
, ,
(rispetto a ) sono a
priori incognite.
11
Nel caso di corpi rigidi il sistema costituito dalle (2.23)-(2.26) costituito da
equazioni in
incognite mentre i gradi di libert associati al sistema stesso
risultano essere
. (2.27)
Come per il singolo corpo rigido, in accordo con il Principio di DAlembert, si
introducono nelle (2.23)-(2.26) le azioni di inerzia definite come
(2.28)
(
); (2.29)
di conseguenza si pu ancora scrivere
.
Figura 2.2 N corpi rigidi
12
(2.30)
.
(2.31)
Lenergia cinetica associata allintero sistema di corpi rigidi considerato assume
infine la forma
(
)
. (2.32)
13
3 Richiami di dinamica lagrangiana
Lapproccio lagrangiano alla studio della dinamica dei sistemi meccanici pu
risultare meno generale e meno potente dellanalogo approccio newtoniano soprattutto se
si considerano le ipotesi fisiche alla basa della teoria in questione. Tuttavia esso risulta
molto pi sistematico ed automatizzabile rispetto allapproccio newtoniano; inoltre
lapproccio newtoniano si rivela anche decisamente meno efficiente di quello lagrangiano
per sistemi di grandi dimensioni. Lapproccio lagrangiano risulta infine facilmente
estendibile anche al di fuori dellambito della meccanica.
Nel seguito sar dapprima studiato il moto di un generico sistema composto da un
numero qualsiasi di corpi rigidi (sistema multibody); a tale scopo sar presentata una
versione delle equazioni di Lagrange particolarmente adatta per trattare sistemi vincolati
(basata cio su un insieme ridondante di coordinate lagrangiane e su una funzione
Lagrangiana generalizzata grazie allintroduzione dei moltiplicatori di Lagrange).
Successivamente, come termine di confronto, verr poi analizzato anche
lapproccio lagrangiano classico basato su un insieme non ridondante di coordinate
lagrangiane.
3.1 Equazioni di Lagrange (formulazione ridondante)
Per descrivere lo stato del sistema si introduce il seguente insieme di coordinate
lagrangiane ridondanti
(
) , (
) . (3.1)
14
Per quanto riguarda invece i vincoli, si suppone sempre che essi siano bilateri,
sufficientemente regolari ed indipendenti; si soppone inoltre che i vincoli del sistema
siano anche fissi (scleronomi), lisci ed olonomi. Di conseguenza le equazioni (2.25)-
(2.26) diventano
( )
(3.2)
( )
(3.3)
dove e
; analogamente in forma pi compatta si ha
(3.4)
con e
(i gradi di libert del sistema
sono ).
Fatte queste premesse le equazioni di Lagrange per il sistema di corpi rigidi in
questione possono essere scritte come segue
(
)
(
)
(3.5)
nella quale sono state impiegate la seguenti convenzioni:
- la funzione lagrangiana generalizzata valutabile come
(3.6)
dove lenergia cinetica del sistema, lenergia potenziale e i
moltiplicatori di Lagrange (incogniti).
- sono le forze lagrangiane (indicheremo poi con le forze
lagrangiane associate al singolo corpo e di conseguenza (
) ).
Lenergia cinetica pu essere calcolata considerando i contributi relativi a
ciascun corpo ovvero
[
] (3.7)
dove la matrice diagonale a blocchi
15
. (3.8)
Nel prosieguo della trattazione indicheremo per semplicit con
(3.9)
le azioni attive conservative agenti sul sistema (sia esterne che dovute ad elementi di
forza e causate sia dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi ) e con
(3.10)
le analoghe azioni attive non conservative. Analogamente chiamiamo
(3.11)
le generiche reazioni vincolari conservative agenti sul sistema (incognite e causate sia
dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi); si noti che, essendo i vincoli
lisci, non si hanno reazioni vincolari non conservative.
Le reazioni vincolari (3.11) contengono solamente parametri incogniti e, come
vedremo, possono essere calcolate a partire dai moltiplicatori di Lagrange; la conoscenza
di permette dunque di determinare le reazioni vincolari
.
Definiamo con la parte del vettore associata al vincolo
dell corpo (avente grado di vincolo ); in questo caso per semplicit il
vettore sar riferito sia ai vincoli associati alle reazioni
che a quelli
associati alle reazioni
. Sia poi il minore di
relativo al
vincolo in questione; le relative azioni lagrangiane possono essere calcolate come
. (3.12)
Definiamo quindi una terna associata al vincolo in questione
(solidale alla terna del corpo stesso ) avente origine in
(scritta in terna
) ed orientazione (sempre rispetto a ). Il lavoro virtuale delle reazioni
vincolari agenti sul corpo in questione
(espresse nel sistema di riferimento
16
inerziale e gi ridotte al centro della terna del giunto ) pu essere valutato
come
(3.13)
dove
[
],
,
. (3.14)
Allo stesso tempo si ha
(3.15)
nella quale
(3.16)
(
) ( ) . (3.17)
Dalle (3.13), (3.15) si deduce quindi
(3.18)
( )
(3.19)
da cui
( )
(
)
. (3.20)
Se si interessati alle reazioni vincolari scritte nei sistemi associati ai giunti, si avr in
fine
, (3.21)
. (3.22)
La conoscenza delle azioni attive conservative (3.9) permette inoltre di calcolare
lenergia potenziale del sistema sommando tra loro i contributi associati ai vari corpi:
(3.23)
La conoscenza delle azioni attive non conservative (3.10) consente infine di
valutare le forze lagrangiane ; a tale scopo si sfrutta il Principio dei Lavori Virtuali
ovvero
17
[(
)
(
)
]
[(
)
(
)
]. (3.24)
Essendo poi
(
), (3.25)
si ottiene
(
(
))
(3.26)
3.2 Equazioni di moto (formulazione ridondante)
In base a quanto detto nel paragrafo 3.1 siamo adesso in grado di scrivere per
esteso le equazioni di moto del sistema. Ricordando le (3.5)-(3.7) si ha
[
(
)
]
[ ]
(3.27)
[(
)
]
[(
)
]
[(
)
]
(3.28)
e quindi
[ ]
[(
)
]
[(
)
]
[ ]
. (3.29)
dove
. (3.30)
Il secondo termine al primo membro della (3.29) pu essere anche scritto come
[ ]
(3.31)
nella quale la matrice definita in modo non univoco come
18
. (3.32)
Riscrivendo la (3.29) in termini vettoriali si ottiene infine
(
)
(
)
(3.33)
dove .
La (3.4) e la (3.33) costituiscono un sistema di equazioni algebrico differenziali
di equazioni in incognite. Spesso nei sistemi meccanici si usa derivare
due volte la (3.4) rispetto al tempo ottenendo
(3.34)
[
]
(3.35)
da cui
[
]
. (3.36)
Raggruppando la (3.33) e la (3.36) in ununica equazione si ha quindi
[ (
)
]
(
) (
(
)
). (3.37)
3.3 Equazioni di Lagrange (formulazione non ridondante)
Per lo studio di certi sistemi pu essere utile riferirsi ad un sistema di coordinate
lagrangiane non ridondante
, ( ) ,
(
) . (3.38)
In questo caso i vincoli (per i quali valgono le stesse ipotesi del paragrafo 3.1)
non compaiono esplicitamente nella formulazione del problema e si ha
. (3.39)
Fatte queste premesse le equazioni di Lagrange per il sistema di corpi rigidi in
questione possono essere scritte come segue
19
(
)
(
)
(3.40)
nella quale sono state impiegate la seguenti convenzioni:
- la funzione lagrangiana valutabile come
(3.41)
dove lenergia cinetica del sistema e lenergia potenziale
- sono le forze lagrangiane.
Lenergia cinetica pu essere calcolata considerando i contributi relativi a
ciascun corpo ovvero
( )
(
)
(
)
(
)
[
] (
) (3.42)
dove , e
,
. (3.43)
Ricordando le definizioni stabilite nelle (3.9)-(3.11), si ha che la conoscenza delle
azioni attive conservative (3.9) permette di calcolare lenergia potenziale del sistema
sommando tra loro i contributi associati ai vari corpi:
(3.44)
mentre le reazioni vincolari (3.11) non compaiono esplicitamente nelle equazioni di
Lagrange.
La conoscenza delle azioni attive non conservative (3.10) consente infine di
valutare nuovamente le forze lagrangiane ; a tale scopo si sfrutta sempre il Principio dei
Lavori Virtuali ovvero
20
[(
)
(
)
]
[(
)
(
)
( ) ]
[(
)
(
)
]. (3.45)
Essendo poi
(3.46)
si ottiene
[(
)
(
)]
[(
)
(
)] . (3.47)
Si noti infine come, per determinare le reazioni vincolari (3.11), sia necessario,
dopo avere risolto le equazioni di Lagrange (3.40), impiegare le equazioni di Newton
(2.30)-(2.31) o le equazioni di Lagrange generalizzate (3.37) nelle quali a questo punto la
cinematica del problema ( e ) del tutto nota.
3.4 Equazioni di moto (formulazione non ridondante)
In base a quanto detto nel paragrafo 3.4 siamo adesso in grado di scrivere per
esteso le equazioni di moto del sistema. Ricordando le (3.40)-(3.43) si ha
[
(
)
]
[ ]
(3.48)
[(
)
]
[(
)
]
(3.49)
e quindi
21
[ ]
[(
)
]
. (3.50)
dove
. (3.51)
Il secondo termine al primo membro della (3.50) pu essere anche scritto come
[ ]
(3.52)
nella quale la matrice definita in modo non univoco come
. (3.53)
Riscrivendo la (3.50) in termini vettoriali si ottiene infine
(
)
. (3.54)
dove la (3.54) rappresenta un sistema di equazioni differenziali in incognite.
3.5 Sistema con un grado di libert (formulazione non ridondante)
Se il sistema ammette un solo grado di libert (supponiamo per semplicit ) le
equazioni di moto (3.54) diventano
(3.55)
nella quale valgono le seguenti relazioni:
- per lenergia cinetica
( )
(
)
[
] (
) (3.56)
dove , e
,
(3.57)
- per lelemento
(3.58)
- per lenergia potenziale
22
(3.59)
- per la forza lagrangiana
[(
)
(
)]
[(
)
(
)] . (3.60)
In definitiva le equazioni di moto (3.54) diventano
. (3.61)
23
4 Determinazione delle equazioni di moto di un meccanismo
4.1 Esempio di caso non piano
Il sistema in questione riportato schematicamente in Fig. 4.1. Un albero (corpo
) poggia su due cuscinetti e ; allalbero applicata la coppia motrice mentre in
montata una ruota dentata cilindrica. Tale ruota ingrana con una ruota conica (corpo 2)
mettendola in rotazione attorno al proprio asse. Il corpo 2 poi collegato al corpo 3
mediante un elemento di forza ancorato ai corpi stessi nei punti ed . Si noti come il
moto del sistema in questione non sia nel suo complesso piano (al contrario di quello dei
singoli corpi che lo compongono).
Figura 4.1 Meccanismo non piano
24
4.1.1 Soluzione newtoniana
Il sistema meccanico riportato in Fig. 4.1 composto da corpi distinti
aventi le seguenti caratteristiche dinamiche
[
] [
] [
] (4.1)
ed il cui stato pu essere descritto dalle seguenti grandezze
(
) (4.2)
I vincoli dei sistema possono essere riassunti come segue
- vincolo dovuto ai cuscinetti e (equivalenti a una cerniera cilindrica)
(
)
(4.3)
- vincolo dovuto alle ruote dentate che ingranano in
(4.4)
- vincolo dovuto alla cerniera cilindrica in
(
)
(4.5)
- vincolo di planarit sul corpo 3
(
) . (4.6)
Il sistema ha dunque un numero complessivo di gradi di libert pari a
. (4.7)
Per quanto riguarda invece le azioni esterne si ha
,
(
) (4.8)
25
(
),
(4.9)
(
),
(4.10)
(
),
(4.11)
mentre per quanto concerne le azioni dovute ad elementi di forza si pu scrivere
,
(
) (4.12)
,
(
) (4.13)
,
(4.14)
,
(4.15)
dove
. (4.16)
Le reazioni vincolari agenti sul sistema sono inoltre
(
), (
) (4.17)
(
), (
) (
) (4.18)
(
), (
) (
) (4.19)
(
), (
) (4.20)
(
), (
) (4.21)
per un totale di grandezze incognite (pari al numero di vincoli; si
veda la (4.7)).
Ricordando infine che, nel caso in esame, si ha
26
[
], [
], [
] (4.22)
( ) [
] ( ) [
] [
] (4.23)
le equazioni di moto (2.30)-(2.31) assumono la forma
( )
(4.24)
(
)
(4.25)
( )
(4.26)
(
)
(4.27)
(
)
(4.28)
(
)
. (4.29)
4.1.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante)
Lo stato del sistema descritto dalle solite grandezze del caso precedente
(
) (4.30)
mentre le equazioni di vincolo (4.3)-(4.6) possono essere compattate come segue
(
)
. (4.31)
In virt delle (4.22)-(4.23) le matrici e diventano
[
]
27
[
] [
] (4.32)
(4.33)
mentre le azioni attive conservative agenti sul sistema (sia esterne che dovute ad elementi
di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi ) sono
(
),
(4.34)
(
),
(4.35)
(
),
(4.36)
,
(
) (4.37)
,
(4.38)
,
; (4.39)
a tali azioni si associano le energie potenziali
(4.40)
(4.41)
(4.42)
(4.43)
(4.44)
dove
. (4.45)
Per quanto riguarda invece le azioni attive non conservative agenti sul sistema (sia
esterne che dovute ad elementi di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che
da quella con altri corpi) si ha
,
(
) (4.46)
,
(
) (4.47)
28
e quindi, in termini di forze lagrangiane,
(
(
)
) (
(
)
)
(
(
)
). (4.48)
Per quanto concerne inoltre i moltiplicatori di Lagrange , essi permettono
di determinare la reazioni vincolari (contenenti a loro volta 14 parametri incogniti) come
spiegato nel paragrafo 3.1. Per completezza riportiamo per esteso le reazioni vincolari
associate al sistema studiato:
(
), (
) (4.49)
(
), (
) (
) (4.50)
(
), (
) (
) (4.51)
(
), (
) (4.52)
(
), (
). (4.53)
Notando infine che
costante (essendo lineare) e che di conseguenza
[
]
, (4.54)
le equazioni di moto (3.26) assumono la forma
[ (
)
]
(
) (
(
)
). (4.55)
4.1.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante)
Supponiamo che lo stato del sistema sia descritto dalle seguenti variabili
lagrangiane
29
(
) . (4.56)
Sfruttando le relazioni vincolari (4.3)-(4.6) si ottiene
- per lenergia cinetica
( )
(
)
(
)
(4.57)
- per lenergia potenziale
(4.58)
dove
[
]
(
) [
] (4.59)
- per le forze lagrangiane
(
) (4.60)
. (4.61)
Le equazioni di moto (3.58) diventano a questo punto
( (
) )
(4.62)
(4.63)
(4.64)
. (4.65)
4.2 Esempio di caso piano
Il sistema in questione (macchina alternativa monocilindrica) riportato
schematicamente in Fig. 4.2. Un pistone (corpo ) sottoposto alla forza motrice libero
di scorrere nelle sua sede. Il pistone incernierato in al corpo 2 (biella) che a sua volta
incernierato in al corpo 3 (manovella). Il corpo 3, sul quale agisce la coppia resistente
30
, poi incernierato al telaio in . Come si pu evincere immediatamente dalla Fig. 4.2
il sistema analizzato piano ed ha come piano del moto .
4.2.1 Soluzione newtoniana
Il sistema meccanico riportato in Fig. 4.2 composto da corpi distinti
aventi le seguenti caratteristiche dinamiche
[
] [
] [
](4.66)
ed il cui stato pu essere descritto dalle seguenti grandezze
(
) (4.67)
I vincoli dei sistema possono essere riassunti come segue
- vincolo di planarit del corpo 1
(
) (4.68)
- vincolo di traslazione sul corpo 1
(
) (4.69)
- vincolo dovuto alla cerniera cilindrica in
(
) (4.70)
Figura 4.2 Meccanismo piano
31
dove
(4.71)
- vincolo di planarit del corpo 2
(
) (4.72)
- vincolo dovuto alla cerniera cilindrica in
(
) (4.73)
dove
(4.74)
- vincolo di planarit del corpo 3
(
) (4.75)
- vincolo dovuto alla cerniera cilindrica in
(
) (4.76)
dove
. (4.77)
Il sistema ha dunque un numero complessivo di gradi di libert pari a
. (4.78)
Per quanto riguarda invece le azioni esterne si ha
(
), (4.79)
(
),
(4.80)
(
),
(4.81)
,
(
) (4.82)
32
(
),
(4.83)
mentre per quanto concerne le reazioni vincolari agenti sul sistema si pu scrivere (si noti
che non sono presenti azioni dovute ad elementi di forza)
(
), (
) (4.84)
(
), (
) (4.85)
(
), (4.86)
(
),
(4.87)
(
), (
) (4.88)
(
),
(4.89)
(
),
(4.90)
(
), (
) (4.91)
(
),
(4.92)
per un totale (eccettuati ovviamente i parametri legati ai vincoli di planarit) di
grandezze incognite (pari al numero di vincoli; si veda la (4.68)).
In definitiva le equazioni di moto (2.46)-(2.47) assumono dunque la forma
(
)
(
)
(4.93)
33
( ) (
)
(4.94)
(
) (
)
(4.95)
(
) (
)
(4.96)
(
) (
)
(4.97)
(
) (
)
. (4.98)
4.2.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante)
Lo stato del sistema descritto dalle solite grandezze del caso precedente dalle
quali sono state estratte quelle relative ai gradi di libert piani
(
) (4.99)
mentre le equazioni di vincolo (4.68)-(4.77) possono essere compattate come segue
(
)
. (4.100)
Per quanto riguarda invece le matrici ,
e si ha
[
]
[
] [
] (4.101)
34
, , . (4.102)
Le azioni attive conservative agenti sul sistema (sia esterne che dovute ad elementi
di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi ) sono
(
),
(4.103)
(
),
(4.104)
(
),
; (4.105)
a tali azioni si associano le energie potenziali
(4.106)
(4.107)
. (4.108)
Per quanto concerne poi le azioni attive non conservative agenti sul sistema (sia
esterne che dovute ad elementi di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che
da quella con altri corpi) si ha
(
), (4.109)
,
(
) (4.110)
e quindi, in termini di forze lagrangiane,
(
) (
) (
). (4.111)
Per quanto concerne inoltre i moltiplicatori di Lagrange , essi permettono
di determinare la reazioni vincolari (contenenti a loro volta 17 parametri incogniti) come
spiegato nel paragrafo 3.1. Per completezza riportiamo per esteso le reazioni vincolari
associate al sistema studiato:
(
), (
) (4.112)
(
), (
) (4.113)
35
(
), (4.114)
(
), (
) (4.115)
(
),
(4.116)
(
),
(4.117)
(
),
(4.118)
(
), (
) (4.119)
(
),
. (4.120)
Le equazioni di moto (3.37) assumono dunque la forma
[ (
)
]
(
) (
(
)
). (4.121)
4.2.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante)
Il sistema in questione oltre ad essere piano ammette un solo grado di libert ed
completamente descritto dalla variabile lagrangiana .
. (4.125)
Dalle equazioni di vincolo (4.67)-(4.77) si deduce che
(4.126)
(4.127)
(4.128)
(4.129)
(4.130)
36
(4.131)
da cui si possono ricavare le relazioni , , ,
, , .
Sfruttando tali relazioni si ottengono le seguenti espressioni
- per lenergia cinetica
(
)
(
)
=
(
)
(4.132)
- per lenergia potenziale
(4.133)
- per la forza lagrangiana
( ( )
) . (4.134)
Lequazione di moto (3.65) diventa dunque
. (4.135)
37
5 Macchine alternative monocilindriche
In questo capitolo sar dapprima illustrato il concetto di massa di sostituzione,
strumento particolarmente utile nello studio della dinamica dei sistemi multibody.
Successivamente verr analizzata nel dettaglio la dinamica delle macchine
alternative monocilindriche con particolare riguardo al bilanciamento di queste ultime.
5.1 Masse di sostituzione
Per masse di sostituzione si intende un sistema di punti materiali ( )
dinamicamente equivalente (avente cio la stessa e lo stesso ) ad un dato corpo
rigido (dove i punti [ ] sono espressi in una terna con origine nel centro di
massa del corpo). Se si indicano con e [
] le caratteristiche
inerziali del corpo rigido in questione (riferite sempre ad una terna con origine in ),
lequivalenza dinamica equivale alle seguenti condizioni
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
38
(5.9)
. (5.10)
La prima equazione rappresenta lequivalenza della massa, le equazioni (5.2)-(5.7)
impongono lequivalenza dei momenti di inerzia mentre le equazioni (5.8)-(5.10) e
richiedono la coincidenza dei centri di massa dei due sistemi considerati.
Come incognite nelle (5.1)-(5.10) possono essere scelte ad esempio le masse
da posizionare in punti aventi coordinate prefissate. In questo caso il corpo rigido pu
essere sostituito da un sistema di masse.
Se per entrambi i sistemi si sceglie una terna di riferimento principale con origine
in (per il sistema di punti materiali sufficiente ad esempio che le masse siano
posizionate sugli assi stessi della terna), le (5.1)-(5.10) diventano
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(5.16)
. (5.17)
Se le coordinate dei punti sono prefissate, il corpo rigido pu essere in questo
caso sostituito da un sistema di masse.
Se poi consideriamo un moto piano (con piano del moto ) e disponiamo le
masse sul piano , le equazioni (5.11)-(5.17) assumono la forma
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
nelle quali le equazioni (5.13)-(5.14) non compaiono pi poich i momenti di inerzia e
non influenzano pi il moto. Il corpo rigido pu essere ora sostituito da un sistema di
masse (le coordinate dei punti sono sempre prefissate).
Tale relazioni possono infine ulteriormente ridursi se le masse di sostituzione
vengono posizionate lungo una qualunque retta passante per il centro di massa , ad
esempio sullasse . In questo caso si ha
39
(5.22)
(5.23)
. (5.24)
Il corpo rigido adesso equivalente ad un sistema di sole masse aventi
coordinate prefissate.
5.2 Manovellismo di spinta
Nel seguito verr descritto il funzionamento di un generico manovellismo di
spinta (macchina alternativa monocilindrica) sia da un punto di vista cinematico che da
un punto di vista dinamico. Sar inoltre studiato il possibile bilanciamento di tale
meccanismo.
5.2.1 Manovellismo di spinta: cinematica
Nel seguito faremo riferimento per semplicit alla situazione descritta in Fig. 5.1.
Con si indicato lo spostamento del punto (piede di biella) a partire
dallorigine mentre la posizione di punto morto interno (nella quale il punto si
trova in ). La variabile rappresenta langolo che lasse della manovella forma con
la direzione mentre langolo che lasse della biella forma con la direzione del
moto di ovvero con (in particolare si ha sia nel punto morto interno che in
quello esterno). Indichiamo infine con la lunghezza del raggio di manovella e
con la lunghezza della biella. Proiettando la spezzata sia lungo che in
direzione ad esso normale si ottiene
Figura 5.1 Manovellismo di spinta
40
(5.25)
. (5.26)
Ponendo dalla (5.26) si ha
(5.27)
dove il segno negativo prima della radice necessario perch . La (5.25) diviene
perci
[
]. (5.28)
Per usi correnti la (5.28) pu essere semplificata. Infatti il rapporto quasi
sempre piccolo rispetto allunit (solitamente dellordine di ). Di conseguenza
possibile sviluppare in serie di Taylor la radice presente allinterno della (5.28)
fermandosi ai termini del secondo ordine:
(5.29)
da cui
[
]. (5.30)
Derivando due volte rispetto al tempo la (5.30) si ottengono la velocit e
laccelerazione del punto :
[
] (5.31)
[
]. (5.32)
La (5.32) si riduce poi per alla
. (5.33)
In qualche caso pu essere comodo limitarsi a considerare per , ,
espressioni di prima approssimazione trascurando, nelle (5.30), (5.31) e (5.33), i termini
contenenti rispetto ai termini che non lo contengono ovvero
[
] (5.34)
(5.35)
. (5.36)
Pu essere infine interessante trovare un legame diretto tra le grandezze , ,
. Se consideriamo le relazioni (5.34)-(5.36) si ottiene
(
) (5.37)
(5.38)
41
ovvero una circonferenza ed una retta. Se invece si considerano le (5.30), (5.31), (5.33) si
ottengono equazioni pi complicate. La relazione tra e mantiene solamente la
sua simmetria rispetto allasse delle mentre il legame tra e diventa di tipo
parabolico; le (5.30), (5.33) possono essere infatti scritte come
(
) [
] (5.39)
[ ] (5.40)
da cui
(
)
(5.41)
(
)
. (5.42)
Osservando che , se ne deduce che tra e
esiste una relazione di secondo grado parabolica. In corrispondenza dei punti morti
interno ed esterno ( , ) si ha poi, sempre in base alle (5.30), (5.31), (5.33),
, (5.43)
, (5.44)
,
. (5.45)
5.2.2 Manovellismo di spinta: masse di sostituzione per la biella
Una prima possibile scelta per quanto riguarda le masse di sostituzione della biella
consiste nel posizionare tre masse , e nei punti , e (nel seguito
indicheremo , , ). Di conseguenza le (5.22)-(5.24) diventano
(5.46)
(5.47)
(5.48)
dove e rappresentano le caratteristiche inerziali della biella; da tali relazioni si
ottiene quindi
(5.49)
che, nel caso di asta snella (
), danno
. (5.50)
42
Una soluzione pi comoda, che permette tra le altre cose di calcolare lenergia
cinetica della biella una volta note le velocit di due suoi punti, si ottiene sostituendo la
biella con un sistema equivalente di due masse ed un momento di inerzia puro (al quale
cio non corrisponde una distribuzione di massa reale e che quindi non ha significato
fisico ma solamente algebrico). Indicando tali grandezze con , e si ha
(5.51)
(5.52)
(5.53)
da cui
; (5.54)
nel caso di asta snella (
) si ottiene
. (5.55)
5.2.3 Manovellismo di spinta: dinamica
Per scrivere lequazione di moto della biella, analogamente a quanto fatto nel
paragrafo 4.2.3, possibile partire dalla relazione (3.65) dove . Lenergia cinetica
del sistema la somma dei seguenti contributi
- lenergia cinetica della manovella
(
)
- lenergia cinetica del pistone ovvero
- lenergia cinetica della biella pari allenergia cinetica delle sue masse di
sostituzione (compreso il momento di inerzia fittizio)
nei quali data dalla (5.35)) mentre . Per quanto riguarda langolo ,
derivando la (5.26) si ottiene
(5.56)
da cui essendo
; (5.57)
derivando nuovamente si ha poi
. (5.58)
43
In definitiva dunque lenergia cinetica del sistema assume lespressione
[(
) (
) ]
[ ]
(5.59)
dove il termine rappresenta il contributo delle masse alterne e quello delle masse
rotanti (si note come il momento dinerzia fittizio generi un contributo in entrambi i
termini).
Lenergia dovuta allazione gravitazionale (solitamente trascurabile rispetto alle
altre azioni che agiscono sul sistema) pu essere calcolata come segue
(
) (5.60)
mentre per quanto concerne la forza lagrangiana si ha
(
) . (5.61)
In definitiva dunque lequazione di moto (3.65) diventa
. (5.62)
5.2.4 Manovellismo di spinta: bilanciamento
Si consideri il manovellismo di spinta rappresentato in Fig. 5.2 e si supponga che
la manovella ruoti con velocit angolare . I suoi membri in movimento sono
soggetti alle seguenti forze esterne (si trascura leffetto dellazione gravitazionale):
- la spinta [ ] del fluido agente sulla testa del pistone
- la reazione [ ] esercitata dalle pareti del cilindro (che in assenza di
attrito normale allasse del cilindro stesso)
- la reazione esercitata sulla manovella attraverso la coppia rotoidale in
(decomponibile nelle componenti longitudinali e laterali e ).
- la coppia resistenza applicata alla manovella
44
Per il principio di DAlembert tale sistema di forze equilibrato dalle forze
dinerzia associate alle masse del meccanismo ovvero
- la forza dinerzia delle masse rotanti (forze centrifuga) (
) [ ]
- la forza dinerzia delle masse alterne ( )[ ] dove
data dalla (5.33) e cio
- la coppia dinerzia della biella pari a dove pu essere calcolato con la
(5.58) ovvero .
Imponendo lequilibrio tra le forze suddette si ottiene dunque
(5.63)
(5.64)
(5.65)
dalle quali possibile ricavare le azioni agenti sul telaio
(5.66)
(5.67)
. (5.68)
Figura 5.2 Manovellismo di spinta: bilanciamento
45
La macchina alternativa monocilindrica si dice equilibrato o bilanciato quando la
risultante delle azioni che sollecitano il telaio nulla (ovvero quando si annullano
e ). In generale assai difficile ottenere un bilanciamento
completo ma dal punto di vista tecnico sufficiente annullare i termini alternativi di
maggiore ampiezza che tendono a portare in vibrazione il complesso su sui il telaio
montato. Le azioni agenti sul telaio possono suddivise nel modo seguente:
- linsieme delle due forze verticali
,
agenti rispettivamente in ed in
costituisce una coppia di momento pari a quella agente sulla manovella;
essa detta coppia di reazione del meccanismo ed costante o comunque
varia molto lentamente (per tale motivo non produce particolari inconvenienti)
- la forza [ ] detta forza rotante; essa ha la direzione
dellasse della manovella (ovvero ) e, ruotando con essa a velocit
angolare , tende a portare in vibrazione il telaio nelle direzioni e
- la forza , detta forza alterna, diretta lungo lasse ed ha carattere
periodico essendo proporzionale ad ; essa rappresenta il termine pi
pericoloso essendo di difficile equilibratura
- linsieme delle due forze verticali
,
agenti rispettivamente in ed in
costituisce una coppia di momento pari alla coppia fittizia agente
sulla biella; essa detta coppia dinerzia della biella ed anchessa di tipo
periodico ma in generale di intensit limitata.
Vediamo ora quali possibilit tecniche sussistono per annullare (del tutto o in
parte) la azioni suddette (forza rotante, forza alterna e coppia dinerzia della biella).
La forza rotante pu essere facilmente annullata. Il termine
rappresenta infatti il momento statico rispetto allasse di rotazione della manovella della
massa della manovella stessa e della massa di sostituzione della biella posizionata in ;
esso di conseguenza nullo se il centro di massa della manovella si trova dalla parte
opposta a quella del punto rispetto al centro di rotazione ovvero nel punto definito
come
( ). (5.69)
46
Tale soluzione si realizza molto semplicemente disponendo dei contrappesi
nellalbero a gomiti del motore.
Per quanto riguarda la forza alterna , essa pu essere scomposta in forza alterna
del I ordine e forza alterna del II ordine:
( ) [ ] (5.70)
( ) [ ] (5.71)
In linea teorica entrambe le forze alterne possono essere eliminate se si annulla il
termine
(5.72)
scegliendo
; ci equivale a portare il centro di massa della biella
allesterno del segmento dalla parte di . Una soluzione di questo tipo incontra grosse
difficolt costruttive e non mai stata realizzata. Ne segue che in una macchina
alternativa monocilindrica le forza alterne non possono mai essere del tutto bilanciate.
E possibile tuttavia una compensazione parziale di tali azioni. La forza alterna del
I ordine pu essere infatti immaginata come prodotta da due masse di valore
poste rispettivamente nel punto e nel suo simmetrico rispetto ad e rotanti con
velocit angolare (massa rotante) e (massa controrotante) ovvero
[ ]
[ ] (5.73)
Analogamente le forza alterne del II ordine possono considerarsi dovute a due
masse di valore poste rispettivamente nel punto e nel suo simmetrico
rispetto ad e rotanti con velocit angolare (massa rotante) e (massa
controrotante) ovvero
[ ]
[ ] . (5.74)
Pertanto, poich la componente rotante della forza alterna del I ordine ha la stessa
struttura delle forze rotanti vere e proprie e si somma con esse, pu essere annullata
aumentando semplicemente il contrappeso della manovella di una quantit pari a
. Rimangono tuttavia nono bilanciate la componente controrotante della forza
alterna del I ordine e lintera forza alterna del II ordine.
Per quanto concerne infine la coppia dinerzia della biella , si pu verificare
che essa pu essere annullata con laggiunta di due ulteriori massa e nei punti
47
estremi della biella e ; tali masse, opportunamente dimensionate, annullano leffetto
del momento dinerzia fittizio (si ricordi che negativo). Ci comporta tuttavia un
incremento della massa della biella ed un conseguente aumento sia delle forze alterne che
delle forze rotanti.
48
6 Macchine alternative pluricilindriche
In questo verr analizzato nel dettaglio il bilanciamento delle macchine alternative
pluricilindriche. Gli strumenti di analisi sviluppati saranno poi applicati ad alcuni casi di
particolare interesse pratico.
6.1 Macchine alternative pluricilindriche: bilanciamento
Si consideri la macchina alternativa a cilindri in linea schematicamente
rappresentata in Fig. 6.1.
Figura 6.1 Macchina alternativa a N cilindri in linea
49
Nel seguito, durante lanalisi della macchina alternativa in questione, si supporr
come nel capitolo precedente che ; allo stesso tempo verranno trascurati sia
leffetto dellazione gravitazionale (trascurabile rispetto alle altre azioni in gioco) sia
leffetto della coppia di reazione del meccanismo (costante o comunque variabile molto
lentamente). Alla luce di quanto detto sul telaio della macchina alternativa a cilindri in
linea agiscono le seguenti azioni:
- la somma di tutte le forze alterne e rotanti (gi espresse in componenti )
[ ] [ ]
[
]
(5.75)
(5.76)
nelle quali le grandezze , , e
(oltre ovviamente alla velocit angolare ) sono state ritenute per semplicit
uguali per tutti i cilindri
- la somma dei momenti (calcolati rispetto al punto ) associati a tutte le forze
alterne e rotanti e di quelli associati alle coppie dinerzia delle bielle (gi
espressi in componenti )
(5.77)
[ ] [ ]
[
]
(5.78)
(5.79)
nelle quali uguale per tutti i cilindri.
Per quanto visto in precedenza possibile annullare le singole forze rotanti
contrappesando le singole manovelle; pi semplicemente si pu annullare la loro somma
contrappesando due sole manovelle, ad esempio quelle esterne. Unalternativa assai pi
interessante consiste nel disporre i cilindri in modo che le varie azioni agenti sul telaio si
annullino reciprocamente. Per studiare questo problema prendiamo in considerazione il
contributo delle sole forze alterne
(5.80)
50
. (5.81)
Le quantit e si annullano se zero sia il contributo delle forze alterne del
I ordine
(5.82)
(5.83)
che quello delle forze alterne del II ordine
(5.84)
. (5.85)
Se indichiamo con lo sfasamento della manovella rispetto alla prima
(5.86)
le condizioni (5.82)-(5.85) diventano
(5.87)
(5.88)
(5.89)
; (5.90)
poich poi langolo varia nel tempo, le (5.87)-(5.90) sono soddisfatte se e solo se
(5.91)
(5.92)
(5.93)
(5.94)
(5.95)
(5.96)
(5.97)
. (5.98)
Se ora consideriamo i contributi delle forze rotanti e delle coppie dinerzia delle
bielle si ha
(5.99)
(5.100)
(5.101)
(5.102)
. (5.103)
Le (5.99)-(5.103) si annullano se
51
(5.104)
(5.105)
(5.106)
(5.107)
che, ricordando la (5.86), equivalgono alle
(5.108)
(5.109)
(5.110)
(5.111)
e quindi alle
(5.112)
(5.113)
(5.114)
. (5.115)
Le (5.112)-(5.113) altro non sono che le (5.91)-(5.94). Se ne deduce quindi che, se
sono soddisfatte le condizioni (5.91)-(5.98) (ovvero se sono equilibrate le forze alterne),
allora equilibrato lintero sistema di forze dinerzia.
Si tratta adesso di verificare se le equazioni (5.91)-(5.98) possono essere
soddisfatte nei casi che interessano le applicazioni tecniche. A questo proposito occorre
innanzi tutto osservare che gli angoli sono soggetti allulteriore condizione di
mantenere la massima uniformit possibile della coppia fornita dal motore, tenendo
conto del fatto che la coppia si sviluppa soltanto in alcune fasi del ciclo (fase di scoppio -
espansione). Da questa condizione deriva che sullalbero vi devono essere manovelle
sfasate ciascuna rispetto alla precedente di un angolo pari a
(5.116)
per motori a due tempi e pari a
(5.117)
per motori a quattro tempi ( sempre il numero dei cilindri). Gli angoli ,
indipendentemente dallordine dei pistoni sullalbero, devono dunque prendere i seguenti
valori:
. (5.118)
52
6.2 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 2 cilindri (2 tempi)
(5.119)
(5.120)
(5.121)
(5.122)
(5.123)
(5.124)
(5.125)
(5.126)
Figura 6.2 Albero a gomiti di un motore a 2 cilindri (2 tempi)
Figura 6.3 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 2 cilindri (2 tempi)
53
6.3 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 2 cilindri (4 tempi)
(5.127)
(5.128)
(5.129)
(5.130)
(5.131)
(5.132)
(5.133)
(5.134)
Figura 6.4 Albero a gomiti di un motore a 2 cilindri (4 tempi)
Figura 6.5 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 2 cilindri (4 tempi)
54
6.4 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 3 cilindri (2 tempi)
(5.135)
(5.136)
(5.137)
(5.138)
(5.139)
(5.140)
(5.141)
(5.142)
Figura 6.6 Albero a gomiti di un motore a 3 cilindri (2 tempi)
Figura 6.7 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 3 cilindri (2 tempi)
55
6.5 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 3 cilindri (4 tempi)
(5.143)
(5.144)
(5.145)
(5.146)
(5.147)
(5.148)
(5.149)
(5.150)
Figura 6.8 Albero a gomiti di un motore a 3 cilindri (4 tempi)
Figura 6.9 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 3 cilindri (4 tempi)
56
6.6 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 4 cilindri (2 tempi)
(5.151)
(5.152)
(5.153)
(5.154)
(5.155)
(5.156)
(5.157)
(5.158)
Figura 6.10 Albero a gomiti di un motore a 4 cilindri (2 tempi)
Figura 6.11 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 4 cilindri (2 tempi)
57
6.7 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 4 cilindri (4 tempi)
(5.159)
(5.160)
(5.161)
(5.162)
(5.163)
(5.164)
(5.165)
(5.166)
Figura 6.12 Albero a gomiti di un motore a 4 cilindri (4 tempi)
Figura 6.13 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 4 cilindri (4 tempi)
58
6.8 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 6 cilindri (4 tempi)
(5.167)
(5.168)
(5.169)
(5.170)
(5.171)
(5.172)
(5.173)
(5.174)
Figura 6.14 Albero a gomiti di un motore a 6 cilindri (4 tempi)
Figura 6.15 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 6 cilindri (4 tempi)
59
6.9 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 8 cilindri (4 tempi)
(5.175)
(5.176)
(5.177)
(5.178)
(5.179)
(5.180)
(5.181)
(5.182)
Figura 6.16 Albero a gomiti di un motore a 8 cilindri (4 tempi)
Figura 6.17 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 8 cilindri (4 tempi)
60
7 Bibliografia
[B1] E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti. Meccanica applicata alle macchine.
Patron Editore.
[B2] L. Sciavicco, B. Siciliano. Robotica industriale. McGraw-Hill Editore.
[B3] F. Cheli, E. Pennestr. Cinematica e dinamica dei sistemi multibody. Casa
Editrice Ambrosiana.