1
Problemi, Modelli e Algoritmi Cagliari Numerical Analysis Group - http://bugs.unica.it/cana/ Luisa Fermo, Daniela Lera, Giuseppe Rodriguez Anna Concas, Patricia Díaz De Alba, Caterina Fenu, Gabriele Stocchino Dipartimento di Matematica e Informatica La Matematica Applicata si occupa in generale di riprodurre il comportamento di sistemi fisici mediante opportuni modelli matematici e di sviluppare algoritmi efficaci per la loro analisi. Questo poster illustra in modo sintetico alcuni problemi applicativi studiati dal gruppo di Analisi Numerica del nostro Dipartimento, insieme ai modelli e algoritmi che sono stati utilizzati per analizzarli. Volutamente, non sono stati indicati collegamenti tra le metodologie matematiche e le applicazioni. Gli studenti interessati potranno discuterne a voce con i componenti del gruppo nel corso dell’incontro previsto. Algebra Lineare Numerica Ax=b Av= λv A = LU, QR, X J X -1 ,U ΣV T ,... I sistemi di equazioni lineari sono probabilmente il problema più diffuso nella Matematica Applicata, perché molti modelli continui lineari vengono ricondotti ad essi mediante discretizzazione, e sistemi di equazioni nonlineari possono essere risolti mediante una linearizzazione iterativa. Il calcolo di una soluzione significativa può divenire un compito arduo in presenza di un elevato condizionamento e/o di grandi dimensioni (n 10 3 ). È invece richiesta una riformulazione del problema quando il numero delle equazioni differisce da quello delle variabili o il rango non è pieno. Il calcolo di autovalori e autovettori conduce a problemi computazionali ancora più complessi e diviene del tutto irrisolubile per alcune classi di matrici non diagonalizzabili di dimensioni non banali, conducendo all’introduzione di strumenti alternativi per lo studio delle proprietà delle matrici, quali i valori e vettori singolari. La scelta di un’opportuna fattorizzazione matriciale, completa o parziale, costituisce spesso la chiave per la costruzione di un algoritmo efficiente in termini di accuratezza e complessità. Equazioni Differenziali ( y = f (x, y ) y (x 0 )= y 0 ,x ∈ [x 0 ,b] ( Δu = f u ∂ Ω = u 0 Le equazioni differenziali, ordinarie o a derivate parziali, sono in assoluto il modello più utilizzato nelle scienze applicate. Esse sono utilizzate per descrivere un sistema fisico quando sono note informazioni sul suo comportamento locale. L’Analisi Matematica fornisce gli strumenti per il loro studio, ma quando non è possibile esprimere la soluzione in forma chiusa è necessario calcolarne un’approssimazione numerica. Equazioni Integrali Z b a k (x, y )f (y ) dy = g (x) f (x)+ λ Z b a k (x, y )f (y ) dy = g (x) Quando sono disponibili informazioni globali su un fenomeno, il modello matematico spesso presenta la funzione incognita sotto il segno di integrale. Per ottenere un’approssimazione numerica significativa è necessaria una efficace discretizzazione. In taluni casi essa può portare a problemi malposti. Ottimizzazione min x∈R n f (x) Il problema di determinare i punti di minimo di una funzione è onnipresente in tutti i settori matematici e applicativi. Il calcolo del minimo può essere reso difficoltoso da vari fattori, quali: nonlinearità, condizionamento, caratteristiche del dominio, sensibilità rispetto al punto iniziale, necessità di determinare il minimo globale, etc. Prospezione Geofisica Nella Geofisica Applicata sono comuni tecniche di indagine non distruttive basate sull’uso di onde elettromagnetiche o sismiche. Analisi di reti complesse Quali sono le pagine web più importanti? Come è possibile individuare una comunità in una rete sociale? Come contrastare il diffondersi di una malattia? Traffico veicolare La modellizzazione del traffico veicolare consente di simulare situazioni realistiche e non, in modo da trarre utili indicazioni su come il sistema reale potrebbe rispondere al verificarsi di determinate condizioni. Computer Vision → Il problema dello shape from shading ha lo scopo di ricostruire il modello 3D di un oggetto, a partire da un insieme di fotografie. Image Processing → → L’image deblurring (ricostruzione immagini sfocate) è uno dei tanti problemi matematici interessanti tipico di questo settore di ricerca. 17-20 Ottobre 2016 Corso di Studi in Matematica
