Date post: | 17-Feb-2019 |
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Introduzione Statistiche campionarie
Distribuzioni campionarie
Antonello Maruotti
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Concetti baseSi riprendano le considerazioni fatte nella parte di statisticadescrittiva.
Si vuole studiare una popolazione con riferimento a particolaricaratteristiche di interesse.La popolazione viene esaminata in modo parziale,considerando un campione di unità statistiche, cioè unaggregato di unità, appartenenti alla popolazione diriferimento, selezionate mediante lesperimento dicampionamento.La statistica inferenziale fornisce strumenti e metodi perricavare dai dati campionari informazioni sulla popolazione.L’inferenza statistica studia l’analisi dei dati che costituisconoun campione casuale, cioè selezionato mediante unesperimento casuale (aleatorio).
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Il campione
Se l’obiettivo è quello di ottenere informazioni sullapopolazione utilizzando un suo sottoinsieme, il campione,allora si pone il problema di come estrarre le unità statisticheche entrano a far parte del campione medesimo.Il campione deve essere rappresentativo.La dimensione campionaria viene indicata con n.Regola di selezione di tipo probabilistico ⇒ campione casualesemplice.
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Il campionamento casuale semplice
E’ necessario disporre di una lista di campionamento checontiene tutte le unità statistiche della popolazione.Alle unità della lista viene associato un numero (etichetta).Dall’insieme dei numeri che identificano le unità statistiche nevengono estratti casualmente n.
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Il campione casuale semplice
Le n unità sono estratte in modo tale che:ogni unità della popolazione ha la stessa probabilità di essereestrattale n estrazioni sono effettuate ognuna indipendentementedall’altra
Esistono ovviamente altri metodi di campionamento.E’ semplice dimostrare che l’operazione di estrazione di uncampione casuale semplice dalla popolazione X dà luogo ad unan-pla (X1, X2, . . . , Xn) a componenti indipendenti ed identicamentedistribuite a X .
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
EsempioConsideriamo una popolazione di 4 individui di età: 18,20,22,24.Quali sono i possibilie campioni di numerosità 2?
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Statistiche campionarie
Una volta estratto il campione, calcoliamo su questo una o piùstatistiche (media campionaria, somma campionaria, varianzacampionaria, etc.) utili per fare inferenza.
Osservazioni
Le statistiche assumono valori diversi su campioni diversiLa probabilità che una statistica assuma un determinatovalore dipende dalla probabilità di avere un campione condeterminate caratteristicheOgni statistica è una variabile aleatoria.La loro distribuzione è detta campionaria in quanto è generataconsiderando l’universo di tutti i possibili campioni
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Media campionaria
Riprendiamo l’esempio precedente della popolazione{18, 20, 22, 24}. Osserviamo che µ = 21 e σ2 = 5. Calcoliamo orala distribuzione campionaria della media per n uguale a 1 e 2.
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Media campionaria: valore atteso e varianza
Si dimostra che in generale la media e la varianza della mediacampionaria sono legate ai corrispondenti valori della popolazionenel modo seguente
E (X̄ ) = µ
V (X̄ ) =σ2
n
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Campionamento da popolazione normaleSe la distribuzione della popolazione è di tipo normale allore èpossibile dimostrare che anche la media campionaria ha unadistribuzione di tipo normale.
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Teorema del limite centralePer numerosità sufficientemente elevate la distribuzione dellamedia campionaria è ben approssimata da una normale.
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Distribuzione campionaria
La variabile X assume due soli valori, 1 e 0, con frequenza relativa,rispettivamente, p e 1 − p. E’ semplice verificare che in questomodo per la popolazione risulta
µ = p, σ2 = p(1 − p)
mentre per il campione abbiamo
p̂ = x̄
La particolare codifica adottata ci permette di calcolare laproporzione campionaria come la media del campione e quindi disfruttare le proprietà che conosciamo della media campionaria.
A. Maruotti
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Introduzione Statistiche campionarie
Distribuzione campionaria: proprietà
La media della proporzione campionaria è uguale allaproporzione nella popolazione
µp̂ = µx̄ = µ = p
La deviazione standard è
σp̂ = σx̄ =σ√n =
√p(1 − p)
n
La forma della distribuzione: per il teorema del limite centralesappiamo che per n sufficientemente grande possiamoassumere
p̂ ∼ N(p,p(1 − p)
p )
A. Maruotti