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7/25/2019 effemeridi nautiche Capitol o 08
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Capitolo 8 - Accuratezza della posizione
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Capitolo 8
Accuratezza della posizione
8.0 Generalit
La retta di altezza, come gi studiato nei capitoli precedenti, definita
dai parametri ( )sAzh, e si determina osservando laltezza di un astro.La misura angolare affetta da errori contenuti negli elementi che
servono a calcolarla per cui il suo utilizzo nella determinazione della
posizione anche legato agli errori sia di misura che di calcolo dei due
parametri di cui essa definita.
Nella differenza di altezza h entrano laltezza osservata e corretta vh e
laltezza calcolata sh . La prima, elemento osservato, si misura con ilsestante, perci rimane affetta dagli eventuali errori che pu commettere
losservatore, dagli errori dello strumento di misura (sestante); infine,
dagli errori che dipendono dallambiente circostante (depressione
dellorizzonte, scarsa visibilit , rifrazione astronomica, ecc.); la seconda,
elemento calcolato, insieme con lazimut stimato ( )ss ZAz , si determinain funzione delle coordinate stimate e del tempo del cronometro cT .
Occorre sottolineare, per, che il punto stimato non introduce degli
errori nel calcolo della sh a meno che non si commettono errori di
calcolo; in effetti, nella teoria della linearizzazione dei luoghi diposizione, la misura calcolata una misura esatta perch essa calcolata
per un ben determinato punto della superficie della terra supposta sferica.
Un eventuale errore potrebbe essere introdotto se il punto stimato fosse
molto lontano dal punto reale; in questo caso la sostituzione dellarco di
circonferenza massima tangente alla circonferenza daltezza sul piano di
Mercatore con la circonferenza di altezza linearizzata porta ad un errore;
occorre sottolineare che esso di natura grafica perch sulla carta di
Mercatore si traccia una retta tangente alla c.m. tangente alla curva di
altezza.
Rimane, allora, solo da considerare un eventuale errore sul cronometro,che ha per effetto, di variare le coordinate orarie dellastro osservato.
Inoltre, se le osservazioni usate per la determinazione della posizione
non sono simultanee o considerate tali, occorre anche considerare gli
errori di trasporto legati alla stima del cammino e della rotta della nave.
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8.1 Classificazione degli errori
Quando si procede alla misura di una grandezza di qualsiasi specie
(distanza, angolo, tempo, area,ecc.) la grandezza misurata sempreaffetta da errori che possono essere raggruppati in due distinte classi:
classe di errori che nella misura influiscono sempre nello stessomodo (errori sistematici);
classe di errori che con uguale probabilit possono essere positivio negativi; questi errori sono detti accidentali o aleatori(casuali).
Nel nostro caso, le rette di altezze devono essere considerate affette sia
da errori accidentali che da quelli sistematici.
8.2. Punto astronomico ed incertezza della posizione con rette di
altezza
Nella figura 8.1 sono riportate due rette di altezza ( )21 , rr che siintersecano nel punto O; nellipotesi che le rette sono esenti da errori il
punto Orappresenta, nel sistema di riferimento cartesiano, la posizione
astronomica ottenuta per mezzo delle due osservazioni.
Figura 8.1 Intersezione di due rette di altezza incertezza dellaposizione
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Capitolo 8 - Accuratezza della posizione
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Siano 21 , ss gli errori massimi di cui sono affette le due rette. La
posizione dellosservatore va ricercata allinterno del parallelogrammo
ABCD, delimitato dalle rette parallele alle due rette di altezza distanti daesse degli errori massimi 21 , ss ; larea delimitata definisce larea di
certezza o di incertezza e fornisce lincertezza della posizione Oche pu
essere anche rappresentata dalla semidiagonale dello stesso
parallelogrammo (la semidiagonale fornisce il raggio della circonferenza
di centro O). Calcolando larea del parallelogramma si ha:
CFABS = (8.1)
2
1
2
cos2cos,sin
sCF
ecsecAEABABAE
=
=== (8.2)
per cui
sin
4 21 ssS= (8.3)
Lincertezza della posizione anche data dalla circonferenza di raggio
pari alla diagonale massima del parallelogrammo. La semidiagonale,
applicando il teorema di Carnot al triangolo OKC, data da:
( )
cos2
180cos222
222
OKCKOKCKd
OKCKOKCKd
++=+= (8.4)
Nella seconda delle (8.4), ponendo = 90 , si ha la minima incertezza;in questo caso le due rette di altezza si intersecano perpendicolarmente:
2
2
2
1min
21min 4
+=
=
sd
ssS (8.5)
Quando le due rette di altezza sono affette da errore sistematico (v.figura 8.2) ( )sess == 21 , losservatore si trova sulla bisettrice dellacoppia di angoli definita dalla seguente relazione:
zA=180 (8.6)
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Figura 8.2 Errore sistematico bisettrice di altezza
con Az la differenza di azimut dei due astri osservati. Questa bisettrice denominata bisettrice di altezza; essa si identifica con la retta
iperbolica relativa alla differenza di altezza delle due misure; la coppia
di angoli interessata dalla bisettrice pu essere individuata dalla
convergenza o divergenza delle freccette di cui vengono munite le rette
di altezza indicanti le direzioni azimutale dei due astri osservati.
Figura 8.3 Errori accidentali incertezza della bisettrice di altezza
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La bisettrice di altezza diventa un luogo di posizione e sostituisce le due
rette di altezza. La bisettrice, pur essendo esente da errori sistematici,
affetta dagli errori accidentali presenti nelle misure degli astri. La suaincertezza data dalla seguente relazione:
( )2
cos2
1 Zechs
= (8.7)
con'
2
'
1 hhh = (8.8)
(ben nota in navigazione iperbolica); in effetti, i due astri possono essere
considerati due stazioni iperboliche e la loro bisettrice luogo di
posizione definito dalle differenze di altezza (differenze di distanze)esenti da errore sistematico. Nella Appendice del capitolo riportata la
trattazione statistica dellincertezza della bisettrice la cui equazione :
2cos
2
Zecb
=
(8.9)
Per comprendere lincertezza della bisettrice supponiamo che le rette
espresse da 21 , hh siano affette da errore sistematico sh e da errori
casuali21
,aa
hh dove il pedice aha il significato di errore accidentale;
in questo modo il secondo membro della (8.8) si esprime:
2
1
'
2
'
1
as
as
hhh
hhh
+=
+=
(8.10)
Lincertezza della bisettrice risulta pertanto:
( )2
cos
2
1121
Zechhs aa
= (8.11)
funzione della differenza dazimut tra i due astri e della differenza degli
errori accidentali presenti nelle due misure. A parit di errori,
lincertezza minima si ha quando = 180Z ; in questo caso la bisettricesi dice ottima.
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Figura 8.4 Incertezza della bisettrice di altezza
Nella figura 8.4 gli errori accidentali21
, aa hh sono stati indicati
semplicemente con ( )21 , ee . Pertanto, se le rette di altezza sono affettesoltanto da errori sistematici ( )se , esse forniscono un sicuro luogo di
posizione ma non permettono di determinare la grandezza di questo
errore presente nelle misure. Per ottenere lentit di questo errore
sistematico occorre una terza misura come riportato nelle figure 8.5 e
8.6, nelle quali sono state anche riportate, nel punto stimato sZ , ledirezioni degli astri osservati.
Figura 8.5 Area di certezza ed errore sistematico
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Figura 8.6Area di certezza ed errore sistematico
Nelle figure 8.5 e 8.6 le rette 321 ,, rrr relative a tre osservazioni di astri
danno luogo ad un triangolo(triangolo di certezza) e le bisettrici
associate alle coppie di rette determinano la posizione dellosservatore.
La distanza di questo punto dalle rette di altezza fornisce lerrore
sistematico ( )ss eh = . Lerrore sistematico positivo se dal centro deltriangolo il verso rivolto allastro altrimenti negativo. Il punto Ocade
allinterno del triangolo di certezza se la somma delle tre differenze
dazimut ( )321 ,, ZZZ maggiore di 180,caso di figura 8.5,altrimenti capita allesterno (caso di figura 8.6). Risulta abbastanza
evidente che, quando il punto cade fuori dellarea di certezza, occorre
dare poca fiducia al punto ottenuto con le tre bisettrici che si incontrano
allesterno. Nella pratica di bordo, quando si verifica la geometria delle
rette di altezza rappresentate in figura 8.6, si d fiducia alle rette ( )31 , rr e
la posizione si determina con lintersezione con la terza retta ( )2r . Inquesto caso, comunque, sempre losservatore che da fiducia alle rette
perch conosce le condizioni di osservazione delle misure di altezza
degli astri. Larea di certezza o di incertezza pu essere miglioratacalcolando la posizione astronomica con 4 o pi rette di altezza (v.
figura 8.7).
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Figura 8.7Area di certezza con 4 rette di altezza
Nel caso specifico di punto astronomico con 4 rette di altezza affette da
errore sistematico possibile ottenere il punto con lintersezione di due
bisettrici ottimali considerando quelle ottenute da rette di altezza che
differiscono di una differenza dazimut circa 180 (rette opposte) . Con
questa configurazione, supposto che le due bisettrici sono affette da due
differenti varianze, la statistica ci fornisce lincertezza del punto
astronomico.
e
sin
2
sin
2
2
2
1 +
= (8.12)
La relazione (8.12) calcolata nellipotesi che si conoscono le varianze
per le singole coppie oppure che tutti gli errori sulle rette possano essere
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immaginate appartenenti ad un ambiente di errori casuali indipendenti
ed espresse dalla varianza 222
1
2 ==e .
Se le zone di certezza delimitate dalle due coppie di rette di altezzarispetto alle quale sono tracciate le bisettrici hanno uguale ampiezza, la
distanza del punto ottenuto dallincontro delle due bisettrici da una delle
quattro rette fornisce lerrore sistematico di cui sono affette le bisettrici.
Figura 8.8Errori e1ed e2delle bisettrici
Se le zone di certezza delimitate dalle coppie di rette non hanno la stessa
ampiezza, lerrore sistematico pu essere considerato come ottenuto
dalla media delle due distanze minime del punto di incontro delle
bisettrici da una retta di ciascuna coppia. Se indichiamo con ( )21 ,ee ledistanze considerate come errori, lerrore sistematico delle bisettrici :
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212121
22ee
eeeee
+=
+= (8.13)
con la deviazione standard degli errori (v. relazione 8.A.8).
La (8.13) fornisce un errore accidentale piccolo quando gli errori hanno
lo stesso segno; nel caso contrario lerrore accidentale grande.
Questultima situazione si verifica quando lerrore di una coppia ha
segno contrario dellaltra coppia. In questo caso consigliabile di non
considerare il punto con le bisettrici ma di considerare larea di certezza
delimitata dalle due coppie di rette di altezza. Questo caso si ottimizza
applicando la tecnica dellottimizzazione degli errori (metodo dei
minimi quadrati).
8.3 Punto pi probabile (PPP) con rette di altezza
Abbiamo visto che nelle misure di altezze, la conoscenza del punto
stimato permette di associare alla misura di altezza vh , lequazione della
circonferenza di altezza e di calcolare la distanza sh , per mezzo delle
ben note relazioni trigonometriche sferiche applicate al triangolo stimato
di posizione (vedi figura 8.9):
Pn
cA
dA
AG
O
Ps
Os
Figura 8.9 Triangoli sferici associati agli osservatori Z(O)ed Zs(Os)
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( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
dL
dL
LddLL
ecZ
ssss
ASsASAss
ASsAsAs
+
+=++=
=
+=
,,,
cotsincostancoscot
coscoscossinsinsinh
per cui applicando lo sviluppo in serie di Taylor alla prima delle
relazioni (8.14) ed arrestandosi ai termini del I ordine si ha:
( ) ( )
( ) ( )( )
+++
++=++==
dd
dddfLh
sAAs
As
sscoscos,cos
sin,sinsin, 1
Dopo lo sviluppo, si ottiene la seguente linearizzazione della curva di
altezza:
21 hhl += (8.14)
i cui coefficienti 21 heh hanno il seguente significato:
( ) ( )ssLLl ,, = , sss
Zf
h sincos1
=
=
s
s
Zf
h cos2 =
=
Questi coefficienti sostituiti nella (8.14) , permettono di scrivere
lequazione della retta di altezza sulla carta:
ssssv ZZhh cossincos += (8.15)
Dalla (8.15) si possono ricavare lequazione della retta di altezza per il
piano di Mercatore e quella per il piano nautico per mezzo delle
relazioni di corrispondenza con le quali sono costruite le carte.
Per il piano nautico si ha:
s
sssv
x
y
yZxZhhh
cos
cossin
=
=
+==
(8.16)
per il piano di Mercatore si ha:
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==
+=
x
y
yZxZh
s
sss
sec
cossinsec
(8.17)
il primo membro rappresenta limporto della differenza tra la distanza
calcolata e quella misurata valutato sulla scala delle latitudini del piano
di Mercatore. Allora, tenendo presente questa ultima propriet,
lequazione (8.17) si generalizza nella seguente:
s
ss
hH
HyZxZ
sec
0cossin
=
=+
(8.18)
Nel caso di nosservazioni di astri, la loro linearizzazione porta al
seguente sistema di nequazione in due incognite:
=+
=+
=+
=+
=+
+++
0cossin
0cossin
0cossin
0cossin
0cossin
111
222
111
nnn
iii
iii
HyAzxAz
HyAzxAz
HyAzxAz
HyAzxAz
HyAzxAz
(8.19)
In questo sistema ogni equazione rappresenta un retta di altezza; i
coefficienti che dipendono dallazimut Az rappresentano i coseni
direttori della retta rappresentata sul piano nautico o sul piano di
mercatore, i valori iH contengono gli errori di misura.
Il sistema (8.19) sovradimensionato dato che sono sufficienti dueequazioni per determinare la soluzione ma comunque questa affetta da
errori di misura; infatti scegliendo altre due generiche equazioni la
soluzione sar sicuramente diversa dalla precedente dato che gli errori di
tipo accidentali, pur appartenendo alla famiglia degli errori aleatori,
sicuramente non sono gli stessi di quelli delle due precedenti equazioni.
In effetti il sistema compatibile ma ammette n-2soluzioni.
Se indichiamo con eiil generico errore di cui affetta la misura iH il
sistema (8.19) diventa:
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=+
=+
=+
=+
=+
++++
nnnn
iiii
iiii
eHyAzxAz
eHyAzxAz
eHyAzxAz
eHyAzxAz
eHyAzxAz
cossin
cossin
cossin
cossin
cossin
1111
2222
1111
(8.20)
In questo caso il sistema diventa compatibile ma indeterminato dato che
nel sistema n equazioni sono contenuti n+2 incognite. Per la sua
soluzione si ricorre al principio dei minimi quadrati supponendo che il
punto pi probabile ( ) ( ),, yx tra le infinite soluzioni abbia lacaratteristica di corrispondere alla condizione:
minimovalore1
2 ==
n
i
ie (8.21)
Figura 8.10 Rette di altezza - PPP con 8 osservazioni di altezza
Gli errori accidentali, come gi precedentemente visto nel caso di punto
con 2,3 e 4 rette di altezza, rappresentano spostamenti paralleli per ogni
corrispondente retta iH il principio equivale a dire che il punto pi
probabile di incontro delle rette in assenza di errori quello per cui la
somma dei quadrati delle distanze dalle rette errate minima.
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eHHx += (8.22)
=
=
=
=
++++
n
i
i
n
i
i
nn
ii
ii
e
e
e
e
e
e
H
H
H
H
H
H
ba
ba
ba
ba
ba
Hx
1
2
1
1
2
1
11
22
11
,,,
(8.23)
Nella quali i coefficienti ( )ii ba , indicano i coseni direttori presenti nelsistema (8.20),xil vettore posizione, H il vettore misura ed eil vettorecolonna degli errori.
Si potrebbe allora pensare che il punto pi probabile debba coincidere
con il baricentro della figura geometrica riportata in figura 8.10. In realt
ci non sempre si verifica. Per esempio, nel caso di tre rette di altezza,
(v. figura 8.5) il baricentro dato dallincontro delle tre mediane, mentre,
come si vedr pi avanti, il punto pi probabile si trova nellintersezione
delle tre simediane (rette simmetriche alle mediane rispetto alle
bisettrici). La figura (8.6) mostra, al contrario di quanto appena detto,invece un caso particolare dato che in questo caso il punto ottenuto con
lintersezione delle bisettrici si trova allesterno della figura geometrica
il cui baricentro sicuramente si trova allinterno della stessa. La tecnica
dei minimi quadrati assicura sempre che il punto pi probabile sta
sempre allinterno della figura geometria delimitata dalle n rette di
altezza. Il principio dei minimi quadrati pu dunque essere applicato
quando si suppongono trascurabili gli errori sistematici rispetto a quelli
accidentali. Nel caso contrario, quando si ritengono preoccupanti
entrambe le categorie di errori, bisogner operare in modo da tener conto
degli errori sistematici e successivamente, dopo averli eliminati,applicare il metodo dei minimi quadrati.
Dopo questa ampia discussione, passiamo ora alla trattazione
matematica del problema. Il sistema (8.20), in forma matriciale si pu
scrivere nella seguente forma vettoriale:
[ ]HHxe = (8.24)
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dove e il vettore degli errori, H la matrice di misura, x il vettore
posizione e H il vettore di misura.
Se indichiamo con
[ ]
[ ]
==
==
+=
+=
n
i
iiii
n
i
i
n
i
iii
n
i
i
Hdbxawe
Hdbxae
1
2
1
2
1
2
1
2
pesomatrice10 iw (8.25)
nella quale wi una matrice peso che ottimizza le misure. Allora la
(8.25) pu esprimersi anche nella seguente forma vettoriale:
( ) ( )
0)(
)(
=
=
dx
xdF
HHxwhHxxFT
(8.26)
[ ]
[ ]HwHwHxHHwHxwAHxdx
d
HwHwHxHHwHxwAxHxdx
d
dx
xdF
TTTTT
TTTTTT
+=
+=
2
)(
HwHwHxH
HwHwAxH
TT
TT
=
==
2
022
( ) HwHwHHx TT = 1 (8.27)
La equazione vettoriale (8.27) trovata fornisce le coordinate del punto
pi probabile rispetto al punto stimato Os.
8.4 Punto pi probabile (PPP) con 3 rette di altezza
Nel caso generale di n osservazioni, il sistema (8.27) fornisce la
soluzione del punto astronomico in forma matriciale. Lo stesso risultato
si pu ottenere graficamente tracciando le rette sulla carta e siano note i
lati e gli angoli della figura geometrica formata dalle rette di altezza.
Questo metodo grafico permette, nel caso di tre rette di altezza, di
trovare il punto pi probabile con lintersezione delle tre simediane.
Sia ABC il triangolo definito da tre osservazioni di astri i cui lati
rappresentano tre rette di altezza. Per semplificare la geometria
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introduciamo un sistema di riferimento il cui asse orizzontale sia
parallelo al lato AB. Siano ( ) ,, i tre angoli corrispondenti ai vertici.
Sia ( )yxO , il punto considerato allinterno del triangolo ABC e siano( )321 ,, eee le distanze minime del punto Odai latiAC,BC,AB.
Figura 8.11 PPPcon 3 rette di altezza
Dalla geometria del triangolo di figura 8.11 si ottengono le seguenti
relazioni:
( ) yc-xFBFLyFMxNFGOFFOMBAyOFxcBxAFcAB
eOFeOQeOD
cosOG,sinsin,cos,sin
,,,,,,,
,, 321
=====
========
===
)))
Per essere Oil punto pi probabile, la somma dei quadrati delle distanze
( )321 ,, eee dovr essere minima:
minimovalore
3
1
2
==iie (8.28)
Per soddisfare questa condizione occorre per prima trovare le
espressioni analitiche di ( )321 ,, eee in termini dei lati e degli angoli deltriangoloABCsupposti noti. Dalla geometria di figura 8.11 si ha:
( )
cossin
cossin
2
1
3
yxOGFNe
yxcMOFLMOMDe
yOFe
==
===
==
(8.29)
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La (8.28), esplicitata, fornisce le seguenti condizioni:
02
02
33
22
11
3
1
33
22
11
3
1
=
+
+
=
=+
+
=
=
=
y
ee
y
ee
y
ee
y
ee
xee
xee
xee
xee
i i
ii
i i
ii
(8.30)
Le derivate, presenti nelle (8.30), si calcolano per mezzo delle relazioni
geometriche trovate per il punto O:
1,cos,cos
0,sin,sin
321
321
===
=
=
=
ye
ye
ye
x
e
x
e
x
e
(8.31)
Cosicch, applicando le condizioni (8.30) per mezzo delle (8.29) e
(8.31), si ha:
( )[ ] [ ]( )[ ] [ ] 0coscossincoscossin
0sincossinsincossin
=+
=+
yyxyxc
yxyxc
Dal quale si ricavano le condizioni poste dal principio dei minimi
quadrati per il caso delle tre rette di altezza:
[ ] [ ][ ] [ ]
=+++
=
cossin1coscoscossincossin
sincossincossinsinsin22
222
cyx
cyx (8.32)
La soluzione del sistema (8.32) fornisce le coordinate del punto che
soddisfa la condizione (8.28); inoltre, le relazioni (8.30) e (8.31)
permettono di trovare una importante propriet.
Sostituendo le (8.31) nelle (8.30) si ha:
0coscos
0sinsin
321
21
=+
=+
eee
ee
(8.33)
Le due equazioni trovate rappresentano:
la prima il teorema dei seni; la seconda il teorema delle proiezioni.
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314
Osservando che ai seni degli angoli possibile sostituire i lati opposti, si
trova limportante propriet che le minime distanze che definiscono il
punto pi probabile sono proporzionali ai lati del triangolo delimitatodalle tre rette di altezza:
c
e
b
e
a
e 321 == (8.34)
8.5 Punto pi probabile (PPP) con le simediane
Le propriet trovate nel paragrafo precedente permettono di determinare
graficamente il punto pi probabile come intersezione delle tre
simediane. Per definizione, la simediana una retta simmetria alla
mediana rispetto alla bisettrice.
Per dimostrare questa propriet, consideriamo il triangolo di figura 8.12
nel quale, a partire dal verticeAal BC, oppostoA, sono state tracciate la
mediana (AM), la bisettrice (Ab) e la simediana (AS).
Figura 8.12 PPP con le simediane
Dai triangoli AMC e AMB con il lato in comune AM, indichiamo con
21 , i due angoli nel vertice A e sia L un generico punto posto sulla
simediana con 32 , eLTeLQ == .
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Applicando il teorema dei seni al triangoloABC,AMCeAMBsi ha:
12 sinsin,
sinsin,
sinsin
CMAMBMAMcb===
12
1
2
sin
sin
sin
sinBM,CM,
sin
sin
sin
sin
,sin
sin
==
=
=
=CMAM
BMAM
b
c
2
1
sin
sin
sin
sin
==
b
c (8.35)
e richiamando la propriet (8.34) si ha:
2
1
2
3
sin
sin
==
e
e
b
c
(8.36)
Inoltre, dai triangoli rettangoliALTeALQsi ottengono le due relazioni:
3
4
2
33243
sin
sin,sin,sin
===
e
eALeALe (8.37)
Infine, dal confronto tra (8.36) e (8.37):
3
4
2
1
2
3
sin
sin
sin
sin
==
e
e (8.38)
si ricava limportante propriet:
e 3241 == (8.39)
essendo il punto L individuato dalle simediane e soddisfacendo alla
condizione (8.34), esso rappresenta un punto che soddisfa la condizione
di punto pi probabile. Dopo di che, tracciando una seconda simediana
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possibile definire il punto pi probabile allinterno del triangolo
delimitato dalle tre rette di altezza.
La figura 8.13 fornisce la differenza tra punto pi probabile trovato permezzo delle tre simediane ed il punto definito con le tre bisettrici.
Figura 8.13 Punto astronomico (PPP) con intersezione delle tre
simediane
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Capitolo 8 - Accuratezza della posizione
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Capito 8 - Appendice A
8.A.1 Calcolo dellincertezza della bisettrice di altezza.
In figura 8.A.1 sono rappresentate le rette r1e r2affette rispettivamente
degli errori e1e e2relativamente alle osservazioni degli astri A1e A2di
azimut Z1(Az1)e Z2(Az2). Le rette sono state tracciate dispetto ad un
ipotetico punto stimato Zsriportato in figura. La bisettrice b tracciata
sia passante per lintersezione delle due rette (r1, r2) che per il punto di
intersezione delle due rette affette dagli errori e1 ,e2. il vettore e
rappresenta lincertezza della bisettrice di altezza da calcolare.
Figura 8.A.1Geometria dellincertezza della bisettrice di altezza
I due astri osservati sono indicati dai due versori (i, j) rispettivamente
per gli astriA1eA2.
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Gli errori e1 e e2,(considerati positivi nella figura), possono essere
espressi per mezzo della distanzaPP2, con i due seguenti prodotti scalari:
jPPe
iPPe
=
=
22
21 (8.A.1)
La loro differenza fornisce il vettore e:
( )jiPPee = 221 (8.A.2)
Il modulo del vettore ( )ji si ricava applicando la relazione di Carnot:
( )
2sin2
2sin4
2sin22
)cos1(2cos211
cos2
222
12
222
Zji
ZZji
ZZ
ZZjijiji
=
=
=
=+=
=+=
(8.A.3)
Il modulo del vettore differenza, dato dalla (8.A.3), ha per versore
langolo formato tra la perpendicolare alla bisettrice e la congiungentePcon P2. Dopo queste considerazioni vettoriali, la (8.A.2) pu essere
espressa dalla seguente relazione:
2sin2 221
ZkPPee
= (8.A.4)
nella quale stato introdotto il versore k perpendicolare alla bisettrice.
Dalla figura (8.A.1) , si pu allora osservare che lincertezza della
bisettrice proprio kPPe = 2 , per cui dopo la sostituzione nella (8.A.4)
si ha:
( )2
cos2
121
Zeceee
= (8.A.5)
La relazione trovata fornisce lincertezza della bisettrice prodotta dagli
errori accidentali elementari ( )21 ,ee di cui sono affette le due rette dialtezza considerate ( )21 , rr .
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Capitolo 8 - Accuratezza della posizione
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Lincertezza trovata pu essere valutata in termini probabilistici
considerando la teoria statistica degli errori aleatori dato che ogni errore
elementare pu essere considerato probabilistico ed appartenente ad unafamiglia di errori casuali ed indipendenti. In questo caso, considerando
infiniti gli errori, allerrore elementare pu sostituirsi , la corrispondente
varianza degli errori.
Richiamando la teoria probabilistica sugli errori casuali che stabilisce
che per ogni variabile casuale combinazione lineare di variabili casuali
indipendenti assegna la sua appartenenza alla legge normale
(distribuzione gaussiana), allora alla (8.A.4), nellipotesi che le due rette
siano affette da infiniti errori casuali:
( ) ( ) ( )2
cos24
1 2
1
21
1
22
1
21
1
2 Zec
n
ee
n
e
n
e
n
e n
i
in
i
in
i
in
i
i
+= ====
(8.A.6)
Per la natura degli errori, le sommatorie nella (8.A.6) hanno il seguente
significato:
( ) ( ) ( )0,,,
1
21
1
2
22
1
2
12
1
22
21====
====
n
i
in
i
ie
n
i
ie
n
i
ie
n
ee
n
e
n
e
n
e
Essendo nullo il prodotto 21ee perch entrambi gli errori hanno la stessa
probabilit di essere errori positivi e negativi per cui per n
sufficientemente grande la somma finale dei prodotti nulla. Lerrore
della bisettrice, dovuta agli errori accidentali presenti nelle due rette di
altezze, pu essere espressa dalla seguente relazione:
2cos
2
22
11 Zec
ee
e
+=
(8.A.7)
E da ricordare che la deviazione standard per gli errori casuali :
( ) ( )[ ]
( )21
212
2
2
12
con2
1
ee
eeeeeee mmm
=
+=+=
(8.A.8)
con la deviazione standard.
Una ulteriore semplificazione della (8.A.7) pu essere ottenuta
considerando che le due rette di altezza affette da errori sono state
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osservate dallo stesso osservatore . In queste condizioni si pu osservare
che le condizioni di osservazione non sono cambiate per cui le due
varianze posso essere pensate appartenenti allo stessa famiglia di erroricasuali e possono essere considerate uguali. Dopo queste semplici
considerazioni statistiche, lincertezza della bisettrice di altezza
espressa dalla seguente relazione:
2cos
22cos
2
2 Zec
Zecb
=
=
(8.A.8)
con b scarto quadratico medio della bisettrice di altezza e scarto
quadratico medio delle misure. Si pu osservare che oltre alla varianza
degli errori di misura, lerrore della bisettrice dipende dalla differenza di
azimut tra le due rette di altezza. Da questa considerazione si ottengono
le due seguenti importanti relazioni:
=
bZ
bZ
0lim
2
2lim
(8.A.9)
La bisettrice gode della massima accuratezza quando la differenza
dazimut a tende a 180 ( rette di altezza opposte). La bisettrice di
altezza perde di significato (incertezza massima) quando la differenza di
azimut nulla.
Figura 8.A.2Bisettrice di altezza per differenti valori di Z