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Elettronica di Front End nei rivelatori di particelle Flavio Dal Corso I tecnologo INFN-Padova Corso di formazione per personale tecnico giugno luglio 2011

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2 Sommario Introduzione Analog Signal processing nei rivelatori di particelle Breve ripasso di elettronica fondamentale Transistors - BJT, JFET, MOSFET La transconduttanza Circuiti basilari LAmplificatore Operazionale Funzione di trasferimento Impedenza dingresso con reazione R||C Teoria del rumore Rumore come processo stocastico ergodico Potenza del rumore e spettro di potenza Trasformazione dello spettro di rumore nei sistemi lineari Tipi di rumore Johnson, Shot, Flicker Rappresentazione del rumore nelle reti relazione tre noise figure, temperatura di rumore e spettro del rumore Rumore nei componenti Resistori BJT, JFET, MOSFET Amplificatore Operazionale

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3 Formazione del segnale nei rivelatori Teorema di Shokley-Ramo Soluzioni particolari Blocchi funzionali di una catena analogica Modello del detector accoppiamento DC o AC Preamplificatore Disegno di un amplificatore di carica Un amplificatore integrato custom Shaper (filtro) Teoria del filtro ottimo per misura di energia Spettro di rumore in ingresso Spettro di rumore in uscita ENC Forma del filtro ottimo Altre cause di perdita di risoluzione Panoramica sui filtri reali Filtri semigaussiani a poli complessi coniugati Uno shaper semigaussiano commerciale Uno shaper semigaussiano integrato Preamplificatori per situazioni particolari Adattamento ottimale con rivelatori ad alta capacit Matching capacitivo Matching con trasformatore Terminazione attiva

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4 Un premaplificatore commerciale Un premaplificatore a componenti discreti per rivelatore a bassa capacit Filtro ottimo per misura del tempo Read-out Acquisizione Sample & hold Peak Detector Pipeline Analogica Conversione digitale Wilkinson ADC ADC ad integrazione Dual Slope ADC ad inseguimento ADC ad approssimazioni successive Flash ADC ADC Riferimenti e bibliografia

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5 Analog Signal Processing nei rivelatori di particelle Lobbiettivo fondamentale del processamento dei segnali fornito dai rivelatori estrarre le informazioni rilevanti dal rumore ovunque presente, ottenendo il migliore rapporto possibile tra il segnale utile e il rumore. Sono due le quantit di maggior importanza che si possono estrarre dal segnale di un rivelatore: la sua ampiezza e il tempo di occorrenza. Lampiezza correlata allenergia e al tipo di particella; la misura di tempo serve per lo pi alla sua localizzazione (sebbene talvolta la posizione si ricavi da misure di baricentro delle ampiezze in canali contigui). I rivelatori che qui ci interessano rivelano il passaggio di una particella dalla ionizzazione di un opportuno mezzo. Rilasciano quindi un segnale elettrico tipicamente una certa quantit di carica elettrica in qualche misura proporzionale allenergia della particella incidente.

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6 Rivelatori che non producono un segnale elettrico (erenkov, transition radiation, scintillatori ) richiedono eventualmente un secondo stadio di rivelazione che trasformi il segnale originale in segnale elettrico (rivelatori ad effetto fotoelettrico: PM, MCP, SiPD, APD, HPD, SiPM ). Dal punto di vista dellelettronica questultimo il rivelatore. In altre situazioni la proporzionalit con lenergia abbandonata a favore di un segnale pi ampio, qualora serva solo la misura di posizione o di tempo sulla particella incidente; (RPC, LST, contatori Geiger ). In tali casi allelettronica pu non essere richiesta amplificazione e ottimizzazione del rapporto segnale/rumore, bastando una immediata digitalizzazione (discriminatori). Nota sul termine elettronica di front-end Spesso (anche in questa dispensa) questa locuzione usata per indicare complessivamente lelettronica di processamento dei segnali analogici sviluppati dai rivelatori di particelle, mentre a stretto rigore di termini, essa dovrebbe indicare solo lelettronica che riceve immediatamente il segnale del rivelatore e che posta nelle sue immediate vicinanze. Solitamente solo uno stadio (preamplificatore o discriminatore) dellintera catena di processamento risiede fisicamente vicino al rivelatore.

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7 Lelettronica di front end pu dover affrontare due diverse situazioni: 1.La carica proporzionale allenergia della particella incidente (rivelatori proporzionali) a)misura analogica della carica b)misura analogica del tempo amplificatori di carica filtro ottimo (a e b differiscono al livello del circuito di campionamento) 2.La proporzionalit con lenergia abbandonata a favore di un segnale pi ampio, e serve solo linformazione sul tempo di occorrenza del segnale nel rivelatore (RPC, LST, contatori Geiger) a)misura digitale del tempo discriminatori Questo corso sar dedicato alle tecniche di processamento analogico finalizzate alla ottimizzazione delle misure di ampiezza e di tempo (punto 1), lasciando ad altra occasione le tecniche basate su discriminatori (punto 2)

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8 A grandi linee possiamo intendere per signal processing la formazione del segnale nel rivelatore dovuta al passaggio della particella, la sua amplificazione e formatura (signal shaping) utili ad ottenere il migliore rapporto segnale/rumore, e il read-out. Pertanto il corpo principale del corso sar organizzato in tre parti: 1.studio della formazione del segnale nei rivelatori; 2.tecniche di processamento analogico, con particolare attenzione alle tecniche di disegno degli amplificatori di carica, e presentazione di una ampia panoramica sui filtri; 3.dedicata alle diverse tecniche di campionatura del segnale e di conversione analogico-digitale, limitatamente alla tecniche tradizionali di campionamento unico del segnale ad un istante ottimale, tralasciando tecniche pi recenti (e poco usate nellambito dei rivelatori di particelle) di campionamento continuo e ricostruzione digitale del segnale. Allo scopo di fornire gli strumenti necessari alla comprensione degli argomenti presentati, sar premesso un breve richiamo di elettronica fondamentale sul funzionamento dei principali dispositivi, e un po di teoria del rumore, necessaria alla comprensione delle tecniche di ottimizzazione del rapporto segnale/rumore.

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9 Breve ripasso del funzionamento dei transistors e amplificatori operazionali Presenter una essenziale descrizione del principio di funzionamento dei tre tipi di transistor BJT, JFET, MOSFET senza entrare nel dettaglio di tutte le varianti possibili (gli esempi e i disegni si riferiranno solo a dispositivi a canale n); introdurr poi il concetto di transconduttanza, quindi presenter alcuni circuiti base, necessari alla comprensione degli amplificatori che verranno illustrati in seguito. Richiamer poi brevemente lamplificatore operazionale e svilupper in qualche dettaglio le configurazioni tipicamente usate per realizzare i filtri dei processori analogici per rivelatori di particelle.

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10 A grandi linee il BJT pu essere visto come una coppia di giunzioni PN contrapposte, in cui la sezione centrale di semiconduttore estremamente sottile e la conformazione geometrica tale per cui il collettore racchiude base ed emettitore. La giunzione base-emettitore polarizzata direttamente, mentre la giunzione base- collettore polarizzata inversamente. I portatori iniettati dallemettitore, per lo spessore della base e la configurazione geometrica, hanno alta probabilit di attraversarla ed essere raccolti dal volume depleto della giunzione di collettore. Si ha quindi: con prossimo a 1 e quindi Con = 20 500 Il BJT

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11 non indipendente dalla corrente di collettore n dalla frequenza Il comportamento in dettaglio definito dalle caratteristiche duscita (sin) e di trasferimento (dx)

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12 Il JFET un dispositivo il cui la conduzione di corrente avviene nello spessore del semiconduttore (bulk), in un canale la cui sezione viene strozzata dalla zona di svuotamento della giunzione inversa del gate. La caratteristica duscita non dissimile da quella del BJT, mentre alquanto diversa quella di trasferimento. Quindi con il JFET si potr realizzare un dispositivo da comportamento simile al BJT, ma con tensioni di gate diverse da quelle di base di un BJT. Il JFET

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13 Il funzionamento del MOSFET si basa sullo stesso principio del JFET, salvo che il canale di conduzione ricavato immediatamente sotto lossido di isolamento del gate. La caratteristica duscita sostanzialmente identica a quella del JFET, mentre quella di trasferimento assai variabile con il modello di MOS (enanchement o depletion mode) e livelli di drogaggio. Bench il MOS sia usato prevalentemente come interruttore (tra interdizione e zona ohmica), pu operare come dispositivo analogico in zona di saturazione realizzando comportamenti non dissimili dal BJT e JFET Il MOSFET Caratteristiche di un enanchement MOS a canale n. Per un depletion MOS la V th scende a valori negativi, e il comportamento diviene quasi identico ad un JFET

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14 Tutti e tre i dispositivi illustrati agiscono come modulatori della corrente duscita (collettore o drain) in funzione della tensione dingresso (base o gate). I segnali applicati al transistor possono essere visti come piccole variazioni dei valori di polarizzazione, sufficientemente piccole da considerare lineare il comportamento del transistor rispetto ai segnali. Si conviene di indicare con lettere maiuscole i valori di polarizzazione e con minuscole i segnali. La transconduttanza il rapporto tra il segnale duscita (corrente) e il segnale dingresso (tensione); il guadagno del dispositivo: Si dimostra che per il BJT vale la relazione: Mentre per JFET e MOSFET g m dipende dalla geometria del dispositivo La transconduttanza

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15 Vediamo alcuni dei circuiti fondamentali che si possono costruire con i tre tipi di transistors, quasi dei bulding blocks con cui affronteremmo pi avanti lanalisi di circuiti pi complessi (nei disegni c un JFET, ma potrebbe essere indifferentemente un BJT o un MOS). Amplificatore a singolo transistor (configurazione Common Emitter/Source) Common Base/Gate Si dimostra che per tutti i tre tipi di dispositivo limpedenza dingresso di emettitore/source 1/gm. Quindi, se R>>1/g m, il trasferimento di corrente di questo circuito vale (nel BJT si trascura la corrente di base): Circuiti basilari

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16 Emitter/Source Follower Poich limpedenza dingresso alta (10 4 -10 6 per BJT; 10 10 -10 14 per JFET e MOS) e quella duscita bassa, il circuito adatta limpedenza della sorgente al carico. Cascode e Folded Cascode Usando la definizione di g m e le propriet del common base/gate, per questi circuiti si ha: Quindi non modificano la transconduttanza del dispositivo dingresso, ma ne migliorano molto la risposta in frequenza, perch inibiscono leffetto della capacit di drain. Il folded cascode permette anche di aumentare la dinamica duscita. Si dimostra che se R>>1/g m, per tutti i tre tipi di dispositivo vale la relazione:

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17 Generatori di corrente Esiste unampia gamma di circuiti che emulano un generatore di corrente ideale, quindi con alta impedenza. Tutti generano corrente dal collettore/drain, che un terminale ad alta impedenza (la corrente indipendente dalla sua tensione). Le migliori configurazioni arrivano ad impedenze dellordine di 10 7 . Vengono usati come elementi di polarizzazione di un circuito o come carichi attivi per spingere lamplificazione senza necessit di usare alte resistenze.

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18 MOS come resistori Un MOS polarizzato nella regione ohmica pu sostituire una resistenza (con grande risparmio di silicio, nei circuiti integrati). Il comportamento non sar molto lineare, ma dove non critica la precisione, offrono un grande vantaggio alla densit di integrazione.

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19 Coppia differenziale il circuito dingresso degli amplificatori operazionali. costituito da una coppia di dispositivi (BJT, JFET o MOS) identici, accoppiati in emettitore/source, polarizzati con un generatore di corrente sul nodo comune. sostanzialmente insensibile alla tensione di modo comune ed amplifica solo la tensione differenziale: Al variare del tipo di dispositivo cambia solo lampiezza della zona lineare: BJT JFET MOSFET

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20 Amplificatore operazionale un amplificatore differenziale con elevato guadagno (anche oltre 10 6 ). Di conseguenza gli ingressi sono quasi equipotenziali, pure essendo tra loro isolati; si dice che sono in contatto virtuale. Con gli operazionali si realizzano una grande variet di funzioni, che non possiamo qui analizzare. Mi limiter a presentare alcuni concetti ed alcuni circuiti utili allanalisi di un processore analogico di segnali da rivelatori. Nella configurazione pi comune le funzioni di trasferimento rispetto ai due ingressi sono:

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21 Configurazione tipica impedenza dingresso Usualmente, nelle nostre applicazioni, lingresso non invertente posto a massa. Esso quindi diviene un amplificatore invertente ad alto guadagno, privo (idealmente) di offset in uscita. Nel primo stadio dellelettronica di front end richiesto un amplificatore invertente ad elevato guadagno, che quindi potrebbe essere fatto con un operazionale con ingresso non invertente a massa, ma diverse ragioni sconsigliano questa scelta. Lamplificatore viene quindi realizzato con il solo ingresso invertente, il che comporta che abbia un considerevole offset. Negli stadi successivi, invece, conveniente usare amplificatori operazionali commerciali. Inoltre lamplificatore di front end viene usato come integratore, quindi con reazione R||C (resistore, di alto valore, in parallelo ad un condensatore).

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22 interessante valutare limpedenza dingresso dellamplificatore, nel caso sia realizzato con un OpAmp commerciale oppure con un tipico preamplificatore da front end. Per il teorema di Miller, limpedenza dingresso vale: quindi come se allingresso ci fosse, verso massa, un condensatore AC f molto grande (essendo A molto grande), che la condizione ideale per un integratore. Compare anche un resistore R f /A, che disturba, ma inevitabile; nellassunzione che R f essa trascurabile. Ma valutiamo come limpedenza varia con la frequenza.

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23 Che pu essere riscritta cos: Espressa anche limpedenza di feedback in termini del suo polo f =1/R f C f essa diviene: La risposta in frequenza dellamplificatore pu, con buona precisione, essere descritta in termini del suo polo dominante:

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24 Proviamo una stima numerica in queste condizioni: Il modulo dellimpedenza illustrato nella figura sottostante. Si vede che fino a 0 (50 Hz) limpedenza resistiva e bassa (100 ), poi cresce con andamento induttivo fino a f (1590 Hz), dove riprende andamento resistivo con valore relativamente alto (3184 ). Prende a decrescere con andamento capacitivo solo a frequenza A 0 0 (50 MHz). Il risultato che, nelle frequenze interessanti, come se il segnale del rivelatore venisse raccolto su una R||C con Rk e C=C f, che non proprio la soluzione ideale! OpAmp commerciale con A 0 =120dB (=10 6 ) 0 =314 s -1 ( GBW=50MHz) Z f data da: R f =100 M C f =1pF f =10 4 s -1

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25 Vediamo ora cosa succede usando un amplificatore da front end: Z f come prima Amplificatore invertente con A 0 =60dB (=10 3 ) 0 =3,1410 6 s -1 ( GBW=500MHz) Ora limpedenza resistiva e pari a R f /A 0 fino a f, dove diventa capacitiva. Il risultato netto , nelle frequenze di interesse, un impedenza dingresso dato da una R||C con R=R f /A 0 che rimane abbastanza alta, e C=C f A 0, che ci che si desidera. Il trucco sta nellavere il polo dominante dellamplificatore pi alto del polo del feedback; 0 >> f. Tra 0 e A o 0 limpedenza ritorna resistiva, ma a queste frequenze non si pu pi (come implicitamente stato fatto) trascurare la capacit del dispositivo dingresso. Una situazione interessante si ha quando 0 = f. Verr ripresa in considerazione pi avanti.

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26 Un po di teoria sul Rumore in elettronica La teoria del rumore ritenuta una disciplina oscura e difficile; cercher di dare qualche informazione, senza eccessiva pretesa di rigore. Debbo presumere alcune conoscenze di analisi statistica, teoria dei circuiti, trasformate di Fourier e Laplace. In un sistema elettronico rumore qualsiasi segnale che si sovrappone al segnale utile, ostacolandone le misura. Possiamo distinguere tra rumore deterministico, causato essenzialmente da interferenze con altri sistemi o variazioni di parametri ambientali, che in linea di principio (molto teoricamente) pu essere analizzato in modo totalmente deterministico e rimosso. Non verr preso in considerazione in questo corso, ma rimando ad una fonte fondamentale al rif. 7, e rumore casuale, che non pu essere analizzato se non in termini statistici e non pu mai essere totalmente rimosso, perch intimamente connesso alle propriet fisiche fondamentali dei componenti elettronici.

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27 Rumore come processo stocastico ergodico La forma donda del rumore, come ci che si vede alloscilloscopio quando la sonda connessa ad un circuito privo di segnale, una funzione del tempo dalla forma irregolare e del tutto imprevedibile. Diciamo che un processo casuale, e lo chiamiamo n(t). Comunemente per descriverlo usiamo un unico valore: la deviazione standard (o valore rms), ma nel fare ci facciamo implicitamente alcune assunzioni non banali: 1.Assumiamo che la distribuzione statistica di n(t) sia indipendente dal tempo 2.Assumiamo che la distribuzione sia gaussiana con media nulla 3.Assumiamo anche a priori che tale distribuzione esista per qualsiasi circuito ed in qualsiasi circostanza. Sono assunzioni che ci detta lesperienza, ma su quali principi fisici e matematici si fondano?

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28 Per fissare le idee, poniamo che n(t) sia la tensione ai capi di una resistenza. A causa dellagitazione termica degli elettroni e degli atomi, in generale sar n(t)0. Operativamente, come determiniamo la statistica di n(t), ad esempio la media? 1.Possiamo prendere una schermata sufficientemente lunga alloscilloscopio e valutarne la media (statistica temporale). 2.Oppure possiamo prendere molti campioni a tempi sufficientemente lontani tra loro da poter assumere che siano statisticamente indipendenti, e farne la media (statistica dinsieme). Se facciamo bene le cose (a meno di variazioni delle condizioni ambientali), lesperienza ci dice che otteniamo lo stesso risultato. In realt non neppure raro che le misure non tornino, perch non sappiamo bene cosa voglia dire, nelle preposizioni suddette, lavverbio sufficientemente. Come determinarne la statistica di n(t) senza fare assunzioni che non sappiamo giustificare?

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29 Poich la resistenza un insieme di 10 23 particelle in equilibrio termodinamico con lambiente, il cui microstato impossibile da determinare, si usano alcuni concetti della meccanica statistica (10). Si ricorre ad un esperimento ideale, immaginando di disporre di un insieme arbitrariamente grande di resistenze identiche (statistical ensemble), idealmente una per ciascun dei microstati possibili della resistenza. Avremmo quindi a disposizione un insieme {n i (t)} di processi casuali. Linsieme, pensato come un tuttuno, chiamato processo stocastico. processo stocastico = {n i (t)} Il processo stocastico descrive, quindi, levoluzione temporale di tutti i microstati possibili del sistema. Ad ogni istante possiamo calcolare le grandezze statistiche del processo (media, rms, densit di probabilit ) operando sugli elementi dellinsieme (statistica dinsieme), e saranno in genere funzione del tempo.

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30 ed , in genere, funzione del tempo. Quando invece le grandezze statistiche dinsieme risultano indipendenti dal tempo, il processo stocastico detto stazionario. Alternativamente alla statistica dinsieme, per un processo stazionario si pu valutare la statistica temporale. Ad esempio la media temporale espressa come: Ad esempio, la media dinsieme degli n i pu essere espressa come: ed una variabile casuale (dipende dallindice i ma non dal tempo), i cui valori di aspettazione sono difficili da esprimere analiticamente. |{n i }| indica la cardinalit dellinsieme {n i }, p(n) la densit di probabilit di {n i }, E sta per expected value

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31 Vi sono tuttavia dei processi in cui le due tecniche di calcolo conducono allo stesso risultato; per esempio per la media: cio le medie temporali sono tutte uguali e coincidono con le medie dinsieme, che non dipendono dal tempo. Tali processi sono detti ergodici. Sintetizzando, possiamo quindi definire ergodico un processo stocastico in cui le medie dinsieme sono uguali alle medie temporali. Di conseguenza, tutte le propriet statistiche di un processo ergodico possono essere determinate per mezzo di una singola funzione del processo.

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32 Il postulato fondamentale relativo allanalisi del rumore che esso sia un processo ergodico. Il fondamento della ragionevolezza del postulato sta nel fatto che assumiamo la sorgente di rumore attiva ab eterno e, per il principio di omogeneit del tempo, immutabili nel tempo le sue propriet (a condizioni ambientali ferme, ovviamente). Si deve poi assumere che il valore medio del rumore sia nullo, per non violare qualche principio fondamentale (la tensione di rumore di una resistenza deve avere media nulla, per evitare che essa diventi una sorgente gratuita di energia). Infine, si deve ritenere che la distribuzione di probabilit del rumore sia gaussiana: questo assunto conseguenza del teorema del limite centrale e del fatto che il rumore dipende da un grandissimo numero di fattori casuali. Va comunque detto che alcune grandezze si definiscono pi facilmente nella statistica dinsieme (caso notevole, la densit di probabilit), altre nella statistica temporale (caso notevole, lautocorrelazione).

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33 Riassumendo, il rumore un processo casuale con queste propriet: ergodico Ha media nulla Ha distribuzione normale (gaussiana) quindi completamente determinato statisticamente da un solo parametro; la sua varianza (o dal valore rms, che della varianza la radice quadrata).

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34 Potenza del rumore e spettro di potenza La varianza del rumore chiamata potenza di rumore. Pu essere espressa sotto forma di un integrale nella frequenza: W() detto spettro della potenza di rumore, ed esprime la potenza di rumore per unit di banda di frequenza. Lo spettro di potenza uno strumento fondamentale nellanalisi del rumore. I datasheets dei componenti spesso riportano questo parametro (nella forma della sua radice quadrata), oppure la noise figure, che ad esso legato, come vedremmo.

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35 Lo spettro di potenza esprimibile in termini della trasformata di Fourier della autocorrelazione del rumore, cio: Per i processi ergodici lautocorrelazione funzione solo di t 2 -t 1 = e si pu esprimere con una media temporale: Lautocorrelazione una grandezza statistica la cui prima definizione avviene nel dominio della statistica dinsieme, ed esprime la correlazione tra due valori della stessa variabile casuale, calcolati un due istanti diversi. D quindi una misura di quanto lontani debbano due campioni di una stessa variabile casuale per essere statisticamente indipendenti. con Teorema di Wiener-Khintchine Si vede subito che:

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36 Dimostrazione. Data lanti-trasformata di Fourier di R(): che per =0 d: poich R() reale e simmetrica, anche S() lo . Allora il secondo integrale nullo e il primo pu essere scritto:

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37 Trasformazione del rumore nei sistemi lineari Un sistema elettrico lineare tempo-invariante deterministico (= privo di rumore) pu essere descritto mediante un operatore lineare: Si dimostra che se x(t) un processo ergodico, anche L[x(t)]=y(t) lo , purch il circuito sia attivo da sempre (ovvero, in pratica, sia esaurito il transitorio). Lo studio del rumore non prevede lanalisi al transitorio, per tale ragione si usa la trasformata di Fourier e non quella di Laplace. Il comportamento del circuito descritto anche dalla sua risposta allimpulso h(t) o dalla sua funzione di trasferimento H(i), legate dalla trasformata di Fourier:

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38 Per i segnali deterministici applicati al circuito, valgono le ben note relazioni (la lettera maiuscola indica la trasformata della corrispondente variabile con lettera minuscola): Per il rumore si dimostra una formula analoga, che esprime lo spettro di rumore in uscita in funzione di quello dingresso: una formula fondamentale nellanalisi del rumore. In una catena di sistemi posti in cascata, lo spettro di rumore del primo stadio d il maggior contributo al rumore totale, rispetto alle sorgenti intermedie, che subiscono una amplificazione minore. Per questo ragione lanalisi del rumore dei circuiti si concentra particolarmente sullo stadio dingresso.

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39 Dimostrazione della Dalla: moltiplico prima per x(t-) e poi per y(t+), e valuto i valori daspettazione dei due risultati (media dinsieme). le medie sono rispettivamente la correlazione tra x e y e lautocorrelazione di x e di y, e dipendono solo dalla differenza dei tempi (processi stazionari).

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40 Quindi si ha (* indica la convoluzione): Passando alle trasformate di Fourier e osservando che F[h(-t)]=H * (i): Combinando i risultati: Ricordando il teorema di W-K:

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41 Nota sullintegrale di convoluzione La formula di convoluzione permette di calcolare nel dominio del tempo la risposta di un circuito. La formula pi usuale e nota quella nel dominio della variabile di Laplace: Ovvero, luscita del circuito data dallingresso, moltiplicato per la funzione di trasferimento, o guadagno, del circuito. Poich con il rumore si opera sempre in regime stazionario, alla variabile s si sostituisce i e si lavora con la trasformata di Fourier, anzich quella di Laplace. Ci che nel dominio delle frequenze un prodotto, nel domino del tempo, cio delle anti-trasformate, diventa un integrale di convoluzione: Ovvero, il segnale duscita del circuito dato dalla convoluzione del segnale dingresso con la risposta allimpulso del circuito.

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42 Il calcolo dellintegrale di convoluzione pu essere talvolta molto arduo (ma allora si opera nello spazio delle trasformate, dove diventa un banale prodotto), per lo si pu rappresentare, molto intuitivamente, in maniera grafica. Fissando le idee sulla prima forma dellintegrale: lo si pu interpretare come lintegrale delle due funzioni (di cui la prima limmagine riflessa del segnale dingresso), fatte scivolare luna rispetto allaltra. Forse la cosa pi chiara passando dal tempo continuo al tempo discreto e alle funzioni campionate ad intervalli t. Allora lintegrale diventa: Con questa formula ho fatto un esercizio numerico e cercato di visualizzare come la convoluzione si costruisce

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43 Si ottiene una cosa del genere: La convoluzione finale questa:

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44 Tipi di Rumore Il rumore esibito dai componenti fisici si descrive mediante tre modelli fondamentali di rumore: Rumore termico o Johnson; causato dallagitazione termica dei portatori nei conduttori Rumore granulare o shot; compare con correnti dovute a pochi portatori che attraversano in tempi brevissimi una barriera di potenziale, generando una successione casuale di impulsi di corrente. Rumore 1/f o Flicker; comprende unampia gamma di sorgenti di rumore, spesso di origine poco chiara, che mostrano uno spettro di tipo 1/f con prossimo a 1. Nei componenti fisici reali vi pu essere un tipo di rumore dominante, ma possono essere anche tutti compresenti.

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45 Ai capi di un resistore R in equilibrio termico alla temperatura T compare una tensione di rumore dovuta al moto casuale degli elettroni di conduzione. Questo fenomeno fu studiato sperimentalmente da J.B. Johnson nel 1928 (11) e lo spettro di potenza fu ben presto determinato da H. Nyquist (12). La resistenza connessa ad un circuito, e con esso in equilibrio termico, a causa del rumore scambia con esso energia, con una potenza per unit di banda di frequenza data da: Rumore Johnson dP(f) a T=10, 20, 40, 80, 160, 320 K Per tutte le frequenze di interesse in elettronica, questo spettro bianco cio indipendente dalla frequenza.

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46 Una resistenza reale allora rappresentata da una resistenza ideale (priva di rumore) con un generatore di tensione in serie, o un generatore di corrente in parallelo (teorema di Thevenin-Norton), tali da generare rumore con la stessa potenza. Lo spettro di potenza dei due generatori vale allora: Vale la pena di rimarcare che, ricordando come lo spettro di potenza legato alla varianza della rispettiva variabile di rumore, le dimensioni di W in sono A 2 /Hz e quelle di W en sono V 2 /Hz

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47 Si ha quando la corrente dovuta a pochi portatori che generano brevi impulsi con occorrenza casuale. un fenomeno importante nella emissione di elettroni da fotocatodi, nelle valvole termoioniche, nelle correnti di portatori minoritari (correnti di gate nei JFET e MOSFET, e di base nei BJT). Viene descritto mediante la statistica di Poisson, con la quale si calcola media e varianza della corrente: Rumore Shot Corrente media (q = carica dellelettrone f = frequenza media degli impulsi) Varianza della corrente

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48 Come intuibile, la varianza della corrente tanto pi piccola quanto lungo lintervallo t di osservazione. Per calcolare spettro del rumore shot bisogna trovare lautocorrelazione del processo che lo descrive e trasformarla secondo Fourier. Trattando gli impulsi di corrente come delta di Dirac, si ottiene che: (cfr. rif. 10 pag. 350): anche questo un rumore bianco, nel limite in cui regge lapprossimazione degli impulsi come delta di Dirac; quindi fino a frequenze dellordine dellinverso della durata degli impulsi.

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49 Un unampia serie di fenomeni, non solo fisici ed elettronici, mostrano fluttuazioni di ampiezza crescente allaumentare del tempo di osservazione, descrivibili come un rumore con uno spettro proporzionale a 1/f,. Le cause fisiche del rumore 1/f sono spesso oscure; sappiamo che resistori a carbone mostrano pi rumore 1/f rispetto a quelli metallici, e se ne imputa la causa alle discontinuit di resistivit dovuta ai contati pi o meno buoni tra i granuli della pasta resistiva di cui essi sono composti. Nei dispositivi a semiconduttore il rumore 1/f cresce al crescere dei difetti reticolari. Di conseguenza, dispositivi a conduzione superficiale (i.e. MOS) hanno pi rumore 1/f dei dispositivi a conduzione di bulk (i.e. BJT e JFET). Va infine detto che il rumore 1/f assolutamente presente ovunque. La trattazione teorica del rumore 1/f complessa, (13) (14) perch non pu essere considerato un processo stazionario. La sua varianza diverge verso le basse frequenze; questa catastrofe evitata perch in realt nessun circuito ha banda che si estende a frequenza zero. Rumore Flicker

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50 LMV793 MOS input OpAmp equivalent input noise voltage Slope = -1/2 Dal punto di vista pratico, le prestazioni dei dispositivi sono caratterizzate dalla frequenza di 1/f noise corner, sopra la quale il rumore 1/f diventa trascurabile rispetto al rumore bianco. Nelle applicazioni pratiche si cerca di minimizzare leffetto del rumore 1/f, mantenendo le frequenze di interesse sopra il noise corner. Esso pu essere un problema serio per circuiti in continua ad alta sensibilit, p.es. generatori di tensioni di riferimento, che notoriamente sono soggetti a lente pendolazioni e richiedono periodiche calibrazioni. Nei nostri circuiti, osservata lavvertenza di stare sopra il noise corner, solitamente il rumore 1/f trascurato. LMP7731 Bipolar input OpAmp equivalent input noise voltage

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51 Un generico sistema elettronico lineare viene rappresentato come un doppio bipolo. In esso ci sono molteplici sorgenti di rumore, ciascuna produce rumore in uscita secondo la sua funzione di trasferimento. Il rumore in uscita pu essere riportato in ingresso mediante la funzione di trasferimento del bipolo. Poich il bipolo descritto da un sistema lineare nelle tensioni e correnti dingresso e duscita: allora tutto il rumore del sistema pu essere riportato in ingresso mediante due generatori, uno di tensione in serie, detto anche rumore serie, ed uno di corrente in parallelo, detto rumore parallelo. Tutto il rumore quindi espresso dallo spettro delle due sorgenti (ed eventualmente dalla mutua correlazione) (3). Rappresentazione del rumore nelle reti I datasheets dei componenti esprimono il rumore con la radice quadrata dei relativi spettri. Quindi danno il valore dei due generatori con le dimensioni: [e n ]=V/Hz [i n ]=A/ Hz

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52 Relazione tra spettro di rumore, e noise figure Un altro parametro spesso usato per quantificare il rumore, soprattutto di amplificatori e grandi sistemi, la noise figure, che esprime il rapporto tra rumore rms in uscita al sistema e quello dovuto alla sola sorgente, espresso in decibell: Nel rumore in uscita separiamo la parte dovuta al sistema da quello dovuto alla sorgente (i due rumori sono statisticamente indipendenti, quindi i loro rms si sommano quadraticamente): Osservando che n H /H il rumore del sistema riportato in ingresso, n Hi : In termini di spettro, e considerando che il rumore della sorgente dovuto tipicamente ad una resistenza Rs: La quantit T(10 NF/10 -1) detta temperatura equivalente di rumore, ed esprime la temperatura a cui dovrebbe trovarsi la sorgente per rendere conto del rumore del sistema.

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53 Rumore nei componenti elettronici Rumore nei componenti passivi Del rumore generato da resistenze si gi detto. A rigori, andrebbe aggiunto la componente 1/f, che dipende dalle particolarit costruttive delle resistenza Forse non inutile dire che condensatori e induttanze (trascurando loro resistenze parassite) non generano rumore.

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54 Rumore nel BJT Ci sono molteplici sorgenti di rumore nel BJT: il rumore shot dei portatori minoritari, il rumore termico delle resistenze diffuse, il rumore di generazione e ricombinazione, il rumore 1/f Il modello che presento non tiene conto di tutto, ma sufficiente in tutte le situazioni pratiche (senza ricorrere a tecniche computazionali), e soprattutto non richiede conoscenze di parametri esotici dei dispositivi.

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55 Secondo questo modello le sorgenti di rumore nel BJT sono: Shot noise delle corrente di base. Essa infatti dovuta ai portatori iniettati dellemettitore, che nel volume della base sono portatori minoritari Johnson noise della resistenza diffusa di base. A causa del suo ridotto spessore, la base presenta una resistenza non trascurabile (10-100), che genera rumore termico. Spesso viene trascurato. Shot noise delle corrente di collettore. Essa dovuta ai portatori iniettati dallemettitore, che attraversano la base e giungono nel volume depleto della giunzione base-collettore. Sono quindi portatori minoritari. Questo rumore viene riportato in ingresso, mediato dalla transconduttanza del transisor.

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56 Disegnando il transistor come un doppio bipolo con funzione di trasferimento g m (che vale a bassa frequenza, ma assumiamo di usare il transistor ben sotto la sua f t ): Dove R bb la resistenza diffusa di base. Si usa rappresentare gli spettri di rumore bianco in termini di resistenza equivalente di rumore, definita come la resistenza che genera lo stesso spettro di rumore. Allora le resistenze di rumore equivalenti del BJT per il rumore serie e parallelo valgono, rispettivamente: allora lo spettro del rumore serie e parallelo valgono, rispettivamente:

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57 Rumore nel JFET Il JFET un dispositivo il cui la conduzione di corrente avviene nello spessore del semiconduttore (bulk), in un canale la cui sezione viene strozzata dalla zona di svuotamento della giunzione inversa del gate. La corrente di drain quindi dovuta ai portatori maggioritari ed affetta da rumore termico. Anche in questo caso il rumore della corrente di drain viene riportato in ingresso mediato dalla transconduttanza del transistor. La corrente di gate invece affetta da shot noise, essendo la corrente di una giunzione polarizzata inversamente. Andrebbe anche considerato un contributo dovuto allaccoppiamento capacitativo tra in canale ed il gate, che riporta sul gate un po del rumore della corrente nel canale.

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58 Si dimostra che per il JFET lo spettro del rumore serie e la resistenza equivalente di rumore serie valgono: E lo spettro di rumore parallelo vale: Il confronto con il BJT ci dice che: Il rumore serie confrontabile (ma nel BJT molto pi facile ottenere unalta g m ) Il rumore parallelo molto pi alto nel BJT

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59 Rumore nel MOSFET Il MOSFET ha un modello circuitale molto simile a quello del JFET, ed anche le sorgenti di rumore sono molto simili. Ma ci sono non trascurabili differenze. MOSFET a confronto con il JFET : La transconduttanza g m pi alta nel MOS, a parit di corrente di drain; quindi minor rumore serie. Correnti di gate pi basse nel MOS; quindi minor rumore parallelo. Rumore 1/f pi alto nel MOS, perch la conduzione di corrente avviene sulla superficie del silicio, subito sotto lossido di gate, dove i difetti reticolari sono pi densi.

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60 Il bilancio dei pro e dei contro e la scelta finale dipendono dalle applicazioni: In amplificatori realizzati a componenti discreti il MOS svantaggiato dal rumore 1/f e dal fatto che le protezioni sul gate vanificano il minor rumore parallelo. In amplificatori integrati il MOS avvantaggiato dal fatto che la tecnologia dintegrazione dei MOS pi semplice. Il trend tecnologico da un lato porta ad una riduzione del rumore 1/f nei MOS, dallaltro va verso amplificatori a sempre pi alta frequenza, dove il rumore 1/f pesa poco. In amplificatori a tempo di formatura lunga (p.es. per spettroscopia nucleare, tipicamente a componenti discreti) il dispositivo delezione resta il JFET Negli amplificatori integrati su larga scala per gli esperimenti HEP il MOS lunica scelta praticamente possibile.

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61 Rumore dei vari dispositivi a confronto. La risalita a tempi piccoli dovuta al rumore serie La risalita a tempi grandi dovuta al rumore parallelo Il rumore 1/f indipendente dal tempo di formatura

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62 Rumore nellAmplificatore Operazionale Generalizzando la rappresentazione del rumore nei doppi bipoli, e dopo aver visto come si rappresenta il rumore nei transistor, la rappresentazione pi immediata del rumore nellAmpOp data mediante una coppia, per ciascun ingresso, di generatori di rumore serie e parallelo. I generatori di corrente rappresentano essenzialmente il rumore (shot) delle correnti di bias. I generatori di tensione rappresentano essenzialmente il rumore (termico e/o shot) delle correnti di drain/collettore del dispositivo dingresso. Le coppie di generatori di tensione e di corrente sono, in prime approssimazione, identici e statisticamente indipendenti. I due generatori di tensione sono connessi agli ingressi dellOpAmp, che sono equipotenziali; possono quindi essere fusi in un unico generatore con spettro dato dalla somma dei due.

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63 Questo il modello usato dai costruttori per rappresentare il rumore di un OpAmp, con un unico generatore di rumore serie, a cui contribuiscono entrambi gli ingressi. Ovvero e n 2 volte il rumore serie del singolo ingresso Spettri del rumore serie e parallelo dellOpAmp LMP7731

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64 Formazione del segnale nel rivelatore Il segnale elettrico fornito dai rivelatori elettronici una certa quantit di carica rilasciata in un tempo solitamente molto breve. Un esempio semplice Nel situazione pi semplice possiamo immaginare il rivelatore come un condensatore piano carico, nel cui volume una particella ionizzante generi una coppia elettrone/ione. Le cariche migrano nel volume del rivelatore, sotto lazione del campo elettrico, e generano sul circuito esterno una corrente I(t) che trasporta una carica e. Le due cariche generano corrente finch non raggiungono gli elettrodi. Lelettrone, che si muove velocemente, genera una corrente alta per un tempo breve; lo ione positivo, pi lento, genera una corrente pi bassa e pi lunga. I t Corrente da e - Corrente da e +

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65 La forma del segnale Teorema di Shockley-Ramo La descrizione analitica generale della corrente indotta da una carica in movimento sui conduttori circostanti formulata dal teorema di Shockley-Ramo; W. Shockley, J. Appl. Phys. 9 (1938) 635 - S. Ramo, Proc. IRE 27 (1939) 584 I i la corrente indotta dalla carica q sul conduttore i; v la velocit della carica, determinata dal campo totale sentito dalla carica; E ni il campo normalizzato sentito dalla carica (cio, applicando un potenziale unitario al conduttore i, e nullo agli altri conduttori). La soluzione generale di questa equazione, in presenza di molti conduttori, non pu che venire affrontata con simulazioni numeriche. Dal punto di vista dellelettronica di front end interessa solo trovare la corrente sullelettrodo di lettura.

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66 Soluzioni particolari del teorema di Shockley-Ramo Condensatore piano e cariche con velocit saturata un buon modello di rivelatori con elettrodi piani a ionizzazione di liquido o gas (nei gas la condizione di velocit satura pu essere violata cfr rif. 2 pag. 22 ss). Assumiamo di avere una coppia elettrone/ione creata a distanza x dallelettrodo di riferimento. Sia d la distanza tra gli elettrodi. Nellequazione di Shockley-Ramo vanno quindi messe le quantit (con i corretti segni): q = ecarica dellelettrone/ione; v = E la velocit della carica proporzionale al campo elettrico (gli urti con gli atomi del mezzo saturano la velocit); E n = 1/d il campo ottenuto applicando una differenza di potenziale unitaria agli elettrodi (lindice i scompare perch c una sola corrente da calcolare).

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67 Le correnti create dal movimento delle due cariche valgono quindi: La durata delle due correnti rispettivamente: Poich - >> + allora t s -

74 Preamplificatore (amplificatore di carica) il componente pi critico dellintera catena; da esso dipendono in maniere cruciale le prestazioni al rumore del sistema. costituito da un amplificatore di tensione con alta impedenza dingresso e alto guadagno invertente, con reazione capacitiva, in modo da realizzare un integratore. Nella reazione compare una resistenza, per fornire la tensione di polarizzazione allingresso, ma il suo contributo deve essere trascurabile. Funzioni fondamentali: 1.Massimizzare la raccolta di carica. Efficienza di raccolta: se AC f >>C d. 2.Ottimizzare le prestazioni rispetto al rumore. 3.Fornire il primo stadio di signal shaping. 4.Fornire un adattamento di impedenza (raro). Il preamplificatore tagliato su misura per ogni rivelatore

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75 Disegno di un amplificatore di carica La configurazione operazionale che forma il nucleo dellamplificatore di carica deve avere queste caratteristiche: 1.Alto guadagno invertente ad anello aperto 2.Alta impedenza dingresso; 3.Alto prodotto guadagno-banda; 4.Basso rumore; 5.Dispositivo dingresso adattato al rivelatore. Non invece necessario che abbia ingresso differenziale, anzi controindicato dai punti 3 (lingresso non invertente contribuisce comunque al rumore) e 4. Non sar quindi un amplificatore operazionale commerciale. Il punto 2, per quanto visto a proposito dellimpedenza dingresso di un operazionale con reazione R||C, porta a dire che il polo dominante dellamplificatore deve essere maggiore del polo dellimpedenza ( 0 >> f ). Tutto ci porta a concludere che un operazionale commerciale poco indicato per realizzare un amplificatore di carica.

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76 Un amplificatore a componenti discreti con ingresso JFET Lamplificatore qui presentato, nonostante la semplicit, mostra eccellenti prestazioni per costruire un amplificatore di carica. uno schema derivato, con qualche modifica, dal classico schema di Radeka. A ol -1000 -8000 @ R l =0,4 5 k, Cl=50 pF GBW 400 MHz (simulati) Power 23 mW Q1=BF851A Q2 Q5 = HFA3096 Nota: lamplificatore disegnato senza feedback. chiaro che il gate dingresso ha bisogno di una tensione di polarizzazione, che sar prelevata dalluscita mediante una resistenza di alto valore. Luscita quindi avr un offset pari alla tensione V gs del JFET.

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77 Il segnale di tensione V in sul gate induce un segnale di corrente i d =g m V in sul drain, che viene catturata (quasi) integralmente dal folded cascode Folded cascode v in idid

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78 La corrente i d viene convertita in tensione sul carico attivo, costituito da una resistenza bootstrapped. Il generatore di corrente fornisce le correnti di polarizzazione senza caricare luscita. Il guadagno totale dato da g m Z o dove Z o limpedenza vista sul collettore di Q2 idid Generatore di corrente Carico attivo

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79 Lo stadio duscita costituito da un emitter follower con un booster di corrente che ne abbassa ulteriormente limpedenza duscita. La correte su carico si ripartisce su Q3 e Q4 in proporzione inversa al rapporto delle resistenze di collettore, su Q4, e di emettitore, su Q3. Emitter follower booster

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80 Il risultato un amplificatore con unottima risposta in frequenza, seppure alquanto sensibile al carico. R l =400 R l =5 k GBW=400 MHz o1 MHz

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81 Un amplificatore integrato MOSFET Questo invece lamplificatore in tecnologia MOS, integrato nel chip HELIX, usato nel read out del microvertice di ZEUS Level shifter Il MOS dingresso ha piccola gate length ( alta risposta in frequenza) e grande gate width ( grande g m ). Non ha buffer duscita perch usato con un carico ben definito, che partecipa alla definizione del guadagno. cascode Resistenze variabili

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82 Filtro o Shaper. Subito dopo il preamplificatore di carica viene il cosiddetto shaper che svolge le seguenti funzioni fondamentali: 1.Filtrare il segnale in modo da ottimizzare il rapporto segnale/rumore (teoria del filtro ottimo). 2.Dare al segnale una forma adeguata alle successive elaborazioni: la carica misurata dal valore di picco della forma donda, il tempo dallistante di occorrenza del picco. Nel caso di soluzione a componenti discreti esso si trova, in tutto o in parte, lontano dal rivelatore, per minimizzare la dissipazione di potenza dentro il rivelatore. Il che comporta lo sviluppo di componenti dedicate alla trasmissione (line driver). Nel caso di soluzione integrata, solitamente il chip di front end alloggia tutta la catena fino alla digitalizzazione.

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83 Teoria del filtro ottimo Per trovare qual il filtro con il quale si ottiene il migliore rapporto segnale/rumore, bisogna tornare a guardare lintero sistema, compreso il rivelatore (rappresentato dalla sua impedenza equivalente, Z d ). Il filtro che segue il preamplificatore rappresentato dalla sua funzione di trasferimento H f (s), di modo che la funzione di trasferimento dellintera catena H(s)=-Z f (s)H f (s) Si dimostra che esiste una forma di H(s) che permette la misura del segnale dingresso con il migliore rapporto segnale/rumore. Cercheremo poi le migliori realizzazioni pratiche del filtro ottimo, che concilino semplicit costruttiva con buone prestazioni, anche nei confronti di altre cause di perdita di risoluzione, diverse dal rumore casuale.

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84 Spettro di rumore in ingresso Usando un principio gi enunciato, tutto il rumore del sistema rappresentato dai due generatori di rumore serie e parallelo, e ricordando che pesano di pi i generatori di rumore vicini alla sorgente, con buona approssimazione tutto il rumore pu essere ricondotto a pochissimi elementi. In questa rappresentazione si ha: Rumore parallelo i n dovuto a: Rumore termico di Rd Rumore termico di Rf Rumore shot della corrente di leackage del detector Rumore shot del dispositivo dingresso dellamplificatore Rumore 1/f Rumore serie e n dovuto a: Rumore riportato in ingresso dei primi dispositivi dellamplificatore (transistor dingresso, resistenza di drain, cascode) Rumore 1/f

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85 Rappresentando globalmente la componente bianca del rumore parallelo mediante la resistenza di rumore equivalente, lo spettro del rumore parallelo vale: Il termine tra parentesi esiste nel caso che il dispositivo dingresso sia un JFET o un MOS (molti autori lo trascurano comunque). Analogamente, il rumore serie si pu scrivere: Per portare in uscita il rumore bisogna trovare le funzioni di trasferimento del circuito rispetto ai due generatori, che sono:

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86 Spettro di rumore in uscita al filtro Lo spettro di rumore in uscita viene determinato mediante la relazione fondamentale: La applichiamo a ciascuna delle due sorgenti e sommiamo i contributi: Osservando che : (R f ||R d indica il parallelo di R f e di R d )

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87 E inserendo le precedenti espressioni degli spettri dingresso, lo spettro duscita diviene: rumore parallelo rumore serie rumore 1/f Conviene introdurre qualche approssimazione: R p R s